Funciones Vectoriales de Varias Variables

Cap´ıtulo 1

Funciones vectoriales de varias variables En esta parte estudiaremos las funciones vectoriales de varias variables, como una generalizaci´on on de los resultados resu ltados obtenidos ob tenidos en e n los cap´ cap´ıtulos anteriores. Desarrollaremos temas de c´alculo alculo en campos vectoriales importante en la ciencia e ingenieria. Las pruebas de los resultados que se presenta se pueden encontrar en [2], [6] y [8]. Los graficos que se presentan fueron elaborados utilizando el software Derive 6.1 y winplot.

1.1. 1.1.

Funcion unciones es vector vectorial iales es de varia variass varia variable bless

Definici´ on on 1.1.1. Sea  F  :  D ⊂

D ⊂

R

n

R

n

→

R

m

una funci´  on definida sobre un conjunto

. Se dice que  F   F   es una funci´  on vectorial de varias variables. Si  F   F   hace 

corresponder a un vector  X  = (x1 , x2,...,xn ) ∈ D un unico ´  vector  Y  ∈

R

m

)). Y  =  F (  F (X ) = (F 1 (X ), F 2 (X ),...,F m (X )). A las funciones  F i :  D ⊂  D  ⊂

R

n

→ R  se les llama   funciones coordenadas.

Si  n  = m  =  m,, la funci´  on  F  se F  se llama  CAMPO   CAMPO VECTORIAL (en  Rn ).

1

tal que 

2

1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES 

Figura 1.1: Estos vectores representan campos de velocidades de la distribuci´o n del viento superficial-Regi´ on Per´ u

NOTA 1.1.1.   La idea de visualizar el campo vectorial  F  es colocar un vector 

F (X )  ∈

R

n

de manera que su punto inicial sea  X  ∈ D.

a definido por  Ejemplo 1.1.1.  Un campo vectorial en  R2 est´  F (x, y) = (−y, x) Describa  F   trazando alguno de los vectores  F (x, y). Soluci´ on (x, y )

F(x,y)

(1,0)

(0,1)

(0,1)

(-1,0)

(-1,0)

(0,-1)

(0,-1)

(1,0) Figura 1.2:

Ejemplo 1.1.2.  Grafique el campo de vectores  F (x,y,z ) = (−x, −y, −z ) Soluci´ on

´ VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES  1.2. LIMITES DE UNA FUNCI ON

(x , y , z)

F(x,y,z)

(1,0,0)

(-1,0,0)

(1,1,1)

(-1,-1,-1)

(-1,-1,-1)

(1,1,1)

3

Figura 1.3:

1.2.

Limites de una funci´ on vectorial de varias variables n

on definida en un conjunto D ⊂ Definici´ on 1.2.1. Sea  F   una funci´  en  Rm y sea  A ∈

n

R

R

a valores 

un punto de acumulaci´  on de  D. Diremos que el limite de  F 

cuando X  tiende a  A es  L = (l1 , l2 , ...lm ) ∈

R

m

(denotado por   l´ımX 

A

→

 F (X ) = L )

si para cada   > 0 es posible hallar un  δ > 0 tal que  f (X ) − A <  siempre que  X  ∈ D y  0  0 ∃ δ > 0 / X  ∈ D ∧ 0  0 ∃ δ > 0 / X  ∈ D ∧ X  − A < δ  ⇒ F (X ) − L <  2. F  es continua en un punto A ∈ D  que es punto de acumulaci´  on de  D si y solo si   l´ımX 

 F (X ) = F (A)

A

→

on  F  : D ⊂ Teorema 1.3.1.   La funci´ 

n

R

→

m

es continua en  A ∈  D  si y solo si 

R

cada una de sus funciones componentes es continua en  A. on  Ejemplo 1.3.1.  Pruebe que la funci´ 

  F (X, Y  ) =  (1, 1),

senx−seny x−y

,

ex −e−y x+y

,

(x, y)  = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

es continua en  A = (0, 0) Soluci´ on

x

l´ım

(x,y )→(0,0)

y

 senx − seny  e − e   x−y

,

−

=

x + y

senx − seny ex − e y   l´ım ,   l´ım (x,y) (0,0) (x,y ) (0,0) x + y x−y −

→

→

Calculamos: 2 senx − seny x−y x + y = l´ım  sen( ) cos( )=1 (0,0) (x,y ) (0,0) x − y x−y 2 2

l´ım

(x,y )→

y

→

ex − e y l´ım = l´ım e (x,y ) (0,0) x + y (x,y ) (0,0) −

y

−

→

→

ex+y − 1 =1 x + y

Reemplazando estos u´ltimos resultados en (1) se tiene: l´ım

(x,y)→(0,0)

F (x, y) = (1, 1) = F (0, 0)

Por lo tanto F  es continua en (0, 0).



´ VECTORIAL DE VARIAS VARIABLES 5 1.4. DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCI ON

1.4.

Derivadas parciales de una funci´ on vectorial de varias variables n

Definici´ on 1.4.1. Sea F  : D ⊂

R

→ Rm una funci´  on vectorial de varias variables 

definida en un conjunto abierto D por: F (x1 , x2 ,...,xn ) = (F 1 (x1, x2,...,xn ), F 2 (x1, x2,...,xn ),...,F m (x1 , x2 ,...,xn )) para todo X  = (x1, x2,...,xn ) ∈ D. La derivavda parcial de  F   con respecto a  xi se  define por: ∂ F  F (x1 , x2 ,...,xi  + h, ...xn ) − F (x1, x2 ,...,xn ) (X ) = l´ım , ∀i = 1, 2, 3,...,n h 0 ∂ xi h →

siempre que este limite exista. 1.4.1.

Matriz Jacobiana n

Definici´ on 1.4.2. Sea F  : D ⊂

R

→ Rm una funci´  on vectorial de varias variables 

definida en un conjunto abierto D y  A ∈ D. Se llama   matriz Jacobiana de  F  en  A, denotado por  JF (A) a la matriz  m × n:

   JF (A) =  

∂ F 1 ∂ x1

.. .

∂ F m ∂ x1

∂ F 1 ∂ x2

...

∂ F 1 ∂ xn

...

...

...

∂ F m ∂ x2

...

∂ F m ∂ xn

  

Si  m = n  a la determinante de esta matriz se le llama   Jacobiano de  F .

1.5.

Funci´ on diferenciable n

Definici´ on 1.5.1. Sea F  : D ⊂

R

→ Rm una funci´  on vectorial de varias variables 

definida en un conjunto abierto D y  A ∈ D.Se dice que  F  es diferenciable en  A si  existe  J F (A) y adem´  as de esto, para todo vector  V  = (α1 , α2 , ...αn ) tal que  V  +A ∈ D se cumple que  l´ım

(f (A + V  ))m

1

×

→ −

V  → 0

− (f (A))m 1 − (JF (A))m n (V  )n || V  || ×

donde  (f (A + V  ))m 1 , (f (A))m ×

1

×

×

1

×

 − → = 0

y  (V  )n 1  son matrices columna. ×

´ 1.6. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ON VECTORIAL

on  F  : D ⊂ NOTA 1.5.1.   Una funci´ 

n

R

→

R

m

6

definida en un conjunto abierto

D, es diferenciable en  A ∈ D si y solo si lo son cada una de sus funciones componentes  F 1 , F 2 ,..F m . Se puede entonces estudiar la diferenciabilidad de  F  en  A bien  directamente o bien a trav´ es de sus componentes. Teorema 1.5.1. Sea  F  : D ⊂

n

R

→

R

m

una funci´  on vectorial de varias variables 

definida en un conjunto abierto D y continua en  A ∈ D. Si la matriz Jacobiana de  F  es continua en  A entonces  F  es diferenciable en  A. 2

Ejemplo 1.5.1. Sea  F (x,y,z ) = (xyz, z ex y ). ¿Es  F   diferenciable en cualquier 

punto (x,y,z )  ∈ Soluci´ on

3 R .

 yz JF (x,y,z ) =  2y e

2 xy 2

Esta matriz es continua en todo R

3

3 R

xz 2xyzexy

2

 xy  e xy 2

(pues sus entradas son funciones continuas en

) entonces por el teorema anterior F  es diferenciable en (x,y,z ).

1.6.

Divergencia de una funci´ on vectorial

Supongamos que tenemos la funci´ on con valores vectoriales F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) con funciones componentes diferenciables P , Q y R. Entonces la divergencia de F  denotado por div F   es la funci´ on escalar definida como sigue: div F  = ∇ . F  = (

∂  ∂  ∂  ∂ P  ∂ Q ∂ R , , ) . (P,Q,R) = + + ∂ x ∂ y ∂ z  ∂x ∂y ∂ z 

NOTA 1.6.1.

El operador ∇ se llama  operador nabla. a dado por: Ejemplo 1.6.1.  Si el campo vectorial  F   est´  F (x,y,z ) = (x ey , z seny , x y Lnz ) calcule  divF (−3, 0, 2).

7

1.7. EL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Soluci´ on

div F  =

∂  ∂  ∂  xy (x ey ) + (z seny) + (xyLnz ) = e y + z cosy + ∂x ∂y ∂ z  z  div F (−3, 0, 2) = 1 + 2 cos(0) + 0 = 3

Teorema 1.6.1. Si  F  y  G son dos funciones vectoriales entonces se cumplen:

∇ . (a F  + b G) = a ∇ . F  + b ∇ . G ∇ . (f F ) = f  ∇ . F  + ∇ f . F  donde  f  es una funci´  on escalar , a y  b son constantes. Definici´ on 1.6.1.   Una funci´on escalar  φ  se dice   arm´ onica   si es continua, tiene 

segundas derivadas continuas y satisfacen la ecuaci´  on de Laplace  ∂ 2 φ ∂ 2 φ ∂ 2 φ + + = ∇ 2 φ = 0 2 2 2 ∂x ∂y ∂ z 

1.7.

El rotacional de un campo vectorial

El rotacional del campo vectorial F (x,y,z ) = P (x,y,z ) i+Q(x,y,z ) j+R(x,y,z ) k denotado por rot F   se difine como:

 i   rotF  = ∇ × F  =   P

∂  ∂x

j ∂  ∂y

Q

Observaci´ on 1.7.1.

 k   ∂R ∂Q ∂P   ∂ R ∂Q  ∂ P   = − , −  , − ∂y ∂ z  ∂ z  ∂ x ∂ x ∂ y  R

∂  ∂z

∇ × F  no necesariamente es perpendicular a F .

Propiedades

Sean F  y G dos funciones vectoriales y φ una funci´on escalar, entonces: 1. ∇ × (F  + G) = ∇ × F  + ∇ × G 2. ∇ × (∇ φ) = 0 siempre que φ sea de clase C  2 en

3 R .

3. ∇ . (∇ × F ) = 0 siempre que F  sea de clase C  2 en 4. (F  × ∇) . G = F . (∇ × G)

3 R .

8

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 

5. ∇ × (∇ × F ) = ∇ (∇ . F ) − ∇2 F  NOTA 1.7.1.

Un campo vectorial de divergencia nula se dice Solenoidal Si rot F   = 0,el campo F  de denomina  irrotacional. A × (B × C ) = (A . C ) B − (A . B) C  r, donde  r = (x,y,z ) y  Ejemplo 1.7.1.   Sea el campo vectorial  F  = r a  r = ||r|| =  0. Encuentre el valor de la constante  a, para que  F   sea un campo solenoidal. soluci´ on

Sabemos que un campo vectorial F (x,y,z ) = (P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x,y,z )) es solenoidal si su divergencia es nula, es decir, ∇.F (x,y,z ) =

∂P   ∂ Q ∂R + + =0 ∂x ∂y ∂z  Q

P 

2

2

2

2

2

2

R

Dado que F (x,y,z ) = ((x + y + z  ) x, (x + y + z  )  y, (x + y + z 2) z ), derivana

2

a

2

2

2

do se tiene: ∂P  = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂x ∂Q = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂y ∂R = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂z 

a

2

a

2

a

2

1

[(a + 1) x2 + y 2 + z 2 ]

1

[x2 + (a + 1) y 2 + z 2 ]

1

[x2 + y 2 + (a + 1) z 2 ]

−

−

−

Sumando estos resultados se obtiene: ∂P  ∂Q  ∂ R + + = (x2 + y 2 + z 2 ) ∂x ∂y ∂z 

a

2

1

−

(a + 3) [x2 + y 2 + z 2 ]

Por lo tanto, el campo vectorial F  es solenoidal si a = −3.

1.8.

Ejercicios Propuestos

1. Trace el campo vectorial F  dibujando un diagrama: a) F (x, y) = (−x, 2y) b). F (x,y,z ) = (0, z, 0) c).F (x,y,z ) = j − i d). F (x, y) = (senx, seny) e). f (x,y,z ) = (x,y,z )

a

2

9

1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 

2. Encuentre el campo vectorial gradiente de f : a) f (x, y) = Ln(x + 2y) b). f (x,y,z ) = xcos(y/z ) 3. a ) Trace el campo vectorial F (x, y) = i + xj  y luego trace algunas lineas de flujo.¿Qu´e forma parecen tener estas lineas de flujo? b) Si las ecuaciones param´etricas de las lineas de flujo son x = x(t), y = y(t), ¿cuales ecuaciones diferenciales satisfacen estas funciones? Deduzca que dy/dx = x. c ) Halle la ecuaci´ on de la trayectoria seguida por una part´ıcula, que parte del origen de coordenadas y se mueve en el campo de velocidades dada por F . 4. Razonar la certeza o falsedad de las afirmaciones siguientes: a ) No existe

l´ım

(x,y )→(0,0)

2

3

x2

+ y 2

 x + y

, x2 ,sen(y2 )



b) Si f (x, y) = (x2 + y, x − y 2 ) entonces el jacobiano de f  en el punto (1, 0) es -1.

 

c ) La funci´on F (x, y) = ( | x y |, xcosy) no es diferenciable en el origen. d ) Sea f  :

2 R

→

2 R

con f (0, 0) = (1, 1) y g :

2 R

→

R

con g(x, y) = x2 + y.

  1 1  Sea h = g ◦ f . Si la matriz jacobiana de la funci´ on f  en (0, 0) es  2 3 entonces

∂h ∂x

(0, 0) = 4 y

∂h ∂y

(0, 0) = 5.

e ) Sean f  y g  funciones de R2 → R2 con f (1, 1) = (2, 2). La matriz jacobiana

  0 1  de la funci´ on f  en el punto (1, 1) es  y la matriz jacobiana de la 1 3   1 1  funci´on g  en el punto (2, 2) es  . Entonces la matriz jacobiana de 1 2   1 2  la funci´on compuesta g ◦ f  en el punto (1, 1) es  . 4 7 5. Se considera el campo vectorial F  = (x2 yz,xy2 z,xyz 2 ). Calcule su divergencia y su rotacional. 6. Sea f  un campo escalar y F  un campo vectorial. Pruebe que div(f F ) = ∇f.F + f divF 

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1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 

7. Sea a un vector constante R el vector posici´ on. Se considera el vector v = a ×R. Demuestre que div v = 0 8. Sea f  un campo escalar y F  un campo vectorial. Pruebe que rot(f F ) = ∇f  × F  + f rotF . 9. Sea f  un campo escalar de clase C 2 en

3 R .

Pruebe que rot(∇f ) = 0.

Referenciales [1] Apostol Tom, M. C´  alculus Vol I   . Ed. Reverte. Barcelona 2001. [2] Apostol Tom, M. C´  alculus Vol II . Ed. Reverte. Barcelona 2001. [3] Benazic R. Caminos en Espacios Euclideanos . Ed. Sociedad Matem´ atica Peruana. Lima 2002. [4] Edwards, Jr., D. C´  alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998. [5] De Guzm´an, M. Aventuras Matematicas . Ed. pir´amide. Madrid 2004. [6] Galindo Soto, F.   Gu´ıa pr´  actica de c´  alculo infinitesimal en varias variables . Ed. Thomson. Madrid 2005. [7] Garcia Lopez, A. C´  alculo II , ed.,CLAGSA, Madrid, 1997. [8] Lima, E.   Curso de An´  alise, Volume 2 . Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de Janeiro 1981. [9] Lima, E. An´  alisis Real . Ed. IMCA. Lima 1997. [10] Llorens fuster, J.  Introducci´  on a derive 6 . Ed. Deisoft, c.b. Valencia Espa˜ na 2003. [11] Pita Ruiz, C. C´  alculo Vectorial , ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998. [12] Stewart, J. C´  alculo Mutivariable . Cuarta Edici´ on Ed. Thomson Learning 2006. [13] Velasco Sotomayor, G.  Problemario de c´  alculo multivariable . Ed. Thomson, Learning, Mexico, D.F. 2003.

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