funciones calculo

Instituto Tecnológico de Querétaro Calculo Diferencial Grupo: R7B Profesor: Moisés Ricardo moreno Fecha: 11/marzo/2013

Página 1

ÍNDICE 2. Funciones……………………………………………………………………………… 2.1 Concepto de variable función dominio codominio y recorrido de un función……… 2.2 Función inyectiva función Suprayectiva y función biyectiva………………………. 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica…………………………… 2.4 Funciones algebraicas función polinomial función racional función irracional……. 2.5 Funciones trascendentes funciones trigonométricas funciones exponenciales……... 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia función valor absoluto… 2.7 Operaciones con funciones función adición función multiplicación función Composición…………………………………………………………………………….. 2.8 Función inversa función logarítmica funciones trigonométricas inversas………….. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales las sucesiones infinitas………………………………………….. 2.10 Función implícita………………………………………………………………….. 2.11Conclusión…………………………………………………………………………. 2.12 Referencias………………………………………………………………………

Página 2

Introducción

En el siguiente trabajo se desarrollaran los temas del temario de la segunda unidad de funciones de la materia Calculo Diferencial, teniendo como objetivo reforzar nuestros conocimientos, comprender y analizar las principales características de las funciones como: elementos que la integran, clasificación, diferentes tipos y posteriormente se mostraran ejemplos para una mejor compresión.

Página 3

2. VARIABLE El término variable se utiliza para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado. Una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor de los comprendidos en un conjunto. Una variable es aquello que varía o puede variar, es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Este conjunto es denominado conjunto universal de la variable o universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.

2.1DOMINIO DE UNA FUNCIÓN O CAMPO DE EXISTENCIA:

“es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x (variable independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje OX de abscisas, leyendo como escribimos de izquierda a derecha” Ejemplos:

Página 4





Página 5

CODOMINIO En matemáticas, el Codominio o contradominio (también final, recorrido o conjunto de llegada) de una función participa en esa función, y se denota Sea

o

o

denominado conjunto es el conjunto que

.

la imagen de una función , entonces

.

Ejemplo. Para una función

Definida para , o el equivalente El Codominio de

es , pero

, siempre toma un valor

positivo. Por lo tanto, la imagen de el intervalo [0, ∞).

Página 6

es el conjunto

; por ejemplo,

RANGO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como

,

o bien

y formalmente está definida por:

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si es una función, entonces la imagen del elemento

es el elemento

.

DIFERENCIA CON EL CONTRADOMINIO Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen. Si es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma. Por ejemplo, la función tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos. En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función es suprayectiva.

2.2 FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA Esta clasificación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio. Conviene utilizar la notación: F: CF→DF “Función que mapea al dominio Df en el codominio Cf” Función Inyectiva (uno a uno) Definición.

Página 7

Una función : f :DF →CF es inyectiva o uno a uno y se denota como 1- 1, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio. En esta función, para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su dominio se cumple que:

Página 8

Para comprobar analíticamente si una función es 1-1 se despeja, cuando esto es posible, la variable independiente "x " en términos de la variable dependiente "y " y se comprueba que para cada valor de "y " exista un solo valor de "x ". Para comprobar gráficamente que una función es 1-1 basta con comprobar que toda recta paralela al eje "x " corta a la gráfica de la función en un solo punto. Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es evidente que se obtienen funciones inyectivas:

Página 9

Página 10

Página 11

2.3FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Definición: 

“Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:”



Una función real de variable real es una aplicación del conjunto de números reales en sí mismo tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde a lo sumo un único elemento del conjunto de llegada.



Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

 El conjunto inicial o dominio de la función.  El conjunto final o imagen de la función.  La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. Así, por ejemplo, la función definida por:

Asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Página 12

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x) Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Página 13

Ejemplo: F(x)=√ x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

F(x) 0.19 0.23 0.30 0.40 0.57 0.70 0.57 0.40 0.30 0.23 0.19

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. “Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica”. Las funciones algebraicas pueden ser implícitas y explícitas. Funciones explícitas: Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. Ejemplo: F(x) = 5x – 2 Otro ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

Página 14

Funciones implícitas: No se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. Ejemplo: 5x − y − 2 = 0 Las funciones algebraicas suelen dividirse en tres tipos: Polinomiales, Racionales e Irracionales.

FUNCIÓN POLINOMIAL Las funciones Polinomiales son aquellas cuya regla de correspondencia es un polinomio. Recordando que el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función Polinomial de grado n. Llamamos a una función Polinomial de grado n, si tiene la forma:

f ( x)  a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an , a0  0 En donde n es un entero positivo. Ejemplo:

La cual es una función Polinomial de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

Esta es una función Polinomial de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

Esta es grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función Polinomial tienen una estrecha relación.

Página 15

Suponiendo que la función que se nos presenta es de tercer grado, y sus intersecciones están en x = 2, x = -1 y en x = -3; la ecuación de la función es f(x) = (x2)(x+1)(x+3)

Debe quedar claro, que se tiene que conocer el grado de la función polinómica, ya que sin éste, las conclusiones que se puedan sacar pueden estas equivocadas. Tenemos una función polinómica de grado 6, que sus intersecciones se encuentran en x = 1, x = 2, x = -1, x = 3, x = -2 y en x = 0; por lo tanto la función es: f(x) = (x-1)(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)(x)

FUNCIÓN RACIONAL

Una función racional está formada por la división de dos funciones Polinomiales. a x n  a x n1  ...  a1 x  a0 Se llaman funciones racionales propias aquellas en f ( x)  n m n1 m1 bm x  bm1 x  ...  b1 x  b0 las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n 0. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama función logarítmica a la función real de variable real:

Página 29

La función logarítmica es biyectiva definida de R+ en R y sus características son: • La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos • Los números negativos y el cero no tienen logaritmo • La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a • Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e • Es la función inversa de la función exponencial. DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS. •El dominio de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,∞) • El rango de la función logarítmica es el intervalo abierto: (− ∞,∞) • No cruza al eje y , siempre corta al eje x en el punto P(1,0) y pasa por el punto P(,a 1) • Siempre es creciente si a >1 y siempre es decreciente si 0 < a an para todos los valores de n. Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la

Página 35

secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n. Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo. Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an = M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo. También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente. También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto. Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…}  {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando, f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos. Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

Que también puede ser denotado por,

Ejemplos:

Página 36

1a n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n 2a n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n 3a n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n 4a n = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1) n-1 2 n

5

6

2.10 Funciones Implícitas y Explicitas

Se dice que una función es implícita cuando la variable dependiente no está despejada. Ejemplo: 2y+xy= x2,

Y en caso contrario se le llamara explicita Ejemplo: y(x)=3x2+1

Página 37

CONCLUSIÓN Podemos concluir con la información dentro de este trabajo que los temas incluidos en la Unidad II funciones nos sirven para conocer muchas cosas acerca del cálculo y también nos sirve en nuestro desarrollo académico para más adelante aplicarlo en la vida laboral.

REFERENCIAS: 2.1 http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio http://www.vadenumeros.es/primero/dominio-y-recorrido-de-funciones.htm 2.2 http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf 2.3 Bibliografía http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funreal.htm http://www.ematematicas.net/funcion.php?a=&tp= http://amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Funciones.pdf 2.4 http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/polinomicas.html http://es.scribd.com/doc/7530735/FUNCIONES-ALGEBRAICAS http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html http://www.aprendematematicas.org.mx/tutoriales/graficacion/pdf/71.pdf http://www.radiofeyalegriaeducom.net/pdf/MD-2do-S5-Matematica.pdf Página 38

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Procedimiento_an alizar_funcion/2bcnst_14_9.htm http://es.scribd.com/doc/33838864/Guia-de-Funciones-Irracionales-Ejemplos http://fcm.ens.uabc.mx/.../calculo1/I%20Funciones/c1_fun_racionales.doc 2.5 h ttp :/ / www .d i tu tor.co m/ f u n ci on es/f un ci on _trascen d en te.h t ml www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r63956.DOC 2.6 2.7 http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Tipos_de_Funciones#Funciones_Alg ebraicas http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/OperacionesConFuncionesFuncionAdici onFuncionMultiplicacionFuncionComposicion#sthash.9H1TY2U9.dpuf http://facultad.bayamon.inter.edu/smejias/precalculo/conferencia/Funcomp.htm 2.8 http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/funcin_inversa.html http://es.scribd.com/doc/4607532/FUNCIONES-TRIGONOMETRICAS-INVERSAS http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/inverse-trigonometricfunctions.html 2.9 http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionesConDominioEnLosNumerosN aturalesYRecorridoEnLosNumerosRealesLasSucesionesInfinitas http://prezi.com/0rasbx4tpljf/funciones-con-dominio-en-los-numeros-naturales-yrecorrido-en-los-numeros-reales-la-succiones-infinitas/ http://www.vitutor.com/al/sucesiones/s_e.html

2.10 http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferencial/funciones_elem.htm#funciones explicitas

Página 39