Funciones Exponenciales y Logaritmicas
July 29, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
4.1
Funciones exponenciales
Problemas 4.1 Páginas: 173 – 174 Ejercicios: 5, 7, 15, 19, 27, 29, 31, 35 En los problemas problemas 1 a 12 grafique grafique la función 5.
= = − La función original es: - -
-
= 2 la misma que tiene las siguientes siguientes características
= ℝ = [1,∞ , ya que el valor mínimo valor de y es 1, esto es cuando = 0 Es simétrica respecto al Eje Y, se
comprueba reemplazando x por –x de lo cual se obtiene la misma función.
Graficando
= 2 se obtiene la gráfica
que se ubica más a la izquierda, mientras
= = 2−se obtiene desplazando
la gráfica inicial una unidad hacia la derecha.
7.
= = + = 3 se obtiene la función = 3+ . donde = 2 . La función tiene la forma
A partir de la función
La gráfica de
= 3+ se obtiene desplazando la gráfica dede = 3 , = 2
unidades hacia la izquierda.
15.
Población La población proyectada de una ciudad está dada por
= .⁄ donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población que se pronostica para el año 2015? Número de años transcurridos:
= 2015 1995 = 20 ñ =20 es: = 125,0001.11 = 1250001.11 = = 138.750
La población para
En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el interés compuesto para la inversión y la tasa anual dadas. 19.
$4000 durante 7 años al 6% compuesto anualmente
El monto compuesto S del capital P al final de n años a una tasa de d e r compuesta anualmente está dado por:
= 1 entonces: = 4000 = 7 = 0.06 = 400 40011 0.0066 = 6014.52 b) Interés compuesto: 6014.52 4000 = 2014.52 27. $ 8000 durante 3 años a % compuesto diariamente diariamente (suponga que hay 365 das en un a) Si
año).
El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por:
= 1
% . a) Si = =
= 3365 entonces: 0.0625 = 8000(1 8000 (1 365 ) ≈ $9649.69 b) Interés compuesto 9649.69 8000 = $1649.69
29. Inversión: se copra un certificado de depósito por $ 6.500 y se conserva durante durante seis meses. Si gana 4% compuesto trimestralmente ¿Cuál es el valor del certificado al cabo de seis meses años? El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por:
= 1
Si n=6años por 4 trimestres =24
. % = =
= 6500
Entonces: S
= 65001 . ≈ 8253.28
31. En cierto cultivo crecen bacterias y su número se incrementa a razón de
% cada hora. Al
inicio existían 400 bacterias. (a) Determine una ecuación que determine el número, N, de
bacterias presentes después de t horas. (b) ¿Cuántas habrá al cabo de 1 hora? (c) ¿Y después de 4 horas? Dé sus respuestas a (b) y (c) al entero más cercano. (a) Si
= 400 = 0.05
(b) Si
= 1 ℎ entonces:
(c) Si
= 4 horas entonces:
, luego: = 1 = 400 4001,05 1,05
entonces
1 = 400 4001.055 = 420 4 = 400 4001.05 1.05 = 486
Los problemas 35 y 36 involucran una población que declina. Si una población disminuye a una tasa de r por período, entonces la población población P después de t períodos está dada por
donde
es la población inicial (la población cuando t=0).
35.=Población. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1,5% anual. Al inicio había 350000 habitantes ¿Cuántos habrá después de tres años? De su respuesta al entero más cerrado.
= 350000 = 0.015 = 1 1 = 35000 3500001 01 0,0 0,015 15 = 3500000.985 ≈ 334485
Si
4.2
= 3
entonces:
Funciones logarítmicas
Problemas 4.2 Página 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59 En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logarítmica logarí tmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera logarítmica. 1.
=
= ⟺ = Luego, 10 = 10000 ⟺ 10000 = 4 Por definición se tiene:
En los problemas 9 a 16 grafique las funciones
= = /
11.
Transformamos la función a la forma exponencial equivalente
= Luego, haciendo un cambio de variable se tiene: = 14 Graficamos la función =
= = log/
⟺
X
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
Y
16
8
4
2
1
0,5
⇒
1
2
0,25 0,0625
= = log/ intercambiando los valores valores correspondientes a la función = , así:
Graficamos la función
X
16
8
4
2
1
Y
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Se observa que las dos gráficas se reflejan respecto al la recta y=x
0.25 0.0625 1
2
Encuentre x en los problemas 29 a 48
=
29.
Aplicando la definición se tiene:
= 4 ⟺ 3 = entonces = 81 Encuentre x en los problemas 49 a 52 además exprese su respuesta en términos logar logaritmos itmos de logaritmos naturales.
la definición se tiene Aplicando = = 2 ⟺ 2 = 3 El logaritmo natural es: = ⟹ 3 = 2 ⟹ =
49.
57. Apreciación. Suponga que una antigüedad incrementa su valor en 10% cada año. Haga una gráfica del número de años que cierto propietario la conserva como una función del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la gráfica con el nombre de la función. Sean: = valor inicial de de alguna antigüedad 1+10%=1.1 = Factor de incremento = valor de la antigüedad al final de t años
Calculamos el valor de la antigüedad para 1,2,3,….t años.
Tiempo (años) 1 2 3 t
Valor
= 1.1 = 1.11.1 = 1.1 = 1.11.1 = 1.1 = 1.1
Establecemos la función del valor de la antigüedad en función del número de años:
= 1.1
El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la función será: Graficamos esta función dando valores a t y se obtiene la gráfica siguiente:
= 1.1
Graficamos la función inversa, intercambiando los valores que están el EjeX por los
valores del EjeY. Se obtiene la gráfica de color rojo siguiente:
59. Ecuación oferta. La ecuación de oferta de un fabricante es
= Donde q es
el número de unidades al precio unitario p. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?
Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la función de oferta:
log10 990 990 = log log1000 1000 = 3 = log10 = log10 = log
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