Funciones de Onda Del Atomo de Hidrogeno

Tópicos especiales en física 2019 - II

FUNCIONES DE ONDA DEL ÁTOMO DE HIDRÓGENO: Probabilidad radial, probabilidad angular. Huayanca G. Luis. a, Vizarreta R. Luis. a, Zamata R. Janette a. Facultad de Ingeniería Química y Textil, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú.

Información del artículo

ABSTRACT

Historia del articulo: Realizado en septiembre 22, 2021

This paper presented will talk about the hydrogen atom that constitutes one of the few systems of chemical interest that admits an exact solution of the Schrödinger equation. for all atoms it is only feasible to have approximate solutions, which are often based on knowledge of the solution for hydrogen. where the wave function will pass through mathematical methods from the Cartesian coordinates to spherical polar coordinates, due to its difficulty. where the wave function will depend on two functions the radial and angular function when solving them we will find the first three quantum numbers (n, l, m), they will be related to the energy and the size of the orbitals, characteristics of the shape of the atomic orbitals and orbital orientations respectively. In order to explain what is known as angular probability and radial probability for the probability of finding an electron in a region.

Revisado en septiembre 22, 2021 Aceptado en septiembre 22, 2021 Palabras clave: Mecánica cuántica Ecuación de Schrödinger Función de onda Hamiltoniano

Resumen

Hidrógeno Electrón Radio de Bohr Números cuánticos

Este trabajo presentado hablaremos del átomo de hidrogeno que constituye unas los pocos sistemas de interés químico que admite solución exacta de la ecuación de Schrödinger. para todos los átomos solo es factible tener soluciones aproximadas, que muchas veces se apoyan en conocimiento de la solución para el hidrogeno. donde la función de onda pasara por métodos matemáticos desde las coordenadas cartesiana a coordenadas polares esféricas, debido a su dificultad. donde la función de onda dependerá de dos funciones la función radial y angular al resolverlos encontraremos los tres primeros números cuánticos (n, l, m), están relacionado con la energía, el tamaño de los orbitales, características de la forma de los orbitales atómicos y las orientaciones de los orbitales respectivamente. Con el fin de explicar lo que se conoce como la probabilidad angular y la probabilidad radial para la probabilidad de encontrar un electrón en una región.

Mecánica cuántica La mecánica cuántica es la ciencia que estudia las características y el comportamiento de las partículas atómicas y subatómicas La mecánica cuántica, junto con la teoría de la relatividad, compone lo que hoy en día llamamos física moderna. A diferencia de la mecánica clásica que determina el estado físico de un cuerpo u objeto por su posición y velocidad, la mecánica cuántica lo hace a través de una función de onda, que es la solución de la ecuación de Schrödinger Unos de su postulado son: Postulado I: El estado de un sistema viene descrito por una función de las coordenadas de posición y de espín de las partículas que forman el sistema y del tiempo. Dicha función recibe el nombre de función de estado o función´ de onda, y debe cumplir ciertos requisitos: ser uniforme y continua, sus derivadas primeras deben ser continuas (salvo en los posibles puntos en que el potencial se haga infinito), y la función´ debe ser de cuadrado integrable (esta condición´ solo´ es exigible en sistemas ligados). Postulado II: A cada observable del sistema se asocia un operador lineal y hermitico definido en el espacio de las funciones aceptables. Postulado III: La medida de un observable cualquiera en un sistema solo puede dar como resultado uno de los autovalores a del operador correspondiente a dicho observable Ậ: Ậ𝑇 = 𝑎𝑇 Postulado IV: Si el sistema se encuentra en un estado definido por una función de onda que no es autofunción de un operador, A, asociado a un observable, a, una medida del observable a dará como resultado un auto valor de A, pero no se puede predecir cuál de todos los posibles serán, No obstante, si se hacen repetidas mediciones de ese observable, la media de los posición y momento, y sustituyendo estas variables por los correspondientes operadores, de acuerdo a las siguientes reglas

a ≡< Ậ > =

∫ 𝑇 ∗ Ậ 𝑇 𝑑𝑡 ∫ 𝑇 ∗ 𝑇 𝑑𝑡

Postulado V: La evolución´ en el tiempo de un sistema viene dada por la ecuación de Schrödinger ¨ dependiente del tiempo. Ĥ𝑇 = 𝑖ħ

𝜕𝑇 𝜕𝑡

Ĥ :es el operador de Hamilton o Hamiltoniano. Postulado VI: El operador mecano-cuántico asociado a una magnitud física se obtiene expresando la ecuación´ clásica ´ correspondiente en términos de las variables de posición y momento, y sustituyendo estas variables por los correspondientes operadores, de acuerdo a las siguientes

Observable Posicion x Momento p(x)

operad or x

operación X 𝜕

p −𝑖ħ

𝜕𝑡

Otros aspectos: 

El carácter tridimensional del átomo crea dificultades, ya que complica los procedimientos matemáticos que deben usarse en su tratamiento, sim embargo, se siguen los mismos procedimientos a los utilizados para tratar sistemas unidimensionales, pero ampliados, de modo que no deberán surgir problemas conceptuales. Se evitarán problemas prácticos omitiendo soluciones detalladas de las ecuaciones más difíciles.

Figura 1:Izquierda un átomo con real electrón, un electrón de masa m y el núcleo d masa M se mueve en torno a su centro de masa fijo. En la derecha el átomo equivalente, una partícula con masa reducida u se mueve en torno a un núcleo estacionario de masa inf.

El hecho que el átomo con un electrón contiene dos partículas de ninguna manera crea dificultades si se utiliza la técnica de masa reducida, este consiste en representar el átomo real con un modelo en el que el núcleo tiene masa infinita y el electrón tiene una masa µ reducida dada por: 𝜇=(

𝑀 )𝑚 𝑚+ 𝑀

Donde m es la masa verdadera del electrón y M es la masa verdadera del núcleo de masa infinita a la misma distancia del núcleo, que en el del átomo real. En este átomo – modelo, el núcleo tiene una masa infinita y deberá estar completamente estacionario de modo que será necesario tratar únicamente el movimiento del electrón con masa reducida por lo tanto el problema de dos partículas en movimiento, solo una se cuenta.

La ecuación de Schrödinger La ecuación de Schrödinger, describe la evolución de una partícula masiva no relativista .es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica donde representa para las partículas microscópicas representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyendo a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos. La ecuación de Schrödinger arroja como resultado funciones de onda, relacionadas con la probabilidad de que se dé un determinado suceso físico, tal como puede ser una posición específica de un electrón en su órbita alrededor del núcleo.

Tópicos especiales en física 2019 - II Desarrollo de la ecuación de Schrödinger Consideremos a un electrón de masa reducida µ que se mueve bajo la influencia de un potencial 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

−𝑍𝑒2 4 𝛑 ε2√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Donde x, y, z son las coordenadas rectangulares del electrón de carga –e respecto del núcleo que esta fijo al origen .la raíz cuadrada es distancia de separación del núcleo al electrón .la carga nuclear es +Z (z=1 para un hidrogeno neutro) Como primer paso se desarrollará la ecuación de Schrödinger para este sistema tridimensional .se procederá primero con la expresión clásica para la energía total E del sistema. 1 (𝑝2 + 𝑝2 + 𝑝2) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 𝑦 𝑧 2𝜇 𝑥

Las cantidades Px, Py, Pz son las componentes x, y, z del impulso lineal del electrón, el primer término de la izquierda corresponde a la energía cinética del sistema mientras que el segundo término es la energía. Enseguida se sustituye las cantidades dinámicas Px, Py, Pz y E por sus operadores diferenciales. 2 2 𝜕2 ∂ − ħ ( 𝜕 2 + 𝜕2 ) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖ħ + 2 2 2𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ∂t

Operando cada termino sobre la función de onda 𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Se obtiene la ecuación de Schrödinger para el sistema ħ2 𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) − ( 2𝜇

𝜕𝑥2

+

𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑦2

+

𝜕2𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝜕𝑧2

Resulta más conveniente escribir de la forma: −

ħ𝜕𝑇 ħ 2 ∇ 𝑇 + 𝑇𝑉 = 2µ 𝜕𝑡

) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

Tópicos especiales en física 2019 - II = 𝑖ħ ∂𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∂t

Donde se utiliza el símbolo 2 2 2 ∇2= 𝜕 + 𝜕 2 + 𝜕 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥2 𝜕𝑦

El llamado también operador laplaciano en coordenadas rectangulares muchas propiedades de la ecuación de Schrödinger tridimensional y de las funciones de ondas que son sus soluciones. Es fácil demostrar que como el potencial V (x, y, z) no depende del tiempo, existen soluciones Schrödinger que tiene la forma 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒−𝑖𝐸𝑡/ħ

Donde la eigenfunción o autofunción 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) es una solución de la ecuación Schrödinger independiente del tiempo

−

ħ 2 2µ ∇ 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Note que, en tres dimensiones, esta es una ecuación diferencial parcial ya que contiene tres variables independientes las coordenadas (x, y, z)

La ecuación de Schrödinger es independiente del tiempo para el potencial se puede resolver haciendo aplicaciones sucesivas de la técnica de separación de variables, pero esto es muy dificultoso, pero esto se puede evitar si se emplea coordenadas polares esféricas estas

coordenadas son r, Ɵ, φ, donde r es la distancia que une al electrón con el núcleo, mientras que Ɵ y φ corresponde a los ángulos polar y azimutal que especifican dicha línea de orientación Ahora la distancia del núcleo al electrón dada por r en coordenadas polares esféricas

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 Y el potencial

𝑉 = 𝑉(𝑟) =

−𝑍𝑒2 4𝝅εr

Tópicos especiales en física 2019 - II Debido a esta gran simplificación en la forma del potencial, la separación de variables es realizable en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Figura 2: Coordenadas polares esféricas r, Ɵ, φ, del electrón y sus coordenadas cartesianas

Haciendo la transformación de cartesiana a esféricas 2

− ħ ∇2𝑇(𝑟, 𝜃, 𝜑) + 𝑇(𝑟, 𝜃, 𝜑)𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑇(𝑟, 𝜃, 𝜑) Donde:

2µ ∇2=

1

∗

𝜕 (𝑟2

𝜕

)+

𝜕2 +

1

(𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕

)

1 𝑟2 𝜕𝑟

𝜕𝑟

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜕𝜑2

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜕𝜃

Es el operador laplaciano estas coordenadas polares esférica

El cambio de coordenadas vale la pena porque permitirá encontrar soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la forma:

Es decir , se demostrara que existen soluciones 𝑇 (r, Ɵ, φ) , se dividen en productos de tres funciones

Tópicos especiales en física 2019 - II Cada una de las cuales solo depende de una de las coordenadas .la ventaja de esto es que se puede obtener resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias. Evaluando en la ecuación de Schrödinger el Laplaciano tenemos −

ħ2 1 𝜕 [ ∗ 2µ 𝑟2

1 𝜕2𝑅ΘΦ 1 (𝑟2 𝜕𝑅ΘΦ) + (𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝑅ΘΦ)] + 𝑉(𝑟)𝑅ΘΦ + 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜕𝜑2 𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜕𝜃 = 𝐸𝑅ΘΦ

Realizando las derivadas parciales ,se tendrá −

ħ2 ΘΦ 𝜕 [ ∗ 2µ 𝑟

(𝑟2

+ 𝜕 𝑟

2

𝜕𝑅 )

𝜕2Φ

𝑅Θ

+

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜕𝜑2

𝜕 𝑟

𝑅 Φ

(𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕Θ)] + 𝑉(𝑟)𝑅ΘΦ = 𝐸𝑅ΘΦ

𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜕𝜃

En esta ecuacion la derivada parcial de R con respecto a r se escribira como la derivada total de R con respecto a r . se le multiplica a toda la ecuacion por un −2𝜇𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃/𝑅ΘΦħ2

1 𝑑2Φ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑 𝑑𝑅 𝑑Θ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 2𝜇 2 2 ) ) 2 (𝑟 (𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛2𝜃[𝐸 − 𝑉(𝑟)] Φ 𝑑𝜑 = − − − ħ2 𝑑𝑟 Θ 𝑑𝜃 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Como es primer miembro de esta ecuación no depende ni de r ni de teta, mientras que el segundo miembro depende de solo ϕ su valor común no dependerá de ninguna de estas variables por lo tanto , el valor común ,deberá ser una constante que por conveniencia se designara por −𝑚2𝑙 Así pues, igualando ambos miembros de la ecuación anterior a esta constante se obtiene ecuaciones 𝑑2Φ 𝑑𝜑2 = −𝑚𝑙2Φ … (I) −

1 𝑑

(𝑟2

𝑑 𝑅

𝑑

)−

(𝑠𝑒𝑛𝜃

1 𝑅 𝑑𝑟

𝑑𝑟

Θsenθ 𝑑𝜃

𝑑Θ ) 2𝜇 𝑟2[𝐸 − 𝑉(𝑟)] = − − 𝑑𝜃

ħ2

2

𝑙

𝑠𝑒𝑛2𝜃

Rearreglando términos, la segunda ecuación se puede escribir como: 1𝑑

(𝑟2

𝑑

𝑅

)+

2𝜇

𝑚2

[𝐸 − 𝑉(𝑟)] =

(𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝑅 𝑑𝑟

𝑑𝑟

ħ2

Tópicos especiales en física 2019 - II 𝑙 ) 𝑑Θ 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Θsenθ 𝑑𝜃 𝑑𝜃

Tópicos especiales en física 2019 - II Como aquí se obtiene una ecuación cuyo primer miembro no depende de unas de las variables Y cuyo segundo miembro no depende de la otra, una vez más se puede concluir que ambos miembros son iguales a una constante. Por conveniencia l(l+1). De esta manera igualando ambos miembros de la ecuación de l(l+1) se obtiene dos ecuaciones más 1 𝑑 𝑑Θ 𝑚2Θ ) + 𝑙 = 𝑙(𝑙 + 1)Θ … (II) − (𝑠𝑒𝑛𝜃 senθ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2𝜇 𝑅 1 𝑑 2 𝑑𝑅 [𝐸 − 𝑉(𝑟)]𝑅 = 𝑙(𝑙 + 1) … (III) (𝑟 )+ 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 ħ2 𝑟2 De esta manera la supuesta solución en forma de producto de función de onda expresada en coordenadas polares, también se observa que el problema se ha reducido a resolver las tres últimas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Solución de las ecuaciones Partiendo de la idea de valor común independiente de las variables radiales, se designa la notación ml como constante. La ecuación que la describe es: 𝑑2Φ 2

𝑑𝜑

= −𝑚𝑙2Φ … (I)

Φ(𝜑) = 𝑒𝑖𝑚𝑙𝜑 Recordar que toda función debe ser monovaluada, por ende, la razón de usar esta particular ecuación. Además, los ángulos azimutales son el mismo ángulo, con lo que se tiene una ecuación cíclica. Matemáticamente: Φ(0) = Φ(2𝜋) 𝑒𝑖𝑚𝑙∗0 = 𝑒𝑖𝑚𝑙∗2𝜋 1 = cos 𝑚𝑙2𝜋 + 𝑖 sen 𝑚𝑙2𝜋

La siguiente ecuación puede ser satisfecha solo por valores enteros de ml. |𝑚𝑙| = 0, 1, 2, 3, …

Tópicos especiales en física 2019 - II Por lo que el conjunto de ecuaciones aceptables es nuestra ecuación inicial. Φ(𝜑) = 𝑒𝑖𝑚𝑙𝜑 … (∗) En cuanto a las funciones Θ(θ), que son solución de (II), el procedimiento para obtenerlas es muy parecido al que se utiliza para resolver la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo. Con un potencial de oscilador armónico simple, aquí solo se citaran los resultados. Se encuentran que las soluciones (que permanecen finitas) de (II) solo se obtienen si la constante l es igual a uno de los enteros: 𝑙 = |𝑚𝑙|, |𝑚𝑙| + 1, |𝑚𝑙| + 2, |𝑚𝑙| + 3, … Las soluciones aceptables se pueden escribir como: Θ𝑙 𝑚𝑙 (𝜃) = sen|𝑚𝑙| 𝜃 𝐹𝑙|𝑚 |𝑙(cos 𝜃) … (∗∗) La 𝐹𝑙|𝑚𝑙|(cos 𝜃) son polinomios en cos 𝜃, cuya forma depende del valor del número cuántico l y del valor absoluto del número cuántico ml. Así es necesario usar ambos números cuánticos para identificar las funciones Θ𝑙 𝑚𝑙(𝜃) que resuelven la ecuación. El procedimiento utilizado para obtener las funciones R(𝑟) que son soluciones de (III), es también muy similar al utilizado en el caso de potencial de oscilador armónico simple. Se encuentra que las soluciones correspondientes a estados ligados solo son aceptables (permanecen finitas) si la constante E (energía total) tiene uno de los valores En donde: 𝐸𝑛 = −

𝜇𝑍2𝑒4 (4𝜋𝜖0 )22ℏ2𝑛2

En esta expresión, el número cuántico n es uno de los enteros: 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, … Las soluciones aceptables se pueden escribir en forma más conveniente como: 𝑍𝑟

R𝑛 𝑙(𝑟) = 𝑒

−

𝑎0𝑛

𝑍𝑟 𝑙

𝑟 (

𝑙

𝑎0

)

𝐺𝑛𝑙 (

𝑍𝑟 ) … (∗∗∗) 𝑎0

Los términos 𝐺𝑛𝑙(𝑍𝑟/𝑎0) son polinomios en 𝑍𝑟/𝑎0 que toman diferentes formas para diferentes valores de n y l. Por lo tanto, ambos números cuánticos son necesarios para identificar las diferentes funciones R𝑛 𝑙(𝑟) que son soluciones aceptables de la ecuación, Sin embargo, los valores permitidos de En la energía total, son caracterizados solo por el número cuántico n. 𝐸𝑛 = − −

𝜇𝑍2𝑒4 = (4𝜋𝜖0 )22ℏ2𝑛2

13.6 𝑒𝑉 𝑛2

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Figura 3 El potencial de coulomb V(r) y sus autovalores E. Para valores grandes de n, los autovalores tiene espaciamientos pequeños en energia, ya que E tiende a cero a medida que n tiende a infinito. Observese que la interseccion de V(r) con E, que define la posicion de un extremo de la region clasicamente permitida, se desplaza haacia fuera a medida que n aumenta.

Autofunciones A pesar de que los autovalores del átomo como un electrón solo dependen del número cuántico n, las autofunciones dependen de los tres números cuánticos n, l y ml ya que resultan del producto de la tres funciones R𝑛 𝑙(𝑟) Θ𝑙 𝑚𝑙(𝜃) Φ𝑚𝑙(𝜑). El hecho que aparezca tres números cuánticos es una consecuencia de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo contiene tres variables independientes, una por cada coordenada espacial. Las autofunciones poseen una gran cantidad de información adicional acerca de las propiedades del átomo. Lo que resta de este informe serán dedicados en gran parte al estudio de las autofunciones y a obtener de ellas esta información: Sabemos que las autofunciones se forman tomando el producto Ψ𝑛 𝑙 𝑚𝑙(r , θ , φ) = R𝑛 𝑙(𝑟) Θ𝑙 𝑚𝑙(𝜃) Φ𝑚𝑙(𝜑)

Tópicos especiales en física 2019 - II También se sabe de (*) (**) (***) que para cualquier estado ligado,

Φ𝑚𝑙 (𝜑) = 𝑒𝑖𝑚𝑙𝜑 Θ𝑙 𝑚𝑙 (𝜃) = sen|𝑚𝑙| 𝜃 (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 cos 𝜃) R𝑛 𝑙(𝑟) = 𝑒

𝑎𝑜 =

−𝑍 𝑟 𝑎 0𝑛

𝑙

𝑟 (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑟)

4𝜋𝜖0ℏ2 = 0.529𝑥10−10𝑚 = 0.529Å 2 𝜇𝑒

Tabla 1 Algunas autofunciones para el átomo como un electrón

Tópicos especiales en física 2019 - II Densidad de probabilidad Analizando la forma de las funciones de densidad de probabilidad correspondientes: Ψ∗Ψ = Ψ∗𝑛 𝑙 𝑚𝑙 Ψ𝑛 𝑙 𝑚𝑙 = R∗𝑛 𝑙 Θ∗𝑙 𝑚 𝑙 Φ∗𝑚 𝑙 R𝑛 𝑙 Θ𝑙 𝑚 𝑙 Φ𝑚 𝑙 Todas estas son funciones de tres coordenadas y no se pueden graficar directamente en dos dimensiones. Sin embargo, se puede estudiar su comportamiento tridimensional considerando separadamente su dependencia con cada coordenada. Primero se considera la dependencia en r en términos de la densidad de probabilidad radial P(r), definida de modo que P(r)dr es la probabilidad de encontrar al electrón en cualquier posición con coordenada radial entre r y r+dr. Integrando la densidad de probabilidad Ψ* Ψ, la cual es una probabilidad por unidad de volumen, en el volumen limitado por dos esferas concéntricas de radios r y r+dr, se demuestra fácilmente que:

P𝑛 𝑙(𝑟)𝑑𝑟 = R∗𝑛 𝑙(𝑟) R𝑛 𝑙(𝑟) 𝑟2 𝑑𝑟 En el primer miembro aparece r2 porque el volumen entre las esferas es proporcional a ese factor. Obviamente, resulta apropiado especificar las funciones de densidad de probabilidad radial en términos de los números cuánticos n y l, pero la forma de estas funciones no depende del número cuántico ml.

Figura 4 P(r)dr es la probabilidad que el electrónse encuentre en el volumen de una capa esferica de radio r y grosor dr.

En la figura 5 se grafican varias P𝑛 𝑙(𝑟), empleando cantidades adimensionales por cada eje.

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Figura 5 Se muestra la densidad de probabilidad radial para el electron en un atomo con un electron, para n = 1,2,3 y los valores de l que se muestran. Los triangulos en cada abscisa indican los valores de rnl dados por (α). Para n=2 las graficas se volvieron a dibujar con las escalas de la abscisa y ordenada aumentada en un factor de diez para mostrar el comportamiento de P nl(r) cerca del origen. Notese que en los casos para los cuales l = lmáx = n-1, el máximo de Pnl(r) ocurre para rBohr = n2a0/Z, lo cual se indica por la posicion de la línea punteada.

𝑛2𝑎0 𝑟𝑛𝑙 =

1 𝑙(𝑙 + 1) {1 + [1 − ]} … (𝛼) 𝑍 2 𝑛2

Tópicos especiales en física 2019 - II Diagramas de contorno libre Teniendo claros los conceptos de las densidades radial y angular, toca encontrar el comportamiento de las funciones como tal; para ello hacemos uso de los datos proporcionado por la función radial y la función angular para encontrar gráficamente las zonas de mayor o menor densidad electrónica. a) Diagramas de curvas de nivel: Un diagrama bastante usual para la graficación de funciones tridimensionales es el de curvas de nivel, pues permite conocer cómo se comporta la función para un valor constante dado. De esta manera podemos acercarnos, como por inicio dice la intención de elaborar un diagrama de contorno libre, al entendimiento de la función en su conjunto.

Figure 3:Cuatro contornos de probabilidad constante para el orbital 2p.

Tópicos especiales en física 2019 - II b) Contornos de probabilidad acumulativa: Este diagrama, a diferencia de las curvas de nivel, ofrece en porcentajes la densidad electrónica en la región. Además, este ofrece cierta ventaja contra su similar por mostrar un rango de probabilidad para cierta medida dada, en otras palabras, grafica una interpretación de las densidades a ciertas distancias.

Figure 4: Contornos que encierran del 10 al 90% de probabilidad electrónica del orbital 1s.

Aplicaciones de la mecánica cuántica El caso más claro de aplicación de la mecánica cuántica en la química es el de Linus Pauling por la publicación de su obra “The Nature of Chemical Bond” en la cual mostró el desarrollo de los estados de hibridación de los orbitales. Pauling no solo resaltó por esta obra (acordarse de la electronegatividad), pero se le da el status de “obra cumbre” al libro de los enlaces químicos por compartir una nueva perspectiva para el estudio de la química, que consecuentemente influyó en las perspectivas del químico y del ingeniero químico. Para entender la influencia de la mecánica cuántica nos haría falta revisar el porvenir de esta, pero a groso modo se podrían mencionar algunas técnicas como la de Resonancia

Tópicos especiales en física 2019 - II Magnética Nuclear (NMR) y la Paramagnética Electrónica (EPR), aunque si se busca un poco más de detalle, sería necesario revisar entre lo publicado en las revistas científicas. He aquí un breve resumen de las investigaciones de la mecánica cuántica en química durante los últimos años. 1) Química computacional para calcular sistemas químicos complejos: Este caso abarca tanta química como computación. Los premio nobel del 2013 partieron de la difícil incógnita del salto cuántico inexplicable para la química clásica, que imposibilitaba un mapeo a detalle de todo lo que ocurría durante alguna reacción. El logro de estos fue el usar conjuntamente la teoría clásica y cuántica para describir a mayor detalle los saltos cuánticos durante las reacciones químicas en forma computacional, lo que ha dado una gran capacidad a áreas como la ingeniería química para el desarrollo de una mejor producción. 2) Microscopía: Durante esta década fueron dos los trabajos laureados con el premio nobel de química por su desarrollo en microscopía. Primero en 2014, cuando se superó el límite físico de máxima resolución enunciado por Ernst Abbe en 1873. Los científicos laureados desarrollaron 2 métodos: la microscopía de reducción de emisión estimulada (STED por sus siglas en inglés) y el de microscopía de molécula única. En el año 2017, los trabajos laureados estuvieron relacionados a la microscopía cryo-electrónica, trabajos que permitieron estudiar a detalle biomoléculas en movimiento que permitió observar procesos nunca antes vistos. Su importancia radica en dos importantes tópicos: un mejor entendimiento de la vida desde la química y el desarrollo farmacéutico.

3) Diseño y síntesis de máquinas moleculares: Este último caso de investigación suena como una prometedora forma para revolucionar la industria de manera brutal. Si bien, como mencionaron los investigadores, esta rama sigue “en pañales”, es bastante prometedor por lo tanto que ha demostrado: El caso más claro es el de Bernard Feringa, quien fue el primero en modelar un motor molecular que logró rotar un cilindro de vidrio de un tamaño diez mil veces mayor que el motor.

Bibliografía Garritz, A. (2014). Historia de la química cuántica. Educación Química, 25, 170– 175. Garritz, D. et al. (1986). Estructura atómica un enfoque químico. Tlalpan: México https://www.nobelprize.org/ Eisberg, R. & Resnick, R.. (2000). Física Cuántica Átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. México: Limusa. Cruz-Garritz, D., Chamizo, J. & Garritz, A.. (1986). Estructura Atómica un enfoque Químico. México: Fondo Educativo Interamericano. Serway, R., Moses. C. & Moyer, C.. (2006). Física Moderna. México: Thomson Learning. Acosta, V., Cowan, C. & Graham B.. (1999). Curso de Física Moderna. México: Oxford University Press.