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−1
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1
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−1
FUNCIÓN AUTOR:
JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE
.
Índi e General 1. Fun ión real de variable real
Dominio y rango de una fun ión Fun iones espe iales: . . . . . . Algebra de fun iones: . . . . . . Fun iones inversas . . . . . . . . Fun ión monótona . . . . . . . . Fun iones tras endentales . . . . Ejer i ios de fun iones . . . . . . . .
P
[email protected]
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R
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3 7 18 24 26 27 30
Li : Juan A. Huaman haqui
Cap´ıtulo
1
Fun ión real de variable real Una fun ión f de un onjunto A sobre otro onjunto B es una regla de orresponden ia que a ada elemento de x de A aso ia un (úni o) elemento f (x) es B . Esto es f : A → B es una fun ión si y sólo si ∀x ∈ A, ∃!y ∈ B/y = f (x). Donde: -) f (x) es llamada el valor de f en el elemento x en A. -) A se llama dominio de la fun ión f . -) B se llama ontradominio de la fun ión f . -) El onjunto {y ∈ B/Y = f (x), x ∈ A} se le llama rango de la fun ión f.
Dominio y rango de una fun ión De ni ión: El dominio de la fun ión f es el onjunto de las variables
independiente, esto es
Domf = {x ∈ A/y = f (x), para algún y ∈ B}
De ni ión: El rango de la fun ión f es el onjunto de las variables
dependiente, esto es
Ranf = {y ∈ B/y = f (x), para algún x ∈ A}
3
.
Rango
Dominio Cál ulo del dominio de la fun ión:
Dom1 Cuando una fun ión viene dad por una fórmula o una regla de
orresponden ia, se sobre entiende que el dominio onsiste de todos los números reales para los que la regla de orresponden ia esta bien de nida (existe).
Dom2 El dominio de una fun ión puede es ribirse explí itamente (se
ono e) junto son la fun ión o esta implí itamente (no se ono e la fun ión) en la fórmula que de ne la fun ión.
Observa ión: que veamos algunas fun iones que tienen por dominio. P (x) , tiene omo dominio explí Q(x) ito al onjunto R − {x ∈ R/Q(x) = 0}. q 2n+1 2. Las fun iones radi ales on índi e impar f (x) = Q(x), n ∈ Z tiene omo dominio implí ito al onjunto Domf = DomQ q 2n 3. Las fun iones radi ales on índi e par f (x) = Q(x), n ∈ Z tiene
omo dominio implí ito al onjunto {x ∈ R/Q(x) ≥ 0}
1. las fun iones de la forma f (x) =
Cál ulo del rango de una fun ión:
1. Cuando el dominio está implí itamente en la regla de orresponden ia que de ne la fun ión. En este aso se despeja x en términos de y = f (x), y luego se analiza para que valores de y el x existe o esta bien de nido. 2. Cuando el dominio esta des rito explí itamente junto on la fórmula que de ne la fun ión, enton es en rango de f es f (A) = {y ∈ R/y = f (x), x ∈ A}, donde f (A) es el onjunto de imágenes de x tal que x ∈ A.
Ejemplo 1.0.1. Hallar el dominio y rango de las siguientes fun iones: P
[email protected]
4
R
Li : Juan A. Huaman haqui
.
1. f (x) =
p 4 9 − x2 .
Solu ión:
Hallando el dominio: Dom(f ) = = = =
{x ∈ R/9 − x2 ≥ 0} {x ∈ R/(3 − x)(3 + x) ≥ 0} {x ∈ R/(x − 3)(3 + x) ≤ 0} [−3, 3]
Para el rango: Despejamos x en términos de y = f (x): p 4 y = 9 − x2 ⇔ y 4 = 9 − x2 p ⇔ x = 9 − y4
enton es el rango es el onjunto Ran(f ) = = = = =
2. g(x) = p
x
x2
Solu ión:
{x ∈ R/9 − x4 ≥ 0} {x ∈ R/(3 − x2)(3 + x2 ) ≥ 0} √ √ {x ∈ R/( 3 + x)( 3 − x)(3 + x2 ) ≥ 0} √ √ {x ∈ R/( 3 + x)(x − 3)(3 + x2 ) ≤ 0} √ √ [− 3, 3]
− 5x − 14
.
Hallando el dominio:
Dom(f ) = R − {x ∈ R/x2 − 5x − 14 = 0} = R − {x ∈ R/(x − 7)(x + 2) = 0} = R − {−2, 7}
Para el rango: Despejamos x en términos de y = f (x):
x y=p ⇔ y 2 (x2 − 5x − 14) = x2 x2 − 5x − 14 ⇔ (y 2 − 1)x2 − 5y 2x − 14y 2 = 0 q 2 14y ± 25y 4 + 56(y 2 − 1)(y 2) ⇔ x= 2(y 2 − 1) p 14y 2 ± 2y 20y 2 − 14 ⇔ x= 2(y 2 − 1) P
[email protected]
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R
Li : Juan A. Huaman haqui
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enton es el rango es el onjunto Ran(f ) = {x ∈ R/20y 2 − 14 ≥ 0 ∧ y 2 − 1 6= 0} √ √ √ √ = {x ∈ R/(2 5y − 14)(2 5y + 14) ≥ 0 ∧ y 6= ±1} " # √ # "√ 14 14 = −∞, − √ ∪ √ , ∞ − {±1} 2 5 2 5
3. h(x) =
r 3
x+1 . x3 − 5x2 − 4x + 20
Solu ión:
Hallando el dominio:
Dom(f ) = R − {x ∈ R/x3 − 5x2 − 4x + 20 = 0} = R − {x ∈ R/(x − 5)(x + 2)(x − 2) = 0} = R − {−2, 5, 2}
Para el rango: Trabajo. 4. f (x) =
3x + 4 . x2 − 4
Hallando el dominio: Trabajo Para el rango: Despejamos x en términos de y = f (x):
Solu ión:
y=
3x + 4 3x + 4 ⇔ y = x2 − 4 x2 − 4 ⇔ yx2 − 3x + 4 − 4y = 0 q 3 ± 9 − 16y(1 − y) ⇔ x= 2y p 3 ± 16y 2 − 16y + 9 ⇔ x= 2y
enton es el rango es el onjunto Ran(f ) = {x ∈ R/16y 2 − 16y + 9 ≥ 0 ∧ y 6= 0} = R − {0} ¾Porqué?
5. f (x) = 4 + 2x − x2 para x ∈ [−2, 4]. Solu ión: Hallando el dominio: Dom(f ) = [−2, 4]
P
[email protected]
6
R
Li : Juan A. Huaman haqui
.
Para el rango: Completamos uadrados en términos en x: y = 4 + 2x − x2 ⇔ y = 4 − (x2 − 2x) ⇔ y = 5 − (x2 − 2x + 1) ⇔ y = 5 − (x − 1)2
Hallando el rango, en este aso haremos: tomamos un elemento (general) Y ha iendo opera iones se onsiguiera el rango. x ∈ [−2, 4] ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
−2 ≤ x ≤ 4 −3 ≤ x − 1 ≤ 3 0 ≤ (x − 1)2 ≤ 9 ¾Porqué? −4 ≤ 5 − (x − 1)2 ≤ 5 −4 ≤ y ≤ 5 y ∈ [−4, 5]
enton es el rango es [−4, 5] 6. f (x) =
2x − 7 para x > 2. Trabajo. x−1
Fun iones espe iales: Las fun iones espe iales son: Fun ión Identidad: La fun ión identidad es de nido omo I : R → R y tiene omo dominio a R y a su rango R, on regla de orresponden ia I(x) = x Y
I
X
Fun ión onstante: La fun ión onstante es de nido omo C : R → R P
[email protected]
7
R
Li : Juan A. Huaman haqui
.
y tiene omo dominio a R y a su rango {c}, on regla de orresponden ia C(x) = c Y
c
C
X
Fun ión lineal: La fun ión lineal es de nido omo f :
R → R y
tiene omo dominio a R y a su rango R, on regla de orresponden ia f (x) = ax + b, siendo a 6= 0 y b onstantes. Y
f (x) = ax + b
X
Fun ión Cuadráti a: La fun ión uadráti a es de nido omo f : R →
R y tiene omo dominio a R y tiene omo regla de orresponden ia f (x) = ax2 + bx + c, siendo a 6= 0, b y c onstantes. Y y − k = p(x − h)2
X
Si p es positivo enton es la grá a se va ha ia arriba y si es negativa la P
[email protected]
8
R
Li : Juan A. Huaman haqui
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gra a se dirige ha ia abajo. Fun ión raíz uadrada: La fun ión raíz uadrada es de nido omo f : R → R y tiene omo√dominio y rango a R+ y tiene omo regla de
orresponden ia f (x) = x. Y f (x) =
√
x
X
Fun ión valor absoluto: La fun ión valor absoluto es de nido por
f : R → R y tiene omo dominio R+ y omo rango R+ 0 y tiene omo regla de orresponden ia f (x) = |x|. Y f (x) = |x|
X
Fun ión máximo entero: La fun ión máximo entero es de nido por
f : R → R y tiene omo dominio R y omo rango Z y tiene omo regla de orresponden ia f (x) = JxK. Y f (x) = JxK
X
Fun ión signo: La fun ión signo es de nido por sgn : R → R y tiene P
[email protected]
9
R
Li : Juan A. Huaman haqui
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omo dominio R y omo rango {−1, 0, 1} y tiene omo regla de orresponden ia 1 ; x>0 sgn(x) = 0 ; x=0 −1 ; x < 0 Y
X
Fun ión es alón unitaria: La fun ión es alón unitaria es de nido por
u : R → R y tiene omo dominio R y omo rango {0, 1} y tiene omo
regla de orresponden ia a
u(x) =
1 0
; x≥0 ; x0 x+2 x−3 =0 x+2 x−3
