FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa RECORDAR LA FUNCION SENO La funcion y=sen x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es

LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO

−π π , ] es creciente y por lo tanto inyectiva es 2 2 −π π , ] y el recorrido es [-1, 1] su grafica su dominio[ 2 2

F(X)=sen x en el intervalo decir existe la inversa es de azul

[

FUNCION ARCOSENO INVERSA DE LA FUNCION SENO Si y=senx

y = sen −1 x

entonces la inversa se nota y=arcsen x

−π π ≤ y≤ 2 2 de inversa y = sen −1 x No se debe confundir

o tambien se nota

y = sen −1 x ⇔ x = seny La notacion

La funcion inversa de y=senx restringido es :

con

1 senx

−π π , ] esta grafica 2 2 − 1 es creciente , es una funcion impar porque sen (− x) = −sen −1( x)

y = sen −1 x dominio es [-1, 1] y el recorrido es [

La grafica es:

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

EVALUACION DE LA INVERSA DEL SENO Evalue

y = sen −1(

3 ) 2 3 −π π , ] para el cual senθ = ( ) 2 2 2 π −π π ∈[ , ] por lo tanto 3 2 2

Se busca el ángulo θ en el intervalo[

3 π sen( ) = ( ) 3 2 3 π sen −1( ) = 2 3

lo tanto

y

y = sen −1 x sen(sen −1( x)) = x

La compuesta entre

y y=sen x es la identidad

sen −1(sen( x)) = x El Arco seno de x es un ángulo cuyo seno es x

por

Valores comunes de

x

3 2 2 2 1 2 − 3 2 − 2 2 −1 2

y = sen −1 x

sen −1( x)

π 3

sen−1(

π

3 π )= 2 3

4

π 6 −π 3 −π 4 −π 6

2 −π sen−1(− )= 2 4

-------------------------------------------------------------LA FUNCION COSENO La funcion y=cos x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es

LA FUNCION COSENO CON DOMINIO RESTRINGIDO

[0,π ] es decreciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa , su dominio[0,π ] y el recorrido es [-1, 1] su grafica es

F(X)=cos x en el intervalo la azul

FUNCION ARCOCOSENO INVERSA DE LA FUNCION COSENO y=cosx

entonces la inversa se nota y=arccos x

y = cos −1 x

o tambien se nota

y = cos −1 x ⇔ x = cos y 0 ≤ y ≤ π La notacion de inversa y = cos −1 x No se debe confundir con

1 cos x

La funcion inversa de y=cosx restringido es :

y = cos −1 x

dominio es [-1, 1] y el recorrido es [0,π ] esta grafica

También es decreciente , es una funcion par

cos −1(− x) = cos −1( x)

La grafica es:

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

EVALUACION DE LA INVERSA DEL COSENO Evalue

y = cos −1(

3 ) 2

Se busca el ángulo θ en el intervalo

[0,π ] para el cual cosθ = (

3 π π cos( ) = ( ) y ∈[0,π ] por lo tanto 6 2 6 3 π cos −1( ) = 2 6 La compuesta entre y = cos −1 x y y=cosx es la identidad cos(cos −1( x)) = x cos −1(cos( x)) = x tanto

3 ) 2

por lo

Valores comunes de

x

3 2 2 2 1 2 − 3 2 − 2 2 −1 2

y = cos −1 x

cos −1( x)

π 6

π

cos−1(

3 π )= 2 6

4

π 3 5π 6 3π 4 2π 3

2 3π cos−1(− )= 2 4

El Arco coseno de x es un ángulo cuyo coseno es x IDENTIDADES RELACIONADAS CON EL ARCO SENO Y ARCO COSENO

cos −1 x + sen −1 x = Si A = sen −1 x y entonces

π

2 B = cos −1 x

sen −1 x + cos −1 x =

π 2

cos −1 x + cos −1(− x) = π

Porque la suma de los 2 angulos es igual a 180 grados cos −1 x + cos −1(− x) = π ---------------------------------------------------------------------------------LA FUNCION TANGENTE

La funcion y=tan x no es uno a uno en su dominio El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es

LA FUNCION TANGENTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=tanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio (

−π π , ) 2 2

y el recorrido es los reales su grafica es de azul

FUNCION ARCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION TANGENTE y=tanx

entonces la inversa se nota y=arctan x

y = tan −1 x

y = tan −1 x ⇔ x = tan y No se debe confundir

o tambien se nota

−π π < y< 2 2

y = tan −1 x

con

1 tanx

La funcion inversa de y=tanx restringido es :

y = tan −1 x

dominio es

También es creciente ,

(∞,−∞) y el recorrido es (

−π π , ) 2 2

esta funcion

La grafica es:

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

EVALUACION DE LA INVERSA DEL TANGENTE Evalue

y = tan −1(

3 ) 3

Se busca el ángulo θ en el intervalo

lo tanto

3 π tan( ) = ( ) 6 3

y

π 6

∈(

(∞,−∞) para el cual tanθ = ( −π π , ) por lo tanto 2 2

3 ) 3

por

tan −1(

3 π )= 3 6

y = tan −1 x tan(tan −1( x)) = x

La compuesta entre

y y=tanx es la identidad

tan −1(tan( x)) = x El Arco tangente de x es un ángulo cuyo tangente es x

Valores comunes de

y = tan −1 x

tan −1( x)

x 3 3 3 1 − 3 3 −1 − 3

π 6

π

3

π

4 −π 6 −π 4 −π 3

--------------------------------------------------------------------------------------

LA FUNCION COTANGENTE

La funcion y=cotan x no es uno a uno en su dominio natural y El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es

LA FUNCION COTANGENTE CONDOMINIO RESTRINGIDO

F(X)=cotanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio ( azul

−π π , ) 2 2

y el recorrido es los reales su grafica es de

FUNCION ARCOCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION COTANGENTE

y=cotanx

entonces la inversa se nota y=arcctan x

y = cot −1 x

o tambien se nota

y = cot −1 x ⇔ x = cot y 0 < y < π No se debe confundir

y = cot −1 x

con

1 cotx

La funcion inversa de y=cotanx restringido es :

y = cot −1 x

dominio es También es decreciente , La grafica es:

(∞,−∞) y el recorrido es (0,π ) esta funcion

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

EVALUACION DE LA INVERSA DE COTANGENTE Evalue

y = cot −1(1) =

π

4

Se busca el ángulo θ en el intervalo tanto

π

π

(0,π ) para

el cual

cotθ = (1)

cot( ) = 1 y ∈ (0,π ) por lo tanto 4 4

cot −1(1) =

π

4

La compuesta entre

y = cot −1 x

y y=cotanx es la identidad

cot(cot −1( x)) = x cot −1(cot( x)) = x El Arco cotangente de x es un ángulo cuyo cotangente es x

por lo

LA FUNCION SECANTE La funcion y=sec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto [-1, 1] su grafica es

LA FUNCION SECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=sec x en el intervalo por

lo

tanto

dominio[0,

π

2

de color azul

es

) U [π ,

π

[0, ) 2

inyectiva

es creciente y en[π ,

es

decir

existe

la

3π ) 2

es decreciente

inversa

,en

el

3π ) y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es la 2

FUNCION ARCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION SECANTE y=secx

entonces la inversa se nota y=arcsec x

y = sec −1 x y = sec −1 x

⇔ x = sec y 0 ≤ y < No se debe confundir

π

si x ≥ 1 π ≤ y <

2 y = sec −1 x

con

3π 2

o tambien se nota

si x ≤ −1

1 sec x

La funcion inversa de y=secx restringido es :

y = sec −1 x

dominio

es

π 3π [0, ) U [π , ) y la grafica 2 2

[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,

La grafica es:

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

1]

y

el

recorrido

EVALUACION DE LA INVERSA DE LA SECANTE Evalue

y = sec −1(

−2 ) 3

Se busca el ángulo θ en el intervalo

5π −2 )=( ) 6 3 − 2 5π cos −1( ) = 6 3

tanto

sec(

[0,π ] para el cual secθ = (

por lo tanto

y = sec −1 x sec(sec−1( x)) = x

La compuesta entre

y y=secx es la identidad

sec −1(sec( x)) = x El Arco secante de x es un ángulo cuya secante es x NOTA Como

sec x =

1 cos x

Valores comunes de

se sigue que

y = sec −1 x

1 sec −1 y = cos −1( ) y

−2 ) 3

por lo

sec−1( x)

x 2 − 2

2 3 −2 3 −2

π 4

3π 4

π

5π 6

6

2π 3

LA FUNCION COSECANTE La funcion y=cosec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto (-1, 1) su grafica es

LA FUNCION COSECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO

F(X)=csc x en el intervalo por

lo

tanto

dominio (−π ,

es

(−π ,

−π ) 2

inyectiva

es decreciente y en (0,

es

decir

existe

la

π 2

] es creciente

inversa

,en

el

−π π ] U (0, ] y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es 2 2

la de color gris

LA FUNCION ARCOCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION COSECANTE y=cscx

entonces la inversa se nota y=arccosec x

y = csc −1 x

y = csc −1 x ⇔ x = csc y No se debe confundir

y si x ≥ 1

y = csc −1 x

con

o tambien se nota

π ≤ y<

3π 2

si x ≤ −1

1 csc x

La funcion inversa de y=cosecx restringido es :

y = csc −1 x

dominio

es

π −π (0, ] U (−π , ) y la grafica 2 2

[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,

1]

y

el

recorrido

:

Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x

EVALUACION DE LA INVERSA DE LA COSECANTE Evalue

y = csc −1(2) =

π

6

Se busca el ángulo θ en el intervalo

5π −2 )=( ) 6 3 − 2 5π cos −1( ) = 6 3

tanto

sec(

el cual

por lo tanto

y = sec −1 x sec(sec−1( x)) = x

La compuesta entre

[0,π ] para

y y=secx es la identidad

sec −1(sec( x)) = x El Arco cosecante de x es un ángulo cuya cosecante es x

cscθ = (2)

por lo

Valores comunes de

x 2 −2 2 3 −2 3 −2

y = csc −1 x

csc−1( x)

π 6

−5π 6

π

5π 6

6

2π 3

DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS TRIGONOMETRICCAS INVERSAS DERIVADA DE LA FUNCION ARCO SENO

y = sen−1x entonces y ' =

1 1−x2

Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir

y = sen−1u(x) entonces

u(x)

y'=

diferenciable se usa la regla

1 du 1−u2 dx

EJEMPLO 2 d ( x ) y = sen−1(x2) entonces y '= 1−(x2 )2 dx

1

y = sen−1(x2) entoncesy '=

1 1−(x2 )2

(2x) =

2x 1−x4

INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco seno

∫ ∫

1 1−x2 1 1−u2

dx= sen−1x +C dx= sen−1u +C

EJEMPLO

1

1 −1 dx sen 4x +C con u = 4 x = ∫ 2 4 1−16x

DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COSENO

DERIVADAS DE ARCO COSENO

y =cos−1 x entonces y ' =

−1 1−x2

Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir

y =cos−1u(x) entonces y ' =

u(x)

diferenciable se usa la regla

−1 du 1−u2 dx

EJEMPLOS

−1

3 d ( 4 x ) y =cos−1(4x3) entonces y ' = 1−(4x3 )2 dx

d (4 x3 ) −1 = y'= 12 x 2 1−(4 x3 ) 2 dx 1−16 x 6 1

y = cos−1( 5x+3) entonces y '= y' =

−1

5x 1−( 5x+3)2 2 5x+3

5x 1 −5 x =' = 1−(5x +3) 2 5x +3 1−( 5x +3 ) 2 2 5x +3 −1

INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS

A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arcocoseno

∫ ∫

−1 1−x2 −1 1−u2

dx= cos−1 x +C dx= cos−1u +C

DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO TANGENTE

DERIVADAS DE ARCO TANGENTE

y = tan−1 x entonces y '=

1 1+x2

Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir

y = tan−1 u( x) entonces

y '=

EJEMPLO

y = tan −1(2 x3 − 4 x)

y '=

1 (6 x 2 − 4) 3 2 1+ (2 x − 4 x)

u(x)

diferenciable se usa la regla

1 du ( ) 2 1+u dx

INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco tangente

1 dx = tan −1 x + C ∫ 2 1+ x ∫

1 dx = tan −1 u + C 2 1+u

1 dx = 1 tan −1 3x + C ∫ 1+ 9x 2 3

con

1 dx = 1 tan −1 5 x + C ∫ 2 5 1+ 25 x

u = 3x

con

u = 5x

DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COTANGENTE DERIVADAS DE ARCO COTANGENTE

−1 y =cot−1 x entonces y '= 2 1+x

Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir

y = cot −1 u( x) entonces EJEMPLO

y '=

u(x)

diferenciable se usa la regla

−1 du ( ) 2 1+u dx

y = cot −1(6 x + 2) entonces

y '=

−1 (6) 2 1+ (6 x + 2)

INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS

∫

−1 dx = cot −1 x + C 2 1+ x

DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO SECANTE DERIVADAS DE ARCO SECANTE

y = sec−1 x entonces

y '=

y = sec−1 u( x) entonces

1 x x 2 −1

y '=

1

du ) 2 u( x) u( x) −1 dx (