Fundamentos de electrónica _clase N°8 [Modo de compatibilidad]

Fundamentos de Electrónica Profesora Mafalda Carreño Morchio Segundo Semestre 2011 UPLA

Fundamentos de Electrónica

clase N°8 Prof: Mafalda Carreño

1

Circuitos de Conmutación Los circuitos de conmutación están formados por compuertas lógicas, que implementan las operaciones lógicas (and, or y not). Sus variables de entrada y su función de salida son valores lógicos representados por “ceros” y “unos”. A continuación algunos ejemplos de circuitos de conmutación.

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Compuertas Básicas AND

OR

NOT

A Z B

A B A

B

0

0

0

Z

A

B

Z

A

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

Fundamentos de Electrónica

Z

Z A

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Z

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Compuertas Adicionales NAND

NOR

XOR

A Z B

A B

Z

A B

Z

A

B

Z

A

B

Z

A

B

Z

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

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Minimización de funciones


En general al minimizar un sistema digital para su implementación con compuertas se obtiene menor:









costo, número de componentes consumo de potencia, espacio físico, tiempo de respuesta.

Técnicas:



Minimización Algebraica, Minimización a través de Mapas de Karnaugh,

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Minimización Algebraica





Usa los teoremas del álgebra de Boole, para minimizar la función. No existe una técnica o método que indique cuales teoremas usar, en general se recomienda:





Expresar la función en forma de Suma de Productos o Productos de Sumas. Utilizar los teoremas del álgebra, para eliminar variables, duplicando términos que puedan agruparse.

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Minimización Algebraica ejemplo : z = a × b × c + a × b × (a × c ) paso1 : z = a × b × c + a × b × (a + c) z = a×b×c + a×b + a×b ×c paso 2 : z = a×b×c + a×b + a×b ×c + a×b ×c z = a × c × (b + b ) + a × b × (1 + c) z = a×c + a×b paso3 : z = a × (c + b ) Fundamentos de Electrónica

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Minimización Algebraica Implementación original:

A B C Z

A B A C Implementación minimizada:

A Z B C

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Minimización por Mapas de Karnaugh


Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de la tabla de verdad de una función de conmutación.

Para n variables, hay

n

2

celdas en el mapa.

Ejemplo: 2 variables: X

Y Minter

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 2 3

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X

X 0

Y 0 1

1

0

2

1

3

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xy xy Y

x y xy 9

Minimización por Mapas de Karnaugh


Para 3 variables: X

Y

Z

Minter

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 2

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4 5 6 7

X

XY Z 0 1

00

01

11

10

0

2

6

4

1

3

7

5

Z

Y

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Minimización por Mapas de Karnaugh


Para 4 Variables:

W

X

Y

Z

Minter

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 2

YZ 00 01

4

11 Y 10

1

1

1

1

W

WX 00

01

11

10

0

4

12

8

1

5

13

9

3

7

15

11

2

6

14

10

Z

15 X

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Prof: 11

Minimización por Mapas de Karnaugh








En las coordenadas se anotan los valores de las variables según el código Gray, Coloque los valores”1” en las celdas correspondientes a los mintérminos de la función, complete el resto de las celdas por un “0”. En general cada celda del mapa está cubierta por un CERO o un UNO,

Ejemplo: Obtener el mapa de la función 00

f ( x, y, z ) = ∑ (1,2,5,7)

0 1

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0 1

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01

11

1 0

0 1

10

0 1 12

Minimización por Mapas de Karnaugh Definición: Dos celdas son adyacentes si difieren solo en una variable, o sea en un bit. Ejemplos: n=3

n=4

Cada celda tiene 3 celdas adyacentes cada celda tiene 4 celdas adyacentes Fundamentos de Electrónica

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Minimización por Mapas de Karnaugh Dos celdas adyacentes se pueden agrupar aplicando:

a×b + a×b = b Ejemplo:

ab ab ab ab c c

0 1 1 0 0 0 0 0

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del mapa se obtiene la función: f ( a , b, c , d ) = a × b × c + a × b × c = b × c ( a + a ) = b × c

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Minimización por Mapas de Karnaugh Definición: Subcubo: es la colección de 2 n celdas y cada celda adyacente a “n” celdas de la colección. Ejemplos: 2n = 4 ⇒ n = 2

cd cd

cd cd

ab

ab

ab ab

ab

ab ab ab

c 0 1 1 0

0 0 0 0

0 1 1 0

c 0 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0 f (a, b, c, d ) = bd

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f (a, b, c) = bc + ab

OBS: Las variables que aparecen con complemento y sin complementos se eliminan.

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Minimización por Mapas de Karnaugh El subcubo cubre las 2 n celdas. Cada subcubo puede ser expresado por un producto de m-n variables. Ejemplo: ab cd cd

cd cd

0 0 0 0

ab

0 0 0 0

1 1 1 1




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ab

ab

1 1 1 1

f (a, b, c, d ) = a

m=4 (numero de variables) n=3 Se eliminan tres variables clase N°8 Prof: Mafalda Carreño

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Minimización por Mapas de Karnaugh








Una función puede ser expresada como la suma de los términos que corresponden a los subcubos necesarios para cubrir todos los unos del mapa. Si en un subcubo se agrupan “unos” el resultado será una función expresada como Suma de Productos. Una función puede ser expresada como el productos de los términos que corresponden a los subcubos necesarios para cubrir todos los ceros del mapa. Si en un subcubo se agrupan los “ceros” el resultado será una función expresada como Productos de Sumas. Una función es mínima cuando los unos son cubiertos con el mínimo número de subcubos (mínimo números de términos) y además cada subcubo es lo más grande posible (mínimo número de literales).

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Minimización por Mapas de Karnaugh Ejemplos:




X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

X•Y•Z

F 0 1 1 0 0 1 0 1

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X

XY 00

Z 0 1

0

01 2

0 1

1

11

10

6

4

0

3

1

7

0

1

X

XY 0

0 5

1

00

Z

Z

Y

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1

01

11

10

1

1

X•Z

1 1 Y

Z Y•Z

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Minimización por Mapas de Karnaugh X XY 00 Z 0

1

1

1

01

11 1

X

10 1 1

Y

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X·Z Z

XY 00 Z

01

0

1

1

1

1

1

Y

11 1

Z

1 Z

Y

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10

X

19

Minimización por Mapas de Karnaugh W

WX 00 01

YZ 00 01 11 Y 10

0

4

11 12

WX 00 YZ

10 8

1 1

5

13

1 3

7

15

1 2

6

X•Z 11

01

11

10

1

10

W•X

1 1

1

Z

1 14

01

00

9

1

W

Z 11

1

1

Y 10

X

1 X

F(W,X,Y,Z) = Σm(5,7,12,13,14,15)

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Minimización por Mapas de Karnaugh W

W

WX

WX YZ 00 01 11 Y 10

00

01

11

0

4

12

10 8

5

1 3

13

1 7

1 2

9

1 15

1

11

14

11

01

1

1

1

11

1

1

10

1

10

X.Y.Z

Z

Z

1

6

01

00

W.Z 1

00

YZ

1

Y

10

1

X . Y. Z

W.X.Y X

X F(W,X,Y,Z) = Σm(1,2,3,5,7,11,13)

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Minimización por Mapas de Karnaugh Ejemplo: En el siguiente mapa de Karnaugh obtenga la función mínima:
a) agrupando “unos” 00
b) agrupando “ceros”
Demuestre que la función que la función resultante en ambos casos es la misma.

ab c 0 1

00

01

11




Solución: agrupando “unos” tenemos:

10

0 0 1 0 0 1 1 1 Fundamentos de Electrónica

f = ab + ac + bc clase N°8 Prof: Mafalda Carreño

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Minimización por Mapas de Karnaugh


c

00

0

0 0 1 0 0 1 1 1

1

01

11

Solución: agrupando “ceros” tenemos: 10

f = (a + b) × (a + c) × (b + c)

OBS: Al agrupar “ceros” la función mínima resultante es un Producto de Sumas.

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Minimización por Mapas de Karnaugh f f f f

= (a + b) × (a + c) × (b + c) = (a + ab + ac + bc) × (b + c) = ab + ab + abc + bc + ac + abc + ac + bc = ab + abc + bc + ac

f = ab(1 + b) + bc + ac f = ab + bc + ac Por lo tanto queda demostrado que la función mínima resultante es la misma. Fundamentos de Electrónica

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Minimización por Mapas de Karnaugh Tarea: Utilizando Mapas de Karnaugh, determine las expresiones mínimas en “Sumas de Productos” y Productos de Sumas” de las siguientes funciones:

a)

f ( x, y, w, z ) = ∑ (3,4,7,8,10,11,12,13,14)

b)

f ( x, y, w, z ) = ∑ (0,4,6,7,10,12,13,14)

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