Funciones Exponenciales y Logaritmicas
December 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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12 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
P A R A
1
7
Expresa el número
3
E M P E Z A R
2
2 8 4 — — como potencia de base 2. 16 2
2
3
27 (23)3 (22) 27 83 4 2 (24)2 23 162 23
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 7
9
4
8
3
12 11
Calcula los siguientes logaritmos. a) log3 27 b) log5 625 c) log9 3 a) log3 27 3, ya qu quee 33 27 b) log5 625 4, ya qu quee 54 625 1 1 c) log9 3 , ya qu quee 92 9 3 2
3
Si log5
0,699, ¿cuánto ¿cuánto valdrá log 500?
log500 log 500 log log(5 (5 100) log5 4
log 100
0,699 2
2,699
La superficie de un bosque en un parque natural se duplica cada 50 años. Si actualmente es de 3 kilómetros cuadrados, ¿cuál será dentro de dos siglos? 3 24 3 16 48 La superficie dos siglos después será de 48 kilómetros cuadrados.
La función exponencial b x (b 1) P A R A
P R A C T I C A R
12.1 Calcula los valores que toman las funciones f y g para x f ( x x ) 3 x
Para la función f tenemos que: 1 f (2) 3 2 f (1) 3 9 Para la función g tenemos que: 1 g (2) 7 2 g (1) 7 49
2, x 1, x
g ( x x ) 7 x
1
1 3
f (0) (0)
1
f (1) (1)
1
1 7
g (0)
1
g (1)
f ()
6
3
12.2 Utiliza la calculadora para obtener los valores de la función f ( x x ) f 2 6 2 12,603;
0, x 1 y x 2.
7
f (2) (2)
32
g (2)
72 49
9
6 x en x 2 y x .
278,376
Ejercicio resuelto
12.3 Muy importante en matemáticas por sus numerosas aplicaciones es la función exponencial f ( x x ) e x , en la que la base es el número irracional e 2,7182… Representa esta función gráficamente.
Y
y = = e x
Formamos una tabla de valores utilizando la tecla e x de la calculadora. x x
e
1
0
1
2
0,37
1
2,72
7,39
Con ayuda de estos puntos trazamos la gráfica. 56
1 O 1
X
12.4 Utiliza la tecla 10 x de la calculadora para representar la función exponencial de base 10. Y y = = 10 x
Formamos una tabla de valores utilizando la tecla 10 x de la calculadora. x
10
x
1
0
0,5
1
0,1
1
3,16
10
2 O
12.5 Representa gráficamente las funciones f ( x x )
4 x y g ( x x )
X
2
9 x . ¿Cuál crece más rápido? ¿Por qué? Y
Crece más rápido g ( x x ) 9 , ya que su base base es mayor mayor.. x
2
1
0
0,5
1
f ( x x )
1 16
1 4
1
2
4
1 81
1 9
1
3
9
x
g ( x x )
f (x) = 4 x g (x) = 9 x
1 O x
X
1
x
12.6 ¿Qué gráfica crece más deprisa, la de y 2 o la de y 3 ? ¿Por qué? x
Crece más rápido y base es mayor mayor.. 3 , ya que su base Ejercicio resuelto
12.7 A partir de la gráfica de la función y 2 x , dibuja las gráficas de las funciones: f ( x x )
2 x 3
g ( x x )
2 x
2
Y x La gráfica de f se obtiene desplazando la de y 2 tres unidades hacia arriba.
y = = 2x
x 2 La gráfica de g se obtiene trasladando la de y dos unidades hacia la izquierda.
f g
1 O 1
X
12.8 A partir de la gráfica de y 3 x , representa las funciones siguientes. f ( x x )
3 x 2
g ( x x )
3 x
2
h ( x x )
3 x
2
4
Y
La gráfica de la función f se obtiene trasladando la gráfica de x 3 dos unidades hacia arriba. la función y x La función g se obtiene desplazando la gráfica de y 3 dos unidades hacia la derecha.
x + 2
h (x) = 3
+ 4
f (x) = 3 x + 2
x 3 La gráfica de h se obtiene desplazando la gráfica de y dos unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia arriba.
y = = 3 x
3 O
g (x) = 3 x – 2
2
X
57
P A R A
A P L I C A R
Problema resuelto
12.9 Una persona ingresa en un banco 2000 euros a un interés anual del 3%. Si no retira el capital ni los intereses, ¿qué capital tendrá al final del quinto año? Al irse añadiendo al final de cada año los intereses al capital aumentos exponenciales: interés t C f f C i i 1 2000 1 100
inicial (interés compuesto), podemos aplicar la fórmula de los
3 100
5
2000 1,035 2318,55
12.10 Realiza una gráfica que muestre el capital que se iría generando a lo largo del tiempo al colocar 5000 euros en un banco al 4% de interés compuesto. x Seguiría la función y 5000 · (1,04) , do dond ndee x son los años transcurridos. Su gráfica es:
Y
5000 x
y = = 5000 · 1,04
O
X
10
12.11 ¿Es lo mismo un interés compuesto mensual del 1% que un interés compuesto anual del 12%? Aplícalos a un capital de 1000 euros. No es lo mismo. Con un 12% 12% anual, en un año 1000 euros euros se convierten convierten en: 1000 · 1,12 1,12 1120 . Con un 1% 1% mensual, en un año 1000 euros euros se convierten convierten en: 1000 · 1,01 1,0112 1126,83 .
12.12 Un bosque tarda aproximadamente 20 años en duplicar la cantidad de madera que produce. Escribe la fórmula que expresa la cantidad de madera producida al cabo de t años. Llamamos C i i a la cantidad inicial de madera producida y C f f a la cantidad final de madera madera producida, producida, entonce entoncess la formula t
20
f
i
quedaría así: C C · 2 . 12.13 Un alcalde ha prometido en la campaña electoral que las inversiones del Ayuntamiento en políticas sociales aumentarán un 3% cada año durante la nueva legislatura. Sabiendo que el año anterior a su elección, el Ayuntamiento gastaba 1 000 000 de euros en dichas políticas, elabora una gráfica que represente la cantidad de dinero que invertirá a lo largo de los próximos cuatro años de mandato. x La cantidad invertida es: y 1 000 000 · 1,03 , do dond ndee x es el número de años transcurridos. Su gráfica es la siguiente:
Y
106 y = = 1000 000 · 1, 1,03 03 x O 100 58
X
12.14 La evolución de la población mundial tiene un comportamiento que se aproxima a una función ) exponencial, como muestra la siguiente gráfica. s e n6 o a) Resume los datos de la gráfica en una tabla. n l l ó i i 5 c m b) ¿En torno a qué año ha comenzado la población a 4 l e b d o a crecer más rápidamente? P s3 e l i2 c) Describe las características de la función. m ( 1
0
a)
Año Población
250 500 750 1000 1 25 250 1500 1750 2000 Año
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
225
250
300
375
400
425
500
900
2000
de 6000
b) En torno al año 1900. c) Su dominio es R. Su recorrido es R . No corta el eje OX . Cortan el eje OY en el punto punto (0, (0, 225) 225).. Es continua. Es creciente. Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden tienden a . Cuando los valores de x tienden a , los de y tienden tienden a 0, 0, es decir decir, la recta recta y = 0 es una asíntot asíntotaa horizontal horizontal..
La función exponencial b x (0
b
1) P A R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
12.15 Obtén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x x 1 y x 2.
2, x 1,
1 x f ( x x ) g ( x x ) 3 x 3 Se sustituyen los valores de x en las fórmulas y se aplican las propiedades de las potencias: 1 2 2 ( 2) 2
f ( 2) f (1)
13 13 3 1 3
1
f (1) (1)
f (2) (2)
2
3
1
1 3 1 9
9
3
g( 2) g(1)
3
g(1)
g(2)
3
3 (1)
3
1
3
2
9
3
13 13
2
1 9
12.16 Obtén, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las funciones f y g para x x 0, x 1 y x 2. g (x ) 10x
f (x ) 7 x
f (2)
72 49 f (1) 71
g (2)
102 100 g (1) 101 10 g (0) 100 1 g (1) 10
7
f (0) (0)
2, x 1,
70 1
f (1) (1)
7
1
1
1
7
1 10
f (2) (2)
g (2)
7
1
2
49
10
2
1 100
59
12.17 Halla con la calculadora los valores que toma la función f ( x x ) f 3
1 4
3
1 4
0,091; f ()
en 1 4
x
——
x 3 y x
.
0,0128
12.18 Representa gráficamente las siguientes funciones. a) y 4 x b) y 12 x
Y
–x
x f ( x x )
1 4
0,5 2
0 1
0,5 0,5
g ( x x )
12
3,47
1
0,28
f(x) = 4 g(x) = 12–x
1 1 4 1 12
2 O
X
2
Ejercicio resuelto
x
12.19 A partir de la gráfica de la función y 2 , dibuja las gráficas de las funciones siguientes. f ( x x ) 2 x 3 g( x x ) 2 x 2
x 2 La gráfica de f se obtiene trasladando la de y tres x 2 ( x x 2) x ) 2 2 unidades unid ades hacia hacia arrib arriba. a. Como g( x , x 2 la gráfica de g se obtiene desplazando la gráfica de y dos unidades hacia la derecha.
Y
f
y 2x
g 1 O 1
X
12.20 A partir de la gráfica de y 5 x , representa las funciones siguientes.
f ( x x )
5 x
2
g( x x )
Como f ( x x ) 5 x 2 5 ( x x 2) , la gráf gráfica ica de f se obtiene x desplazando la gráfica de y 5 dos unidades hacia la derecha. x ) 5 x 2, la gráfi Como g( x gráfica ca de g se obtiene trasladan x do la gráfica de y 5 dos unidades hacia abajo. Como h( x x ) 5 x 3 4 5 ( x x 3) 4 la gráfica de h se obtiene desplazando la gráfica de y 5 x tres unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba.
2
5 x
h( x x )
5 x
3
4
Y f (x) = 5–x +2
h (x) = 5–x +3 +4
2 O
y = = 5–x
60
X
2 g (x) = 5–x –2
P A R A
A P L I C A R
12.21 Los núcleos de los elementos radiactivos se transforman en otros más estables mediante la emisión de diferentes partículas subatómicas. La figura muestra la curva de desintegración del uranio 238. e j a) Se llama período de semidesintegración al a t n tiempo necesario para que se desintegren la e c r Uranio 238 mitad de los núcleos. ¿Cuál es el período de o P semidesintegración del uranio 238?
b) ¿Cuánto tardará una muestra de 500 gramos de uranio 238 en reducirse a 62,5 gramos?
25
0 4500 Tiempo (millones de años) a) El período de semidesintegración es 4500 millones de años. b) Tenemos Tenemos que 62,5 gramos corresponde al 12,5% de 500 gramos, por lo que observando en la gráfica el tiempo que tardará en reducirse será 4500 3 13 500 años. años.
12.22 Un cubito de hielo de 2 centímetros cúbicos se introduce en una bebida. Cada minuto que pasa, el 10% de su volumen se transforma en agua líquida. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que se derrita la mitad del cubito de hielo?
2 (0 El volumen del cubito sigue la función y (0,9 ,9)) x ; do dond ndee x son los minutos transcurridos desde que se introdujo en la bebida. Todo se reduce a resolver la ecuación: ecuación:
2(0,9) x 1
⇒
(0,9) x 0,5
⇒
x log 0,9 0,5
log 0,5 log 0,9
6,58 minutos
12.23 Desde el momento en que se compra un automóvil, su valor se deprecia a razón de un 20% anual. Si hoy compramos un coche cuyo valor es de 30 000 euros:
a) ¿En cuánto estará valorado al cabo de un año? b) ¿Y al cabo de dos años? c) ¿Y al cabo de tres años y medio? d) Escribe la fórmula de la función que relaciona el valor en euros del coche con el tiempo en años transcurrido desde su compra. e) Representa gráficamente la función y describe sus características principales. a) 30 000 0,80 24000
b) 30 30 000 (0,80)2 19200
c) 30 30 000 (0,80)3,5 13 738,4 738,400
x 30000 (0,80) , do d) y dond ndee x son los años transcurridos desde la compra.
e) Su dominio es R. Su recorrido es R . No corta el eje OX . Corta el eje OY en el punto punto (0, (0, 30 000 000).).
Y
Es continua. Es decreciente. Cuando los valores de x tienden a Cuando los valores de x tienden a
20000
O
5
X
,
0 es una asíntota horizontal. los de y tien los tienden den a 0, es decir decir,, la recta recta y , lo loss de y tienden a . 61
La función logarítmica logb x (b 1) P A R A
P R A C T I C A R
12.24 Sin utilizar la calculadora, halla los valores que toma la función f ( x x ) log2 x para x 1, x 32, 1 x y x 2. 16 f (1) f (32) (1) log 21 0, ya qu quee 20 1 (32) log 2 32 5, ya qu quee 25 32 1 1 f = log 2 4, ya qu quee 2 4 1/16 f 2 log 2 2 1/2 1/2,, ya que que 2 2 16 16
— —
1 2
Ejercicio resuelto
12.25 Representa la función logaritmo neperiano y ln x .
Y
Formamos una tabla de valores utilizando la tecla ln de la calculadora. y = = ln x
0,1
x
0,5
2,30 0,69
y
1 0
5
10
50
1
100
O 1
X
1,61 2,30 3,91 4,61
Con estos puntos trazamos la gráfica:
12.26 Representa las siguientes funciones empleando la fórmula de cambio de base y la calculadora: f ( x x ) f ( x x )
log5 x
log 5 x
g( x x )
log x log 5
log x g ( x x ) = log 3 x lo g 3
g (x) = log3 x
Y
log3 x
1
x
1
2
3
4
5
f ( x x )
0
0,43
0,68
0,86
1
g ( x x )
0
0,63
1
1,26
1,46
O
X
1
f (x) = log5 x
Ejercicio resuelto
12.27 A partir de la gráfica de la función y log2 x , representa las gráficas de las funciones siguientes. f ( x x )
x 1) log2 ( x
g ( x x )
log2 x 1
Y f
La gráfica de la función f se obtiene trasladando la gráfica de la función log2 x una unidad a la izquierda. La gráfica de la función g se obtiene trasladando la gráfica de la función y log2 x una unidad hacia abajo. y
g
1 O
1
y = = log2 x
X
12.28 A partir de la gráfica de la función y log5 x , representa las funciones siguientes. f ( x x )
log5 ( x x 3)
g ( x x )
log5 x 4
La gráfica de f se obtiene desplazando la gráfica de la función y tres unidades hacia la izquierda. La gráfica de g se obtiene desplazando la gráfica de la función y cuatro unidades hacia arriba.
Y
g (x) = log3 x +4
1 O
1
y = = log5 x
f (x) = log5 ( x x +3)
62
X
12.29 A partir de la gráfica de la función f ( x x )
x ) 2log2 ( x x 1) 3. log2 x , representa gráficamente la de g( x
Para representar esa función vamos representando las funciones y log2 ( x x 1), 1), multip desplazando f una unidad a la derecha; y 2 log2 ( x x multiplicando licando por dos dos y ; finalmente nalme nte,, desp desplazan lazando do y tres unidades hacia abajo tendríamos la función g.
f (x) = log2 x
1 O
P A R A
g (x) = 2 log2 ( x x –1) –3
Y
X
1
P R A C T I C A R
Problema resuelto
12.30 La superficie de un bosque aumenta un 3,5% al año. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse?
i
t
Como la superficie aumenta exponencialmente: S f f S i i 1 100 t log 2 3,5 Si se duplica la superficie: S f f 2 S i i ⇒ 2 S i i = S i i 1 ⇒ 2 1,035t ⇒ t log2 1,035 20,15 años 100 log 1,035 Tardar ardará, á, apro aproximada ximadament mente, e, 20 años y 55 días. días.
12.31 La tasa de crecimiento anual de la población de una ciudad es del 4%. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la población se triplique? t
i
Como la población aumenta exponencialmente: P f P i 1 10 10 0 t 4 Si se triplica la población P f f 3P i i ⇒ 3P i i P i i 1 ⇒ 3 100
1,04t
⇒
t log3 1,04
log 3
28,01 años log 1,04
Tardará aproximadamente 28 años.
12.32 Se invierte una cantidad de 1 000 000 de euros al 6% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo tiempo debe transcurri trans currirr para que que el capital capital supere supere 1 500 000 euros euros??
1000000 1
6 100
t
1500000
⇒
1,06t 1,5
⇒
t log 1,5 1,06
log 1,5
6,95 años log 1,06
Deberán transcurrir casi siete años.
12.33 Debido a las campañas publicitarias, las donaciones particulares a las ONG en una zona de España están creciendo a razón de un 10% anual. En el año 2006, en dicha zona alcanzaron la cantidad de 1 000 000 de euros. a) ¿Qué función proporciona los años transcurridos desde 2006 en función de las donaciones particulares recibidas en millones de euros? b) ¿Qué dominio tendrá la función del apartado anterior para que se ajuste a la realidad? c) Representa dicha función. a) La función que nos da las donaciones recibidas conociendo los x años transcurridos es y 1 000 000 (1,1) . Si pretendemos que la variable x dependa de y , lo que que tene tene- x mos que hacer es despejar de la función anterior. y
(1,1)
y
⇒ x = log 1,1 1000 000 1000 000 La función será y log 1,1 x log 1,1 1000000
x
c)
Y
20 O 106 3·106
6·106
X
b) Su dominio dominio será será [1 000 000, ), ya que si no obten obtendríam dríamos os un número de años negativo. 63
12.34 Noelia introduce un termómetro en el interior de un horno apagado, y este marca una temperatura de 15 C. Las instrucciones del horno indican que su temperatura aumenta un 40% cada minuto que transcurre desde el encendido. a) ¿Cuánto tardará el horno en alcanzar la temperatura de 184 C? b) ¿Qué función nos permite obtener el tiempo que debe estar encendido el horno para alcanzar una temperatura determinada? c) Representa la función del apartado anterior y describe sus características. a) Se trata de resolver la ecuación: 15 (1,4) x 184 184 x x x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x 7,45 min 15 (1,4) x 184 (1,4) 15 (1,4) 12,267 x log 1,4 1,4 log 1,4 12,26 b) y log 1,4 donde y es el tiempo que debe estar encendido el horno y x la temperatura alcanzada. 15 Y c) El dominio, dominio, teniendo en cuenta cuenta el contexto contexto del del problema, será [15, ). Su recorrido es R. No corta el eje OY y corta el eje OX en el punt puntoo (15, (15, 0). Es continua y creciente. 2 Cuando los valores de x tienden a 0 por la derecha, los de y tienden a . O 15 Cuando los valores de x tienden a , lo loss de de y tienden a .
b
La función logarítmica logb x (0
7 min 27 s
X
1) P A R A
P R A C T I C A R
12.35 Halla, sin utilizar la calculadora, los valores que toman las siguientes funciones en los puntos que se indican.
a) f ( x x ) = log 1 x
en x
3
— —
b) g ( x x ) = log0,5 x
1 b) 16 a) f 21 7
g
en x
1 log 16
log13 21 7
0,5
1 , x 1 27
3
y x 9
— —
3 1 , x 2 16
— —
y x 4
3, f (1) (1) log13(1) 0,
4, g 2 log 0,5 2 3
3
3 3 f 9 log13 9
2 3
,
g (4)
2/3
log0,5(4) 2
12.36 Escribe la expresión algebraica de las siguientes funciones. Y
La expresión algebraica de la gráfica verde es f ( x x ) log 2 x , ya que f (2) 1. La gráfica roja corresponde corresponde a la expresión g ( x x ) log 0,3 x , ya qu quee g (0,3) 1; y la azu azull es h ( x x ) log 0,8 x ,
f 1
O 1
X g
h
64
porque h(0,8) 1.
12.37 Con ayuda de la calculadora científica, representa gráficamente las siguientes funciones. f ( x x ) log0,25 x g ( x x ) log0,75 x ¿Cuál de ellas decrece más rápido? ¿Por qué?
Y g (x) = 2 log0,75 x
1 O
Decrece más rápido g( x x ) log0,75 x , ya que la base base es mayor mayor.
X
1
f (x) = log0,25 x
12.38 A partir de la gráfica de la función y log0,5 x , representa las gráficas de las siguientes funciones. f ( x x ) log0,5 ( x x 2) h ( x x ) log0,5 x 3 g ( x x ) log0,5 ( x x 3) i ( x x ) log0,5 x 2 Y g
f : Se traslada traslada la gráfic gráficaa de y dos unidades a la izquierda. f
g : Se traslada traslada la gráfica gráfica de y tres unidades a la derecha.
h
1
h : Se traslada traslada la gráfica gráfica de y tres unidades hacia arriba. O
La gráfica de i ( x x ) log 0,5 x 2 es la misma que i ( x x ) 2 log0,5 x , con lo que que cada valor valor se duplica. duplica.
X
1
i
y
12.39 ¿En cuántos puntos se cortan las gráficas de dos funciones logarítmicas de base b 0? logb x , con b 0, se cortan Dos funciones logarítmicas y cortan únicame únicamente nte en el punto punto (1, 0).
12.40 Dibuja la gráfica de la función y log0,75 x y, apoyándote en ella, dibuja la gráfica de la función f ( x x )
x 3)3. log0,75 ( x
Y
La gráfica de la función f se obtendrá desplazando la gráfica de y tres unidades hacia la izquierda izquierda y, y, luego, cada valor se multiplica por tres.
f
5 O
P A R A
y
1
X
A P L I C A R
Problema resuelto
12.41 La superficie de bosque del planeta está decreciendo a razón de un 2% anual. ¿Cuántos años pasarán hasta que dicha superficie represente el 65% de la actual? Como la superficie de bosque decrece exponencialmente:
i
t
S f f S i i 1
100
La superficie final va a representar representar el 65% de la actual, es decir, decir, S f 0,65 S i . t 2 log0,98 0,65 0,65 S i i S i i 1 ⇒ 0,65 0,98t ⇒ t
100
log 0,65
21,3 años log 0,98
Pasarán 21 años y 4 meses, meses, aproximadamente aproximadamente.. 65
12.42 En los últimos años, el precio de un producto ha descendido a razón de un 4% anual. Si actualmente el precio es de 25 euros:
a) ¿Cuánto costaba hace 3 años? b) Halla la fórmula que expresa el tiempo transcurrido en función del precio del producto. c) Representa gráficamente la función del apartado anterior. a) Como el precio del producto decrece exponencialmente:
i
P f f P i i 1
100
t ⇒
25 P i i 1
4 100
3 ⇒
25
P i i
(0,96)3
⇒
25 0,96
P i i 3
28,25
Hace 3 años el precio del producto era 28,25 euros. b) La función que nos da el precio de un producto conociendo los años transcurridos es 25 P i i (0,96)t . Si pretendemos que la variable t dependa de P i i , lo qu quee tenemos que hacer es despejar t de la función anterior. 25 25 log0,96 25 P i i (0,96)t ⇒ (0,96)t ⇒ t
c)
P i
P i
t
10 O
25
P i
12.43 En el proceso de combustión de la madera, la cantidad de esta se reduce a razón de un 15% por minuto. Echamos un trozo de madera de 2 kilogramos al fuego. Transcurrido un tiempo, únicamente
quedan 140 gramos de madera. a) ¿Cuánto tiempo hace que arrojamos el trozo de madera al fuego? b) ¿Cuál es la función que nos proporciona el tiempo transcurrido desde que se echó el trozo de madera al fuego en función de la madera que aún no se ha quemado? c) ¿Qué dominio tendrá esa función desde el punto de vista práctico? a) Resolvemos la ecuación:
t
0,140 log 0,07 t t ⇒ 0,140 2(0,85) ⇒ (0,85) ⇒ x log 0,85 0,07 16,36 min 100 2 log 0,85 Hace 16 minutos y 22 segundos. i
C f f C i i 1
x
b) y log 0,85 , do dond ndee y representa el tiempo transcurrido en minutos y x la cantidad de madera sin quemar en kilogramos. 2 c) Su dominio dominio será será (0, 2].
12.44 Al principio de una operación se administran a un paciente 50 miligramos de un fármaco anestésico cuya concentración en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la función f (t ) k 0,95t , donde k es la cantidad inicial en miligramos, y t , el tiempo en minutos transcurrido desde el momento de su administración.
a) ¿Cuántos miligramos de anestésico quedan en la sangre del paciente a la hora y media? b) ¿Al cabo de cuánto tiempo su concentración se reduce a la mitad? c) ¿Cuál es la fórmula de la función g que nos da el tiempo transcurrido, conocida la concentración? a) Una hora y media son 90 minutos, minutos, por lo que: f (90) (90) 50 (0,95)90 0,50 mg de anestésico. 25 b) 25 50 (0,95)t ; (0,95)t ; 0,5 (0,95)t ; lo log0 g0,9 ,955 0,5 0,5 t ; t 13,51 min. 50 c) g (t ) log0,95 c , do dond ndee c es la concentración. 66
Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas P A R A
P R A C T I C A R
12.45 Dada la tabla de valores correspondiente a la función f , copia y completa la tabla de la función recíproca. x
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
f ( x x )
3
5
2
1
4
f 1( x x )
4
3
1
5
2
12.46 La función f le hace corresponder a cada número su quinta parte. ¿Cuál es la función recíproca? La fórmula de f es f ( x x )
x
5
y la de la función recíproca es f 1( x x )
5 x .
Ejercicio resuelto
12.47 Halla la función recíproca de y 2 x 1. En casos sencillos se puede obtener la función recíproca siguiendo los siguientes pasos. 1. Se intercambian intercambian las variables. variables. 2. Se desp despeja eja y .
x 2 y 1 x 1 y
2
12.48 Obtén las funciones recíprocas de las siguientes funciones. f ( x x )
3 x 2
g ( x x )
f ( x x )
⇒
3 y 2 x
x
h ( x x )
x
2
——
5
x 2 3 y ⇒ y 3 x 2
⇒
2 x
g ( x x )
⇒
x y 2
⇒
y
h ( x x )
⇒
y x 5
⇒
x 5
2
2
y
⇒ y
2
10 2 x
12.49 Halla la función recíproca de cada una de las siguientes. f ( x x )
log5 x
g ( x x )
f 1( x x )
5 x
g1( x x )
3 x log 3 x
12.50 Considera la función f dada por la siguiente gráfica. Y a) ¿De qué tipo de función se trata? b) Dibuja la gráfica de la función recíproca f 1.
b) Para dibujar f 1 tenemos en cuenta que las gráficas de dos funciones reciprocas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
1 O 1
Y f -1 (x) = log10 xx
1
X
a) Es una función exponencial.
O
2
X
67
12.51 ¿Cuál es la función recíproca de f ( x x ) La función logaritmo neperiano: f 1( x x )
?
x
e
ln x
12.52 Identifica las siguientes funciones, dibuja en tu cuaderno la gráfica de sus funciones recíprocas e indica también su fórmula.
a)
b)
Y
Y
1
O 1
X 1 O 1
x ) log5 x . a) La función corresponde a la expresión f ( x
Su función recíproca es f 1( x x ) 5 x .
X
x ) 3 x b) La función corresponde a g ( x
Su función recíproca es g 1( x x )
log3 x
Y
Y
1 O
1
X
1 O
X
1
P A R A
A P L I C A R
12.53 Para llenar un depósito, se abre un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto.
a) ¿Cuál es la función que representa los litros que hay en el depósito en función del tiempo transcurrido? b) ¿Cuál es la función recíproca de la obtenida en el apartado anterior? ¿Qué representa? a) y 10 x , do dond ndee x representa el tiempo transcurrido. x
b) x 10 y ⇒ y . 10 Representa el tiempo en minutos que hace que se abrió el grifo, en función del volumen de agua en litros que hay en el depósito.
12.54 Una población de parásitos se reproduce duplicando su número cada día. Considerando que todos viven y que inicialmente hay un único parásito: a) Escribe la función que representa el número de parásitos en función de los días transcurridos.
b) Obtén su recíproca e indica qué representa. x 2 a) y log2 x . Representa los días transcurridos b) y transcurridos en función del número número de parásitos que hay. hay.
68
12.55 El volumen de madera en un bosque es de 15 000 metros cúbicos. Los estudios muestran que su tasa tasa de crecimiento anual es del 5%. El Gobierno autonómico ha encargado a dos organizaciones un informe analizando este crecimiento. • La primera organización estudia la evolución de la cantidad de madera del bosque a medida que transcurre el tiempo. • La segunda organización estudia los períodos de tiempo que han de transcurrir para que el bosque produzca determinado volumen de madera. Obtén las expresiones de las funciones empleadas en cada estudio y represéntalas. ¿Cómo son sus gráficas? ¿Por qué? La primera organización utilizó la función y 15000 1,05 x , mien mientras tras que la segunda representó representó la su función recíproca, que es: 15000 x
1,05
y
⇒
x
(1,05) 15 000
y
⇒
Y y = = 15 000 . 1,05x y = x
15 000
log1,05 y
x
500
Las gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, por ser funciones recíprocas recíprocas..
O
X
500
y = = log1,05 =
M A T E M Á T I C A S
x 15 000
A P L I C A D A S
P A R A
A P L I C A R
12.56 A un laboratorio especializado en datar fósiles mediante la técnica del carbono 14 han llegado varios fósiles. Después de medir el carbono 14 que conservan, han resultado los siguientes datos. Completa la tabla para poder catalogarlos en un museo.
Porcentaje de carbono 14
80%
25%
10%
99%
Tiempo transcurrido 80%
⇒
t
log 0,80 5730 log 0,5
1844,64 ⇒ 1845 años
10%
⇒
t
log 0,10 5730 log 0,5
19034,64
25%
⇒
t
log 0,25 5730 log 0,5
11460
99%
⇒
t
log 0,99 5730 log 0,5
83,1 ⇒ 83 años
⇒
11 460 años
⇒
19035 años
12.57 Al mismo laboratorio ha llegado un fósil fechado en el Neolítico de cuya datación se desconfía. Se realiza la prueba pertinente y resulta que conserva el 90% del carbono 14. ¿Realmente pertenece al Neolítico? Como el fósil conserva el 90% del del carbono 14, se sustituye el dato en la función y se obtiene: obtiene: t log
C f C i
log 0,90 5730 5730 871,16 log 0,5 1 log
2 El fósil tendría una antigüedad de 870 870 años, por lo que sería sería demasiado reciente reciente para pertenecer pertenecer al Neolítico. Neolítico. La cronología del Neolítico, Neolítico, que se inicia en el Próximo Oriente Oriente y Mesopotamia, varía según las zonas, zonas, pero se sitúa por por lo general entre entre los años añ os 60 6000 00 a. C. y 300 30000 a. a. C.
69
Actividades Finales P A R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
12.58 Con ayuda de la calculadora, halla los siguientes logaritmos. a) log4 15 c) log3,4 4,55
b) log7 30,2
——
5
f) log 7 9
d) log0,77 3,39
e) log23 8,73
a) log4 15 1,953 b) log7 30,2 1,751
2
c) log3,4 4,55 1,238 d) log0,77 3,39 4,671
e) log3 9,73 5,344 5 f) log 7 9 0,452
12.59 Indica razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a) log 2 log 3 log 5 b) log 2 5 log 3 5 c) El dominio de las funciones logarítmicas es el conjunto de los números reales. 1 x x d) Las funciones f ( x x ) 2 y g( x x ) son recíprocas. 2 e) Las funciones recíprocas son simétricas respecto a la recta y x .
——
a) Falsa, log 2 + log 3 = log (2 3) = log 6 b) Falsa, Falsa, ya que que 2 3 c) Falsa, es el conjunto de los números reales positivos. positivos. x d) Falsa, Falsa, la función función inversa inversa de y = 2 es y = log2 x. e) Verdadera. 12.60 Elabora una tabla de valores para representar las siguientes funciones y describe sus principales características. f ( x x )
Características de f: • Su dominio es R.
R
3 2
x
x
——
2 1
•• Su recorrido es . 2 3 x 4 Es continua. f ( x x ) 9 3 2 • Es creciente. • Cuando x → y → y cuando x → y
——
g( x x )
0 1 →
3 x
h( x x )
1
2
3 2
log3 x
Y
9 4
x
f(x) =
( 32 )
0 g(x) = 3–x
Características de g: • Su dominio es R. x 2 1 0 • Su recorrido es R . • Es continua. g( x x ) 3 x 9 3 1 • Es decreciente. • Cuando x → y → 0 y cuando x → y →
Características de h: x 0,1 0,5 • Su dominio es R . h( x x ) log3 x 2,1 0,6 • Su recorrido es R. • Es continua. • Es creciente. • Cuando x → y → y cuando x → 0+ y →
70
1
2
1
1 3
1 9
O
1
h(x) = log3 x x
1
2
0
0,6
X
12.61 La función exponencial f ( x x ) kb x verifica que f (0) 4 y que f (3) 108. Calcula la constante k y la base b, y representa gráficamente la función. f (0)
Y
0 4 ⇒ k b 4 ⇒ k 4 f (3) 108 ⇒ 4 b 3 108 ⇒ b3 27 ⇒ b 3
x ) Con lo que f ( x
y = = 4 · 3 x
1
4 3 x
O
1
X
12.62 A partir de la gráfica de y 2 x , representa las siguientes funciones. f ( x x )
2 x 3
g ( x x )
3 2 x
Y
h ( x )
Para representar f desplazamos la gráfica de y tres unidades hacia abajo. Para representar g desplazamos la gráfica de y tres unidades hacia la derecha. h es la función reciproca de y . Su gráfica gráfica es la la simétrica simétrica respecto a y x .
12.63 A partir de la gráfica de y x
f ( x x )
—1— 3
3
1 O f
x
13
Y
——
3
X
1
1 x , representa las siguientes funciones. 3 h ( x x ) log
g ( x x ) 1
h
— —
x 3
g
y
log2 x
f
Para representar f desplazamos la gráfica de y tres unidades hacia arriba. Para representar g desplazamos la gráfica de y tres unidades hacia la derecha. h es la función reciproca de y . Su gráfica gráfica es es la simésimé x . trica respecto a y
y h
1
g
O
X
1
12.64 A partir de la gráfica de la función y log5 x , representa las gráficas de las siguientes funciones. f ( x x ) log5 ( x 2) g ( x x ) log5 x 2 h ( x x ) 5 x Para representar f desplazamos la gráfica de y dos
unidades hacia la izquierda. Para representar g desplazamos la gráfica de y dos unidades hacia arriba. h es la función reciproca reciproca de y.y. Su gráfica es la simé x . trica respecto a y
Y g
1 y
h O
1
X
f
12.65 Las gráficas que se muestran pertenecen a funciones exponenciales. ¿Qué podemos decir del valor de sus bases? La gráfica de f es de una función exponencial de base b 1. Ade Además más pasa pasa por x 4 . (0,1) y (1,4), (1,4), es por tanto tanto y
Y f
La gráfica de g es de una función exponencial de base 0 x 5 . por (0, 1) y (1, 5) 5),, es por por tan tanto to y
1 O 1
b
1. Ade Además más pasa pasa
g
X 71
12.66 Las gráficas que se muestran a continuación representan dos funciones logarítmicas. ¿Qué podemos decir del valor de sus bases? La gráfica de g es creciente, creciente, por lo que que su base será será b 1. Ad Ademá emáss pasa pasa por (4, 1), es por tanto g ( x x ) log4 x
Y g
La gráfica de f es decreciente, decreciente, por lo que que su base será será 0
1. Ademá Ademáss pasa por 1 (7, 2), por tanto tanto será será f ( x x ) loga 7 2 ⇒ 7 a 2. As Asíí, a 1 ⇒ f ( x x ) log 7 7
1
O 1
X
b
f
12.67 En la grafica se han representado las funciones f ( x x ) Identifícalas.
x ) 2 x , g ( x
x ) 3 x y h ( x
log0,3 x .
Y
La gráfica de f es la verde verde,, la de g es la azul y la de h es la roja. 1 O 1
X
12.68 Una de las funciones representadas en la gráfica es exponencial, y otra, logarítmica. a) ¿Cuál es la exponencial y cuál la logarítmica? Y b) ¿Son funciones recíprocas?
1
g
O 1
X f
a) La logarítm logarítmica ica es g, g, ya que pasa por por el punto punto (1, (1, 0). La exponenc exponencial ial es f ya ya que pasa pasa por (1, 0). x . b) Sí, porque son simétricas respecto respecto a la recta y
12.69 ¿Por qué punto pasan las gráficas de todas las funciones exponenciales? ¿A qué se debe esto? Pasa Pa sa por por el punt puntoo (0, (0, 1), ya que que b0
1.
12.70 ¿Por qué punto pasan todas las funciones logarítmicas? ¿A que se debe esto? Pasa por el punto punto (1, 0) ya que logb 1
0
12.71 La población de España crece a un ritmo del 3% anual. En el año 2006, en España vivíamos 45 millones de personas. a) ¿Cuántas personas vivirán en España a mediados de 2015? b) Expresa algebraicamente el número de habitantes de España en función de los años transcurridos desde 2006. c) Expresa algebraicamente los años transcurridos desde 2006 en función del número de habitantes de España. t
a) P f f P i i 1 b) y
⇒ 45 000 000 (1,03 (1,03))9,5 59 589 007 perso personas nas.. 100 45 000 000 (1,03 (1,03)) x , si sien endo do x la difere diferencia, ncia, en años, años, con 2006 2006..
c) y log1,03 72
i
45000000 x
12.72 El radio Ra226 tiene un período de semidesintegración de 1600 años. a) ¿Cuánto tardarán 4 gramos de Ra 226 en reducirse a la mitad? b) Escribe la función que da la masa resultante de la desintegración de m gramos de Ra226 en función de los años transcurridos. c) ¿Cuántos años tardarán esos 4 gramos de Ra 226 en transformarse en 3 gramos? a) Tardarán Tardarán 1600 años, ya que esa es precisamente la definición de período de semidesintegración. semidesintegración.
4 1 2
1 b) f ( x x ) m 2
x 1600
x
c) 3
1600 1600
⇒
0,75 1 2
x
1600 1600
x
log0,5 0,75 ⇒ x 1600 log0,5 0,75 664 años 1600
⇒
P A R A
R E F O R Z A R
12.73 Calcula las siguientes potencias y logaritmos. 3
a) 3 b)
1 5
3
d) log3
——
3
a) 3
1 3
1 27
3
1 27
f) log 2 4
— —
c) log5 25
3
1 b) 5
e) log2 8
c) log5 25
1 d) log 3 27
125
12.74 Representa gráficamente las funciones f ( x x )
3 e) log2 8 2
2
3
x ) 4 x y g ( x
f) log 2 4 4
a) Cuál es el dominio de cada una.
log4 x , e indica: Y
b) Cuál es el recorrido de cada una.
f
c) Si son crecientes o decrecientes.
g
1
d) Si presentan sus gráficas alguna simetría.
O
1
X
a) El dominio de f es R y el de g es R .
b) El recorrido de f es R y el de g es R.
c) Las dos son estrictamente crecientes. d) Son simétricas respecto a la recta y x , puesto que son son recíprocas. recíprocas.
12.75 Explica las diferencias que hay entre las gráficas de las funciones f ( x x )
log2 x y g ( x x )
log0,5 x .
Las diferencias principales son: • f es creciente y g es decreciente. • Cuando x → , f tiende a y g tiende a • Cuando x → 0 , f tiende a
.
y g tiende a . 73
y halla su:
2 12.76 Representa la gráfica de la función y —— 5 a) Dominio a) R b) Recorrido b) R c) Función recíproca c) y 1 log53 x
x
Y
1
O
12.77 Una ameba se duplica cada hora. a) ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 4 horas? b) Halla la función exponencial que expresa esta situación. a) 24
16 amebas
b) f ( x x )
1
X
2 x
12.78 Al cabo de 11 años, un capital colocado al 4% de interés compuesto anual se ha convertido en 10 006,45 euros. euros. a) ¿Qué capital se ingresó hace 11 años? b) ¿Qué función proporciona el tiempo transcurrido desde el ingreso en función del capital generado? a) Se trata de resolver resolver la la ecuación: ecuación: 10 006,4 006,455
x (1,04)
11
⇒
x 6500
x
b) y log1,04 6 500
P A R A
A M P L I A R
12.79 Calcula la siguiente suma: log 2 2 log 2 4 log 2 8 ... log 2 250 log 2 2 log 2 4 ... log 2 250 1 2 ... 50 S 5050 y esto es la suma de los 50 primeros términos de una 1 50 progresión aritmética, por lo que S 5050 50 1275. 2
4
8
16
12.80 Calcula la siguiente suma infinita: log 2 2 log 2 2 log 2 2 log 2 2 ... 4 8 1 1 1 log 2 2 log 2 2 log 2 2 ... ... S y esto es la suma de los infinitos términos de una progresión 2 4 8 1 2 1 geométrica de razón , por lo que que S 1 1. 2 1 2
12.81 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 2log x log 12
log
x
b) log ( x x 1)
3
——
log x 1
x x 2 x x 0 log ⇒ ⇒ x 4 3 12 3 La solución x 0 está fuera del dominio dominio,, con lo que no es válida. 1 x x 1) log x 1 ⇒ 10 ⇒ x 1 10 x ⇒ x 1 b) log ( x x 9
a) 2log x log 12
12.82 En 1980, la población de China era de 995 millones de personas, con un crecimiento anual del 1,4%. Ese mismo año, la población de todo el continente africano era de 470 millones de personas, con un crecimiento anual del 2,9%. Si se mantienen estos ritmos de crecimiento, ¿cuántos años pasarán para que China y África tengan el mismo número de habitantes? Ensaya con tu calculadora. La población población de China China será, será, en millones millones de habitant habitantes: es: 995 (1,01 (1,014) 4)t y la de de África África será: será: 470 (1,02 (1,029) 9)t . Ensayando con la calculadora, calculadora, vemos que estas expresiones expresiones coinciden cuando t está entre 51 y 52. 12.83 La población población de una ciudad ciudad en el año 2000 era de 1 500 000 habitantes, habitantes, y en 2006, 2006, de 1 750 000. Si su crecimiento es exponencial, halla la función que expresa el número de habitantes en función de los años transcurridos desde el 2000. x
k a
La población en función del tiempo viene dada por f (t ) . t 0 ⇒ f (0) 1500000 (0) k t 6 ⇒ f (6) (6) 1750000 1500000 a 6 ⇒ 1,16 a 6
Luego la función es: P f f P i i 1 74
i
100
⇒
a 1,026
t ⇒
P f f 1 500 000 (1,02 (1,026) 6)t
12.84 En un laboratorio se cultivan dos tipos de bacterias. Las del tipo A tardan un día en dividirse, y las del tipo B, dos días. Supongamos que inicialmente se tiene una bacteria del tipo A y 16 del tipo B. a) ¿Cuántos días tienen que pasar para que la población de ambos tipos sea la misma? b) Escribe la función que proporciona el número total de bacterias que hay en el laboratorio en función de los días transcurridos. x 2 x a) 2 x 16 2 2 ⇒ x 22
x
16
⇒
2 2
16
⇒
b) f ( x x )
x
2
4
⇒
x 8 días
x
2 x 16 2 2
12.85 El número de habitantes de una determinada población en millones viene dado por la siguiente expresión, en la que t es el número de años transcurridos desde 1900. 1,1 P (t ) 1 70,6 3 0,08t
——
¿Cuál era el número de habitantes en el año 1900? ¿Y en el 2000? 1,1 P (0) (0) 0,015 363 millones de habitantes ⇒ 15 363 habitantes. habitantes. 71,6 P (100) (100) 1,088 289 millones de de habitantes ⇒ 1 088 289 habitantes.
P A R A
I N T E R P R E T A R
Y
R E S O L V E R
12.86 El deshielo Debido al cambio climático, la superficie de hielo en la cima de una montaña disminuye cada año. En la gráfica se señalan las líneas de nivel donde comenzaba la existencia de hielo en tres años diferentes: 1995, 2000 y 2005.
a) Utilizando la fórmula para calcular el área lateral de un cono, calcula la superficie de hielo existente en la cima cada uno de los tres años. b) Con la ayuda de los datos correspondientes a los años 1995 y 2000, establece un modelo de decrecimiento de la superficie de hielo del tipo: AL A Ba 1995 donde a representa el año, y A y B son valores que debes determinar. c) Comprueba que el modelo se ajusta también al año 2005. g g 150 . a) Los tres tres conos, conos, correspondient correspondientes es a los los tres años, verifican que que 1,25 ⇒ r r 120 1,25 Los datos para los tres años son:
Año
b)
g (m)
r (m)
AL r g (m2)
1995
153,75
123
59 411
2000
151,85
121,48
57 952
2005
150
120
56 549
59411
A B 0
57952
5
⇒
A 59411
A B
⇒
B
5
57 952 0,995 59 411
⇒
AL 59411
0,995a
1995
c) Para el año 2005: AL 59411 0,99510 56506 m2 que se ajusta bastante bien a la superficie real. 75
12.87 La escala de Richter Para medir la magnitud M de un terremoto se utiliza la escala de Richter, que queda determinada por la siguiente relación empírica: log E C 1,5 M Siendo E la energía liberada por el seísmo, medida en ergios (1 ergio 107 julios), y C , una constante. a) Calcula el valor de C sabiendo que un terremoto de magnitud 2,4 libera una energía de 10 15 ergios. b) Calcula la relación entre las energías liberadas por dos terremotos cuya diferencia de magnitudes es de una unidad. c) Se estima que, en un determinado planeta, la energía liberada cada año por los terremotos es de 5 1025 ergios. Si todos los terremotos son de magnitud 5, aproximadamente, ¿cuántos ocurren en
un año? 15 C 1,5 M ⇒ log 10 a) log E b) log
E 1 E 2
C
1,5 2,5
⇒
15 C
3,6 11,4
1,5 M 1 C 1,5 M 2 1,5 (M 1 M 2) 1,5 1 log E 1 log E 2 C
c) La energía liberada por un terremoto de magnitud 5 es log E 11,4 7,5 25 10 6 294 627 terr En un un año: año: 5 terremot emotos os 1018,9
1,5
⇒
E 1 E 2
101,5 31,6
18,9 18,9 ⇒ E 10 ergios.
A U T O E V A L U A C I Ó N
12.A1 Decide cuáles de las siguientes funciones son exponenciales, y de las que lo sean, obtén su recíproca. g( x x ) x h( x x ) 42x Son exponenciales las funciones g y h, y sus recípr recíprocas ocas son son g1( x x ) log x y h1( x x ) f ( x )
3
x
log
x .
4
12.A2 En la siguiente gráfica se representan dos funciones exponenciales de distinta base. ¿Cuál de las dos tiene una base mayor? Y g
f
Tiene base mayor la función f , ya que es mayor mayor que que 1, mien mientras tras que que la de g está entre 0 y 1.
1 O
1
X
12.A3 Representa las funciones f ( x x ) log 1 x y g( x x ) 2 a) ¿Tienen el mismo dominio? b) ¿Tienen el mismo recorrido? c) ¿Tienen algún punto en común? d) ¿Son recíprocas?
— —
a) Sí b) Sí c) Sí Sí,, el (1 (1,, 0) x . d) No, porque no son simétricas respecto respecto a la recta y
76
log2 x , y contesta a estas cuestiones. Y
f
1 O
1 g
X
12.A4 Indica qué tipo de funciones se representan en la siguiente gráfica. Y
La función f es la logarítm logarítmica, ica, ya que pasa pasa por el punto punto (1,, 0) (1 0).. La fu func nció iónn g es la exponencial ya que pasa por el punto (0,, 1) (0 1)..
g
1 O 1
X
f
12.A5 Un fabricante aumenta el precio de sus productos según el IPC, que en los últimos años ha aumentado un 2% anual. Si un televisor cuesta este año 350 euros: a) Expresa su precio en función del tiempo. b) ¿Cuál es la función recíproca de la del apartado anterior? ¿Qué significado tiene? 350 (1,02 a) y (1,02)) x con x el tiempo en años.
x
b) y log1,02 350
Proporciona el tiempo que tiene que transcurrir para que el televisor alcance un precio determinado.
E N T R E T E N I D O
Investiga con calculadora Aunque tu calculadora tenga la tecla y x , el resultado de 759 no cabe en la pantalla. Calcula los valores de la función exponencial de base 7 para los primeros números naturales, busca regularidades y haz tu conjetura. ¿Quién de los dos tiene razón?
59
El resultado de 7 termina en 1.
No es verdad. Acaba en 43.
Hallamos con la calculadora los valores de la función exponencial de base 7 para los primeros números naturales. 71
7
75
16 807
79
72
49
76
1177 649 11
...
73
343
77
8233 543 82
74
2401
78
5 764 801
40 353 607
Observamos que se producen regularidades en las últimas cifras y vemos que la terminación del resultado de 759 dependerá del resto de la división entera entera 59 : 4, es decir del exponente entre 4. Como al efectuar este este cociente el resto resto que obtenemos obtenemos es 3, podemos conjeturar conjeturar que la potencia potencia buscada buscada termina en 43. Por lo tanto,, la chica tiene tanto tiene razón. razón.
77
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