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Moisés Villena Muñoz

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Funciones Trigonométricas

ÁNGULO FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO FUNCIÓN TANGENTE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.

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Funciones Trigonométricas

Moisés Villena Muñoz

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo. ƒ Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general. ƒ Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son identidades o no. ƒ Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.

1 ÁNGULO. ÁNGULO es la abertura que existe entre 2

semirectas que tienen un punto común de intersección. Esquemáticamente tenemos:

Se lo puede denotar de la siguiente manera

También se suele emplear letras del alfabeto griego

1.1 PATRÓN DE MEDIDA

La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad de rotación que tiene que realizar el lado inicial para coincidir con el lado terminal. Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO. La medida de un ángulo se la expresa en: ¾ GRADOS (patrón referencial); y/o ¾ RADIANES (patrón de números reales) Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:

180 D = π

2

Radianes

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A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos: GRADOS

RADIANES

D

π

D

π

D

π

D

π

D

5π 6

30

6 45

4 60

3

90

2

150

180D

π

210D

7π 6

270D

3π 2

300D

5π 3

330D

11π 6

360D

2π

135

D

120D

Completar

225D

315D

2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO La regla de correspondencia para la función seno es f ( x ) = sen x , y para la función coseno f ( x ) = cos x , donde x denota un ángulo. Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen. Note que aquí la variable independiente “ x ” representa a un ángulo

En cada posición de giro del radio vector (ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica el valor del COSENO y la ORDENADA indica el valor del SENO. ¿POR QUÉ?

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Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos:

x 0

sen x 0 = sen 0 ⎛π ⎞ 1 = sen⎜ ⎟ ⎝2⎠ 0 = sen π ⎛ 3π ⎞ − 1 = sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 0 = sen 2π

π

2

π

3π 2 2π

x

cos x

0

1 = cos 0 ⎛π ⎞ 0 = cos⎜ ⎟ ⎝2⎠ − 1 = cos π ⎛ 3π ⎞ 0 = cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 1 = cos 2π

π

2

π

3π 2 2π

CONCLUSIONES: ¾

Dom (sen x ) = Dom (cos x ) = IR

¾ Las gráficas son

ONDAS SENOIDALES.

¾ Sus gráficas presentan

SIMETRÍA.

El seno es una función impar. Por tanto sen(− x ) = − sen x El coseno es una función par. Por tanto cos(− x ) = cos x

¾ Son

FUNCIONES PERIÓDICAS,

Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si

con período T = 2π .

f ( x ± T ) = f ( x)

Por tanto sen( x ± T ) = sen( x ) y cos( x ± T ) = cos( x )

¾ Son FUNCIONES ACOTADAS. Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si ∀x[n ≤ f ( x ) ≤ m ]

[

]

Note que rg = (sen x ) = rg cos x = − 1,1 , es decir: −1 ≤ sen x ≤ 1 ∧ −1 ≤ cos x ≤ 1

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OPCIONAL Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales serían las características de las gráficas de: ¾

y = 2 sen x . Generalice

¾

y = A sen x donde A ≡ amplitud

y = sen( x − 6 ) . π

Generalice para

¾

y = sen( x ± Φ)

donde

Φ ≡ desfase

y = sen(2 x ) . Generalice para

y = sen ω x

donde

ω ≡ frecuenci a angular

Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma:

y = A sen(ω ( x ± Φ )) donde

ω=

y = A cos(ω ( x ± Φ ))

2π 2π entonces T= ω T

Ejercicios Propuestos 1 GRAFIQUE: 1. y = − sen(x) 2. y = sen(− x) 3. y = sen(x) 4.

y = sen x

5.

y = 2sen( x − π ) + 1 3

3 FUNCIÓN TANGENTE La función tangente se define como y =

sen x = tg x cos x

Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en cos x = 0 . Es decir en

x = ±(2n − 1)

π 2

; n = 0,1,2,...

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CONCLUSIONES:

π ⎧ ⎫ Dom (tg x ) = IR − ⎨± (2n − 1) ; n = 0,1,2,...⎬ 2 ⎩ ⎭ ¾ rg (tg x ) = IR . Por tanto, no es una función acotada

¾

¾ Es una función periódica, con período T = π . Entonces

ω=

π T

tg(− x ) = − tg x ¾ En general, la regla de correspondencia sería y = A tg(ω ( x ± Φ ))

¾ Es una función impar. Por tanto

OPCIONAL: GRAFICAR: 1. 2. 3. 4.

Ejercicio Propuesto 2

y = −tg (x) y = tg (− x) y = tg x y = tg (x)

5. y = tg x 6.

y = tg ( x − π ) 3

4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora. Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.

6

x

sen x

cos x

tg x

0 π = 30 D 6 π = 45D 4 π = 60 D 3 π = 90 D 2 π = 180 D 3π = 270 D 2 2π = 360 D

0 1 2

1 3 2 2 2 1 2

0

0

∞

0

−1

−1 0

∞

0

1

0

2 2 3 2 1

0

3 3 1 3

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La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha ayuda.

4.1 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes sus catetos.

Es decir: c 2 = a 2 + b 2 4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo Para el triángulo rectángulo anterior tenemos: Lado opuesto sen x = 6 Hipotenusa Lado adyacente cos x = 6 Hipotenusa Lado opuesto tg x = 6 Lado adyacente

a c b cos x = c a tg x = b

sen x =

También se definen las Cofunciones de la siguiente manera: c 1 COSECANTE : csc x = = sen x a

SECANTE: COTANGENTE:

sec x =

c 1 = cos x b

cot x =

b 1 = tg x a

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4.3 Funciones trigonométricas para 45 D , 30 D y 60 D . Para 45 D empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales. Digamos a = b = 1 , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que c = 12 + 12 = 2 sen 45D = cos 45 D =

1 2 1 2

ó sen 45 D =

2 2

ó cos 45 D =

2 2

tg 45 D =

sen 45° =1 cos 45°

Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de

igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos l = 2 sen 30 D =

1 2 3 2

cos 30 D =

⇒

3 2 1 cos 60 D = 2

sen 60 D =

tg 30 D =

1

tg 30 D

(

3

=

3 3

tg 60 D = 3

Ejercicio resuelto La operación

sen 2 60 D + 2

csc 60

como resultado: a) 9 4 SOLUCIÓN:

b) − 9

D

− 4 tg 45 D − sen 30 D + sen 45 D cos 45 D

c) 1

4

d) 0

)

da

e) -1

Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos: ⎛ 3 ⎞ 2 ⎟ ⎛ ⎜ ⎛ ⎞⎛ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ + 2⎜ 3 ⎟ − 4⎜1 − 1 + ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎛⎛ ⎞⎞ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ 3 1 ⎜ ⎜ 3/ ⎟ ⎟ 3 3 − 12 9 −4 = −3= =− = + 2/ ⎜ ⎜ 6/ ⎟ ⎟ 4 4 4 4 ⎜⎜ ⎜ 2/ ⎟ ⎟⎟ 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞⎞ 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ = + 2⎜ 3 ⋅ 3 ⎟ − 4⎜1 − 1 + ⎜ 3 ⎟⎟ 4 2 ⎟⎠ ⎜ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝

1⎞ 2/ ⎟ ⎟= 4/ ⎟ 2⎠

RESPUESTA: Opción "b"

Para ÁNGULOS MAYORES considerar lo siguiente:

8

A

90°

Y

MENORES

A

360°, podemos

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1. Regla del cuadrante: Cuadrante

x

I

0 < x < π2 π

II

2

< x