Fundamentos de Hidrologia de Superficie - Aparicio

I CONTENIDO: -

Introduccion

-

La cuenca hidroloqica

-

Escurrirniento

-

Evaporacion y transpiracion

-

~Imacenamiento

-

Precipitacion

-

Infi ltracion

-

Relaciones Iluvia-escurrimiento

-

Probabilidad

FUNDAMENTOS DE HIDROLOGIA DE SUPERFICIE Francisco Javier Aparicio Mijares

y transite en vasos y cauces

y estadtstica en hidroloqfa

- Apendices

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LlMUSA

GRUPO NORIEGA EDITORES Mexico • Espana •Venezuela • Argentina Colombia • Puerto Rico

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A CARMEN, ANDREA Y JULIO

La prosentecion y disposici6n en conjunto de FUNDAMENTOS DE HIDROLOGiA DE SUPERFICIE son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obre puede ser reproducida 0 transmitida, mediante ningun sistema o metodo, electr6nico0 mecemco (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, la grabaci6n 0 cua/quiersistema de recuperaci611y almacenamiento de informaci6n), sin consentimiento por escrito de! editor. Derechos reservados: © 1992, EDITORIALLlMUSA, SA de C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES Balderas 95, C.P. 06040, Mexico, D.F. Telefono 521-50-98 Fax 512-29-03 Miembro de la Camara Nacional de la IndwWia Editorial Mexicana.Registro nurnero 121 Primera edlclon: 1989 Primera relmpresion: 1992 Impreso en Mexico (10692)

ISBN 968-18-3014-8

Pr61ogo

El presente texto es resultado de la imparticion, durante cinco afios, del curso de hidrologia en la Universidad Nacional Autonoma de Mexico. Responde ala necesidad existente de un texto a nivel basico sobre hi.~rQl_Qg£~_~~~tlperfi: ~ie escrito en espafiol y adaptado a las particulares condiciones de Mexico e Hispanoamerica. El texto esta escrito a nivel basico, de manera que sea accesible tanto a estudiantes como a profesionales interesados en la hidrologia. Por ello, se han evitado deliberadamente los planteamientos teoricos y complejos y se ha pro curado no perder de vista los aspectos globales de los problemas hidrologicos practices. El contenido de la obra es igual al que se imparte en el curso se mestral a nivel profesional en carreras tales como ingeniero civil, ingeniero agronomo 0 ingeniero hidrologo. Es util como introduccion a cursos de pos grado y como obra de consulta para profesionales de ingenieria y geografia. A pesar del caracter fundamental dellibro, se han incluido ciertos temas que usualmente no se imparten a nivel profesional, como el de nociones de hidrometeorologia (apartado 6.1) y elementos de una teoria de la infiltracion (apartado 7.3), que es necesario impulsar en nuestro medio. Ellibro supone un conocimiento previo en matematicas elementales y fun damentos de estadfstica. En este ultimo aspecto, sin embargo, es cormin que los cursos basicos de estadfstica en ingenieria tengan un enfoque ligeramente diferente al de la hidrologia; en este sentido, la obra incluye los conceptos fundamentales de probabilidad y estadfstica orientados a la hidrologfa, en el apartado 9.1, y los de regresion y correlacion, en el apendice B. El orden de los temas acaso parezca extrafio a los profesores de hidrolo gfa que acostumbran impartir su curso describiendo en primer lugar cada uno de los componentes del ciclo hidrologico por separado, y posteriormente sus relaciones y aplicaciones a problemas practices. Mi experiencia docente me indica que esa manera de impartir el curso resulta tediosa para los estudilll1!es

, 8

Prologo

acosturnbrados a imaginar obras y buscar aplicaciones casi inmediatas de los cursos teoricos. Por ello se ha elaborado la obra tomando el capitulo cinco (al macenamiento y transite en vasos y cauces), que es el de mayor interes practice, como centro de atencion y rodeandolo del resto de los temas. Elor den adoptado, ademas, permite que los estudiantes desarrollen todo un pro yecto hidrologico a 10 largo del curso: Elaborar un libra como el presente es, en mi opinion, una de las tareas mas agradables a las que puede someterse cualquier profesor, no solo por el valor intrfnseco que pueda tener, sino tambien por la satisfaccion de encon trar gente dispuesta a colaborar desinteresadamente. Como es cormin en estos casos, resulta imposible mencionar a cada una de las personas que de alguna manera participaron en la elaboracion del trabajo; no obstante, merecen espe cial reconocimiento el maestro en ingenierfa Ram6n Dominguez Mora, quien hizo varias revisiones crfticas de los manuscritos y valiosos comentarios que mejoraron el texto; el Ing. Pablo Hernandez Delgadillo, que dibujo todas las figuras; el Ing. Abraham Bernal Ortiz, que colaboro en la mayor parte del capitulo uno; el Dr. Polioptro Martinez, que revise parte del original; las Sri tas. Eugenia Aparicio y Ma. de Jesus Palafox asf como la Sra. Consuelo Dfaz C., por haber tenido la paciencia de interpretar mi caligraffa para mecanogra fiar las varias versionesdel texto, y en general al personal de la seccion edito rial de la Facultad de Ingenierfa de la UNAM, donde se publicaron las primeras versiones del libra como notas de clase. Finalmente, se agradeceran todos los comentarios respecto a la obra, ya que serviran para mejorarIa en futuras ediciones. Francisco Javier Aparicio Mijares Cuernavaca, Mor., septiembre de 1987

Contenido

7

PROLOGO

13 1 INTRODUCCION 1.1 1.2 1.3

Definicion Y objetivo de la hidrologfa Breve resefia historica El ciclo hidrologico Bibliografia

19

2 LA CUENCA HIDROLOGICA 2. 1 2.2

Concepto de cuenca Caracteristicas de la cuenca y los cauces Bibliografia

19 19

26 21

3 ESCURRIMIENTO 3.1 3.2 3.3

13 16 17 18

Fuentes de los diferentes tipos de escurrimiento Hidrogramas y su analisis Aforo 3.3.1 Secci6n de control 3.3.2 Relaci6n secci6n-pendiente 3.3.3 Relaci6n seccion-velocidad 3.3.4 Otros metodos 9

27

29

'14

35 37

39 42

r 10

Contenido

3.3.5 Curvas elevaciones-gastos 3.3.6 Condiciones que debe reunir una estacion hidro rnetrica Bibliograffa 4 EVAPORACION Y TRANSPIRACION 4.1

Evaporacion

4.2

4.1.1 Formulas empfricas 4.1.2 Balance de energfa 4.1.3 Balance de agua 4.1.4 Medicion de la evaporacion Evapotranspiracion 0 uso consuntivo 4.2.1 Metodo de Thorntwaite 4.2.2 Metodo de Blaney-Criddle 4.2.3 Extracciones de un almacenamiento para riego Bibliograffa

5 ALMACENAMIENTO Y TRANSITO EN VASOS Y CAUCES 5.1 5.2 5.3

5.4 5.5

45 46

47 49 49 54 55 56 56 57 59 67 69

Tipos de almacenamientos y sus caracterfsticas Estimacion del volumen util y el NAMa

69

Funcionamiento de vasos 5.3. 1 Entradas al vaso 5.3.2 Salidas del vaso 5.3.3 Procedimiento de calculo 5.3.4 Entradas 5.3.5 Salidas Transite de avenidas en vasos 5.4.1 Metodo semigrafico 5.4.2 Metodo numerico Transite de avenidas en cauces 5.5.1 Metodo de Muskingum

78 79

Bibliograffa

6 PRECIPITACION 6.1

43

47

Nociones de hidrometeorologfa 6.1.1 Definiciones

6.2 6.3

111

113 113 113

116 120 126 134 140 140 148 151

Bibliograffa

7 INFILTRACION

177

7.1

7.2

82

103

6.1.2 Contenido de vapor de la atmosfera. Agua preci pitable 6.1.3 Vientos 6.1.4 Modelos de lluvia Medicion de la precipitacion Analisis de los datos de precipitacion 6.3.1 Lluvia media 6.3.2 Curva masa media 6.3.3 Deduccion de datos faltantes 6.3.4 Ajuste de registros de precipitacion por cambios en las condiciones de medici6n 6.3.5 Curvas altura de precipitacion-area-duracion (hp-A-d) 6.3.6 Trasposicion de tormentas 6.3.7 Curvas intensidad-duracion-periodode retorno (i-d-T) 6.3.8 Comentario final

152 153 161 165 176 176

72

83 84 86 90 93 99 102

11

Contenido

7.3 7.4 7.5

Definicion y descripcion del proceso de infiltracion 7.1.1 Conceptos generales 7.1.2 Descripcion del proceso de infiltracion 7.1.3 Factores que afectan la capacidad de infiltracion Metodos empfricos 7.2.1 Criterio de la capacidad de infiltracion media 7.2.2 Criterio del coeficiente de escurrimiento 7.2.3 Criterio del United States Soil Conservation Service (USSCS) 7.2.4 Criterio del fndice de precipitacion antecedente 7.2.5 Metodo de los numeros de escurrimiento 7.2.6 Otros metodos Elementos de una teorfa de la infiltracion El concepto del potencial en el frente lnimedo Medicion de la infiltracion Bibliograffa

8 RELACIONES LLUVIA-ESCURRIMIENTO 8.1 8.2

Metodos de envolventes La formula racional

177 177 178 179 179 180 182 183 186 187 191

193

198 200 201

203 204 206

12 Contenido

8.3

Hidrograma unitario 8.3.1 Hidrograma unitario tradicional 8.3.2 Curva S 8.3.3 Metodos matriciales. Hidrograma unitario instaritaneo

8.3.4 Hidrogramas unitarios sinteticos Bibliograffa 9 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 9.1

Conceptos fundamentales de probabilidad y estadfstica 9. 1. 1 Probabilidad y sus axiomas 9.1.2 Funciones de probabilidad 9.1.3 Periodo de retorno 9.2 Funciones de distribucion de probabilidad usadas en hi drologfa 9.2.1 Distribucion normal 9.2.2 Distribucion lognormal 9.2.3 Distribucion Pearson III 0 Gamma de tres parametres 9.2.4 Distribucion Gumbel 9.3 9.2.5 Funciones de distribucion para dos poblaciones Lfmites de aplicabilidad y seleccion de la funcion de distri bucion de probabilidad 9.3.1 An

(2.4)

Q)

w

.l

-,----------I-----L

~---

----_1

donde Ax es la longitud del tramo i (vease figura 2.4 c) y recorrido en ese tramo. De 2.3 y 2.4 se obtiene:

t;

es el tiempo de

Distancia, km.

Figura 2.4a

Pendiente cauce

principal.

t.

=

I

i

Ax k~

-

(2.5)

24

La cuenca hidrologica

25

Caracteristicas de La cuenca y los cauces

Criterio de Taylor y Schwarz

m

S=

E c en

E

1

Js;

+

'"

+

1

$m

1

(2.9)

Mediante un razonamiento semejante se puede obtener la siguiente formula para el caso en que las longitudes de los tramos no sean iguales:

Perfil del cauce

c

+

'0

'u co > OJ

LU

(2.10) Distancia, km.

Figura 2.4c Pendiente del cauce principal.

donde Ii es la longitud del tramo i. Las corrientes se clasifican de varias maneras, pero las mas interesantes en la ingenieria hidrologica son tal vez las siguientes:

Por otra parte, la velocidad media de recorrido en todo el cauce dividido en m tramos es: L

V=-=k.jS

(2.6)

T

donde L es la longitud total del cauce, T es el tiempo total de recorrido y S es la pendiente media buscada. EI tiempo Tseni naturalmente (ecuacion 2.5):

E

m

i

=

i = I

I

Lll

k _JSi

(2.7)

y la longitud L: m

E

L i

=

Lll=mLll

I

Finalmente, usando las ecuaciones2.6,2.7 Y2.8 YdespejandoS se obtiene:

(2.8)

a) Por el tiempo en que transportan agua. Segun esta clasificacion las co rrientes pueden ser perennes, intermitentes0 efimeras (veasefigura 2.5). En una corriente perenne el punto mas bajo del cauce se encuentra siempre abajo del nivel de aguas freaticas. Estas corrientes transportan agua durante todo el afio y siempre estan alimentadas, totalmente 0 en parte, por el agua subterranea, es decir, son efluentes. Una corriente in termitente transporta agua durante la epoca de lluvias de cada afio, cuan do el nivel freatico asciende hasta quedar por encima del punto A (figura 2.5 b). En epoca de secas el nivel freatico queda por abajo de dicho punto y la corriente no transporta agua, salvo cuando se presenta alguna tor menta. En el caso de las corrientes efimeras 0 influentes el nivel freatico esta siempre abajo del punto A (figura 2.5c) y transportan agua inmedia tamente despues de una torrnenta, y, en este caso, alimentan a los alma cenamientos de agua subterranea. b) Por su posicion topografica 0 edad geologica. De acuerdo con esta clasificacion los rios pueden ser de montana 0 juveniles, de transicion o maduros, 0 bien de planicie 0 viejos (vease figura 2.6).

26

La cuenca hidrologica

A a)

3

Escurrimiento

- -----;----A

Corriente perenne.

b)

N.A.F.

Corriente intermitente.

c)

Corriente efimera.

Figura 2.5 Clasificaci6n de corrientes (por el tiempo en que transportan agua).

En un mismo cauce se pueden encontrar los tres tipos de rfos. Los nos de montana, caracterfsticos de cotas elevadas sobre el nivel del mar tienen grandes pendientes y pocas curvas y, debido a las altas velocidades que alcan za el agua, sus cauces estan generalmente formados por cantos rodados con un poco de grava y casi nada de finos. Los rios de planicie, por el contrario, presentan numerosos meandros debido a las bajas velocidades del agua y su cauce se forma por arenas y finos. En general, estos rfos se encuentran en cotas cercanas al nivel del mar. Los rfos de transicion estan en una situacion intermedia entre los dos anteriores: presentan algunas curvas, con velocida des de agua moderadas y sus cauces estan formados basicamente por grava, con algo de cantos rodados y arena.

Montana c '0 '0

Transici6n

---I

Planicie

-1-

3.1 FUENTES DE LOS DIFEREl'/TES TIPOS DEESCURRIMIENTO

...

co

> 46 em 23 em > H < 46 em t .

Q

=

1.49

H2 48

2g

=

Z2

v/

+ Y2 + ---

2g

+

hf

los extremos

(3.10)

De las ecuaciones 3.9 y 3.10 se obtiene:

b) Vertedor triangular. (ex:

Figura 3.

Vertedores de pared delgada.

(3.11)

38

Escurrimiento

39

Aforo

(3.15)

despejando Q:

(3.16)

Con la ecuacion 3.16 es posible estimar el gasto de pico de una avenida si se conocen las marcas del nivel maximo del agua en las margenes, la rugosi dad del tramo y la topograffa del mismo.

Figura 3.11

3.3.3 Relaci6n secekin-velocidad donde .1Y = ( ZI + YI ) - .( Z2 + Y2 ) = diferencia en elevaci6n de las marcas del nivel maximo del agua en los extremos del tramo. Para tomar en cuenta las perdidas locales conviene escribir la ecuaci6n 3.11 en la forma: (3.12) donde b I

=

2 si A

I

> A2 y b = 4 si A2 > A

Este es el metodo mas usado en Mexico para aforar corrientes. Consiste basi carnente en medir la velocidad en varios puntos de la secci6n transversal y despues calcular el gasto por medio de la' ecuaci6n de continuidad 3.9. La velocidad del flujo en uria seccion transversal de una corriente tiene una distribuci6n como la que se muestra en la figura 3.12. Para deterrninar el gasto no es suficiente entonces medir la velocidad en un solo punto, sino que es necesario dividir la seccion transversal del cauce en varias .subsecciones llamadas 'dovelas, El gasto que pasa por cada dovela es: (3.17)

Utilizando las ecuaciones 3.8 y 3.9 se puede escribir: Q

=~

_ donde K"

n

R2/3 S,,112 -

.

&w

= ---

n

-"

K S 112 f

(3.13)

.. .. . es el coeficiente de conduccion media en el (ramo que

puede calcularse como el promedio geometrico de los coeficientes de conduc ci6n en los extremos del rnismo:

donde a, es el area de la dovela i Y Vmi es la velocidad media en la misma dovela. Velocidad maxima

(3.14) U~ilizandolas ecuaciones 3.12 y 3.13 Ytomando en cuenta que hf == SfL, se obtiene: . .

Uneas de igual velocidad.

DOVELA "i"

38

Figura 3.12

Escurrimiento

Aforo

39

40

Escurrimiento

41

Aforo

La veloeidad media VI/Ii se puede tomar como la medida a una profundidad de 0.6 Yi aproximadamenre, donde .vi es el tirante medido al eentro de la do vela (vease figura 3.12) euando Yi no es muy grande; en caso contrario, convie ne tomar al menos dos medidas a profundidades de 0.2 .vi y 0.8 Yi; asf la vclocidad media es: Villi

==

(3.18)

2

donde v20 Y I'HO son las veloeidades medidas a 0.2 .vi y 0.8 .vi respectivamen tc. Cuando v, es muy grande. puede ser necesario tomar tres 0 mas lecturas de velocidad en la dovela. Es recomendable, adernas, medir la profundidad de eada dovela eada vez que se haga un aforo. Entonces, el gasto total sera: Figura 3.14 II

i

(3.19) =

I

donde n es el. mimero de dovelas. La velocidad se mide con unos aparatos Ilamados molinetes (vease figura 3.13) que tienen una helice 0 rueda de aspas 0 copas que gira impulsada por la corriente y, mediante un meeanismo electrico, transmiten por un cable el rnimero de revolueiones por rninuto 0 por segundo con que gira la helice. Esta veloeidad angular se traduce despues a veloeidad del agua usando una formu la de calibracion que previamente se determina para cada aparato en particular.

Molinete

Para que el molinete pueda colocarse a la profundidad deseada se fij~ a un peso hecho de plomo y con forma hidrodin~mica, llarnado escandallo (vea se figura 3.13). La posicion que adopta el molinete con el esca~~~llose mues Figura 3.13

40

Escurrimiento

tra en la figura 3.14. La profundidad a la que se hace la medicion se calcula usando la formula (vease figura 3.14): be = (I - K) de

(3.20)

donde K es un coeficiente de correccion que se calcula en funcion del angulo e (vease figura 3.14) mediante la tabla 3.2.. . .. . Al hacer mediciones con cste metodo conviene segutr los siguientes pasos (referencia 3.5): Medir la distancia abo _ Sumergir el escandallo hasta que toque el fondo del no y medir ae. e) Calcular ad como ab sec e. _ d) Restar ad de ae para obtener de. e) Multiplicar de por (l-K) (ecuacion 3.20) para obtener be.

a) b)

EI punto a donde se coloca el operador para ~acer el aforo puede estar situado en un puente 0 en una canastilla suspendida de un cable. En algunos casos se aceptan aforos hechos desde un bote, ~unque este metoda no es muy recomendable debido a que se perturba el flujo y el b?,te es arrastrado por la corriente , impidiendo que el aforo se ~a~a en una seccion transversal a la direccion del flujo. Por otra parte. las medicJones desde puen-

Aforo

41

4 6 8 42

Escurrimiento Tabla 3.2 8°

K

10

12 14 16 18 20 22 24

0.0006 0.0016 0.0032 0.0050 0.0072 0.0098 0.0128 0.0164 0.0204 0.0248 0.0296

26 28 30 32 34 36

0.0350 0.0408 0.0472 0.0544 0.0620 0.0698

tes ~on mas recomendables cuando estes son de un solo claro, pues las pilas o pilotes dentro del cauce producen distorsiones en las lfneas de corriente 10 que puede introducir errores de consideracion en los aforos. '

~I principal inconvenientede este metodo es que cada aforo toma un tiempo relativamente largo (de~ orden de una hora 0 mas en algunos casos), por 10que durante una avenida se pueden hacer solo unas cuantas medieiones 10 que podrfa no s~r suficiente para conformar todo el hidrograma y menos aun determinar el pICO.Este problema se puede disminuir si se dibujan curvas de e~evaci6nd.elnivel d~l agua contra el gasto, permitiendo, con ayuda de un re ~lstro contmuo de niveles en la seccion, determinar el gasto en cualquier instante.

3.3.4 Otros metodos Existen otros rnetodos con los que es posible realizar aforos. Uno de ellos es el de trazadores: q~e consiste en soltar una cantidad conocida de partfculas fluorescentes, radiactivas, etc., en una seccion situada a una cierta distancia agua~ ~rriba de la seccion de aforos para medir el tiempo que tardan en llegar a la tiltima. Esto se puede hacer visualmente, con contadores de radiactividad o con algun otro procedimienro, dependiendo del tipo de partfculas usadas. Este y otr?s me:o~o~ aiin se encuentran en la etapa de experimentacion y su

uso todavia esta lirnitado en la practica,

!

i

Aforo CURVA MEDIA

43

gastos

Figura 3.15 Curva elevacionesgastos

3.3.5 Curvas elevaciones-

Una curva elevaciones-gastos relaciona la elevacion de la superficie libre del agua con el gasto que pasa por la seccion, y se construye Condatos obtenidos de varios aforos. En general, la seccion de aforos del rio no es una seccion de control, por 10 que la relacion tirantes-gastos no es unica. En la figura 3.15 se muestra una curva elevaciones-gastos tipica. La histeresis -es decir, el di ferente comportamiento que observa la elevacion de la superficie libre del agua cuando el gasto aumenta y cuando disminuye- que se muestra en la

curva de la figura 3.15 se debe a que la pendiente hidraulica del flujo es mayor du rante el ascenso de los hidrogramas que durante el descenso. Se acostumbra ajustar los puntos medidos a una curva media que tiene una ecuacion del tipo: (3.21) donde Eo es la elevacion para la que el gasto es nulo y C Yn son dos constan tes que se determinan, por ejemplo, obteniendo logaritmos de la

ecuacion 3.21 y luego aplicando el metodo de minimos cuadrados (vease apendice B). En la mayoria de los rfos, la forma de las secciones transversales cambia continuamente debido a los procesos de erosion y sedimentaci6n, por 10 que es conveniente realizar aforos con la frecuencia suficiente para contar en cual quier momento con una curva elevaciones-gastos actualizada. La variabilidad en el tiempo de la seccion de aforos depende de varios factores: su forma, su situacion con respecto a curvas y otras caracterfsticas del rfo y el material que forma ei cauce, entre otras. Por ello, es diffcil

generalizar en cuanto a

44

Escurrimiento

45

Aforo

la frecuencia con que se deben hacer los aforos. En general, puede decirse que es necesario realizarlos por 10 menos 5 0 6 veces al mes, aunque algunas de pendencias como la Comision Federal de Electricidad y la Secretarfa de Agri cultura y Recursos Hidraulicos especifican un aforo diario. Una vez conocida la curva elevaciones-gastos de la seccion de aforos, es suficiente con determinar la elevdcion de la superficie libre del agua para co nocer el gasto en cualquier momento. Dicha elevacion se determina con algu no de los siguientes metodos:

a) Limnimetro. Es una regia graduada que se coloca en una de las margenes del cauce, en la que normalmente se lee la elevacion de la superficie cada dos horas en epoca de avenidas y cada 24 horas en epoca de estiaje. Dado que la hora en que ocurre el gasto maximo de una avenida puede no coincidir con alguna de las lecturas, conviene mar car el Iimnfmetro con pintura soluble al agua, de manera que se pueda conocer el nivel maximo alcanzado por el rfo y, por 10 tanto, el pico de la avenida. b) Peso suspendido de un cable. Su uso es similar al dellimnfmetro (vease figura 3.16). La elevacion del nivel del agua sera, en este caso , igual a la elevacion del punto desde donde se suspende el peso menos la longitud del cable. c) Limnigrafo. Es un aparato automatico con el que se obtiene un registro continuo de niveles (vease figura 3.17). Se coloca junto a la corrien te, conectado mediante un tubo 0 zanja, 0 bien dentro de ella, por ejem plo, fijado a la pila de un puente cuando se estima que no hay peligro de que 10 destruya la corriente durante una avenida 0 por los objetos arrastrados por el rio. EI aparato consta basicamente de un flotador unido a una plum ilia que marca los niveles del agua en un papel fijado a un tambor que gira mediante un mecanismo de relojerfa (vease figu ra 3. 17). EI papel se cambia normal mente una vez al dfa, aunque esto se fija de acuerdo con la variabilidad del gasto con el tiempo. EI regis-

Tuberfa (AA')

k; A

Tuberfa

J-\---S:l ~:H--I> Rio

A'

~

~'

t s'

Figura 3.17 Colocacion del limnfgrafo

tro de niveles contra el tiempo que se obtiene de un limnigrafo se lla ma limnograma.

3.3.6 Condiciones que debe reunir una estaci6n hldrometrica La seleccion del sitio adecuado para instalar una estacion hidrornetrica (donde se miden gastos) debe tomar en cuenta las siguientes condiciones (referen cia 3.3):

Figura 3.16

a) Accesibilidad. La estacion debe ser accesible en cualquier tiempo y bajo cualquier condicion, especialmente durante avenidas. b) Suficiencia. La estacion debe ser capaz de cubrir todo el rango de gastos que pueda ocurrir. El nivel nunimo de la zanja 0 tube ria en el caso de los

46

Escurrimiento

limrugrafos y de la regia en el de los Iirnnfrnetros, debe estar por debajo de la elevaeion correspondiente al gasto minirno posible y la posicion ma xima del flotador 0 de la regia debe quedar arriba de la elevacion corres pondiente al gasto maximo posible. c) Estabilidad. La seccion transversal del rfo donde se instale la estacion de be estar en un tramo recto, 10 mas estable posible, de manera que las va riaciones que tenga la curva elevaciones-gastos sean razonablernente pequenas. d) Permanencia. La estacion debe estar situada de tal manera que nunca sea destruida por una avenida, Una de las caracterfsticas mas deseables de un registro es que sea continuo y que este formado en un mismo sitio. Ade mas, no debe estar afectado par tomas 0 desvfos, par 10 que la estacion debe situarse, en 10 posible, aguas arriba de ellos.

BIBLJOGRAFIA 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Dominguez, M.R. "Escurrimiento", Cap. A. 1.3. del Manual de Diseno de Obras Civiles, Cornision Federal de Electricidad, Mexico, 1981. Raudkivi, AJ. Hydrology, Pergamon Press, 1979. Chow, V.T. (ed). Handbook of Applied Hydrology. McGraw-Hili, 1964. Chow, V.T. Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1966. Wisler, C,O., Brater, E.F. Hydrology, 2nd. Ed., John Wiley & Sons, 1959.

4

Evaporacion y transpiraci6n

Desde el punta de vista de la ingenierfa hidrologioa es importante conocer, por un lado, la cantidad de agua que se pierde par evaporacion en grandes depositos, como preSaS' lagos 0 en sistemas de conduecion, y, por otro, la cantidad de agua con que es necesario dotar a los distritos de riego, para determinar las fuentes y dimensiones de los sistemas de abastecimiento, Evaporacion es el proceso por el cual el agua pas a del estado lfquido en que se encuentra en los almacenamientos, conducciones yen el suelo, en las capas cercanas a su superficie, a estado gaseoso y se transfiere a la atmosfera. Transpiracion es el agua que se despide en forma de vapor de las hojas de las plantas. Esta agua es tomada par las plantas, natural mente , del suelo.

Evapotranspiracion es Ia combinacion de evaporacion y transpiracion, Uso consuntivo es la combinacion de evapotranspiracion y el agua que las plantas retienen para su nutricion, Esta ultima cantidad es pequeiia en compa racion con la evapotranspiracion (aproximadamente representa solo el 1%), por 10 que los terrninos evapotranspiracion y uso consuntivo se usan como sinonimos, 4.1 EVAPORACION [... ' "

.._

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r Rc RB

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e.~ "'~

-

=

mimero de horas del sol reales en el mes en cuesti6n.

D = mimero de horas de sol posibles, esto es, el que se tendrfa si no

hubiera nubes en todo el dfa.

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0'

0"> ..

b) Relaci6n de nubosidad, nlD.

07\0

N_:,.....:O·~o\r--:fi')OO

0

a) Temperatura del aire Ta, °C.

-

-r--",'O.O'

t")

rrJ'

N

~

,.;.".-.er r--.,..... \0 ("'~off)

..q-If)

r> N \ " i- ("

'j

N

(" 'i

~

\0·00

El valor de n puede estimarse a partir de informaci6n meteorolo

50

Evaporacion

y transpiracion

gica y D segun la latitud y la epoca del afio con la tabla 4.1. c) R", que puede ca!cularse tambien en funci6n de la latitud y la epoca del afio con la tabla 4.2. '. d) La humedad relativa h, en %, que se calcula con la figura 6.2, en funci6n de la presi6n de vapor y Ta.

Evaporacion

51

~~

f'iNN~M~tr)r...:~_..i

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100

Kc

1.00

1/

0.60

Kc 0.50

"gon oI I ff R o

V

MES

90 100

90

v l-I'-.....

0.20

% DEL CICLO VEGETATIVO

10 2

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1.00

~

)

060 ,



co :::

3

men titil de una presa en dos pasos: el primero consiste en hacer una primera estimacion usando datos mensuales de aportaciones y demandas e ignorando faetores de menor importancia, co mo la evaporacion y precipitacion directa en el vaso; el segundo es simular el funcionamiento del vasa para un periodo largo, tomando en cuenta las va riaciones mensuales y anuales de aportaciones y demandas y todos los demas factores que intervienen en la cantidad de agua almacenada en un determina do instante. Cuando se desea hacer una primera estimacion del volumen uti] se pue

lI-

tt-?

2~0

5?0 Volumen,

Figura 5.3

106m3

Curvas elevacion-volumen

7To

l-r0-1--

y elevacion-arca.

En resumen, existen cuatro voliimenes principales en toda presa que es necesario determinar para disefiar el vasa: el volumen de azolves, el volumen

den usar dos metodos. El primero, llamado de la curva masa

0

diagrama de

muerto, el volumen uti I y el volumen de superalmacenamiento. La determina- cion de los dos primeros esta fuera del enfoque de este texto; el volumen de azolves es materia de la hidraulica fluvial y el volumen muerto, en el caso de plantas hidroelectricas, depende, entre otras cosas, del tipo de turbina que se use. A continuacion se estudiaran metodos para evaluar el volumen titil que debe tener una presa para satisfacer las demandas y el volumen de

super- almacenamiento

necesario para que la presa no corra peligro. ¥ 'f ,! s

5.2 ESTIMACION DEL VOLUMEN UTIL Y EL NAMO Existen dos grupos basicos de datos necesarios para el disefio de un vasa de almacenamiento: pianos topograficos y registros hidrologicos. Los primeros proporcionan la relacion que hay entre los vohirnenes, areas y elevacioncs del

I il

Rippl, desarrollado en 1883 (referencia 5.1), es util cuando las demandas son constantes, y el segundo, conocido como algoritmo del pico secuente, es con veniente cuando las demandas varian en el tiempo. Una curva masa es una representacion grafica de volumenes acumulados contra el tiempo. En la figura 5.4 se muestra una parte de una curva masa. Supongase que, en el caso de la figura 5.4, se tiene una demand a cons tante de agua de 56.3 m3/s. La curva masa de demandas es, entonces, una lfnea recta con pendiente de 56.3 m3/5. La pendiente de la curva masa de escurrimiento es el gasto que pasa por

el sitio; entonces, cuando la pendiente de la curva de demandas ag es mayor que la de la curva de escurrimiento af, el gasto demandado es mayor que el aportado por el no y viceversa. Obviamente, en 101-p\untos en que la curva de escurrimientos tiene una pendiente de 56.3, el gasto de aportacion es iguaJ al de demanda, como sucede en los puntos b, c y e de la Figura 5.4. Ahora bien, supongase que el vasa se encuentra lleno en el punta a. En tonces, se observa 10 siguiente: a) Entre el punto a y el b la demanda es menor que la aportacion,

por

10 que el vasa permanece lleno y el agua sobrante sale por la obra de excedencias. b) Hasta el punto b, en diciembre del primer afio, se ha derramado un

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

74 -

-

, , 5 PO? 4 '5~0 i

1

,

1

,

1

, Escurrimientos

pop 315010

en el rio

A

~p,°° °

i

'

Eb 15do

1t++ iii

§i1

>

r- 50 0

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1

1

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,

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... --.-.-..-.

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j

- --

--Ff

F-

·c·:·-

75

c al d se incrementa nuevamente el volumen almacenado y en el pun to d la presa vuelve a estar llena. g) Entre el punto d y el e la presa permanece llena y se vuelven a tener derrames. h) Del punto e en adelante el gasto de aportaci6n es otra vez menor que el de demanda y el volumen almacenado disminuye. i) La Iinea abde es una curva masa de salidas totales de la presa (esto es, salidas para cubrir la demanda mas derrames) que tiene una pen diente minima de 56.3 m3/s. Este metoda se aplica a todo el periodo de datos, y la maxima diferencia

T 56.3 -

7S

m3

l-

f--I--f-- f-I-

que se encuentre entre una tangente a los puntos tales como el b y el e y otra tangente a los puntos tales como el c sera el volumen iitil mfnimo necesario para satisfacer la demanda, si se repitieran exactamente las aportaciones que se usan como datos. Es obvio que esto nunca sucede, por 10 que el volumen

,/ ....h. ----

--

-

~ ': ~ ~.rP-t,: ~·A." ~_£!"A:': r!-tH·~i·-----

l/

"--- Demandas =

e-

I...-

1-

~

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i .

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tv

-

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1-

~

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b

210O?

bob

/

~

v

V:::;

1

I-

de de~a~das

//-7

d 7 7

I I I,

Paralelas a Ila curva masa I-

f4..7

E 4

-,

~

e......

area de ia cuenca corres

I, los factores F, se pueden calcular como:

F;

Figura 5.6

(5.6b)

donde K; es un factor de peso que se asigna a la estacion i de acuerdo con su confiabilidad y relacion de sus registros con el escurrimiento en la cuenca de aportacion a la presa analizada. Notese que necesa riamente:

(5.4) donde

n

factor de correccion para la estacion i. volumen de escurrimiento medido en la estacion i. n - mimero de estaciones hidrornetricas consideradas.

1:

(5.6c)

K;

i ~ 1

Los factores de correccion Pi son funcion del area de la cuenca de apor tacion a la estacion i y de la posicion y caracterfsticas de la cuenca de dicha estacion con respecto al sitio de la presa. Cuando n == 1, es decir , cuando se utiliza una sola estacion para estimar las entradas por cuenca propia a la presa, el factor PI se puede estirnar de dos formas: • Si se dispone de suficiente informacion sobre la precipitacion que cae tanto en la cuenca de aportacion a la presa como en la correspondiente a la estacion hidrornetrica, entonces:

(5.5)

donde VIIII' es el volumen de liuvia que cae en la cuenca propia durante el

=

.t:.t Y VII, es el volumen de Iluvia que cae en la Cuenca asociada a la

Tambien es factible, desde luego, usar vohimenes de Iluvia en lugar de areas de cuenca en la formula 5.6b.

b) Entradas par 'transferencia desde otras cuencas (E[) Estas entradas provienen de las descargas, tuadas aguas arriba de la presa en cuestion transferencias, siempre seran conocidas, c)

libres 0 controladas, de presas si en otras cuencas. Si existen estas

0

Entradas par lluvia 'directa sabre el vaso (Ell)

Los aparatos que registran la cantidad de lIuvia que cae 10 hacen en forma de volumen por unidad de area, es decir, como altura de precipitacion (vease capitulo 6). EI volumen de Iluvia que cae directamente sobre el vaso sera en tonces esa altura de precipitacion hp multiplicada por el area que tenga la su perficie Iibre del vaso, en promedio, durante el Ilt usado en el calculo. El area se determina por medio de la curva elevaciones-areas del vaso, como se muestra en la figura 5.7 (vease tambien figura 5.3).

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

82

Funcionamiento de vasos

E

Cuando no se cuenta con evaporfmetros cerca del vaso, la lamina de eva poracion se puede calcular usando la formula empfrica que se estudio en el apartado 4.1.1 0 alguna similar.

Elevaci6n de la superficie libre al final del M Elevaci6n de la -su-p-e-Crf'"ic~ie-' libre al principio

83

del M

c) Volumen infiltrado en el vasa (Si) Area del vasa al principia del !1t

A Area I

promedio

Este volumen es diffcil de medir. Afortunadamente, en general, es muy pe quefio; si se estima 10 contrario, entonces sera necesario realizar un estudio geologico detailado del vasa que proporcione los elementos para su calculo.

en el !1t

Area del vasa al final del M A

Figura 5.7 Curva elevacion-area del vaso.

Ilt.

Las entradas por lluvia directa sobre el vaso son: (5.7)

EI/ = hp A

donde A es el area promedio del vasa en el Ilt. 5.3.2 Salidas del vasa a) Volumen extraido para satisfacer la demanda (SD) Esta constituido por la ley de demandas bajo analisis, la cual depende, por un lado, del tipo de aprovechamiento de que se trate: agua potable, riego, ge neracion de energfa electrica, etc. y, por otro, de la relacion beneficio/costo de la obra. Para fines de la simulacion del funcionamiento del vaso , este volu men siempre es un dato. b) Volumen evaporado directamente del vasa (Se) De la misma manera que la precipitacion, la evaporacion se mide en lamina o altura (volumen/unidad de area). Si se tienen evaporfmetros cerca del vaso, la evaporacion registrada se corrige como se indica en el apartado 4.1.4 y, por 10 tanto, el volumen de evaporacion se calcula de manera similar al de lluvia directa.sobre el vasa: (5.8)

donde hev

=

lamina de evaporacion y A

=

area media del vasa durante el

I

d) Volumen derramado (Sde)

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

82

EI volumen de agua que sale por la obra de excedencias es resultado de la simulacion y depende de los niveles caracterfsticos (especialmente del NAMO) y de la polftica de operacion de las compuertas que se defina para cada opcion. 5.3.3 Procedimiento de calculo Si el subindice i denota el principio del intervalo simulado y el i + 1 el final del mismo, la ecuacion de continuidad (5.1) se puede expresar como: Vi +

I

=

Vi

+ Xi -

D,

(5.9) donde Vi +

I Y Vi son los vohimenes almacenados en los instantes i i, respectivamente. Las entradas netas al vasa durante el intervalo considerado, Xi - Di, se pueden expresar , para fines de

+ 1e

calculo como: Xi - D, = L, (5.10)

O,

+ Pi - Sdei

d o n d e I, = volumen de entradas al vasa que no depende del nivel en

el mismo durante el intervalo considerado. O, = volumen de salidas del vasa que no depende del nivel en el

mismo durante el intervalo considerado. Pi = volumen de entradas--volumen de salidas que sf dependen del ni vel en el vasa durante el intervalo considerado. De manera que:

Funcionamiento de vasos

83

"

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

84

+

Ecpi

Eli

SDi Em

-

Sei -

Sii

(5.ll) (5.12) (5.13)

La ecuaci6n 5.9 esta sujeta a la restriccion:

De 1a topograffa del vasa, obtener las curvas que relacionan la elevaci6n del nivel de agua con el volumen y la elevaclcn del nivel del agua con el area de la superficie libre

Fijar un nivel inicial en el vasa. Generalmente se empieza e! analisls en el NAMO. pero conviene simular el funcionamiento con otros niveles iniciales para verificar en cuanto .tiempo los funcionamientos son iguales

Con el nivel inicial

(5.14)

Calcular el volumen

E; y las curvas £-Vy

£-A obtener Vi y Ai

final en una primera aproximaclcn

como:

donde Vmfn es el volumen de almacenamiento correspondiente al NAMINO o NAMin y Vm es el volumen de almacenamiento al NAMO. Con las ecuaciones 5.9 Y 5.14 es posible hacer el funcionamiento del va so. El procedimiento de calculo se muestra en el diagrama de bloques de la figura 5.8, que se ilustrara con el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.2. Simular un afio del funcionamientode caracterfsticas:

un vasa con las siguientes

Curvas elevaciones-capacidades y elevaciones-areas: de los datos topo graficos del vaso, se han determinado varios puntos que relacionan elevacio nes con capacidades y areas del vaso y, mediante el metoda de mfnimos cuadrados (vease apendice B), se han obtenido las siguientes ecuaciones que sirven solo para este vaso en particular:

V

= 10 El.1S

A

= 0.0118

(5.15)

EO

18

(5.16)

donde E = elevaci6n de la superficie libre del agua, en m, V = volumen almacenado, en miles de m ' y A = area de la superficie libre del agua, en km". La elevaci6n del NAMO es la 50.40 m y la del NAMINO la 7.05 m, de manera que el volumen muerto es de 100.2 x 103 m ' y el volumen iitil es 920.4 x 103 m 3. A continuacion se proporciona el resto de los datos.

5.3.4 Entradas Par cuenca propia (Ecp). Aguas abajo de la presa se tiene una estacion hidro metrica que registro, en el afio de estudio, los vohimenes mostrados en la co lumna 2 de la tabla 5.2. El area correspondiente a la estacion hidrometrica es de 500 km2 Y el de la cuenca correspondiente a la presa es de 400 krrr'. No hay suficientes estaciones medidoras de lluvia.

Calcular el volumen final en la siguiente aproxlmacion

V~ ++ l' = Vi + Ii - OJ + Pi

k + 1 como:

I

Figura 5.8 Diagrama de bJoques (funcionamiento de vasos).

Almaeenamiento y transito en vasos y eauees

86

(E}. No hay transferencia de agua desde otras cuencas.

Por transferencia

Acp 400 FI=--=--=08 500 Ae

Por lluvia directa sobre el vaso (Ell). De una estacion medidora de Iluvia cer

cana a la presa se tienen alturas de precipitaci6n anotadas en la columna 4 de la tabla 5.2.

Para satisfacer la demanda (SD)' Del estudio correspondiente, se determina

ron los volumenes mensuales dados en la columna 5 de la tabla 5.2. directa del vaso (Se)' De los datos de un evaporimetro si tuado cerca del vasa se determine que la lamina de evaporaci6n mensual es la mostrada en la columna 6 de la tabla mencionada.

Por evaporaci6n

(5.17)

donde

Por infiltraci6n (S;). Se estima que la infiltraci6n en el vasa es despreciable.

Qi + I Qi + I

En la columna 3 de la tabla 5.2 se ha calculado la entrada por cuenca propia de acuerdo con la ecuaci6n 5.4 con n = 1:

Qi Qi

Vel

donde el factor FI se calcula, segun la ecuacion 5.6, como:

b, t,

Tabla S.2

S, 2

3

4

5

6

S,

V"I

Eel'

hp

SD

he,'

Mes

103 m3

103 m3

em

103 m3

em

I

r,

n d e f m

75.0 87.5 100.0 137.5 250.0 387.5 562.5 850.0 650.0 562.5 437.5 131.3

60.0 70.0 80.0 110.0 200.0 310.0 450.0 680.0 520.0 450.0 350.0 105.0

1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.0 5.0 4.0 2.0

200.0 260.0 280.0 320.0 390.0 400.0 390.0 320.0 280.0 230.0 190.0 190.0

1.0 0.0 0.0 1.0 3.0 5.0 4.0 4.0 3.0 3.0 2.0 1.0

1

1

a

m

a s 0

.

La simulaci6n del funcionamiento del vasa se muestra en la tabla 5.3. Los calculos realizados en dicha tabla se hicieron siguiendo paso a paso el diagrama de bloques de la figura 5.8. Es conveniente hacer la simulaci6n del funcionamiento del vasa para toda su vida util; debido a que normalmente no se tienen registros tan largos, estos se pueden completar usando, por ejemplo, la formula de ThomasFiering (referencia 5.3) para la generacion de registros sinteticos:>

5.3.5 Salidas

Ecp= F,

87

Funcionamiento de vasos

+

I

volumen de escurrimiento en el mes i + 1. = volumen medio de escurrimiento en el mes i + 1, obtenido de los registros. = volumen de escurrimiento en el mes i. = volumen medio de escurrimiento en el mes i, obtenido de los registros. = r, S, + I/Si• = mimero aleatorio con distribucion normal, media cero y variancia uno. = desviacion estandar de los vohimenes registrados en el mes i. = desviaci6n estandar de los vohimenes registrados en el mes =

i =

+

1.

coeficiente de correlacion entre los voliimenes del mes i y el i + 1 (vease apendice B).

El primer sumando dellado derecho de la formula 5.17, de estar aislado, constituirfa el modelo mas simple posible para la generaci6n de registros sin teticos: aquel en el que el volumen escurrido en un mes dado es siempre igual al medio en ese meso El segundo sumando toma en cuenta la correlaci6n de los vohimenes escurridos en cada dos meses consecutivos y, finalmente, el tercer sumando toma en cuenta el caracter aleatorio del escurrimiento.

* En este sentido, existe una enorme variedad de metodos para la generacion de registros sinteti cos (ver, por ejemplo, la referencia 5.10). Debido al enfoque dellibro, se presenta unicamente uno de los metodos mas simples.

88

Almacenamiento

y trans ito en vasos y cauces

89

Funcionamiento de vasos

Tabla 5.4 Volumenes en 103 m3

~ r--VlNooC'")C'")C'")O

('"':\l('r)~M('1jM('fj{'f').~-;-O"""'"

"C'")0N0,-0; o\o\o\NN

~ 0 0 ~.v-i v-i ~ .-4

"o"

tnC"'-l""""'OO,.....;,.....;\OO\

":0r-:0-.D0v-i": ..q-M('"'.l ...........................

~~ ::!:~

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~- '"

~

a

,.-<

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000

'">

~

~~

50.4 m, Si E < 50.4 m, 0

se usara !:.t 2

EO)3/2 + OT

=

0.1 h

=

=

=

30 (E - 50.4)3/2

OT

=

+ 20

20 m3!s.

360 s.

th 2V a) Curva --!:.t

+ 0 contra O.

Figura 5.11 Hidrograma de entradas.

2V

En la tabla 5.6 se muestran los calculos para la curva -;;:;-

g) Se pasa al siguiente intervalo (esto es, se hace i = i + 1) Y se vuelve al paso d tantas veces como sea necesario para terminar con eI hidro grama de entrada.

Ejemplo 5.4. Transitar la avenida mostrada en la figura 5. I I por un vasa cuya curva elevaciones-volumenes tiene la ecuaci6n*: V = 10 EI

18

(5.27)

(5.26)

donde E = elevaci6n en m y V = volumen en miles de m'. La elevaci6n del NAMO es la 50.4 ill, el vertedor es de cresta libre con longitud de 15 m y coeficiente de descarga de 2, y la salida por la obra de toma es constante e igual a 20 m3!s. Usar el metodo semigrafico. Encontrar el NAME correspondiente a esta avenida y vertedor y determinar el hidrograma de salidas del vaso.

* Notese que las ecuaciones 5.26 y 5.27 son validas solo para este vaso en particular. Cada vaso tiene sus propias ecuaciones, que pueden obtenerse a partir de un analisis de regresion (vease apendice B).

+ O. En

la columna 1 estan las elevaciones seleccionadas; en la 2 se encuentran los vohimenes almacenados correspondientes a las elevaciones de la columna I y calculados con la ecuaci6n 5.26; en la 3 estan los .~astos de salida, calcula dos con las elevaciones de la columna I y la ecuacron 5.27 y en la columna 4 se ha hecho el calculo de va resultante. b) Transite de la avenida.

I ,,"

'j

2V !:.t

+ O. En la figura 5.10 se muestra la cur-

Los calculos para el transite de la avenida se han hecho en la tabla 5.7. Si se usa una tabla como esta, el procedimiento a seguir es: Tabla 5.6

(j)

0)

(])

E

V

0

(]) 2V

-_ ._ + 0 !::.t

m

103 m3

m31s

m31s

50.4 5l.0 52.0 53.0 54.0

1 020.6 1 035.0 1 059.0 1 083.0 1 107.2

20.0 33.9 80.7 145.8 224.9

5690.0 5 783.8 5963.9 6 162.7 6376.0

Almacenamiento y transite en

98

vaS(JS

y cauces

Transite de avenidas en vasos

Tabla 5.7 1

2

3

4

t

i

t,

I, + Ii +

5 I

_1_JI;_ -

6 OJ

ill

_2V; +

I

+

OJ + I

ill

7

8

9

OJ

Vj

t: m3

99

5, Determinar, con el valor de 2V

--

!1t

+

°

contra

°

2Vj + !1t

I

+ 0; + I (columna 6) y la curva

(figura 5.10), la salida en el siguiente inter

m3!s

m3!s

m3!s

m3!s

m3!s

/03

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 IO II

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0 200.0 190.0

20.0 60.0 100.0 140.0 180.0 220.0 260.0 300.0 340.0 380.0 390.0 370.0

5670 5650 5666 5702 5742 5780 5803 5 832 5856 5876 5 888 5894

5690 5710 5766 5842 5922 6000 6063 6 132 6 196 6256 6278 6264

20.0 20.0 22.0 32:0 50.0 99.0 115.0 118.0 138.0 160.0 184.0 192.0

1020.6 1023.5 1030.3 I 031.3 I 049.4 1056.2 1067.0 1075.3 1082.5 1088.6 I 093.0 I 094.4

50.4 50.5 50.2 51.2 51.6 50.0 52.3 52.7 53.0 53.2 53.4 53.5

1.3 1.4 1.5 1.6

13 14 15 16

170.0 160.0 150.0 140.0

330.0 310.0 290.0 270.0

5 874 5 880 5874 5872

6204 6 190 6 164 6 142

182.0 162.0 158.0 146.0

1091.2 1086.5. 1 085.4 1081.1

53.3 53.1 53.1 52.9

ximaciones sucesivas para calcular el volumen y el gasto de salida en el inter valo i + 1. Primero se supone que el gasto de salida es igual al que se tuvo

1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

120.0 110.0 100.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

230.0 210.0 190.0 170.0 150.0 130.0 110.0 90.0 70.0 50.0 40.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

5646 5832 5824 5814 5800 5790 5778 5760 5748 5728 5710 5690 5606 5562 5522 5482 5442 5402

6076 6042 6014 5984 5950 5920 5 888 5850 5816 5778 5740 5700 5606 5562 5522 5482 5442 5402

132.0 122.0 108.0 100.0 92.0 80.0 71.0 64.0 52.0 44.0 34.0 30.0 22.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0

1073.5 1070.3 1066.1 1062.0 1056.8 1 054.4 1049.6 1045.8 1 040.4 1035.7 1030.3 1025.3 1020.2 1016.3 1012.7 1009.1 1005.5

52.6 52.5 52.3 52.1 52.0 51.8 51.6 51.5 51.2 51.0 50.8 50.6 50.4 50.2 50.1 49.9 49.8

el vo!umen almacenado, + I (notese que los mimeros arriba y a la derecha de V no son exponentes, sino superfndices que cuentan las iteraciones). Con este volumen y la curva elevaciones-voliimenes se determina la elevacion y con ella una nueva estimacion del gasto de salida. Con este gasto de salida 0; + 1 se calcula un nuevo volumen y, si es similar al calculado en la itera cion anterior, se imprimen los resultados y se pasa a un nuevo intervalo de tiempo; en caso contrario, se hace otra iteracion.

h

1. Calcular todas las sumas I;

m

valo 0; + I Y anotarla en el proximo renglon de la columna 7. 6. Restar el ultimo valor anotado en la columna 7 dos veces del ultimo valor anotado en la columna 6 y colocar el resultado en la columna 5. 7. Volver al cuarto paso hasta que las salidas por el vertedor sean nulas. 5.4.2 Metodo numerico

NAME

=

Ejemplo 5.5, Resolver el problema del ejemplo 5.4 usando el metodo

numerico.

Se escribio un programa de computadora en Jenguaje BASIC para resolver el ejemplo, el cual sigue el diagrama de bloques de la figura 5.12. Este pro grama y los resultados se muestran enseguida.

50.4 m (columna 9).

2V

°

V;

Solucion

+ I; + I (columna 4) a partir de la avenida

de entrada (columna 3). 2. Fijar el nivel inicial. En este caso, Eo

En la figura 5.12 se muestra un diagrama de bloques que indica los pasos que se siguen en el metoda numerico.

3. Calcular el volurnen inicial, el gasto de salida y 0; = (columna 5).

!1t

5

- 0;, donde

10

.20

25 26 27 30 35

PRINT"

PRINT " T RAN SIT 0

DE

READ 11,E1,V1,01,DT,TO,C,L,EO,OT,A,B,TT

I =

1

PRINT "I", "III)", "VII)", "E(I)", "011)" PRINT" ", "M3/S", "M3", "M", "M3/S" PRINT 1,II,V1,EO,01 PR# 0: INPUT "1(1+ 1 )?"; 12 K = 0

AVE N I D A SEN

VAS 0 S": PRINT

40

02

= 01

100 45 50 60 65 70 80 90 100 110 114 115 120 130 135 140 142 145 150 160 170

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

PR# 1 V2(2) = ((12 + 11) / 2 - (02 + 01) / 2) * DT + V1 E = (V2(1) / A) (1 t. B) IF E < EO THEN 02 = OT: GOTO 80 02 = C * L * (E - EO) 1. 5 + OT K = K + 1 IF K = 1 THEN 50 IF ABS ((V2(1) - V2(2)) /V2(2)) > TO THI;N V2(1) V2(2): GOTO 50 IF I + DT > TT THEN STOP PR# 1 PRINT" "; PRINT1+ 1,12,V2(1),E,02 V2(1) = V2(2) V1 = V2(2) I = I + 1 01 = 02 11 = 12 GOTO 30 DATA 0,50.4,1020600,20,360,0.001,2,15,50.4,20,10000,1. 18, 12600 END

1(1) M3/S

V(I) M3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 20 20 20 20 20 20 20

1020600 1017000 1020600 1031400 1046135.72 1059459.24 1069583.68 1077685.37 1084887.5 1091596.87 1097949 1097949 1095282.58 1091930.2 1088897.42 1085734.08 1082510.21 1079208.07 1075821.26 1072340.45 1068754.6 1065050.3 1061210.98 1057215.71 1053037.56 1048640.75 1043976.15 1038973.14 1033523.9 1029248.95 1026911.4 1025456.63 1025456.63 1024476.53 1023637.78 1023047.93

E(I) M 50.4 50.2480777 50.3987737 50.8503768 51.4653914 52.0203293 52.44131 52.7777459 53.0765018 53.3545456 53.6175445 53.61-;75445 53.5071745 53.3683525 53.2427087 53.1115994 52.9779215 52.8409352 52.7003699 52.5558328 52.4068593 52.2528848 52.0932113 51.926959 5).7529937 51.5698104 51.3753421 51.1666179 50.9391029 50.7604882 50.6627737 50.6019437 50.6019437 50.5609546 50.5258722 50.5011979

Datos: '1' E1, V1,

,_

0(1) M3/S 20 20 20 29.0674524 52.9902055 81.8765626 107.495297 129.994108 151.362847 172.355206 193.144255 193.144255 184.312163 173.424407 163.787057 153.955194 144.1726 134.407798 124.66893 114.960688 105.28971 95.6647999 86.0979487 76.6059824 67.2133592 57.9572273 48.8972615 40.1367618 31.8748675 26.4931856 24.041049 22.7224935 22.7224935 21.9372083 21.3397262 20.9657806

.101

Transito de avenidas en vasos

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

Vk + 1 i + 1

(

'; + 1

+

2

';

De la curva E -

°

1, !:it, tolerancia

0; +

1

+ 0;

2

)

M+

V, ca)cular E; + 1

con V; + 1

0; +

CL

1

(E; + 1 -

Eo)3/2

+ O.

i'.i iI:

.1

Sf

.1

Imprime

t, +

·f if:1

'I Figura 5.12

l' V;+1,E;+1,O;+1

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

102

Conservaci6n

5.5 TRANSITO DE AVENIDAS EN CAUCES Normalmente, el sitio donde se miden los escurrimientos 0 donde se en cuentra una presa para control de inundaciones se localiza varios kilometres aguas arriba del punto donde las avenidas pueden causar dafios, debido a las condiciones topograficas y geologicas que deben existir para construir una presa o las que debe reunir el sitio para instalar una estacion hidrometrica. Es necesario por ello con tar con metodos que permitan conocer la va riaci6n de un hidrograma al recorrer un tramo de cauce, para poder deter minar el efecto de presas reguladoras en tramos aguas abajo, para disefiar bordos de proteccion contra inundaciones, etc. La simulacion de la variacion de un hidrograma al recorrer un cauce se conoce como trdnsito de avenidas

en cauces. Este problema es similar al transite de avenidas en vasos en el senti do de que el rio mismo es tambien una especie de almacenamiento alar gada y de que la solucion se da por medio de la ecuacion de continuidad y alguna relacion entre almacenamiento y gasto de salida. Sin embargo, aquf aparecen algunas dificultades adicionales como (referencia 5.6): a) Con frecuencia no se tienen pianos topograficos precisos del tramo y Ia relacion descargas-vohimenes no se conoce. b) Casi siempre se tienen entradas a 10 largo del tramo, adicionales a las de la seccion aguas arriba, que no son conocidas. c) El niveI de la superficie libre del agua no es horizontal, como sucede en el caso de vasos, 10 que implica que un mismo tirante en el extre mo final del tramo se puede formar para diferentes gastos de salida (vease figura 3.15). Los metodos existentes para el transite de avenidas en cauces se pueden dividir en dos tipos: hidraulicos e hidrologicos. Los rnetodos hidraulicos se basan en la solucion de las ecuaciones de con servacion de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no perm a nente; su deduccion esta fuera del enfoque de este texto, pero se pueden consultar, por ejemplo las referencias 5.5 y 5.7. En su forma diferencial, es tas ecuaciones son: Conservacion

av a x

de cantidad de movimiento:

av

av at donde

x

ay ax

+v- -

a

(5.29)

+g

y = tirante. v

== velocidad.

q

= gasto lateral.

B So Sf

= ancho ==

=

de la superficie libre. pendiente del fondo. . pendiente de fricci6n; si se calcula con la formula de Manmng:

RH = radio hidraulico. n == coeficiente de rugosidad. x = coordenada espacial. = tiempo. Las ecuaciones 5.28 Y 5.29 forman un sistema de ecuaciones diferencia les parciales hiperbolicas no lineales, del que no existe u~a solucio~ .anaHtica conocida. Por ello, es necesario resolverlo usando algun metodo numenco como el de las caracterfsticas, diferencias finitas 0 elemento finite. El tratamiento de estas soluciones esta fuera de los alcances de este texto; el lector interesado puede recurrir en primera instancia a la referencia 5.7 para un tratamiento mas completo. . . Los metodos hidrologicos utilizan simplificaciones de las ecuaciones 5.28 y 5.29 para llegar a soluciones mas simples, pero menos aproximadas q~e las que se logran con los metodos hidraulicos. En este apartado se estudiara uno de estos metodos, llamado metoda de Muskingum.

5.5.1 Metodo de Muskingum Este metoda fue presentado por primera vez en 1938 (referencia 5.8). Utiliza la ecuacion de continuidad 5.19 en su forma discreta:

de masa:

y-- +

103

Trdnsito de avenidas en cauces

v--

ay

ay

+

ax

q

Ilt -

0;

+

0; +

1

Ilt = IlV

(5.30)

( 5 . 2 8 ) B

2 2

at

104

Almacenamiento

y trans ito en vasos y cauces

Vc = f(I - 0)

y una relacion algebraica entre el almacenamiento en el tramo V y las entradas I y salidas 0 de la forma:

V

=

K0

+ Kx

(1 -

0) = K [xl

+

(l - x) 0]

dondefindica

f

(0)

Kx (I -

(5.34)

0)

De la ecuacion 5.31:

(5.31 )

donde K es una constante llamada parametro de almacenamiento y x es un factor de peso que expresa la influencia relativa de las entradas y las salidas del almacenamiento en el tramo. La ecuaci6n 5.31 esta planteada pensando en que el almacenamiento en un tramo de rio se puede dividir en dos partes (vease figura 5.13). El primero es un almacenamiento en prisma, KO, que depende solamente de las salidas y serfa el unico si el nivel de la superficie libre del agua fuera paralelo al fon do del rfo. Este almacenamiento se puede comparar con el que se tiene en el caso de un vaso, que, si se combina la ecuacion 5.23 con la figura 5.3, se expresa como: Vp =

105

Transito de avenidas en cauces

(5.32)

Sustituyendo la ecuacion 5.35 en la 5.30se 0; +

---~At

- ----

2

1

+

2

tiene:

0; At = K [xCIi +

1 -

+

IJ

(I - x) (O, +

0i)]

1 -

Despejando 0; + I:

O,

Kx

+ 1 = -----

+ sin + Atl2

Atl2 - Kx I; + --::::---:------:---::: I; + K(l - .r) + Atl2

K(l - .r)

1

+

K(l - .r) -

K(l - x)

+

Atl2 0; f::..t12

o bien:

alguna funci6n. En el caso de cauces, se supone que la funcion

0; +

f(O) es de la forma:

(5.36)

I

donde

f(O)

=

KO

(5.33)

El otro tipo de almacenamiento, que en general no existe en el caso . de vasos, llamado almacenamiento en cuiia, se debe al efecto de la pendien te de la superficie libre del agua en el gasto. Esta pendiente depende tanto de las entradas como de las salidas, y en el metodo de Muskingum el almace namiento en cufia se toma como una funcion lineal de la diferencia de ambas:

Almacenamiento en cuna = Kx (I -

0)

Kx ex

+

Atl2 - Kx

Atl2

= K (l - x)

+

KO

Figura 5.13 Almacenamientos durante el paso de una avenida.

Atl2

Atl2

Notese que C1 + C2 + C3 = 1. Con la ecuacion 5.36 es po sible hacer el trans ito de cualquier avenida por el tramo dados At y los valores de K y x. Como en el caso del transite de avenidas en vasos, se recomienda que At cumpla con la condicion 5.21. El parametro K tiene unidades de tiempo y su valor es aproximadamente igual al tiempo de viaje del pi co de la avenida a 10 largo del tramo (referencia 5.9):

K= Almacenamiento en prisma =

K(I - x) -

L w

(5.37)

donde L = longitud del tramo y w = velocidad promedio del pico de la aveni da. w puede estimarse, en relacion con la velocidad media del agua v, como (referencia 5.5):

Almacenamiento y transite en vasos y cauces

106

El parametro x varia entre 0.0 y 0.5. S, x = 0.0, el volumen almace nado en el tramo es s610funci6n de la salida 0 (vease ecuaci6n 5.31), es de cir, no existe almacenamiento en cufia y el tramo se comporta como un vasa cuya curva de gastos es la ecuaci6n 5.33. S, x = 0.5, las entradas y salidas tienen la misrna importancia y no habria ningun abatimiento del pico. En ter minos muy generales, se puede decir que x se aproxima a 0.0 en cauces muy caudalosos y de pendiente pequefia, y a 0.5 en caso contrario. A falta de otros datos, es recomendable tomar x = 0.2 como un valor medio. Cuando se cuenta con al menos una avenida medida en ambos extremos

del cauce, los parametres K y x se estiman con mayor precisi6n mediante el siguiente razonamiento. Si se dibuja la ecuaci6n 5.31 en una grafica tomando V como ordenada y (xl + (1 - x)O) como abscisa, se obtendra una linea recta con pendiente K. Por otra parte, el volumen almacenado en el tramo hasta un tiempo to dado es el area acumulada entre el hidrograma de entrada y el de salida (vease figura 5.14), es decir:

V =

JI

to 0

(I - 0) dt

107

Transito de avenidas en cauces

v

X. = 0.1

//

)1K x "0.2

1 1/

A' 1 \

XI

I;

+ (/ -

X) 0

Figura 5.15

Ejemplo 5.6. En los extremos de un tramo de un rio se han medido los gastos mostrados en la tabla 5.9. Se requiere transitar la avenida mostrada en la columna 2 de la tabla 5.11. Tabla 5.9 t

I

dias m31s

m31s

0 1 2

59 93 129

Figura 5.14 ,-

I.X "" 0.3

I

(5.39)

Entonces, si se supone un valor de x, se calcula [xl + (1 - x)O] y el resultado se grafica contra el volumen almacenado para tiempos 0 :5 t :5 tl (vease figura 5.14), y la grafica tendra que ser una lfnea recta de pendiente K si el valor supuesto de xes el correcto. En caso contrario, es necesario su poner otro valor de x hasta que se obtenga aproximadamente una lfnea recta (vease figura 5.15).

I, 0

/

0

42 70 76

3 142 4 183 5 185 6 213

205 210 234 325

7 8 9 10 11

12

13

14 15 16 17

18 19 83 20 75

59 59

554 627 526 432 252 203 158 130 105 90 80 68

293 397 487 533 481 371 252 196 161 143 112 95

108

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

Tabla 5.10 xl Vt

t, dias

m3/s·dfa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

17 40 93 156 183 232 344 605 835 874 773 544 376 282 216 160 107 75 48 24 8

x

= 0.1 44

x

+

(1 - x) 0

= 0.2 45 75 87 155 188 195 235 345 443 495 513 435 337 233 183 150 132 106 90 78

72

81 148 186 190 224 319 420 491 523 458 354 243 189 155 138 109 92 81 73

72

x

= 0.3 47 77 92 161 191 200 247 371 466 499 503 412 321 224 176 144 127 102 87 76 70

x

= 0.4 49 79 97 167 194 205 258 397 489 503 493 389 304 214 170 139 122 99 84 73 69

Solucion Como se cuenta con una avenida medida en ambos extremos del tramo, se puede calibrar el metodo (es decir, valuar x y K) con el procedimiento descri to anteriormente. a) Calibracion del metoda (valuaci6n de x y K). De acuerdo con la ecuaci6n 5.39, el volumen almacenado se calcula como:

VI

1: (1 -

0) At

1=0

+

En la tabla 5.10 se muestra el calculo de las parejas de valores (V, [x I (l - x)O]) para todos los tiempos que se tienen en la tabla 5.9 y en

la figura 5.16 estan dibujadas las graficas correspondientes. En esta figura

1---j-+-+--+---iI-ol-o-I-0c5-I0-c5-l0-o- 00-00-1-00- -00I--+--+---+-+-+-+--+-I--l-rl-i- 8JP i

'7-1-+-- --+-----1----1----1

-%w '--+-+-+-+-+-+_+-+-+-Hf-, t-f-T-ir-+rn-1--1-l-j

I-H--+--+-+-++++-+-+---+-r--

,

'.1\

I

'

N

+----

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

110

111

Bibliografia

Tabla 5.11 1

I

2

3

1

0

t, dias

m31s

m31s

(0)

(1)

(2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29

40 80 130 240 350 610 1050 980 760 610 525 940 1 520 1 210 1 180 1005 930

40 35 59 92 176 258 435 847 962 849 704 537 731 1286 I 241 1 224 1090 1 001 883 812 737 695 646 563 468 372

810

760 690 660 600 500 400 310 250 190 170 140

ex C1

C2

x)

+

Iltl2

ex Ilt!2 -

Kx

ex

+

Ilt 2

=

1.71 (0.6)

+ 0.5

1.526

1.714 (0.4) + 0.5 1.526

0.777

0.5 - 1.714 (0.4) 1.526

-0.122

K (1 - x)

1.714 (0.6)

0.5

1.526

0.346

Observese que C1 + C2 +C3 = 0.777 - 0.122 + 0.346 La ecuaci6n para el transito es (vease ecuacion 5.36): O,

+ 1 = 0.777Ii

-

0.122 I,

+ 1

+ 0.346 O,

1.0. (5.40)

En la columna 3 de la tabla 5. 11 se muestra la avenida transitada, que resulta de aplicar recursi vamente la ecuacion 5.40.

BIBLIOGRAFIA 5.1 5.2 5.3

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J

195

:{ ;1

se observa que la grafica que mas se aproxima a una linea recta es la corres pondiente a x = 0.4. La pendiente de esta linea es 1.714, por 10 que los valo res de los parametres x y K son x = 0.4, K = 1.714 dfas. b) Trdnsito de -la avenida

Una vez estimados los parametres x y K, 0 bien calculados como se hizo en el inciso a, es posible calcular los coeficientesdel metodo de Muskingum cion 5.36). En este caso sus valores son los siguientes:

+

Kx

Ilt!2

3 0 0 2 3 1

(ecua

= K(1 -

:~

5.7

Berezowsky, V. M. "Escurrimiento a Superficie Libre". Cap. A.2.9. del Manual de Disefio de Obras Civiles, Comisi6n Federal de Electricidad, Mexico, 1980. 5.8 Mc Carthy , G. T. "The Unit Hydrograph and Flood Routing", manuscrito no publicado, presentado en una conferencia de la Division Noratlantica. U.S. Army Corps of Engineers, 24 de junio de 1938. 5.9 Raudkivi, A. J. Hydrology. Pergamon Press, 1979. 5.10 Kottegoda, N. T. Stochastic Water Resources Technology. Halsted Press, 1980.

6

Precipitacion

Desde el punto de vista de la ingenieria hidrologica, la precipitacion es la fuente primaria del agua de la superficie terrestre, y sus mediciones forman el punto de partida de la mayor parte de los estudios concernientes al uso y control del agua. En este capitulo se estudiaran dos aspectos fundamentales de la precipi tacion: por un lado, la manera en que se produce y algunos rnetodos con que se puede predecir dadas ciertas condiciones atmosfericas, para 10 cual sera necesario revisar algunos aspectos basicos de metereologfa y, por otro, la mane ra en que se mide la precipitacion y diversos criterios para el analisis, sfntesis, correccion y tratamiento de los datos.

6.1 NOCIONES DE HIDROMETEOROLOGIA La meteorologia es el estudio de todos los fenomenos atmosfericos. El estu dio de los fenomenos relacionados con el agua atmosferica, que son los que interesan en la ingenieria hidrologica, se denomina hidrometeorologia. Aun cuando esta dentro de la meteorologfa, la hidrometeorologia constituye por sf misma toda una ciencia, cuyo tratamiento ocuparia un volumen mayor que el presente, de manera que en este texto solamente es posible revisar unos cuantos conceptos basicos. A continuacion se veran las definiciones y con ceptos necesarios para el planteamiento de algunos modelos simples de lluvia.

6.1.1 Definiciones a) Presion atmosferica. Es el peso de la columna de aire que gravita. sabre una unidad de area, dividido entre dicha unidad de area.

113

Precipitacion

114 Tubo de vidrio

Nociones de hidrometeorologfa

el peso de una columna de vapor por unidad de area, al cual se conoce co mo presion de vapor. Para una temperatura y presion dadas, siempre hay una cantidad maxima de vapor por unidad de volumen que puede existir sin con densarse, es decir, sin pasar al estado lfquido, Cuando una masa de aire contiene esta cantidad maxima de vapor, se dice que esta saturada y la temperatura existente en ese momento se denomina punto de rocio, La presion de vapor de saturacion es la presion de vapor que existe en una masa de aire cuando esta saturada. Se puede relacionar con la presion de vapor que se tiene en un momento dado mediante la ecuacion (referenda 6.1):

(graduado) Columna de mercurio Presion

Recipiente con mercurio

ed = ew

Figura 6.1 Experimento de Torricelli.

La presion atmosferica se mide normalmente con aparatos que usan el mismo principio que el de Torricelli (vease figura 6.1); entre mayor sea la presion atmosferica, mayor sera la altura h de la columna que se alcance en el tubo. Al nivel del mar, esta columna alcanza una altura de aproximadamen te h = 760 mm de Hg. La altura h se usa como unidad de presion. Otras uni dades de presion atmosferica muy usadas son el bar (1 bar = 760 mm Hg), la atmosfera (1 atm = 1.033 kg/cm ') y el kg/ern". ·Un bar se define como la presion que existe en promedio al nivel del mar, con una temperatura de o "C. Existe una convencion internacional que estipula que la presion estan dar 0 de referencia sea la que se tiene al nivel del mar y con una temperatura de 15°C (referencia 6.1), que es de 1013.2 mb (1 bar= 1 000 mb, mb = milibares. ) La presion varia con la altitud a razon de aproximadamente 1 mb por ca da 10 m, 0 mas exactamente en la forma: 5.256

P

= 1013.2 [ 288~· 0.0065z ]

288

115

(6.1)

donde z = altitud sobre el nivel del mar en m y p = presion en mb. b) Presion de vapor. La atmosfera esta formada por una gran cantidad de ele mentos, como son hidrogeno, oxigeno, dioxide de carbono, etc. Desde el punto de vista de la ingenierfa hidrologica, el componente mas importante es, desde luego, el agua, en forma solida, lfquida y, especialmente, gaseosa, a pesar de que el agua lfquida y el hielo juntos no pasan, en promedio, dell % del volumen de la atmosfera y el vapor de agua no representa mas del 4 % . La cantidad de vapor de agua contenida en el aire se expresa como la pre sion que ejercerfa si todos los otros gases estuvieran ausentes, esto es, como

-

0.00066 p (Ta -

Tw) (1

+

0.00115 Tw)

(6.2)

donde ed es la presion de saturacion correspondiente a un punto de rocio Td; Ta es la temperatura real del aire, medida con un termometro cormin (tambien llamado de bulbo secor; Ti; es la temperatura medida con un termometro que tiene el deposito de mercurio cubierto con una franela hiimeda (0 termometro de bulbo humedoi, y ewes la presion de vapor correspondiente. Ta se conoce normalmente como temperatura de bulbo seco y Tw como temperatura de bulbo humedo. Las temperaturas se miden en °C y las presiones en cualquier unidad. c) Humedad relativa. Es la relacion entre la presion de vapor real y la de satu racion, expresada en porcentaje:

H; = 100 --

ea

(6.3)

ed

donde ea es la presion de vapor real, ed es la presion de vapor de saturacion y H, es la humedad relativa en %. La humedad relativa se mide por medio del higrografo, cuyo organo sen sible esta constituido por un haz de cabellos de mujer joven y rubia, la longi tud de los cuales varia sensiblemente con el grado de humedad (referencia 6.2). La humedad relativa se relaciona con la presion de vapor y la temperatura con la grafica mostrada en la figura 6.2. d) Humedad absoluta, Es la masa de vapor de agua contenida en una unidad de volumen de aire: P U

=

mas a de vapor volumen de aire

M;

= --..V

donde Pv es la humedad absoluta, tambien Hamada densidad de vapor centracion de vapor.

(6.4) 0

eon

116

Precipitacion Temperatura,

o

10

20

,

I

I

I

2.6

I

2.4

,-

-- -

2.2 I

I

-2.0

-

Ql

100

:2/

-:t

_I ~~

Humedad relativa

80

-\ ll-

-'-

70

,

I

,

I

-0

'sf!

'0

1

L _

I

40

,

- ~- -

,

1-

-

30

I

I

OJ

J:

--

"C

E I

I ' "

I

.0

t

, -

rco

-

-

I

1.8

-

-1-

-0

co

OJ

:;

I

1.6

0.

0 0.

co

> Ql

-0

c '0 'iii

1.2

-

1.0

0:

0.8

-

I

I

--

,-

t

0.2

~

~

,

30

-'),

--

/ Ilf

r.v l{,

0\0

/'

40

30 20

~~ /'

100

0.

del punto de rocfo) sea mayor de la que normalmente se produce en la atmos

>

fera; en esas condiciones se tendran micleos de condensacion (union de varias

Ql

C '0

'iii Ql

0:

gotitas) uniformes. En realidad, estos rnicleos se forman, con las condiciones de supersaturacion comunes, alrededor de corpusculos de naturaleza mineral u organica presentes en la atmosfera y provenientes de erosion orografica, humos de combustiones naturales 0 artificiales, polen y, en lugar destacado, cristales de sal marina, que se encuentran incluso en sitios ubicados a gran dis tancia del mar. De esta manera se forman gotas mas grandes (con diametros de 100 a SOOJ..t) que tienen ya suficientepeso para caer bajo la accion de la fuerza de gravedad. Durante su cafda las gotas crecen aiin mas en virtud de su coales cencia, con 10 que pueden alcanzar diametros de S a 7 mm 0 mayores. En la ingenierfa hidrologica interesa Ia cantidad de vapor de agua conte

~

90

0-

-0

r) "I~,L

0.7 7, .

k

50

-

rj

-J,/:/v:

IlL::

0.4

- :-:..;:

1

-

I

-

I

I

,

r-

1

-,

', --

0.6

,,I

!f-1 ~'0/

1

f- -I

,

T

-

Ql

-

-

I

-,-

--

,

,,

-

60

1

,

que exista condensacion (vease figura 6.2), es decir, hasta que se pueda al canzar el punto de rocfo. Cuando una masa de aire asciende, se ve sujeta a una presion gradualmente decreciente; entonces se expande y, al expanderse, en virtud de las leyes de los gases, disminuye su temperatura (ver, por ejem plo, referencia 6.3). Si la temperatura disminuye 10 suficientecomopara quedar por abajo del punto de rocfo, puede comenzar la condensacion, Esta tiene lu gar al unirse varias de las pequefias gotas que forman las nubes (cuyo diame

co

-( rn

117

tro esta entre 5 y 100 J..t) para formar gotas mas grandes; sin embargo, para que esta union se verifique en cantidades significativas sin la intervencion de otros elementos, es necesario que la supersaturacion (temperaturas mas bajas

r-. 'W

I

" Nociones de hidrometeorologia

'110

I

~

- - -1I

I

20

40

50

nida en la atmosfera sobre un lugar determinado y, en especial, la cantidad de lluvia que puede generarse de ese vapor. La masa total de vapor de agua existente en una columna de aire de area unitaria y altura z se llama agua pre

to

60

70

80

°F

Temperatura,

cipitable y se calcula, de acuerdo con la ecuacion 6.4, como:

Figura 6.2

(6.6)

e) Humedad espectfica. Se define como la relacion entre la masa de vapor y la de aire htimedo (aire + vapor):

H, = q =

Pv Pa

+

Pv

p;

P

Para que se formen las nubes, el agua que se evapora de la superficie terrestre debe elevarse hasta que la presion y la temperatura sean las necesarias para

= -

pg

(6.S)

donde H, 0 q es la humedad especffica, M; es la masa del aire seco, Pa es la densidad del aire seco y p es la densidad del aire lnimedo. 6.1.2 Contenido de vapor de la atmosfera. Agua precipitable

Si se acepta que la presion varia hidrostaticamente, esto es, dp

dz; W=-

P )

p;

--dp

(6.7)

pg

Po

De Ia definicion de humedad especifica (ecuacion 6.5): W= -1 g

1

pO

P

qdp

(6.8)

Precipitacion

118

Nociones de hidrometeorologia

En la ecuacion 6.8, pesta en unidades de [FL -2] Y W resulta en unida des de [ML -2]; si, como es cormin, pesta en mb y se desea que Weste en unidades de volumen/area, es decir, de longitud 0 lamina, la ecuaci6n 6.8 es: W = 10

r

J

p'o p

119

24o.o+-=----------+---------+----------11-'-10ooo

(6.9)

q dp

Con la ecuacion 6.9 es posible calcular el agua precipitable si se dispone de datos de humedad especffica a diferentes altitudes 0 niveles de presion, co mo se muestra en el siguiente ejemplo.

E

E ~

c 540~.0~

-+-_~

1013J..0_

+

~ j ~

Ejemplo 6.1. Un globo de sondeos meteorol6gicos registr6 las humedades es pecfficas mostradas en la columna 3 de la tabla 6.1 a las altitudes seiialadas en la columna 2. Obtener la lamina de agua precipitable que existe: a) entre o y 1 000 m, b) entre 0 y 10000 m y c) entre 2 500 Y 7 500 m.

.

------+---------F5000

-+

0.000

La presion (columna 4) se calcula en funcion de la altitud

Z usando

la ecuacion

6.1. El agua precipitable entre dos altitudes ZnD Y Znl se determina mediante la siguiente aproximacion a la ecuacion 6.9 (vease figura 6.3):

E

W= 10

(2)

m

s;

(3)

kg/kg

(4)

(5)

Pn' mb

p; - P« +

(6) I

qll

+

qll +

I

10

(7) (5

x

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

,

0 1000 2500 3400 6100 7500 8300 9200 10000

0.0142 0.0124 0.0095 0.0070 0.0063 0.0056 0.0038 0.0017 0.0002

1 013.2 899.0 747.0 666.0 465.0 382.0 341.0 298.0 264.0

0.005

0.010

0.015

Humedad especffica q, kg/kg

Figura 6.3

En la columna 7 de la tabla 6.1 se han calculado las laminas de agua pre cipitable entre cada dos altitudes sucesivas. De los valores de esta columna y la ecuacion 6.10 se obtiene:

Tabla 6.1

z.,

~

(6.10)

2

n = no

n

~ ~ ~

O

Soluci6n:

(1)

~

114.2 152.0 81.0 201.0 83.0 41.0 43.0 34.0

0.0133 0.D11O 0.0083 0.0067 0.0060 0.0047 0.0028 0.0010

15.19 16.64 6.72 13.46 4.98 1.93 1.23 0.34

6)

a) W (0,1 000) = 15.19 mm b) W (0,10000) = 60.49 mm c) W (2500, 7 500) = 41.88 mm Desafortunadamente, es diffcil que se tengan a la mano datos de sondeos meteorologicos, por 10 que la lamina precipitable W debe estimarse usando me diciones en la superficie terrestre, que son mas faciles de obtener. Los datos que se usan en este caso son los de punto de rocfo en la superficie Td. Si se cuenta con este dato, la lamina precipitable se estima suponiendo un estado de saturacion, con 10 que es posible usar datos estandarizados como los de la grafica de la figura 6.4. Para usar esta grafica se deben seguir los contornos de las lfneas de Td; 10 mismo sucede si se usa con la altitud, pero si se usan presiones, se debe referir horizontalmente.

120

Precipitacion Td, Temperatura punto de recto, °C. -10 0 5

10

18

20

24 25

27

300

500 .0

E

C ·iii '0

a:

600

Q)

700 800 900 1000 0

Tabla 6.2 Agua precipitable (mm) entre la superficie (1 000 mb) y la altitud indicada, como funci6n del punto de rocfo (0C) a 1 000 mb Altitud

400

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

W, Lamina precipitable, mm

Figura 6.4

Asf, por ejemplo, si se tiene Td = 20°C Y p = 700 mb, W resulta ser de 35 mm; para un punto de rocfo de 5 °C y z = 3.66 km, Wes de 12.5 mm. Con la tabla 6.2 tambien es posible calcular Wen funcion de la al titud. El punto de rocfo con el que se usan la figura 6.4 y la tabla 6.2 esta referido al nivel del mar (1 000 mb). Cuando el dato de punto de rocfo esta tornado a una altitud diferente, es necesario corregirlo usando la fi gura 6.4a. 6.1.3 Vientos El viento es aire en movimiento. Su velocidad se mide mediante anemometros o anemografos y su direccion por medio de veletas. Las unidades en que se expresa la velocidad del viento mas comunes son km/h, m/s 0 nudos (1 nudo = 0.526 m/s). Generalmente, se le llama "vien to" s610al componente horizontal del movimiento del aire, pues el vertical casi siempre es muy pequefio.

121

Nociones de hidrometeorologia

Punto de rocio a los 1 000 mb, en °C

(m)

0

5

10

15

20

25

30

200 400 600 800 1000 1400 1800 2 000 2400 2800 3 000 3400 3800 4000 5 000 6 000 7000 8000 9 000 10 000 11000 12 000 13 000 14 000 15 000

1 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8

1 3 4 5 6 7 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 14

2 4 5 7 8 10 12 13 15 16 17 18 19 19 20 21 21 21 21 21 21

2 5 7 9 11 15 18 19 22 24 25 26 28 28 31 32 33 33 33 33 33 33

3 6 10 13 15 20 ,25 27 31 34 35 38 41 42 46 49 51 52 52 52 52 52 52 52

4 9 13 17 21 28 34 37 43 48 50 54 58 60 67 72 76 78 80 80 81 81 81 81 81

12 17 22 23 37 46 50 57 65 68 74 80 83 94 103 110 115 118 121 122 123 124 124 124

6

6.1.3.1 Fuerzas que producen los vientos

Las fuerzas que producen los vientos son fundamentalmente: la de presion, debida a la rotacion de la Tierra (Coriolis), la centnpeta 0 ciclostrofica y la de friccion. A continuacion se describe brevemente cada una de estas fuerzas y las relaciones entre ellas. a) Fuerzas de presion.

Las diferencias de presion entre dos puntos cualesquiera de la atmosfera producen vientos, del mismo modo que la diferencia de presion en dos puntos de seno de un lfquido produce una corriente (vease figura 6.5).

122

Precipitacion

123

Nociones de hidrometeorologia

Temperatura, en DC

F.igura 6.4a Diagrama para ajustar los valores de punto de rocio, refiriendolos al myel del mar (1 000 mb).

La presi6n se mide, como todas las demas variables atmosfericas, cada tre~ horas en todos los observatorios del mundo. Con estas mediciones se di b~Ja~mapa~ de isobaras 0 Ifneas que unen puntos de igual presi6n. Es cormin dlbuJ~r las isobaras a cada cuatro mb (vease figura 6.6). Si se toma el elemento sombreado de la figura 6.6 (vease figura 6.7), de la segunda ley de Newton se tiene: F = ma

y la masa del mismo es: m

= p

Ax o:1y Az

(6.13)

donde p es la densidad. Sustituyendo (6.12) y (6.13) en (6.11) y simplificando, se obtiene: dv

1

P2 - Pi

dt

p

Ax

dp --p dx

La aceleraci6n del viento debida al gradiente de presiones es entonces:

dv

m-dt

(6.11)

B =

_!_ p

pero la fuerza actuando sobre el elemento es:

dp

(6.14)

dx

b) Fuerza debida a la rotaci6n de la Tierra (Coriolis).

(6.12) Isobaras a cada 4 mb

Mediciones a 500 m de altitud a la misma hora del dfa

Si se traza una lfnea a velocidad constante de arriba hacia abajo en un trozo de madera que se mueve de izquierda a derecha con una velocidad tam bien constante, la lfnea trazada sera una lfnea recta (vease figura 6.8 a). En

r-7I lL_j -

....v._,.

v

(b)

(a)

Figura 6.S

Figura 6.6

Figura 6.8

Precipitacion

124

cambio, si se intenta hacer 10 mismo del centro al borde de un disco que gira con una velocidad angular constante, la lfnea trazada sera siempre curva (vea se figura 6.8b). Esto se debe a que la velocidad lineal varia a 10 largo del radio del disco, al contrario de 10 que sucede en el caso del trozo de madera. Si un observador esta situado en un punto como el A, girando con el disco, pensana que existe alguna fuerza desviadora que produce que la trayectoria se desvfe de una lfnea recta. Lo mismo sucede con la Tierra; si un proyectil se lanza hacia el ecua dor, siempre se desvia hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la iz quierda en el hemisferio sur. A la fuerza imaginaria que produce esta desviacion se Ie llama de Coriolis, La aceleracion asociada a dicha fuerza es (refer en cia 6.1):

6.1. 3.2 Relaciones entre las fuerzas

Si el flujo del aire es tal que se puede despreciar l~ friccion, y las isobaras son aproximadamente rectas, de tal modo que el ~a.dl~de cu~vatura ~e la tra yectoria del viento es infinito, en estado de equilibrio se tiene que.

F=C=OI B

j

Un viento generado en estas condiciones se ~l~maviento geostrofico. De las ecuaciones 6.14,6.15 Y 6.17 se puede escribir: 1 p

(6.15)

dp

= 2 v w sen ¢

dx

es decir:

donde

v w

= velocidad del viento, m/s. = velocidad angular de rotacion

¢

=

v

(6.17)

= G

---

G == 2 v w sen ¢

125

Nociones de hidrometeorologia

10 -5 rad/s. latitud.

de la Tierra, rad/s; w

7.272

X

= -----2pw

i1p

sen ¢

que es la velocidad del viento geostrofico. . Cuando la friccion es despreciable, pero l~s isobaras son curvas, ~l com ponente ciclostrofico del viento es diferente de cero y entonces se tiene el llamado viento gradiente:

c) Fuerza centrfpeta.

B=G+C Esta fuerza se desarrolla cuando el viento tiene una trayectoria curva, co mo en el caso de los ciclones. Su aceleracion es:

(6.16) donde res el radio de curvatura de la trayectoria. Para fines practices, r se puede tomar como el radio de curvatura de las isobaras. d) Fuerza debida a Ia friccion,

La fuerza producida por la friccion acnia en sentido contrario a la direc cion del viento y su magnitud depende de la naturaleza de la superficie de la

(6.18)

Ax

(6.19)

De la ecuacion 6.15 se observa que las fuerzas de Coriolis son pequefias en latitudes cercanas al ecuador. En estas tatiuides es donde se .producen las co rrientes de aire de alta velocidad tipicas de los ciclones tro~lcales, ~n las que solo intervienen las fuerzas de presion y ciclostroficas. Al viento asi generado se Ie llama viento ciclostrofico:

B=C

(6.20)

El viento inercial se produce cuando, ademas de la friccion, se puede des

preciar la fuerza debida al gradiente de presiones y entonces:

G=C

(6.21)

Tierra. En general, esta fuerza es muy pequefia en comparacion con las de

mas, y puede despreciarse, especialmente, en altitudes mayores de unos 600 m.

En general, las cuatro fuerzas acnian combinadas en mayor 0 menor me" dida. Esto constituye el denominado viento real:

126

Precipitacion

z

T Z1

Nociones de hidrometeorologia

Los modelos de lluvia mas simples son el de plano inclinado y el conver gente. El primero describe, de modo simplificado, el proceso que se. da en la producci6n de precipitaci6n en tormentas orograficas 0 frontales, mlen~ras que el segundo describe el que se verifica en el caso de tormentas convectivas o en el de las cicl6nicas. 1---

_ilo......:::::... ,..

6.1.4.1 Modelo de plano inclinado

_

El modelo de plano inclinado (vease figura 6.10) considera una masa de aire que tiene una lamina precipitable W12, que entra a un~ cuenca r~ctangular de ancho X y largo Y con velocidad VJ2. La masa de aire, despues de elev~r se uniformemente a 10 largo de la cuenca hasta una altura Sh, sale de la nus-

V

Figura 6.9 Velocidad del viento.

B=G+C+F

(6.22)

6.1.3.3 Variacion de la velocidad del viento con la altura

ma con una velocidad V34 y una lamina precipitable W34. . La masa (m) que pasa por cualquier secci6n de altura tlz en un intervalo de tiempo Ilt es:

m

En general, la velocidad del viento varia con la altura de manera exponencial (vease figura 6.9). Esta variaci6n se expresa de varias formas, entre las cuales la mas utili zada es la siguiente: -v= VI

(Z-)k -

127

--

Ilt

= p IlzXv

'Y

= -tlzXv

g

(6.24)

donde p = densidad del aire, 'Y = peso especffico del mism~ y g = aceler~ ci6n de la gravedad. Si se acepta que la distribuci6n de presiones es aproxl madamente hidrostatica, entonces:

(6.23)

(6.25)

ZI

donde VI YZI son una velocidad Yuna altitud de referencia, respectivamente. Con la ecuaci6n 6.23 es posible estimar la velocidad del viento a cualquier altitud .si se tienen mediciones de la misma en un punto cercano, por ejemplo, a la superficie terrestre. De observaciones experimentales, se ha encontrado que el valor de k varia entre 117Y 115para un amplio rango de condiciones y que el valor mas frecuente es k = 117,principal mente en alturas Z I de has ta unos 10 m.

Modelo de Iluvia

6.1.4 Modelos de lluvia Los modelos de lluvia son metodos con los cuales se aislan los factores signi ficativos en el proceso de precipitaci6n y se extrapolan hasta sus extremes pro babIes, de tal manera que se tenga una idea razonable de la maxima precipitaci6n que puede caer en una zona dadas ciertas condiciones atmosferi cas. Estos modelos son mas aplicables a gran escala que a tormentas peque fias, pues en las iiltimas los errores que inevitablemente se cometen en la

estimaci6 n del flujo de humedad pueden llegar a

ser considerables.

126

Precipitacion

Nociones de hidrometeorologia

127

(b) Planta

Figura 6.10

128

Precipitacion

y de la ecuaci6n 6.24 se tiene: m

I:l.p

--=--Xv I:l.t

(6.26)

g

Por otra parte, del principio de conservaci6n de masa se tiene que: masa que entra

masa que sale

masa almacenada

I:l.t

I:l.t

I:l.t

--

g

X

se Ie llamafactor geometrico 0 cons cuenta la influencia de la geometrfa de la cuenca en la precipitaci6n. La ecuacion 6.31 tambien se puede escribir como:

[ (6.27)

g

Simplificando: I:l.PI2 V34 = -VI2 I:l.P34

(6.28)

Del mismo modo es posible establecer una ecuaci6n de continuidad de humedad: humedad precipitable que entra

humedad precipitable que sale

I:l.t

I:l.t

humedad precipitada

(6.29)

I:l.t

aunque, en este caso, la cantidad almacenada, que es la humedad que se pre cipita dentro del modelo, ya no es despreciable, por 10 que debe conservarse en el analisis, De la ecuaci6n 6.29, se tiene: WpXY

=

I:l.t

WpA I:l.t

_- .

KVI2 WI2

1 - --W34 -t-.PI2 ]

WI2

I:l.t

(6.32)

I:l.P34

El termino entre parentesis de la ecuacion 6.32 se interpreta como la frac cion del agua precipitable de entrada WI2 que "se suelta" en la cuenca y se llama factor de convergencia 0 de eficiencia. Al factor: We =

I:l.P34 Vl2 = -X V34

129

rante un tiempo I:l.t. Al cociente K =XIA tante de la cuenca y es el que toma en

--Wp

La masa almacenada, es decir, la masa de la precipitaci6n que se produce dentro del modelo, es muy pequefia en comparaci6n con las de entrada y sali da, por 10 que se puede despreciar. La ecuaci6n de continuidad de masa es, segun las ecuaciones 6.26 y 6.27, I:l.Pl2

Nociones de hidrometeorologia

WI2

[

I -

W34 WI2

I:l.P.12 ] I:l.P34

se Ie llama agua precipitable efectiva. El termino del lado izquierdo de las ecuaciones 6.31 y 6.32 es una lamina de lluvia por unidad de tiempo, que de aquf en adelante se Ilamara intensidad de fa lluvia. En este caso, i = W/ I:l.t es una intensida~ lfledia que prevalece durante el tiempo en que se tienen las condiciones meteorol6gicas dadas en la figura 6.10. La ecuaci6n 6.32 se puede escribir como: (6.33) En una cuenca real el factor geornetrico K se calcula haciendo que X sea un lado de un rectangulo que circunscribe a la cuenca, perpendicular a la di recci6n del viento (vease figura 6.11). Cabe aclarar que en este tipo de modelos se supone que la masa de aire es estable y que, por 10 tanto, el ascenso de la misma es producido unicamente

(6.30)

donde Wij X vij es la humedad precipitable que pasa por la secci6n ij, Wp es la humedad precipitada en la cuenca y A es el area de la cuenca. Sustituyendo la ecuaci6n 6.28 en la 6.30 y reacomodando, se tiene: Wp = X VI2 [ WI2 I:l.t A

W34 I:l.PI2 ] I:l.P34

Con la ecuaci6n 6.31 es posible calcular la precipitaci6n total

(6.31) Wp que

se

tiene en una cuenca si las condiciones dadas en

128

la figura 6.10 prevalecen du-

Precipitacion

Nociones de hidrometeorologia

129 Figura 6.11

Precipitacion

130

131

Nociones de hidrometeorologia

La densidad de la atmosfera internacional estandar al nivel del mar es:

r-

P = 0.125

A ~ 8000 km2

kg S2 --4-; m

la diferencia de presiones y la distancia entre isobaras son:

150 km

1

kg/m2 _ 2 - 40.8 kg/m , t:.p = 4mb = 4 X 10.19 --

t:.x = 350 000 m

1 008 rnb

I"

1 004 mb 600 km-----o--l (a)

y

P, ~ 1 002 mb

Planta

(b)

mb

la velocidad es entonces:

Corte

0.125

Figura 6.12

2

7.3

X

X

10-5 sen(200)

40.8 350000

18.68 mls

EI agua precipitable efectiva es: por la barrera frontal 0 topografica, Este proceso es poco cormin en la natura leza y produce lluvias leves. En general, las masas de aire se hacen inestables al elevarse y la precipitacion se produce por una combinaci6n de efectos con vectivos y orograficos. Ejemplo 6.2. Calcular la intensidad de precipitacion y la altura total de preci pitacion en la cuenca de la figura 6.12, si se sabe que el viento de entrada

We = WI2

W34

De la figura 6.2, para Ta = 25°C Y H; = 40% el punto de rocio es Td 12°C. Con este valor de Td y los niveles de presion dados en la figura 6.12, es posible determinar las laminas de agua precipitable WI2 y W34, con ayuda de la figura 6.4. Estas laminas son: PI

Solucion

Por 10 tanto:

P2 P3 P4

= 1002 700 800 600

=:;

K

V12

We

X =:;

-

We = 0.019 - 0.009

150 = --A 8000

=;

0.019 I km

===

19

X

10-6 1m

t:.p p

2

w

sen ¢

t:.x

1 002 - 700 = 0.0054 m 800-600

La intensidad de la lluvia i es entonces: i = 19

Como el viento de entrada es geostrofico, su velocidad se calcula con la ecuacion 6. 18: Vl2

W2 = 19 mm W3 = 14 mm W4 =23 mm

19 mm = 0.019 m 9 mm = 0.009 m

EI factor geometrico es (vease figura 6.12): K

WI =0

mb mb mb mb

De la ecuacion 6.33 se tiene: i

t:.P12

---

t:.P34

es geostrofico, En el punto 1, el aire tiene una temperatura de bulbo seco de 25°C y una humedad relativa del 40 %. Estas condiciones meteorologicas pre valecen durante 4 h. La latitud aproximada es 20° A. N (AN latitud norte). =:;

-

o bien:

X

10-6

X

18.68

X

0.0054

1.92

X

10-6 mls

130

6.9 mm/h

Precipitacion

Nociones de hidrometeorologia

131

,'I'

132

Precipitacion

y la altura total de precipitacion es: hp= i f1t

=

6.9

X

4

=

27.6 mm

E I v o

l u r n e n

d e ll u vi a

que cae sobre la cuenca es: VII

= hp A = 27.6 X VII = 220.8

10-3

X

8000

X

106

X 106 m'

6.1.4.2 Modelo convergente con flujo radial de entrada Cuando el aire es forzado a converger en una cierta zona, se produce un mo vimiento vertical del mismo por la elevacion de la presion en la parte inferior

de la zona (vease figura 6.13). Si el aire con agua precipitable W12 converge radialmente a una colum na circular de radio r y toda esa agua precipitable se deposita en la base del cilindro, la intensidad de la lluvia serfa:

Nociones de hidrometeoro logia

(a)

Pla nta

133 (b) Elevaci6n

Figura 6.14 i =

2

= -

r

Vl2

WI2

(6.34)

mas realista, que representa un caso que sf puede mantenerse por periodos razonables de tiempo, es el que se muestra en la figura 6.14. Se puede demostrar (referencia 6.1) que, en este caso, el agua precipita

En este caso, el factor geometrico serfa K

= ~

r

y el factor de eficiencia

tomana el valor de 1. Este valor es practicarnente imposible, aunque en cicio nes intensos la situacion se aproxima a esta bajo ciertas condiciones; en reali dad, si solo hay entrada de aire, la presion dentro de la columna de la figura 6.13 aumenta de manera continua hasta que el gradiente de presion se invierte y, entonces, el aire se ve obligado a salir por alguna parte. De aquf que la situacion arriba descrita no pueda mantenerse por mucho tiempo. Un modelo

ble efectiva resulta igual que en el modelo de plano inclinado: We = W!2 -

---f1P12 f1P34

W34

y, entonces, la intensidad es: (6.35)

Z2

r-----...,

(a) Planta

Figura 6.13

(b) Elevaci6n

6.1.4.3 de los modelos Limites

Tanto en el caso del modelo de plano inclinado como en el del convergente, es necesario fijar las altitudes 0 niveles de presion que limitan al modelo. Para ello, se pueden tomar en cuenta los siguientes comentarios:

a) Limite superior del modelo P4. EI punto 4 en ambos modelos (veanse figu ras 6.10 y 6.14) es el lfrnite hasta el cual se produce precipitacion, Para fines practicos, este punto se puede tomar como la altura media de la parte superior de las nubes cumulonimbus en las diferentes latitudes y estaciones del afio. Las observaciones hechas en este sentido indican que dicha altura varia entre los 8 y los 16 km, que corresponden aproximadamente a niveles de presion de

Precipitacion

134

Tabla 6.3 Punto de rocio, °C P4, mb

Area de captacion

IO

15

20

25

300

240

150

100

135

Medicion de la precipitacion (A)

Malia 1

Embudo

300 Y 100 mb, respectivamente. En el caso del modelo convergente, y en es pecial cuando se trata de tormentas convectivas, es recomendable usar los va lores de P4 dados en la tabla 6.3, en funcion del punto de rocio en la superficie (referencia 6.1).

b) Ancho de fa capa de entrada t.PI2' El ancho de la capa de entrada se pue de tomar como la zona de la atmosfera en donde hay mayor cantidad de hu medad. Normalmente esto sucede entre la superficie de la Tierra y un nivel de presion de 800 a 700 mb, dependiendo tambien del punto de rocfo en la superficie. c) Ancho de fa capa de salida t.P34' El limite inferior de la capa de salida P3 depende, naturalmente, del tipo de modelo; en el de plano inclinado este limite estara dado por la topograffa del terreno 0 la forma del frente y en el caso del modelo convergente, el ancho de la capa de salida puede tomarse igual al ancho de la de entrada, esto es, t.P34 estarfa entre 200 y 300 mb.

6.2 MEDICION DE LA PRECIPITACION Los aparatos mas usuales en Mexico para medir la precipitacion son los plu viometros y los pluviografos. Los pluviometros estan formados por un recipiente cilfndrico graduado de area transversal a al que descarga un embudo que capta el agua de lluvia, y cuya area de captacion es A (vease figura 6.15). Se acostumbra colocar en el embudo un par de mall as para evitar la entrada de basura u otros objetos. El area de captacion A es normalmente diez veces mayor que el area del reci piente a, con el objeto de que, por cada milfrnetro de lluvia, se deposite un centfrnetro en el recipiente. De este modo, es po sible hacer lecturas a simple vista hasta de una decima de milfmetro de lluvia, que corresponde a un milt metro depositado en el recipiente. En Mexico se acostumbra tomar lecturas de los pluviornetros diariamente a las 8 de la manana. Los pluviografos son semejantes a los pluviornetros, con la diferencia de que tienen un mecanismo para producir un registro continuo de precipitacion. Este mecanismo esta formado por un tambor que gira a velocidad con stante sobre el que se coloca un papel graduado especialmente. En el recipiente se coloca un flotador que se une mediante un juego de varillas a una plumilla

Area de recipiente (a)--I--

---+-Malla

-v

2

l ...'

J--+----!-~ Escala

Figura 6.15 que marca las alturas de precipitacion en el papel (vease fig~ra 6.16). El reci piente normalmente tiene una capacidad de ~O mm d~ l~uVIa_Y'al alcanzarse esta capacidad, se vacfa automaticamente mediante ~n sifon ~v~ase figura 6.1~). El pluviografo antes descrito es el de usa mas comun en Mexico, aunque eXIS ten otros tipos en el mundo. Algunos ejemplos son el de resorte, que en lug~r de flotador usa un resorte que se deforma con el peso del a~ua y qu~ es mas preferible cuando se miden alturas de nieve, y el de halancin, que tiene dos recipientes colocados en un balancfn.' de ~odo que cuando .u~o de ellos ~e llena desequilibra la balanza, que gira dejando el otro recipiente en POSIcion de ser llenado. En algunos aparatos (referencia 6.4) el volumen de agua necesaria para hacer girar el balancfn es el correspondiente a 0.25 rum de lluvia. En este tipo de pluviografos, al girar ef balancfn se acciona ~n inte rruptor que produce un impulso electrico que a su vez mueve la plumilla para registrar la altura de precipitacion correspondiente. . El registro que se obtiene de un pluviografo se llama pluvlOgrama. Normalmente, este registro es similar al mostrado en la figura 6.17. ., , En el registro de la figura 6.17, obtenido directamente de un pluv.lO.grafo de flotador y sifon, los descensos ocurren cuando se ha llenado el recipiente, esto es cuando se han alcanzado 10 mm de precipitacion y se desaloja el agua contenida en el por medio del sifon. Es frecuente que el pluvio.grafo tenga alguna falla y por ello los registros resultan defectuosos. En ocasiones ~s po sible recuperar los datos de un registro defectuoso ~,a veces no,. dependiendo del tipo de falla. Tanto para comprobar que elpluvlOgrafo funciona ~orrecta mente como para recuperar los datos de un registro defectuoso, conviene ayu-

136

9 10

Precipitacion

darse del registro del pluviornetro. En las figuras 6. 18a-6.18e se muestran algunas de las fallas mas comunes. Cuando no hubo lluvia en un dfa dado, se acostumbra poner el mismo papel al dfa siguiente y asf sucesivamente hasta que se registre alguna precipi tacion (vease figura 6. 18j);la precipitacionregistrada corresponde, obviamente, al ultimo dfa. Si a un registro como el de la figura 6.17 se Ie quitan los descensos, se obtiene una grafica de precipitacion acumulada contra el tiempo lIamada cur va masa de precipitacion (vease figura 6.19). Notese que esta curva es no decreciente, y que su pendiente, en cualquier tiempo, es igual a Ia intensidad de la lluvia (altura de precipitacion por unidad de tiempo) en ese instante. A partir de una curva masa de precipitaci6n es posible dibujar diagramas de barras que representen las variaciones de la altura de precipitaci6n 0 de

10

11

19

20_21_22_23~

12

13

14

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16 10

17

18

10

9

~ ~ Embudo

~

~~H++HH4~H+~H+tH~tH~tHiTtHiTtt5 .~

Cilindro con

b~~r1T1tt-

qrafica Plumilla --I1---+t....J

Corredera elevador de la plumilla

3

~ ~

.

_l

0

Sif6n--+--_1I

Recipiente recolector

Figura 6.16 Figura 6.17

15

138

Medicion de Laprecipitacion

Precipitacion

139

30

20 10

a) Defecto de sif6n (recuperable).

t, h

b) Sif6n obstruido (no recuperable).

2

3

4

5

6

Figura 6.19 Curva masa de precipitaci6n.

10

/1

E: E:

j

'I ,'1 / I

I

I

I

ft /'

fI II I I

I

I

su intensidad en intervalos de tiempo previamente seleccionados (vease figura 6.20). Estos diagramas de barras se Haman hietogramas. EI hietograma de la figura 6.20a se construye dividiendo el tiempo que duro la tormenta en n intervalos (que pueden ser iguales 0 no) y midiendo la altura de precipitacion que se tuvo en cada uno de ellos. EI hietograma de la figura 6.20b puede obtenerse a partir del de la figura 6.20a, dividiendo la al tura de precipitacion de cada barra entre el tiempo I1t que dura la misma. Am bos tipos de hietogramas son equivalentes, pero uno puede ser mas iitil que el otro dependiendo' del tipo de analisis, como se vera mas adelante. EI intervalo f:!.t seleccionado es importante en cuanto a la informacion que proporciona el hietograma; un valor de I1t demasiado grande arrojarfa muy poca informacion y uno muy pequefio la darfa excesiva y diffcil de manejar.

II

I I

I I I

I

I

o c) Obstrucci6n en la plumilla 0 varillas del flotador (recu perable).

d) Falla de calibraci6n perable).

(recu

hp, mm

'/

0f-----------------

e) Falla de suministro

f) Papel puesto

de tinta

consecutivos.

(no recuperable).

varios dias

~

i, mm/h

20

40

15

30

10

20

5

10 2 a) Hietograma de alturas

precipitacion.

t,h de

t, h b) Hietograma de intensidades.

Figura 6.18

Figura 6.20 Hietogramas.

Precipitacion

140

141

Analisis de los datos de precipitacion

6.3 ANALISIS DE LOS DATOS DE PRECIPITACION

Estaci6n pluviometrica

6.3.1 Lluvia media En general, la altura de lluvia que cae en un sitio dado difiere de la que cae en los alrededores aunque sea en sitios cercanos. Los aparatos descritos en el subcapftulo 6.2 registran la lluvia puntual, es decir, la que se produce en el punto en que esta instalado el aparato y, para los calculos ingenieriles, es ne cesario conocer la lluvia media en una zona dada, como puede ser una cuenca. Para calcular la lluvia media de una tormenta dada, existen tres metodos de uso generalizado:

;/

"

\

/

,~ \

I

\ I

I

I

a) Metoda aritmetico

/

\ \

Consiste simplemente en obtener el promedio aritmetico de las alturas de precipitacion registradas en cada estacion usada en el analisis:

E =

I

\

\ \

/

\ \

\ I

\ \ '\

I

I

-

--¥7

\

n

n i

"

/

/

'\

(6.36)

-;

\- \

\\

\ \

.

15

\

\\

25

20

Figura 6.31

Cuenca completa. Este calculo ya se hizo en el ejemplo 6.4. Los resulta dos son: Incremento mm

0

3.10 3.10

5.63 2.53

9.44 3.81

12.47 3.03

13.64 1.17

15.24 1.60

16.72 1.48

17.00 0.28

6.33 7.12 4.49 3.80 3.81

11.58 11.95 7.94

27.10 24.87 20.91 17.24 17.00

25.01 21.94 18.44 15.43 15.24

20.41 18.42 14.97 12.57 12.47

6.84

8h

6h

4h

Cuando se cuenta con poca informacion sobre tormentas extremas ocurridas en una cuenca, 0 cuando se desea ampliar la informacion sobre las cantidades maximas de precipitacion que se pueden presentar en la misma, puede resul

30

Altura de precipitaci6n, mm

hpaj, mm

2 h

Se seleccionaron para este caso duraciones de 1, 2, 4, 6 y 8 h. En la tabla 6.7 se muestra el calculo de los incrementos maximos. i) En la figura 6.31 se muestran las graficas de los datos de la tabla 6.7.

1000 10

J h

g) h)

J..

5

2

1 998 4218 9638 16933 17350

\

~

3000

Incremento maximo, mm.

Area

\.\\ ~~ 1\\

\~

_, 9..

4000

_\

\

Tabla 6.7

I\.

\

~

-::5

(1l

e

\ 1\1\

161

Analisis de los datos de precipltacion

17.00

tar conveniente trasponer, a la cuenca en estudio, tormentas ocurridas en si tios diferentes.Esto tiene, desde luego, la limitacionde que la torrnenta traspuesta sea meteorologicamente factible de ocurrir en la cuenca en estudio, de mane ra que el sitio donde se presento debe ser similar desde el punto de vista me teorologico. Asi, por ejemplo, no es valido trasponer una tormenta ciclonica a una zona donde solo se pueden presentar tormentas convectivas, ni una tor menta tropical a zonas polares. AI trasponer una tormenta de un sitio a otro, se plantea la hipotesis de que no hay cambios en su estratificaci6n de humedad, sus dimensiones espa ciales ni en la magnitud y distribucion de los vientos de entrada y salida (refe rencia 6.1). Estos y otros factores deben ser considerados al trasponer una hora 9

0

2

3

4

5

6

7

8

tormenta y, en caso de duda, debe consultarse a un meteorologo. La tormenta por trasponer debe estar en forma de curvas hp-A-d como en la figura 6.31. Una vez que la tormenta se ha sintetizado en esta forma, la trasposicion consiste simplemente en multiplicar los valores de la precipita cion por el factor de ajuste (referencia 6.8) (6.41)

1'/

mediante las figuras 6.4 y 6.4a. Despues, mediante el area de la cuenca, se 162 establecen alturas de precipitaci6n para diferentes duraciones dePrecipitacion las curvas hp-A-d ajustadas con el factor K (ecuacion 6.41), con 10 que se obtiene una ~urva curva masa alturas dedeprecipitaci6n en donde masa. ho = I?e aguaesta precipitable en se el calculan punto delas ocurrencia la tormenta por intervalos de tiempo At previamente seleccionados y, por ultimo, se conforman traspone~: para el punto de rocfo persistente durante unas 12 h en el lapso diferentes hietogramas, colocando en diferentes posiciones, pe de duracion de la tormenta, y ha =dichas agua alturas precipitable en la cuenca en estudio ro respetando las alturas de precipitacion acumulada hasta obtener la condi ci6n mas desfavorable .

km2 1 998 4218 9638 16933 17350

8h 6h 1 2 4h h h para el mismo punto de rocfo. Los valores de 42.08 ho y ha se 38.27 31.23 pueden determinar 9.69 17.72 38.05 18.28 28.18 33.57 10.90 6.87 5.81 5.83

12.15 10.50 10.47

22.90 19.22 19.08

33.21 23.61 23.32

31.99 26.38 26.01

Analisis de los datos de precipitacion

163

Tabla 6.8 Area

Altura de precipitacion, mm

. ,La tormenta se puede aiin maximizar multiplicando sus areas de precipi tacion por el factor de maximizaci6n: hM KM = -

ha

(6.42)

donde hM = agua precipitable correspondiente a la temperatura de rocfo ma xima persistente durante unas 12 h en el sitio en estudio.

6.?

Ej~mplo La tormenta de la figura 6.31 se present6 en una cuenca cuya altitud media es de 500 msnm, cuando el punto de rocfo persistente durante 12 h fue de 10°C. Trasponer y maximizar esta tormenta a una cuenca meteo rol6gicamente similar, que tiene una altitud media de 1 000 msnm, un area de 6 000·kru2 y un punto de rocfo maximo persistente de 250C.

Multiplicando los valores de Ja tabla 6.8 por KM = 1.96, se obtiene la tormenta maximizada, tabla 6.9. Con los datos de la tabla 6.9 se forman las curvas hp-A-d mostradas en la figura 6.32. De la figura 6.32 con el area de 6 000 km ' de la cuenca en estudio, se obtienen

los valores de la curva masa, as! como sus incrementos, mostrados en la tabla 6.10.

Tabla 6.9 Area

Altura de precipitacion, mm

Solucion

En primer lugar, se calcula el factor de ajuste K (ecuacion 6.41); de la figura 6.4 con z = 500 m y Td = 15°C, el valor de ho es 7.5 mm, y para 1 000 m y Td = 15°C, resulta ha = 11.5 mm. Entonces: K = -

7.5

= 1.53

Multiplicando los valores de la tabla 6.7 por K

=

km2

1 h

2 h

4h

6h

8h

1 998 4218 9638 16933 17350

18.99 21.36 13.47 11.39 11.43

34.83 35.83 23.81 20.58 20.52

61.21 55.23 44.80 37.69 37.40

75.01 65.80 55.29 42.28 45.71

82.48 74.58 62.70 51.71 50.98

1.53, se obtienen los

. .Ah~~ase maximizara la tormenta de la tabla 6.8 mediante el factor de ma 11.5 xmnzacion KM (ecuacion 6.42). Con z = 1 000 m y Td = 25°C, resulta, de la figura 6.4, hM = 22.5 mm. Entonces: 22.5 KMla=curva -- hp-Asd = 1.96de la tormenta traspuesta (tabla 6.8). datos para

Tabla 6.10 Duracion, h hp, mm

incremento,mm

0 0

18.1 18.1

2 32.0 13.9

4 51.0 . 19.0

6 61.2 10.2

8 70.0 8.8

11.5

,

164

, 2000 0

\ 10000

\\

7000

\,

6000 N

E

Ql

.~

\

~

8000

-" co

\

\

9000

5000

_,.OJ

~p:~~. I

~ f-

-

0

\

1\

,

1\\-

~-\~

(j>

20

20

10

10

-:f

~~OJ

\

J

2000

f--

1

~~

40 Altura

50

60

de precipltacion.

mm

80

I

6- -7-

~I

I

~- t,~

I

I

1 I

_l

2 r- ~- 4

I

I

;>-

)-r- /- -B-

I

I

I I

6.3.7 Curvas intensidad-duraci6n-periodo de retorno (i-d-1)

\\

70

I

'f-

Figura 6.33

1000 30

~-e- ~- -~t,h_

I

': \ \ \ \ \

3000

20

165

~p:~J

\ 'It \0\\ \\

\\

0

10

Andlisis de los datos de precipitacion

\

?"

4000

Precipitacion

90

100

El grado optimo de seguridad de una estructura depende, por un lado, de su costo y, por otro, del costo de las perdidas asociadas con una falla. Por ejem plo, puede ser aceptable que un aeropuerto pequefio se inunde en promedio una vez cada dos 0 tres afios, si el costo de su sistema de drenaje se compara con el de uno que solo permita inundaciones una vez cada 50 afios en prome dio, 0 mas min, podrfa resultar totalmente incosteable un sistema de drenaje con el que se pudiera extraer cualquier cantidad de precipitacion por grande que fuera, aun cuando tal drenaje fuera posible de construir. Por otra parte, serfa poco economico y poco etico aceptar un riesgo alto de falla del vertedor de una presa grande situada aguas arriba en una ciudad Figura 6.32

Finalmente, se escogen varias posiciones de las barras de hietograma; cui dando que se conserve la altura de precipitacion acumulada. En la figura 6.33 se muestran dos de estas posibilidades, Estos hietogramas se usanan poste riormente para alimentar algiin modelo de la relacion lluviaescurrimiento (ca pitulo 8) para obtener diferentes avenidas, de las que se escogerfa la mas desfavorable para el caso de que se trate.

importante, pues esta falla tendrfa consecuencias desastrosas, mientras que en el ejemplo del aeropuerto una insuficiencia del drenaje no ocasionarfa mas que algunas molestias a los usuarios. Sin embargo, al menos en 10 que a la teorfa estadfstica respecta, no es posible tener una seguridad del 100% de que no exista ninguna avenida cu yas dimensiones hagan insuficiente el vertedor de la presa, sino que solo se puede hablar de aceptar un riesgo pequefio. La magnitud de este riesgo acep table depende del balance entre el costo de la obra y el de los dafios que se producirfan al verificarse una falla, y para poder determinar cual es el riesgo que se corre al proponer los parametres de disefio de la obra, es necesario analizar estadfsticamentelos datos hidrologicos recabados en la zona en estudio.

I

166

Precipitacion

Estos datos son fundamental mente de dos tipos: escurrimientos y precipi taciones. Un analisis del primer tipo de datos tendrfa como resultado directo un parametro de disefio, que es el gasto maximo, mientras que el segundo pro porcionarfa datos con los cuales serfa necesario ali men tar un modelo de la re lacion lIuvia-escurrimiento, para obtener una avenida de disefio. En este capitulo se estudiara solo parte del analisis estadfstico de precipitaciones, que se refie re a las curvas intensidad-duracion-periodo de retorno, y todo 10 referente a escurrimientos se tratara con amplitud en el capitulo 9, donde tambien se hara una revision mas profunda de los conceptos de probabilidad y estadistica apli cables a la hidrologia. A continuacion se hace solamente un recordatorio de algunos de dichos conceptos. 6.3.7.1 Algunos conceptos de probabilidad

y estadistica

167

periodo de retorno de la precipitacion maxima en 24 h de 500 mm es de 25 afios " cuando, en promedio, se presenta una precipitacion de esa magnitud o mayor una vez cada 25 afios, Notese que esto no significa que dicha precipi taci6n se presente exactamente una vez cada 25 afios, de la misma manera que el dos no sale exactamente una vez cada seis tiros del dado. De acuerdo con la definicion, la probabilidad de que en cualquier tiro del dado salga un dos es P (2) = 116; entonces se tiene la siguiente relaci6n entre probabilidad y periodo de retorno: P (A) . T

= 1

(6.44)

es decir: 1 T= -

Probabilidad. Si un experimento tiene n resultados posibles y mutuamente ex cluyentes y si de ellos na resultados tienen un atributo a, entonces la proba bilidad de que ocurra un evento A con el atributo a es: P (A) = ~ n

-.

Analisis de los datos de precipitacion

(6.43)

Por ejemplo, el experimento puede llamarse "tiro de un dado" u "ocu rrencia de una torrnenta" y el atributo a puede ser "el mimero que sale del tiro del dado es 2", 0 bien "Ia altura de precipitacion total es mayor 0 igual que 500 mm". Periodo de retorno. Sea A el evento "el mimero que sale del tiro del dado es 2" y B el evento "Ia altura maxima de precipitacion en 24 h en cualquier afioes de 500 mm": Notese que en el experimento "tiro de un dado" es posi ble hablar de resultados que tienen un valor numerico exacto, como 1,2, etc., y las probabilidades asociadas a estos resultados son diferentes de cero (1/6 en cada caso). Es claro, sin embargo, que en el experimento "ocurrencia de una tormenta", la probabilidad de que el resultado tome un valor exacto, como 500 rnm, es nula. En el ultimo caso es necesario hablar mas bien de intervalos, como por ejemplo que la precipitacion mencionada tome un valor de 500 mID o mayor, de 500 mm 0 menor 0 que este en el intervalo de 300 a 500 mm. EI mimero de afios en que, en promedio, se presenta un evento como el B, se llama periodo de retorno, intervalo de recurrencia 0 simplemente fre cuencia y se acostumbra denotarlo con T. Asf, por ejemplo, el periodo de retorno de la ocurrencia del mimero dos en el tiro de un dado es el mimero de tiros en que, en promedio, el dos sale una vez; en este caso T es igual a 6 tiros. Del mismo modo, se dice que "el

(6.45)

P

donde T Y P se refieren a un evento cualquiera A. La misma relacion vale en el caso de la precipitacion maxima en 24 h: 1 T=-~---P(hp ;:::500 mm) esto es, el periodo de retorno de la precipitacion maxima en 24 h de 500 mm es el inverso de que esta precipitacion sea igualada 0 excedida en un afio cual quiera. Obviamente, P (hp =5 500 mm) = 1 - P(hp ;:::500 mm) y, entonces, P (hp =5 500 mm)

= 1 - -

1 T

Usualmente, cuando se tienen datos de un cierto periodo, y se desea aplicar algun metodo estadfstico para extrapolar dichos datos a periodos de retorno mayo res al de las mediciones, es necesario asignar un valor de T a cada dato registra do. Por las razones que se expondran en el capitulo 9, conviene usar la siguiente expresion para asignar periodos de retorno a una serie de datos (ver ecuacion 9.30): T=~

m

(6.46)

donde m = mimero de orden en una lista de mayor a menor de los datos y n = mimero de datos. Riesgo. Si P es la probabilidad de que ocurra un evento en cualquier afio,

P

=-

1

T

168

Precipitacion

I

entonces la probabilidad de que dicho evento no ocurra en un afio cualquiera es:

I

Analisis de los datos de precipitacion

kT" + c)"

(d P

= 1-

1

169

(6.48)

T

donde k, m, nyc

Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un afio cualquiera es independiente de la no ocurrencia del mismo en los alios anteriores y poste riores, entonces la probabilidad de que el evento no ocurra en n alios sucesi vos es: p

p

p

n factores

. p = pll

(l -

_!_)II

son constantes que se calculan mediante un analisis de co

rrelacion lineal multiple (vease apendice B).

Si se toman logaritmos de la ecuaci6n 6.48 se obtiene: log i

=

log k

+

m

log T -

n

log (d

+

c)

o bien:

T

(6.49)

y, por 10 tanto, la probabilidad de que el evento ocurra al menos una vez en n alios sucesivos es: R = 1 -

pn

= 1 - (1 -

_!_)" T

(6.47)

R es IIamada riesgo en la teorfa probabilfstica. Con este parametro es po sible determinar cuales son las implicaciones de seleccionar un periodo de re torno dado para una obra que tiene una vida utiI de n alios.

donde: y al

= log i, ao = log k, a, = m, = -n, Xl = log (d + c)

x,

log T,

Ejemplo 6. 7. Determinar el riesgo de falla de una obra que tiene una vida utiI

de 10 alios si se disefia para un periodo de retorno de 10 alios. Solucion

En este caso, T 6.47: R

=

=

10 alios y n

=

1 - (l - _1_),0 10

10 alios. Sustituyendo en la ecuaci6n =

0.651

EI riesgo es del 65.1 %, es decir, se tiene una probabilidad del 65.1 % de que la obra falle durante su vida titil. 6.3.7.2 Metodos para la determinacion de las curvas i-d-T

ui

ecuaci6n 6.49 es la de una familia de Ifneas rectas de pendiente az, ordefutda al origen ao y espaciamiento a, (vease figura 6.34). Si los datos registrados de i, d y Tse dibujan en papel logarftmico (vease figura 6.34), usualmente se agrupan en torno a Ifneas rectas. A veces las If neas resultan ligeramente curvas, 10 que se puede corregir agregando a las duraciones un valor constante c, 0 bien, en algunos casos, cuando la pendien te de las lfneas varia mucho, dividiendo la Ifnea para cada periodo de retorno en dos rectas. Si los datos se agrupan 10 suficiente en torno a Ifneas rectas,

el valor de c puede tomarse como cero. Al hacer un ajuste de correlaci6n lineal multiple de una serie de tres tipos de datos, se obtiene un sistema de ecuaciones como el siguiente (ver apendice

Existen basicamente dos metodos con los que se puede determinar la relaci6n entre las variables i, d y T para un sitio dado. EI primero, lIamado de intensidad-periodo de retorno, relaciona estas dos variables para cada duraci6n por separado mediante alguna de las

B y referencia 6.9): I;y = Nao + a, I;x, + al I; Xl I;(x, y) = ao I; X, + a, I; (X,l) + al I; (X, Xl)

J

(6.50) funciones de distribuci6n de probabilidad usadas en hidrologfa, que se estudiaran con detalle en el capftulo 9. El segundo metodo relaciona simultaneamente las tres variables en una familia de curvas cuya ecuaci6n es:

I;(Xl y) = ao I; Xl

+

a, I; (Xl Xl)

+

al I; (Xl)l

donde N es el mimero de datos y las inc6gnitas son ao, a, Y al; Xl, Xl Y y son, respectivamente, los logaritmos del periodo de retorno, la duracion (con el valor de c agregado de ser necesario) y la intensidad, obtenidos de un regis tro de precipitaci6n. Una vez calculados los coeficientes ao, a, Y al es posi ble valuar los parametres k, m y n de la ecuaci6n 6.48.

Precipitacion

170 Tabla 6.11

Tabla 6.12

fecha

duracion, minutos

Duracion, minutos

ANO

alio

mes

dia

5

10

20

45

80

120

1954

oct. oct. jul. nov. may. sep.

5 8 8 2 15 21

-

-

-

lO.5

12.8

14.2

jun. ago. ago. jul. sep. may. jun. may.

14 13 11 10 10 17 16 31

1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964

171

Analisis de los datos de precipitacion

8.0 8.0 12.5 7.5

9.3

9.0 8.0 8.0 15.5 11.0

-

-

14.5 20.0 14.3

20.5 24.8 19.0

SIN

9.8 7.1 13.5 8.0 -

10.0

6.8 11.7 7.1 18.5 10.0 -

17.5

-

-

-

34.0 25.5 25.7

48.0 25.6 29.0

15.2

15.6

ATOS

9.2

5.7

-

10.0

-

-

18.0 7.1 20.7 11.5

20.6 7.1 38.5

-

17.7

-

20.3 18.7

-

21.1 7.1 60.0 -

23.1 18.7

-

22.6 7.1 80.0

1954 1955 1956 1957 1959 1960 1961 1962 1963 1964

5

10

20

45

80

120

96 96 150 90 68 118 85 162 96 120

54 48 93 66 41 70 43 111 60 105

28 44 60 43 28 54 21 62 35 53

14 27 33 25 13 27 9 51 27 25

10 26 19 19 11 16 5 45 17 14

7 24 13 15 8 11 4 40 15 10

Intensidades en mm/h

-

30.0 19.8

Alturas de precipitaci6n en mm

Ejemplo 6.8. En una estaci6n pluviografica se han registrado las alturas de precipitacion maxima en mm para diferentes duraciones mostradas en la tabla 6.11. Determinar las curvas intensidad-duracion-periodo de retorno. La Secretarfa de Agricultura y Recursos Hidraulicos y otros organismos cuentan con tablas similares a la 6.11 para un gran mimero de estaciones en la Republica Mexicana. En caso de que no se cuente con esta tabla para la estacion de interes, es necesario recurrir a los registros del pluviografo y, pa ra cada afio de registro, escoger la maxima altura de precipitacion registrada para cada duracion seleccionada. Normalmente, estas alturas maximas de pre cipitacion corresponden a solo una 0 dos de las tormentas rnaximas del afio. Porotra parte, siempre es conveniente manejar estaciones que cuenten con registros de mas de 25 afios para que el analisis sea confiable. Aquf se hara solo con 10 alios a manera de ejemplo. El primer paso es transformar las alturas de precipitacion de la tabla 6.11 a ntensidades i dividiendolas entre sus respectivas duraciones, como se mues tra n la tabla 6.12. e Una vez transformados los datos a intensidades, es necesario asignar a cada uno un periodo de retorno. En la tabla 6.13 se han ordenado los datos

para.cada duracion de mayor a menor y se les ha asignado un periodo de re torno de acuerdo con la ecuacion 6.46. En la figura 6.34 se muestran los puntos correspondientes a los datos de la tabla 6.10. Como se puede observar, los datos tienden a agruparse en torno

Tabla 6.13 ~umero de orden

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T alios

11.00 5.50 3.67 2.75 2.20 1.83 1.57 1.38 1.22 1.10

5

10

162 150 120 118 96 96 96 90 85 68

111 105 93 70 66 60 54 48 43 41

D uracio n, minutos 80 45 20

62 60 54 53 44 43 35 28 28 21

Intensidades en mm/h

51 33 27 27 27 25 25 14 13 9

45 26 19 19 17 16 14 11 10

5

120 40 24 15 15 13 11

10 8 7 4

Precipitacion

172

Andlisis de los datos de precipitacion

173

Tabla 6.14

JOO 0 90 0 80 0

.

En la tabla 7.1 se hacen algunos tanteos para encontrar el valor correcto de cf>. En la tabla 7.1, hpei es la altura de precipitacion en exceso correspon diente a la z-esima barra del hietograma. El Indice de infiltracion media es de 3.15 mm/h. Notese que si .el intervalo de tiempo que duran las barras del hietograma de la figura 7 .la hubiera sido de 2 h, cf> serfa de 3.15 mm/2 h 0 1.575 mm/h y si dt = 0.5 h, cf> = 3.15 mm/0.5 h 0 6.30 mm/h.

7.2.2 Criterio del coeficiente de escurrimiento Con este criterio se supone que las perdidas son proporcionales a la intensi dad de la lluvia, esto es:

f = (I-Ce)i,

es decir, r=Cei

(7.7)

donde la constante de proporcionalidad Ce, sin unidades, se denomina coefi ciente de escurrimiento, Otra manera de escribir la ecuacion 7.7 es:

(7.S)

o bien: Ce Tabla 7.1

(7.9)

mmlh



= - z si 0 = Os

(7.32)

Sustituyendola ecuaci6n 7.32 en la ley de Darcy (ecuacion 7.24) y tomando en cuenta que en este caso K = K, (vease figura 7.7b) se obtiene: q

=

Ks si 0

=

Os

(7.33)

de donde se infiere que K, es la velocidad minima con que el suelo puede transmitir agua, 0 bien, K, es la minima capacidad de infiltraci6n que puede te ner un suelo dado. Notese que la conductividad hidraulica del suelo saturado K, es la pro piedad que con frecuencia se denomina "permeabilidad" y que se puede de terminar con cierta facilidad en un laboratorio, 0 bien estimarse con base en la textura del suelo (referencia 7.9). De esta manera y de acuerdo con la ecua cion 7.33, el parametro j, de la formula de Horton (ecuaci6n 7.14), A de la formula de Philip (ecuacion 7.18) y c de la formula de Kostiakov (ecuaci6n 7.15), deben ser iguales, te6ricamente, ala conductividad saturada del suelo. En la practica esto no se cumple con exactitud debido a que el valor de K, obtenido en una prueba de permeametro diffcilmente es igual al que se tiene in situ; sin embargo, K, da una buena idea del valor de dichos parametres.

198

Infiltraci6n

7.4 EL CONCEPTO DEL POTENCIAL EN EL FRENTE HUMEDO En los dos subcapftulos anteriores se han descrito dos tipos de metodos que, por su complejidad y fundamento ffsico, pueden considerarse opuestos: por una parte, los metodos empfricos no cuentan con un fundamento teorico solido pero son simples de usar una vez que se han determinado los parametres correspondientes; por otro lado, la teorfa de la infiltracion tiene un respaldo ffsico relativamente fuerte, pero resulta complejo y diffcil de usar. Es, por tanto, conveniente contar con un metodo que este situado en un punto inter medio, 10 cual se logra haciendo algunas simplificaciones a la teorfa de la in filtracion. Estas simplificaciones consisten basicamente en supones.que los perfiles de humedad no avanzan en el tiempo como en la figura 7.8, sino como se muestra en la figura 7.10, como un piston. De este modo, el suelo situado arriba del perfil de humedad esta saturado y abajo de el tiene el contenido

Potencial en el frente humedo de donde la ecuacion 7.34 se escribe como: q

s,

=-

1/;f;

(1/;sup-

zsup) (7.34) zsup donde los subfndicesJy sup denotan, respectivamente, las condiciones en el frente humedo (limite inferior de la capa saturada) y en la superficie del suelo. zf -

Tomando como origen del eje Z la superficie del suelo y la presion atmosferica como referencia e igual a cero resulta:

1/;sup = zsup = 0, Z[ =

Z

(7.35)

o r-....8.:ir---_..::;:;:..8.,s.A

I

z

i

I

I I I I

I I

I I I

z

t

I---Md--I

a) t = tp

z

z,

Perfil de humedad real b) t

> tp

8

;~

s,

(1 - 7)

(7.36)

(7.37) Multiplicando y dividiendo por Md el segundo termino del parentesis de la ecuacion 7.36 se obtiene:

q

=

K

(1 _

1/;f Md

(7.38)

z(8s-8D

s

_ K (1/;f - zf) q - s

=

Z

Se define como deficiencia de humedad Md a la diferencia entre los eon tenidos de humedad de saturacion e inicial, esto es:

) de humedad inicial 8i. Aceptando esta hipotesis, la ley de Darcy (ecuacion 7.24) se expresa, en la zona saturada, como:

199

De acuerdo con las suposiciones hechas en la figura 7.10, si el medio esta saturado entre z = 0 y Z = zf' la velocidad del agua sera la misma en toda esta region, incluyendo la superficie; entonees, J = q. Por otra parte, tomando en cuenta la ecuacion 7.30, resulta en este caso que F = Z (O, - 8J. Asi, la ecuacion 7.38 se transforma en:

J=

s,

(1-

1/;f:d

)

(7.39)

La expresion 7.39 se desarrollo originalmente en 1911 por Green y Ampt (referencia 7.10), Y es valida solo en el caso de que i > Ks, siendo i la in tensidad de la lluvia. En easo contrario, de acuerdo con la ecuacion 7.1, se tiene que:

J

= i si i

< K,

(7.40)

Notese que si pasa un tiempo largo con una lluvia intensa (i > Ks), F crece hasta que 1/;fMiF se hace despreciable; en ese momenta se tiene que J = Ks, 10 que concuerda con 10 expuesto en el subcapitulo anterior. La mismo sucede cuando Md es pequefio, es decir, cuando el contenido de humedad del suelo esta inicialmente cerca al de saturacion. Todos los parametres que intervienen en la formula de Green y Ampt (ecuacion 7.39) tienen un sentido ffsico bien definido y pueden estimarse de acuerdo con la textura del suelo y las condiciones de humedad iniciales, salvo el potencial en el frente htimedo 1/;f. Lo anterior provoco que la formula per

Figura 7.10

maneciera abandonada por cerca de medio siglo. Sin embargo, en epocas re lativamente recientes (referencias 7.11 y 7.12 por ejemplo) se ha propuesto que 1/;f se 'calcule como un promedio pesado de los valores que adquiere a

10

200

Infiltraci6n

Figura 7.11

largo del perfil de humedad real (vease figura 7.7a), y que el coeficiente de peso sea la conductividad relativa k; definida como; (7.41) Asi, combinando las figuras 7.7a y 7.7b es posible obtener una relaci6n entre I/; Y k; que, en general, tiene la forma mostrada en la figura 7.11. Asf, el valor de I/;j sera el area sombreada en la figura 7.11. Para fines practices se puede despreciar el valor de k./k, y el potencial en el frente hii medo se calcularfa como; I/;j

=

J:

Krd I/;

=

J~

I/;dkr

(7.42)

EI metodo anteriormente descrito se encuentra min en una etapa de pruebas y todavfa su uso no es generalizado. Sin embargo, se considera que tiene amplias perspectivas de aplicaci6n practica (referencias 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, entre otras). 7.5 MEDICION DE LA INFILTRACION ~n te~ria es posible determinar los valores de los diversos parametres que mtervienen en los metodos descritos anteriormente mediante mediciones directas de la infiltraci6n. El aparato que sirve para medir la infiltracion se llama infiltr6metro. AI contrario de 10que sucede con la precipitacion 0 la evaporacion, la infiltracion puede diferir co~~iderablemente de un sitio a otro relativamente

cercano, por 10 que las mediciones hechas con infiltrornetrng considerarse representativas de areas muy pequefias,

solo pueden

Bibliografta

201

. Los infiltr6metros se clasifican en dos tipos basicos: a) simuladores de lluvia, en los que se aplica el agua de modo y en cantidades similares a la lluvia natural, y b) de carga constante, en los que se coloca una lamina cons tante de agua sobre el suelo dentro de un area cerrada. Enseguida se describen brevemente solo los del segundo tipo. Los infiltr6metros de carga constante mas comunes son los formados por un tubo simple 0 por dos tubos concentricos. Cuando se usa un tubo simple, su diametro es normalmente de 20 em y su longitud de 45 a 60 cm. Estos tubos se hincan en el terrene a una profundidad de 40 a 50 em y el agua se aplica a traves de buretes graduados de tal manera que se mantiene un tirante cons tante, suficiente para cubrir las plantas pequefias. Si se toman lecturas de los buretes en diferentes tiempos es posible construir una grafica de capacidad de infiltraci6n contra el tiempo, de 10 cual se deducen los parametres que intervienen en los modelos vistos anteriormente. Los tubos concentricos, nor malmente de unos 20 a 35 em de diametro, se usan para reducir efectos de frontera en el anillo interior, que es donde se hacen las mediciones. En este caso, los tubos se hincan en el suelo s61010necesario para que no haya escapes de agua. Los resultados que se obtienen de pruebas con infiltr6metros son, en gene ral, poco confiables, pues el suelo se altera al hincar los tubos y no se toma en cuenta la estratigraffa del mismo. Ademas, como ya se menciono, estos resultados solo pueden considerarse como representativos de areas sumamente pequefias. BIBLIOGRAFIA 7.1 U. S. Soil Conservation Service, "National Engineering Handbook" sec. 4, Sup plement A, Hydrology, 1957. 7.2 SpringaU, G. R. "Drenaje en cuencas pequefias" Publicaci6n 143 del Instituto de Ingenierfa, UNAM. Mexico, 1969. 7.3 Gardner, W., Widstoe, J. A., The movement of soil moisture Soil Sci. 11:215-232, 1921. 7.4 Horton, R. E., "An approach to the physical interpretation of infiltration capa city". Soil Sci. Soc. Am. Proc. 5, 399-417, 1940. 7.5 Wilson, E. M. Engineering Hydrology. McMillan Press. London, 1974. 7.6 Kostiakov, A. N. "Sobre la dinamica del coeficiente de percolaci6n de agua y la 0 necesidad de estudiarlo desde un punto de vista dinamico para prop6sitos de

2 0 2

Infiltraci/m

I

:~j~~a~i~:~o~s!;.ans. 6th. Comm. Int. Soc. Soil Sci. Part A, pp. 17-21, Mos-

8 Relaciones lluviaescurrimie nto

7.7 Philip, J. R., "The theory of infiltration·4 S .. . . equations" Soil Sci 84 257 264 . . orptrvity and algebraIcinfiltration. , p p . , 1 9 5 7 . 7.8 ~ch~rds,vLI·A., "Capillary conductionof liquids through porous mediums" YSICS, ., pp. 318333, 1931. 7.9

Juarez, B. E., Rico, R. A. Mecdnica de suelos V I Ed L· M' .

.. , . Imusa, eXIco,1975.

7.10 Green, W.H., Ampt., G.A. "Studieson soil h . . . ~/ through soils". J. Agr. Sci., 4(1), 1-24, 1~1~~ICS1.. The flowofmrand water 7.11 Mein R RG ' . ., C Larson

.

"M d l in u em g i mfiltrationduring a steady rain" W t

Es sumamente cormin que no se cuente con registros adecuados de escurri

es. Res., V.9 No.2, pp. 384-394, 1973. . a er 7. 12 Morel-SeytouxH J Kh .. J "D . . R ' .. , an]I,. envanon of an equationof infiltration" W t es. Res., V. 10, No.4, pp. 795-800, 1974. ' aer 7.13 Chu, S.T.; "Infiltration during an unsteadyrain" W t R R 3, pp. 461, 466, 1978. . a er es. es., V. 14, No.

7.14 Chow, VT..

H.

an applied db kif· 0 hydrology 0 MCGraw0 Hill,1964.

miento en el sitio de interes para determinar los parametres necesarios para el disefio y operacion de obras hidraulicas, En general, los registros de precipi tacion son mas abundantes que los de escurrimiento y, ademas, no se afectan por cambios en la cuenca, como construccion de obras de almacenamiento y derivacion, talas, urbanizacion, etc. Por ello, es conveniente contar con me todos que permitan determinar el escurrimiento en una cuenca mediante las caracterfsticas de la misma y la precipitacion. Las caracteristicas de la cuenca se conocen por medio de pianos topograficos y de uso de suelo, y la precipita cion a traves de mediciones directas en el caso de prediccion de avenidas frecuentes, 0 bien usando los metodos estudiados en el capitulo 6 en el caso de avenidas de disefio. Los principales parametres que intervienen en el proceso de conversion d e l l u v i a a e s

c u r r i m i e n t o

t o t a l d e p r e c i p i t a c i o n .

s o n l o s s i g u i e n t e s :

3.

1. A re a de la cu en ca . 2. Al tu ra

C a r a c t e n s t i c a s g e n e r a

le s 0

p r o m e di o d e la c u e n c a (f o r m a, p e n di e nt e, v e g et a ci o n, et c. ). 4. Distri bucion

de la lluvia en el tiempo. 5. Distribucion en el espacio de la lluvia y de las caracterfsticas de la cuenca. Debido a que, por un lado, la cantidad y calidad de la informacion dispo nible varian grandemente de un problema a otro y a que, por otro, no siempre se requiere la misma precision en los resultados, se han desarrollado una gran cantidad de metodos para analizar la relacion lluviaescurrimiento. En este 203

204

Metodos de envolventes

Relaciones lluvia-escurrimiento

100.0~

y los que se adaptan mejor al medio mexicano. apartado se venin solamente los metodos mas representativos de cada grupo Desde luego, la complejidadde los metodos aumenta a medida que se toman en cuenta mas de los parametres citados anteriormente. En este sentido tam bien aumenta su precisi6n, pero los datos que se requieren son mas y de mejor calidad. S610se explicaran los metodos que toman en cuenta los cuatro primeros parametres, pues los que consideran todos, IIamados modelos conceptuales, rnatematicos 0 de parametres distribuidos, se encuentran min en su fase expe rimental y, adernas, la informaci6n disponible en Mexico todavfa no es 10 suficientemente completa para su aplicaci6n. En la referencia 8.1 se puede encontrar una buena descripci6n de este tipo de metodos.

L N

E

0 (9.36)

x

F(z)

I-H(z),

z 0), se dice que hay una buena dependencia 0 correlaci6n lineal entre x y y. Cuando p-O,

y por 10 tanto:

332.152 I:xT

295

(B.ll)

2

Asi, para el ejemplo en cuesti6n se tiene: n

Regresi6n lineal multiple

R =

(1 -

(B.17)

296

Apendice B

donde S2

yixl' X2

1

= n-3 --

Regresion no lineal

297

Por 10 tanto, dichas ecuaciones resultan: !;(yi -

Yi)2.

14a+21.34,61 +34.38,62 21.34a+ 108.74,6,+43.37,62

S~ = variancia de y,

34.30a+43.37,6j +86.99,62

Yi = valor estimado de y para Xli Y X2i' Ejemplo B.2. Se desea saber si en una cierta region el gasto maximo medio anual *, el area de la cuenca Y la altura media de precipitacion maxima en 24 h se pueden correlacionar linealmente, Yque tan bueno es el ajuste. Los datos se presentan en la tabla B.2.

a = 2.013;

,6,

=

15.6

Los coeficientes de las ecuaciones (B.14) a (B. 16) son:

1 026.77

= 14

!;y

;=

!;XI !;X2 !;(XlY) !;(Xl)2

304.3 = 2l.34 = 34.30 1465.94 = 108.74

!;(XlX2) !;(xzY)

= 43.37

2

= 86.99

!;(X2)

=

=

gasto maximo medio x, media anual, 102m3/s precipitacion

R = (1-

15.5 8.5 85.5 105.0 24.8 3.8 l.8 3.6 18.0 l.9 8.8 16.5 8.3 2.8

13.l3;

,62 = -0.12

15.6 . )112 = 0.9923 1 026.77

Se observa que existe una buena correlacion entre las tres variables. Las ecuaciones (B. 14) a (B.16) se pueden generalizar a mas de dos varia bles independientes; para n variables independientes, el modelo es de la forma: =

area de La x2 = aLtura cuenca, 103 km2 de max. en 24 h, cm

1 2 3 4 5 6 7 11 8 12 9 l3 10 14

628.04

por 10 que el coeficiente de correlacion multiple es:

628.04

Tabla B.2 Estacion y

1465.94

Resolviendo el sistema, resulta:

Solucion

n

304.30

l.25 0.87 5.69 8.27 l.62 0.18 0.15 0.18 1.40 0.15 0.30 0.87 0.32 0.09

l.7 2.1 l.9 l.9 2.1 2.4 3.2 2.8 2.7 2.7 2.9 2.1 2.9 2.9

(B. 17a)

Y las ecuaciones normales son:

(B.17b) Ex,.)'

Cuando las variables no se relacionan en forma lineal, es B.3 REGRESION NO LINEAL de ser, por ejemplo, en el caso de dos variables x y y:

osible usar los con ceptos anteriores para determinar una ecuacion de regresion, cuya forma pue

* Es decrr,

el promedio de los gastos maximos anuales.

Y = a xi3

(B.I8)

298

Apendice B

Si se obtienen logaritmos de la ecuacion B.18: Iny

=

Ina

+

(3 lnx

(B. 19)

Regresion no lineal

299

En los casos en que se desea ajustar a los puntos medidos un polinomio de grado n (B.25)

Definiendo y'

= In y

a

= In a

x'

In

=

se puede aplicar la metodologfa descrita para el caso de una linea recta. En este caso, las ecuaciones normales resultan:

x

se tiene: y'

=

a

+

(3x'

(B.21) Analogamente es posible hacer analisis de correlacion no lineal multiple. Por ejemplo, en el caso de dos variables independientes, se podrfa establecer la ecuacion: (B.22) Tomando logaritmos de la ecuacion B.22:

=

In a+(31 In XI

+(32 In

X2

(B.23)

(B.24) x{ Xz

a

I:xy

aI:x

I:xny

= In y = In Xl = In X2 = In a

La ecuacion (B.24) es la de un plano en los ejes Xl, xi y y' y su analisis serfa similar al correspondiente a la correlaci6n lineal multiple.

+ (31I:x + (32I:X2+ . . . +

+ (31I:x2 + (32I:X3 + (B.26) aI:xn

+ (31I:x'n-'-I (32'<

C')

I

0

a) Usando un modelo de la forma B.18

00

co

f/)

o :"Q

b) Usando un polinomio de segundo orden (modelo B.25)

I;y' I;(x')2 E(x'y') Ex'

I;(ln E(ln I;(ln I;(ln

<

M E

.8

I

+

0

E

0

(j)

0 0

0

~

.8 c

= altura de escala en m.

Entonces, usando el modelo lineal B.20 se tienen los siguientes coeficientes de las ecuaciones normales: y

0 ><

::J

0..

•

II :>.

I"-

c:i

f/)

N

r-,

f/)

= gasto en m3/s,

00

X l"I"-

"0

Q)

Solucion a) Sea x

301

x

f/)

'"

(. 9

(j)

r...:

><

I :>.

0 0 0 C')

y) = 12.498 x)2 = 826.519 x In y) = 89.413 x) = 136.378

n = 23 0.901 0.775 De las ecuaciones B.IO y B.ll, 12.498 x826.519 - 89.413 X 136.378 23 x826.519 - (136.378)2 -1864.132 410.978 (3

E

o o

m'"

= -4.536

(.) f/)

Q)

23 X 89.413 -136.378x

12.498

410.978

Q)

"0

0.857

•

~

.3 (.)

Q)

Por 10 tanto, de la ecuaci6n B.21: a = e -4.536 = 0.0107

o L.O

y el modelo es: y

=

0.0107

xO.857

o

Apendice B

302

551048 A642

con un coeficiente de correlaci6n ax

p = (3 = ay

0.901

0.857 --

0.775

=

0.996 . 111111111,.11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

.

Se observa una excelente correlaci6n entre el modelo y los datos. Esto se puede yerificar visualmente en la grafica de la figura B.2.

=

an + {3, I:x + {32I:x2 aI:x + {3,I:x2 + {32I:X3 aI:x2 + {3,I:x3 + {32I:x4

UIUIIIIIIIIIIIIII~II.IIIIIIIIIIIIIIIII

D.123900028979

LA EDICION CONSTA DE 1000 EJEMPLARES Y SOBRANTES PARA REPOSICION 517

y se tiene: n I:y I:x I:x2 " I:x3 I:x4 I:xy I:x2y

6003

ESTA OBRA SE TERMINO DE IMPRIMIR EL DiA 6 DE MAYO DE 1992, EN LOS TALLERES DE GRUPOIMPRESA SA LAGO CHALC9 230, COL. ANAHUAC MEXICO, D.F.

b) Las ecuaciones normales son en este caso (ver ecuaci6n (B.26»:

I: y I:xy I:x2y

1111111111111111111111111111111

=

\

23 52.38 12.729 12,825,097 1.70099 X 10 10 2.50982 X 1013 48682.46 62,334,105

El sistema de ecuaciones es entonces: 23a + 1.27XI04{3, 1.27 X 104 a + 1.28 X 107 {3, 1.28 X 107 a + 1.70xlOlO {3,

+ 1.28X107{32 = 52.38 + 1.70xl01O {32 = 4.87x104 + 2.51xlO'3 {32 = 6.23x107

y su soluci6n es, salvo errores de redondeo: a {3, {32

Asi, el modelo resulta:

0.079 4.77xlO-3 -7.91 X 10-7