Funciones Reales
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Grupo Matagalpino de e Matemáticas "Los Karamazov" Jolman Enrique López José A. Siles R. Gerardo Manuel García
1
Funci uncion ones es Real Reales es 1. Al evalu evaluar ar la funció función n lineal lineal f (x) = 23 x + f (x) es. a)
1 2
b) 1
c)
1 2
en x = 34 se obtiene que
7 6
d) 0
Solution Solution 1
Sustituimos el valor de x en la función dada:
3 4
f ( )
R. 2.
2 3 1 = ( ) + 3 4 2 1 1 = + 2 2 = 1
b)
Los interceptos de la función lineal f (x) = 2x 6 con el eje x y con el eje y; 1. respectiv respectivamen amente, te, son los puntos:
a) (0; 6) y (3; 0)
b) (0; 6) y (3; 0)
c) (0; 0) y (3; 6)
d) (3; 0) y (0; 6)
Solution Solution 2
Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0 ; en la función dada :
0 = 2x 6 2x = 6 6 x = 2 x = 3 Así el punto es (3; 0) Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0 ; en la función dada: y y y
= 2(0) 6 = 06 = 6
El punto es (0; 6) Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0; 6) a) R.
1
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3.
La preimagen de y = 3, bajo la función f (x) = 7 3x es:
a) x =
10 3
3 b) x = 10
c) x = 10 3
d) x = 0
Solution Solution 3
Sustituimos el valor de y en la ecuación dada:
3 = 7 3x 3x = 7 + 3 3x = 10 10 x = 3 R. 4.
a)
La regla de asignación asignación de la función función que pasa por los puntos puntos (1; 3) y (2; 8) es:
a) f (x) =
2 3
x
11 3
b) f (x) = 11 x+ 3
2 3
c) f (x) = 2x 11
d) f (x) =
11 3
x+
Solution Solution 4
La regla de asignación es dada por: f (x) = mx + b; donde m es la pendiente, así:
m
=
m
=
m
=
m
=
y2 y1 x2 x1
8 (3) 2 (1) 8+3 2+1 11 3
Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así: f (x)
8 b b b
= mx + b 11 = (2) + b 3 22 = 8 3 24 22 = 3 2 = 3 2
2 3
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11 3
La regla de asignación es: f (x) = d) R. 5.
x+
2 3
En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal $1000 y la de tiempo medido en años S = P (1 + rt ): Si el capital es P = C $1000 tasa anual de interés es r = 4% ; entonces la cantidad devengada S pasado 15 años es: a) $61000
b) $1600
c) $7000
d) $16000
Solution Solution 5
Sustituimos los valores dados en la función: S = P (1 + rt ) S =
1000[1 1000[1 + (0:04)(15)] S = 1000 1000(1 (1 + 0:6) S = (100 (1000) 0)(1 (1:6) S = 1600 R. 6.
b) Sea h una función lineal tal que h(2) = 5 y h(6) = 3 ; la función h(x); donde x es cualquier número real está de…nida por:
a) h(x) = 5x + 3
b) h(x) =
9 2
x+
1 4
c) h(x) = 2x + 6
d) h(x) = 14 x +
Solution Solution 6
Según los datos, datos, tenemos tenemos dos puntos: A(2; 5) y B (6; 3);la función buscada es del tipo f (x) = mx + b: Hallamos el valor de m :
35 6 (2) 2 m = 6+2 2 m = 8 1 m = 4 m
=
3
9 2
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Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B (6; 3) : b b b b b
= f (x) mx 1 = 3 ( )(6) 4 3 = 3+ 2 6+3 = 2 9 = 2
La función es de…nida por: f (x) = d) R. 7.
1
4x
+
9 2
Se f una función de números tal que f (2) = 3; y f (a + b) = f (a) + f (b) + ab; 8a;b:Entonces, f (11) es igual a: a) 22
b) 33
c) 44
d) 66
Solution Solution 7
Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f (4): f (4)
= f (4) = f (4) = f (4) =
f (2 + 2) f (2) + f (2) + (2)(2)
3+3+4 10
Ahora hallamos el valor de f (6) : f (6)
= f (6) = f (6) = f (6) =
f (4 + 2) f (4) + f (2) + (4)(2)
10 + 3 + 8 21
Ahora hallamos el valor de f (10) : f (10)
= f (6 + 4) f (10) = f (6) + f (4) + (6)(4) f (10) (10) = 21 + 10 + 24 f (10) = 55 Para hallar f (11); debemos encontrar el valor de f (1);así:
4
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f (2)
= 3 = 31 = 2 =
f (1) + f (1) + (1)(1)
2f (1) + 1 2f (1) 2f (1) 2 f (1) = 2 f (1) = 1
Así: f (11)
= f (10) + f (1) + (10)(1) f (11 11)) = 55 + 1 + 10 f (11) = 66 R. 8.
d)
Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). años). Si la estatura estatura de cierto infante es de 48 pulgadas pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los 7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene:
a) y (t) = 33 2:5t
b) y (t) = 2:5t + 33
c) y (t) = 33t 2:5
d) y(t) = 2:5t 33
Solution Solution 8
Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx + b; y además nos dan dos puntos: A(6; 48) y B (7; 50:5): Hallamos el valor de m : 50:5 48 76 m = 2:5 m
=
Usamos el punto A(6; 48), 48), para hallar el valor de b : y(t)
48 48 b b
= = = = =
mx + b
(2:5)(6) + b 15 + b 48 15 33
La función buscada es y (t) = 2:5t + 33 R. b) 5
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9.
Sabiendo que f (0) = 1 y f (1) = 0; determine la función lineal f (x) y el área acotada por dicha función y los ejes X;Y: a) f (x) = x 1; 2u2 c) f (x) = x + 1; 0:5u2
b) f (x) = x 1; 0:25u2 d) f (x) = x + 1; 2u2
Solution Solution 9
La función buscada es del tipo: f (x) = mx + b; según los datos tenemos los puntos: A(0; 1) y B (1; 0); hallando m :
01 10 1 m = 1 m = 1 m
=
Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) :
= mx + b 1 = (1)(0) + b 1 = b
y
La función buscada es: f (x) = x + 1 Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: formando un triángulo de base 1u: Así:
R.
A
=
A
=
A
=
1 bxh 2 1 (1)(1) 2 1 2 u 2
c)
6
A(0; 1) y B (1; 0);
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10.
Al evaluar la función cuadrática f (x) = que su imagen vale: a)
1 2
b) 1
2 3
x2 +
1 2
en x =
1 8
c)
d)
6x
3 4
se obtiene
1 4
Solution Solution 10
Sustituimos el valor de x en la función dada: f ( f ( f ( f ( f (
R. 11.
3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4 3 ) 4
2
=
=
=
2 3 1 + 3 4 2 2 9 1 + 3 16 2 3 1 + 8 2 3+4 8
=
1 8
=
c)
Los interceptos de la función cuadrática g (x) = y con el eje y; respectivamente, son los puntos:
a) (1; 0) y (5; 0)
b) (1; 0) y (5; 0)
x2
c) (0; 0) y (1; 5)
Solution Solution 11
Interceptos con el eje x, hacemos y = 0
0 x2 + 6 x + 5 (x + 5)(x + 1) x+5 x+1
x2 6x 5
= = = = =
0 0 0 0
!
x=
!
x=
Los interceptos en el eje x son: ( 1; 0) y ( 5; 0) Interceptos con el eje y , hacemos x = 0 :
y y y
= (0)2 6(0) = 0 0 5 = 5
El intercepto con el eje y es en (0;
5)
7
5
5 1
5 con el eje x
d) (3; 0) y (1; 5)
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12.
El dominio y el rango de la función cuadrática f (x) = tivamente:
a) R y (2; 6)
b) R y (1; 6]
2x2 + 6 son respec-
c) (2; 0) y (1; +1)
d) [6 ; +1) y [2 + 1)
Solution Solution 12
La grá…ca de la función f (x) =
2x2 + 6; es como se muestra:
y
10
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-5
-10
Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de k = f (x); el cual tiene como abscisa x = 0 ; por lo cual: y y y
= 2(0)2 + 6 = 0+6 = 6
Así, el rango es: (1; 6] b) R.
8
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13.
Dada la función f (x) = ax2 + bx + c; el valor de f ( 2ba ) es: a) c
2
b 4a
b) c2
2
b 4a
c) c
2
b 4a
d) c +
2
b 4a
Solution Solution 13
Evaluamos 2ba en la función dada: f (x) f f f f f f
2 2 2 2 2 2
f
R. 14.
= ax2 + bx + c 2
+ + 2 2
b a
= a
b a
= a
b a
=
b2 b2 +c 4a 2a
b a
=
b2 2b2 + 4ac 4a
b a
=
b a
=
b 2a
b a
b2 4a2
b a
b
c
b2 +c 2a
b2 + 4ac 4a 2 4ac b + 4a 4a
= c
b2 4a
c)
Dada las parábolas x2 3x + 1 y x2 + 2x + 7; la distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es: a) 8:2345
b) 9:2635
c) 7:2635
d) 8:2635
Solution Solution 14
Los puntos pedidos en las curvas curvas son los vértices. vértices. Las coordenadas coordenadas de éstos b están dadas por h = 2a y k = f (h): Así para x2 3x + 1; h1 y k1 valen: h1
=
(3) 3 = 2(1) 2 2
k1
=
k1
=
k1 k1
3 3 3
2
9 9 +1 4 2 9 18 + 4 = 4 5 = 4 9
2
+1
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El vértice de esta función es: V 1 ( 32 ; 54 ) Ahora hallamos h2 y k2 para x2 + 2x + 7 :
2
h2
=
k2
= (1)2 + 2(1) + 7 = 1 + 2 + 7 = 8
k2 k2
2(1)
=1
El vértice de esta función es: V 2 (1; 8) Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: d(V 1 ; V 2 )
=
d(V 1 ; V 2 )
=
d(V 1 ; V 2 )
=
d(V 1 ; V 2 )
=
p s s s r r r
(x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 (1
3 2 5 ) + 8 ( ) 2 4 2
23 2 1 2
2
+
32 + 5 4
37 + 4
2
2
2
1 1369 + 4 16 4 + 1369 d(V 1 ; V 2 ) = 16 1373 d(V 1 ; V 2 ) = 16 d(V 1 ; V 2 ) 9:2635 d(V 1 ; V 2 )
R. 15.
=
b)
Las funciones lineales de…nidas de…nidas por f 1 (1) = 0 ; f 1 (0) = 1 y f 2 (1) = 0 ; f 2 (0) = 1 ; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dicho triángulo es: a) 1:25u2
b) 0:75u2
c) 1u2
d) 1:5u2
Solution Solution 15
Las coordenadas según f 1 (1) = 0; f 1 (0) = 1 y f 2 (1) = 0; f 2 (0) = 1: Son los puntos: A(1; 0); B (0; 1) y C (1; 0); (0; 1) El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X , tiene como base 2u y altura 1u:
10
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Entonces: b h
=
A
2 (2u)(1u) A = 2 A = 1u2 R. 16.
c)
Las preimágenes de y = 5 bajo la función f (x) = x2 a) x = 8
p
10
b) x = 4
4x 1 son: p p c) x = 2 10 d) x = 1 10
p
10
Solution Solution 16
Evaluamos y = 5 en la función: y = x2
x2
4x 1 4x 1
5 = x2 4x 6 = 0 ( 4) x1 2 =
;
x1 2
=
x1 2
=
;
;
17.
x1 2
=
x1 2
= 2
;
R.
4 4
;
p
(4) 4(1)(6) 2(1) p 4 16 + 24 2
p 2
40
2 2 10 2 10
p
p
c)
La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos ( 3; 20);( 1; 4) y (2; 5) es:
a) f (x) = 3x2 x + 5 c) f (x) = x2 4x 1
11
b) f (x) = 3x2 + 5x d) f (x) = 4x2 + 23
1
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Solution Solution 17
La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos: Resolvemos:
8< 9a 3b + c = 20 (1) : a4a+b 2+b c+=c 4= 5 ((32)) 8< 9a 3b + c = 20 : 6ab b3c+=c =214 Eliminando a 8< a b + c = 4 : 96ab33bc+=c =2120 Ordenando 8< a b + c = 4 Eliminando a : 66bb 83cc == 16 8< a b + c = 421 : 6b 5c8=c =516 Eliminando b De lo anterior se puede ver que c =
5 5
= 1, y
6b 8c 6b 8( 8(1) 6b + 8 6b 6b
= = = = =
b
=
ab+c
= = = = = =
a (4) + ( ( 1) a+41 a+3 a a
16 16 16 16 8 24 24 = 4 6 4 4 4 4 43 1
La expresión buscada es: y y
R.
= (1)x2 + ( (4)x + ( (1) = x2 4x 1
c)
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18.
El vérti vértice ce y el rango rango de la funció función n cuadrá cuadrátic tica a que pasa por los puntos puntos (2; 53); (0; 5) y (2; 29) es:
a) (2; 3) y (1; 5
b) (2; 3) y (1; 3
c) ( 13 ; 4) y [4; 1)
d) (2; 3) y [2; 1)
Solution Solution 18
Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: y = ax2 + bx + c Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos:
8< 4a 2b + c = 53 : c 4=a 5+ 2b + c = 29 8< 4a 2b + c = 53 : c4b==5 24
(1) (2) (3)
Eliminando a y c
De lo anterior se puede ver que c = 5 y b = 6: Así:
4a 2b + c = 53 4a 2(6) + 5 = 53 4a + 12 + 5 = 53 4a + 17 = 53 4a = 53 17 4a = 36 36 a = 4 a = 9 La ecuación de la parábola buscada es: y = 9 x2 6x + 5: El vértice de esta función es dado por V (h; k ); donde h = entonces:
=
h
=
1 3
k k
b 2a
6 2(9)
h
k
1 1 = f (h) = 9( )2 6( ) + 5 3 3 = 12+5 = 4
Por lo que el vértice V es: V ( 13 ; 4) Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4; 1) c) R. 13
y k = f (h);
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19.
Al expresar la función cuadrática f (x) = 3x2 + 24x + 50 en la forma f (x) = a(x h)2 + k; resulta:
a) f (x) = 5(x + 3)2 7 c) f (x) = 3(x + 3)2 + 3
b) f (x) = 3(x + 4)2 + 2 d) f (x) = 3(x 4)2 2
Solution Solution 19
Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f (x) = 3x2 + 24x + 50 a cero: 3x2 + 24x + 50 3x2 + 24x 9x2 + 72x 9x2 + 72x + 144 9(x2 + 8x + 16) 9(x + 4)2 3(x + 4)2
= 0 = 50 = 150 = 150 + 144 = 6 = 6 = 2
2
3(x + 4) + 2 = 0 f (x) = 3(x + 4)2 + 2 R. 20.
b)
La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está relacionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula y = cx(21 x); donde c es una constante positiva y 0 < x < 21: El peso con el que se presenta la máxima rapidez es:
a) 12 libras
b) 11 libras
c) 11:5 libras
d) 10:5 libras
Solution Solution 20
y = 21cx cx2 : Aquí: a = c y b = 21c: La La fórmula y = cx(21 x) máxima rapidez se presenta en k = f (h); o sea en f ( 2ba ); así:
!
f (
b 2a
=
21c 21 = 2( c) 2
21 ) = f (10:5) 2
De lo anterior se puede ver que x = 10 :5 d) R.
14
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21.
El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v millas por horas, está dado por M = 1 v 2 + 52 v; para 0 < v < 70: El valor máximo de M es: 30 a) 40 millas
b) 46:875 millas
c) 50 millas
d) 60 millas
Solution Solution 21 1 El valor máximo de M se da en k = f (h); o sea en f ( 2ba ); siendo a = 30 y b = 52 ; entonces:
b 2a
b 2a b 2a b 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a b f ( ) 2a R. 22.
= =
5 2 1 2 30
5 2 1 15
= = = = = =
5 15 2 1 75 2 1 75 5 75 ( )2 + ( ) 30 2 2 2 1 5625 375 + 30 4 4 187:5 375 + 4 4 187:5 4
= 46:875
b)
Sabiendo que f (x) es una función cuadrática y f (2) = 5 ; f (2) = 5; y f (0) = 1; determine dicha función:
a) f (x) = x2 2x + 1
b) f (x) = x2 + 1
c) f (x) = x2 2x 1
d) f (x) = x2 1
Solution Solution 22
(0; 1): UtiDe los valores dados, tenemos los puntos: A(2; 5); B (2; 5) y C (0 2 lizando la forma general de la función cuadrática: y = ax + bx + c: Formamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:
15
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8< 4a + 2b + c = 5 : c4=a 1 2b + c = 5 8 4a + 2b + c = 5 < : 4cb==10
(1) (2) (3) Eliminando a y c
Como 4b = 0 ; entonces b = 0 ; así:
4a + 2(0) + 1 4a + 1 4a 4a a a
= = = =
5 5 51 4 4 = 4 = 1
La ecuación buscada es: y = x2 + 1: b) R. 23.
Dadas las parábolas f (x) = x2 1 y f (x) = x2 + 1; determine los valores de x que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichas grá…cas.
a) f1 f1 < x < 1g
b) f1 f1 x 1g
c) f2 f2 < x < 2g
d) f2 f2 x 2g
Solution Solution 23
Gra…camos ambas parábolas: La grá…ca de y = x2 1; es:
y
2 1
-2
-1
1 -1 -2 -3
La grá…ca de y = x2 + 1; es: 16
2
x
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y
3 2 1
-2
-1
1 -1
2
x
-2
Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: (1; 0) y (1; 0): Así, los valores de x pertenecien pertenecientes tes a esta región son: f1 f1 x 1g b) R. 24.
Al evaluar la función valor absoluto f (x) = jx 3j en x = 7 se obtiene que su imagen vale:
a) 10
b) 4
c) 10
d) 4
Solution Solution 24
Evaluamos f (x) = jx 3j en x = 7 : f (x) f (7) f (7) f (7) f (7)
R. 25.
= = = = =
jx 3j j(7) 3j j7 j7 3j j10 j10jj 10
c)
Los intersectos de la función cuadrática g (x) = jxj j x 3j con el eje x y con el eje y; respectivamente, son los puntos:
a) ( 32 ; 0) y (0; 3)
b) (1:5; 0) y (3; 0)
c) (0; 2) y (0; 3)
d) (3; 0) y (0; 2)
Solution Solution 25
Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jaj = b $ a = b a = b: Haciendo g(x) = y = 0 ; obtenemos el intersecto con el eje x:
17
ó
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0 = jxj jx 3j jxj = jx 3j x = jx 3j x = x 3 ó x = x + 3 De x = x + 3; se tiene x+x = 3 2x = 3 3 x = 2
Aplicando propiedad
Así, el punto de intersección con el eje x es: ( 32 ; 0) Haciendo x = 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con el eje y : y y y y y
= = = = =
j0j j0 j 0 3j 0 j0 j0 3j j3 j3j (3) 3
El punto de intersección con el eje y es: (0; 3) Los puntos buscados son: ( 32 ; 0) y (0; 3): a) R. 26.
Las preimágenes preimágenes de y = 2 bajo la función f (x) = j3x 11j 11j 5 son: a) x = 4 ; x = 8
b) x = 43 ; x = 6
c) x =
4 3
;x =6
d) x = 4 ; x = 6
Solution Solution 26
Evaluamos f (x) = y = 2 en la función dada:
2 2+5 7 7 7 + 11 3x
= = = = = =
j3x 11j 11j 5 j3x 11j 11j j3x 11j 11j 3x 11 ó 7 = (3x 11) Aplicando propiedad de ejercicio 25 3x 7 = 3x + 11 18 7 11 = 3x 18 x = 3x = 4 3 4 4 x = 6 x= = 3 3
Las preimágenes buscadas son: x = 6 y x = c) R. 18
4 3
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27.
El dominio y el rango de la función valor absoluto f (x) = jxj jx + 3j 3j son respectivamente:
a)(1 )(1; 3] y (1; 3]
b) [1; +1] y (3; 3]
c)(1 )(1; +1) y (3; 3)
d)(1 )(1; +1) y [3; 3]
Solution Solution 27
Gra…cando la función y = jxj jx + 3j 3j ; se tiene: 3
y
2 1 -4
-2
2
4
-1
x
-2 -3
De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. Para Para el cálcul cálculo o del rango usamos usamos la propie propiedad dad:: jaj = b $ a = b a = b; y hacemos y = 0 :
0 jx + 3j 3j x x x 2x x
= = = = =
jxj jx + 3j 3j jxj x+3 3 3 3 = 2
Evaluamos algunos valores de x :
= Para x = Para x = Para x = Para x
1 ! y = j1j j1 + 3j 3j = 1 4 = 3 1 ! y = j1 j1j j 1 1 + 3j 3 j = 1 2 = 1 4 ! y = j4 j4j j 4 4 + 3j 3j = 4 1 = 3 4 ! y = j4j j4 + 3j 3j = 4 7 = 3
Consideramos entonces los números y = 3 y y = 3: Así: i)x
3 ! jxj jx + 3j 3j = x (x + 3) = x x 3 = 3 ii)x < 3 ! jxj jx + 3j 3j = x [(x + 3)] = x + x + 3 = 3 19
ó
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Así, se puede ver que el rango es: [3; 3] Por lo cual, lo que se pide es: (1; +1) y [3; 3] : d) R. 28.
El vértice y el rango de la función valor absoluto f (x) = jx + 1j 1j + 3 son:
a)(1; 1) y (1; 4]
b)( )(1; 3) y (1; 3]
c)( )(1; 3) y [3 ; +1)
d)( )(1; 3) y [3 ; +1)
Solution Solution 28
Presentamos a continuación la grá…ca de la función y = jx + 1j 1j + 3
y
4 3 2 1
-5
-4 -4
-3 -3
-2 -2
-1 -1
1 -1
2
3
4
5
x
-2 -3
De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en y = 3; así: y
3 33 0 0 x
= = = = = =
jx + 1j 1j + 3 jx + 1j 1j + 3 jx + 1j 1j jx + 1j 1j x+1 1
El vértice de la función es V (1; 3); también puede verse que el rango es:
(1 ; 3] R.
b)
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29.
Si expresamos la función f (x) = jjxj 2j sin el símbolo de valor absoluto, resulta:
2 2 ( )= 8> 2 2 2 2 < 2 2 ( )= >: 2 2+ 0 2 2 0 x
a) f x
c) f x
j j2 ( )= 2j j +2
; si x x; si < x ; si x x ; si x x; si x< x; si 2 2 < 2 2 ( )= >: 2 2+ 0 2 2 0
Así, puede verse que: f x R.
c)
x x
; si x ; si x x; si x< x; si
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