Fundamentos de ingenieria de confiabilidad.pdf

¿Porqué Ingeniería de Confiabilidad? 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Una de las características más importantes de un producto es su desempeño a través del tiempo. Son muchos los casos de pérdidas económicas cuantiosas debido a problemas de confiabilidad. Los reclamos son comunes en el desempeño de los productos. Sony, en octubre de 2006, recibió 9.6 millones de reclamos relacionados con la batería de sus computadoras personales. Con frecuencia desaparecen productos debido a accidentes fatales. Los productos deben cumplir adecuadamente la función para la que fueron diseñados. Ninguna industria puede sobrevivir sin atender los problemas de confiabilidad de sus productos y/o servicios.

Introducción

Costos de garantía en millones de dólares de algunas empresas norteamericanas durante 2005 y 2006.

Compañía General Motors Ford Motor Company Hewlett-Packard Co. Dell Inc. Motorola Inc. IBM corporation Caterpillar Inc. General Electric Co. Deere & Co. Whirlpool Corp. Boeing Co. Textron Inc.

2006 $4,463 $4,106 $2,346 $1,775 $891 $762 $745 $665 $509 $459 $206 $167

2005 $4,696 $3,986 $2,353 $1,521 $716 $831 $712 $699 $453 $294 $146 $149

Aplicaciones y beneficios

Introducción 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Implementar un programa integrado de ingeniería de confiabilidad y aseguramiento del producto en compras, ingeniería, investigación, desarrollo, manufactura, control de calidad, inspección, ensayo, empaque, embarque, instalación, arranque, operación, servicio y desempeño. Obtener los datos y la información necesaria para identificar la curva de confiabilidad de la bañera (CB). Utilizar la CB para determinar el periodo de adaptación óptimo. Utilizar la CB para encontrar el tiempo óptimo de calentamiento. Determinar el periodo y costo de garantía óptimo aplicando la CB. Utilizar la CB para encontrar el tiempo óptimo de reemplazo de componentes. Encontrar las necesidades de partes de repuesto y su tasa de producción en base a la CB.

Aplicaciones y beneficios

Introducción

8.

9. 10. 11.

12. 13. 14. 15.

Estudiar los tipos de falla que presentan partes, componentes, productos y sistemas y recomendar acciones para corregirlas a diseño, investigación y desarrollo. Determinar que tipo de fallas ocurren y en qué momento de la vida de un equipo. Determinar la distribución del tiempo de falla de partes, componentes, productos y sistemas. Estudiar los efectos de la edad, duración de la misión, aplicación y niveles de stress de operación sobre la confiabilidad. Predecir confiabilidad de equipos, productos y sistemas y determinar si se cumplen las metas establecidas. Seleccionar el mejor diseño desde el punto de vista de confiabilidad. Evaluar la cantidad de redundancia presente en el diseño. Estimar la redundancia necesaria para lograr la confiabilidad especificada.

Curva de la bañera

Introducción Tasa de fallas

Periodo de fallas tempranas

Periodo de desgaste o degradación

Tasa de fallas constante

Vida útil

Tiempo en horas

Optimización de la confiabilidad

Introducción

Costos del productor: costos antes del embarque y costos después del embarque. Costos antes del embarque: ingeniería, investigación, desarrollo, manufactura (patrones, herramientas, mano de obra, materiales) y gastos generales. Costos después del embarque: envío, transporte, instalación, arranque, garantía, pérdida del buen nombre.

$ Costo total

Costos después del embarque

Costos antes del embarque

Confiabilidad

Optimización de la confiabilidad La optimización de la confiabilidad trae como consecuencia: Introducción

1. 2. 3. 4.

Reducción del número de componentes necesarios. Un mejor arreglo de componentes en el sistema. Una mejor selección de materiales. La selección adecuada de las relaciones de stress, tensión y stress-tiempo en la etapa de diseño. 5. El uso de métodos probabilísticos y estadísticos para establecer el diseño óptimo, y las distribuciones de stress y resistencia. 6. El uso de listas de verificación en el diseño, manufactura, confiabilidad y mantenibilidad para detectar errores de diseño y lograr una confiabilidad y mantenibilidad óptimas. 7. El uso de la ingeniería de valor para convertir los diseños en productos de costo mínimo sin sacrificar confiabilidad y mantenibilidad.

Definición de confiabilidad Confiabilidad es: Definiciones y terminología

1. La probabilidad condicional 2. de que a un nivel de confianza, el equipo 3. desempeñe sus funciones satisfactoriamente, o sin falla; es decir, dentro de los límites de desempeño especificado 4. a una edad dada, por una longitud de tiempo especificada, periodo de función o 5. tiempo de misión, cuando se usa de la manera y para los propósitos indicados, bajo la aplicación y medio ambiente de operación 6. Con sus niveles de stress asociados.

Definición de confiabilidad Confiabilidad es: Definiciones y terminología

1. La probabilidad condicional 2. de que a un nivel de confianza, el equipo 3. desempeñe sus funciones satisfactoriamente, o sin falla; es decir, dentro de los límites de desempeño especificado 4. a una edad dada, por una longitud de tiempo especificada, periodo de función o 5. tiempo de misión, cuando se usa de la manera y para los propósitos indicados, bajo la aplicación y medio ambiente de operación 6. Con sus niveles de stress asociados.

Probabilidad condicional

Definiciones y terminología

Donde confiabilidad estimada número de misiones exitosas de duración t cada una número total de misiones de duración t cada una número de misiones fallidas de duración t cada una inconfiabilidad estimada o probabilidad de falla Esto aplica cuando las unidades que fallan se restablecen a las mismas condiciones que tenían al inicio de la primera misión.

Un forma más completa de ver la confiabilidad, es a través del concepto de efectividad del sistema SE, el cual se define como Definiciones y terminología Probabilidad condicional

= probabilidad de que el sistema se encuentre, ya sea disponible al inicio de la misión, o se pueda traer a un estado operacionalmente adecuado al principio de la misión. = probabilidad de que, habiendo iniciado exitosamente la misión, el sistema la complete sin falla. = probabilidad de que, habiendo completado la misión, el sistema haya cumplido exitosamente todos los objetivos para los que fue diseñado. = número de sistemas que lograron todos los objetivos diseñados para la misión. = número total de sistemas.

Definiciones y terminología Probabilidad condicional

Ejemplo 1. Cien unidades idénticas se ponen en operación y el desempeño de cada una se monitorea por un periodo predeterminado de diez horas (tiempo de misión). Cinco unidades fallaron durante este periodo. ¿Cuál es la confiabilidad estimada? Si una de tales unidades que se sometió a 100 misiones idénticas, cada una de 10 horas, falló en 5 de tales misiones, y se restauró a su estado original antes de someterse a la siguiente misión, ¿cuál es la confiabilidad estimada? Solución Para la primera pregunta horas

En el segundo caso tenemos,

Definiciones y terminología Probabilidad condicional

Ejemplo 2. Se ensaya la confiabilidad de doscientas unidades idénticas por 50 horas. Una de ellas falló justo antes de completar 12 horas de operación, dos fallaron antes de completar 20 horas de operación, y dos antes de completar las 50 horas. a) ¿Cuál es la confiabilidad estimada de estas unidades para una misión de 50 horas? b) ¿Cuál es la confiabilidad estimada al final de cada periodo de falla incluyendo las fallas previas? c) ¿Cuál es la confiabilidad estimada para cada periodo de falla si las unidades que fallaron no se reemplazan? Solución

b)

"

! !

a) %

%

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'

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&

"

c)

%

%(%

Definiciones y terminología Probabilidad condicional

% (

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! ! ) )

'

& ' '

'

' '

&

Ejemplo 3. La disponibilidad operacional de un sistema es de 90%, la confiabilidad de la misión de 95% y la adecuación del diseño es 98%. a) ¿Cuál es la efectividad del sistema? b) Si hubo % de tales sistemas en diferentes condiciones, ¿cuántos estarán disponibles al inicio de su misión? c) ¿Cuántos completarán su misión exitosamente? d) ¿Cuántos objetivos de la misión del sistema se pueden lograr? e) Si 200 de tales objetivos deben de ser alcanzados, ¿cuántos sistemas deberían de tenerse, al momento de tomar una decisión para tales misiones, después de que se ha seleccionado un tiempo transcurrido en donde se aplica el valor dado de ?

Solución

Definiciones y terminología Probabilidad condicional

a) Efectividad del sistema: ' '*' '* ' +,

b)

-

.

%

' sistemas.

c) NCM = Número de sistemas que completan su misión exitosamente. /0 /0 % 12

+

" sistemas.

d) NAC = Número de sistemas que logran efectivamente todos los objetivos diseñados. % '*' 3' sistemas. ! ! 5 ! 56

e) %* sistemas. 4 En otras palabras, se necesitan 239 sistemas para tener 200 objetivos alcanzados. +/

Nivel de confianza

Definiciones y terminología

El término “nivel de confianza” se encuentra estrechamente relacionado con los intervalos de confianza. En tal contexto, la confianza es la probabilidad de que el valor real de un parámetro, se encuentre dentro de ciertos límites establecidos. Al conjunto de valores que contienen tales límites, se le denomina intervalo de confianza. Así, los intervalos de confianza pueden ser: bilaterales y unilaterales. Estos últimos a su vez, podrían ser de tipo superior o inferior. Un intervalo de confianza bilateral, define un límite superior y un límite inferior. La probabilidad de que el valor de la variable aleatoria correspondiente se encuentre dentro de esos límites, es la confianza del intervalo, generalmente dada en porcentaje. En el proceso de estimación estadística, las ecuaciones que determinan los límites, varían según el parámetro o parámetros que se desee estimar, además de depender de la confianza deseada.

Intervalo de confianza bilateral Definiciones y terminología Nivel de confianza Nivel de confianza (1 - )

/2

/2

LI

LS

Intervalo de confianza unilateral superior Definiciones y terminología Nivel de confianza

Nivel de confianza (1 - )



LS

Intervalo de confianza unilateral superior Definiciones y terminología Nivel de confianza

Nivel de confianza (1 - )



LI

Desempeño sin fallas Una falla ocurre cuando un unidad o elemento deja de desempeñar su función requerida. Definiciones y terminología

El tiempo libre de fallas (tiempo de operación libre de fallas) es, por lo regular, una variable aleatoria. Además de la frecuencia de fallas, éstas se pueden clasificar de acuerdo a: modo, causa, efecto y mecanismo. 1. Modo: El modo de falla es el síntoma (efecto local) por medio del cual se observa la falla (quiebre, arrastre, agrietamiento, fatiga, etc.) 2. Causa: La causa de una falla puede ser intrínseca, debido a fragilidad y/o desgaste; o extrínseca, debido a mal uso o mal manejo durante el diseño, producción, o uso. Las causas extrínsecas a menudo llevan a fallas sistemáticas las cuales son determinísticas y se podrían considerar como defectos.

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

3. Efecto: El efecto o consecuencia de una falla, puede ser diferente si se trata de la unidad misma, o se trata de un nivel superior en el producto. Una clasificación usual es: falla no relevante, parcial, completa y falla crítica. Dado que una falla puede causar fallas adicionales, es importante distinguir entre fallas primarias y fallas secundarias. 4. Mecanismo: El mecanismo es el proceso físico, químico o de otra naturaleza, resultante en una falla. Por otro lado: las fallas se pueden clasificar también como repentinas y graduales. Las fallas repentinas totales, se denominan fallas catalépticas, las fallas graduales y parciales se conocen como fallas de degradación. Un paro es un estado de la unidad que se puede deber a un defecto o una falla.

Definiciones y terminología

Causas de falla de acuerdo a la curva de la bañera Ocurren fallas tempranas más fallas por causas aleatorias

Ocurren fallas debidas al desgaste más fallas por causas aleatorias

Desempeño sin fallas

6

Tasa de fallas/10 hr

Solamente ocurren fallas aleatorias

Periodo de vida temprana

Vida de operación Periodo de vida útil Vida hasta el inicio del periodo de desgaste

Periodo de vida de desgaste

Causas de falla temprana

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

1

Técnicas pobres de manufactura, incluyendo procesos manejo y prácticas de ensamble.

2

Control de calidad pobre.

3

Mano de obra no calificada.

4

Horneado insuficiente.

5

Cambios insuficientes.

6

Depuración insuficiente.

7

Partes no estándar.

8

Materiales no estándar.

9

Fallos en componentes de reemplazo (o sin inspección).

10

Partes que fallaron en almacenamiento o en tránsito debido a almacenaje, empaques y/o prácticas de transporte inadecuadas.

11

Partes que fallan cuando son energizadas por vez primera debido a cambios repentinos de potencia.

12

Contaminación.

13

Errores humanos.

14

Instalaciones inadecuadas.

15

Arranque inadecuados.

Causas aleatorias de falla

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

1

Interferencia o traslape del diseño entre resistencia o stress experimentado durante la operación.

2

Diseño insuficiente en factores de seguridad.

3

Ocurrencia de mayores cargas aleatorias que las esperadas.

4

Ocurrencia de menores resistencias aleatorias que las esperadas.

5

Defectos que escapan a las mejores técnicas de detección disponibles.

6

Errores humanos.

7

Mala aplicación.

8

Abuso.

9

Fallas que ni las mejores prácticas de depuración, ni de mantenimiento preventivo, pueden eliminar.

10

Causas inexplicables.

11

Fallas de actos de Dios debido a tormentas, relámpagos, terremotos, inundaciones, etc.

Causas de falla por desgaste

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

1

Edad.

2

Desgaste.

3

Degradación en la resistencia.

4

Fatiga.

5

Arrastre.

6

Corrosión.

7

Deterioro mecánico, eléctrico, químico o hidráulico.

8

Mal servicio, mantenimiento, reparación, reemplazo y malas prácticas de revisión.

9

Vida corta de diseño.

Efecto del stress y la resistencia sobre la confiabilidad Definiciones y terminología La falla determina la distribución de la resistencia

Desempeño sin fallas

Densidad de probabilidad

Inconfiabilidad La falla determina la distribución del stress

Stress = s

Resistencia = S

Efectos de la edad

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

78 7

7&

Distribución exponencial 7&

9 ): 9 ):

;

9 ):;

Distribución weibull

7&

9

)

9

)

;)< > =

)< > =

9

)

;)< > ) =

)< > =

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

Efecto del tiempo se misión

El periodo para el cual se determina la confiabilidad de un componente, conoce como tiempo de misión. Si se desea tener una confiabilidad muy alta, será necesario entonces hacer este tiempo de misión tan corto como sea posible. Sin embargo, si el equipo se tiene que operar por periodos muy largos de tiempo sin interrupción, disminuyendo su tasa de fallas, entonces, para lograr altas confiabilidades, se recomienda usarlo durante su vida útil o aplicar redundancia en paralelo (standby).

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

Efecto del tiempo se misión

El periodo para el cual se determina la confiabilidad de un componente, conoce como tiempo de misión. Si se desea tener una confiabilidad muy alta, será necesario entonces hacer este tiempo de misión tan corto como sea posible. Sin embargo, si el equipo se tiene que operar por periodos muy largos de tiempo sin interrupción, disminuyendo su tasa de fallas, entonces, para lograr altas confiabilidades, se recomienda usarlo durante su vida útil o aplicar redundancia en paralelo (standby).

Efecto del stress Definiciones y terminología

Stress muy alto

6

Tasa de fallas/10 hr

Desempeño sin fallas

Stress diseñado (regular)

Stress medio

Stress bajo

Edad, T

Definiciones y terminología Desempeño sin fallas

Matemáticamente, el efecto de los niveles de stress sobre la confiabilidad está dado por el factor de stress de aplicación, , y el factor de stress de operación . El stress de aplicación es aquel es el resultante de la relación de la potencia de entrada y de salida del componente o subsistema, o de las cargas internas. El stress de operación, por otra parte, proviene del medio ambiente externo al equipo y se encuentra asociado a cargas externas. Pueden consistir de vibraciones, aceleraciones, shocks, altitudes, humedad, entre otros. La ecuación a aplicar es ;?

Funciones estadísticas y analíticas básicas

Definiciones y terminología

Las cinco funciones más importantes en Ingeniería de Confiabilidad son: (1) La función de densidad de probabilidades de fallas. (2) La función de la tasa de fallas. (3) La función de confiabilidad. (4) La función de confiabilidad condicional. (5) La función de vida media. Dadas estas funciones, muchos de los problemas de Ingeniería de Confiabilidad pueden ser resueltos.

La función de distribución Funciones estadísticas

El trabajo de en un estudio de confiabilidad inicia con observaciones de tiempos de falla, ciclos de falla, revoluciones hasta la falla, etc. Estas observaciones se transforman a datos, los cuales deben ser analizados aplicando técnicas estadísticas básicas. Por ejemplo, en la tabla se presentan los tiempos de falla de 225 componentes de un producto.

Funciones estadísticas

433

441

440

446

446

445

444

433

442

436

438

440

444

435

447

441

431

433

432

439

434

437

438

436

439

428

427

440

436

428

442

431

427

434

441

437

432

436

442

442

439

434

440

447

437

435

430

434

435

432

445

430

431

435

432

444

441

437

451

437

433

438

435

446

442

437

436

427

440

430

436

427

438

427

433

439

435

431

429

434

437

440

429

433

430

433

435

432

453

432

444

434

440

436

440

437

445

440

442

426

437

439

435

437

437

440

432

441

430

430

435

440

427

432

432

441

441

428

430

432

435

434

430

435

440

434

439

440

451

437

438

438

432

439

433

431

447

428

430

431

435

429

445

442

428

437

435

440

441

435

436

441

436

444

446

435

436

439

436

433

435

431

431

435

433

443

436

443

436

445

432

448

428

445

442

444

438

443

439

431

438

429

430

436

432

435

446

431

443

434

439

431

437

433

435

439

443

436

439

448

454

449

430

440

444

428

430

438

445

433

429

440

434

434

443

437

436

435

442

442

434

438

437

441

440

Análisis descriptivo

Funciones estadísticas

Resumen para Tiempos de falla P rueba de normalidad de A nderson-Darling A -cuadrado V alor P

426

432

438

444

450

0.87 0.025

M edia Desv .E st. V arianza A simetría Kurtosis N

436.81 5.57 31.07 0.386954 -0.149527 225

M ínimo 1er cuartil M ediana 3er cuartil M áximo

426.00 433.00 436.00 440.00 454.00

Interv alo de confianza de 95% para la media 436.08

437.54

Interv alo de confianza de 95% para la mediana 435.00

437.00

Interv alo de confianza de 95% para la desv iación estándar Intervalos de confianza de 95%

5.10

Media

Mediana 435.0

435.6

436.2

436.8

437.4

6.14

Si los datos siguen una distribución normal, entonces la función de distribución de frecuencias es 7 Funciones estadísticas

FG

D

)E H A 9 B C

@

E

En donde w es la amplitud de clase utilizada en la construcción del histograma. La función de densidad de probabilidades correspondiente es 7

B

C

9

D FG )E H

E

Del mismo modo, la función de distribución de frecuencias por unidad de amplitud de clase es 7

@@

I

A

@

B

C

9

D FG )E H

E

La función de densidad de probabilidad normal estandarizada tiene una media de cero y una desviación estándar igual a 1, su fórmula es J K

%L

9

) ME

Funciones estadísticas

Existe una relación probada entre las ecuaciones anteriores la cual se conoce como ecuación de transformación o estandarización. Dicha relación permite transformar cualquier variable aleatoria con función de densidad normal con media distinta de cero y varianza distinta de uno, a una variable aleatoria normal estándar. Esto facilita el cálculo de probabilidades para cualquier variable aleatoria con distribución normal. La ecuación de estandarización es ) B

K

Utilizando esta ecuación se puede encontrar una relación interesante entre 7 y J K . Si T se encuentra dentro del intervalo [T1, T2], entonces z se encontrará dentro del intervalo [z1, z2] en donde K

7

N

7

&

K

7

N

7

Funciones estadísticas

Por lo que la probabilidad de que T se encuentre en el intervalo [T1, T2], será la misma de que z esté en el intervalo [z1, z2], es decir S

E

7 P7

D

ME

S J K PK MD

Derivando ambos términos de la ecuación anterior, se tiene O K PK 7 P7 Pero de la ecuación K

) B

se encuentra PK

Por tanto

7

Q M B

P7 N O K R

La función de densidad de probabilidades de fallas Se sabe que: Funciones estadísticas

T

; ;

; )

;

; ;

;

Derivando respecto a T, tenemos UV

U

W

UV

W

U

Sin embargo, en número instantáneo de fallas por unidad en el tiempo T es 7

UV

W

U

Así que la relación queda como 7

UV

U

W

De la ecuación anterior se desprende que S

Funciones estadísticas

D

!

7 P7

D

S

!

PV

7

7 W

Lo que lleva a, 7

S

D

!

Asimismo, 7

7 P7

Y)X D

S

D

7 P7

Con lo cual se llega a 7

UVZ U

X

W

7 P7

Funciones estadísticas

Cuando en un inicio se dispone de datos de los tiempos de falla para una unidad, se puede estimar la densidad de probabilidad de falla sobre un periodo de tiempo T1. Este estimado se aproxima a la densidad de probabilidad de falla real, conforme aumenta el tamaño de la muestra y el intervalo de tiempo se hace infinitesimalmente pequeño. Un estimado de la densidad promedio de fallas alrededor de 7 , 7 estaría dado por 7

T

D D)E[ D

D

) T D E[ D [ D

En la tabla se presenta la matriz de frecuencias organizada en 10 intervalos para los datos dados anteriormente. La amplitud de clase seleccionada fue de 3 (300 para los tiempos de falla reales), la columna Marca contiene los promedios o puntos centrales de cada intervalo y la frecuencia de clase es el número de fallas. Los cálculos para las tres últimas columnas se llevaron a cabo de la siguiente manera.

No. fallas

Límites reales Lím. inferior

Funciones estadísticas

Lím. superior Inferior

Superior

Marca

Dens. De prob

Tasa de fallas

Conf. Prom.

NF(DT)

426

428

425.5

428.5

427

14

0.02074

207

0.93778

429

431

428.5

431.5

430

28

0.04148

442

0.81333

432

434

431.5

434.5

433

37

0.05481

673

0.64889

435

437

434.5

437.5

436

52

0.07703

1187

0.41778

438

440

437.5

440.5

439

39

0.05777

1382

0.24444

441

443

440.5

443.5

442

26

0.03851

1575

0.12889

444

446

443.5

446.5

445

19

0.02814

2183

0.04444

447

449

446.5

449.5

448

6

0.00888

2000

0.01778

450

452

449.5

452.5

451

2

0.00296

1666

0.00889

453

455

452.5

455.5

454

2

0.00296

3333

0

[7 Funciones estadísticas

*&

%%

El estimado de la densidad de probabilidad promedio se encuentra aplicando la expresión dada anteriormente. Nótese \%" \% & 7 8 [7 \%" 8 [7 que 7 \%' , para el primer intervalo; por esto el numerador no es más que el número de fallas que ocurrieron en el primer intervalo [7 , así 7

[7 [7

%%

\

*

% "

Para el segundo intervalo 7

[7 [7

%%

%'

*

\ \

Y así sucesivamente para el resto de los intervalos.

La tasa promedio de fallas se calcula para un periodo de 106 horas.

Funciones estadísticas

En el primer intervalo ocurrieron 14 fallas, la tasa promedio de fallas es ^ ]7 \ 7 % " %% * [7 Para el segundo intervalo se observaron 28 fallas de un total de 225 – 14 =211 componentes buenos, por eso 7

]7 [7

%' %

*

^

\\%

En el tercer intervalo se tendrían solamente 211 – 28 = 183 componentes buenos y la tasa promedio de fallas es 7

]7 [7

*" '*

*

^

3"*

Los demás cálculos se hacen de manera semejante.

La última columna de la tabla contiene un estimado de la confiabilidad promedio. Funciones estadísticas

En el primer intervalo, el número de componentes buenos que alcanzaron el final del periodo es 225 – 14 = 211, y el número de componentes buenos al inicio del periodo es 225, por eso la confiabilidad estimada de este intervalo es 7

7 7

% %%

*""

Para el segundo intervalo, el número de productos buenos que alcanzaron el final del periodo es 211 – 28 =183, la confiabilidad es por tanto 7 '* 7 ' ** %% 7 Los demás valores se calculan de igual manera.

Funciones estadísticas

La figura muestra los puntos de los estimados de la densidad de probabilidad promedio y la correspondiente función de densidad de probabilidades normal con media 436.8089 y desviación estándar 5.574488. 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 415

420

425

430

435

440

445

450

455

460

Se puede hacer el mismo análisis con las frecuencias acumuladas y las probabilidades acumuladas de la distribución normal. La tabla contiene los resultados de los cálculos. Funciones estadísticas No. fallas Frec. Rel. acumulada

z

NF(DT)

No. fallas acum.

Prob. Acum. normal

No. esperado de fallas

425.5

0

0

0

-2.02869

0.02125

4.780152

428.5

14

14

0.06222

-1.49052

0.06804

15.30984

431.5

28

42

0.18667

-0.95235

0.17046

38.35319

434.5

37

79

0.35111

-0.41419

0.33937

76.35781

437.5

52

131

0.58222

0.123977

0.54933

123.6

440.5

39

170

0.75556

0.662143

0.74606

167.8636

443.5

26

196

0.87111

1.200309

0.88499

199.1228

446.5

19

215

0.95556

1.738475

0.95894

215.7607

449.5

6

221

0.98222

2.276641

0.9886

222.4341

452.5

2

223

0.99111

2.814807

0.99756

224.4509

455.5

2

225

1

3.352973

0.9996

224.9101

Límite superior

Los resultados de la tabla se obtuvieron como sigue:

Funciones estadísticas

Los valores de las dos primeras columnas fueron tomadas de la tabla anterior. La tercera columna contiene el número acumulado de fallas (frecuencia acumulada), en la columna cuatro se determina la frecuencia relativa acumulada, la cual es igual al valor correspondiente de la columna anterior dividido entre el total (225). El valor de z se calcula aplicando la fórmula "\\' , así estandarización con 7 \*3 ' ' y N _

Para el primer límite superior: K probabilidad normal acumulada es S

^ ) ! 5

)X

%L

E

`

^ `)_6 5!5a ` `b__5

9 )M PK

% %'3 . La

% %

Que también puede calcularse directamente en Excel con el comando DISTR.NORM.ESTAND(-2.02869). Finalmente, el número esperado de fallas es igual a 225(0.02125).

Frecuencias acumulativas y probabilidades normales acumuladas Funciones estadísticas

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 420

425

430

435

440

445

450

455

460

Función de tasa de fallas

Funciones estadísticas

La segunda función más importante en Ingeniería de Confiabilidad es la función de tasas de falla, λ(T), la cual proporciona la relación entre la edad de una unidad y la frecuencia de fallas, o número de fallas por unidad de tiempo a una edad T. Con la función de tasas de falla se puede determinar la curva de la bañera de confiabilidad (RBTC), la función de confiabilidad y la función de densidad de confiabilidad. Para cualquier edad T, el estimado de la tasa promedio de fallas, 7 , para una muestra homogénea de partes idénticas que se someten a una prueba de confiabilidad, o cuyo desempeño se monitorea mientras se encuentra en la misma aplicación o ambiente de operación, está dado por 7

d

c

[

Donde:

Funciones estadísticas

7 número de unidades que fallan en el incremento de edad [7, o en el periodo de tiempo de la edad T a la edad T+T, 7 Número de unidades involucradas en el ensayo al inicio del incremento de edad T o a la edad T. e

T = incremento de edad en el cual fallan

[7 unidades.

Si e 7 - f y [7 - , 7 - 7 , que es la tasa real de fallas a la edad T. La tabla ilustra el cálculo de la tasa de fallas para los datos de los tiempos de falla. En

la

ecuación,

d

es

la

probabilidad

de

fallas,

consecuentemente al dividir por T, también da la probabilidad de fallas por periodo de tiempo T.

Funciones estadísticas

Por otro lado, el denominador de la ecuación representa al número máximo de horas de operación acumuladas de todas las unidades en el intervalo de edad T; sin embargo, las unidades que fallan no operan en el periodo completo T. Un refinamiento de la fórmula podría ser 7

d

)

c

c

D V E

Wc

La cual toma en cuenta el hecho de que no todas unidades 7 e 7 operan para el periodo completo T , debido a que de ellas fallaron algún tiempo antes de que consumara el periodo de operación T. Consecuentemente, la ecuación da un estimado más preciso; sin embargo, conforme T disminuye y e 7 aumenta, ambas ecuaciones dan resultados semejantes.

Si en la ecuación Funciones estadísticas

7

e

7

]7

[7

hacemos que ]7 - obtenemos la tasa instantánea de fallas, también llamada tasa de peligro o fuerza de mortalidad, 7 7

d

UV

W

U

La cual se puede escribir como 7

e

7

re arreglando términos 7

e

7 g

PV

P7

PV

7 W

P7

7 W

Si tomamos en cuenta las identidades Funciones estadísticas

T

y reconociendo que

e

; ;

y

7

7

UV

U

W

7 , se obtendrá 7

I

La ecuación anterior da la función de la tasa de fallas instantánea.

Función de densidad de probabilidades, confiabilidad y tasa de fallas para los datos Funciones estadísticas

7

O K gN

^

7

X

S

P

7

7 g

7

z -3.5

1.5654938

0.999767

1.56586

-3

7.9502335

0.99865

7.96098

-2.5

31.443783

0.99379

31.6403

-2

96.853671

0.97725

99.1084

-1.5

232.33988

0.933193

248.973

-1

434.06804

0.841345

515.922

-0.5

631.56527

0.691462

913.376

0

715.65721

0.5

1431.31

0.5

631.56527

0.308538

2046.96

1

434.06804

0.158655

2735.92

1.5

232.33988

0.066807

3477.77

2

96.853671

0.02275

4257.28

2.5

31.443783

0.00621

5063.68

3

7.9502335

0.00135

5889.51

3.5

1.5654938

0.000233

6729.57

Función de densidad de los tiempos de falla

Funciones estadísticas

800

700

600

500

400

300

200

100

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Función de confiabilidad

Funciones estadísticas

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Función de la tasa de fallas

8000

Funciones estadísticas

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Construcción y usos de las curvas de la bañera de confiabilidad (RBTC) Existen varios tipos de RBTC’s: Funciones estadísticas

1. Las que están limitadas a solo un periodo de vida; por ejemplo, vida temprana, vida útil o vida de desgaste solamente. 2. Las que cubren dos o más periodos de vida; vida temprana y útil, vida útil y vida de desgaste, o vida temprana, útil y de desgaste. 3. Las limitadas a una población en decaimiento (no reemplazables). 4. Aquellas que cubren una población no decadente, ni sostenida; es decir, en la que las unidades que fallan se reemplazan por nuevas. 5. Las que cubren una población no decadente y mantenida; es decir, aquella en la que las unidades que fallan están sujetas solamente a mantenimiento correctivo. 6. Las que cubren una población no decadente y completamente sostenida; es decir, en la que las unidades que fallan están sujetas tanto a mantenimiento correctivo como preventivo. Las acciones de mantenimiento preventivo pueden ser el resultado de una variedad de políticas de mantenimiento.

Estas curvas se construyen aplicando los pasos siguientes:

Funciones estadísticas

1. Divida el periodo de vida del producto en pequeños incrementos de edad, T, para tener una tasa promedio de fallas representativa. 2. Calcule la tasa promedio estimada de fallas, 7 & para cada incremento (ecuación 23). 3. Diagrame 7 vs T y obtenga la curva. La curva de la bañera de confiabilidad da la historia completa de un producto, además de ser útil para los propósitos siguientes: • Para establecer el efecto de diferentes aplicaciones y niveles de stress de operación, sobre la tasa de fallas y sobre la confiabilidad. Inversamente, si la curva se determina de pruebas de confiabilidad o datos de desempeño, entonces se pueden identificar las aplicaciones más frecuentes y los niveles de stress. • Para determinar el periodo de calentamiento, funcionamiento, de rompimiento o depuración.

de

Funciones estadísticas

• Para determinar la efectividad de los departamentos de inspección y control de calidad y su efectos sobre los niveles de calidad promedio de las partes entrantes, componentes y subsistemas sobre la curva RBTC, y consecuentemente sobre la confiabilidad del producto o sistema. • El efecto del nivel de calidad promedio de salida de las partes, componentes y subsistemas sobre la curva RBTC y la confiabilidad del producto. • El efecto del diseño de las partes, componentes y del producto sobre la curva RBTC y la confiabilidad. • Para identificar el inicio del periodo de desgaste y determinar el plan óptimo de mantenimiento preventivo de cada parte, o grupo de partes. • Para determinar el efecto de las prácticas de mantenimiento preventivo sobre la curva RBTC y sobre la confiabilidad. • Para identificar en número de partes de repuesto necesarias para un producto en particular para un periodo de tiempo determinado.

Una manera de calcular el número de partes de refacción necesarias, es aplicando la siguiente expresión 7 Funciones estadísticas

7

Y

E

D

7 P7

Donde 7 7 número esperado de partes de refacción, o número esperado de fallas por unidad de producto para el periodo de vida (T2 – T1), 7 función de tasa de fallas para el periodo de vida (T2 – T1) de esa parte. Si el número total de productos o partes idénticas en uso en el periodo de vida (T2 – T1), es NT, entonces el número total de partes de refacción, NFT, estará dado por 7

7

7

7

Funciones estadísticas

Cuando NT varía con el tiempo, el cálculo se hará con la fórmula 7

7

S

D

E

7

7 P7

Si NT y λ(T) son esencialmente constantes, el número esperado de partes de repuesto está dado por 7

7

7

7

Función de confiabilidad

Funciones estadísticas

La tercera función más importante en Ingeniería de Confiabilidad es la función de confiabilidad, 7 , la cual establece la relación entre la edad de una unidad y la probabilidad de que sobreviva hasta esa edad, cuando inició su misión a una edad de cero. Ya se han dado las ecuaciones

7

S

!

D

7 P7

S

X

D

7 P7

como relaciones importantes para la confiabilidad.

Funciones estadísticas

Para encontrar otra relación entre la confiabilidad y la tasas promedio de fallas por unidad y por unidad de tiempo, razonemos de la siguiente manera: el número de fallas que ocurren en el intervalo de tiempo t, justo después de la edad T, está dado por el número de sobrevivientes al tiempo T, menos el número de sobrevivientes al tiempo T + T, o ]7

7

7 8 ]7

el número de sobrevivientes al tiempo T está dado por e

7

7

Por consiguiente, la tasa de fallas al instante de tiempo T es 7

hij

c -!

e

[7 7 [7

V

hij

[ -!

7

UV

U

W

7 8 [7 [7

7 W

7

Separando variables e integrando S Funciones estadísticas

!

7 P7

PV

S

7 W 7

kl

7

kl

7

Por lo que 9 ) Ym

7

:

U

La ecuación da una relación muy importante entre la función de confiabilidad y la función de tasa de fallas, se denomina generalmente como función de confiabilidad generalizada. Por ejemplo, si los tiempos de falla de una unidad están dados por la distribución exponencial, entonces 7

9 ) Ym

:U

9 ):

Del mismo modo para una distribución weibull, tenemos 7

9

n ) Ym =

)< >FD U =

9

)

)< > =

Función de confiabilidad condicional

Funciones estadísticas

Si una unidad ya ha acumulado T horas de operación y se desea su confiabilidad para una nueva misión de t horas, entonces estamos hablando de una confiabilidad condicional. La probabilidad de que sobrevivencia durante T + t horas de operación, 7 8 , es igual a la probabilidad de sobrevivencia por T horas, 7 , multiplicada por la probabilidad de sobrevivencia por t horas, 7& ; es decir, 7 78 Despejando

7

7&

7& ;

7& Para la distribución exponencial 7&

9 ): 9 ):

;

9 ):;

Funciones estadísticas

El resultado indica que la confiabilidad para una nueva misión es independiente de la edad T, dependiendo solo de la tasa promedio de fallas y de la duración de la nueva misión. Para el caso de una distribución Weibull, se tiene 7&

9

)

;)< > ) =

)< > =

o pq

La inconfiabilidad condicional es 7&

Y

;

7 P7

7

Esta es la probabilidad a posteriori de falla durante este periodo nuevo de misión t. Esto supone que todas las unidades son verificadas antes de que inicie la misión.

Desglosando la probabilidad a priori del numerador

Funciones estadísticas

7&

Z

; )Z

7&

Y!

7 P7

7

;

Y!

7 P

Tiene lugar la siguiente relación 7&

7&

La función de confiabilidad condicional se puede usar para encontrar el número de unidades necesarias al inicio de una nueva misión, 7 , para alcanzar un número deseado de unidades al final de la misión, 7 8 ; así como para determinar el número de unidades al inicio en la edad cero, , para terminar con 78 unidades. Del mismo modo se puede usar para encontrar la confiabilidad de misiones sucesivas, o periodos de operación, para alcanzar una confiabilidad meta determinada.

De la ecuación

;

7& 7&

Funciones estadísticas

T

de donde

7

!

T

;

!

T

También, por definición,

T

&;

;

78

78 Por lo que, r

O también

78 78 T

;

&;

T

;

El número de unidades que fallan durante la nueva misión está dada por 7& s 7& donde Funciones estadísticas

N = número de unidades que inician la nieva misión. M = número de misiones nuevas por cada unidad. Ejemplo La distribución de tiempos de falla de unidades idénticas sigue una distribución normal con media 7 \*&3" horas y desviación estándar N 3% horas. 1. Encontrar el número de unidades que deben iniciar la nueva misión de 300 horas de duración, para terminar con 100 unidades al final de la misión. Se sabe que cada unidad ya tiene acumuladas 42,850 horas de operación. 2. Encontrar el número de unidades que deben arrancar desde cero para terminar con 100 unidades al final de la nueva misión.

Solución Funciones estadísticas

7

Para el primer inciso se aplica la ecuación con 7 \%&' o * o 78 se aplica la ecuación para calcular

7 Por eso, S

X

! _6& `

7 P7

'%3"

.

X ! ! &5` 6! X Y_ &5`!

Pero, 3% %L &

9

7 P7

7 P7

a )_6&^b E `^

)

S

&;

;

. Así que primeramente

Y_

78 7

7&

7&

T

X

! _ &5`

7 P7

%

Funciones estadísticas

Así que, '%3" %

7&

''

*

Por lo que el número de unidades necesarias es 7

%

''

En el segundo inciso, aplicamos la ecuación

'%3"

%

r

T

; ;

Función de vida media

Funciones estadísticas

La vida media es el promedio o tiempo esperado de falla de unidades idénticas operando en aplicaciones y ambientes de operación idénticas. Está dada por 7 Y Si v

7

t

X

Y< 7 7 P7o

f u v u f&

7 w , para 7 w v, 0 de otra manera. ,

X

7

S 7 7 P7 !

En donde T se puede escribir como 7

S P !

fu7uf

Por eso,

X

7 Funciones estadísticas

S S !

7 P7P

!

Intercambiando integrales 7

X

X

X

7 P7P

Y! Y?

Y!

Puesto que S

X

7 P7

?

Si v x

P

entonces 7

S

<

!

P 8S

X

<

P

<

S P 8S !

X

<

P

Ya que en el intervalo & v & porque el equipo no se encuentra funcionando durante este periodo de tiempo.

Finalmente, Funciones estadísticas

7

X

v 8 Y<

P

La vida media también se denomina tiempo medio entre fallas, m, MTBF, o tiempo medio para la falla, MTTF. Se aplica para unidades que son reparables que se pueden reutilizar después de la falla y de la reparación. Consecuentemente, dicha media significa que para una secuencia relativamente grande de fallas seguidas de sus correspondientes reparaciones, las cuales regresan a la unidad a la misma distribución del tiempo de fallas de su inicio, ocurrirá una falla cada m horas de operación en promedio. Si al reparar una unidad no es posible lograr la misma distribución del tiempo de fallas, será necesario identificar las diferentes distribuciones para cada periodo de falla.