Funciones Reales de Variable Vectorial

FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL DEFINICIÓN: Es una correspondencia de un conjunto A de vectores de  , a un conjunto B de números reales, y lo denotamos por  :  ⊆  →  ⊆  , tal que, para cada vector ⃗=

 , ,  , … ,   ∈ , existe uno y solo un elemento    ⃗ ∈ . Aquí a los elementos de   los veremos como vectores y el valor real de la función f

⃗ se denota por  =  ,  ,  , … ,   entonces  =  

CURVAS DE NIVEL: Dado el campo escalar  :  ⊆  →  se define la curva de nivel de valor “e” al

 ,  ∈ , tales que    ,  = . conjunto de puntos  , Las curvas de nivel son líneas que están en el dominio de definición D, esto es en el  plano . Por ejemplo: sea  ,  = 16 −  −    hallar las curvas de nivel para un valor de  = 7 .

Solución:

 = 16 −   −   =7 → 7 = 16 −   −    +  = 9

GRADIENTE: I.

Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial ∇ definida por:

∇,  = 〈  , ,  ,〉 =

    +    



El gradiente ∇es perpendicular a la curva de nivel en  P .

Suponga que ,  =  es la curva de nivel de la función diferenciable de dos variables  =

 , que pasa por un punto especificado ,   esto es, el número c se define mediante  (,  ) = . 

Propiedades del gradiente: 1. Si ∇,  = 0, entonces  ,  = 0 para todo u. 2. La dirección de máximo incremento de f está dada por ∇, . 3. La dirección de mínimo incremento de f está dado por −∇, .

La función f de tres variables  , , , el vector gradiente denotado por ∇ es:

II.

∇ = 〈  ,,,  ,,,  ,,〉 = 

      +   +    

El gradiente ∇es normal a la superficie de nivel en  P.

Sea  ,, una superficie de nivel que pasa por un punto  ,  ,  . Las funciones diferenciables de esa función son:  = ,  = , =  son las ecuaciones  paramétricas de una curva c, entonces  ( , , ) =   con respecto a t es 0. Cuando  ´  ≠ 0 el vector gradiente ∇ es ortogonal al vector tangente  ´ .

Ejemplo: Hallar el gradiente de la función  ,  = 25 − 3  − 4   en el punto (1,2).

 −3 ,  =   25 − 3  − 4  −4 ,  =   25 − 3  − 4   1,2 = √ 6  √ 6 1,2 = −  2  4√ 6 1,2 = −  3 ∇1,2 = 〈−

√ 6 4√ 6 〉 ,− 2 3

DERIVADA DIRECCIONAL:

Si me desplazo 1 en la dirección de i ∆ = 1 ¿en cuánto varia z aproximadamente?  x , y    

∆ =  + 1,   − x, y 

Si me desplazo 1 en la dirección de j ∆ = 1 ¿en cuánto varia z aproximadamente?  x , y    

∆ =  ,  + 1 − x , y 

Si me desplazo ∆ en la dirección i ¿en cuánto varia z?  x , y .∆   

Si me desplazo ∆ en la dirección j ¿en cuánto varia z?  x , y .∆   

EJEMPLOS: ¿En cuánto se incrementa z cuando x varia de 0.5 a 0.65?. Mantenga y fijo en y = 1. Forma exacta:

∆ =   + ℎ,   − x , y  ∆ = 0.5 + 0.15, 1 − 0.5,1 ∆ = −0.345 Forma aproximada:  0.5,1 = 

−40.5 = −2

∆

∆

1

-2

0.15

??

??= −0.30

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Sea z = fx, y una superficie y Px , y  un Punto en el dominio f. La “dirección” de la derivada direccional está dada por un vector unitario

 = cos   +    Entonces la derivada direccional f en la dirección del vector unitario  = cos   +   

 ,  =  ,  cos +  ,  