Funciones y Derivadas XXI COLOQUIO PDF

Memorias II Tomo

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Funciones y derivadas Vicenç Font

La actividad demostrativa en un curso de geometría plana en la formación inicial de profesores de matemáticas

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Carmen Samper de Caicedo, Leonor Camargo Uribe, Patricia Perry Carrasco, Clara Emilse Rojas

XXI

Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN SEDE

MEMORIAS XXI COLOQUIO DISTRITAL DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA TOMO II Obra completa ISBN: 958-97495-2-6 Volumen ISBN: 958-97495-3-4 Primera edición 2005

Autores:

Vicenç Font Carmen Samper de Caicedo Leonor Camargo Uribe Patricia Perry Carrasco Clara Emilse Rojas Producción editorial: Grupo Editorial Gaia Tels: 2170352 - 2275505 Bogotá [email protected] Reservados derechos de autor. Prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación mediante cualquier proceso de reproducción digital, impresión u otro, sin permiso escrito de los autores.

EDITADO EN COLOMBIA - 150 ejemplares

PRESENTACIÓN

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esde hace 21 años las Universidades Nacional de Colombia, Pedagógica Nacional y Distrital Francisco José de Caldas, organizan anualmente y de manera conjunta el Coloquio Distrital de Matemática y Estadística, alternando las sedes del evento en estas tres universidades. En este proceso, el Coloquio se ha configurado como un espacio académico que integra la reflexión disciplinar, didáctica e investigativa en las áreas de Educación Matemática, Estadística y Matemáticas, invitando a la discusión de resultados de investigación y de experiencias didácticas. Como espacio de debate académico, las actividades del Coloquio impactan tanto la formación de estudiantes de pregrado y posgrado como la cualificación de docentes en ejercicio de los diferentes niveles de escolaridad. El Coloquio como espacio social congrega a estudiantes de matemáticas, matemáticos estadísticos, estudiantes de licenciaturas, docentes de matemáticas y educación básica, media y superior tanto del Distrito Capital como de diversas regiones del país. Este año la sede del XXI Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística correspondió a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas de manera específica a la Facultad de Ciencias y Educación y a los proyectos curriculares de Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas y de Especialización en Educación Matemática, adscritos a ella, que aportaron todo el apoyo logístico requerido para el éxito de este evento. En este Coloquio se desarrollaron las siguientes modalidades de trabajo: Conferencias, Cursos cortos, Talleres, Panel, Mesa Redonda y Comunicacio-

nes Breves, en las que se reportaron experiencias de aula, avances de investigación y propuestas de innovación. La Conferencia inaugural “Matemática y su Didáctica en la Formación Inicial” estuvo a cargo del profesor Vicenç Font doctor en Ciencias de la Educación de la Universidad Autónoma de Barcelona y como conferencistas nacionales participaron los profesores Yu Takeuchi y Jorge Martínez de la Universidad Nacional de Colombia, Luís Carlos Arboleda y Roberto Behar de la Universidad del Valle, Gabriel Yánez de la Universidad Industrial de Santander, Alfonso Jiménez de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Arnold Oostra de la Universidad del Tolima y Fernando Guerrero, Neila Sánchez y Carlos Ochoa de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas entre otros. En estas memorias se encuentra en versión de CD el resumen de las Conferencias, Comunicaciones Breves y el Panel sobre Educación Estadística en Colombia, desarrollados durante el Coloquio y siete tomos de los resúmenes de los cursillos y del material de trabajo de los talleres desarrollados. Agradezco en nombre de todos los participantes, a los miembros del Comité Organizador, a los profesores y estudiantes que con su trabajo y dedicación hicieron posible el éxito del XXI Coloquio, y en especial a José Manuel Flórez, Decano Facultad de Ciencias y Educación, a Jorge Federico Ramírez, Director de Bienestar Institucional quienes personalmente y como directivos de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas contribuyeron a que este evento se hiciera realidad. Pedro Javier Rojas G. Presidente Comité Organizador XXI Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística

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    Vicenç Font Universitat de Barcelona Resumen: En este documento sobre “funciones y derivadas”, dividido en tres secciones, se abordarán sólo algunos aspectos relacionados con la enseñanza y aprendizaje de estos objetos matemáticos. En la primera sección se comenta, fundamentalmente, la incidencia que puede tener en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones considerar sus diferentes tipos de representación y las conversiones entre ellas. En la segunda, se aborda la pregunta ¿qué tipo de técnicas de cálculo de la derivada en un punto y de la función derivada tienen que incorporar una unidad didáctica sobre derivadas en el Bachillerato?. Por último, en la tercera sección, se reflexiona sobre el papel que juega la metáfora en la representación gráfica de funciones.

SECCIÓN I: FUNCIONES 1) Incidencia de la investigación didáctica sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Muchos investigadores se han preguntado cuál es la incidencia real de la investigación didáctica sobre los procesos de instrucción efectivamente realizados en el aula, y han llegado a cuestionar que dicha investigación produjera efectos significativos. Si bien no es claro el impacto que tiene la investigación didáctica en muchos temas, lo que en estos momentos no se discute es que, en el caso de las funciones, dicho impacto ha sido fundamental para cambiar la manera de enseñarlas. Se puede afirmar que en estos momentos la investigación didáctica sobre las funciones, y en especial la investigación sobre sus representaciones asociadas y las conversiones entre ellas, es la causa de un cambio radical en la manera de enseñarlas. Un ejemplo ilustrativo de este cambio en la manera de enseñar las funciones en el Bachillerato se puede observar en el tipo de actividades propuestos por dos libros de texto publicados en España con 21 años de diferencia. La primera figura corresponde a un libro de texto editado el año 1976 y en ella se puede observar como las funciones se entienden básicamente como un caso particular de correspondencia entre conjuntos. En cambio, en la segunda figura, que son actividades propuestas en un libro publicado el año 1997, podemos observar que los autores manifiestan un interés por el uso de diferentes representaciones y por las conversiones entre ellas:

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Figura 1

Figura 2

En una unidad didáctica (o en cada secuencia de actividades) se introduce un determinado tipo de lenguaje, se proponen una serie de situaciones problemas, se introducen determinados conceptos y también se argumentan determinadas propiedades y acciones (procedimientos, técnicas, etc.). Por tanto, las unidades didácticas (o secuencias de actividades) propuestas en los libros de texto se pueden considerar como la presentación, organizada y estructurada, en un determinado periodo de tiempo de lenguaje, situaciones, conceptos, propiedades, argumentos y acciones. En este documento, llamaremos “configuraciones epistémicas” a la organización de estos seis tipos de objetos que se puede observar en cada unidad didáctica (o secuencias de actividades). La organización de la unidad de funciones propuesta en el libro del año 1976 y titulada “Operaciones con funciones” se puede representar mediante la siguiente configuración epistémica:

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CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA

Representa

Función real
 Representa

Conjuntista f: A->B Diagramas sagitales A B X1



 Problemas Descotextualizados en los que el conjunto de salida y el de llegada son finitos o infinitos

y

X2

Expresión analítica (f(x) = x2..) Gráficas Cartesianas

Resuelven Concretan



 Determinar si es función Calcular dominio y rango Clasificar la función Calcular la función inversa Efectuar operaciones con funciones

Conceptos Previos Conjuntos Producto cartesiano Relaciones binarias Conceptos Emergentes Función Rango y dominio Variables Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva Función suma, producto, compuesta e inversa Se atribuyen

Justifican

Argumentos Deductivos a partir de las definiciones

Propiedades Criterio de la recta vertical Propiedades de las operaciones con funciones (asociativa,...)

Figura 3

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El concepto de función se define como un caso particular de relación: “una relación es una función sí y sólo si todo elemento de A se relaciona con un solo elemento del conjunto B”. El concepto de función se presenta de una manera descontextualizada y las situaciones problemas, o bien son ejemplos que sirven para ilustrar la definición o bien son problemas descontextualizados propuestos al final de la unidad con el objetivo de que los alumnos apliquen el concepto de función. Es decir, las situaciones problema sólo tienen la función de concretar el concepto de función, en ningún caso sirven para que se construya dicho concepto a partir de ellas. El lenguaje utilizado básicamente es el conjuntista. Para los conjuntos infinitos se recurre a las gráficas cartesianas y, en algunos casos, también se recurre a expresiones simbólicas. No se contemplan las conversiones entre diferentes formas de representación y, en los pocos casos que esto sucede, siempre es la conversión de expresión simbólica a gráfica. La metodología implícita es la siguiente: el profesor define los conceptos, pone ejemplos y demuestra propiedades (de manera deductiva) mediante una clase magistral. Los alumnos han de aplicar dichos conceptos y propiedades a la resolución de problemas descontextualizados. Esta unidad se impartía a continuación de otra unidad titulada “Aplicaciones” y era seguida de otras tres unidades tituladas “Simetría, monotonía y acotación”, “límites” y “continuidad de funciones reales”. En la unidad previa se introducían, entre otros, los conceptos de correspondencia, relaciones binarias, relaciones de equivalencia y conjunto cociente y aplicaciones. En las tres unidades posteriores se introducían los conceptos de simetría, monotonía, acotación; los límites finitos e infinitos definidos en términos de epsilones y deltas; y la continuidad a partir del concepto de límite. Por otra parte, se suponía que en cursos anteriores los alumnos ya habían estudiado algunos modelos de funciones (proporcionalidad directa, a fin y cuadrática) y que iban a estudiar en otras dos unidades posteriores las funciones circulares y las funciones exponenciales y logarítmicas. La organización de la unidad de funciones propuesta en el libro del año 1997, titulada “Funciones” se puede representar mediante la siguiente configuración epistémica:

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CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA Representa

Función real
 Representa

Enunciado Tabla 0 1 2 3 0 1 4 9 Expresión analítica (f(x) = x2..) Gráficas Cartesianas



 Problemas Contextualizados en los que la variable dependiente y la independiente son magnitudes

Generalizan

Resuelven Concretan



 Determinar si es función Traducir y convertir las 4 formas de representación de las funciones. Calcular dominio y rango Distinguir gráficamente entre función contínua y discontínua. Interpretar y reconocer gráficamente los conceptos de función creciente, decreciente, cóncava y convexa. Reconocer y distinguir gráficamente los máximos y mínimos relativos, así como los puntos de inflexión de las funciones. Efectuar operaciones aritméticas con funciones y reconocer sus consecuencias gráficas. Componer y descomponer funciones.

Conceptos Previos Magnitud Modelos de funciones conocidos Conceptos Emergentes Función. Variables. Rango y dominio. Continuidad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Función definida a trozos. Función suma, producto y compuesta.

Se atribuyen

Justifican

Argumentos

Propiedades (pocas) La composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa

Inductivos Gráficos

Figura 4

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La unidad sigue la estructura siguiente: a) problemas contextualizados introductorios, b) desarrollo de la unidad didáctica con problemas contextualizados de aplicación intercalados y c) problemas contextualizados de consolidación propuestos al final del tema. El concepto de función se generaliza a partir de diferentes situaciones en las que hay una relación entre magnitudes. No se necesitan conceptos previos conjuntistas (por ejemplo, el de correspondencia). El concepto de función se presenta de una manera contextualizada ya que se presentan situaciones problemas al inicio de la unidad cuyo objetivo es facilitar al estudiante su construcción del concepto de función. En este caso, no se trata tanto de aplicar conocimientos matemáticos acabados de estudiar, sino que el objetivo es presentar una situación del mundo real que el alumno puede resolver con sus conocimientos previos (matemáticos y no matemáticos). Son problemas introductorios diseñados para que queden dentro de la zona de desarrollo próximo (en términos de Vygotsky). Su principal objetivo es facilitar la construcción, por parte de los alumnos, de los conceptos matemáticos nuevos que se van estudiar en la unidad didáctica. El lenguaje conjuntista ha desaparecido. En cambio, se introducen cuatro formas de representación de las funciones (enunciado, tabla, gráfica y fórmula) y se proponen actividades cuyo objetivo es la traducción dentro del mismo tipo de representación y la conversión entre diferentes formas de representación. La metodología implícita es la siguiente: el profesor propone problemas que los alumnos han de intentar resolver (normalmente en grupo). En el proceso de puesta en común de las soluciones, además de resolver los problemas, se van construyendo los conceptos de la unidad. Estos conceptos se relacionan y organizan para ser primero aplicados a ejercicios y después ser utilizados en la resolución de problemas contextualizados más complejos. Puesto que se pretende que los conceptos, propiedades y procedimientos surjan a partir de generalizaciones y de procesos de abstracción adecuados a la edad de los estudiantes, la argumentación deductiva es casi inexistente. El tipo de argumentación que se utiliza es de tipo inductivo. También tiene un papel importante la argumentación a partir de gráficas para distinguir gráficamente entre función continua y discontinua; reconocer gráficamente los conceptos de función creciente, decreciente, cóncava y convexa; reconocer y distinguir gráficamente los máximos y mínimos relativos, así como los puntos de inflexión de las funciones. Otro aspecto a destacar es que esta unidad incorpora de manera explícita pocas propiedades. De hecho, sólo resalta que la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa. En cambio, en la unidad de 1976 se resaltan muchas propiedades de las operaciones con funciones puesto que se tiene como objetivo caracterizar al conjunto de las funciones reales como grupo abeliano (si se considera como operación interna la suma); como anillo conmutativo con unidad (si se consideran la suma y el producto) o como espacio vectorial (si se considera la suma y el producto de una función por un número). En el esquema siguiente se pueden observar a la derecha de la línea discontinua los contenidos de la unidad, en color gris los modelos de funciones que se suponen conocidos antes de iniciar el estudio de esta unidad y, en color blanco, los modelos de funciones que serán estudiados en unidades posteriores.



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Figura 5

El cambio que se puede observar entre estas dos unidades es el resultado de diferentes factores. Algunos son generales, como es el caso de la reflexión de tipo constructivista sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje, pero otros son específicos de la investigación didáctica sobre las funciones. A estos últimos vamos a referirnos en los siguientes apartados. 2) Investigación didáctica sobre funciones De la amplia investigación didáctica reciente sobre el concepto de función vamos a comentar dos tipos de investigaciones: 1) Las que han analizado la noción de función como proceso y como objeto y 2) Las que se han ocupado de analizar el papel que juegan las diferentes clases de representación del concepto de función. 3) La función como objeto y como proceso Dubinsky (1991 y 1996) ha intentado aplicar, después de una revisión, algunas de las ideas de Piaget al pensamiento matemático avanzado. La principal dificultad que ha encontrado en este intento ha sido que la teoría de Piaget tiene su origen en la manipulación de objetos físicos, pero a medida que el nivel matemático aumenta, se hace necesario construir nuevos objetos, no físicos sino mentales, y manipularlos para construir las ideas matemáticas. Dubinsky (1996) considera que un problema importante en la educación matemática consiste en encontrar sustitutos apropiados para los objetos físicos y cree que los ordenadores se pueden utilizar para este propósito.

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Dubinsky considera que, para explicar las diferencias en las conductas de los estudiantes, es necesario formular una hipótesis mentalista, ya que considera que para poder explicar y buscar soluciones a estas diferencias, es necesario desarrollar una teoría sobre los procesos mentales, que pueda explicar lo que está ocurriendo en la mente de los estudiantes: “El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder ante situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo y reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1996, págs. 32-33). La construcción de acciones, procesos y objetos, la ilustra Dubinsky con la siguiente figura (Dubinsky, 1996, pág. 33):

Figura 6 Una acción es una transformación de objetos que el individuo percibe como algo externo. Un individuo que solamente puede entender una transformación como una acción solamente puede realizarla reaccionando a indicaciones externas que le proporcionen detalles precisos sobre los pasos que tiene que hacer. Por ejemplo, un estudiante que no es capaz de interpretar una situación como una función, a no ser que tenga una fórmula para obtener valores, está restringido a un concepto de acción de una función. En este caso, el alumno no puede hacer muchas cosas con esta función, excepto evaluarla en puntos específicos y manipular la fórmula. Las funciones definidas a trozos, las inversas de las funciones, la composición de funciones, los conjuntos de funciones, la función derivada, etc. son fuente de grandes dificultades para estos alumnos porque no pueden ir más allá de una concepción de acción de una función, y todas estas nociones exigen concepciones de proceso y/o objeto. Cuando una acción se repite y el alumno puede reflexionar sobre ella, puede interiorizarse en un proceso. Es decir, se realiza una construcción interna que ejecuta la misma acción, pero ahora no necesariamente dirigida por un estímulo externo. Un individuo que tiene una concepción de proceso de una transformación puede reflexionar sobre ella, describirla, y hasta puede llegar a invertir los pasos. A diferencia de la acción, el individuo percibe el proceso como algo interno y bajo su control, en lugar de ser una respuesta a indicaciones externas. En el caso de las funciones, una concepción de proceso permite al alumno pensar la función como algo que recibe una entrada, o más, de valores de la variable independiente, que realiza una o más operaciones sobre las entradas y que da los valores de la variable dependiente como resultado. Por ejemplo, para entender la función f(x) = sen x, es necesaria una concepción proceso del concepto de función porque no tenemos instrucciones explícitas de cómo podemos obtener una salida para cada entrada; para hallar imágenes, un alumno ha



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de pensar en el proceso que asocia a cada número real su seno. Con una concepción proceso del concepto de función, el alumno puede construir una composición o bien invertir el proceso para obtener funciones inversas. Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso en particular, toma conciencia del proceso como un todo, realiza aquellas transformaciones (sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él y puede construir de hecho estas transformaciones, está pensando en este proceso como un objeto. En este caso se dice que el proceso ha sido encapsulado en un objeto. En el transcurso de la realización de una acción o un proceso sobre un objeto, suele ser necesario desencapsular el objeto y volver al proceso del cual se obtuvo a fin de usar sus propiedades y manipularlo. Un ejemplo de desencapsulación y encapsulación de procesos en objetos es la manipulación de funciones para hallar la suma, producto, etc. En general la encapsulación de procesos en objetos es extremadamente difícil. Por último, Dubinsky considera que los objetos se integran en esquemas los cuales a su vez se coordinan con otros esquemas. Las reflexiones de Dubinsky sobre las funciones como objeto y como proceso son, en mi opinión, un intento de dar una respuesta a uno de los aspectos esenciales del razonamiento matemático: el uso de elementos genéricos. El razonamiento matemático, para ir de lo general a lo general hace intervenir una fase intermedia que consiste en la contemplación de un objeto individual. Este hecho plantea una grave dilema: si el razonamiento se ha de aplicar a un objeto concreto (por ejemplo un valor del dominio), es preciso que se tenga alguna garantía de que se razona sobre un objeto cualquiera para que quepa justificar la generalización en la que termina el razonamiento. En mi opinión, con relación al elemento genérico hay que considerar tres cuestiones conexas pero distintas, a saber: 1) ¿Por qué se hace intervenir en la demostración de una proposición matemática (el enunciado de una definición, etc.), una fase intermedia que se refiere a un objeto particular? 2) ¿Cómo es posible que un razonamiento en que intervenga semejante fase intermedia pueda, pese a ello, dar lugar a una conclusión universal? 3)

El elemento particular normalmente forma parte de una cadena en la que los eslabones anteriores son elementos genéricos. A su vez, el elemento particular al ser considerado como genérico se convertirá en el eslabón previo de un nuevo caso particular y así sucesivamente.

La distinción entre objeto y proceso propuesta por Dubinsky está claramente relacionada con estos aspectos, sobre los cuales se reflexionará con más profundidad en la sección 2 al comentar la complejidad semiótica asociada a la función derivada. 4) ¿Qué son las funciones? versus ¿cómo y dónde se utilizan las funciones? Cuando alguien se pregunta ¿qué es una función? está preguntando por el significado del término función. Básicamente hay dos maneras de entender el “significado”: la semántica o referencial y 2) la pragmática. El punto de vista semántico considera que el aspecto clave en la construcción del significado es el referente, es decir los ejemplos del concepto. Desde esta perspectiva el problema de la

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construcción del significado más o menos sería el siguiente: 1) el profesor tiene que enseñar un objeto matemático descontextualizado y lo que tiene que hacer es buscar ejemplos concretos de dicho objeto, a ser posible situaciones reales, es decir tiene que contextualizar. A partir de estas situaciones y como resultado del proceso de enseñanza-aprendizaje el alumno ha de descontextualizar para construir el objeto matemático (por ejemplo ha de entender que una función es una regla que asigna a cada elemento del conjunto de salida un solo elemento del conjunto de llegada) y posteriormente aplicar este objeto matemático a otros contextos (es decir ha de volver a contextualizar). Desde esta perspectiva todos los ejemplos del concepto son iguales ya que se considera que los ejemplos del concepto forman una clase homogénea y el significado es único. Este punto de vista tiene dificultades para explicar, entre otras cosas, la falta de transferencia de un contexto a otro y los fenómenos del prototipo nos referimos a que las personas no suelen considerar los ejemplos de un concepto como una clase homogénea. El punto de vista pragmático de la construcción del significado considera que el elemento clave de la construcción de significado es el uso. Desde esta perspectiva la pregunta clave no es “qué” sino “cómo y dónde” y el significado se define en términos de prácticas. Ante la pregunta ¿cuál es el significado de un objeto matemático? La respuesta es que el significado es el sistema de prácticas en las que el objeto matemático en cuestión es un elemento determinante para la realización (o no) de la práctica. Cuando se define el significado de un objeto matemático en términos de prácticas, tal como se propone en el pragmatismo, resulta que el significado de un objeto matemático queda ligado a otros significados y a otros objetos, puesto que en las prácticas intervienen dicho objeto conjuntamente con otros objetos matemáticos. Este hecho, permite distinguir dos términos que resultan difíciles de diferenciar, nos referimos a los términos sentido y significado. En efecto, puesto que el objeto se puede relacionar con unos u otros objetos según el contexto, el tipo de notación, etc. para dar lugar a diferentes prácticas, podemos entender el sentido como un significado parcial, esto es como un subconjunto (sentido) del sistema de prácticas en las que el objeto es determinante (significado). El significado de un objeto matemático entendido como sistema de prácticas se puede parcelar en diferentes clases de prácticas más específicas que son utilizadas en un determinado contexto y con un determinado tipo de notación produciendo un determinado sentido. Cada contexto ayuda a generar sentido (permite generar un subconjunto de prácticas), pero no genera todos los sentidos. Un objeto matemático, que se ha originado como un emergente del sistema de prácticas que permite resolver un determinado campo de problemas, con el paso del tiempo queda enmarcado en diferentes programas de investigación. Cada nuevo programa de investigación permite resolver nuevos tipos de problemas, aplicar nuevas técnicas, relacionar el objeto (y por tanto definir) de una manera diferente, utilizar nuevas representaciones, etc. De esta manera, con el paso del tiempo aparecen nuevos subconjuntos de prácticas (sentidos) que amplían el significado del objeto. Desde un punto de vista pragmatista, se considera que un alumno ha comprendido un determinado objeto matemático cuando lo usa de manera competente en diversas prácticas. El conjunto de prácticas que puede realizar en un momento determinado el alumno es lo que se

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entiende por significado personal del alumno en este momento. El significado entendido de esta manera se puede parcelar en diferentes clases de prácticas más específicas que son utilizadas en un determinado contexto y con un determinado tipo de notación produciendo un determinado sentido. Un cambio de notación puede activar un sentido diferente, es decir un subconjunto de prácticas, que puede facilitar o dificultar la resolución de la actividad. En la producción de nuevo sentido también juegan un papel importante los procesos analógicos y metafóricos. Generalmente los objetos matemáticos se representan mediante notaciones diferentes que ayudan a producir diferentes sentidos. Cada una de las notaciones ayuda a producir sentido, pero no genera todos los sentidos. Por lo tanto, comprender un objeto matemático, en tanto que uso competente, requiere utilizar diferentes notaciones y convertir (traducir) una representación en otra. Desde esta perspectiva, un criterio de idoneidad de una trayectoria didáctica para un objeto matemático es que el conjunto de prácticas implementadas sea un conjunto lo más representativo posible del sistema de prácticas que son el significado del objeto. Dicho en términos de contextos y representaciones, hay que presentar a los alumnos una muestra de contextos y representaciones representativa, una muestra de contextos y representaciones que permita construir una muestra representativa de los diferentes sentidos del objeto.  



 

 De la misma manera que las reflexiones de tipo pragmatista resaltan la importancia que tienen las diferentes representaciones en la construcción del significado, las reflexiones de tipo cognitivo también han puesto de manifiesto la importancia que tienen, para la comprensión de los alumnos, las diferentes representaciones de un objeto matemático. Desde el punto de vista cognitivo, la comprensión de un objeto matemático se entiende básicamente en términos de integración de representaciones mentales. Esta integración es la que asegura la competencia en el uso de las representaciones externas asociadas al objeto. Desde esta perspectiva, un objetivo central en la enseñanza de las matemáticas consiste en conseguir que “los estudiantes sean capaces de pasar desde una representación a otra sin caer en contradicciones” (Hitt, 1998, p. 124). Este objetivo es asumido por muchos investigadores en didáctica de las matemáticas y lo podemos encontrar formulado en términos parecidos, tanto para la enseñanza como para el aprendizaje, en muchas publicaciones. Por ejemplo, con relación al aprendizaje en Duval (2002, p. 318) se dice: “La conversión de representaciones es un problema crucial en el aprendizaje de las matemáticas.” Janvier (1987), en sus trabajos sobre el concepto de función considera que las representaciones asociadas al concepto de función se pueden clasificar en cuatro clases (expresión analítica, tabla, gráfica y expresión verbal) que, aunque idealmente contienen la misma información, ponen en función diferentes procesos cognitvos, cada uno de ellos estrechamente relacionado con los otros. La representación gráfica conecta con las potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se relaciona con la geometría y la topología. La representación en forma de tabla pone de manifiesto los aspectos numéricos y cuantitativos. La expresión analítica conecta con la capacidad simbólica y se relaciona principalmente con el álgebra, mientras que la representación verbal se relaciona con la capacidad lingüística de las personas y es básica para interpretar y relacionar las otras tres.

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Janvier, entre otros, considera que el aprendizaje de las funciones no se ha de limitar al de una sola de estas formas de representación, sino que ha de incluir la capacidad de convertir la información de una representación a otra y las traducciones entre el mismo tipo de representación.


    





   

    

   

    

 





  

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Tabla 1. Adaptación de la tabla propuesta por C. Janvier Esta tabla contempla las posibles conversiones de una forma de representación a otra, así como las traducciones dentro de la misma forma de representación, que son las de la diagonal. La tabla anterior pone de manifiesto la multiplicidad de relaciones que se pueden establecer entre las diferentes formas de representar una función. El paso de una a otra puede ampliar y reorganizar la información que está implícita en una de las formas de representación. Si bien sería deseable que los alumnos trabajasen la conversión y la traducción entre todos los diferentes tipos de representaciones de las funciones, la introducción de las calculadoras gráficas y los programas informáticos en la enseñanza secundaria permite automatizar y, por tanto, facilitar y simplificar algunas de las posibles conversiones y traducciones entre las representaciones funcionales. Según García (1994)4, si en la tabla anterior se consideran las traducciones y conversiones que se pueden fácilmente automatizar, gracias a las calculadoras graficadoras, graficadores y otros programas informáticos, se pueden reconocer cuatro que se presentan en el esquema a. El esquema b pone de manifiesto cuáles son las traducciones que resultan más difíciles de automatizar y que, por lo tanto, necesitan ser más trabajadas; estas últimas, hasta el momento, son precisamente las que menos se trabajan en las clases.

a) Figura 7

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b)

Figura 8

A continuación vamos a focalizar la atención sólo en dos de estas traducciones y conversiones que son difíciles de automatizar: la traducción entre representaciones analíticas y la conversión de la representación gráfica a la expresión analítica. 6) Traducción entre representaciones analíticas En la casilla "Transformaciones de la fórmula" tienen cabida todas las transformaciones de la fórmula de la función que lleven a una nueva expresión equivalente a la expresión simbólica inicial de la función. En concreto, tienen cabida todas las expresiones que llevan a entender una función f(x) como el resultado de aplicar transformaciones (traslación, contracción, dilatación o reflexión) a otra función g(x). O bien las que llevan a entender la función como el resultado de operaciones aritméticas con otras funciones más sencillas o bien ya conocidas. Las técnicas que se enseñan en el Bachillerato para representar funciones son: 1) Confeccionar una tabla de valores 2) Utilizar una calculadora gráfica o bien algún graficador de funciones 3) Cuando una función f(x) es el resultado de aplicar alguna transformación (traslación, contracción, dilatación o reflexión) a otra función g(x) de gráfica conocida, dibujar la gráfica de f(x) a partir de la gráfica de g(x) y 4) Representar la función a partir de buscar el dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas y comportamiento en el infinito, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, etc. El segundo procedimiento se basa en el primero puesto que los ordenadores representan las gráficas de las funciones calculando primero muchos puntos de la gráfica y después unirlos mediante segmentos de recta. El tercer procedimiento se basa en el hecho de poder realizar cambios en la expresión simbólica de una función, de manera que, como resultado de estos cambios la gráfica de la función se pueda considerar como el resultado de realizar ciertas transformaciones a la gráfica de otra función más fácil de representar. Este procedimiento, en el estado español, se puede hallar en muchos libros para representar parábolas y consiste en los siguientes pasos: Para representar la parábola y = ax2 + bx + c 1) transformar y = ax2 + bx + c hasta llegar a una expresión de la forma: y = a(x-p)2 + q

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2) representar y=ax2 3) trasladar la parábola y=ax2 "p" unidades en horizontal y "q" unidades en vertical

Figura 9

Ejemplo: se quiere representar la parábola y = 2x2-8x+1 •

Hay que hallar p y q de manera que: 2x2- 8x+13 = 2(x-p)2 + q

•

Se desarrolla el cuadrado de una resta y se aplica la propiedad distributiva: 2x2-8x+13 = 2(x2-2px+p2)+q 2x2-8x+13 = 2x2-4px+2p2+q

•

Se iguala término a término: 2x2 = 2x2 -8x = -4px 13 = 2p2+q

•

Las dos últimas igualdades permiten obtener el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: -8 = -4p 13 = 2p2+q

•

Se resuelve el sistema y se obtienen las siguientes soluciones: p= 2 y q= 5. Por tanto: 2x2-8x+13 = 2(x-2)2+5

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Figura 10

Esta técnica de representación también se puede utilizar para representar otro tipo de funciones como, por ejemplo, algunas funciones racionales. Por ejemplo, si se quiere x 1 representar la función f ( x) = basta traducir esta expresión como f ( x) = 1 + para x −1 x −1 1 poder interpretar su gráfica como el resultado de trasladar la función g ( x) = una unida x hacia la derecha y una unidad hacia arriba:

Figura 11 Esta técnica se puede ampliar considerando, además de les transformaciones de las funciones, 2 +1 x las operaciones con funciones. Por ejemplo, si se quiere representar la función f ( x) = x 1 sólo se necesita transformarla en suma de dos funciones de gráfica conocida: f ( x) = x + , x cada una de les cuales es muy fácil de representar. Si se representan superpuestas las gráficas de la función de proporcionalidad g(x) = x y de la función de proporcionalidad inversa 1 h( x) = , se obtiene el gráfico de la izquierda. Después se considera el "peso" de cada una de x estas dos funciones en la expresión simbólica de f(x) para hacer un esbozo de su gráfica:

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•

Para valores x < -1 , g(x) + h(x)
g(x) (la gráfica es casi igual que la de la recta).

•

Para x = -1, g(x) + h(x) = -2.

•

Para valores -1 < x < 0 , g(x) + h(x)
h(x) (la gráfica es casi igual que la de la hipérbola).

•

Para valores 0 < x < 1 , g(x) + h(x)
h(x) (la gráfica es casi igual que la de la hipérbola).

•

Para x = 1, g(x) + h(x) = 2

•

Para valores x >1 , g(x) + h(x)
g(x) (la gráfica es casi igual que la de la recta).

Figura 12 Si se quiere que los alumnos puedan utilizar este procedimiento para representar funciones es necesario incorporar en el currículum las transformaciones de las funciones y sus consecuencias gráficas, así como las consecuencias gráficas de las operaciones con funciones. Es decir hay que proponer, entre otras, actividades como la siguiente: Actividad: Dadas las siguientes gráficas, representa, en cada caso, la gráfica de la función (f+g)(x) y de la función (f-g)(x)

Figura 13



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7) Conversión de la gráfica a la expresión analítica Si la gráfica que se nos presenta tiene los ejes graduados y consideramos la gráfica como un todo estático formado por puntos (x, f (x)), donde f (x) es una expresión simbólica que, para cada valor de la x, permite obtener su correspondiente imagen, la estrategia para obtener esta expresión simbólica consiste en:
Elegir el tipo de función de ajuste. Es decir, elegir una familia de funciones f(x;
1, ..,
k ) en cuya expresión figuran k parámetros.
Determinar los parámetros
1,.....,
k . Por ejemplo, para que un alumno identifique la fórmula de una gráfica como la siguiente:

Figura 14

Tiene que seguir el siguiente procedimiento 1 Identificar esta gráfica como una gráfica de una función trigonométrica. 2 Dentro del grupo de las funciones trigonométricas escoger la familia f (x)=asen (bx)+ c 3 Determinar el valor de los parámetros a, b, y c Para poder encontrar la expresión analítica correspondiente a la gráfica anterior el alumno tiene que utilizar sus conocimientos sobre: 1) Las funciones trigonométricas en general, 2) La función seno en particular, 3) La relación entre las variaciones de los parámetros y las variaciones de las gráficas, etc. La mayoría de los alumnos tiene muchas dificultades para realizar los pasos anteriores. La explicación de estas dificultades hay que buscarla, entre otras causas, en la falta de actividades de este tipo en los problemas escolares que los alumnos han resuelto anteriormente. Las actividades escolares en las que los alumnos trabajan las funciones normalmente hacen referencia a funciones concretas consideradas aisladamente, y no como miembros de familias de funciones. En estas actividades se trabaja relativamente poco las transformaciones de las funciones, y aun se trabaja menos el paso de la gráfica a la expresión analítica de una función. En el caso de la parábola (Font 2001), la determinación de estos parámetros se puede hacer utilizando diferentes procedimientos, los cuales dependen del tipo de instrucción que han recibido los alumnos. Por ejemplo, para solucionar la siguiente situación los alumnos del

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bachillerato español utilizaron básicamente dos técnicas (interpolación, y familia de funciones y transformaciones): Halla la fórmula de la función que tiene la gráfica siguiente: Respuesta: f(x) = ..................... Justificación de la respuesta Figura 15

1) Interpolación: Este método consiste en construir una tabla de valores -generalmente pocosa partir de la gráfica y encontrar una fórmula tal que dichos valores la cumplan. Este procedimiento, en muchos casos, es poco consciente y básicamente consiste en hacer una suposición implícita de fórmula de segundo grado a partir de unos pocos valores de la tabla para confirmarla o invalidarla a partir del resto de valores. En la mayoría de los casos, las respuestas de los alumnos que utilizan este procedimiento se limitan a incluir una tabla de valores sin hacer referencia al reconocimiento de la gráfica como la gráfica de una función de una determinada familia de funciones. Por ejemplo:

Figura 16

Algunas respuestas más elaboradas hicieron referencia explícita a que la fórmula ha de ser de grado dos por el tipo de gráfica; y utilizan la tabla de valores para completar la fórmula. Las justificaciones que presentaron estos últimos alumnos fueron del tipo "siempre es el cuadrado menos uno". Este procedimiento de interpolación da resultado con funciones de segundo grado muy sencillas, pero no lo da con funciones más complicadas 2) Familia de funciones y transformaciones: Este método consiste en reconocer la gráfica como una gráfica de la familia de funciones de segundo grado y utilizar las trasformaciones

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de las gráficas para hallar y justificar la fórmula. Como ejemplo de este segundo procedimiento tenemos la siguiente respuesta:

Figura 17 "Es una parábola, elevado al cuadrado y como que es un lugar hacia abajo, -1"

Además de los dos procedimientos anteriores, hay que reasaltar el caso del alumno que dio la siguiente respuesta:

Figura 18

Este alumno había utilizado el modelo y = mx+n en las preguntes anteriores para hallar la fórmula de gráficas que tenían forma de recta. En esta respuesta intenta hallar la fórmula de la parábola utilizando la misma técnica que ha utilizado en el caso de las rectas. Este alumno, para responder a las preguntas anteriores sobre rectas, había utilizado que la pendiente es el aumento vertical dividido por el aumento horizontal y que la ordenada en el origen es la ordenada del punto de corte con el eje de abscisas y en esta pregunta insiste en la utilización de este procedimiento. Pero lo que es más destacable es que lo hace correctamente, ya que calcula el aumento vertical dividido por el aumento horizontal, no entre dos puntos cualesquiera, sino que lo calcula entre el vértice y un punto de la parábola situado una unidad hacia la derecha, con lo que obtiene correctamente el coeficiente de x2. Esto es válido porque el coeficiente de x2 es la pendiente de la recta que pasa por el vértice (p , q ) y por el punto (p + 1, f(p + 1)) de la parábola. En efecto, si f(x) = a(x - p)2 + q entonces f(p + 1) = a(p + 1- p)2 + q consecuencia la pendiente entre los puntos es

f(p + 1 ) − f(p) p +1− p

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=

a+q−q 1

= a + q; en

= a

!

8) Diferentes representaciones: ¿Cuáles?¿Cuándo?¿Cómo?.... Para finalizar esta sección es importante resaltar que el profesor debe reflexionar sobre qué tipos de representaciones quiere que intervengan en el proceso de instrucción y, sobre todo, por qué quiere que sean éstas y no otras. Este tipo de reflexión lleva a pensar sobre cuáles son las prácticas en las que estas representaciones intervienen, en los tipos de problemas que estas prácticas permiten resolver, etc. Dicho de otra manera, la incorporación de una determinada representación debe ser el resultado de valorar su idoneidad desde diferentes puntos de vista. Este hecho nos lleva a considerar que la incorporación de determinadas prácticas (y de sus representaciones asociadas) al currículum pretendido y al efectivamente implementado tendría que depender de su idoneidad con relación a determinados criterios (idoneidad epistémica, idoneidad congnitiva, semiótica, etc.). El problema, por tanto, no es si hay que introducir una sola representación de un objeto o más de una, ni qué traducciones o relaciones entre representaciones hay que tener en cuenta, el problema está realmente en determinar si las representaciones introducidas facilitan la realización de la práctica que interesa que forme parte del currículo implementado o no, en saber si dicha representación genera dificultades en los alumnos o no, etc.. Si nos limitamos a considerar que es bueno introducir diferentes representaciones del mismo objeto matemático y el mayor número posible de traducciones entre ellas, se puede caer en el peligro de provocar dificultades innecesarias en los alumnos.

SECCIÓN II: DERIVADAS 1) El cálculo de f ´ (x), a partir de f(x) En Font (2000), la tabla 1 se adaptó de la siguiente manera con el objetivo de considerar simultáneamente una función y su función derivada:

a de Expresión simbólica f(x)

Expres ión simból ica f ´(x)

Gráfica f ´(x)

Tabla f ´(x)

Descripción verbal de la situación (en términos de f ´(x))

Expresión simbólica f(x)

Gráfica f(x)

Tabla f (x)

Descripción verbal de la situación (en términos de f(x))

Gráfica f(x)

Tabla f(x) Descripción verbal de la situación (en términos de f(x)) Expresión simbólica f ´(x)

"

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Gráfica f ´(x) Tabla f ´(x) Descripción verbal de la situación (en términos de f ´(x))

Tabla 2 En esta tabla tenemos, en las casillas con rayas verticales, las traducciones entre las diferentes formas de representar una función y, en las casillas con rayas horizontales, las traducciones entre las diferentes formas de representar la función derivada. Las casillas blancas nos conducen de una forma de representar la función a una forma de representar la función derivada, mientras que las grises nos permiten hallar la primitiva de una función a partir de la función derivada. Cuando consideramos que una de las formas de representación de f(x) es la tabla, nos estamos refiriendo a una tabla de valores y no a las tablas de monotonía que se pueden obtener a partir del estudio del signo de f ´(x). El cálculo de f ´(x) a partir de f(x) se puede interpretar como un proceso, en el que a su vez se han de considerar tres subprocesos: 1) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f(x) 2) El paso de una forma de representación de f(x) a una forma de representación ostensiva de f ´(x). 3) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f ´(x). Este proceso se puede concretar en diferentes técnicas de cálculo de la función derivada. Por ejemplo, la forma habitual de calcular la expresión simbólica de la función derivada consiste en calcular lim f ( x + h) − f ( x) utilizando la expresión simbólica de la función f(x). Se h→0

h

trataría por tanto de una técnica que sólo contempla el subproceso 2: Expresión analítica de f (x) ⇒ Expresión analítica de f ´(x) Ahora bien, se pueden considerar otras técnicas que contemplen también alguno de los otros subprocesos (o los dos). Un ejemplo en el que se contemplan también el subproceso 3 consiste en seguir el siguiente esquema: Gráfica de f(x) ⇒ Tabla de f ´(x) ⇒ Gráfica de f ´(x) ⇒ Expresión analítica de f ´(x) El primer paso de este esquema indica que la gráfica de f(x) es la forma de representación de la función (por ejemplo la gráfica de la función seno representada en papel milimetrado y con las rectas tangentes dibujadas en varios puntos de la gráfica) que se presenta al alumno como punto de partida para que éste realice las acciones (por ejemplo calcular pendientes) que le permitirán obtener una forma de representación de la función derivada, en este caso, una tabla de valores de f ´(x). Los otros dos pasos son conversiones entre diferentes formas de representar la misma función, en este caso la función f ´(x). El alumno, a partir de la tabla de valores, tiene que dibujar una gráfica (la función coseno) y después reconocer que la

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gráfica que ha obtenido es la de la función coseno y, por último, recordar la fórmula de esta función. En la siguiente explicación podemos observar los procesos 1 y 2, ya que primero se hace una traducción en la forma de presentar la función y después se obtiene la función derivada aplicando las reglas de derivación. Es decir, se sigue el esquema siguiente: Expresión analítica de f(x) ⇒ Expresión analítica de f (x) ⇒ Expresión analítica de f ´(x)

Figura 19 Figura 19 2) Ejemplos de técnicas alternativas de cálculo de f ´ (x) Entender el cálculo de la función derivada como un proceso en el que intervienen tres subprocesos, cada uno de los cuales puede utilizar representaciones diferentes, permite ampliar el abanico de técnicas de cálculo de la función derivada que no se restrinja al cálculo por límites o bien al uso de reglas de derivación.
  
Cuestionario propuesto a un grupo de estudiantes de primer curso de Bachillerato (17 años) como parte de un proceso de estudio de la derivada, y cuatro respuestas correctas de estudiantes al apartado c). Cuestionario En el aula de informática has observado que la función f(x) = ex cumple que todas sus subtangentes tienen una longitud igual a 1. Utilizando esta propiedad: a) Calcula f ´(0) , f ´(1) i f ´(2)

$

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Figura 20 b) Calcula f ´(a)

Figura 21 c) Demuestra que la función derivada de la función f(x) = ex es la función f ´(x) = ex . Respuestas al apartado c Alfonso x

Pendiente =

e 1

P = ex

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%

P = f ´(x) f ´(x) = ex Víctor La función derivada de f (x) = ex es f ´(x) = ex porque la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en este punto. f ( x 2) − f ( x1) , en esta función x2 – x1 siempre da 1, y al x2 − x1 dividir el aumento vertical, que es ex por el aumento horizontal que es 1, nos da ex La pendiente se consigue dividiendo

Alex Todas las subtangentes de la función f (x) = ex son 1, como el desplazamiento vertical es ex y la derivada de la función es la pendiente de la recta tangente, la fórmula será x

desplazamiento vertical x f ( x) = = e =e desplazamiento horizontal 1

Figura 22 Rocío f ´(x) =

f ( x) sub tan gente

es f (x) = ex x

f ´(x) = e = ex 1 El análisis de las cuatro respuestas, si bien detecta diferencias importantes entre ellas, permite observar que los cuatro alumnos aplican el mismo tipo de práctica para calcular la derivada de la función f (x) = ex . La técnica que utilizan consiste en considerar, de entrada, un punto particular con la tangente dibujada (por tanto, su abscisa y ordenada, no se consideran variables). A continuación, a partir de la manipulación con programas informáticos dinámicos, tales como Cabrigéomètre o Calcula, se halla una condición que cumplen todas las rectas tangentes (en este caso que la subtangente siempre es un segmento de longitud 1), lo que permite calcular su pendiente. Por último, los alumnos han de tener claro que la condición que han hallado, y el cálculo de la pendiente que de ella se deriva, es válido para

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cualquier punto, de manera que el punto, que inicialmente se consideró como un punto particular, pasa a ser considerado después como un punto cualquiera. Para contestar esta cuestionario, además de utilizar la gráfica de la función, se ha de utilizar que la expresión simbólica de la gráfica es f(x) = ex. Por tanto, esta técnica relaciona los siguientes ostensivos: Gráfica de f (x) y Expresión simbólica de f (x) ⇒ Expresión simbólica de f ´(x) Con este esquema, simbolizamos que el punto de partida de las acciones de los alumnos para hallar una condición que cumplen todas las tangentes es la gráfica de la función. La expresión simbólica de f (x) es necesaria para simbolizar la condición que cumplen todas las pendientes de las rectas tangentes, la cual nos permite deducir la expresión simbólica de f ´(x). Si los alumnos han practicado el cálculo de la pendiente de una recta y el significado geométrico de la derivada en un punto, pueden llegar a obtener la expresión simbólica de f ´(x) sin mucha dificultad. Este método tiene un campo de aplicación limitado ya que, previamente, el alumno ha de descubrir una propiedad que cumplen todas las rectas tangentes. Ahora bien, se puede aplicar, entre otras, a la familia de las funciones que tienen por gráfica una recta, y también a las funciones exponenciales y logarítmicas. El hecho de que se pueda aplicar este método para calcular la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas permite una organización de la unidad didáctica sobre derivadas que tiene importantes consecuencias curriculares (por ejemplo, permite prescindir del estudio previo de la indeterminación 1∞). El objetivo de este cuestionario es proponer a los alumnos una secuencia de actividades informáticas que está a mitad de camino entre lo que se conoce históricamente como el problema de la tangente y su inverso no es exactamente el problema de la tangente, puesto que aquí ya se tiene construida; ni es el problema inverso, ya que se conoce la expresión simbólica de la función Este método fue sugerido por los procedimientos utilizados para construir la tangente y la normal en el periodo que va de Descartes a Barrow y permite que los alumnos calculen determinadas funciones derivadas sin necesidad de utilizar límites, siempre que se haya trabajado previamente la interpretación geométrica de la derivada en un punto. En este cuestionario, el uso de la representación gráfica en un software dinámico es necesaria para hallar una condición que cumplen todas las tangentes (el punto de partida del cuestionario).

Figura 23

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'

Para contestar de manera aproximada el apartado a es necesaria sólo la representación gráfica, pero para contestar de manera exacta es necesario utilizar también la expresión simbólica de la función exponencial. Para contestar al apartado b es necesario el uso conjunto de la representación gráfica y de la simbólica. Dicho de otra manera, la técnica que la institución escolar pretende que apliquen los alumnos en este cuestionario sólo es posible si se introduce la representación gráfica y la simbólica conjuntamente. Si no se contempla la representación gráfica, la técnica no es viable. Contemplar la representación gráfica, además de la simbólica, permite realizar determinadas prácticas que con sólo la representación simbólica no serían posibles. La técnica hay que pensarla formando parte de una configuración epistémica que el profesor pretendió implementar. Algunos elementos de dicha configuración epistémica se pueden describir brevemente de mediante el siguiente esquema:

Figura 24 2.2 ) Ejemplo 2 Para calcular la derivada del seno se trataría de seguir el esquema siguiente: Expresión simbólica de f (x)
Gráfica de f ´(x)
Expresión simbólica de f ´(x)

!

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1 Expresión simbólica de f (x)
Gráfica de f ´(x) Una manera de obtener la gráfica de la función derivada a partir de la expresión simbólica de f(x) consiste en utilizar un graficador para representar la función p f h ( x ) = f ( x + h) − f ( x ) h

(función gradiente o función pendiente de la función f (x) según un incremento h) con h suficientemente pequeño. Al ser h muy pequeño, la gráfica que dibuja el graficador se puede considerar que es la de la función derivada.

Figura 25 2 Gráfica de f ´(x)
Expresión simbólica de f ´(x) El alumno ha de reconocer que la gráfica que ha obtenido es la de la función coseno y recordar su fórmula.

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!

Este último paso supone que el alumno es capaz de reconocer la gráfica de la función coseno que tiene en la pantalla del ordenador.

El uso de esta técnica permite prescindir del siguiente cálculo de la derivada de la función seno:

y de la demostración previa de que

lim h→0

seno h = 1. h

Además, tiene la ventaja de que permite reducir la unidad de trigonometría que se imparte antes de empezar la derivada, ya que no será necesario ampliarla para que incorpore las propiedades que permiten convertir la diferencia de senos en un producto. 3) Propuesta de unidad didáctica “Introducción a la derivada” que incorpora técnicas alternativas. Es posible diseñar unidades didácticas que contemplen técnicas alternativas de cálculo de la función derivada que contemplen gráficas. Una posibilidad sería diseñar una unidad didáctica que tenga por objetivo que, después del proceso de instrucción, el alumno dominase las técnicas de cálculo de la función derivada que se deducen del siguiente esquema.

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Esquema 1 Puesto que cualquier recta tangente en un punto de la gráfica de la función f(x) = ex cumple que la subtangente vale 1, se puede aplicar el procedimiento 2 a la función logaritmo neperiano, lo cual permite prescindir, en la unidad de límites, del estudio previo de la indeterminación 1∞ , mientras que la aplicación del procedimiento 3 a la función seno permite prescindir, en la unidad de trigonometría, del estudio de las fórmulas trigonométricas que convierten una diferencia de senos en un producto. Por tanto, la incorporación de estas dos técnicas permite una organización de la unidad didáctica de derivadas que reduce considerablemente los contenidos de dos unidades (límites y trigonometría) que se han impartido previamente. Para que estas prácticas resulten comprensibles a los alumnos, es necesario relacionarlas con otro sistema de prácticas que permita calcular la derivada de una función en un punto. De todo esto, se desprende la necesidad de seleccionar previamente un sistema de prácticas para calcular la derivada en un punto, que son las que se deducen del siguiente esquema:

Esquema 2

!!

Los procedimiento 1 y 4 son los que normalmente se utilizan para calcular f ´(a). A continuación siguen dos actividades de clase, en la primera se utiliza el procedimiento 2 y en la segunda el número 3:

Figura 26

Figura 27 La secuencia temporal será introducir primero las técnicas de cálculo de la derivada en un punto. La primera técnica para calcular f ´(a) consiste en calcular lim f (a + h) − f (a ) para lo h→0

h

cual es necesario que la función se represente por una fórmula. Ahora bien, en los casos en que la función venga representada sólo por la gráfica (como en la penúltima actividad) se

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puede utilizar la técnica 2. Otro aspecto problemático que presenta el cálculo de la derivada por límites es que, para algunas funciones, dicho cálculo puede ser muy complejo. En alguno de estos casos la técnica 3 puede ser útil (como en la penúltima actividad). La técnica más económica para calcular f ´(a) consiste en calcular la función derivada y después evaluar en x = a, pero esta técnica genera la siguiente pregunta ¿cómo se calcula la función derivada? La primera técnica para calcular f ´(x) consiste en calcular

lim h→0

f ( x + h) − f ( x ) h

. Esta técnica

además de necesitar que la función se represente por una fórmula presenta el problema de que, para algunas funciones, dicho cálculo puede ser muy complejo. La solución que se adopta en la mayoría de los libros de texto consiste en recurrir a las reglas de derivación. Ahora bien, una regla de derivación sólo permite calcular la función derivada si previamente se conocen las derivadas de las llamadas funciones elementales. Pero, para alguna de las funciones elementales (por ejemplo las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) el cálculo de la función derivada por límites también resulta complicado. En alguno de estos casos las técnicas 2 y 3 pueden ser útil. Puesto que el cálculo f ´(a) lleva a preguntarse por cómo se calcula f ´(x), los dos esquemas anteriores se pueden fusionar en el siguiente esquema. Es interesante observar como en este esquema el paralelismo que se establece entre las técnicas de cálculo de f ´(a) y las de f ´(x) resulta muy evidente.

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Esquema 3 Para que estas prácticas resulten comprensibles a los alumnos es necesario relacionarlas con un sistema de objetos matemáticos que las justifiquen. A continuación sigue un listado de los conocimientos previos, conceptos y procedimientos que son necesarios introducir y relacionar en configuraciones epistémicas para justificar dichas técnicas. Conocimientos previos
Pendiente de una recta.
Contenidos vinculados a la velocidad media.
Intervalos de la recta real.
Entender y utilizar con soltura el concepto de función y sus formas de representación (tabla, enunciado, fórmula y gráfica).
Calcular dominios y recorridos.
Distinguir, gráficamente, entre función continua y discontinua.
Interpretar y reconocer gráficamente los conceptos de función creciente, decreciente, cóncava y convexa.
Interpretar y reconocer gráficamente los conceptos de máximo, mínimo y punto de inflexión.
Efectuar operaciones aritméticas entre funciones y reconocer sus consecuencias gráficas.
Utilizar identidades notables y simplificar fracciones algebraicas
Reconocer las transformaciones elementales: traslaciones, contracciones, dilataciones y reflexiones.

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Conocer las características de los siguientes modelos de funciones: proporcionalidad directa, afín, proporcionalidad indirecta, definidas a trozos, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Relacionar la tangente trigonométrica con la pendiente de la recta.
Calcular el límite de una función en un punto y resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Contenidos de la unidad Conceptos
Pendiente d’una recta.
Tasa de variación media.
Interpretación gráfica de la tasa de variación. Pendiente de la recta secante.
Relación entre la tasa de variación media y la velocidad media.
Velocidad instantánea.
Derivada de una función en un punto.
Recta tangente.
Interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto. Pendiente de la recta tangente.
Relación entre la derivada de una función en un punto y la continuidad de la función en este punto.
Puntos en los que no existe la derivada.
Función derivada.
Derivada de las funciones de proporcionalidad directa y de las afines.
Reglas de derivación.
Derivada de las funciones polinómicas y racionales.
Derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Derivada de las funciones trigonométricas.
Derivada de las funciones f(x) = xn/m


Procedimientos
Cálculo de la pendiente de una recta a partir de la gráfica.
Cálculo de la tasa de variación media.
Cálculo de velocidades medias.
Cálculo de velocidades instantáneas.
Cálculo de la derivada de una función en punto (por límites, con calculadora y gráficamente).
Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Reconocimiento, a partir de la de gráfica de la función, de los puntos en los que no existe derivada.
Aplicación de la relación entre el signo de la derivada y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Cálculo de al función derivada utilizando la definición por límites.
Cálculo de la derivada de las funciones de proporcionalidad directa y de las afines.
Cálculo de la derivada utilizando las reglas de derivación.
Cálculo de la derivada de las funciones polinómicas y racionales.

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Cálculo de la derivada de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Cálculo de la derivada de las funciones trigonométricas.
Cálculo de la derivada de las funciones f(x) = xn/m.


4) Complejidad semiótica relacionada con el cálculo de la función derivada. Si observamos los tres apartados del cuestionario anterior (cálculo de la función exponencial de base e) podemos intuir que en su redacción se ha tenido muy presente el paso de lo particular a lo general. En el apartado a se pide calcular la derivada para tres valores concretos (0, 1 y 2). En el apartado b se pide calcular la derivada para un valor concreto “a” y en el apartado c para un valor cualquiera. Es decir, el tránsito de lo particular a lo general ha estado muy presente en el diseño del cuestionario. Para calcular la función derivada a partir de una condición que cumplen todas las tangentes, el alumno ha de: 1) Tratar separadamente las variables relacionadas por la fórmula y la gráfica de la función exponencial de base e. Para ello, ha de entender el objeto función exponencial de base e como un proceso en el que intervienen otros objetos, uno de los cuales es x y el otro es f(x). Es decir, ha de relacionar el objeto f(x) con el objeto x. 2) Asociar a x la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x. 3) Asociar la expresión que permite calcular la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x con f ´(x). En este caso se tiene que relacionar una notación con otra diferente pero equivalente. 4) Considerar x como una variable. En este caso se tiene que relacionar un objeto con una clase a la cual pertenece. 5) Entender la función que ha obtenido como un caso particular de la clase “función derivada” . En este caso se tiene que relacionar un objeto con la clase a la cual pertenece . Si nos fijamos en el cuestionario que se ha presentado a los alumnos podemos observar que la secuencia de apartados tiene por objetivo facilitar el establecimiento de los pasos anteriores. El uso de la letra a y de la igualdad x = a en el apartado b del cuestionario tienen la función de introducir un elemento concreto en el razonamiento del alumno y facilitar el paso 1. La opción de utilizar conjuntamente la gráfica y la fórmula y el uso de la notación simbólica para el punto de coordenadas (a , ea ) tienen por objetivo que el alumno realice los pasos 2 y 3. Los pasos 4 y 5 se pretenden conseguir a partir de la pregunta del apartado c. Este ejemplo permite ilustrar un fenómeno que se considera muy relevante: la realización de la mayoría de prácticas matemáticas conlleva una complejidad semiótica importante y las representaciones utilizadas son determinantes, tanto para reducir o aumentar esta complejidad, como para la realización efectiva de la práctica. Por ejemplo, si en el cuestionario que estamos considerando se hubiera eliminado el apartado b, seguiríamos pretendiendo que el alumno aplicara la técnica de cálculo de la función derivada que estamos comentando y continuaríamos utilizando gráficos (los de la actividad previa con el ordenador y los del apartado a) y expresiones simbólicas (apartado c), pero la complejidad semiótica

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que tendría que afrontar el alumno aumentaría notablemente y, con ello, las posibilidades efectivas de resolver la tarea. Por otra parte, hay que destacar otro factor, tanto o más importante que el tipo de representación utilizado, que interviene de manera determinante en la complejidad semiótica asociada al uso de elementos genéricos: las reglas del juego de lenguaje en el que nos situamos. Cuando en las prácticas matemáticas utilizamos una representación como un elemento genérico estamos actuando sobre un objeto particular, pero nos situamos en un "juego de lenguaje” en el que se entiende que nos interesan sus características generales y que prescindimos de los aspectos particulares. Para conocer los detalles sobre las características de este juego del lenguaje, y de las dificultades que tienen los alumnos para participar en él, es necesario el análisis de diálogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos genéricos. La asimilación (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semiótica asociada a las prácticas en las que interviene el elemento genérico. A continuación siguen dos diálogos en los que el profesor explica a los alumnos las reglas que rigen el uso del ejemplo genérico. Diálogo 1 En este diálogo la profesora propone a los alumnos que resuelvan la siguiente actividad de su libro de texto: Ejercicio 14: Dada la función f(x)=ax+ b, demuestra que independientemente del valor x0 considerado.

f ‘(x0)=a,

Esta actividad se propone justo después de que la profesora haya explicado en clase un párrafo del libro de texto en el que se justifica que la derivada de la función constante f(x)=k es f ‘(x)=0 primero gráficamente, razonando sobre la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la recta, y después calculando el límite de las tasas de variación media: Profesora: Lo vais a hacer de dos formas diferentes: gráficamente y utilizando límites. ¿De acuerdo? Venga, y después sale alguien a la pizarra a corregirlo. Mientras os voy repartiendo más material que después haremos servir, eh!, y así ya lo tenéis Alumno(Iván): Pero gráficamente, podemos... Eso es un ejemplo, si lo representamos gráficamente es un ejemplo... Profesora: (mientras hace gestos con la cabeza de que lo que dice el alumno es correcto y se acerca hacia él). Sí, Correcto! Iván: Y dice que x cero se considera... Profesora: Sí, pero Iván, para poderlo justificar coges un punto cualquiera de esta recta, cualquiera, y lo haces, y como esto lo podrías hacer con cualquier punto y con cualquier recta, sirve par justificarlo. ¿De acuerdo? Pero tienes razón, claro, para poderlo dibujar has de escoger un punto concreto y una recta concreta (mientras habla la profesora va repartiendo hojas a los alumnos).

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Diálogo 2 Después de que el profesor haya introducido en clases anteriores la derivada en un punto como f ' (a ) = lim f (a + h) − f (a ) y justo después de haber introducido la función derivada como h→ 0

f ' ( x ) = lim

h→0

h

f ( x + h) − f ( x) h

se produjo el siguiente diálogo:

Alumna(Laura): ¿Qué diferencia hay entre la definición de función derivada y la definición de derivada en un punto?. Profesor: La derivada en un punto es

f ' ( a ) = lim

h→ 0

f (a + h) − f (a ) h

, en esta expresión la a es fija,

no varia, lo que varia es la h. En cambio, en el caso de la función derivada f ( x + h ) − f ( x ) , primero has de suponer que la x no varia y que sólo varia la h para f ' ( x ) = lim h→0

h

obtener f ´(x), y después has de suponer que la x varia. Por tanto, cuando calculas la derivada en un punto el resultado es un número, mientras que cuando calculas la función derivada, el resultado es una fórmula de una función. 4.1 El caso de la notación incremental y diferencial. Si nos limitamos a considerar que es bueno introducir diferentes representaciones del mismo objeto matemático y el mayor número posible de traducciones entre ellas, se puede caer en el peligro de provocar conflictos semióticos en los alumnos. Por ejemplo, en algunos libros de texto se puede observar un conflicto semiótico potencial causado por la introducción implícita de la función derivada en la definición de la derivada en un punto al usar la

∆y ∆x →0 ∆x ( en

notación incremental f ' (a ) = lim

como primera notación para definir la derivada x=a )

en un punto de la siguiente manera: ∆y ∆x → 0 ∆x ( en

f ' (a ) = lim

x =a )

= lim h →0

f ( a + h) − f ( a ) f ( x) − f (a) = lim x→ a h x−a

Este uso de la notación incremental implica definir la derivada en un punto f ´(a) como: f ( x + h) − f ( x ) en x=a sin haber definido antes la función derivada, lo cual puede ser lim h→o h causa de conflicto semiótico en los alumnos. Si aplicamos el criterio de la idoneidad semiótica se llega a la conclusión de que no es conveniente utilizar, de entrada, la notación incremental y que hubiera sido más coherente con los apartados anteriores del libro usar las otras dos expresiones en el orden inverso, f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a ) f ' (a) = lim . = lim 0 x→a h → x−a h El criterio de idoneidad semiótica nos permite llegar a la conclusión de que no es conveniente comenzar la definición de derivada en un punto utilizando la notación incremental, pero es el criterio de idoneidad epistémica el que hemos de utilizar para decidir si vamos a suprimir esta notación o bien solamente la vamos introducir más adelante como paso previo a la notación dy . Es decir, si optamos por incorporar el estudio de la regla de la cadena, entonces puede dx

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tener sentido introducir la notación dy en una unidad didáctica que tenga por objetivo la dx

enseñanza de la derivada, ya que al utilizarla resulta más cómodo el manejo de la regla de la cadena o el cálculo de la derivada de la función inversa -incluso es más fácil "justificarlas" con esta notación-. Y si tiene sentido introducir la notación dy , también tendrá sentido dx

hacerlo con la notación incremental para poder introducir la notación diferencial como = lim

∆x → 0

dy dx

∆y . ∆x

SECCIÓN III: EL USO DE METÁFORAS EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Si por algo se caracteriza la metáfora es por su capacidad de aparecer, de una manera o de otra, en el centro de las investigaciones sobre la cognición, el lenguaje y la ciencia. Por lo que respecta al área de la didáctica de las matemáticas, el interés por la metáfora no ha dejado de crecer en los últimos años. En esta sección nos situaremos en esta problemática y se intentará responder a las tres preguntas siguientes: ¿qué tipo de metáforas utiliza el profesor al explicar la representación gráfica de funciones en el Bachillerato?,¿es consciente el profesor del uso que ha hecho de las metáforas en su discurso y hasta qué punto las tiene controladas?¿qué efecto producen estas metáforas sobre los alumnos?. La importancia que tiene el pensamiento metafórico en la construcción del significado de los objetos matemáticos es reconocida por una gran mayoría de los investigadores en didáctica de las matemáticas y es el origen de una de las teorías más importantes y novedosas sobre qué son las matemáticas, nos referimos a la teoría propuesta por Lakoff y Núñez (2000). Por este motivo, primero se presenta brevemente el marco teórico de Lakoff y Núñez sobre el pensamiento metafórico, para pasar a continuación a realizar el análisis de una serie de episodios de aula relacionados con el estudio de la representación gráfica de funciones, en los que se puede observar el uso de diferentes tipos de metáforas. 1. Marco Teórico Recientemente, varios autores han puesto de manifiesto el importante rol que juega la metáfora en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Lakoff y Núñez (2000) han desarrollado una novedosa teoría sobre “qué son las matemáticas”. El núcleo central de esta teoría está basado en la importancia que tiene el cuerpo sobre la mente, y en los relativamente recientes hallazgos en lingüística cognitiva. Su tesis principal afirma que el origen de las estructuras matemáticas que construyen las personas, y también las que se construyen en instituciones, hay que buscarlo en los procesos cognoscitivos cotidianos, como son los esquemas de las imágenes y el pensamiento metafórico. Según estos autores, dichos procesos permiten explicar cómo la construcción de los objetos matemáticos, tanto los personales como los institucionales, está sostenida por la manera de relacionarse nuestro cuerpo con los objetos de la vida cotidiana.

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Lakoff y Núñez (2000) interpretan la metáfora como la comprensión de un dominio en términos de otro. Las metáforas se caracterizan por crear una relación conceptual entre un dominio de partida y un dominio de llegada que permite proyectar propiedades e inferencias del dominio de partida en el de llegada. En otras palabras, crean un cierto "isomorfismo" que permite que se trasladen una serie de características y estructuras. Ahora bien, las metáforas sólo dejan ver un aspecto del dominio de llegada que no engloba su totalidad, la metáfora nos sirve para mostrar el aspecto que deseamos evidenciar y ocultar otros aspectos, de los cuales muchas veces ni siquiera somos conscientes. Otra de las funciones que cumple la metáfora es la de conectar diferentes sentidos y, por tanto, ampliar el significado que tiene para una persona un determinado objeto matemático. Nuestra representación del mundo está siempre influida por las metáforas que inyectamos en él, casi siempre de una manera inconsciente. La mayor parte de los seres humanos conceptualizamos cosas nuevas en términos de cosas ya conocidas. Por ejemplo, cuando entendemos el sentimiento de cariño por medio de la experiencia térmica utilizamos diferentes metáforas (por ejemplo, "un caluroso abrazo"). Una posible explicación de estas metáforas, llamadas metáforas conceptuales, es que se sustentan en las experiencias fenoménicas que vive nuestro cuerpo para relacionarse con su entorno físico y cultural. En relación con las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje, podemos distinguir dos tipos de metáforas conceptuales. •

Grounding metáforas: Son las que relacionan un dominio (de partida o de llegada) dentro de las matemáticas con un dominio (de llegada o de partida ) fuera de ellas. Por ejemplo: “Las clases son contenedores”, “los puntos son objetos”, “una función es una máquina”, etc. Este tipo de metáforas se manifiestan en el aula en dos direcciones diferentes. Por una parte, las metáforas que utiliza el profesor, de manera consciente o inconsciente, tienen por objetivo relacionar las matemáticas con situaciones no matemáticas de la vida cotidiana de los alumnos para facilitar la comprensión de estos. En este caso el dominio de partida son las matemáticas y el de llegada está fuera de ellas. A su vez, los alumnos utilizan su conocimiento de la situación cotidiana para comprender el contenido matemático. En este caso el dominio de partida está fuera de las matemáticas y el de llegada son las matemáticas.

Figura 28

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•

Linking metáforas: Tienen su dominio de partida y de llegada en las mismas matemáticas. Por ejemplo, “los números reales son los puntos de una recta”, las funciones de proporcionalidad directa son rectas que pasan por el origen de coordenadas”, etc..


                 

  A continuación vamos a intentar responder a las tres preguntas siguientes: ¿qué tipo de metáforas utiliza el profesor al explicar la representación gráfica de funciones en el Bachillerato?,¿es consciente el profesor del uso que ha hecho de las metáforas en su discurso y hasta qué punto las tiene controladas?¿qué efecto producen estas metáforas sobre los alumnos? 2.1 Metáforas orientacionales Con relación a la primera pregunta, en las explicaciones de los profesores se puede observar el uso de metáforas orientacionales. Por ejemplo, el profesor del siguiente episodio utiliza el término “horizontal” en lugar de utilizar la expresión “paralela al eje de abscisas”, “eje horizontal” en lugar de “eje de abscisas” y el término “eje vertical” en lugar de “eje de ordenadas”. Hay que resaltar que en la transcripción de la clase de este profesor solamente en un caso el profesor deja de hacer la identificación entre eje de ordenadas y eje vertical y entre eje de abscisas y eje horizontal. En cambio, el libro de texto que se utiliza es muy escrupuloso con este aspecto y nunca hace esta identificación. Ejemplo El profesor había propuesto previamente la resolución de un problema seleccionado del libro de texto que consistía primero en dibujar un esbozo de la gráfica de las funciones f (x ) = 2x 4 , g (x ) = − 2x 4 y h(x ) = −2x 5 y después determinar máximos, mínimos y puntos de inflexión de manera visual a partir del esbozo de las gráficas de estas tres funciones. A continuación el profesor propuso la tarea de determinar la derivada segunda en x = 0 para cada una de las tres funciones anteriores, que en los tres casos resulto ser cero. El profesor resolvió esta tarea en la pizarra e hizo observar a los alumnos que la derivada primera en los tres casos es cero debido a que en las tres gráficas la recta tangente en x = 0 es horizontal.

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Cálculo de la derivada segunda

Transcripción

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        f (x )  
       
   
            
 


Observaciones 
      
        
             




























Tabla 3 Esta metáfora es muy habitual en las clases de bachillerato y puede facilitar errores en los alumnos, puesto que éstos ante la gráfica siguiente pueden considerar que, cuando x es la abscisa del máximo, la derivada no es cero ya que la recta tangente no es “horizontal”

Figura 29 Este posible error no suele manifestarse debido a que en los libros de texto, y en las explicaciones de los profesores, se suelen presentar sistemas de coordenadas que tiene el eje de abscisas en posición horizontal y el eje de ordenadas en posición vertical. Se trata de un típico fenómeno de generación de ejemplos prototipos. Otro error ampliamente documentado en la investigación didáctica sobre gráficas es el de la confusión entre el eje de ordenadas y el de abscisas o entre la x y la y. Esta confusión se puede explicar en base a la metáfora orientacional ya que lo que el alumno retiene, lo que considera importante, es hay un eje vertical y uno horizontal, y sus nombres o representaciones son menos importantes. Un caso típico de este fenómeno es el de del siguiente alumno 14 años que está estudiando la resolución gráfica de sistemas de dos ecuaciones de primer grado. Ante la duda de cuál es el eje de ordenadas hace la siguiente pregunta al profesor:

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Alumno: ¿Cuál es el eje de ordenadas?¿Es el eje vertical? (acompaña la última pregunta con un gesto en el que pone la mano derecha vertical) Profesor: Sí, el eje de ordenadas es el eje vertical.

Esta identificación de eje vertical con eje de ordenadas y eje de las “y” y eje horizontal con eje de abscisas y eje de las “x” suele funcionar, con alguna confusión, hasta que se comienza a estudiar las asíntotas en el bachillerato, o las rectas paralelas a los ejes al estudiar la geometría analítica. El hecho de que haya funciones que tenga como asíntota vertical la recta x = 0 y como asíntota horizontal la recta y = 0 hace aumentar la confusión sobre los ejes de coordenadas en algunos alumnos. Este es el caso del siguiente alumno (17 años) de 2º de bachillerato, que si bien presentaba alguna confusión esporádica entre los ejes, después de estudiar las asíntotas horizontales y verticales tenía problemas para relacionar correctamente los pares: eje de abscisas – eje de ordenadas, eje horizontal – eje vertical, eje de la x – eje de las y y recta y = 0 – recta x = 0. Su falta de seguridad se debía a que un mismo eje se representaba también con la letra correspondiente al otro eje. Profesor: la asíntota horizontal no es x = 0. Alumno: pero no es el eje de abscisas. Profesor: si, pero el eje de abscisas se representa por y = 0, no por x = 0. Profesor: (ante la cara de sorpresa del alumno): el eje de abscisas, el horizontal, se representa por la letra x, pero también se puede considerar formado por todos los puntos cuya altura es cero, o sea por todos los puntos que tienen la y igual a cero.

Las metáforas orientacionales surgen del hecho de que tenemos cuerpos de un tipo determinado y que se relacionan de una determinada manera con su entorno físico -nuestro cuerpo determina un sistema de referencia egocéntrico. Las metáforas orientacionales dan a un concepto una orientación espacial: por ejemplo más es arriba, menos es abajo. Estas metáforas no son arbitrarias, tienen una base en nuestra experiencia física y cultural y, a su vez, son la base de las teorías científicas. En el caso que nos ocupa, los sistemas de ejes coordenados, la metáfora orientacional actúa a tres niveles, por una parte se encuentra ya fosilizada en los conceptos teóricos (por ejemplo, los valores del eje de ordenadas que están por encima del origen son positivos, mientras los que están por abajo son negativos), por otra parte está presente en la explicación del profesor cuando, para hacer más intuitivos los conceptos teóricos, recurre a metáforas que se ajusten a la experiencia personal de los alumnos (por ejemplo cuando identifica eje de ordenadas con eje vertical y eje de abscisas con eje horizontal). También está presenta en la manera en la que el alumno organiza su conocimiento de los ejes de coordenadas ya que éste recurre a metáforas orientacionales basadas en su experiencia corporal.

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2.2 Movimiento ficticio También se observan metáforas que facilitan que los alumnos entiendan que "La gráfica de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfica”. Ejemplo Antes de la siguiente transcripción el profesor comentó el hecho de que si la derivada segunda es cero, podemos tener máximos, mínimos o puntos de inflexión. Primero calculó las derivadas primera y segunda de las tres funciones anteriores haciendo observar a los alumnos que en los tres casos en x = 0 la derivada segunda se anulaba. Después utilizó las gráficas de las funciones cuyo esbozo estaba dibujado en la pizarra para hacerles ver que en la primera función en x = 0 había un máximo, en la segunda un mínimo y en la tercera un punto de inflexión. No hubo hay diálogo por parte de los alumnos y el profesor se limitó a explicarlo. A continuación el profesor sugierió la siguiente técnica para determinar si tenemos un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en x = a cuando f ´ (a) = 0 y f ´´ (a) = 0: realizar el estudio de la variación de la derivada primera en un entorno del punto. Criterio suficiente de máximos, mínimos y puntos de inflexión. Estudio de la variación de la derivada en un entorno del punto

Transcripción

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Observaciones

          
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Tabla 4 En el discurso del profesor podemos observar el uso de una poderosa metáfora: el movimiento ficticio (Lakoff and Núnez 2000). En esta transcripción, el discurso metafórico del profesor puede inducir al alumno a entender el cero como un punto determinado sobre un camino que se recorre o una línea por la cual se transita. Palabras como “antes de cero”, “después de cero” pueden producir este efecto en el alumno. Para Lakoff y Núñez (2000) esta es una poderosa metáfora utilizada muy a menudo por los profesores en todos los niveles de

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enseñanza. En dicha metáfora se sugiere una organización espacial, se tiene un origen (“de”), un camino (“pasa por”, “aquí”, “a lo largo”), y un fin (“a”, “hasta”) y además se contempla algo que se mueve (punto, objeto, etc.) y que se puede localizar en un momento dado. 2.3 Metáforas ontológicas y mezclas de metáforas Otro tipo de metáforas observadas son las ontológicas - permiten considerar acontecimientos, actividades, emociones, ideas, etc. como si fueran entidades (objetos, cosas, etc.) - y también mezclas de metáforas. Por ejemplo, en la siguiente transcripción se observa una mezcla de metáforas ontológicas y dinámicas en el discurso del profesor. Ejemplo Profesor: Una de las cosas que estudiamos para representar la gráfica de una función es el comportamiento al infinito. ¿Qué hace la función cuando la equis tiende al infinito?, ¿Qué hace la gráfica de la función cuando la equis tiende al infinito? Podría hacer así, tirar a más infinito. [mientras dibuja la gráfica de la izquierda] Puede hacer así tirar a menos infinito. [sobre la gráfica anterior dibuja la del centro] También podría crecer y estabilizarse hasta un número, así. [sobre la gráfica del centro dibuja la de la derecha. Por otra parte, en las tres gráficas el profesor mueve la mano haciendo movimientos que son la continuación de la parte de la gráfica dibujada, sugiriendo la continuación indefinida.

Figura 30 Para poder contestar a la segunda pregunta hay que recurrir a entrevistas a los profesores. El nivel de conciencia que tienen los profesores sobre el uso que hacen de las metáforas dinámicas y su posible efecto en la comprensión de sus alumnos, difiere según los profesores. El profesor que impartió la clase que hemos utilizando hasta el momento era más consciente que otros. En cambio, en Font y Acevedo (2003) se expone el caso de otro profesor y se observa que éste no es consciente de que usaba metáforas dinámicas y, por tanto, no las controlaba. Como consecuencia de las preguntas del entrevistador, el profesor se da cuenta de que las usa, pero considera que dicho uso facilita la comprensión y no da importancia a las posibles dificultades que pueda generar en sus alumnos. De hecho, considera que el uso de metáforas no genera ningún tipo de error conceptual en sus alumnos. Texto

Observaciones


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