FUNCIONES-HIPERBOLICAS

Capítulo 1

Funciones hiperbólicas 1.1. 1.1.

Funcion unciones es hiperbólic hiperbólicas as direct directas as e invers inversas as

A causa de la semejanza que existe entre la circunferencia y la hipérbola, se plantea la cuestión de si habrá un conjunto de magnitudes o funciones que se correspondan con la hipérbola de la misma manera que las funciones circulares se corresponden con la circunferencia. Esas funciones existen y se denominan funciones hiperbólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola. En la figura, se ha dibujado un cuadrante M N P  de la circunferencia x2 + y 2 = a2 y de la hipérbola

x2 y2 = a2 , y para un punto cualquiera P  de ambas curvas la abscisa es x = 0Q, la ordenada es y = QP  y el radio es a = 0 M . En el caso de la circunferencia, cuando θ es el ángulo circular Q0P ,

−

las funciones circulares son: Senθ =

y , a

C os osθ =

x , a

etc.

Análogamente, una vez definido convenientemente el ángulo hiperbólico ϕ, las funciones hiperbólicas son: y x Senhϕ = , Cos Coshϕ = , etc. a

a

Sin embargo, como el ángulo hiperbólico no es el ángulo ordinario Q0P  deberemos proceder a su definición. Con este objeto comenzaremos por desarrollar una importante propiedad de la circunferenci cunferencia. a. Designemos Designemos por u el área del sector circular M 0P . Puesto que el área de un círculo es igual a 12 (radio longitud de la circunferencia) circunferencia), el área de un sector circular será igual a

·

1

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS  1 2 (radio

2

· longitud del arco), siendo el arco aquella parte de la circunferencia que limita al sector.

Por lo tanto, en la figura

1 a(arcoMP ). 2 Pero cuando θ = ∠M 0P , se verifica que arcoMP  = aθ. Por consiguiente, reaA =

A=

1 2A a(aθ), donde θ = 2 2 a

(1.1)

Es decir, que en toda fórmula cuando aparece un ángulo circular se puede sustituir por el área del sector correspondiente al ángulo multiplicada por a1 . Por este motivo se llama a veces a A ángulo sectorial, y la magnitud theta expresada en función de A por medio de la relación θ = 2aA es el correspondiente ángulo circular. 2

2

Utilizando el ángulo circular así expresado, las funciones circulares de la circunferencia serán, pues, y = Sen 2aA a x = Cos 2aA a



2

2

En el caso de la hipérbola, no se usa el ángulo ordinario M 0P , y el ángulo hiperbólico se define como 2aA , en que A es el área del sector hiperbólico M 0P  de la figura y a = 0M . Las funciones hiperbólicas quedan entonces definidas por las fórmulas 2



y a x a

= Senh 2aA = Cosh 2aA 2

(1.2)

2

en las que x y y son las coordenadas de un punto P  de la hipérbola equilátera. Las demás funciones hiperbólicas se definen como sus análogas de trigonometría circular y entre ellas existen las mismas relaciones como, por ejemplo, Tanhϕ =

Senhϕ , Coshϕ

C otϕ =

Coshϕ , Senhϕ

etc.

Si recordamos que al hablar del ángulo hiperbólico correspondiente a un determinado punto P  de la hipérbola equilátera, no nos referimos al ángulo ordinario M 0P  como en el caso de la circunferencia, sino el ángulo hiperbólico, podremos escribir, como en (1.1) para la circunferencia, para el ángulo hiperbólico correspondiente al área A del sector: ϕ=

2A a2

(1.3)

y las fórmulas (1.2) se pueden escribir



y a x a

= Senhϕ = Coshϕ

(1.4)

que corresponden a las fórmulas corrientes de las funciones circulares. El resto de las funciones hiperbólicas se expresan en función del radio a y de las coordenadas x y y , por medio de las relaciones ya conocidas. Existen muchas, interesantes y útiles relaciones entre las funciones hiperbólicas, cuyo conjunto forman lo que a veces se llama trigonometría hiperbólica. Las funciones exponenciales e hiperbólicas, están estrechamente relacionadas, tienen enorme importancia en electricidad, principalmente

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

3

en telefonía, telegrafía, cables de transmisión, y también en la teoría de la máquina de vapor, motores de gasolina, compresores de aire, y en muchas otras ramas de la física y de la físico-química. Como vamos a ver ahora, las funciones hiperbólicas están estrechamente relacionadas con el número e. El área A = M 0P M  en el caso de la hipérbola equilátera, está dada por 1 A = a2 loge 2

  x+y a

De aquí, loge

  x+y a

y según la fórmula (1.2), resulta

=

2A a2

x+y =e a

⇒

2A a2

x+y = eϕ a

(1.5)

Ahora bien, la ecuación de la hipérbola es 2

x

−y

2

   − ⇒ x+y a

2

=a

x

y

a

=1

Si dividimos miembro a miembro esta ecuación y la (1.5), se obtiene x

1

−y =

eϕ

a

⇒

x

−y = e

−ϕ

a

Esta ecuación y la (1.5) se pueden escribir: x y + = eϕ a a x a

− ya = e

−ϕ

Restando miembro a miembro (1.7) de (1.6), los términos 2y a

= eϕ

−ϕ

−e

(1.6)

⇒

(1.7) x a

1 y = (eϕ 2 a

se reducen, y se obtiene −ϕ

−e

)

(1.8)

Análogamente, sumando miembro a miembro las ecuaciones (1.6) y (1.7) se obtiene 1 x = (eϕ + e−ϕ ) 2 a

(1.9)

Ahora bien, en las ecuaciones (1.8) y (1.9) y en las ecuaciones (1.4), x y y son las mismas coordenadas de un punto P  de la hipérbola y a es el radio hiperbólico. Comparando esas ecuaciones, tendremos Senhϕ = 12 (eϕ e−ϕ ) (1.10) Coshϕ = 12 (eϕ + e−ϕ )



−

y mediante estas ecuaciones podremos, gracias a las relaciones ya conocidas, expresar también la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas en función de las funciones exponenciales. Estos son los resultados que buscábamos al investigar las relaciones que existen entre las funciones hiperbólicas y el número e.

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

4

Gracias a estas ecuaciones podremos expresar directamente las funciones hiperbólicas de un número cualquiera, en función de las funciones exponenciales, sin hacer ninguna referencia a la hipérbola, y eso es lo que se suele hacer frecuentemente. Hay que sobrentender, sin embargo, que la relación hiperbólica, se use explícitamente o no, es la base de las ecuaciones. Despejando en las ecuaciones (1.10) eϕ y e−ϕ , se pueden expresar también las exponenciales en función de las funciones hiperbólicas. En efecto, sumando primero las dos ecuaciones se eliminan las exponenciales negativas, y restando la primera de la segunda, se eliminan los términos positivos, teniendo así los resultados eϕ = Coshϕ + Senhϕ (1.11) e−ϕ = Coshϕ Senhϕ



−

Esas dos notables fórmulas dan la función exponencial e±ϕ en función de las funciones hiperbólicas.

1.1.1.

Función seno hiperbólico

El seno hiperbólico se define en

R,

con la fórmula f (x) =

1 x (e 2

−x

−e

)

Dado que

1 (−x) 1 1 x [e (e e−(−x) ] = (e−x ex ) = e−x ) = f (x) 2 2 2 la función f (x) = Senhx es impar, monótona creciente desde hasta + . El origen de coordenadas es un punto de inflexión y el centro de simetría de la curva. No tiene asíntotas. La inversa de f (x) = Senhx, se establece de la siguiente manera: f ( x) =

−

−

−

− − −∞

−

∞

Figura 1.1: f(x)=Senhx y f(x)=AreaSenhx

1 y = (ex 2

−x

−e

de donde

)

⇒

2x

e

x

− 2ye − 1 = 0 ⇒

   

AreaSenhx = ln x +

Dado que

 ±   

x = ln y

1 + x2 , x

1 + y2

∈R

f ( x) = AreaSenh( x) =

−AreaSenhx = −f (x) la función f (x) = AreaSenhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de −

−

coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de la simetría de la curva. Carece de asíntotas.

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

Ejemplo

1.1

5

Determine el dominio de la siguiente expresión:

f (x) = Senh

2x2 4x2

− 1 − Sen x + 1 6x2 − x − 1 −1

Solución La expresión está determinada si se cumple lo siguiente: 4x2

− 1 = 0 ⇒

(2x

− 1)(2x + 1) = 0 ⇒ x = − 12

− 1)(3x + 1) = 0 ⇒ x = − 13 Por lo tanto, el dominio de la función es: x ∈ R\ − 12 , − 13 , 12 . 6x2

1.1.2.

− x − 1 = 0 ⇒

(2x



Función coseno hiperbólico

El coseno hiperbólico se define en

R,

1 2

y x=



y x=



1 2



con la fórmula 1 x (e + e−x ) 2

f (x) =

Dado que

1 −x 1 1 (e + e−(−x) ) = (e−x + ex ) = (ex + e−x ) 2 2 2 la función f (x) = Coshx es par; para x < 0 decrece desde + hasta 1, para x > 0 crece desde 1 hasta + . f ( x) =

−

∞

∞

Tiene un mínimo en el punto (0, 1): no tiene asíntotas. La curva está situada simétricamente con respecto al eje Y . La inversa de f (x) = Coshx, se establece de la siguiente manera:

Figura 1.2: f(x)=Coshx y f(x)=AreaCoshx

1 y = (ex + e−x ) 2

⇒

2x

e

− 2ye

x

+1=0

de donde

   − 

AreaCoshx = ln x +

x2

1 , x

≥ 1.

⇒

 ±   − 

x = ln y

y2

1

(AreaCoshx > 0es valor principal)

La expresión f (x) = AreaCoshx no es par ni impar, es biforme y existe sólo para los valores de x 1. La curva es simétrica con respecto al eje X ; en el punto (1, 0) es tangente a la recta vertical x = 1, después y crece en valor absoluto.

≥

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

Ejemplo

1.2

6

Demuestre la siguiente propiedad 

Cosh2 x

− Senh2x = 1

Solución 2

Cosh x

2

− Senh x

=



ex + e−x

= = Ejemplo

1.3

ex

−x

−e



2

2 2 −2x x −x e + 2e e + e e2x 2ex e−x + e−2x 4 4 2x + 2 x −x + −2x 2x + 2 x −x e e e e e e e e−2x 4 x −x 4e e = 1. 4 2x

=

2

 −

−

− −

−

Demuestre la siguiente propiedad 

Senh(x + y ) = SenhxCoshy + CoshxSenhy

Solución Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el Senhx y Coshx. ex e−x ey + e−y ex + e−x ey e−y + SenhxCoshy + CoshxSenhy = 2 2 2 2 ex ey + ex e−y e−x ey e−x e−y ex ey ex e−y + e−x ey e−x e−y = + 4 4 ex ey + ex e−y e−x ey e−x e−y + ex ey ex e−y + e−x ey e−x e−y = 4 2ex ey 2e−x e−y ex+y e−x+y = = = Senh(x + y ). 4 4

−

− −

−

Ejemplo

·

− −

− −

− −

· −

−

1.4

Demuestre la siguiente propiedad 

Senh2x = 2SenhxCoshx

Solución Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el Senhx y Coshx: −x

x

−x

x

· e −2 e · e +2e e e +e e −e e −e 2 e2 − e 2 = Senh2x.

2SenhxCoshx = 2

x −x

x x

=

−

x

=

1.1.3.

−x

x

x

2

Función tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica se define en

R,

de la siguiente manera:

f (x) =

ex e−x ex + e−x

−

−x −x

e

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

7

Dado que f ( x) =

−

e−x e−(−x) e−x ex = = e−x + ex e−x + e−(−x)

−

−

x

−x

x

−x

− ee −+ ee

=

−f (x)

la función f (x) = Tanhx es impar, monótona creciente desde -1 hasta + 1. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: y = 1. La inversa de f (x) = Tanhx, se establece de la siguiente manera:

±

Figura 1.3: f(x)=Tanhx y f(x)=AreaTanhx

ex e−x y= x e + e−x

−

⇒

de donde

2x

e

1+y = 1 y

1 x = ln 2

− ⇒

 

  1+y 1 y

−

1 1+x 1 < x < 1. AreaTanhx = ln , 2 1 x La expresión f (x) = AreaTanhx es impar y existe sólo para los valores de x < 1; desde hasta + es monótona creciente. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: x = 1.

−

∞

Ejemplo

1.5

−

||

−∞

±

Demuestre la siguiente propiedad 

Tanh(x + y ) =

Tanhx + Tanhy 1 + TanhxTanhy

Solución Para probar esta identidad, utilizaremos las fórmulas deducidas anteriormente para Senhx y Coshx: Sen (x + y) SenhxCoshy + CoshxSenhy = Tanh(x + y ) = Cosh(x + y) CoshxCoshy + SenhxSenhy = =

SenhxCoshy+CoshxSenhy CoshxCoshy CoshxCoshy+SenhxSenhy CoshxCoshy

1

Senhx + Senhy Coshx Coshy Senhx Senhy + Coshx Coshy

·

=

Tanhx + Tanhy . 1 + TanhxTanhy

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

1.1.4.

8

Función cotangente hiperbólica

La Cotangente hiperbólica se define en

\{0}, de la siguiente manera:

R

ex + e−x f (x) = x e e−x

−

Dado que f ( x) =

−

e−x + e−(−x) e−x + ex = = e−x ex e−x e−(−x)

−

−

x

−x

x

−x

− ee +− ee

=

−f (x)

la función f (x) = Cothx es impar, para x = 0 tiene una discontinuidad. Para x < 0 decrece desde -1 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta +1. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: x = 0, y = 1. La inversa de f (x) = Cothx, se establece de la siguiente manera:

−∞

∞

±

Figura 1.4: f(x)=Cothx y f(x)=AreaCothx

ex + e−x y= x e e−x

e

y+1 = y 1

1 AreaCotx = ln 2

 

−

de donde

⇒

2x

− ⇒

x+1 x 1

1 x = ln 2

  y+1 y 1

−

x>1 ó x<

−1 . La función f (x) = AreaCothx es impar y existe sólo para los valores de |x| > 1. Para −∞ < x < −1 decrece desde 0 hasta −∞, para +1 < x < +∞ decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: y = 0, x = ±1. Ejemplo

1.6

−

,

Demuestre la siguiente propiedad 

AreaCothx = AreaTanh

1 x

Solución Para probar esta identidad, se procede de la siguiente manera: 1 AreaCothx = ln 2

  x+1 x 1

−

1 = ln 2

1+ 1

1

  −

x

1

x

1 = AreaTanh . x

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

1.1.5.

9

Función secante hiperbólica

La Secante hiperbólica se define en

R,

de la siguiente manera:

f (x) =

Dado que

ex

2 + e−x

2 2 2 = = = f (x) e−x + ex ex + e−x e−x + e−(−x)

f ( x) =

−

la función f (x) = Sechx es par; para x < 0 crece desde 0 hasta 1, para x > 0 decrece desde 1 hasta 0. Tiene un máximo en el punto (0, 1). No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al eje Y . Tiene una asíntota: y = 0. La inversa de f (x) = Sechx, se establece de la siguiente manera:

Figura 1.5: f(x)=Sechx y f(x)=AreaSechx

2 y= x e + e−x

⇒

ye

2x

x

− 2e

+y =0

⇒

x = ln

 ±   −  1

1

y

y2

1

de donde AreaSechx = ln

    1

x

1

+

x2

−1

0 0es valor principal)

la función f (x) = AreaSechx no es par ni impar y existe sólo para los valores de 0 < x 0 < x 1 decrece desde + hasta 0. No tiene asíntotas.

≤

1.1.6.

∞

Función cosecante hiperbólica

La Cosecante hiperbólica se define en

\{0}, de la siguiente manera:

R

f (x) =

Dado que f ( x) =

−

2 −x

e

−(−x)

−e

=

2 ex

−x

−e

2 −x

e

−

ex

=

− e −2 e x

−x

=

−f (x)

≤ 1. Para

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

10

Figura 1.6: f(x)=Cschx y f(x)=AreaCschx

la función f (x) = Cschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0. La inversa de f (x) = AreaCschx, se establece de la siguiente manera:

−∞

∞

y=

2 ex

−x

−e

⇒

ye

2x

x

− 2e − y = 0 ⇒

de donde AreaCschx = ln

x = ln

    1

x

+

1

x2

+1 ,

 ±    1

1

y

y2

+1

x = 0.



la función f (x) = AreaCschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0.

−∞

∞

1.2. 1.

Tarea

Demuestre las identidades: a) Sech2 x + Tanh2 x = 1; b) Coth2 x Coth2 x = 1; c) SenhxSenhy = 12 [Cosh(x + y ) Cosh(x y )]; d) SenhxCoshy = 12 [Senh(x + y) + Senh(x y )]; e) CoshxCoshy = 12 [Cosh(x + y) + Cosh(x y)]; f) Senh(x y ) = SenhxCoshy CoshxSenhy; g) Cosh(x + y ) = CoshxCoshy + SenhxSenhy; h) Cosh(x y ) = CoshxCoshy SenhxSenhy.

−

−

− −

2.

− − −

− −

Demuestre las identidades: a) (Coshx + Senhx)n = Coshnx + Senhnx ; b) Coshnx = 12 [(Coshx + Senhx)n + (Coshx c) Senhnx = 12 [(Coshx + Senhx)n (Coshx

−

3.

n

− Senhx) ]; − Senhx) ]. n

Utilizando las igualdades Senhn x =

1 x (e 2n

−e

−x

)n ;

Coshn x =

1 x (e + e−x )n . 2n

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

11

Demuestre: a) Cosh3 x = 14 Cosh3x + 34 Coshx; 1 5 b) Senh5 x = 16 Senh5x 16 Senh3x + 58 Senhx.

−

4.

Simplifique las expresiones: a) (CosxCoshy + iSenxSenhy)2 (CosxSenhy + iSenxCoshy)2 ; b) (xCosht + ySenht)2 (xSenht + yCosht)2 .

−

−

5.

Demuestre las identidades: a) AreaCschx = AreaSenh x1 ; b)

6.

AreaSechx = AreaCosh x1 .

Demuestre la identidad: Cosh2x = Cosh2 x + Senh2 x = 2Cosh2 x

− 1 = 1 + 2Senh2x 7. Sea f (x) = AreaCoshx, x ≥ 1 una función inversa a f (x) = Coshx, x ≥ 0. Demuestre que la función 2Cosh , x ≥ 1, 3 f (x) = 2Cos −1 ≤ x < 1 . , 3 es inversa a la función f (x) = 12 (x3 − 3x), x ≥ 1.



8.

ArcCosx

Determine el dominio de las funciones: a) b) c) d) e) f) g) h)

9.

AreaCoshx

x + Senhx ; f (x) = 2 x + Cosh2 x

  −

1 x ; 1+x f (x) = Cosh(x + Senhx); f (x) = Tanh(AreaTanhx); 1 Senhx ; f (x) = 1 + Senhx f (x) = AreaTanh

  −

f (x) =

√ 1Tanhx ; + Senhx

x + Senhx ; f (x) = x + Coshx Cosh2x 1 ; f (x) = Cosx 1

i)

f (x) =

 j)

f (x) =

k) l) m) n)

− −

Determine la paridad de las funciones: (1 + Senhx)(1 + Coshx) a) f (x) = ; 3 + Tanh2 x 1 1 b) f (x) = + ; 1 + Senhx 1 + Cosh2 x c) f (x) = x3 Coshx + 3x2 Senhx; d) f (x) = SenhxCoshx + x(Senh2 x + Cosh2 x); CoshxSenx + CosxSenhx e) f (x) = ; 2 Cosh x

f) f (x) = SenxSenhx + CosxCoshx; g) f (x) = SenxSenhxCosxCoshx; h) f (x) = Senh2 (ln x) + Cosh2 (ln x); i) f (x) = SenhxCosh2 xTanh3 x;

    −

1 + Tanhx ; 1 Tanhx 1 + Senhx ;

Senhx √ Senhx + Coshx ; f (x) = 1 − Coshx 1 + xAreaTanhx √  − x2 ; f (x) = √ 1 −1Sechx ; f (x) = f (x) =

Coshx AreaSenhx

√ Senhx + Coshx .

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 

12

 j) f (x) = x3Senh2 x + x2Cosh2 x; k) f (x) = ( cosx + Coshx)(Senx + Senhx); l) f (x) = (2 + Cosh2 x)2 Senhx; m) f (x) = (x2 + 1)(Senh2x + 1)(Cosh2x + 1). 10.

Construir el gráfico de las funciones: a) b) c) d) e) f)

− √ 

f (x) = Tanhx x; f (x) = ln Cothx; Coshx ; f (x) = 1 Coshx f (x) = Tanh(x + Coshx); 1 Senhx ; f (x) = 1 + Senhx f (x) = Tanh(AreaTanhx);

− −

g) h) i)  j) k)

√ 

f (x) 1 + AreaT anhx; Senhx ; f (x) = x 1 e Senhx Coshx ; f (x) = Senhx + Coshx f (x) = 1 Senhx;

−

√  −

−

f (x) = AreaSenh

1 x2 . 1 + x2

− 