Funciones de Varias Variables

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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3 3.1. FUNCIÓN VECTORIA VECTORIA L 3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 3.1. 3.3. DOMI DOMI NIO DE UNA FUNCIÓN 3.2. ESCALAR 3.3. 3.4. CONJUNTO DE NI VEL 3.4. 3.5. LI MI TES DE FUNCIONES DE DE VARIA S VARI ABLES 3.6. CONTINUIDAD 3.7. DERI DERI VADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 3.8. DIFERENCIABILIDAD 3.9. GRADIENTE 3.10. LA DIFERENCI DIFERENCI AL 3.11. REGLA DE LA CADENA 3.12. DERIVACIÓN DERIVACIÓN IMP LICITA OBJETIVOS:

• • • • • • •

Conceptualizar funciones Vectoriales, Escalares y Curvas Describir conjuntos de niveles. Establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables. Determinar si una función de dos variables es derivable o no. Determinar si una función de dos variables es diferenciable o no. Obtener derivadas de funciones compuestas. Obtener Obtener derivadas derivadas de funciones funciones im lícitas. lícitas.

39

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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3.1 FUNCIÓN VECTORIAL 3.1.1 DEFINICIÓN

Una función del tipo  f : U   n  m ; donde a un vector de  n de un conjunto U  , se le asigna uno y solamente un vector de  m , se la denomina FUNCIÓN VECTORIAL o CAMPO VECTORIAL. Ejemplo Sea  f  :  2 →  3 tal que f ( x, y) = ( 2 x − y, x + y , 3 x + 5 y ) Esquemáticamente tenemos:  f   R 2

(1,1) (− 2,0) 

 R 3

(1,2,8) (− 4,−2 − 6) 

 , se la denomina FUNCIÓN ESCALAR, Si m = 1, tenemos  f : U   n CAMPO ESCALAR, O FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.  , tenemos una FUNCIÓN DE Si  f : U   2 números reales se le asigna un único número real.

DOS VARIABLES.

Ejemplo Sea  f  :  2

Si  f : U 

3

 tal que  f  ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y

 , tenemos una FUNCIÓN DE TRES VARIABLES.

Ejemplo Sea  f  : 3

40

 tal que f ( x , y, z) = x2 + y 2 + z 2

A un par de

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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Si n = 1 , tenemos  f : U  CURVA.

 m , la cual se la denomina TRAYECTORIA o



Ejemplo. Sea  f  :  3 tal que  f  (t ) = (2 − 3t , 4 + t , − 1 + 2t ) Tenemos una CURVA de  3 .

Este capítulo lo dedicaremos al estudio de FUNCIONES ESCALARES.

3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 3.2.1 DEFINICIÓN

Sea  f : U   n  . Se llama gráfica  de  f  al conjunto de puntos x1 , x2 ,, xn , f   x de x1 , x2 ,, xn U.    n 1 , donde x Si tenemos  z =  f  ( x, y ) una función de dos variables, su gráfica se define como el conjunto de puntos ( x, y , z ) de  , tales que  z =  f  ( x, y ) . El lugar geométrico es llamado Superficie. Superficie. 3

Algunas superficies que corresponde a funciones, ya se han graficado en el capítulo anterior.

Ejemplo. Para  f  :  2  tal que  f  ( x, y) = 6 − 2 x − 3 y , su grafico es el conjunto (  x, y, z) de 3 tales que  z = 6 − 2 x − 3 y (un plano)  z

6

 z = 6 − 2 x − 3 y

2

 y

Fig. 3.1 3

 x

41

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Elaborar gráficas de una función de dos variables no es tan sencillo, se requeriría de un computador en la mayoría de las ocasiones. Pero sí podemos saber características de sus graficas analizando su regla de correspondencia.

3.3 DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALAR Sea  f : U   n conjunto U 

 , entonces su DOMINIO es el

Es decir, el DOMINIO está constituido por vectores de  n , x = ( x1 , x2 ,, xn ) para los cuales tiene sentido la regla de correspondencia. Aquí a  x1, x 2 ,  , x n se las denominan Si  f : U 

2

VARIABLES INDEPENDIENTES.

 , su dominio será un subconjunto del plano cartesiano.

Establecer el Dominio Natural, igual que para funciones de una variable, es una necesidad en muchas ocasiones.

Ejercicios Propuestos 3.1 Dibújese la región  R del plano  xy que corresponde al Dominio Natural de la función dada.

=  x  y

1.

 z

2.

 z = e  y  x +  y  z =  xy

8.

 x

3. 4. 5. 6. 7.

z=

 z

9.

(

10.  z = arcsen  x 2 +  y 2

4 − 12 2x − 36 2y

= ln(4 −  x −  y )

(

z= ln y− x

2

)

⎛ 9 x 2 − 6 y 2 − 36 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 36 ⎝   ⎠

w = ln ⎜

⎛  x ⎞ ⎛  2  ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎝  y ⎠ ⎝  x +  y ⎠  z = arcsen( x +  y )  f  ( x,  y ) = sen ⎜⎜

)

⎛ x⎞ 11.  z = arccos ⎜ ⎟ ⎝  y ⎠

12.  f  ( x,  y ) =

(

ln 4 −  x 2 −  y 2

)

1

2

arcsen( x +  y )

Obtener trazas de las secciones transversales de la superficie es suficiente, en muchas ocasiones, para su análisis.

42

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3. 4. CONJUNTO DE NIVEL 3.4.1 DEFINICIÓN Sea  f : U   n

 . Se llama CONJUNTO DE NIVEL de  f  , al conjunto de puntos de  n tales que  f  ( x1 , x2 ,, xn ) = k , donde k   .

Si tenemos  z =  f  ( x, y ) una función de dos variables. El Conjunto de Nivel es llamado CURVAS DE NIVEL y serían las trayectorias en el plano  xy tales que f ( x, y) = k .  Es decir, serían las curvas que resultan de la intersección de la superficie con los planos  z = k , proyectadas en el plano  xy . Si tenemos w =  f  ( x,  y, z ) una función de tres variables. El Conjunto de Nivel, f ( x, y, z) = k ,  es llamado SUPERFICIES DE NIVEL

Ejercicios Propuestos 3.2 Descríbase algunas curvas de nivel para: 1. f ( x, y) = 6 + x − y 2.

 f  ( x,  y ) = y 2

3.  z = 4 −  x 2 − y 2 4.  z =  x 2 +  y 2 5.

f

( x, y ) =

xy 2

3.5 LIMITE DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Para definir límite de funciones de varias variables vamos a hacer analogía con el límite de funciones de una variable. Primero empecemos generalizando la definición de entorno o vecindad y otras definiciones que nos permitirán comprender el concepto de límite. 3.5.1 BOLA ABIERTA.

Sea x0 ∈  n y δ  > 0 . Se llama Bola Abierta de centro x0 y radio δ  , denotada por  Bn ( x0 ;δ ) , al conjunto de puntos de  n tales que la distancia a x0 es menor a δ  . Es decir: n  Bn ( x 0 ;δ ) = {x ∈  /  x − x 0 < δ } 43

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Si n = 1 , tenemos B1 ( x0 ; δ ) = { x∈  /  x− x0 funciones de una variable

< δ } ; un intervalo, para

Si n = 2 , tenemos:

B2 ( ( x0 , y0 ) ; δ ) =

{( x, y) ∈ 

 y

2

/

( x− x0 )

2

( x, y) − ( x0 , y0 ) < δ } 2

− ( y− y0 ) < δ 

Fig. 3.7

( x

0

, y0 )

 x

3.5.2 PUNTO INTERIOR

Sea U  ⊆  n y x0 ∈  n , se dice que x0 es un PUNTO INTERIOR de U  , si y sólo si ∃δ  > 0 tal  Bn ( x 0 ;δ  ) está contenida en U  .

3.5.3 CONJUNTO ABIERTO

es un CONJUNTO ABIERTO, si todos sus puntos son interiores a U  . U  ⊆  n

3.5.4 PUNTO EXTERIOR.

Sea U   n y x0  n , se dice que x0 es un PUNTO EXTERIOR de U  , si y sólo si ∃∂ > 0 tal que  Bn ( x0 ; ∂ ) está totalmente fuera de U  .

44

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3.5.5 PUNTO DE FRONTERA

Se dice que x0 es un PUNTO DE FRONTERA de U  , si no es ni interior ni exterior. 3.5.6 CONJUNTO CERRADO.

U 

 n es un CONJUNTO CERRADO si su

complemento es abierto 3.5.7 CONJUNTO SEMIABIERTO.

U 

 n es un CONJUNTO SEMIABIERTO si no

es abierto y tampoco cerrado. 3.5.8 DEFINICIÓN DE LÍMITE

Sea  f : U   n  , donde U  es un conjunto abierto, sea x0 un punto interior o de frontera de U  , entonces:

( lím f ( x) = L) ≡ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / ⎡⎣ x ∈ B ( x ;δ ) , x ≠ x ⎤⎦ ⇒ f ( x ) − L < ε x → x0

n

0

x

x0

 

0

Si n = 2 tenemos: x, y

lím

x0 , y0

f x, y = L ≡

ε

0, δ

0/ 0

2

y

y0

2

δ

f x, y

L

 z       (          

 L ε  ε                   (

 z =  f  ( x, y )

 y δ 

Fig. 3.8

( x , y ) 0

0

 x

45

ε

 

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Es decir, que si tomamos a ( x,  y ) cercano a ( x0 , y 0 ) entonces  f  ( x, y ) estará próximo a  L . Lo anterior va a ser complicado hacerlo en la mayoría de las situaciones, por tanto no vamos a insistir en demostraciones formales. Pero si se trata de estimar si una función tiene límite y cuál podría ser este, podemos hacer uso del acercamiento por diversas trayectorias. El acercamiento por trayectorias no nos garantiza la existencia del límite, sólo nos hace pensar que si el límite existe, ese debe ser su valor. Entonces ¿cómo lo garantizamos?. Si la expresión lo permite podemos usar coordenadas polares. Lo anterior quiere decir que en situaciones especiales (¿cuáles?), podemos utilizar coordenadas polares para demostrar o hallar límites. 3.5.8.1 TEOREMA DE UNICIDAD.

Sea  f : U  ⊆  n →  , donde U  es un conjunto abierto, sea x0 un punto interior o de frontera de U  , entonces:   Si lím f ( x ) = L y lím f ( x ) = M entonces  L = M  x → x0

x →x 0

3.5.8.2 TEOREMA PRINCIPAL.

Si

lím f ( x ) = L

x → x0

1. 2. 3.

y

lím g ( x ) = M  entonces:

x →x 0

lím ⎡⎣ f ( x ) + g ( x ) ⎤⎦ = lím f ( x ) + lím g ( x ) = L + M  

x → x0

x→ x0

x→ x0

lím ⎡⎣ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ = lím f ( x ) − lím g ( x ) = L − M  

x →x 0

x→ x0

x→ x0

lím ⎡⎣ f ( x ) g ( x ) ⎤⎦ = lím f ( x ) lím g ( x ) = LM  

x → x0

x→ x0

x→ x0

f  ( x ) ⎡  f  ( x ) ⎤ xlím L →x 4. lím ⎢ ;  M  ≠ 0 = = ⎥ x →x g (x) M   ⎣ g ( x ) ⎦ xlím →x 0

0

0

Por tanto en situaciones elementales, la sustitución basta.

46

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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Ejercicios Propuesto 3.3 1.

Calcular los siguientes límites: a)

lim

( x , y ) →( 2,1)

b)

lim

( x , y ) →⎛⎜

( x + 3 y ) 2

π  ⎞ ,2 ⎟ ⎝4 ⎠

  ysen( xy)

⎛  y ⎞ ⎟ ⎝ k  ⎠

  x2 sen ⎜

c)

lim

( x, y) →( k,0  )

d) 2.

lim

( x , y ) →( 0,0)

 y e xy

e) f)

g)

lim

( x , y ) →( 0,0)

lim

( x , y ) →( 0,0)  x

lim

( x , y ) →( 0,0)

2 x − y 2 2 x 2 + y  x 2 y 2

+ y2

sen ( x + y )  y

−1

 x

Calcúlese el límite de  f  ( x,  y ) cuando ( x,  y) → (a, b ) hallando los límites: lim g ( x) y  x → a

lim h ( y ) , donde f ( x, y) = g ( x ) h ( y )  y → b

a)

lim

(1 + senx)(1 − cos  y )

 x → 0  y → 0

b)

c)

 y

2 x( y − 1) lim ( x + 1) y  x →1  y → 2

lim

cos  x seny  y

 x → 0  y → 0

d)

lim (  x →1  y → 0

 xy

 x − 1)e

y

3.6. CONTINUIDAD Sean  f : U  ⊆  n →  , sea x0 un punto de U  . Decimos que  f  es continua en x0 si y sólo si: lím f ( x ) = f (  x 0 ) x→ x 0

3.6.1 CONTINUIDAD EN UNA REGIÓN

Sea  f : U  ⊆  n →  . Se dice que  f  es continua en todo U  si y sólo si es continua en cada punto de U  .

47

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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3.6.1.1 Teorema Si  f  y g son

continuas en son continuas:  f

+ g ,  f − g ,  f g ,

x0 ,  f  g

entonces también

donde ( g ( x 0 ) ≠ 0 )

Ejercicios propuestos 3.4 Analice la continuidad en ( 0, 0 ) de las siguientes funciones:

⎧ sen  xy , ( x,  y ) ≠ (0,0) ⎪ a)  f  ( x,  y ) = ⎨  xy ⎪ 1 , ( x,  y ) = (0,0) ⎩ ⎧⎪e xy , ( x,  y ) ≠ (0,0) b)  f  ( x,  y ) = ⎨ ⎪⎩1 , ( x,  y ) = (0,0)

(

)

⎧ cos  x 2 +  y 2 ,  x 2 +  y 2 ≠ 0 ⎪1 − c)  f  ( x,  y ) = ⎪⎨  x 2 +  y 2 ⎪ ⎪⎩ −8 ,  x 2 +  y 2 = 0 ⎧ 1 −  x 2 −  y 2 ,  x 2 +  y 2 ≠ 0 ⎪ ⎪ 2 2 d)  f  ( x, y ) = ⎨ 1 −  x −  y ⎪ ⎪⎩ 1 ,  x 2 +  y 2 = 0

e)

f)

g)

h)

⎧ x 3 +  y 3 , ( x,  y ) ≠ (0,0) ⎪  f  ( x,  y ) = ⎨ x 2 +  y 2 ⎪ 0 , ( x,  y ) = (0,0) ⎩ ⎧  xy , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ f ( x, y) = ⎨  x + y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧  xy + x − y , ( x, y) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ 2 2 f ( x, y) = ⎨  x + y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧⎪ 1 − x2 − 4 y2 , x2 + 4 y2 ≤ 1 f ( x, y) = ⎨ 0 ,  x 2 + 4 y 2 > 1 ⎪⎩

3.7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR. Para funciones de una variable, la derivada se la definió como el cambio instantáneo que experimenta la función cuando cambia su variable independiente  x . Aquí había que considerar una sola dirección, para función de varias variables debería ser el cambio instantáneo que tiene la función en todas las direcciones en la vecindad de un punto.

48

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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3.7.1 DERIVADA DIRECCIONAL. Derivada de un campo escalar con respecto a un vector.

Sea  f : U  ⊆  n →  , donde U  es un conjunto abierto, sea x0 un punto de U  y sea v un vector de  n . La derivada de  f  en x0 con respecto a v , denotada por  f ´ x 0 ; v o también  Dv f  x0 , se define como:  f ( x0 + v ) − f  ( x0 )  f ´( x 0 ; v ) = lim v →0 v

Cuando este límite existe. Ahora bien, si decimos que v UNITARIO  de

= h entonces v = hu donde u un VECTOR 

 n , entonces:

La derivada  direccional  de respecto u es:  f ´ x0 ; u

Si  f : U 

2

f x0

lim h

hu

 f 

en

x0

con

f x 0

h

0

 (una función de dos variables), entonces: f´

x0 , y0 ; u

lim h

0

f

x0 , y 0

hu

f x0 , y0

h

Si la derivada direccional en un punto existe (en todas las direcciones), diremos que la función es derivable en ese punto. Más adelante daremos una técnica para hallar derivadas direccionales sin emplear la definición.

49

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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Ejercicios Propuestos 3.5 1. Determine la derivada direccional de  f  en el origen en la dirección del vector unitario ( a, b ) .

⎧ x3 − y 3 ; ( x, y ) ≠ ( 0, 0) ⎪ a) f ( x, y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0) ⎩ ⎧ x3 y2 − xy3 ; ( x, y ) ≠ ( 0, 0) ⎪ b) f ( x, y) = ⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0) ⎩ ⎧  y 2 − x 2 ; ( ,x )y≠ ( 0, 0) ⎪ xy c) f ( x, y) = ⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0) ⎩ ⎧  xy + x − y , ( x, y) ≠ ( 0, 0 ) d) f ( x, y) = ⎪⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧  y 3 x , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) e) f ( x, y) = ⎪⎨ x 2 + y 6 ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩

Un caso especial de las derivadas direccionales es cuando consideramos dirección con respecto a eje  x y con respecto al eje  y .

3.7.2 Derivada Parcial. Sea  f : U  ⊆  n →  , donde U  es un conjunto abierto, sea x0 un punto de U  y sea ei 0,0,,1,,0 el vector canónico unitario  de  n (el vector que tiene 1 en la i -ésima posición y 0 en las demás). La derivada parcial  de  f  en x0 con respecto a ei (o con respecto a su i − ésima variable), denotada por define como:  f   xi

x0

lim h

f x0

0

Cuando este límite existe

50

hei h

 f   xi f x 0

x0

, se

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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Si  f : U   2  (una función de dos variables), entonces los vectores canónicos unitarios serían: e1 i 1, 0 y e 2 j 0,1 . Las derivadas parciales serían: f ( ( x0 , y0 ) + h(1,0 ) ) − f ( x0 , y0 ) ∂ f  ( x , y ) = lim ∂ x1 0 0 h→0 h ∂ f  Denotada simplemente como: o también  f  x , es decir: ∂ x f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂ f  ( x0 , y0 ) = lim h→0 h ∂ x

Y la otra derivada parcial sería: f ( ( x0 , y0 ) + h( 0,1) ) − f ( x0 , y0 ) ∂ f  ( x0 , y0 ) = lim h →0 ∂ x2 h ∂ f  Denotada simplemente como: o también  f  y , es decir: ∂ y f ( x0 , y0 + h) − f ( x0 , y0 ) ∂ f  ( x0 , y0 ) = lim h→0 h ∂ y

Note que

∂ f  se obtiene como una derivada para función de una variable, en ∂ x

este caso  x , y considerando a la otra variable  y como constante. Análogamente, si se desea obtener

∂ f  , deberíamos derivar considerando ∂ y

sólo a  y como variable. En otros tipos de funciones habrá que aplicar la definición.

Ejercicios propuestos 3.6 1. Encontrar 

∂ f  ∂ f  , si : ∂ x ∂ y 2 2 d)  f  ( x,  y ) =  xe x + y

a)  f  ( x,  y ) = xy b) f ( x, y) = ( x2 + y2 ) ln ( x2 + y2 )

(

)

c)  f  ( x,  y ) = cos  ye xy sen x

e)  f  ( x,  y ) =  x cos x cos y sen( xy )

f) f ( x, y) =

∫

 y

g( t) dt  

2

2. Hallar   f  x ( 0, 0 ) y  f  y ( 0, 0 ) , para:

51

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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⎧  xy2 ⎪ 2 2 a) f ( x, y) = ⎨ x + y ⎪ 0 ⎩

si( x, y ) ≠ ( 0,0) si( x, y ) = ( 0,0)

⎧ x3 y2 − xy3 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) b) f ( x, y) = ⎪⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧ 2 2 ⎛ 1 ⎞ x − y ) sen⎜ 2 , ( ,x y) ≠ ( 0, 0 ) ( ⎪ 2 ⎟ c) f ( x, y) = ⎨ ⎝  x + y ⎠ ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩

⎧ sen ( x 2 − y 2 ) ⎪ ; ( x, y ) ≠ ( 0, 0) d) f ( x, y) = ⎨ x+ y ⎪ 0 ; ( x, y ) = ( 0, 0) ⎩ ⎧  xy e) f ( x, y) = ⎪⎨  x + y ⎪ 0 ⎩ ⎧  y 3 x , f) f ( x, y) = ⎪⎨ x 2 + y 6 ⎪ 0 , ⎩

3.7.2.1

,

( x, y ) ≠ ( 0, 0 )

,

( x, y ) = ( 0, 0 )

( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ( x, y ) = ( 0, 0 )

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DERIVADAS PARCIALES

DE

LAS

Se ha definido la derivada tratando de que se entienda como la variación de la función con respecto a una dirección. Entonces la derivada parcial pendiente de la recta tangente paralela al plano  zx , observe la figura:

Fig. 3.10

52

∂ f  , será la ∂ x

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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Un vector director S de esta recta será de la forma: En cambio, la derivada parcial

⎛ ⎝

S = ⎜1,0,

∂f  ⎞ ∂ x ⎟⎠

∂ f  , será la pendiente de la recta tangente ∂ y

paralela al plano  zy , observe la figura: Fig. 3.11

Un vector director S de esta recta será de la forma:

⎛

S = ⎜ 0,1,

⎝

∂f  ⎞ ∂ y ⎟⎠

3.7.3 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Sean  f : U 

2



tal que

 z =  f  ( x, y ) . Suponga ∂ f  ∂ f 

que las derivadas parciales

∂ x

y

∂ y

existan.

Entonces las Derivadas parciales de Segundo  Orden se definen como: ∂ f ∂f  x0 + h, y0 ) − ( ( x0 , y0 ) ∂  f ∂ ⎛ ∂f  ⎞ ∂ ∂  x x = = lim =  f  xx h ∂ x2 ∂ x⎜⎝ ∂ x⎟⎠ h →0 ∂ f ∂f  x0 , y0 + h) − ( ( x0 , y0 ) 2 ∂  f ∂ ⎛ ∂f  ⎞  x x ∂ ∂ = = lim =  f  xy ∂ y∂ x ∂ y⎜⎝ ∂ x⎟⎠ h→0 h 2

53

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

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∂ f ∂f  ( x0 + h, y0 ) − ( x0 , y0 ) ∂y ∂y

∂  f ∂ ⎛ ∂f  ⎞ = ⎜ ⎟ = lim =  f  yx h ∂ x∂ y ∂ x⎝ ∂ y⎠ h→0 ∂ f ∂f  + − , x y h ( ) (x, y ) 0 0 ∂ 2  f ∂ ⎛ ∂f  ⎞ ∂y ∂y 0 0 = = lim =  f  yy h ∂ y2 ∂ y⎜⎝ ∂ y⎟⎠ h→0 2

Cuando estos límites existan. A  f  xy y a  f  yx se las denominan Derivadas Mixtas o Derivadas Cruzadas . Note que las derivadas cruzadas son iguales.

3.7.3.1 TEOREMA DE SCHWARZ

Sea

 f : U 

R

2

abierto U  de

R

, una función definida en el

∂  f  . Si las derivadas parciales ∂ x∂ y 2

R

2

∂  f  y existen y son funciones continuas en U  , ∂ y∂ x ∂  f  ∂  f  entonces: = ∂ x∂ y ∂ y∂ x 2

2

2

Analicemos el siguiente ejemplo, donde se hace necesario emplear las definiciones de las derivadas parciales.

Ejercicios propuestos 3.7 1.

Calcular, si existen , la derivada mixta

(

)

⎧ xy x 2 − y 2 ⎪⎪ a)  f ( x,  y) = ⎨  x 2 + y 2 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎧ x 4 y 2 − x 2 y 4 ⎪ b)  f ( x, y ) = ⎪⎨  x3 + y 3 ⎪ ⎪⎩ 0

54

∂ 2  f  ( 0,0 ) ∂ 2  f  ( 0,0 ) y para: ∂ x∂y ∂ y∂x

2

2

2

2

si  x + y ≠ 0 si x + y = 0 si  x 2 + y 2 si  x 2 + y 2

≠0

=0

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

⎧ x 3 y 2 −  xy 3 si( x,  y ) ≠ (0,0) ⎪ c)  f  ( x,  y ) = ⎨  x 2 +  y 2 ⎪ 0 si( x,  y ) = (0,0) ⎩

3.8. DIFERENCIABILIDAD. Existen funciones que poseen todas sus derivadas direccionales, sin embargo no pueden ser consideradas diferenciables debido a que no son continuas (ejemplo 4 de derivada direccional), entonces deberá existir un criterio más fuerte para la diferenciabilidad. Recordemos la definición de diferencial para función de una variable, observe la gráfica:  y y = f ( x)

f ( x0 + h)

r 

}

}

}

dy

 f ( x0 )

Δ y

h = dx = Δ x

Fig. 3.13

 x0 + h  x

 x0

Note que Δ y =

dy+ r ,  donde

a

r 

le vamos a llamar residuo.

Reemplazando tenemos: dy + r   Δ y = f ( x0 + h) − f ( x0 ) = f ´( x0 ) h + r  

Dividiendo para lim h →0

h

y tomando limite

f ( x0 + h) − f ( x0 ) h

=  f ´( x0 ) + lim h →0

r  h

55

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Podemos decir que para que  f  sea diferenciable (la recta tangente sea una buena aproximación de la función) se debe dar que:

lim h →0

r  h

=0

Haciendo analogía para funciones de dos variables. El punto debe ser ( x0 , y0 ) y h debe ser un vector, digamos ( h1 , h2 ) , entonces la expresión para la diferenciabilidad debe ser de la forma:

f ( ( x0 , y0 ) + ( h1 , h2 ) ) − f ( x0 , y0 ) = A1 h1 + A2 h2 Y deberá ocurrir que lim

h →0

r  h

+r  

=0

Aquí se dice que el plano tangente es una buena aproximación de la función en la cercanía del punto. Encontremos  A1 . Suponga que h = ( h1 ,0 ) , entonces:

f ( ( x0 , y0 ) + ( h1 ,0 ) ) − f ( x0 , y0 ) = A1 h1 + A2 0 + r   Dividiendo para h1 y tomando límite:

lim

f ( x0

+ h1 , y0 ) − f ( x0 , y0 )

h1 →0

Tenemos que  A1

h1

= f  x ( x , y ) 0

0

Análogamente obtengamos  A2 Suponga que h = ( 0, h2 ) , entonces:

56

=  A1 + lim h1 →0

r  h1

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

f ( ( x0 , y0 ) + ( 0, h2 ) ) − f ( x0 , y0 ) = A1 + A2 h2

+r  

Dividiendo para h2 y tomando límite:

f ( x0 , y0

lim

+ h2 ) − f ( x0 , y0 )

h2 →0

=  A2 + lim

h2 →0

h2

= f  y ( x , y )

Tenemos que  A2

0

r  h2

0

Ahora sí podemos proponer la siguiente definición para la diferenciabilidad.

Sea  f : U  ⊆ R2 → R , una función definida en el abierto U  .  f  es DIFERENCIABLE  en ( x0 , y0 ) ∈ U ,  si sus derivadas parciales en ( x0 , y0 ) existen y si lim

[

f( x + h , 0

1

( h1 , h2 ) →( 0,0 )

y0 + h2 )

− f( x , y )] − [  xf ( x , y )] h1 − ⎡⎣ fy ( x , y )⎤⎦ h2 =0 2 2 h1 + h2 0

0

0

0

0

0

Los siguientes teoremas permiten sacar conclusiones rápidas. 3.8.1 TEOREMA Si  f : U  ⊆ R 2

→ R , es diferenciable en ( x0 , y0 ) ∈ U , 

entonces es continua en ( x0 , y0 ) . En ciertas funciones, bastará con demostrar que son diferenciables para concluir que es continua.

3.8.2 TEOREMA

Sea  f : U  ⊆ R 2 → R . Si las funciones derivadas parciales son continuas en ( x0 , y0 ) entonces  f  es diferenciable en ( x0 , y0 ) . 57

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Para ciertas funciones, bastará con determinar la continuidad de sus derivadas parciales para concluir que es diferenciable. El recíproco del teorema anterior es falso. Observe el siguiente ejemplo.

Ejercicios propuestos 3.8 1. Demostrar que si f ( x, y) es diferenciable en ( a, b ) entonces es continua en ( a, b ) 2. Analizar la diferenciabilidad en el origen para:  xy ⎧ ⎪⎪ a)  f  ( x,  y ) = ⎨  x 2 +  y 2 ⎪ 0 ⎩⎪

(

)

1

si( x,  y ) ≠ (0,0) 2

si( x,  y ) = (0,0)

1 ⎧ 2 2 ⎪( x − y ) sen x 2 + y 2 si( x, y) ≠ ( 0, 0) b) f ( x, y) = ⎨ ⎪ s i( x, y ) = ( 0,0) 0 ⎩

⎧ x3 y2 − xy3 , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) c) f ( x, y) = ⎪⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧( x2 − y2 ) sen 1 , ( x, y) ≠ ( 0, 0 )  x + y d) f ( x, y) = ⎪⎨ ⎪⎩ 0 , ( x , y ) = ( 0, 0 ) ⎧ sen ( x 2 − y 2 ) ⎪ , ( x , y ) ≠ ( 0, 0 ) e) f ( x, y) = ⎨ x+ y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩

(

⎧  y 2 − x 2 ⎪ xy f) f ( x, y) = ⎨  x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩ g)

h)

i)

 j)

58

2

2

)

si( ,x y) ≠ ( 0, 0) s i( x, y ) = ( 0, 0)

⎧  xy , ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ f ( x, y) = ⎨  x + y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧  xy + x − y , ( x, y) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ 2 2 f ( x, y) = ⎨  x + y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧  y 3 x , ( x , y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ 2 6 f ( x, y) = ⎨ x + y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩ ⎧  y 5 x 2 , ( x , y ) ≠ ( 0, 0 ) ⎪ 4 10 f ( x, y) = ⎨ 3 x + 2 y ⎪ 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 ) ⎩

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

3.9. GRADIENTE. Sea  f : U  ⊆ R n → R una función diferenciable. Se define el vector gradiente de  f  en x0 , denotado por ∇ f  ( x0 ) o grad f  ( x0 ) , como el vector de  n : ⎛ ∂f ∂f ∂f ∂ f ⎞  , ,, ∇ f  ( x0 ) = ⎜ , ⎟ x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ n ⎠( x ) ⎝ 1 2 3 0

3.9.1 GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL En la expresión para el residuo.

] h1 + ⎡⎣ fy ( x , y )⎤⎦ h2 + r   Observe que h = ( h1 , h2 ) lo podemos expresar como h = h u , donde u f ( ( x0 , y0 ) + ( h1 , h2 ) ) − f ( x0 , y0 ) = [ f x (

x0 , y0 )

0

0

es un vector unitario. Suponga que h = h y que u = ( u1 , u2 ) entonces h = h ( u1 , u2 ) Ahora, dividiendo para h y tomando límite: lim h →0

f ( ( x0 , y0 ) + hu ) − f ( x0 , y0 ) h

= [  f x (

x0 , y0 )

h

] 1 + ⎡⎣ f y ( x , h 0

y0 ) ⎤

h2

⎦h

r  Si  f  es diferenciable entonces lim . h→0 h Con lo cual resulta: f ( ( x0 , y0 ) + hu ) − f ( x0 , y0 ) = [  xf ( x , y )] u1 + ⎡⎣ fy ( lim h→0 h Finalmente Du f ( x0 , y0 ) = ⎡⎣∇ f ( x0 , y0 ) ⎤⎦ • u 0

0

+ lim h →0

r  h

x0 , y0 ) ⎤

⎦ u2

Ejercicios propuestos 3.9 1. Halle la derivada direccional de la función en el punto P en la dirección de Q . , P(3,1), Q(1, − 1) a) f ( x, y) = x2 + 4 y2 b) f ( x, y) = cos ( x + y)

, P(0, π ),

π  Q( , 0) 2

59

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

, P(1, 0, 0), Q(4,3,1) c) f ( x, y, z ) = ln ( x + y + z ) , P ( 2, 4, 0 ) , Q ( 0, 0, 0 ) d) g ( x, y, z ) = xye z

2. Dado el campo escalar   f  : R n

R

4

tal que  f  x

x , calcular:

a)  f  ' x; v b) Si n=2, hallar todos los puntos  x, y en R 2 para los cuales: f' ( 2i + 3j ; ix+ jy) = 0 c) Si

n=3

, hallar todos los puntos f' ( i + 2 j + 3k ; xi + yj + zk ) = 0

3. Calcule la derivada de la función

f ( x, y) = xsen y

  x, y, z

en

R

3

para los cuales

en el punto (3,0), en la dirección del vector 

tangente a la parábola  y = x 2 en el punto (1,1)

3.9.2 PROPIEDADES DEL GRADIENTE 1. El Gradiente es un vector ortogonal a los conjuntos de nivel. 2.

De la igualdad Du f( x 0 ) = ⎡⎣∇ f( x 0 ) ⎤⎦ • u tenemos

Du f( x 0 ) =

∇ f( x  0 ) u cosθ 

Si el gradiente y el vector unitario tienen la misma dirección ( θ  = 0 ) entonces la derivada direccional tendría el máximo valor y sería: D f( x0 ) máx = ∇ f( x0  ) u Si el gradiente y el vector unitario tienen dirección contraria ( θ entonces la derivada direccional tendría el mínimo valor y sería: D f( x0 )mín = − ∇ f( x0  ) u

= π  )

Ejercicios propuestos 3.10 1.

La temperatura en el punto ( x,  y ) de una placa viene dada por: T ( x ) =

 x  x

2

+ y2

. Hállese la

dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3, 4). 2.

Se

describe

la

superficie

h ( x, y ) = 4000 − 0.001x

2

de

una

montaña

mediante

la

ecuación

− 0.004 y 2 . Supóngase que un alpinista está en el punto

(500, 300, 3390). ¿En qué dirección debe moverse el alpinista en orden a ascender lo más rápido posible? 3.

Suponer que la temperatura en el punto P( x,y,z) en el espacio está dada por  T ( x,  y,  z ) =  x 2

+  y 2 + z 2 sea una partícula que viaja por la Hélice Circular 

σ(t ) = (cos t , sen t , t ) y sea T (t ) su temperatura en el punto t . a. b.

60

¿Cuál es el valor de T (t  =0)?. ¿Qué dirección debe tomar la partícula para avanzar hasta la región de más baja temperatura?.

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA 4.

El Capitán América tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición ( x,y,z) estará dada por  T ( x,  y,  z ) = e

− x 2 − y 2 −3 z 2

donde x, y, z se miden en metros. Si la nave del Capitán América se encuentra en el punto (1,1,1). a. ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápido la temperatura? b. Desafortunadamente el casco de la nave se cuarteará si se enfría a una tasa mayor de 14e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posible en las que puede avanzar para bajar la temperatura.

3.9.3 VECTORES NORMALES Y PLANOS TANGENTE Cuando se interpretó geométricamente las derivadas parciales, se definió que un vector directriz de la recta tangente paralela al plano  zx , en un punto de la superficie z = f ( x, y ) , está dado por S1 = (1,0,  f  x ( x ) ) ; y un vector directriz de la recta tangente paralela al plano  zy está dado por S 2 = ( 0,1,  f  y ( x ) ) . 0

0

 z

= S1 × S 2

 n

S1 S2

= ( 0,1,  f  y ( x ) ) 0

•

= (1,0,  f  x ( x ) ) 0

( x0 , y0 ,  f  ( x0 , y0 ))

z = f ( x, y)  y0

 y  x0

( x0 , y0 )

Fig. 3.14  x

Si multiplicáramos en cruz estos vectores obtendríamos un vector normal a la superficie en ese punto i

j

S1 × S 2 = 1

0

0

1

k 

(

)

f x = − f (x x ) , − f y( x   ) ,1 0

0

 f  y

Por tanto el plano tangente en ese punto tendría por ecuación

− f x ( x )[ x − x0 ] − fy ( x )[ y − y0 ] + 1[ z − z0 ] = 0 0

0

61

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Lo anterior también se lo puede interpretar desde la definición de diferenciabilidad. Si la función es diferenciable en un punto, el plano tangente en las cercanías de ese punto es una buena aproximación de la función; es decir:

≈z

 z

función

z

plano

≈ z + f ( x )x[ x − x0 ] + f ( x )y[ y − y0 ]

0 función

0

0

3.10. LA DIFERENCIAL 3.10.1 DEFINICIÓN

Sea  f : U  ⊆  2 →  una función diferenciable en Entonces para cada x ∈U  se tiene: f( x + h ) =

A la parte

f( x ) +

U  .

∂f ∂f  dx+ dy+ r   ∂ x ∂y

∂ f ∂f  dx + dy ∂ x ∂y

Se le denomina diferencial  de como df  .

 f  ,

y se la denota

3.10.2 APROXIMACIONES Si se dice que

Δ f ≈ df,  entonces tenemos:

f ( x0 + Δ x, y0 + Δ y) − f ( x0 , y0 ) ≈ [ f x ( x , y )] dx+ ⎡⎣ fy ( x , y )⎤⎦ dy 0

0

0

0

Como dx = Δx y dy = Δy Tenemos la formula de aproximación: f ( x0 + Δ x, y0 + Δ y) ≈ f ( x0 , y0 ) + [ f x ( x , 0

62

y0 )

]Δ x + ⎡⎣ fy ( x , 0

y0 )⎤ Δ y

⎦

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

3.10.3 CALCULO DE ERRORES El error en una función se lo puede considerar como la variación de la función, entonces tenemos que:

Δ f≈

∂ f ∂f  Δ x+ Δ y ∂ x ∂y

Ejercicios propuestos 3.11 1.

Calcular aproximadamente a) 1.023.01 3

b)

[4.052 + 8.982 - 0.992]

c)

(1.03)2 [(0.982 ) (1.053 )

2 1

4

- 13

]

2.

La altura de un cono es h = 30cm , el radio de su base R= 10 cm. ¿Cómo variará el volumen de dicho cono si  H  se aumenta 3mm y  R se disminuye 1 mm?

3.

Calcule el valor aproximado de la función  f  ( x,  y ) =  x y en el punto ( 3.1;1.9)

4.

Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 mts. Y el ángulo que forman es de 60º. Sabiendo que los errores probables en la medición es de 0.2 mts. en la medida de los lados y de 1º en la del ángulo. Determine el máximo error probable que se puede cometer al evaluar su área. Determine también el error en porcentaje.

5.

Aproximar el porcentaje en el cual crece el volumen de un cilindro circular recto si el radio aumenta en un 1% y la altura en un 2%.

6.

Calcule la longitud del segmento de recta  x = 1.2,

y

= 0.95 que se encuentra entre la

superficie  z =  x 2 + 5 y 2 y su plano tangente en el punto (1,1,6 ) .

3.10.4 DEFINICIÓN GENERAL DE DIFERENCIAL

Sea  f : U  ⊆ R n → Rm . Se dice que f = ( f1 , f2 ,, fm )  es diferenciable en x0 ∈U  si y sólo si   una buena =z (fx0 ) + ⎡⎣ Df( x0 ) ⎤⎦ [ x − x0 ] + r es aproximación de  f  en una vecindad de x0 ; es decir: (fx0 + h ) = (fx0 ) + ⎡⎣ Df ( x0 ) ⎤⎦ [ x − x0 ] + r   Y se cumple que

lim

h →0

r  h

= 0.

63

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

A

se le llama M ATRIZ  D IFERENCIAL J ACOBIANA y se define como:  Df  ( x 0 )

⎡ ∂∂ xf ⎢∂ f ⎢∂ x  Df  ( x 0 ) = ⎢ ⎢ ⎢ ∂∂ fx ⎣

∂ 1f ∂ 2x

1

1

1

⎤   ⎥ ∂ f    ∂ x⎥ ⎥  ⎥  ∂∂ fx⎥⎦   x 2

n

 ∂ mf ∂ 2x

m

1

∂ 1f ∂ nx



∂ 2f ∂ 2x

2

O 

m n

0

3.11. REGLA DE LA CADENA. Sea  f : U  ⊆ R n → R m y sea g : V  ⊆ R p → R n . Si g es diferenciable en x 0 y  f  es diferenciable en g ( x0 ) , entonces: D ⎡⎣ (f g ( x ) )⎤⎦ = [ Df]g( x ) [ Dg ]x 0

0

En términos sencillos, si tenemos

0

z = f ( x, y ) donde  x = x ( t ) y

 y = x ( t ) , entonces: dz dt

=

df dt

=

∂z dx ∂z dy + ∂x dt ∂y dt  ( x( ), y( ) ) t

t 

Por lo tanto, si tenemos z = f ( x, y ) donde  x = x ( u , v ) y  y = x ( u , v ) , entonces: ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y

∂u

=

∂x ∂u

+

∂y ∂u ( x(

u , v ), y ( u , v )

Y

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ( x(

64

u , v ), y ( u , v )

)

)

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Ejemplo 7  x 2 + y 2 ⎛  y ⎞ Sea  f ⎜ ⎟ = x ⎝  x ⎠ SOLUCIÓN:

Si hacemos u =

 y  x

;x > 0

, hallar   f ( x ) .

, tenemos:

 x 2 + y 2 ⎛  y ⎞  f  ⎜ ⎟ = x ⎝  x ⎠ 2

x + ( ux) 2

 f ( u ) =

x

=

x2

+ u 2 x2 x

=

(

 x 2 1 + u 2

)

x

f( u) = 1 + u

2

Si hacemos ahora u = x Entonces 2 f( x) = 1 + x

Ejemplo 8 Demostrar que z = f ( 2 x + y, − 4 x − 2 y) satisface la ecuación

∂ z ∂z −2 = 0 ∂ x ∂y

Solución: Aquí tenemos z = f ( u, v) donde u = 2 x + y , v = − 4 x − 2 y , entonces: ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂ z ∂z = ( 2 ) + ( −4 ) ∂u ∂v ∂z ∂z ∂z =2 −4 ∂x ∂u ∂v

y

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂ z ∂z = (1) + ( −2 ) ∂u ∂v ∂z ∂z ∂ z = −2 ∂y ∂u ∂v

Ahora reemplazando: ∂ z ∂z −2 =0 ∂ x ∂y ⎛ ∂ z ∂ z⎞ ⎛ ∂ z ∂ z⎞ ⎜ 2 ∂u − 4 ∂v ⎟ − 2 ⎜ ∂u − 2 ∂v ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂z ∂z ∂z ∂z 2 −4 −2 +4 =0 ∂u ∂v ∂u ∂v

Ejemplo 9 ⎛  x + y ⎞ ∂z 2 ∂ z Si z= xy f⎜ − y2 ⎟ ; xy≠ 0 . Calcular   x ∂ x ∂y ⎝  xy ⎠ Solución: Aquí podemos obtener las derivadas parciales directamente:

65

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA ⎛ x+ y⎞⎤ ∂ z ∂ ⎡ = ⎢ xy f  ⎜ ⎟⎥ = ∂ x ∂ x⎣ ⎝ xy ⎠⎦ ⎛ x+ y ⎞ ∂z = ⎜ yf ⎟ + ∂ x ⎝ xy⎠

⎛ x+ y⎞ ⎡ (1) xy − ( x+ y) y⎤ ´⎜xyf   ⎟ ⎢ ⎥ 2 xy⎠ ⎣⎢ ( xy ) ⎝ ⎦⎥

⎛ x+ y⎞ ⎛ x+ y⎞ ⎡ xy− xy− y2 ⎤ ∂z = yf⎜ ⎥ ) ´⎜f   ⎟ ⎢ ⎟ + ( xy 2 ∂ x ⎝ xy xy ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ( xy ) ⎛ x+ y ⎞ y ⎛ x+ y⎞ ∂z = ⎜ yf ⎟ − ´⎜ f   ⎟ ∂ x x ⎝ xy ⎠ ⎝ xy ⎠

Y ⎛ x+ y⎞ ⎤ ∂ z ∂ ⎡ = ⎢  xy f ⎜ ⎟⎥ = ∂ y ∂ y⎣ ⎝ xy ⎠ ⎦ ⎛ x+ y ⎞ ∂z = ⎜ xf ⎟ + ∂ y ⎝ xy⎠

⎛ x + y⎞ ⎡ (1) xy − ( x+ y) ´⎜xyf   ⎟ ⎢ 2 xy⎠ ⎢ ( xy ) ⎝ ⎣

⎛ x+ y⎞ ⎛ x+ ) ´⎜f   ⎟ + ( xy xy ⎝ ⎠ ⎝

∂z = ∂ y

xf ⎜

∂z = ∂ y

⎛ x+ y ⎞ x ⎛ x+ y ⎞ ´⎜ f   ⎟ ⎜ xf ⎟ − y ⎝ xy ⎠ ⎝ xy ⎠

x2

⎥ ⎥⎦

y⎞ ⎡ xy− x − yx⎤ 2

⎟⎢ xy ⎠ ⎢⎣

( xy )

Reemplazando: ⎡ ⎛ x + y ⎞ y ⎛ x + y ⎞⎤ ∂z 2 ∂ z ´f⎜ x2 − y = 2x⎢ yf⎜ ⎟− ⎟⎥ − x ⎝ xy ⎠ ⎦ ∂ x ∂ y ⎣ ⎝ xy ⎠ ⎛ x+ y ⎞ ⎛ x+ y⎞ 2 ´⎜ = 2x yf⎜ ⎟ − xyf ⎟− y xy xy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x+ y⎞ 2 ⎛ x+ y⎞ = x2 yf⎜ ⎟ − y xf⎜   ⎟ ⎝ ⎠xy ⎝ ⎠xy ⎛ x+ y⎞ ∂ z ∂z x2 − y2 = ( x−   y) xyf ⎜ ⎟ ∂ x ∂y ⎝  xy ⎠

Es decir:

x⎤

2

⎥ ⎥⎦

⎛ x+ y ⎞ x ⎛ x+ y⎞⎤ ´f⎜   ⎟ ⎥ ⎟− y ⎝ xy ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ xy ⎠ ⎛ x+ y⎞ ⎛ x+ y ⎞ ´⎜   xf ⎜ ⎟ + xyf ⎟ xy xy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎡

y ⎢ xf⎜

∂ z ∂z − y2 = ( x− y) z ∂ x ∂y

Ejemplo 10 Demostrar que z = f ( x − 2 y, 2 x + y) satisface la ecuación SOLUCIÓN: Aquí tenemos z = f ( u, v) donde u = x − 2 y , v = 2 x + y Las derivadas parciales de primer orden serían: ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂ z ∂z = (1) + ( 2 ) ∂u ∂v

Hallemos

66

∂ 2 z ∂ x 2

y

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂ z ∂z = ( −2 ) + (1) ∂u ∂v

∂ 2 z ∂ 2 z + =0 ∂ x 2 ∂y 2

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

∂ 2 z ∂ ⎛ ∂ z⎞ ∂ ⎛ ∂ z ∂ z⎞ = = +2 ⎟ ∂ x2 ∂ x ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ ∂ x ⎜⎝ ∂ u ∂ v⎠ ∂ ⎛ ∂ z ⎞ ∂ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟+2 ⎜ ⎟ ∂ x⎝ ∂ u⎠ ∂ x⎝ ∂ v⎠ ⎡ ∂ 2 z ∂ u ∂ 2 z ∂ v⎤ ⎡ ∂ 2 z ∂ u ∂2 z ∂ v⎤ =⎢ 2 + + 2 ⎥ ⎥ +2⎢ ⎣ ∂u ∂x ∂v∂u ∂x ⎦ ⎣ ∂u∂v ∂x ∂v ∂ x ⎦ ⎡ ∂2 z ∂2 z ⎤ ⎡ ∂2 z ∂2 z ⎤ = ⎢ 2 (1) + ( 2)⎥ + 2 ⎢ (1) + 2 ( 2) ⎥ ∂v∂u ⎦ ⎣ ∂u∂v ∂v ⎣ ∂u ⎦ 2 2 2 ∂ z ∂ z ∂ z = 2 +4 +4 2 ∂u ∂v∂u ∂v

∂ 2 z ∂ y 2

Ahora, hallemos

∂ 2 z ∂ ⎛ ∂ z⎞ ∂ ⎛ ∂ z ∂ z⎞ = ⎜ ⎟= −2 + ∂ y2 ∂ y ⎝ ∂ y ⎠ ∂ y ⎜⎝ ∂ u ∂ v ⎟⎠ = −2

∂ ⎛ ∂ z ⎞ ∂ ⎛ ∂z ⎞ + ∂ y⎜⎝ ∂ u ⎟⎠ ∂ y ⎜⎝ ∂ v ⎟⎠

⎡ ∂ 2 z ∂ u ∂ 2 z ∂ v⎤ ⎡ ∂ 2 z ∂ u ∂2 z ∂ v⎤ = −2 ⎢ 2 + + 2 ⎥ ⎥ + 2⎢ ⎣ ∂u ∂y ∂v∂u ∂y ⎦ ⎣ ∂u∂v ∂y ∂v ∂ y ⎦ ⎡ ∂2 z ⎡ ∂2 z ∂2 z ⎤ ∂2 z ⎤ = −2 ⎢ 2 ( −2 ) + (1) ⎥ + 2 ⎢ ( −2) + 2 (1) ⎥ ∂v∂u ⎦ ∂v ⎣ ∂u ⎣ ∂u∂v ⎦ =4

∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z − 4 + ∂u 2 ∂v∂u ∂v 2

Reemplazando: ∂ 2 z ∂ 2 z + =0 ∂ x 2 ∂y 2 ⎛ ∂2 z ∂2 z ∂ 2 z⎞ ⎛ ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z⎞ + 4 2 ⎟+ ⎜4 2 − 4 + ⎜ 2 +4 ⎟ =0 ∂v∂u ∂v ⎠ ⎝ ∂u ∂v∂u ∂v2 ⎠ ⎝ ∂u 5

∂ 2 z ∂2 z 5 + =0 ∂u 2 ∂v 2

En la última expresión, dividiendo para 5 y cambiando de variable u = x y v = y , se comprueba lo que pretendíamos.

Ejemplo 11 ∂ z 2 ∂z x + 1 + y = xytomando ∂ x ∂y como n uevas variables independientes. SOLUCIÓN:

Transformar la ecuación

u = ln x

y

(

2 v = ln y + 1 + y

)

Luego del cambio de variable tendríamos la función  z en términos de u y v , es decir: z = f ( u, v) , entonces las derivadas parciales serían: ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂z ∂u ∂ z ∂ v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂ z ⎛ 1 ⎞ ∂z = ⎜ ⎟ + ( 0) y ∂u ⎝ x ⎠ ∂v ∂ z 1 ∂z = ∂x x∂u

⎛ ∂ z ∂ ⎛⎜z 1 2 y ⎜1 + ( 0) + ∂u ∂v ⎜ y + 1 + y 2 ⎜⎝ 2 1 + y 2 ⎝ ⎛ 1 +  y 2 + y ⎞ ⎞ ∂ z ⎛ 1 ⎜ ⎟⎟ = ⎜ ∂v ⎜ y + 1 + y 2 ⎜⎝ 1 + y 2 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ z ∂z ⎛ 1 ⎞ ⎟ = ⎜ ∂ y ∂v ⎜⎝ 1 + y 2 ⎟⎠ =

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

67

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Además: • Si u = ln x entonces  x = eu •

(

)

Si v = ln y + 1 + y 2 entonces ev = y + 1 + y 2

Despejando el radical y elevando al cuadrado:

(

1 + y2

)

2

= ( ev − y)

2

1 + y2 = e2v − 2 yev + y2 1 = e 2 v − 2 yev  y =

e

2v

−1

2e

v

=

v −v e −e

2

y = s en h v

Remplazando en la ecuación diferencial: ∂ z 2 ∂z x + 1 + y = xy ∂ x ∂y ⎛ 1 ∂ z ⎞ ⎜ x∂x ⎟u+ 1 + ⎝ ⎠

2

⎛ 1 ∂z ⎞ ⎜y ⎟= ⎜ 1 +  y 2 ∂ ⎟v ⎝ ⎠

xy

∂ z ∂z u + = e senhv ∂u ∂v

Ejemplo 12 Transformar la ecuación u

= x ya v=

1  y

x2

∂ z ∂z + y2 = z2 , tomando como nuevas variables independientes ∂ x ∂y

1

1

1

x

 z

x

− y como nueva función w = − .

SOLUCIÓN: Debemos tomar como función a w en términos de u y v , es decir  w = f ( u, v ) . ∂w ∂w La diferencial total sería: dw = du + dv ∂u ∂v Obtengamos los diferenciales. • De la ecuación diferencial se observa que: x2



dx

∂ z ∂z + y2 = z2 , ∂ x dy ∂y dz 



   dz

du = u´ dx

•

= 1dx = dx

Como u es función de sólo  x entonces

2 du = x

dv =

•

v es función de  x

y  y entonces

dv = dv =

∂v ∂v dx + dy ∂ x ∂y 1  x

1  x

dv = 0

68

2

2

dx − 2 x −

1 y

2

1 y

2

dy y

2

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

∂w ∂w dx + dz ∂ x ∂z

dw =

•

w es función de  x

y  z , entonces

dw = dw =

1 2

dx −

2

2 x −

 x 1

 x dw = 0

1 2

dz

2

z

z 1 z

2

Ahora remplazando en la diferencial total ∂w ∂w du + dv ∂u ∂v ∂w 2 ∂w 0= 0  x + ∂u ∂v

dw =

Finalmente: ∂w =0 ∂u

Ejemplo 13 Transformar la ecuación

( y− z)

∂ z ∂z + ( y+ z) = 0 tomando a ∂ x ∂y

 x

por función y a u = y − z y

v = y + z por variables in dependientes. SOLUCIÓN:

En este caso x = f ( u, v) , la diferencial total sería: dx =

∂ x ∂x du + dv ∂u ∂v

Obtengamos los diferenciales. • De la ecuación diferencial se observa que: y− z) ( dx

∂ z ∂z + ( y+ z) = 0 ∂ x  ∂y dz 

dy

   dz

∂u ∂u dy + dz ∂ y ∂z = (1 )( y + z ) + ( −1)( 0 ) u es función  y y  z entonces du = y + z du =

•

∂v ∂v dy + dz ∂ y ∂z • v es función de  y y  z entonces dv = (1)( y + z ) + (1)( 0 ) dv = y + z Ahora remplazando en la diferencial total dv =

∂ x ∂x du + dv ∂u ∂v ∂ x ∂x y − z) = y + z) + ( ( ( y + z) ∂u ∂v  dx =

v

v

v

∂ x ∂x v+ v ∂u ∂v ∂x ∂x u + = ∂u ∂v v

u=

69

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Ejemplo 14 Transformar la ecuación

∂ z ∂z + y = 0 tomando a  x por función y a ∂ x ∂y

( x− z)

 y

y  z por variables

independientes. SOLUCIÓN: En este caso x = f ( y, z) , la diferencial total sería: dx =

∂ x ∂x dy + dz ∂ y ∂z

Obtengamos los diferenciales. • De la ecuación diferencial se observa que:

∂ z ∂z + y =0 ∂ x dy ∂y dz

− z) (x 





 dx

dz

Ahora remplazando en la diferencial total ∂ x ∂x y+ ( 0) ∂ y ∂z ∂ x x− z = y ∂ y x− z =

∂ x x− z = ∂ y y

Ejercicios propuestos 3.12 dz

, si  z =

 x

, donde  x = e t ,  y = ln t  .

1.

Hallar 

2.

Sea f ( x, y) = 4 x2 y − 2 ln( xy) donde ⎨

3.

La demanda de cierto producto es Q( x,  y ) = 200 − 10 x 2 + 20 xy unidades por mes, donde  x es el precio del producto e  y el precio de un producto competidor. Se estima que dentro de t  meses el precio del producto será  x = 10 + 0,5t  dólares por unidad mientras

dt 

 y

⎧⎪ x = 2 sent  df  encuentre 3 dt  ⎪⎩ y = 3(t  − 1)

que el precio del producto competidor será  y = 12,8 + 0,2t 2 dólares por unidad. a) ¿A qué razón cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses? b) ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses? 4.

Suponga que cuando las manzanas se venden a  x CENTAVOS POR LIBRA los panaderos ganan  y DÓLARES POR HORA, el precio de los pasteles de manzana en el supermercado local es  p( x,  y ) = 12  x

1

1

el precio de las manzanas será  x = 23 + 8t  CENTAVOS POR LIBRA y que los sueldos de los panaderos serán  y = 3,96 + 0,02t  DÓLARES POR HORA. Si el supermercado puede vender  Q( p ) =

3600  p

3

y

2

DÓLARES POR PASTEL. Suponga además que dentro de t  MESES,

PASTELES POR SEMANA cuando el precio es  p DÓLARES POR PASTEL, ¿a qué

razón CAMBIARÁ la demanda semanal Q con respecto al tiempo dentro de dos meses?

70

5.

Hallar 

2 2 ∂ z ∂z ⎪⎧u = x − y , , si  z =  f  (u , v ) , donde ⎨ . ∂ x ∂y ⎪⎩v = e xy

6.

Hallar 

⎧ x = u sen v x ∂ z ∂z , , si  z = arctg , donde ⎨ .  y ∂u ∂v ⎩ y = u cos v

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

7.

Sea  f  :  R 3 →  R , una función diferenciable y sea g ( X ) = sen ( f ( X ) f ( X )  ) ; calcular la matriz Jacobiana para g ( X ) , donde f ( X ) =

8.

Sea la función:

1  R

n

=

∑  R

1

k =1

. Hallar 

k 

X  

∂ R ∂ R1

 xy

9.

Demuestre que

u ( x, y ) =

e

(e

satisface la ecuación diferencial parcial

+ ey )

 x

u x + u y = ( x + y − 1) u .

10. Sea F ( x, y ) = f ( x + 3 y, 2 x − y ) , donde f : R2 → R es diferenciable. Suponga que

∇ f  ( 0, 0 ) = ( 4, −3) . Determine la derivada de la función F en el origen en la dirección del vector  v = (1,1) 11. Sea  z =  f  ( x,  y ) con derivadas parciales de segundo orden continuas: a)

∂2 z ∂2 z ∂2 z , , ∂r 2 ∂s 2 ∂s∂r 

Si  x = r 2 + s 2 ,  y = 2rs determine

2

2 ∂ z ⎞ ∂ z ∂ z ⎛ ∂ z ⎞ ⎛  b) Si  x = s + t ,  y = s − t  demuestre que: ⎜ ⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ∂s ∂t  ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 12. Sea f : R2 → R3 , tal que f ( x, y ) = ( x2 y2 , x2 , y2 ) y sea g : R 3 → R 2 , tal que

(

)

2 2 2 g ( x, y , z ) = x + y + z , xyz , hallar  D[ g  f ]  (1,1)

13. Transforme la ecuación 2x

d2y dx

dy

14. Transformar la ecuación x = rcos ϕ ,

15. Tomando

2

dy

a2

dx

2

+2 x + dx

=

x+y x− y

x

y= 0 , poniendo  x =

1 t 

.

, pasando a las coordenadas polares:

y = rsen   ϕ  .

u, v,

como nuevas variables independientes transformar la siguiente ecuación:

y ∂ z ∂z − ( x− y) = 0 , si u = ln x 2 + y 2 ; v = arctg  x ∂ x ∂y ∂ z ∂z 16. Transformar la ecuación y − = ( y− x) z tomando como nuevas variables ∂ x ∂y

(

( x+ y)

1

1

 x

y

independientes u = x 2 + y 2 y v = +

)

como nueva función w = ln z − ( x + y ) .

⎛  x ⎞ x∂ z ∂ z + 17. Sea  z = f  ⎜ ⎟ , calcule el valor de la expresión y∂x ∂y ⎝  y ⎠ ∂ 2u ∂ 2u 18. Transformar la ecuación de Laplace 2 + 2 = 0 a coordenadas polares. ∂ x ∂y

19. Hallar

el

Laplaciano

∇2u =

∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2u + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2

en

coordenadas

esféricas

⎧ x = ρsen φcos θ   ⎪ ⎨ y = ρsen φsen θ .   ⎪ z =  ρ cos φ  ⎩

71

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

3.12 DERIVACIÓN IMPLICITA Suponga que se tiene F ( x, y ) = 0 , una ecuación implícita para un lugar geométrico de

R

2

. Obteniendo diferencial a ambos miembros de la ecuación D ( F ( x, y ) ) = D[0]

F x dx + Fy dy = 0 Despejando, se obtiene: F  x dy dx

=−

F  y

Ejemplo. Sea  x 2 + y 2 = 4 , hallar 

dy dx

empleando derivadas parciales.

Solución: En este caso tenemos F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 4 Empleando la formula: dy dx

=−

F  x F y

=−

2x 2y

=−

x y

Suponga que se tiene F ( x, y, z ) = 0 , una ecuación implícita para un lugar geométrico de

R

3

. Obteniendo diferencial a ambos miembros de la ecuación D ( F ( x, y, z ) ) = D [0]

F dx + F dy + F dz =0 x y z Si queremos

∂ y , debemos considerar a  z constante, por tanto dz = 0 . ∂ x

Reemplazando y despejando se obtiene: F  x ∂ y

∂ x Si queremos

=−

F  y

∂ z , debemos considerar a  y constante, por tanto dy = 0 . ∂ x

Reemplazando y despejando se obtiene: F  x ∂ z

∂ x

72

=−

F  z

Cap. 3 Funciones de Varias Variables

MOISES VILLENA

Si queremos

∂ z , debemos considerar a  x constante, por tanto dx = 0 . ∂ y

Reemplazando y despejando se obtiene: F  y ∂ z

∂ y

=−

F  z

Por otro lado, suponga que se tiene una superficie cuya ecuación está dada en forma implícita F ( x, y, z ) = 0 , el vector normal que estaba dado de esta

⎛ ∂ z ∂z ⎞ , − ,1⎟ , ahora puede ser dado de otra forma. ⎝ ∂ x ∂y ⎠

forma n = ⎜ −

Reemplazando:

⎛ ⎛ F  x ⎞ ⎛ F  y ⎞ ⎞ n = ⎜ −⎜ − ⎟,−⎜ − ⎟ ,1⎟ F F  ⎝ ⎝  z ⎠ ⎝ z ⎠ ⎠ Multiplicando por F  z :

(

n = F x, F y, F z

)

Este vector sería el gradiente de w = F ( x, y , z ) y por tanto es de suponer que sería ortogonal a sus conjunto de nivel.

Ejercicios Propuestos 3.13 1.

Hallar   y´ , empleando derivadas parciales, para: a) 2 x2 + 6 xy+ y2 = 18 b) y2 + 5 x= xex( y−2)

2.

Hallar 

3.

5. 6.

Determine la derivada direccional de la función u = f ( x , y, z ) definida implícitamente por  u + yeu + x + 3z = 0 en el origen de coordenadas en la dirección del vector  v = (1, −1, −1) En el tiempo t=0 se lanza una partícula desde el punto (1,1,1) sobre la superficie 2 2 2 x + y + 3 z = 5 en una dirección normal a la superficie, con una rapidez de 10 unidades por segundo. ¿En qué instante y en qué punto cruza a la esfera x2 + y2 + z2 = 103 Demuestre que el plano tangente al cono z2 = a2 x2 + b2 y2 pasa por el origen. Demuestre que cualquier recta normal a una esfera pasa por su centro.

7.

Demuestre que el plano tangente al elipsoide

4.

∂ 2 z en x2 y− 3 z + 8 yz3 = 0 ∂ x 2

puede escribirse en la forma

x0 x a

2

+

y0 y b

2

+

z0 z c

2

2

x a

2

+

2

y b

2

+

2

z c

2

= 1 en el punto ( x0 ,  y 0 , z 0 )

= 1.

73