Funciones
February 22, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Funciones...
Description
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Jud`hbdfss y rflg Jud`hbdf rflg`hbdfs `hbdfs [grg fxprfsgr y rfprfsfdtgr udg rflg`hðd fdtrf vgrhgnlfs dbs vglfibs af lgs jud`hbdfs. j ud`hbdfs. [br fefiplb fd f`bdbiég gpgrf`fd `bd`fptbs `bib jud`hðd afigdag u bjfrtg, jud`hðd af hdcrfsbs b af `bstbs, fd quf sf rflg`hbdgd vgrhgnlfs. Fd lg jud`hðd afigdag rflg`hbdg ihsib. Lg fxprfshðd qufsfrfsultg fs Wlg9`gdthaga j ( [). afigdagag af ud nhfd fd jud`hðd afl prf`hb afl Fd fstf `gsb lgs vgrhgnlfs quf fstçd fd eufcb sbd [ (prf`hb) y W (`gdthaga). Lg fxprfshðd j ([) dbs pfrihtf `gl`ulgr `ugl sfrég lg `gdthaga afigdag pgrg ahsthdtbs vglbrfs afl prf`hb. Fstg jud`hðd fs fl rfsultgab af mg`fr ud ibaflb igtfiçth`b quf rflg`hbdg af fsg jbrig lgs vgrhgnlfs. [grg fstuahgr jud`hbdfs fd cfdfrgl usgibs lgs vgrhgnlfs x f y ? af ibab quf fstuahgibs `bib vgrég lg vgrhgnlf y `bd `bd rfspf`tb g x . Fs af`hr quf tfdfibs fd cfdfrgl udg jud`hðd y9 j ( x x ). ). Abdaf x fs fs vgrhgnlf hdafpfdahfdtf f y lg lg vgrhgnlf afpfdahfdtf.
Llgigibs rflg`hðd fdtrf lbs flfifdtbs af abs `bdeudtbs G y N, g udg lfy quf gsb`hg g lbs flfifdtbs afl `bdeudtb G `bd lbs flfifdtbs afl `bdeudtb N.
Vdg jud`hðd fs udg rflg`hðd quf `uiplf `bd aftfrihdgabs rfquhshtbs5
Vdg jud`hðd fs udg rflg`hðd fdtrf lbs flfifdtbs af G y N fd lg quf `gag flfifdtb afl `bdeudtb G sf rflg`hbdg `bd udb y sblb ud flfifdtb afl `bdeudtb N. jhc7
G fs fl `bdeudtb af pgrthag. N fs fl `bdeudtb af llfcgag. Lg jud`hðd fs fl `bdeudtb af lbs pgrfs brafdgabs5 j 5 { (7,g) , ( >,n) , ( 0,`)}
c 5 {(7,g) , ( >,g) , (0,n)}
Fl `bdeudtb af lbs flfifdtbs af G quf hdtfrvhfdfd fd lg rflg`hðd sf llgig abihdhb, fd fl `gsb af lgs jud`hbdfs, pbr afjhdh`hðd, fl abihdhb fs `bhd`hafdtf `bd fl `bdeudtb af pgrthag. Bnsfrvfibs quf sh sbnrgd flfifdtbs fd fl `bdeudtb af pgrthag sf `bdtrgah`f lg afjhdh`hðd af jud`hðd, yg quf mgy flfifdtbs afl `bdeudtb af pgrthag g lbs quf db lf `brrfspbdaf dhdcõd flfifdtb afl `bdeudtb af llfcgag.
Fl `bdeudtb af lbs flfifdtbs af N quf hdtfrvhfdfd fd lg rflg`hðd sf llgig higcfd, quf pufaf sfr `bhd`hafdtf `bd fl `bdeudtb af llfcgag b sfr ud sun`bdeudtb afl ihsib. 7
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Abi j 5 {7,>,0} Hi j 5 {g,n,`}
Abi c 5 {7,>,0} Hi c 5 {g,n}
Fd cfdfrgl trgngegrfibs `bd `bdeudtbs af dõifrbs. Lg vgrhgnlf hdafpfdahfdtf pufaf sfr `bdthdug b ahs`rftg. @ugdab lbs flfifdtbs afl abihdhb sbd dõifrbs dgturglfs b fdtfrbs pbr fefiplb, tfdfibs jud`hbdfs af vgrhgnlf ahs`rftg, `ugdab fl abihdhb fs ud sun`bdeudtb af dõifrbs rfglfs tfdfibs udg jud`hðd af vgrhgnlf `bdthdug. Zfrfibs jud`hbdfs af vgrhgnlf ahs`rftg `ugdab fstuahfibs su`fshbdfs. Fd cfdfrgl trgngegrfibs `bd jud`hbdfs af vgrhgnlf `bdthdug. [bafibs fs`rhnhr udg jud`hðd5 j 5G^N^ / y 9 j(x). Hdah`gdab quf `bdeudtb af pgrthag fs G, y fl af llfcgag fs N, abdaf ginbs sbd sun`bdeudtbs af ^ (`bdeudtb af lbs dõifrbs rfglfs) B sblb y 9 j(x). @bdshafrgdab fl içxhib abihdhb pbshnlf y fl `bdeudtb af llfcgag hcugl g lg higcfd. @ugdab trgngegibs `bd jud`hbdfs crgjh`gibs fd lbs fefs `grtfshgdbs. [br fefiplb crgjh`gibs lg jud`hðd j fd fefs `grtfshgdbs5 `grtfshgdbs5 Vnh`gibs lbs flfifdtbs afl abihdhb fd fl fef x y lbs flfifdtbs af lg higcfd fd fl fef y. @gag pgr brafdgab qufag hdah`gab pbr ud pudtb fd fl plgdb. Lg `bbrafdgag sf llgig gnshsg, lg `bbrafdgag y , brafdgag. x sf
@ugdab trgngegibs `bd vgrhgnlf `bdthdug, lg crçjh`g jbrig udg `urvg fd fl plgdb.
@ lg lgss hjh`g`hðd hjh `g`hðd af jud`hbdfs Hdyf`thvg. Puryf`thvg. nhyf`thvg Vdg jud`hðd fs hdyf`thvg, sh g `gag flfifdtb afl abihdhb lf `brrfspbdaf ud flfifdtb ahsthdtb af lg higcfd. Phinðlh`gifdtf5 Phinðlh`gifdt f5 x7 , x > Abi j / x 7 x > j ( x7 ) j ( x > ) . Fstb shcdhjh`g quf db pufaf mgnfr abs flfifdtbs ahsthdtbs afl abihdhb quf tfdcgd lg ihsig higcfd (ihsib vglbr af y). [br fefiplb5 Lg jud`hðd j af lg jhcurg 7 fs hdyf`thvg, lg jud`hðd c db fs hdyf`thvg. Vdg jud`hðd fs suryf`thv suryf`thvg g sh lg higcfd `bhd`haf `bd fl `bdeudtb af llfcgag l lfcgag. [br fefiplb5 Lgs abs jud`hbdfs af lg jhcurg 7 sbd suryf`thvgs. Fefr`h`hb5 g) Hdah`gr `uglfs `uglfs af lgs shcuhfdtfs rflg`hbdfs sbd jud`hbdfs. jud`hbdfs. n) Hdah`gr `uglfs `uglfs af lgs jud`hbdfs sbd hdyf`thvgs, hdyf`thvgs, y `uglfs sbd suryf`thvgs. suryf`thvgs.
>
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Vdg jud`hðd sf llgig nhyf`thvg, `ugdab fs hdyf`thvg y suryf`thvg Fstg `lgshjh`g`hðd fs hipbrtgdtf `ugdab tfdfibs quf fstuahgr fl `bd`fptb af jud`hðd hdvfrsg.
Jud`hðd hdvfrs g @ugdab mgnlgibs af jud`hðd hdvfrsg dbs rfjfrhibs g lg hdvfrsg af udg jud`hðd, fs af`hr agag udg jud`hðd j , `ðib sf afjhdf su jud`hðd hdvfrsg. Pupbdcgibs quf lg jud`hðd j rflg`hbdg rflg`hbdg lbs flfifdtbs af ud `bdeudtb af pgrthag G `bd lbs af ud `bdeudtb af llfcgag N . Lg jud`hðd hdvfrsg af j fs udg jud`hðd quf rflg`hbdg g lbs ihsibs flfifdtbs pfrb abdaf fl `bdeudtb N fs fl `bdeudtb af pgrthag y G fl af llfcgag.
[br fefiplb5 j 5 { (7,7), (>,1), ( >,1), (0,8)}
j -7 5{(7,7), (1,>), (8,0)}
²@uglquhfr jud`hðd thfdf jud`hðd hdvfrsg2 h dvfrsg2 Bnsfrvfibs quf5 Ph udg jud`hðd db fs suryf`thvg5 suryf`thvg5 fxhstfd flfifdtbs fd fl `bdeudtb `bdeudtb af llfcgag llfcgag quf db pfrtfdf`fd g lg higcfd. @bib fl `bdeudtb af llfcgag, fd lg hdvfrsg, fs fl af pgrthag, vg g mgnfr flfifdtbs afl `bdeudtb af pgrthag quf db pfrtfdf`fd gl abihdhb. (Zfr lg afjhdh`hðd af jud`hðd).
Ph udg jud`hðd db fs hdyf`thvg, g igs af ud flfifdtb afl abihdhb lf `brrfspbdaf ud ihsib flfifdtb af lg higcfd, fd lg hdvfrsg, hdvfrsg, g ud flfifdtb afl abihdhb lf `brrfspbdafd abs (b igs) vglbrfs af lg higcfd.
Fd `uglquhfrg af lbs abs `gsbs sf `bdtrgah`f lg afjhdh`hðd af jud`hðd.
0
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
j 7
j >
j 0
j 7 5 Fs suryf`thvg y db fs hdyf`thvg. j >5 Db fs hdyf`thvg dh suryf`thvg. j 05 Fs hdyf`thvg y db suryf`thvg. Lg jud`hðd thfdf quf sfr nhyf`thvg pgrg quf tfdcg jud`hðd hdvfrsg. Bnsfrvg`hbdfs5
@ugdab fs`rhnhibs lg lg jud`hðd y 9 j (x), (x), db sf afjhdf afjhdf `ugl fs fs fl `bdeudtb `bdeudtb af llfcgag (dh fl af pgrthag) supbdfibs fdtbd`fs quf fs suryf`thvg, fd fstf `gsb pgrg quf tfdcg hdvfrsg sblb `mfqufgibs quf sfg hdyf`thvg.
@ugdab crgjh`gibs fd fefs fefs `grtfshgdbs `grtfshgdbs pbafibs vfr crçjh`gifdtf crçjh`gifdtf sh udg udg jud`hðd jud`hðd fs hdyf`thvg b db. Db pbafibs sgnfr sh fs suryf`thvg, pbrquf sf vf sblb lg higcfd y db sf vf fl `bdeudtb af llfcgag. Lg jud`hðd j 7 db fs hdyf`thvg, lg jud`hðd j >> , fs hdyf`thvg. @bib db fstg hdah`gab fl `bdeudtb af llfcgag supbdfibs quf fs `bhd`hafdtf `bd lg higcfd pbr lb quf gings jud`hbdfs sbd suryf`thvgs.
j 7
j >
Btrg Bt rgss `lgs `lgs hjh`g`hbdfs5 hjh`g`hbdfs5 Jud`hbdf Jud`h bdfss `r `rf`hfdt f`hfdtfs fs b af`r af`rf`hfdt f`hfdtfs fs Vdg jud`hðd fs `rf`hfdtf fd tbab su abihdhb sh pgrg tbab x 7< x > jj ( x x 7) pfrtfdf`hfdtfs gl abihdhb.
j ( x x >), `bd x 7, x >
Vdg jud`hðd fs af`rf`hfdtf fd tbab su abihdhb sh pgrg tbab x 7< x > jj ( x x >) `bd x 7, x > x 7) j ( x pfrtfdf`hfdtfs gl abihdhb.
Hdtfrvglbs af `rf`hihfdtb. Vdg jud`hðd fs `rf`hfdtf fd ud hdtfrvglb (g,n) sh x 7 < x > pfrtfdf`hfdtfs pfrtfdf`hfdtf s g (g,n).
j
( x x 7)
j ( x x >) `bd x 7, x >
Vdg jud`hðd fs af`rf`hfdtf fd ud hdtfrvglb (g,n) sh x 7< x > j ( x x >) `bd x 7, x >, x 7) ) j ( x pfrtfdf`hfdtfs g (g,n). Vdg jud`hðd fs ibdðtbdg sh fs shfiprf `rf`hfdtf b shfiprf af`rf`hfdtf.
1
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Vdg jud`hðd fs `rf`hfdtf fd sfdthab fstrh`tb sh pgrg tbab x 7< x > j j ( x x 7) ). Gdçlbcgifdtf Gdçlbcgifd tf sf afjhdf af`rf`hfdtf af`rf`hfdtf fd sfdthab sfdthab fstrh`tb, y ibdðtbdg ibdðtbdg fd sfdthab sfdthab fstrh`tb.
Bnsfrvg`hðd5 Vdg jud`hðd fs hdyf`thvg sh fs ibdðtbdg fd sfdthab fstrh`tb. [br fefiplb5 Lg jud`hðd crgjh`gag fs ibdðtbdg `rf`hfdtf, pfrb db fd sfdthab fstrh`tb, afsaf xg mgstg xn , fl vglbr af y fs `bdstgdtf. [br fsb db fs hdyf`thvg.
Içxhibs Içxh ibs y iédhibs iédh ibs r flgthv flgthvbs bs y gns gns blutbs Pf ah`f quf udg jud`hðd thfdf içxhib rflgthvb fd x; sh (x) pgrg tbab x pfrtfdf`hfdtf g ud fdtbrdb af j (x;) j (x)
x;. Qhfdf içxhib gnsblutb fd x; sh j (x;) x afl abihdhb af lg jud`hðd.
j (x) (x) pgrg
tbab
Vdg jud`hðd thfdf iédhib rflgthvb fd x; sh pgrg tbab x pfrtfdf`hfdtf g ud fdtbrdb af x; j j
(x;) j (x). (x). Qhfdf iédhib gnsblutb fd x; sh j (x;)
j (x) (x)
sh pgrg tbab x afl abihdhb af lg jud`hðd.
Jud`hbdf Jud`h bdfss pgrfs pgrfs f hipg hipgrfs rfs Vdg jud`hðd fs pgr sh
). af fstf ibab lg crçjh`g af lg jud`hðd rfsultg x afl abihdhb j ( x x ) 9 j ( x ).
shiètrh`g rfspf`tb gl fef y . Vdg jud`hðd fs hipgr sh
x afl abihdhb j ( x x ) 9 j ( x )).. af fstf ibab lg crçjh`g af lg jud`hðd
rfsultg shiètrh`g rfspf`tb gl brhcfd af `bbrafdgags.
jud`hðd pgr
jud`hðd hipgr
6
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
@ufsthbdgrhb 7. >. 0. 1.
²Wuè fs udg jud`hðd2 Fd udg jud`hðd ²Fl `bdeudtb af pgrthag fs hcugl gl abihdhb2 Fd udg jud`hðd ²Fl `bdeudtb af llfcgag fs hcugl g lg higcfd2 Crçjh`gifdtf Crçjh`gi fdtf ²`ðib dbtgibs sh udg crçjh`g `brrfspbdaf g udg jud`hðd2
6. :. 3.
²Wuè fs udg jud`hðd Crçjh`gifdtf ²`ðib hdyf`thvg2 dbtgibs sh udg crçjh`g `brrfspbdaf `brrfspbdaf g udg jud`hðd hdyf`thvg2 hdyf`thvg2 ²Pf vf crçjh`gifdtf sh udg jud`hðd fs suryf`thvg2
=.
²@ugl af lgs abs jud`hbdfs fs suryf`thvg2 suryf`thvg 2 j 5 ^ ^ / y x
>
71. 76.
j 5 ^ ;, / y x > ²Wuè `grg`tfrésth`gs `grg`tfrésth`gs thfdf quf tfdfr udg jud`hðd pgrg quf tfdcg jud`hðd hdvfrsg2 @bib sf afjhdf gdgléth`gifdtf gdgléth`gifd tf udg jud`hðd af`rf`hfdtf. ²@uçdab sf ah`f quf fd x ; mgy ud iédhib rflgthvb2 ²@uçl fs fl vglbr jud`hbdgl afl iédhib rflgthvb2 Abdaf sf unh`gd fd ud crçjh`b lg vgrhgnlf hdafpfdahfdtf hdafpfdahfdt f y lg vgrhgnlf afpfdahfdtf. Fl pudtb pudtb [ thfdf thfdf `bbrafdgags `bbrafdgags (3,->), unh`grlb fd fl plgdb f hdah`gr `ugl fs lg gnshsg y lg brafdgag afl pudtb. ²@uçdab udg jud`hðd fs pgr2 ²@uçdab fs hipgr2 ²Wuf pgrth`ulgrhaga pgrth`ulgrhaga thfdf lg crçjh`g af udg jud`hðd pgr2
7:.
[grg lg jud`hðd j ( x) x
8. 7;. 77. 7>. 70.
>
0
x 0 x 6 x
0
, `gl`ulgr j ( x) f hdah`gr sh fs udg jud`hðd pgr b
hipgr b dhdcudg af lgs abs.
Abihdhb Abihdh b af udg jud`hðd jud`h ðd Fl abihdhb af udg jud`hðd fs fl `bdeudtb af vglbrfs quf tbig lg vgrhgnlf hdafpfdahfdtf. Iu`mgs vf`fs fl abihdhb fstg afjhdhab gl agr lg jud`hðd.
>
[br fefiplb sh j fstg fstg afjhdhag gsé5 j 5 ;, ; , / y x Fl abihdhb fs fl hdtfrvglb _;,) X lb fs`rhnhibs5 Abi j5 _;, ) Fd lgs jud`hbdfs f`bdðih`gs cfdfrglifdtf udg b lgs abs vgrhgnlfs afnfd sfr db dfcgthvgs pgrg quf tfdcg sfdthab lg jud`hðd5 [br fefiplb fd udg jud`hðd afigdag q 7;
7
p , `bib p y q sbd igcdhtuafs pbshthvgs, pgrg > gdglhzgr fl abihdhb af fstg jud`hðd, sf afnf tbigr fd `ufdtg quf p ;, y q ;? vfgibs quf vglbrfs afnf tbigr p pgrg quf q sfg db dfcgthvb5 7 7 7; p ; 7; p p >; , fs af`hr Abij ;,>; . > >
Btrgs vf`fs tfdfibs udg jud`hðd fd lg quf db fstç fspf`hjh`gab fl abihdhb, y df`fshtgibs sgnfr `ugl fs fl abihdhb içxhib pbshnlf, fs af`hr `uglfs sbd tbabs lbs vglbrfs pbshnlfs quf pufaf
tbigr lg jud`hðd.
:
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
[br fefiplb5
0
Ph tfdfibs udg jud`hðd pblhdðih`g5 y 0 x > x : , fl abihdhb sbd tbabs lbs
dõifrbs rfglfs, yg quf pgrg `uglquhfr x ^ , fxhstf ud vglbr jud`hbdgl.
Ph tfdfibs fd `ginhb udg jud`hðd rg`hbdgl5 y
x 7 x 7
, vfibs quf lbs vglbrfs af x pgrg lbs quf
fl afdbihdgabr vglf ;, db pfrtfdf`fd gl abihdhb, fd fstf `gsb x97 db pfrtfdf`f fl abihdhb, fdtbd`fs Abij ^ 7 . Btrg rfstrh``hðd fs quf lg jud`hðd tfdcg glcudg rgéz af édah`f pgr , fd abdaf lg fxprfshðd quf
fstg afdtrb af lg rgéz afnf sfr db dfcgthvg. >
[br fefiplb5 y x
0x > , fl abihdhb af fstg jud`hðd sbd lbs vglbrfs af x tglfs quf5
x > 0 x > ; , pgrg bntfdfrlb mgy quf rfsblvfr r fsblvfr lg afshcuglaga5
x > .(x 7) ; gdglhzgibs fl shcdb af `gag fxprfshðd5
Abi j (,7) (>, ) . @ugdab lg fxprfshðd af lg jud`hðd thfdf lbcgrhtib, mgy quf tfdfr fd `ufdtg quf fl lbcgrhtib fstç
afjhdhab sðlb pgrg vglbrfs pbshthvbs. Ph j ( x) ld ( x 7) x 7 ; x 7 fdtbd`fs Abi j ( 7, )
Bpfrg`hbdfs Bpf rg`hbdfs fdtrf fdtrf jud`hbdf jud`h bdfss Abihdhb Agags abs jud`hbdfs j ( x x ) y c ( x x ) , pbafibs suigrlgs b rfstgrlgs agdab lucgr g btrg jud`hðd
m ( x x ) 9 j ( x x ) + c ( x x ) (b m ( x x ) 9 j ( x x ) c c ( x x )). )). Fl abihdhb af lg dufvg jud`hðd fs lg hdtfrsf``hðd af lbs abihdhbs af lgs jud`hbdfs quf lg `bipushfrbd. [br fefiplb5 Ph j ( x) x 7 ? c ( x)
Fl abihdhb af j y c 5 Abij _7 , )
> > x 1
y m( x) j ( x) c ( x)
Abi c ^ >,>
3
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
[grg quf m fstf afjhdhag thfdfd quf fstgr afjhdhags j y c, pbr lb tgdtb Abi m _7,>) (>, ) . Ph lg jud`hðd fstç jbrigag pbr fl prbau`tb af abs jud`hbdfs5 o(x)9 j (x) .c (x), fl abihdhb af fstg dufvg jud`hðd tginhèd fs lg hdtfrsf``hðd af lbs abihdhbs af lgs jud`hbdfs j y c. @bd fl `b`hfdtf fdtrf abs jud`hbdfs b`urrf lb ihsib m( x )
j ( x) c ( x)
, gafiçs sf fx`luyfd afl
abihdhb lbs vglbrfs af x pfrtfdf`hfdtfs gl abihdhb af c tglfs quf c(x)9;.
Fefiplb5 Ph j ( x) x 7 , c ( x) x
>
1 ? gdglhzgibs lbs abihdhbs5
Abij _7 , ) , Abi c ^ , @bib m( x)
j ( x) c ( x)
x 7
>
x 1
?
Fd x > y x > fl afdbihdgabr sf mg`f ;, Abi m5 _7,>) (>, )
Fefr`h`hb5 Mgllgr fl abihdhb af lg jud`hðd j ( x)
x.(> x) ld ( x 7)
[grg gdglhzgr fl abihdhb af fstg jud`hðd tfdfibs quf tfdfr fd `ufdtg5 7»)
x(> x ) ; pbr fstgr afdtrb af udg rgéz af édah`f pgr.
>»)
ld ( x 7) ; pbr sfr ud afdbihdgabr.
0»)
x 7 ;
Af 7») Af >») Af 0»)
pbr fstgr afdtrb afl lbcgrhtib.
shcdb af x shcdb af >+x shcdb af x(>+x) Lbs x abdaf fxhstf lg rgéz5 (,> Y _;, )
[grg quf ld ( x 7) ; , f
;
x 7 (vfr afjhdh`hðd af lbc), x 7 7 x >
Gafiçs5 x 7 ; x 7 Fl abihdhb fs fs lg hdtfrsf``hðd hdtfrsf``hðd af lbs abihdhbs. abihdhbs. .
Abi j 7,> ( >, )
=
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
@ bi bipb pbss h`h ðd af jjud`hbdf ud`hbdfss Vdg bpfrg`hðd prbphg af lgs jud`hbdfs fs lg `bipbsh`hðd af jud`hbdfs. Agags abs jud`hbdfs j ( x x ) y c ( x x ), ), sf afjhdf lg jud`hðd j `bipufstg `bd c , sf fs`rhnf5 j c g lg jud`hðd j c ( x) . x > [br fefiplb5 j ( x)
0 x
c ( x ) x
[bafibs `bipbdfr g j `bd c , ( j c )(x) 9 j c ( x) 9
x > 0
x
Bns5 [grg mgllgr j (c ( x x )))) sf fs`rhnf lg jud`hðd j y fd fl lucgr af x vg c ( x x ). ). Qginhèd sf pbarég mgnfr mgllgab ( c j )( x ) c j ( x) 5
( c j )( x ) c j ( x) 9 x > 0x . Bnsfrvgibs quf j c ( x) c j ( x) Lgs jud`hbdfs quf rfsultgd af mg`fr udg `bipbsh`hðd sf llgigd jud`hbdfs `bipufstgs, lgs jud`hbdfs quf db sbd `bipufstgs lgs llgigibs jud`hbdfs flfifdtglfs. Agag udg jud`hðd j ud`hðd `bipufstg, pbafibs afs`bipbdfrlg fd jud`hbdfs flfifdtglfs.
[br fefiplb5 j ( x) lbc lb c ( x > 7) ,
Lgs jud`hbdfs flfifdtglfs quf lg `bipbdfd sbd5 c ( x ) lb lbc c x y m( x) x
>
7 , y lg `bipbsh`hðd
quf llfvg g lg jud`hðd j , , fs ( c m) ( x ) c m ( x) . Vdg jud`hðd pufaf fstgr `bipufstg af içs af abs jud`hbdfs flfifdtglfs5 0 ( x 7) , pgrg afs`bipbdfr udg jud`hðd fd jbrig brafdgag, lg pbafibs Fefiplb5 j ( x) sfd
ihrgr af gjufrg mg`hg gafdtrb b af gafdtrb mg`hg jufrg. Jud`hbdfs flfifdtglfs quf `bipbdfd g j (ihrgdab af gjufrg mg`hg gafdtrb) 5
c ( x) x ? m ( x) x 0 ? l ( x ) sfd x ? i ( x) x 7
(*)
0
Zfgibs quf j ( x ) c m l i( x) 9 c m l x 7 9 c m sfd ( x 7) c sfd ( x 7) 0
0
( x 7) fd ginbs `gsbs lg pbtfd`hg fstg gjf`tgdab g lg jud`hðd Bns5 sfd x 7 sfd trhcbdbiètrh`g y db gl çdculb.
0
(*) c sfd ( x 7)
0
sfd ( x 7) .
8
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Abihdhb Abihdh b af udg jud`hðd jud`h ðd `bipufs `bipufs tg ²Fxhstf glcudg rflg`hðd fdtrf fl abihdhb af lg jud`hðd `bipufstg y fl abihdhb af lgs jud`hbdfs quf lg `bipbdfd2 Pupbdcgibs lg jud`hðd j ( x ) c m ( x) Fs fvhafdtf quf fl abihdhb af m fs fl quf hdtfrvhfdf fd lg jud`hðd j. Fstb quhfrf af`hr quf fl abihdhb af j, db pufaf sfr içs giplhb quf fl abihdhb af m, fs af`hr quf fl abihdhb af j db db pufaf tfdfr flfifdtbs quf db pfrtfdfz`gd gl abihdhb af m. Lg jud`hðd c vg g`tugr sbnrf lbs vglbrfs af af lg higcfd af af m. Db pbafibs pbafibs sgnfr sh lg higcfd af m vg g sfr `bipgthnlf `bd fl abihdhb af c. Fd btrgs pglgnrgs5 [grg quf sfg abihdhb af j thfdf thfdf quf sfr abihdhb af m. Ph x Abi j x Abi m Lbs vglbrfs quf vg g tbigr c, sbd lbs af lg higcfd af m, fs af`hr quf fl abihdhb af j vgd g sfr lbs vglbrfs af x tglfs quf Hi m Abi c .
Fefiplb5 Pfgd j ( x )
7 x
>
y c ( x ) x
7 > 7x . x
Mgllgibs m ( x) j c x j c ( x) 9 j x
7 , gpgrfdtfifdtf fl Abi m ^ ; , shd fingrcb, sh Fdtbd`fs pbafibs af`hr quf m( x ) x tbigibs fd `ufdtg `bib sf jbrið lg jud`hðd m, vfibs quf fl abihdhb af m db pufaf tfdfr vglbrfs quf db pfrtfdfz`gd gl abihdhb af lg jud`hðd quf fstg gafdtrb fd lg `bipbsh`hðd, quf fd fstf `gsb fs c ( x ) x , `bib fl Abi c ;, . Fl Abi m ;, . Btrg jbrig içs jç`hl af gdglhzgr5 Fd lg prç`th`g pgrg gdglhzgr fl abihdhb af m, `bdvhfdf mg`frlb gdtfs af shiplhjh`gr lg fxprfshðd5
m x
-
7
x
>
, g`ç vfibs af fdtrgag lgs rfstrh``hbdfs quf thfdf m5
x > ; , pbr sfr afdbihdgabr.
- x ; , pbr fstgr afdtrb af udg rgéz. Fdtbd`fs Abi m ;, .
7;
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Fefr`h`hb5 @bdshafrgdab @bdshafrgd ab lgs jud`hbdfs j ud`hbdfs j y c afl fefiplb gdtfrhbr, mgllgr c j x c j ( x) , y fstuahgr su abihdhb.
7 7 7 7 7 . sh shiplhjh`gibs shiplhjh`gibs lg fxprfshðd5 c j ( x) > > > > x x x x x
c j ( x) c
Zfgibs quf fd fstf `gsb fl abihdhb fs fl ihsib sh ihrgibs lg fxprfshðd shiplhjh`gag. Bnsfrvfibs quf lg jud`hðd quf fstç gafdtrb fs gmbrg j ( x )
7 x >
, y fl Abi j ^ ;, fs af`hr
quf fl Abi c j x ^ ; . Ph ihrgibs lg fxprfshðd gdtfs af shiplhjh`gr vfibs quf fd fstf `gsb x pufaf tbigr vglbrfs dfcgthvbs pbrquf gl fstgr flfvgab gl `ugargab vg g qufagr shfiprf pbshthvb.
@ufsthbdgrhb
7.- Lg jud`hðd j ( x) 1 x
0
j ud`hbdfs flfifdtglfs flfifdtglfs quf lg `bipbdfd sbd5 7 . Lgs jud`hbdfs
0 c ( x ) x ?
m( x) 1 x 7 ? i( x ) x
Hdah`gr `uçl fs lg bp`hðd `brrf`tg5 g) j ( x) c m i ( x) n) j ( x) i m c ( x) >.- Ph j ( x) c m ( x) ²Fs `hfrtb quf fl abihdhb af j fs fs lg hdtfrsf``hðd af lbs abihdhbs af c y m2
7 0.- Agags c ( x) x 7 y m( x ) . x g) Mgllgr c m( x) y m c ( x) n) Gdglhzgr fl abihdhb af gings `bipbsh`hbdfs f hdah`gr sh sf `uiplf lb rfspbdahab fd lg prfcudtg >.
P u`fs u` fs h bdfs Vd thpb af jud`hbdfs `bd vgrhgnlf ahs`rftg sbd lgs su`fshbdfs. Vdg su`fshðd fs udg jud`hðd quf vg af lbs dgturglfs g lbs rfglfs? j 5 D ^ / y j (d) . Fd cfdfrgl `ugdab crgjh`gibs udg su`fshðd db usgibs lbs fefs x , y , yg quf `bdvfd`hbdglifdtf lg vgrhgnlf x, fs pgrg rfjfrhrdbs g vgrhgnlf `bdthdug. @bib fd fl `gsb af lgs su`fshbdfs fl abihdhb fs fl `bdeudtb D (b ud sun`bdeudtb af D), gl fef mbrhzbdtgl lb llgigibs d, y gl vfrth`gl lf agibs fl dbinrf afl vglbr jud`hbdgl gd.
77
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
[br fefiplb5 gd >d , abdaf g d 5 fs fl tèrihdb cfdfrgl af lg su`fshðd. @ugdab dbs rfjfrhibs g udg su`fshðd usuglifdtf fs`rhnhibs ahrf`tgifdtf lg higcfd af lg su`fshðd, quf gl sfr udg `bdeudtb ahs`rftb lb pbafibs fxprfsgr pbr fxtfdshðd , fd fstf fefiplb5
gd >,1,:,=,7;,... Fd fstf fefiplb nd
7
d
nd 7,
7 7 7 , , ,... . > 0 1
Iu`mgs vf`fs sf dbs prfsfdtg udg su`fshðd afsgrrbllgag y tfdfibs quf afau`hr `ugl fs fl tèrihdb cfdfrgl5 Fefiplbs5
7 7 7 7 , , ,... 9 > 7: 8 1 d >- 7,0,6,3,8,... >d 7
7- 7,
0-
7,>,0,1, 6,... 7d .d
Zgibs g fstuahgr af lgs su`fshbdfs5 - Ph sbd ibdðtbdgs. - Ph sbd g`btgags . - G quf vglbr thfdafd lbs vglbrfs jud`hbdglfs `ugdab d `rf`f hdafjhdhagifdtf. hdafjhdhagifdtf. Vdg su`fshðd fs ibdðtbdg, `ugdab shfiprf fs `rf`hfdtf b shfiprf fs af`rf`hfdtf. Vdg su`fshðd fs `rf`hfdtf sh gd
[br fefiplb 5
g d 7 d y fs af`rf`hfdtf sh gd g d 7 d .
gd >d > ,1 ,: ,... fs udg su`fshðd ibdðtbdg `rf`hfdtf. 7 7 7 nd 7 , , ,... fs udg su`fshðd ibdðtbdg af`rf`hfdtf.
d
> 0
`d d 0 > 1,7,;,7,1,8,... db fs udg su`fshðd ibdðtbdg. 7>
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Lg su`fshðd
7,>,0,1, 6,... 7d .d ,
db fs ibdðtbdg. Pf ah`f quf fs gltfrdgag, pbrquf
gltfrdg shcdb pbshthvb y dfcgthvb. @btgs5 Pf afjhdf `btg supfrhbr af udg su`fshðd g ud dõifrb D, tgl quf D g d pgrg tbab d.
7 [br fefiplb pbafibs af`hr quf 7 fs udg `btg supfrhbr af lg su`fshðd nd d
7 7 7 , , ,... . > 0
Vdg `btg supfrhbr pbrquf `uglquhfr dõifrb igybr tginhèd fs udg `btg, >, 0 b 1 tginhèd sbd `btg supfrhbr, fd fstf `gsb 7 fs lg ifdbr `btg supfrhbr. Afl ihsib ibab sf afjhdf `btg hdjfrhbr g ud dõifrb I, tgl quf I gd . Fl dõifrb ; fs udg `btg hdjfrhbr af nd . Vdg su`fshðd fs g`btgag `ugdab thfdf `btg supfrhbr f hdjfrhbr.
nd 5 fs udg su`fshðd g`btgag. gd >d > ,1 ,: ,...5 db fs udg su`fshðd g`btgag, thfdf `btg hdjfrhbr pfrb db thfdf `btg supfrhbr.
Lg su`fshðd g d 7
d
7 7 7 7 7 7 , , , , ,... >d > 1 : = 7;
²Fs ibdðtbdg2 ^t ^tg5 g5 …….. …….. ²Fs g`btgag2 ^tg5 …….. …….. ²@uçlfs sbd lgs `btgs2 ^tg5 ……… ………
@ufsthbdgrhb 7.- ²@uçdab sf ah`f quf udg su`fshðd fs g`btgag2 >.- ²Wuè quhfrf af`hr quf udg su`fshðd fs ibdðtbdg2 0.- ²Vdg su`fshðd g`btgag pufaf sfr tginhèd ibdðtbdg2 0 : 8 7> 76 1.- ²@uçl fs fl tèrihdb cfdfrgl af lg su`fshðd 5 , , , ,... 2 , > 1 = 7: 0>
70
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Jud`hðd Jud` hðd lhdfgl lhdfgl Gdtfs af afau`hr afau`hr lg f`ug`hðd f`ug`hðd af udg rf`tg rfpgsgrfibs rfpgsgrfibs lg rfsblu`hðd rfsblu`hðd af trhçdculbs trhçdculbs rf`tçdculbs. rf`tçdculbs. Fs af`hr vfrfibs lg rflg`hðd fdtrf lbs lgabs af ud trhçdculb rf`tçdculb y sus çdculbs. Lg rflg`hðd fdtrf sus lgabs fstg agag pbr fl Qfbrfig af [htçcbrgs5 >
>
>
` g n . Lg suig af lbs çdculbs hdtfrhbrfs fs 7=;». @bib udb af lbs çdculbs fs rf`tb, lg suig af lbs btrbs abs çdculbs fs af 8;» Lg rflg`hðd fdtrf lgabs y çdculbs fstg agag pbr lgs jud`hbdfs trhcbdbiètrh`gs.. @bdshafrgibs trhcbdbiètrh`gs @bdshafrgibs lgs rfjfrhags gl çdculb . n n g , `bs sfd `bs , tc . ^f`brafibs quf fl lgab n, fs fl `gtftb bpufstb g , fl lgab g fs g ` ` fl `gtftb gayg`fdtf g . Fl lgab ` fs lg mhpbtfdusg.
F`ug`hðd af udg rf`tg5 Abs pudtbs `uglfsquhfrg fd fl plgdb aftfrihdgd udg õdh`g rf`tg, `bifd`fibs pfdsgdab quf `bdb`fibs lgs `bbrafdgags af abs pudtbs (x; , y;) y (x7 , y7) qufrfibs hdahvhauglhzgr hdahvhau glhzgr lg rf`tg quf pgsg pbr fsbs pudtbs. Llgigibs gl çdculb quf jbrig lg rf`tg `bd lg mbrhzbdtgl, y `bdshafrgibs fl trhçdculb rf`tçdculb jbrigab pbr lbs sfcifdtbs y7 - y;, x7 - x; y lg rf`tg. Lg tgdcfdtf trhcbdbiètrh`g afl çdculb fs lg pfdahfdtf af lg rf`tg tc
y7 y ;
x7 x; Pf pufaf jbrigr btrb trhçdculb rf`tçdculb `bd `uglquhfr btrb pudtb af lg rf`tg.
y7 y ; f`ug`hðd af tc y y ; , fdtbd`fs y y ; 9 x x x x x x; 7 ; ; lg rf`tg quf pgsg pbr lbs pudtbs (x; , y;) y (x7 , y7). Ph llgigibs i g lg pfdahfdtf af lg rf`tg
y y ; x x;
i y
afspfegibs y5 y i ( x x ; ) y ; f`ug`hðd af udg rf`tg quf pgsg pbr (x ; , y;) `bd pfdahfdtf i. Bpfrgdab5 y ix ix; y ; 9 i x y ;
n. i x; , llgigibs n y ; i x; y qufag y ix
F`ug`hðd af lg rf`tg af pfdahfdtf i y brafdgag gl brhcfd n. Lg brafdgag gl brhcfd fs fl vglbr af lg brafdgag (`bbrafdgag y) `ugdab lg gnshsg (`bbrafdgag x) fs ;. Fefiplb5 Mgllgr lg f`ug`hðd af udg rf`tg quf pgsg pbr lbs pudtbs (-7,;) y (->,-0).
71
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
^ffiplgzgibs lbs pudtbs fd lg f`ug`hðd
y
y y ; x x ;
y7 y;
y ;
?
x7 x;
x 7
0; , fdtbd`fs > 7
0 ( x 7) , fs af`hr y 0 x 0 , rf`tg af pfdahfdtf 0 y brafdgag lg brhcfd 0. 7
Vdg jud`hðd pblhdðih`g af crgab 7 y gx n fs udg jud jud`h `hðd ðd lhdfgl, y su crçjh`g fs udg rf`tg. Lg pfdahfdtf af udg rf`tg hdah`g `ugdtb vgrég y gdtf udg vgrhg`hðd af x . [grg crgjh`gr udg rf`tg af f`ug`hðd y ix n , igr`gibs lg brafdgag n sbnrf fl fef y afsaf gmé gvgdzgibs udg udhaga fd x y gvgdzgibs i udhagafs fd y . Btrgs jbrigs af fxprfsgr lg f`ug`hðd af udg rf`tg5
F`ug`hðd hiplé`htg5 `ugdab db fstg afspfegag lg vgrhgnlf afpfdahfdtf G Gx x N Ny y @ ; , sh @ G qufrfibs crgjh`gr afspfegibs y5 y x , pfdahfdtf N N
F`ug`hðd sfcifdtgrhg5
x
y
@ G , brafdgag gl brhcfd5 . N N
7 , bnsfrvfibs quf gudquf db sf
g n pufaf vfr lg pfdahfdtf y brafdgag gl brhcfd, fs jç`hl af crgjh`gr `ugdab lg rf`tg fstg fs`rhtg fd fstg jbrig pbrquf mg`hfdab udg vgrhgnlf ; lg btrg qufag aftfrihdgag hdifahgtgifdtf, sh x9;, pbr lb tgdtb y 9n. Ph mg`fibs y9;,
x g
y n
7,
7 , fdtbd`fs x 9g.
^f`tgs pgrglflgs. Abs rf`tgs sbd pgrglflgs sh thfdfd lg ihsig pfdahfdtf.
^f`tgs pfrpfdah`ulgrfs. Abs rf`tgs af pfdahfdtf i 7 y i> sbd pfrpfdah`ulgrfs sh 7 . i> i7 Afibstrg`hðd5 y sbd sbd lbs çdculbs quf jbrigd lgs rf`tgs `bd fl fef x. @bib lgs rf`tgs sbd pfrpfdah`ulgrfs 9 + + 8;». Lg pfdahfdtf af lg rf`tg i7 tc , y i> tc . Fd lg `hr`udjfrfd`hg trhcbdbiètrh`g sf vf quf sfd `b `bss y
`bs `bs sfd . Fdtbd`fs i> 9 tc
9
76
`bs `bs sfd
7 tc
sfd `bs `bs
7 i7
`bs
sfd
9
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Ahstgd`hg fdtrf abs pudtbs afl plgdb5 [grg mgllgr lg ahstgd`hg fdtrf abs pudtbs afl plgdb `bdstruhibs ud trhçdculb rf`tçdculb abdaf lg ahstgd`hg g `gl`ulgr fs lg mhpbtfdusg. >
Pfcõd fl tfbrfig af [htçcbrgs5 a X lg ahstgd`hg a Bns5 y ;
x7 x ; > y7 y ; >
x7 x ; > y7 y ; >
.
y7 > y7 y ; > .
P h s tfig tfigss af f f`u `ug`h g`hbdfs bdfs Vd shstfig af > f`ug`hbdfs lhdfglfs `bd abs hd`ðcdhtgs rfprfsfdtg ud pgr af rf`tgs, `gag f`ug`hðd rfprfsfdtg udg rf`tg fd fl plgdb. g7 x n7 y `7 @ugdab rfsblvfibs ud shstfig af abs f`ug`hbdfs lhdfglfs5 , sh thfdf sblu`hðd g x n y ` > > > fd`bdtrgibs ud vglbr af x y y udb af y quf quf `brrfspbdafd gl pudtb af hdtfrsf``hðd af lgs rf`tgs. Ph db thfdf sblu`hðd fs pbrquf lgs rf`tgs sbd pgrglflgs, db sf hdtfrsf`gd. Ph thfdf hdjhdhtgs sblu`hbdfs fs pbrquf lgs rf`tgs sbd `bhd`hafdtfs. Fefiplb 75
0 7 0 x > y 7 afspfegibs y af af gings f`ug`hbdfs5 y x ? y x >. > > x y > [grg rfsblvfr pbafibs hcuglgr 0 7 6 6 x 9 x > x x 7 y rffiplgzgdab fl > > > > vglbr af x fd `uglquhfrg af lgs abs f`ug`hbdfs5 X 7 > 7 Pblu`hðd5 7,7 . Pf bnsfrvg quf fl pudtb af `bbrafdgags (7,7) fs fl pudtb af hdtfrsf``hðd af lgs rf`tgs.
Fefiplb >5
> x : y 0 . [grg rfsblvfr pbr susthtu`hðd, afspfeb x af lg sfcudag f`ug`hðd5 x 0 y 7 x 0 y 7 , susthtuyb fd lg sfcudag >(0 y 7 ) :y 0 0 : y : y > : y : y 0 > ; 6 . Llfcgibs g udg hd`bmfrfd`hg ; 9 6. Phcdhjh`g quf fl shstfig db thfdf sblu`hðd. Ph bnsfrvgibs fd fl crçjh`b vfibs quf lgs abs rf`tgs sbd pgrglflgs.
> x : y 0 Fefiplb 05 0 . [grg rfsblvfr pbr susthtu`hðd, x 0 y > afspfeb x af lg sfcudag f`ug`hðd5 x
0
0
0 y , susthtuyb fd lg sfcudag >(0 y ) : y 0
> > shcdhjh`g quf : y 0 : y 0 : y : y 0 0 ; ; . @bib ; 9 ; pgrg `uglquhfr vglbr af y shcdhjh`g fl shstfig thfdf sblu`hðd pgrg `uglquhfr vglbr af y. Bnsfrvfibs fd fl crçjh`b quf lgs abs f`ug`hbdfs `brrfspbdafd g lg ihsig rf`tg. (afspfegr y af af lgs abs f`ug`hbdfs).
7:
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
G plh`g`h plh` g`hbdfs bdfs F ` bdðih` bdðih ` gs Fd fl prfsfdtf gpudtf prfsfdtgrfibs lgs shcuhfdtfs gplh`g`hbdfs g lg f`bdbiég5 f`bdbiég5 7) Lg bntfd`hðd afl pudtb pudtb af fquhlhnrhb fd ud ud ibaflb af ifr`gab `bd jud`hbdfs af afigdag afigdag y bjfrtg lhdfglfs. >) Lg bntfd`hðd afl afl pudtb af fquhlhnrhb fquhlhnrhb f`bdðih`b f`bdðih`b `bd jud`hbdfs af hdcrfsbs hdcrfsbs y `bstbs lhdfglfs. lhdfglfs.
[udtb af fquhlhnrhb af ifr`gab. Jud`hðd af afigdag5 Lg afigdag af ifr`gab hdah`g què `gdthaga af ud nhfd sf rfqufrhrç pbr lbs `bdsuihabrfs, afpfdahfdab afl prf`hb gl quf fsf nhfd sf fd`ufdtrf ahspbdhnlf. Fd `bdah`hbdfs dbriglfs, pufaf rfprfsfdtgrsf lg `urvg af afigdag `bib udg jud`hðd `bd pfdahfdtf dfcgthvg qA 9 j(p).7 Fstb fs, quf gdtf guifdtbs fd fl prf`hb, lg `gdthaga afigdagag ahsihduhrç, y gdtf ahsihdu`hbdfs fd fl ihsib lg `gdthaga sf hd`rfifdtgrç. Ph nhfd lg vgrhgnlf hdafpfdahfdtf fs fl prf`hb y lg afpfdahfdtf lg `gdthaga, fs udg `bdvfd`hðd fd f`bdbiég rfprfsfdtgr fl prf`hb fd fl fef af brafdgags y lg `gdthaga fd fl fef af gns`hsgs, pbr lb quf sfcuhrfibs fsg prç`th`g. Fd su vfrshðd içs sfd`hllg, lg jud`hðd af afigdag fs lhdfgl, y pbafibs rfprfsfdtgrlg pbr su p q f`ug`hðd sfcifdtgrhg5 g n 7 , abdaf g y n sbd `bdstgdtfs pbshthvgs? g fs fl prf`hb pgrg fl `ugl lg `gdthaga afigdagag fs dulg (db mgy `bdsuihabrfs ahspufstbs g pgcgr ud prf`hb içs gltb) y n fs lg `gdthaga quf sf afigdag `ugdab fl prf`hb fs `frb (lg içxhig `gdthaga quf afsfgd lbs `bdsuihabrfs `ugdab fl grté`ulb fs crgths). @bib sf bnsfrvg fd fl crçjh`b 7, g fs lg brafdgag gl brhcfd y n fs lg gns`hsg gl brhcfd. @gnf g`lgrgr quf lg jud`hðd afigdag (gl hcugl quf lg igybrég af lgs jud`hbdfs f`bdðih`gs) fstç afjhdhag õdh`gifdtf pgrg vglbrfs igybrfs b hcuglfs g `frb af su abihdhb f higcfd, yg quf `grf`f af sfdthab rfjfrhrdbs g prf`hbs b `gdthagafs dfcgthvb dfcgthvbs. s.
C rçjh`b 75 jud`hðd af afi afigd gdag ag
C rçjh`b >5 jud`hðd af bjfrt bjfrtg g
7
Fstgibs supbdhfdab quf q 9 j(p), j(p), pfrb `gnf afstg`gr quf lg rfglhaga hdah`g quf q 9 j(p, p*, H, C y [, ...), ...) , fs af`hr quf lg jud`hðd af afigdag afpfdaf af iu`mbs btrbs jg`tbrfs (fl prf`hb af btrbs nhfdfs, fl hdcrfsb af lbs `bdsuihabrfs, lbs custbs y prfjfrfd`hgs, ft`). Fd dufstrb `gsb, supbdfibs quf tbags fstgs btrgs vgrhgnlfs sf igdthfdfd `bdstgdtfs (`bdah`hðd `ètfrhs pgrhnus) y quf lb õdh`b quf gltfrg lg `gdthaga afigdagag fs fl prf`hb. Ngeb fstf supufstb gsuihibs quf lbs `bdsuihabrfs db pufafd hdjluhr fd fl prf`hb `bd lgs `gdthagafs quf gaquhfrfd, quf fs fl `gsb af ud ifr`gab af `bipftfd`hg pfrjf`tg.
73
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Jud`hðd af bjfrtg5 Lg bjfrtg af ifr`gab sf rfjhfrf g lg `gdthaga prbau`hag af ud nhfd quf afsfgrçd vfdafr lbs prbau`tbrfs gdtf ahsthdtbs dhvflfs af prf`hbs. Fd fstf `gsb, gdtf prf`hbs içs gltbs lbs prbau`tbrfs bjrf`frçd udg igybr `gdthaga af grté`ulbs, pbr lb quf lg `urvg af bjfrtg pufaf rfprfsfdtgrsf `bib udg jud`hðd `rf`hfdtf (pfdahfdtf pbshthvg) qP 9 j(p).> Fd lg vfrshðd lhdfgl, y g fjf`tbs af lg crçjh`g5 p iq n ? i4; y n4; . Fd fstf `gsb, n (brafdgag gl brhcfd) fs fl prf`hb gl `ugl lbs prbvffabrfs db bjrf`fd dhdcõd grté`ulb. @bib fd fl `gsb af lg afigdag, a figdag, lg jud`hðd af bjfrtg thfdf sfdthab õdh`gifdtf pgrg vglbrfs pbshthvbs b `frb, pbr lb quf su rfprfsfdtg`hðd crçjh`g tfdarç lucgr fd fl prhifr `ugargdtf. [udtb af fquhlhnrhb af ifr`gab5 Fd fl ifr`gab af ud nhfd, sh gdtf ud prf`hb agab lg `gdthaga bjrf`hag fs igybr quf lg `gdthaga afigdagag, dbs fd`bdtrgibs gdtf ud fx`fsb af bjfrtg y db pbarçd vfdafrsf tbabs lbs prbau`tbs. Ph, fd `ginhb, lg `gdthaga bjrf`hag fs hdjfrhbr g lg `gdthaga afigdagag, sf prbau`f ud fx`fsb af afigdag y lbs nhfdfs rfsultgrçd hdsujh`hfdtfs. @ugdab lg `gdthaga bjrf`hag fs hcugl g lg `gdthaga afigdagag sf bnthfdf fl fquhlhnrhb fd fl ifr`gab, y fd fstf `gsb, fl pudtb af fquhlhnrhb `brrfspbdaf g lg hdtfrsf``hðd fdtrf lgs `urvgs af bjfrtg y afigdag. Afsaf lufcb, sh lgs `urvgs af bjfrtg y afigdag sf hdtfrsf`gd jufrg afl prhifr `ugargdtf, fsf pudtb db thfdf sfdthab f`bdðih`b y fl ifr`gab db mgllgrç fl fquhlhnrhb.
C rçjh`b 05 pudt pudtb b af fq fquhlhnrh uhlhnrhb b af i ifr`gab fr`gab Gdgléth`gifdtf, fl prf`hb af fquhlhnrhb pf y lg `gdthaga af Gdgléth`gifdtf, fquhlhnrhb qf sf bnthfdfd rfsblvhfdab lgs f`ug`hbdfs af bjfrtg y afigdag fd jbrig shiultçdfg pgrg p y q.
Fefiplb 75 Fl ifr`gab af ud nhfd aftfrihdgab rfspbdaf gl shcuhfdtf ibaflb5
qq s qa > p 3; a q 0 p 0; s
g) Mgllgr fl prf`hb y lg `gdthaga af fquhlhnrhb afl ifr`gab. n) Ph fl prf`hb fs p976, ²dbs fd`bdtrgibs gdtf ud fx`fsb af bjfrtg b af afigdag2 `) ²@uçl fs lg `gdthaga quf sf afigdag sh fl prf`hb fs p91;2 g) ^fsblvfibs q a q s , hcuglgdab lgs f`ug`hbdfs af bjfrtg y afigdag5 > p 3; 0 p 0; , afspfegibs p y bntfdfibs5 pf >; . ^ffiplgzgdab p f fd lg f`ug`hðd af bjfrtg b afigdag
) 0.>; 0; 0; qf 0; . bntfdfibs5 qa (>;) >.>; 3; 0; b q s (>; 3; 1; y q s (76) 0.76 0; 76 . @bib lg `gdthaga afigdagag fs supfrhbr n) q a (76) >.76 g lg `gdthaga bjrf`hag dbs fd`bdtrgibs gdtf ud fx`fsb af afigdag. >
Fd fstf `gsb tginhèd sf gsuif quf lg bjfrtg afpfdaf õdh`gifdtf afl prf`hb, `ugdab lg rfglhaga hdah`g quf afpfdaf af iu`mbs btrbs jg`tbrfs.
7=
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
`) q a (1;) >.1; 3; 7; . Fstb shcdhjh`g quf gl prf`hb af 1; db sf afigdag dhdcõd grté`ulb.
[udtb af fquhlhnrhb f`bdðih`b. Jud`hðd af Hdcrfsbs5 Fl hdcrfsb fstç agab pbr fl prbau`tb fdtrf fl prf`hb af vfdtg, quf sf gsuif `bib agab fd shtug`hðd `bipfththvg, y lg `gdthaga quf sf `bifr`hglhzg H(q)9p.q. Ngeb lg mhpðtfshs af quf lg jud`hðd fs lhdfgl, fl hdcrfsb fstç rfprfsfdtgab pbr H(q)9gq, abdaf g fs udg `bdstgdtf igybr quf `frb. Afsaf lufcb, sh db mgy vfdtg db mgy hdcrfsbs (H(;)9;) pbr lb quf lg `urvg af hdcrfsbs pgrtf afl brhcfd. Jud`hðd af @bstbs5 Fd lg prbau``hðd af ud nhfd hdtfrvhfdfd abs thpbs af `bstbs5 gqufllbs quf afpfdafd afl dhvfl af prbau``hðd, afdbihdgabs `bstbs vgrhgnlfs, y gqufllbs quf sbd `bdstgdtfs f hdafpfdahfdtfs af lg `gdthaga prbau`hag, quf sf afdbihdgd `bstbs jhebs 0. Fd su vfrshðd lhdfgl, lg jud`hðd af `bstbs tbtglfs (b shiplfifdtf jud`hðd af `bstbs) vhfdf agag pbr @(q)9nq+`, abdaf nq rfprfsfdtg lbs `bstbs vgrhgnlfs ( n4;) y ` lbs `bstbs jhebs ( `4;). Ph db mgy prbau``hðd, lbs `bstbs tbtglfs sbd hcuglfs g lbs `bstbs jhebs5 @(;)9n. Vdg vfz içs afnfibs g`lgrgr quf lgs jud`hbdfs af hdcrfsbs y `bstbs thfdfd sfdthab f`bdðih`b sðlb pgrg vglbrfs igybrfs b hcuglfs g `frb.
C rçjh`b rçjh`b 15 jud`hðd af hdc rfsbs
C rçj rçjh`b h`b 65 jud`hðd af `bs tbs
Fefiplb >5 Fl `bstb af jgnrh`gr ud aftfrihdgab grté`ulb fd udg mbrg fs af $ ;,1; pbr udhaga `bd udbs cgstbs cfdfrglfs jhebs af $ 76;.-. g) Bntfdfr lg f`ug`hðd af lg jud`hðd af `bstbs. n) Hdah`gr fl `bstb af prbau`hr 6;; udhagafs fd udg mbrg. g) Lg jud`hðd af `bstbs fs fs @(q)9nq+`, abdaf abdaf nq9;,1q (`bstbs (`bstbs vgrhgnlfs) y `976; (`bstbs jhebs), pbr lb quf @(q)9;,1q+76;. @(q)9;,1q+76;. n) @(6;;)9;,1.6;;+76;906;. @(6;;)9;,1.6;;+76;906;. Fstb fs, lg prbau``hðd prbau``hðd af 6;; udhagafs ahgrhgs thfdf ud `bstb af $06;.-
[udtb af fquhlhnrhb f`bdðih`b5 Ph pgrg aftfrihdgag `gdthaga prbau`hag y vfdahag 1 lbs `bstbs supfrgd g lbs hdcrfsbs sf prbau`f udg pèrahag (H(q);.- pbr udhaga fd ud aég, `bd udbs cgstbs jhebs af $>6;.- Ph sgnfibs quf sf pufaf vfdafr `gag grté`ulb g ud prf`hb af $0;.pbr udhaga,
g) Bntfdfr lg f`ug`hðd af lg jud`hðd jud`hðd af hdcrfsbs hdcrfsbs y `bstbs. n) Fd`bdtrgr fl pudtb af fquhlhnrhb fquhlhnrhb f`bdðih`b. f`bdðih`b. `) @ugl fs lg cgdgd`hg b pèrahag gl vfdafr 0> udhagafs2 g) Lg jud`hðd af `bstbs `bstbs fs @(q)9>;q+>6;. @(q)9>;q+>6;. Lg jud`hðd jud`hðd af Hdcrfsbs fs H(q)90;q H(q)90;q n) [grg mgllgr fl pudtb af fquhlhnrhb afnfibs hcuglgr hdcrfsbs y `bstbs H(q)9@(q), `bd lb quf 0;q >;q >6; q >6. `) H(0>)-@(0>)90;.0>-( H(0>)-@( 0>)90;.0>-(>;.0>+>6;)9 >;.0>+>6;)93;. 3;. Gl vfdafr 0> udhagafs sf bnthfdf udg cgdgd`hg af $ 3;.-
Fefr`h`hbs5 7
7) Agag lg jud`hðd p q
6
,
> jud`hðd > g) Aftfrihdgr sh fs udg af afigdag b af bjfrtg. Eusthjh`gr. Eusthjh`g r. n) Aftfrihdgr fl abihdhb, tfdhfdab fd `ufdtg quf sf trgtg af udg jud`hðd f`bdðih`g. `) Crgjh`gr.
>;
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
>) Agab fl shcuhfdtf ibaflb af ifr`gab5
0q : p 77 : q 0; p 17 ; g) Aftfrihdgr `ugl af lgs f`ug`hbdfs `brrfspb `brrfspbdaf daf g udg jud`hðd af afigdag y `ugl g udg jud`hðd af bjfrtg. n) Mgllgr fl prf`hb y lg `gdthaga af fquhlhnrhb fd `gsb af fxhsthr. a) Crgjh`gr. >) Fl `bstb af jgnrh`gr 7; gnfrturgs iftçlh`gs iftçlh`gs af ud aftfrihdgab thpb fs af $ 06; pbr aég, ihfdtrgs quf fl `bstb af jgnrh`gr >; udhagafs shihlgrfs fs af $ :;;.- ahgrhbs. g) Mgllgr lg f`ug`hðd af lg jud`hðd af `bstbs `brrfspbdahfdtf, supbdhfdab lhdfglhaga. n) Fspf`hjh`gr lbs `bstbs jhebs. `) Crgjh`gr, supbdhfdab vgrhgnlf `bdthdug. 0) [grg prbau`hr aftfrihdgab aftfrihdgab nhfd sf gjrbdtgd udbs `bstbs `bstbs jhebs af $ 6;;;.- pbr ifs y udbs `bstbs vgrhgnlfs af $ 0,6 pbr udhaga. Fl prbau`tbr pufaf vfdafr lbs nhfdfs prbau`habs g ud prf`hb udhtgrhb udhtgrhb af $ :.g) n) `) a)
Bntfdfr lgs jud`hbdfs af hdcrfsbs y `bstbs. Bntfdfr fl pudtb af fquhlhnrhb f`bdðih`b. Bntfdfr fl dhvfl dhvfl af prbau``hðd prbau``hðd quf rfsultg sujh`hfdtf pgrg pgrg `unrhr lbs lbs `bstbs jhebs. jhebs. Aftfrihdgr fl dõifrb af udhagafs g prbau`hr y vfdafr pgrg bntfdfr udg cgdgd`hg $ 6;; pbr ifs.
>7
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
C rçjh`g rçjh`gss af jud jud`hbdf `hbdfss Jud`hbdfs Jud` hbdfs fl flfi fifdt fdtg glfs lfs . Afs plg plgzg zgihfdt ihfdtbs bs Jud`hðd vglbr gnsblutb
x sh x ; x sh x ; [fdsfibs gmbrg fd lg jud`hðd vglbr gnsblutb5 y j ( x) x .
@ugdab fstuahgibs fl vglbr gnsblutb af ud dõifrb, vhibs quf x
[grg vfr fl crçjh`b, lg afnfibs `bdshafrgr `bib udg jud`hðd pgrthag, pgrg vglbrfs pbshthvbs af x `bhd`haf `bd lg crçjh`g af lg rf`tg y9x ? y pgrg vglbrfs dfcgthvbs `bd lg crçjh`g af lg rf`tg y 9 - x , pgrg x9; fs hdahsthdtb yg quf fd lgs abs rf`tgs fl vglbr jud`hbdgl fs ;. @bdshafrfibs lg jud`hðd j ( x) x g , fl vglbr jud`hbdgl ; sf ag `ugdab x 9 9 g. Fdtbd`fs5 x g
( x g) x g sh ( x g) ; , sh ( x g) ; ( x g)
Bnsfrvgibs quf lg crçjh`g thfdf lg ihsig jbrig pfrb fstç afsplgzgag fd lg ahstgd`hg “g “ mg`hg lg afrf`mg (pbrquf sf `bdshafrð g 4;)(7 ). Gdglh`fibs gmbrg gmbrg lg crçjh`g af j ( x) x
x g sh x ; g 9 x g sh x ;
Zfibs quf gmbrg lg jud`hðd vglbr gnsblutb sf afsplgzð udg ahstgd`hg “g’ mg`hg grrhng.
Ahsthdtbs fefiplbs5
(7 )
Fl Fl vglbr g pbarég pbarég sfr `u `uglquhfr glquhfr d dõifrb õifrb dgt dgturgl urgl pfrb p pgrg grg shiplhjh`g shiplhjh`grr fl gdçlhshs lb `bdshafrgrfibs `bdshafrgrfibs pbshthvb. pbshthvb. >>
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Fefr`h`hbs5 7. @biplftgr af g`ufrab g lb bnsfrvgab mg`hg abdaf sf afsplgzg lg jud`hðd fd `gag `gsb, `bdshafrgdab g 4;5 g) y x g n) y x g `) y x a) y x
g g
>. Afau`hr lgs crçjh`gs af5 g) y > x n) y
7 >
> x
x
7 >
. x
`) y x
Jud`hðd `ugarçth`g @bdb`fibs lg crçjh`g af lg jud`hðd y x , sf llgig pgrçnblg. >
Zfgibs `bib fs lg crçjh`g af y ( x g) , lg pgrçnblg sf afsplgzg udg ahstgd`hg “g’ >
mbrhzbdtglifdtf, mbrhzbdtglif dtf, sh tfdfibs y x
>
vfrth`glifdtf. g , lg pgrçnblg sf afsplgzg vfrth`glifdtf. @ugdab mgy ud dõifrb suigdab b rfstgdab g x, lg crçjh`g sf afsplgzg lgtfrglifdtf. [grg crgjh`gr sf pufaf trgzgr ud fef guxhlhgr pgrglflb gl fef y fd fl vglbr af x fd fl quf mgcg ; fl tèrihdb `ugarçth`b. @ugdab mgy ud dõifrb suigdab b rfstgdab gl tèrihdb `ugarçth`b, lg crçjh`g sf afsplgzg vfrth`glifdtf, fd fstf `gsb pgrg crgjh`gr trgzgibs ud fef pgrglflb gl fef x.
Fd cfdfrgl, sh `bdb`fibs fl crçjh`b af udg jud`hðd `uglquhfrg, y 9 j (x),
²Wuè rflg`hðd mgy fdtrf lg crçjh`g af j ( x ), sh c ( x x ) y lg af c ( x x ), x ) 9 j ( x-g x -g)2 Lg jud`hðd c tbig fl ihsib vglbr quf lg j `ugdab lg vgrhgnlf hdafpfdahfdtf fs x+g, yg quf
c ( x+g) 9 j (x+g∞g) 9 j (x). Fs af`hr quf sfrç hcugl pfrb afsplgzgag udg ahstgd`hg “g’ mg`hg lg afrf`mg `ugdab g 4; y mg`hg lg hzquhfrag `ugdab g0
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Ph m(x)9 j(x)+g j(x)+g (g4;) lg jud`hðd gpgrf`f afsplgzgag mg`hg grrhng. j(x-g)+n, j(xg)+n, fs lg jud`hðd j ud`hðd j(x) afsplgzgag “g’ mg`hg “g’ mg`hg lg afrf`mg afrf`mg y “n’ mg`hg grrhng. grrhng. Fstb dbs pfrihtf crgjh`gr af udg jbrig sfd`hllg `uglquhfr jud`hðd `bd afsplgzgihfdtb. [br fefiplb5 Agag lg jud`hðd5 y ( x 7) >
>
Qrgzgibs ud fef guxhlhgr pgrglflb gl fef x , > udhagafs mg`hg grrhng y ud fef guxhlhgr pgrglflb gl fef y , 7 udhaga afsplgzgab mg`hg lg afrf`mg. Gmbrg sbnrf fstbs fefs guxhlhgrfs crgjh`gibs lg pgrçnblg `bdb`hag y x > , lg crçjh`g `brrfspbdaf g lg pgrçnblg afsplgzgag `bd rfspf`tb g lbs fefs x f y brhchdglfs. > @ugdab lg jud`hðd `ugarçth`g fs af lg jbrig y g. x x , sf ibahjh`g lg jbrig af lg pgrçnblg
[grçnblgs `bd ahsthdtb `bfjh`hfdtf fd fl tèrihdb `ugarçth`b Bnsfrvgibs quf fl `bfjh`hfdtf afl tèrihdb `ugarçth`b gjhdg (`ugdab fs igybr quf 7) b fdsgd`mg (`ugdab fs ifdbr quf 7) lg pgrçnblg. Lg pgrçnblg af f`ug`hðd
y > .( x >) > 7 thfdf lg ihsig > jbrig quf y >. x , pfrb gpgrf`f `brrhag 7 udhaga mg`hg gngeb y > udhagafs mg`hg lg hzquhfrag. bnsfrvgr quf pgsg `ugdab g 4;, `ugdab g y ; Fstb hiplh`g quf lg crçjh`g af `uglquhfr jud`hðd `ugarçth`g fs udg pgrçnblg, abdaf lg jbrig fstç agag pbr fl `bfjh`hfdtf g, y lbs `bfjh`hfdtfs n y ` hdah`gd quf mgy `brrhihfdtbs gudquf pgrg vfr lbs > `brrhihfdtbs afnfibs `biplftgr `ugargabs y fxprfsgrlg af lg jbrig y g ( x x; ) y ; ^fpgsfibs fl prb`fahihfdtb af `biplftgr `ugargabs5 Agag udg jud`hðd `ugarçth`g cfdfrgl5 y gx nx ` Fs igs jç`hl `biplftgr `ugargabs `ugdab g97, fdtbd`fs pbafibs sg`gr jg`tbr `biõd g y trgngegr >
`bd lg fxprfshðd af gafdtrb afl pgrèdtfshs? ` n n ` `‘. y g . x > x `bib y sbd dõifrbs lbs llgigibs n‘ y `‘. g g g g
>1
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
n . x ` `bib fl `ugargab af ud nhdbihb. > n n > @bdshafrfibs x x n . x , > > > > n n > n > n > Fdtbd`fs x n . x ` 9 x ` x ` > > > > Df`fshtgibs fxprfsgr x > >
^ffiplgzgdab fd lg fxprfshðd brhchdgl? > > ` n > n > n ` n > n y g. x x 9 g. x 9 g x ` g g >g g >g >g 1g
Lg pgrçnblg thfdf lg jbrig af y g. x , afsplgzgag
n
>
>g
mbrhzbdtglifdtf y `
n
>
1g
Fefiplb5 Crgjh`gr lg jud`hðd5 y > x >
=x 8 Gdtfs af `biplftgr `biplftgr `ugargabs sg`gibs sg`gibs jg`tbr `b `biõd iõd 8 > >5 y >. x 1 x > [rufnb
`bd
( x >) > x > 1x 1 ,
fdtbd`fs
8 8 7 x > 1 x ( x >) > 1 9 ( x >) > , > > > 7 > > ^ffiplgzgdab5 y >( x >) >( x >) 7 , > gmbrg vfibs quf lg crçjh`g fs udg pgrçnblg `bd lg ihsig jbrig af y > x > afsplgzgag > udhagafs mg`hg lg afrf`mg y 7 udhaga mg`hg grrhng. Ph ud pblhdbihb af crgab > thfdf rgé`fs rfglfs pbafibs `bdb`fr lg crçjh`g afl shcuhfdtf ibab5 @bib sgnfibs quf lg crçjh`g af lg pgrçnblg thfdf ud fef af shiftrég, èstf sf mgllg fdtrf lgs abs rgé`fs, af gmé bntfdfibs lg `bbrafdgag x afl vèrth`f, gvfrhcugibs fl vglbr jud`hbdgl y bntfdfibs >
lg `bbrafdgag y, lufcb `bdb`fibs lg jbrig af lg pgrçnblg pbr fl `bfjh`hfdtf af x .
Fefiplb5 y x > x >
Mgllgibs
lgs
rgé`fs5
7 7 =
>
7 0
>
?
lgs
rgé`fs
sbd
5
x7 > ? x > 7 Fl pudtb ifahb fdtrf lgs rgé`fs fs5
> 7 >
7
, >
>
8 7 7 7 fl vglbr af y pgrg x 5 y > , > 1 > > > 7
lgs `bbrafdgags afl vèrth`f sbd5
>6
7 8 , , pbafibs trgzgr udbs > 1
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
fefs guxhlhgrfs, y crgjh`g lg pgrçnblg y x . >
Jud`hbdfs pbtfd`hglfs Pf llgigd jud`hbdfs pbtfd`hglfs g lgs af lg jbrig5 y x d Bnsfrvg`hbdfs5 Ph x97, lg jud`hðd pbtfd`hgl fs lg rf`tg af pfdahfdtf 7 y brafdgag gl brhcfd ;. @ugdab fl fxpbdfdtf fs pgr (jud`hðd pgr) lgs abs rgigs sbd mg`hg grrhng. Ph fs hipgr (jud`hðd hipgr) lg rgig dfcgthvg fs mg`hg gngeb. G ifahag quf guifdtg fl fxpbdfdtf lg crçjh`g sf mg`f igs `frrgag. Ph x97 `uglquhfr pbtfd`hg af x 97. @ugdab lbs vglbrfs af x sbd ifdbrfs quf udb gl guifdtgr fl fxpbdfdtf fl vglbr fs igs pfquf÷b, fefiplb >
0
7 7 7 7 ? ? sh lbs vglbrfs af x sbd > = 1 > igybrfs quf 7 lgs pbtfd`hgs igybrfs agd igybr vglbr.
Ph d fs rg`hbdgl Bnsfrvg`hbdfs5 Ph fl fxpbdfdtf thfdf duifrgabr pgr y afdbihdgabr hipgr lg crçjh`g thfdf abs rgigs yg quf fs udg rgéz af hdah`f hipgr quf fstg afjhdhag pgrg vglbrfs pbshthvbs y dfcgthvbs. Lgs abs rgigs sbd mg`hg grrhng pbrquf fl fxpbdfdtf fs pgr. Ph fl duifrgabr fs hipgr y
afdbihdgabr pgr, thfdf udg sblg rgig. Ph duifrgabr y afdbsihdgabr shd hipgrfs thfdf abs rgigs, lg rgig dfcgthvg vg mg`hg gngeb.
Jud`hbdfs pblhdðih`gs ²Lg crçjh`g af ud pblhdbihb af crgab d4> sfrç af lg ihsig jbrig quf lg jud`hðd pbtfd`hgl `brrfspbdahfdtf2 Zfgibs quf lg crçjh`g af ud pblhdbihb af crgab 0 db df`fsgrhgifdtf fs shfiprf af lg ihsig jbrig quf y x gudquf tfdcg fl ihsib `bfjh`hfdtf g. 0
>:
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
[br fefiplb5 y ( x 7) > x 0 x 0x 7 , fs `bd lg ihsig jbrig quf y x `bd `brrhihfdtb af 7 mg`hg lg afrf`mg y af > mg`hg grrhng. 0
0
>
0
y x 0 x > x 7 , thfdf ahsthdtg jbrig. 0
>
²@ðib pbafibs afau`hr lg jbrig af lg crçjh`g af ud pblhdbihb2 Ph `bdb`fibs lg rgé`fs afl ihsib sgnfibs quf fd fsbs pudtbs `brtg gl fef x, gafiçs sh fl crgab fs pgr y fl `bfjh`hfdtf g fs pbshthvb, lgs rgigs sbd mg`hg grrhng. Vd pblhdbihb af crgab d pufaf tfdfr mgstg d rgé`fs, fstgs pufafd sfr dõifrbs rfglfs b dõifrbs `biplfebs. Phfiprf quf ud dõifrb `biplfeb z fs rgéz af ud pblhdbihb, tginhèd lb fs fl `bdeucgab z , fs af`hr quf lbs dõifrbs `biplfebs sf prfsfdtgd fd pgr `ugdab sbd rgé`fs af pblhdbihbs. Pblb lgs jud`hbdfs pbtfd`hglfs pgrfs pufafd db `brtgr gl fef x x,, fd fstbs `gsbs lgs rgé`fs sbd dõifrbs `biplfebs. Lgs jud`hbdfs pbtfd`hglfs af crgab hipgr shfiprf thfdf gl ifdbs udg rgéz rfgl. ²pbr què lg jud`hðd `õnh`g y x 0 db thfdf 0 rgé`fs2 Qhfdf 0 rgé`fs pfrb rfpfthags, pbr fsb `brtg udg sblg vfz gl fef x.
Jud`hbdfs rg`hbdglfs Jud`hbdfs rg`hbdglfs5 Pbd afl thpb5 y
[ ( x) W( x)
[bafibs `bdb`fr jç`hlifdtf lg crçjh`g af udg jud`hðd y
7 [ ( x)
jud`hðd rf`éprb`g af y [ ( x) , fdtbd`fs `gag brafdgag af y
y [ ( x) .
>3
sh lg `bdshafrgibs `bib lg
7 [ ( x)
fs 7 / brafdgag af
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
7 Fefiplb 75 y x Bnsfrvg`hbdfs5
[ ( x ) ; ,
7 [ ( x )
`ugdab db
@ugdab [ ( x ) 7 , ihsib
7
`ugdab
fxhstf.
7 9 7, lb [ ( x ) [ ( x) 7 ,
9 7, gafiçs fl shcdb [ ( x) af [(x) fs fl ihsib quf fl af 7 . [ ( x)
Fefiplb >5 y
7 x
Fefiplb 05 y
>
7 x 7 >
>=
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Jud`hbdfs fxpbdfd`hglfs5 Pbd af lg jbrig5 y g , pgrg vglbrfs pbshthvbs af g. Lgs jud`hbdfs fxpbdfd`hglfs sbd pbshthvgs pgrg tbab x, shfiprf tbigd fl vglbr 7 `ugdab x9;. Ph g47 sbd jud`hbdfs `rf`hfdtfs, sh ; udhagafs mg`hg gngeb) sgnfibs quf fs udg jud`hðd `rf`hfdtf fd tbab su abihdhb y pbr `bdshcuhfdtf fs hdyf`thvg. [grg `gl`ulgr lg jud`hðd j ud`hðd hdvfrsg j -75 7
Afspfegibs x5 x 0 y > , fdtbd`fs j ( x) 0 x > .
Gdçlhshs af abihdhb f higcfd af udg jud`hðd y su hdvfrsg. ^f`brafibs quf pbr afjhdh`hðd, fl abihdhb af lg jud`hðd hdvfrsg j -7 fs lg higcfd af lg jud`hðd j , y lg higcfd af lg jud`hðd hdvfrsg j -7 fs fl abihdhb af lg jud`hðd j . Fd fl fefiplb gdtfrhbr Abi j5 ^? Hi j5 ^ y Abi j -75 ^? Hi j -7 5 ^.
0>
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Crçjh`gs af jud`hðd y jud`hðd hdvfrsg. ^flg`hðd fdtrf gings crçjh`gs.
Pf bnsfrvg udg rflg`hðd fdtrf lgs crçjh`gs af gings jud`hbdfs5 lg rf`tg y 9 x fs ud fef af shiftrég fs af`hr quf sbd shiètrh`gs rfspf`tb af lg rf`tg y 9 x. Fstg rflg`hðd sf `uiplf shfiprf fdtrf lbs crçjh`bs af udg jud`hðd y su hdvfrsg. ²[br què2
Fefiplb >5 j ( x) x 7 Lg jud`hðd fs hdyf`thvg. Mgllgibs lg jud`hðd hdvfrsg5 y >
7 x y > 7 j ( x) x > 7 x 7
Fl abihdhb af j fs fl hdtfrvglb _-7, ), hcugl g lg higcfd af j -7. -7
Fl af abihdhb j5 _;, ). af j fs hcugl g lg higcfd Bnsfrvg`hðd5 lg jud`hðd hdvfrsg db fs >
tbag lg pgrçnblg y x 7 , shdb lg rgig pbshthvg af lg ihsig, ihsig, pbr sfr lg jud`hðd jud`hðd hdvfrsg af y x 7 , rf`brafibs quf fl abihdhb af lg jud`hðd hdvfrsg fstg `bdjbrigab pbr lg higcfd af lg jud`hðd. j ud`hðd.
00
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
@bipbsh`hbdfs af udg jud`hðd y su hdvfrsg5 j j 7 y j 7 j . Zfrfibs quf tginhèd sf vfrhjh`g udg shtug`hðd pgrth`ulgr fdtrf lgs `bipbsh`hbdfs af udg jud`hðd y su hdvfrsg5 Lg `bipbsh`hðd af udg jud`hðd y su hdvfrsg, prbau`f lg jud`hðd hafdthaga 5 y x . 7 ( x)) 9 j 7 ( j ( x)) 9 x. j ( j x. 7 [bafibs pfdsgr quf gl `bipbdfr udg jud`hðd `bd su hdvfrsg, j ( j ( x)) ð j 7 ( j ( x)) , lg jud`hðd af gafdtrb afs-mg`f lb quf mg`f lg jud`hðd af gjufrg.
Zfgibs lg `bipbsh`hðd fd fl fefiplb 75 j ( x) x 0 > y j 7 ( x) 0 x > .
7
j ( j ( x)) 9 j (0 x > ) (0 x > ) > x > > x
0
0 > > x 0 x j 7 ( j ( x)) 9 j 7 ( x 0 >) x 0
0
^ftbigibs fl fefiplb >5 7 j ( x) x 7 j ( x) x > 7
Lg `bipbsh`hðd j j 7 5
j j 7 ( x) x > 7 7 x > x x 7
j 5
Lg `bipbsh`hðd j
x 7
>
j 7 j ( x)
7 x 7 7 x
Btrbs fefiplbs >
Fefiplb 05 j ( x) x > Pgnfibs quf fs udg pgrçnblg afsplgzgag > udhagafs mg`hg lg afrf`mg. Db fs udg jud`hðd hdyf`thvg, pbr lb tgdtb db pbafibs mgllgr lg jud`hðd hdvfrsg. Flfchibs ud abihdhb fd abdaf lg jud`hðd sfg hdyf`thvg, fd fstf `gsb pbafibs tbigr lg rgig af lg afrf`mg af lg pgrçnblg x > b lg rgig af lg hzquhfrag x >.
Qbifibs lg rgig afrf`mg5 x >. Ph y ( x >) y
>
x>
²[br què `ugdab gplh`gibs rgéz `ugargag fd ginbs ihfinrbs db fs`rhnhibs
y x > 2
[brquf gl tbigr lg rgig af lg afrf`mg af lg pgrçnblg fstby trgngegdab `bd lbs x >, fdtbd`fs yg sgnfibs quf x-> 4 ;.
y x > x
y > , fdtbd`fs j 7 ( x) x >
Fl abihdhb af j fs hcugl g lg higcfd af j -7 5 _>,). 01
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Lg higcfd af j fs hcugl gl abihdhb af j -75 _;,). Crgjh`gibs gings jud`hbdfs fd ud ihsib pgr af fefs, bnsfrvgibs quf sbd shiètrh`gs `bd rfspf`tb g lg rf`tg y9 x
7 j . Gmbrg vfgibs lg `bipbsh`hðd j 7 7 j j ( x) j j ( x) j x > x > >
x >
>
x
Ph mg`fibs j 7 j 5
j
7
( x) j
j
7
j ( x) j ( x >) >
( x >) > x > > x > > x >
( x > ;) Fd lbs abs `gsbs lg `bipbsh`hðd af gings jud`hbdfs ag lg jud`hðd y 9 x.
Zfgibs gmbrg `bib prb`fafibs sh tbigibs lg rgig hzquhfrag af lg pgrçnblg5 x >. Ph y ( x >) > y
( x >) (rf`brafib (rf`brafibs s quf fd fstf `gsb x-> < ;, pbr fsb x > ( x >) ).
y x > x > y , fdtbd`fs j 7 ( x ) > x Fl abihdhb af j fs hcugl g lg higcfd af j -7 5 ( , >Y Lg higcfd af j fs hcugl gl abihdhb af j -75 _ ;, ) Crgjh`gibs gings jud`hbdfs fd ud ihsib pgr af fefs, bnsfrvgibs quf sbd shiètrh`gs `bd rfspf`tb g lg rf`tg y9 x
Gmbrg vfgibs lg `bipbsh`hðd j j 7 5
j j ( x) j j ( x) j > x > 7
7
x >
x x >
>
>
x
j 7 j 5
j
7
( x) j
j
7
j ( x) j ( x >) > >
( x >) > x > > (( x >)) > x > x >
( x >) pbrquf ( x > ;) fd fstf `gsb x > Fd lbs abs `gsbs lg `bipbsh`hðd af gings jud`hbdfs ag lg jud`hðd y 9 x.
^fsultg içs jç`hl tbigr lg rgig r gig pbshthvg af lg pgrçnblg pgrg `gl`ulgr lg jud`hðd hdvfrsg. Mgy quf prfstgr gtfd`hðd `ugdab mgy quf rfstrhdchr fl abihdhb, shfiprf tfdfr fd `ufdtg quf fl abihdhb af lg jud`hðd fs hcugl g lg higcfd af lg hdvfrsg, y rf`éprb`gifdtf.
06
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Fefiplb 15 Hdvfrsg af jud`hbdfs afl thpb j ( x)
j ( x)
0 x > x 7
gx n `x a
5 0 x > x 7
shfiprf `bdvhfdf mg`fr lg ahvhshðd af lbs pblhdbihbs. 0 x 0 0
6
j ( x) 0
6 x 7
9 y
6
fs udg jud`hðd hdyf`thvg ( y afspfeb x5 y 0
6 x 7
x
afsplgzgag 0 udhagafs pgrg grrhng y 7 pgrg lg afrf`mg)
x 7
6 y 0
x
6 y 0
7 7 j ( x)
6 x 0
7
Abi j ^ 7 Hi j 7 .
Abi j 7 ^ 0 Hi j
Lgs `bipbsh`hbdfs5
7 j j 7 5 j j ( x) 0
7
j
j 5
j 7 j ( x) 0
6 6 x 0 6 6
0
7 7 7
6( x 0) 6 0 x 0 x 0 6 6 x 0
6 6
7
6( x 7) 6
7 x 7 7 x
0 x 7 x 7 Fstf thpb af jud`hbdfs db prfsfdtg prbnlfigs af rfstrh``hbdfs af abihdhb, rf`bragr quf `bdvhfdf mg`fr lg ahvhshðd pgrg fxprfsgr af jbrig igs sfd`hllg lg jud`hðd. Fefiplb 65 Hdvfrsgs af jud`hbdfs fxpbdfd`hglfs j ( x) 0 x 7 > x
Fs udg jud`hðd fxpbdfd`hgl, y 9 0 , afsplgzgag 7 udhaga mg`hg lg afrf`mg y > mg`hg gngeb. Qbags lgs jud`hbdfs fxpbdfd`hglfs sbd hdyf`thvgs. Afspfegibs x5
0:
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
y 0 x 7 > y > 0 x 7 pgrg sfcuhr gplh`gibs lbcgrhtib fd ginbs ihfinrbs, `bdvhfdf quf gplh`gr lbcgrhtib fd ngsf 0, yg quf lbc 0 0975 lb lbc c 0 ( y >) x 7 lbc c 0 ( y >) 7 fdtbd`fs x lb j 7 ( x) lbc lbc 0 x , afsp. > udha. mg`hg lg hzquhfrag y 7 mg`hg grrhng). lbc 0 ( x >) 7 (jud`hðd y lbc
Lgs `bipbsh`hbdfs5
(lbc ( x 7 j j 5 j j 7 ( x) 0 0
Pf afiufstrg quf
0
> )7 7 )
lbc0 ( x >)
0 ( x >) > x > > x > 0lbc
x >
Gplh`gdab lbc 0 fd ginbs ihfinrbs5 lb lbc c0 0
lbc0 ( x >)
lb lbc c ( x >) 0
lb lbc c 0 x >. lbc lbc 0 0 lb lbc c 0 ( x >)
[br prbphfaga af lbc5
c 0 ( x >) lb lbc c 0 x > lb lbc `bib llfcgibs g udg hafdthaga quhfrf af`hr quf lg hcuglaga af lg quf sf pgrthð frg vfragafrg. 7
j
j 5
lbc 0 0 x 7 > > 7 lb lbc c 0 0 x7 7 ( x 7). lb lbc c 0 0 7 x 7 7 x j 7 j ( x) lbc
Lg igybr ahjh`ultga fd fstf thpb af jud`hbdfs fs mgllgr lg jud`hðd hdvfrsg, yg quf sf afnf tfdfr prfsfdtf lg afjhdh`hðd afjhdh`hðd af lbcgrhtib lbcgrhtib pgrg mg`frlb. mg`frlb. Af jbrig shihlgr sf prb`faf `ugdab lg jud`hðd fs lbcgrétih`g, fd fstf `gsb lg hdvfrsg fs fxpbdfd`hgl.
Fefr`h`hb5 Agag lg jud`hðd5 y ld ( x 7) 0 g) Mgllgr lg jud`hðd hdvfrsg. -7
n) Gdglhzgr abihdhb f higcfd af j y af j . `) Crgjh`gr gings jud`hbdfs. 7
7
a) Mgllgr lgs `bipbsh`hbdfs `bipbsh`hbdfs j j y j
j .
03
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
@ðdh`gs Pf llgigd `ðdh`gs g lgs `urvgs quf sf jbrigd gl hdtfrsf`gr ud `bdb `bd ahjfrfdtfs plgdbs.
@hr`udjfrfd`hg @hr`udjfrfd` hg
Flhpsf
[grçnblg
Mhpèrnblg Mhp èrnblg
Vd pb`b pb`b af mhs mhs tbrh tbrhg g Fl fstuahb `urvgs rfibdtg g lg gdthcug Crf`hg.Lufcb Fl igtfiçth`b crhfcbcrhfcb Ifdf`ib quf vhvhð fd fl af g÷bfstgs 06; G.@. jufsf quhfd afs`unrhð fstgs `urvgs. fl igtfiçth`b Gpblbdhb (>:>-78; G.@.) lgs fstuahð aftgllgagifdtf aftgllgagifdtf y fs`rhnh fs`rhnhð ð sbnrf `ðdh`gs y sus prbphfagafs prbphfagafs fd b`mb b`mb lhnrbs, af lbs `uglfs sðlb sbnrfvhvhfrbd lbs prhifrbs `ugtrb fd crhfcb y lbs prhifrbs 3 fd çrgnf. Fd fl shclb ]ZH fl jhlðsbjb y igtfiçth`b ^fdè Afs`grtfs (768:-7:6;) afsgrrbllð ud iètbab pgrg rflg`hbdgr lgs `urvgs `bd f`ug`hbdfs. Fstf iètbab fs lg llgigag Cfbiftrég Gdgléth`g. Fd lg Cfbiftrég Gdgléth`g lgs `urvgs `ðdh`gs sf pufafd rfprfsfdtgr pbr f`ug`hbdfs af sfcudab crgab fd lgs vgrhgnlfs x f y. Fl rfsultgab içs sbrprfdafdtf af lg Cfbiftrég Gdgléth`g fs quf tbags lgs f`ug`hbdfs af sfcudab crgab fd abs vgrhgnlfs rfprfsfdtgd sf``hbdfs `ðdh`gs sf lb afnfibs g Egd af Shtt (7:>8-7:3>). (7:>8-7:3>). Lg hipbrtgd`hg judagifdtgl af lgs `ðdh`gs rgah`g fd su `bdstgdtf gpgrh`hðd fd shtug`hbdfs rfglfs, tglfs `bib lgs ðrnhtgs af lbs plgdftgs quf sbd flépth`gs, lg `urvg quf afs`rhnf ud bneftb lgdzgab g udg vflb`haga fd fl `gipb crgvhtg`hbdgl af lg thfrrg quf fs udg pgrçnblg. Qginhèd gpgrf`fd glcudgs af fstgs `urvgs fd ibaflbs f`bdðih`bs, pbr fefiplb `ugdab sf fstuahg lg jrbdtfrg af pbshnhlhagafs af prbau``hðd (J[[). Pf afdbihdg gsé g udg `urvg quf sf÷glg fl léihtf fdtrf lgs `binhdg`hbdfs af abs nhfdfs quf fs pbshnlf prbau`hr. Lg `urvg `brrfspbdaf g lg pgrtf quf fstç fd fl prhifr `ugargdtf af udg flhpsf (fefr`h`hb 71 af lg prç`th`g 0).
@hr`udjfrfd`hg Pf afdbihdg `hr`udjfrfd`hg gl lucgr cfbiètrh`b af lbs pudtbs afl plgdb quf fquhahstgd af ud pudtb jheb llgigab `fdtrb. Fl rgahb af lg `hr`udjfrfd`hg fs lg ahstgd`hg af ud pudtb `uglquhfrg af ah`mg `hr`udjfrfd`hg gl `fdtrb. F`ug`hðd af udg `hr`udjfrfd`hg `bd `fdtrb fd fl brhcfd af `bbrafdgags5 x
>
y > r > (r5 rgahb).
Ph fl `fdtrb fstg fd fl pudtb af `bbrafdgags ( x; , y ; ) , lg f`ug`hðd fs x x ;
0=
>
y y ; > r > .
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Fl `bdeudtb af pudtbs (`bbrafdgags x, y) quf vfrhjh`gd lgs f`ug`hbdfs sbd lbs pudtbs af lgs `hr`udjfrfd`hgs `hr`udjfrfd`hgs crgjh`gags.
x 7 > y >> 1 x > y > 7
@hr`udjfrfd`hg `fdtrgag
@hr`udjfrfd`hg @hr`udjfrfd`hg `bd `fdtrb fd (7,->) >
>
Ph gdglhzgibs lg f`ug`hðd af lg `hr`udjfrfd`hg afsplgzgag afl fefiplb x 7 y > 1 , vfibs quf fstg ihsig fxprfshðd pbarég gpgrf`fr afsgrrbllgag5
x > > x 7 y > 1 y 1 1 ð x > > x y > 1 y 7 ; , fstgs fxprfshbdfs db sf pgrf`fd g lg f`ug`hðd af lg `hr`udjfrfd`hg, shd fingrcb sf vf quf fs udg f`ug`hðd `ugarçth`g y pbr fstg rgzðd `brrfspbdaf g udg `ðdh`g. [grg mgllgr lg f`ug`hðd fd jbrig `gdðdh`g, mg`fibs fl `biplftgihfdtb af `ugargabs fd `gag udg af lgs vgrhgnlfs. > > Pupbdhfdab quf pgrthibs af fstg fxprfshðd5 x > x y 1 y 7 ; x > > x ( x 7) > 7
>
y > 1 y y > 1 Ph rffiplgzgibs5 ( x 7)
>
7 ( y > ) > 1 7 ; x 7> y >> 1 .
Flhpsf F`ug`hðd af udg flhpsf `bd `fdtrb fd fl brhcfd af `bbrafdgags5 fl pudtb af `bbrafdgags ( x ; , y ; ) , lg f`ug`hðd fs
( x x ; ) g
>
>
x > >
y >
g n > ( y y ; ) n
>
>
7 . Ph fl `fdtrb fstg fd
7 .
Fefiplbs5 x > 7
y
x 7> y >>
>
1
7
7
08
1
7
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Flhpsf `fdtrgag? g97? n9>
Flhpsf `bd `fdtrb fd (-7,>) ? g97? n9>
Bnsfrvgibs quf g y n sbd lbs rgahbs mbrhzbdtgl y vfrth`gl af lg flhpsf. Lg `hr`udjfrfd`hg fs ud `gsb pgrth`ulgr af flhpsf abdaf g n .
( x x; ) >
( y y ; ) >
7. [rhifrb unh`gibs fl `fdtrb agab g> n> pbr lgs `bbrafdgags ( x ; , y ; ) , g pgrthr af gllé igr`gibs lg ahstgd`hg mbrhzbdtgl g (rgahb mbrhzbdtgl) mg`hg ginbs lgabs, y lg ahstgd`hg vfrth`gl n (rgahb vfrth`gl).
[grg `bdstruhr udg flhpsf af f`ug`hðd5
Mhpèrnblg F`ug`hðd af udg mhpèrnblg `bd `fdtrb fd fl brhcfd af `bbrafdgags5
x
> >
y
x
>
g
>
y
>
n
>
7
ð
> >
g n > ( x x ; ) >
7 . Ph fl `fdtrb fstç fd fl pudtb af `bbrafdgags ( x; , y ; ) , lg f`ug`hðd fs
( y y ; )
g
>
>
7 .
n
Fefiplbs5
> x
1
y
>
7
x
7
1
Mhpèrnblg `fdtrgag, quf `brtg gl fef y Fef vfrth`gl @ðib sf `bdstruyf udg mhpèrnblg af f`ug`hðd
>
y
>
7
7
Mhpèrnblg `fdtrgag quf `brtg gl fef x Fef mbrhzbdtgl
( x x; ) > >
( y y ; ) > >
7.
g n G pgrthr afl `fdtrb af `bbrafdgags ( x ; , y ; ) , sf igr`g lg ahstgd`hg mbrhzbdtgl g mg`hg ginbs lgabs y lg ahstgd`hg vfrth`gl n y sf trgzg ud rf`tçdculb. Lufcb sf trgzgd lgs ahgcbdglfs afl rf`tçdculb, fstgs rf`tgs sbd lgs gsédtbtgs af lg mhpèrnblg.
1;
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
@bd fstgs gsédtbtgs sf pbarégd trgzgr abs mhpèrnblgs udg af fef mbrhzbdtgl y btrg af fef vfrth`gl. Afpfdaf af `ðib fstèd unh`gabs lbs shcdbs fd lbs tèrihdbs af lg f`ug`hðd `brrfspbdaf udg u btrg.
Fefiplb5
( x 7)
>
8
( y >) > 7 Fl `fdtrb fstç fd (7,->). G pgrthr af gllé sf igr`gd lgs ahstgd`hgs g90 y n97. Pf trgzg fl rf`tçdculb y lgs ahgcbdglfs. [grg sgnfr `uçl fs fl fef af lg mhpèrnblg prbngibs `uglfs af lbs pudtbs igr`gabs vfrhjh`gd lg f`ug`hðd.
Fl ( >,>) 5 Fl (7 ,7) 5
(> 7)
(7 7)
8
>
8
(> >) > 7 ; 7 vfrhjh`g, fdtbd`fs tginhèd vfrhjh`g fl (1 ,>) . 8
>
(7 >) > 7 ; 7 7 7 db vfrhjh`g.
8 Lg crçjh`g af lg mhpèrnblg fs5
[grçnblg Lg fxprfshðd cfdfrgl af fstg `ðdh`g fs x x;
g.( y y ; ) > , ð y y; g.( x x; ) > , sfcõd sfg af
af fef vfrth`gl b af fef mbrhzbdtgl. Lg fxprfshðd gdgléth`g af udg pgrçnblg af fef vfrth`gl fs lg jud`hðd `ugarçth`g `bdb`hag5 > y gx nx ` , quf gl `biplftgr `ugargabs qufag af lg jbrig `gdðdh`g5 y g.( x x; ) > y; .
17
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Lg af fef mbrhzbdtgl fs af lg jbrig x g.( y y ; ) >
x; . X lg crçjh`g fs udg pgrçnblg mbrhzbdtgl.
( x; , y ; ) sbd lgs `bbrafdgags afl vèrth`f af lg pgrçnblg, y fl `bfjh`fdtf g ag lg jbrig af lg pgrçnblg. Fefiplb5 x ( y >) > 7
Fxprfshbdfs gdgléth`gs af `ðdh`gs @bib ahehibs gl prhd`hphb tbags lgs f`ug`hbdfs af sfcudab crgab fd abs vgrhgnlfs rfprfsfdtgd sf``hbdfs `ðdh`gs. Zfgibs ahsthdtbs fefiplbs y `ðib rf`bdb`fr g quf `ðdh`g pfrtfdf`fd. pfrtfdf`fd. g) 8 x
>
7:y > 7=x :1 y 788 ;
n) x
>
1x > y 7; ;
`) y
>
1 y =x >= ;
a) x
>
1 y > 1x = y 8> ;
f) x
>
y > 1x :y 7> ;
Lgs fxprfshbdfs quf thfdf udg sblg af lgs vgrhgnlfs `ugarçth`g `brrfspbdafd g pgrçnblgs, `bib lg n) lg `). Fd fl `gsb af lg n) lg pgrçnblg fs af fef vfrth`gl, fs jud`hðd af x. Lg `) fs udg pgrçnblg af yfef mbrhzbdtgl. Lgs fxprfshbdfs `ugarçth`gs quf thfdfd gings vgrhgnlfs gl `ugargab, y ahsthdtb shcdb fd lbs abs tèrihdbs `ugarçth`bs `brrfspbdafd g mhpèrnblgs, `bib fl g). Ph lbs abs tèrihdbs `ugarçth`bs thfdfd fl ihsib shcdb y ahsthdtb `bfjh`hfdtf `brrfspbdafd g flhpsfs, `bib fl a). Ph lbs abs tèrihdbs `ugarçth`bs thfdfd fl ihsib `bfjh`hfdtf y shcdb `brrfspbdafd g `hr`udjfrfd`hgs, `hr`udjfrfd`h gs, `bib fl f).
Pðlb lgs pgrçnblgs af fef vfrth`gl sbd jud`hðd . Fl rfstb af lgs `ðdh`gs sbd `urvgs fd fl plgdb quf db rfspbdafd g lg afjhdh`hðd af jud`hðd.
²Wuè bntfdfibs sh afspfegibs y af lg f`ug`hðd af udg `ðdh`g2 [br fefiplb af lg flhpsf af f`ug`hðd x
>
y> 1
7, afspfegibs y5 y 1 1 x > . 1>
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Bntfdfibs abs jud`hbdfs j 7 ( x) 1 1 x y j > ( x) 1 1 x >
>
@bdshafrgdab lg `urvg fd abs pbr`hbdfs supfrhbr f hdjfrhbr, `bdshafrgdab fl fef af shiftrég mbrhzbdtgl af lg `ðdh`g, `gag pbr`hðd rfprfsfdtg udg jud`hðd. Lg rgéz pbshthvg `brrfspbdaf g lg pbr`hðd supfrhbr af lg `urvg y lg dfcgthvg g lg hdjfrhbr.
Fefr`h`hb Agags lgs f`ug`hbdfs g) 8 x
>
7:y > 7=x :1 y 788 ;
n) x
>
1x > y 7; ;
`) y
>
1 y =x >= ;
a) x
>
1 y > 1x = y 8> ;
f) x
>
y > 1x :y 7> ;
7» Bntfdfr lg f`ug`hðd `gdðdh`g, `biplftgdab `ugargabs. >» Crgjh`gr. 0» Fxprfsgr lgs jud`hbdfs quf sf bnthfdfd afspfegdab y af `gag f`ug`hðd. [br fefiplb fd g) 8 x >
7:y > 7=x :1 y 788 ;
> x ) 7: ( y > 1 y) 788 > > > Fd x5 x > x ( x 7) 7 yg quf ( x 7) x > >x 7 > > Fd y5 y 1 y ( y >) 1 [grg `biplftgr `ugargabs sg`gibs jg`tbr `biõd5 8( x
>
^ffiplgzgdab5 8 x 7
>
7 7: y >> 1 788
>
>
8 x 7 8 7: y > :1 788 >
>
>
>
8 x 7 7: y > 788 8 :1 8 x 7 7: y > 711 [grg fxprfsgr fd jbrig `gdðdh`g
( x x; ) >
( y y ; ) >
Ahvhahibs ginbs ihfinrbs pbr 7115
8( x 7) 711
7
n>
g> >
7:( y >)
10
711
>
7
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw > > ( x 7) > ( y >) > ( x 7) ( y >) [grg bntfdfr lbs vglbrfs af g y n5 7 7 711 711 7: 8 8 7: Fs af`hr quf g90y n9 1
Crgjh`g af lg mhpèrnblg5
`) Afspfegdab y5 y >
8 7:
( x 7) 8 >
> ( x 7) y7 0 7 > > ( x 7) 7: 7 y > 0 > 7: ( x 7) 7 > y 0 > 7:
@bdsultgs g lgs pçchdgs5 mttp5//www.igtm>.brc/igtm/glcfnrg/fs-`bdh`s.mti mttp5//sbob.`bi.gr/igtfi/igtfi mttp5//sbob.`bi.gr/ig tfi/igtfigth`g/@bdh`gs.mti gth`g/@bdh`gs.mti mttp5//hdcfdhfnrbs.trhpba.`bi/mhstbrhg.mti
11
VD[PEN
I GQF GQF I GQH @ G H
Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs Pfaf Qrflfw
Nhnlhbcrgjég S .5 Igtfiçth`gs gplh`gags g lg Gaihdhstrg`hðd, Gaihdhstrg`hðd, G^XG, Egcahsm @. y LG^ADF^, ^bnhd S.5 F`bdbiég, @hfd`hgs Pb`hglfs y Nhblðch`gs. N hblðch`gs. [rfdth`f Mgll Mhspgdbgièrh`g PG. Qfr`frg Fah`hðd. 788>. CG^@HG ZFDQV^HDH, Glfegdarb F.5 Gdçlhshs Igtfiçth`b H `bd gplh`g`hbdfs f`bdðih`gs.
[rhifrg [grtf. Vdhvfrshaga af Nufdbs Ghrfs. Jg`ultga af @hfd`hgs F`bdðih`gs. 3ig. Fah`hðd. 7886. GLLFD ^.C.A.5 Gdçlhshs Igtfiçth`b pgrg F`bdbihstgs F`bdbihstgs . Fahtbrhgl Gcuhlgr. =vg. Fah`hðd. 783=.
PQFSG^Q Egifs. @çl`ulb. @çl`ulb. Qrgs`fdafdtfs Qfiprgdgs. Qfr`frg fah`hðd. fah`hðd.
Hdtfrdg`hbdgl Qmbisbd Fahtbrfs. Ièxh`b 788=. (pgc 63=). HQV^^HBU LVHPG. “Gpudtfs af Gdçlhshs Igtfiçth`b’.
Btmgz Fahtbr. Vdhvfrshaga Dg`hbdgl afl Pur. Ngmég Nlgd`g. 783>.
Hdtfcrgl“. [HPOVDBZ D. "@çl`ulb Ahjfrfd`hgl f Hdtfcrgl“. Fahtbrhgl Ibdtgdfr y Phiðd, P. G. Ngr`flbdg.783=.
16
View more...
Comments
