Funciones crecientes y decrecientes .Calculo diferencial

ANALISIS MATEMATICO I

Ing. Enrique Romero Osorio

Enunciado de la Regla de Hóspital

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCION:

Se denomina así a los valores ( x0 ) que pertenecen al dominio de la función “f”, en donde: A) Su derivada es nula (Puntos Estacionarios) : f ' ( x0 )  0 B) Su derivada no existe (Puntos Singulares) : f ' ( x0 ) no existe Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de: f ( x)  ( x  4) ( x 2

1  3) 3

Solución: Calculo de f ' ( x) : f ' ( x)  2( x  4)(1)( x

f ' ( x) 

1  3) 3

2

 1 ( x  4) 2 3 3  ( x  4) ( )( x  3) (1)  2( x  4) ( x  3)   3 3 3 ( x  3) 2 2

6( x  4)( x  3)  ( x  4) 2 3 3 ( x  3) 2



( x  4)(7 x  22) 3 3 ( x  3) 2

Los puntos críticos son aquellos en donde: f ' ( x0 )  0 ó

( x  4)( 7 x  22)

f ' ( x0 ) no existe , luego:

x  4  0 

 0  

x4



f ' ( x)  0 , tendremos:



f ' ( x) no existe , tendremos: x  3  0  x  3 (que si pertenece al Df )

3 3 ( x  3) 2

7 x  22  0 

Finalmente, los puntos críticos de “f” ocurrirán en:

x  4,

x

22 7

x

y

22 7

x3

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MONOTONIA DE UNA FUNCION Se denomina así a la característica de crecimiento o decrecimiento de una función en un cierto intervalo. Una función “f” continua en un determinado intervalo [a, b], es:  Creciente: ( ) si su derivada es positiva. Ejem: En los intervalos:(a, x1), (x2, x3)  Decreciente: ( ) si su derivada es negativa. Ejem: En los intervalos:( x1, x2), (x3, b)  No crece ni decrece: ( igual a cero. Ejem: En: x1, x2, x3.

) si su derivada es

TEOREMA DE LA MONOTONIA Para una función “f” que es continua en un intervalo [a.b] y derivable en (a,b): 

Si: f ’(x) > 0, para toda “x” en (a,b) entonces “f” es creciente en [a,b]



Si: f ’(x) < 0, para toda “x” en (a,b) entonces “f” es decreciente en [a,b] 1 2

Ejemplo 1: Analizar la Monotonía de la siguiente función: f ( x)  ( x 2  4 x  1) Solución:

Calculemos f ’(x):

f ' ( x) 

1 (2 x  4)  2

f ' ( x)  x  2

Puntos críticos: f ' ( x)  0  x  2  0  x  2 



2



Analizamos el signo de f’(x) en cada intervalo Intervalo Valor de prueba Signo de: f ' ( x)  x  2

Conclusión

  x  2

2 x

x= 0

x=3

f ' (0)  2  0

f ' (3)  1  0

Decreciente

Creciente

2

f(x) es decreciente en el intervalo:  , 2  y creciente en el intervalo  2,   Pág. 103

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3 2 3 Ejemplo 2: Analizar la Monotonía de la siguiente función: f ( x)  x  2 x Solución:

Calculemos f ’(x):

f ' ( x)  3x 2 

3 (2 x)  3( x 2  x)  3x( x  1) 2

 f ' ( x)  0  3x( x  1)  0  x  0, x  1  f ' ( x) : No existe ,  No hay valores de " x"

Puntos Críticos: 

Los valores de “x” encontrados, determinan los siguientes intervalos:



0



1

Analizamos el signo de f ’(x) en cada intervalo: Intervalo Valor de prueba Signo de: f ' ( x)  3x( x  1)

Conclusión

1 x  

x= -1

0  x 1 x= 1/2

f ' (1)  6  0

f ' (1/ 2)  3 / 4  0

f ' (2)  6  0

Creciente

Decreciente

Creciente

  x  0

x= 2

 f(x) es creciente en los intervalos:  , 0  y  1,    f(x) es decreciente en el intervalo:  0, 1 

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VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Los valores máximos o mínimos que toma una función son denominados también: Valores Extremos. VALOR MAXIMO: Máximo Relativo: Es aquel punto donde la función pasa de creciente a decreciente. Ejem.: x = x4 Máximo Absoluto: Es aquel punto donde la función toma el mayor de todos sus valores Ejem.: x = x2 VALOR MINIMO: Mínimo Relativo: Es aquel punto donde la función pasa de decreciente a creciente. Ejem.: x = x1 Mínimo Absoluto: Es aquel punto donde la función toma el menor de todos sus valores Ejem.: x = x3 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS .Si tenemos una función “f” continua en [a, b] y derivable en (a, b), excepto

posiblemente en el punto crítico ( x0 ) , se tiene: MAXIMOS RELATIVOS

Si: f ' ( x)  0 

x  ( a, x 0 )

f ' ( x)  0 

x  ( x 0 , b) ,



y

f ( x0 ) es un máximo relativo

a

x0

b

a

x0

b

MINIMOS RELATIVOS

Si: f ' ( x)  0 

x  ( a, x 0 )

f ' ( x)  0 

x  ( x 0 , b) ,



y

f ( x0 ) es un mínimo relativo

Si f ' ( x) cambia de signo cuando x pasa por el P.C. x0 , entonces f ( x0 ) es un extremo relativo

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NO SON EXTREMOS RELATIVOS Si:

f ' ( x)  0



x  ( a, x0 )

y

f ' ( x)  0



x  ( x0 , b)

,

 f ( x0 ) no es un extremo relativo f ' ( x)  0



x  ( a, x0 )

y

f ' ( x)  0



x  ( x0 , b)

,

 f ( x0 ) no es un extremo relativo Si f ' ( x) no cambia de signo cuando x pasa por el P.C. x0 , entonces f ( x0 ) no es un extremo relativo

Calculo de Máximo y Mínimos Absolutos: Para encontrar los máximos o mínimos absolutos de una función “f” continua en un intervalo cerrado [a, b]: 1. Se encuentran los puntos críticos ( x0 ) y se calcula cada valor de f ( x0 ) 2. Se calculan los valores de “f” en cada extremo del intervalo: f (a) y f (b) 3. El Máximo absoluto es el mayor de los valores encontrados en: f ( x0 ), f (a) y f (b) 4. El Mínimo absoluto es el menor de los valores encontrados en: f ( x0 ), f (a) y f (b)

3 Ejemplo: Encontrar el máximo y mínimo absoluto de: f ( x)  x  12 x en el intervalo [-3, 5]

Solucion: 1. Hallamos los puntos críticos de “f”para lo cual resolveremos: f ' ( x)  0

f ' ( x)  3x 2  12 ,

3x 2  12  0  x 2  4 x0   2 Los puntos críticos x0 son: Calculamos el valor de la función para cada punto crítico  f ( x0 ) : f (2)  (2)3  12(2)  16 f (2)  (2) 3  12(2)  16 , y 

2. Calculamos el valor de la función para cada extremo del intervalo  f(a) y f(b): f (5)  (5) 3  12(5)  65 f (3)  (3) 3  12(3)  9 , y 3. El máximo absoluto es el mayor de los valores encontrados  f(5)=65 (5,65) 4. El mínimo absoluto es el menor de los valores encontrados f(2)=-16 (2,-16) La grafica de f(x) muestra lo encontrado: Pág. 106

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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Si tenemos una función “f” tal que: f ' ( x0 )  0 (entonces “x0” es un punto crítico) y la segunda derivada de “f” existe en un intervalo abierto que contiene a “x 0”, entonces:  Si: f ' ' ( x0 )  0  entonces “f” tiene un mínimo relativo en: ( x0 , f ( x0 ))  Si: f ' ' ( x0 )  0  entonces “f” tiene un máximo relativo en: ( x0 , f ( x0 ))  Si: f ' ' ( x0 )  0 ó f ' ' ( x0 ) : no existe el criterio es inconsistente

3 2 Ejemplo 1: Encontrar los extremos relativos de f ( x)  x  3x  9 x  2

Solución: 1) Encontremos los puntos críticos, a partir de: f ' ( x)  0 f ' ( x)  3 x 2  6 x  9 

3x 2  6 x  9  0

 Puntos críticos:

2) Encontremos la segunda derivada: f ' ' ( x)



3( x  1) ( x  3)  0 x  1 , x  3

f ' ' ( x)  6 x  6

3) Evaluamos la segunda derivada f ' ' ( x) para cada punto crítico:  Para: x  1 , f ' ' (1)  6(1)  6  12  0 ,  habrá un máximo relativo. (1, f (1)) = (1, 7) El máximo relativo es: ( x0 , f ( x0 ))  f ' ' (3)  6(3)  6  12  0 ,  Para: x  3 , El mínimo relativo es: ( x0 , f ( x0 )) 



habrá un mínimo relativo. (3, f (3)) = (3,  25)

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x2 Ejemplo 2: Encontrar los extremos relativos de f ( x)  en el intervalo (-4,2) x 1

Solución: 1) Encontremos los puntos críticos, a partir de: f ' ( x0 )  0, f ' ( x) 

2 x( x  1)  x 2 (1) ( x  1) 2



Posibles puntos críticos:

x( x  2)



( x  1) 2

f ' ( x0 ) : no existe

f ' ( x) 

x( x  2) ( x  1) 2

x  0 , x  2 , x  1

De estos valores, x  1, no es punto crítico porque no pertenece al dominio de “f”, sin embargo se toma en cuenta cuando se analiza los intervalos de crecimiento o decrecimiento. Calculamos la segunda derivada : f ' ' ( x)

2)

(2 x  2)( x  1) 2  ( x 2  2 x)2( x  1) f ' ' ( x)  ( x  1) 4



f ' ' ( x) 

2 ( x  1) 3

Evaluamos f ' ' ( x) para cada punto crítico:

3) 



f ' ' (0) 

2

 2  0, (0  1) 3 Mínimo relativo en: ( x0 , f ( x0 ))

Para: x  0 ,

Para: x  2 , f ' ' (2) 

2 (2  1) 3

Máximo relativo en: ( x0 , f ( x0 ))



habrá un mínimo relativo



(0, f (0)) = (0, 0)

 2  0 , 



habrá un máximo relativo (2, f (2)) = (2,  4)

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CONCAVIDAD: Si “f” es una función derivable en un punto “c” que pertenece a (a, b): 1) “f” será cóncava hacia arriba (  ) en el punto (c, f(c)) , si su grafica está por encima de la recta tangente trazada en “c” 2) “f” será cóncava hacia abajo (  ) en el punto (c, f(c)) , si su grafica está por debajo de la recta tangente trazada en “c”

f

f

a c b Concava hacia abajo

a

c

b

Concava hacia arriba (Convexa)

CRITERIO DE CONCAVIDAD: Si “f” es una función derivable en un intervalo (a, b) tal que “c”  (a,b) y

f ' ' (c) existe: 1) Si f ' ' (c)  0 , la función es cóncava hacia arriba (  ) en “c” 2) Si f ' ' (c)  0 , la función es cóncava hacia abajo (  ) en “c”

El signo de la segunda derivada en un determinado punto nos indicara que tipo de concavidad tiene la función en ese punto. PUNTO DE INFLEXION: Es aquel punto en el cual la grafica de la función cambia de concavidad. Si en una función “f(x)”, en x=c hay un punto de inflexión, entonces: - f ' ' (c)  0 o f ' ' (c) no está definida y además: f ' ' ' ( c )  0 - f ' ' tiene signos opuestos en valores cercanos antes de “c” y después de “c” Pág. 109

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Ejemplo:

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4 3 Si f ( x)  x  3x  x  1 encontrar sus intervalos de concavidad y puntos de inflexión

Solución: Se observa que “f” es una función polinómica, continua en R Para averiguar la concavidad necesitamos la segunda derivada: f’’(x) Primera derivada: f ' ( x)  4 x  9 x  1  Segunda derivada: f ' ' ( x)  12 x  18x Para encontrar los puntos de inflexión, hacemos f’’(x)=0: 3  Posibles puntos de inflexión 12 x 2  18 x  0  6 x( 2 x  3 )  0  x  0  x  3

2

2

2

Calculamos f ' ' ' ( x ): f ' ' ' ( x )  24 x  18 y lo evaluamos en los Posibles puntos de inflexión f ' ' ' ( 0 )  18  f ' ' ' ( 3 / 2 )  18  como en ambos casos resulta que f ' ' '  0 , Entonces en los dos valores de “x”, se encontraran puntos de inflexión, : x0

 Intervalos Valor de prueba Signo de: f ' ' ( x)  6 x(2 x  3)

x

3 2



3 2

0

x = -1

x=1

x=2

f ' ' (1)  30  0

f ' ' (1)  6  0

f ' ' (2)  12  0

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba







Concavidad

Con x=0,  f (0)  1 , Puntos de inflexión



Con x  3  f ( 3 )   89 2

2

16

El Punto de Inflexión es (0,1) El Punto de Inflexión es

3 89 ( , ) 2 16

4 3 2 Problema: Si f ( x)  3x  10 x  12 x  10x  9 encontrar sus intervalos de concavidad y puntos de inflexión

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CONDICION SUFICIENTE PARA CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXION Y EXTREMOS CON LA DERIVADA ENESIMA Pueden presentarse casos en los cuales los criterios de la primera o segunda derivada no son aplicables. Por ejemplo, si: f ( x)  ( x  2) 4  f ' ( x)  4( x  2) 3 , x=2 es un valor critico para “f” Si queremos encontrar sus extremos, aplicando el criterio de la segunda derivada: Si f ”(c) > 0 hay un mínimo, Si f ”(c) < 0 hay un máximo, tendremos:

f ' ' ( x)  12( x  2) 2 y evaluado en el valor critico: f ' ' (2)  12(2  2)2  0 . Con lo cual, este criterio de la segunda derivada es inconsistente para poder encontrar los extremos de la función. Para casos como el presentado, tenemos la siguiente forma general: Si “f” es una función derivable en un intervalo (a, b) y “c” que  (a,b) es un valor critico de “f” tal que: f ' ' (c)  0 y además: a) “f” tiene derivadas continuas hasta el orden “n” ( n1) (c)  0 b) f ' ' (c)  f ' ' ' (c)  .......... f

f (n) (c)  0 c) Tendremos:  Si “n” es par y f (c)  0 , entonces “f” es cóncava hacia arriba en “c” y en este valor habrá un extremo mínimo de “f”. (n)

 Si “n” es par y f (c)  0 , entonces “f” es cóncava hacia abajo en “c” y en este valor habrá un extremo máximo de “f”.  Si “n” es impar, en “c” existe un punto de inflexión de “f”. ( n)

4 Retomando el ejemplo anterior: f ( x)  ( x  2)



f ' ( x)  4( x  2) 3 , x=2 es un valor critico para “f”

 

f ' ' ( x)  12( x  2) 2 y f ' ' (2)  4(2  2) 3  0 , tendremos que seguir derivando f ' ' ' ( x)  24( x  2) y f ' ' ' (2)  24(2  2)  0 , seguimos derivando



f (4) ( x)  24

y f

( 4)

(2)  24  0 , ya no seguimos derivando, con lo cual:

( 4) Como “n” es par (Derivada de orden 4) y f (2) es  0 , entonces: ”f” es cóncava hacia arriba (  ) en x=2 , y allí habrá un mínimo de “f”

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GRAFICA DE FUNCIONES Usando los criterios de la primera y segunda derivada (o derivada enésima) podemos determinar el comportamiento de las funciones: puntos críticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, discontinuidad, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y esbozar su grafica. 3 Ejemplo: Trazar la grafica de: f ( x)  x  27 x  4

Solución: a) Dominio: Es una función polinómica, luego: Df   b) Interceptos con el eje y: 3 Son los puntos en donde x = 0: f (0)  0  27(0)  4  4

c) Asíntotas: f ( x)   . Pero Asíntotas verticales: Son los valores de: x = a, para los cuales lim x a

como se trata de una función polinómica, tenemos que: lim f ( x)  f (a) por lo tanto no x a hay asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: Son los valores de: y = b (valor finito), para los cuales lim f ( x)  b . Para el ejemplo: Lim f (x) no tiene un valor finito. x 

x

d) Puntos críticos. Son los puntos de la función donde: f’(x) =0 ó no existe: f ( x)  x 3  27 x  4 , f ' ( x)  3x 2  27 , 3x 2  27  0

3x 2  27  x 2  9 

Valores críticos:

x = 3, x = −3

3 Para: x = 3  f (3)  3  27(3)  4  50 Punto Crítico: (3, -50) 3 Para: x = -3  f (3)  (3)  27(3)  4  58 Punto Crítico: (-3, 58)

Ojo: Toda función polinómica f(x) es derivable para cualquier valor de “x”.

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e) Intervalos de crecimiento. Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función están determinados por el signo de la derivada de la función:  Si f ´(x) > 0  f(x) es creciente  Si f ´(x) < 0  f(x) es decreciente Analizaremos el signo de f '(x) en los intervalos determinados por los valores críticos encontrados: x = 3, x = −3

Intervalos Valor de prueba Signo de:



f ' ( x)  3x 2  27

3

x = -4 f ' (4)  21  0



3 x=0

f ' (0)  27  0

x=4 f ' (4)  21  0

f(x) es creciente en los intervalos:  ,  3  y  3,   y decreciente en:  3, 3  f) Máximos y mínimos Por el criterio de la Segunda Derivada: Para los valores críticos (c) de “f”, se tiene:  Si: f ' ' (c)  0 entonces “f” tiene un mínimo relativo (en x  c ) que es: (c, f (c))  Si: f ' ' (c)  0 entonces “f” tiene un máximo relativo (en x  c ) que es: (c, f (c)) 2 Tenemos que f ' ( x)  3x  27 y la segunda derivada es: f ' ' ( x)  6 x En esta última expresión reemplazaremos los valores críticos de “f”:

Para: x = -3 

f ' ' (3)  18  0 ,

entonces f(x) tiene un máximo relativo en:

(c, f (c))  (3, f (3))  (3, 58) Para: x = 3  f ' ' (3)  18  0 , entonces f(x) tiene un mínimo, que es: (c, f (c))  (3, f (3))  (3,  50)

Nota: No todo punto crítico se convierte en máximo o mínimo. g) Puntos de inflexión. Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde cambia la concavidad. Los puntos de inflexión se presentan donde la segunda derivada es cero (f ''(x) = 0) o no existe. 3 Entonces: f ( x)  x  27 x  4  f ' ( x)  3x  27  f ''(x) = 6x 6x = 0  x=0 Aquí habrá un punto de inflexión que es: (0, f(0))  (0, 4): Punto de Inflexión, 2

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h) Intervalos de concavidad Analizamos el signo de f ''(x) en los intervalos de concavidad:

Intervalos Valor de prueba Signo de: f ' ' ( x)  6 x

Punto de Inflexión



0 x = -1

x=1

f ' ' (1)  6  0

f ' ' (1)  6  0





La gráfica de f es cóncava hacia abajo





La gráfica de f es cóncava hacia arriba



en el intervalo (− ∞,0). en el intervalo (0, ∞)

Gráfica Extremo máximo (3, 58)

Punto de Inflexión

(0, 4)

(3, 50) Extremo mínimo

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fin

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