Descripción: *representación de funciones de transferencia en celosía *celosia en polos *celosia en ceros...
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA AULESTIA ARAUJO, Pablo Sebastián TALAHUA REMACHE, Jonathan Saúl Electrónica e Instrumentación, Quinto nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga, Marquéz de Maenza S/N Latacunga, Ecuador. email :
[email protected] [email protected] Fecha de presentación: 12/Junio/2014
ESTRUCTURA EN CELOSIA DE SISTEMA DISCRETOS RESUMEN En el presente documento se expone detalladamente la representación de sistemas discretos con la Estructura en Celosía, y su respectiva transformación a la estructura de filtros FIR(respuesta al impulso finito) e IIR(repuesta al impulso infinito) y viceversa, a más de sus claras ventajas y desventajas en los sistemas de filtrado y tratamiento de señal, destacando entre ellos el procesamiento de voz.
ABSTRACT Presently document is exposed the representation of discreet systems detailedly with the Structure in Lattice, and its respective transformation to the structure of filters FIR (respuesta to the finite impulse) and IIR (repuesta to the infinite impulse) and vice versa, to but of its clear advantages and disadvantages in the filtrate systems and sign treatment, highlighting among them the voice prosecution. PALABRAS CLAVE: Estructura en celosía Sistemas discretos en celosía Ejemplos de estructura en celosía
ESTRUCTRURA EN CELOSIA DE SISTEMAS DISCRETOS (LATTICE) La estructura en celosía (lattice), ampliamente utilizada en el procesado de voz, se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Vamos a analizar 3 casos: sistema todo ceros (MA), sistema todo polos (AR), y sistema con ceros y polos (ARMA). CELOSÍA FIR (TODO-CEROS) Para un filtro de orden 1:
Consideraremos la siguiente estructura:
Las ecuaciones son:
Luego: Si consideramos 2 etapas en cascada tendremos
coeficientes del filtro en forma discreta Los coeficientes del filtro FIR en forma directa se pueden obtener a partir de los coeficientes en celosía utilizando las siguientes relaciones
Luego:
Ejemplo1: Obtenga los coeficientes de la celosía correspondiente al filtro FIR con función de transferencia
3 −1 1 −2 1 −3 A ( z )=1+ z + z + z 4 2 4
Si calculamos
Resolución: Como referencia tomamos el siguiente gráfico:
Observamos que la expresión es como f2 n pero reflejando los coeficientes. Los valores ki se denominan COEFICIENTES DE REFLEXIÓN. En general para un sistema de M bloques tendremos:
Fig. a) Filtro en celosía de M-1 etapas y b) estructura de cada etapa Donde el filtro describe las ecuaciones
Dado que Podemos obtener la relación
Conversión de los coeficientes de la estructura en celosía en los
PROCESOS ESTOCASTICOS
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Por lo tanto los coeficientes de celosía son
1 1 1 k 1= ,k 2= , k 3= 2 3 4
Que nos permite obtener los coeficientes de celosía (coef. De reflexión) a partir de H(z).
La estructura del sistema FIR propuesto se representa
Como partimos de los coeficiente del filtro FIR para la realización en forma directa, tenemos el polinomio A(z) que es: Ejemplo 2: Dado −2un filtro−3 en celosía de tres 3 1 1 A 3 ( z ) =1+ z −1 + z−2+ z−3=α 3 ( 0 ) +α 3 ( 1 ) z −1 +α + α 3coeficientes (3) z 3 ( 2 ) z con etapas 4 2 4 Además, sabemos que el filtro de salida B(z) son inversos a los de A(z) por lo que
1 1 1 K 1= ; K 2= ; K 3 = 4 2 3
Determine los coeficientes del filtro FIR para la estructura en forma directa
1 1 −1 3 −2 −3 −1 −2 −3 B 3 ( z )= + z + z + z =β 3 ( 0 ) + β 3 ( 1 ) z + βSolución: 3 ( 2 ) z + β3 ( 3 ) z 4 2 4 Resolvemos el problema recursivamente, 1 ∴ k 3=α 3 ( 3 )= con m=1 . Asi tenemos 4 Y mediante la recursión descendiente, en la forma directacelosía con m=3, se obtiene
A2 (z )=
A3 ( z )−K 3 B 3 ( z ) 1−k
2 3
2 1 =1+ z−1 + z−2 , 3 3
1 2 B 2 ( z )= + z−1 + z−2 3 3 1 ∴ k 2=α 2 ( 2 ) = 3
A2 ( z )−K 2 B2 ( z ) 1−k
1 B 1 ( z )= + z −1 2
2 2
1 ∴ k 1=α 1 ( 1 )= 2 PROCESOS ESTOCASTICOS
B m (Z) es el polinomio Dado que inverso de A m ( Z ) , tenemos: 1 −1 B 1 ( Z )= + Z 4 Para m=2 tenemos:
Al repetir la recursividad
A1 (z )=
A 1 ( Z )= A 0 ( Z )+ K 1 Z−1 B 0 (Z ) −1 A 1 ( Z )=1+ K 1 Z 1 A 1 ( Z )=1+ Z−1 4
1 =1+ z−1 , 2
A 2 ( Z )= A 1 ( Z ) + K 2 Z −1 B1 ( Z) 1 1 1 A 2 ( Z )=1+ Z−1 + Z−1 + Z−1 4 2 4 3 −1 1 −2 A 2 ( Z )=1+ Z + Z 8 2
(
)
También:
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1 3 B 2 ( Z )= + Z−1+ Z−2 2 8 Por ultimo para m=3 tenemos
De orden 2
A 3 ( Z )= A 2 ( Z )+ K 3 Z−1 B 2 (Z ) 3 1 1 1 3 A 3 ( Z )=1+ Z−1+ Z−2+ Z−1 + Z−1+ Z−2 8 2 3 2 8
(
) En general
A 3 ( Z )=1+
13 −1 5 −2 1 −3 Z + Z + Z 24 8 3
En consecuencia, la realización discreta del filtro FIR se caracteriza por los coeficientes:
α 3 ( 0 ) =1; α 3 ( 1 )=
13 5 1 ; α 3 ( 2 )= ; α 3 ( 3 ) = 24 8 3
CELOSÍA IIR (TODO-POLOS) Si utilizamos las ecuaciones de la celosía FIR e intercambiamos entrada y salida tenemos las ecuaciones siguientes para la celosía IIR todo polos:
Los coeficientes de reflexión son idénticos a los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el diagrama se ordenan en orden inverso. CELOSÍA ESCALONADA (LATTICELADDER) Para obtener la estructura en celosía ARMA, calcularemos los coeficientes de reflexión como en los casos anteriores, considerando un sistema todo polos, y posteriormente calcularemos los coeficientes Vm con la expresión
La estructura resultante es la siguiente
Si tenemos en cuenta estos cambios en la estructura, obtenemos los diagramas de bloques que a continuación se muestran. Ejemplo: De orden 1
PROCESOS ESTOCASTICOS
Determine la estructura en celosía para el sistema
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En primer lugar consideramos el sistema todo-polos, para el cálculo de los coeficientes de reflexión:
Utilizando la recursión:
Ahora calculamos Vm
Utilizando la recursión:
CONCLUSIONES: La estructura en celosía (lattice), ampliamente utilizada en el procesado de voz. Se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Ofrece al sistema modularidad, que significa trabajar en fases para una etapa común. A más etapas hay mejor filtrado. Son más fáciles de implementar. La desventaja es que el sistema es predictivo, debido al retardo que implementa dicho filtro. Al implementarse estos filtros el sistema exige más desarrollo computacional. BIBLIOGRAFIA: http://ocw.uv.es/ingenieria-yarquitectura/filtros digitales/tema_5_realizacion_de_sist emas_en_tiempo_discreto.pdf TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES, PROAKIS John, 4ta Ed. TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Problemas y ejercicios resueltos, SORIA Emilio, 2003.
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