Funcion Lineal

Nombre:……………………………………………. 2do. Año BAATA/ BAECE/BACOM

Colegio León xiii

Prof. Andrea Gandolfi Prof. Tomas Mendez

2do. año BAECE/BAATA/BACOM 

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1. María, al pasear, camina a razón de 5 km/h. a. Completar la siguiente tabla:  t (hora)

0

1/2

1

2

4

3

km b. Represéntalo en una gráfica.

c. Expresa mediante una fórmula la distancia recorrido en función del tiempo empleado d. ¿Cuánto recorre en una hora de caminata? ¿Siempre? e. Indicar dominio e imagen en el contexto del problema. f. Indicar el crecimiento de la función 2. Dada la función que calcula el perímetro de un triángulo equilátero en función de la medida de su lado: a. Completar la siguiente tabla: Lado

1

2

3

4

7

Perímetro b. Escribe la fórmula que relaciona el perímetro en función del lado. c. Representar en un sistema de ejes.

Unidad Nº5: Función Lineal

-1-

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d. ¿Qué tipo de función es? e. ¿Cuál es la relación entre el perímetro y los lados? f. Indicar en el gráfico variable independiente y dependiente. g. Indicar el dominio e imagen en el contexto de la situación h. Indicar el crecimiento de la función 3. El precio de la tarifa de taxis ha subido un 12%. Completa la siguiente tabla con el nuevo importe. Taxímetro

Nuevo importe

$7,25 $5,5 $7,20 $10 x a. Hallar una fórmula que represente el importe final dependiendo el viejo importe. b. ¿Cómo es la relación del nuevo importe respecto al viejo importe? c. Indicar el crecimiento de la función 4. Dada la función que calcula el costo del trabajo de un técnico de lavadoras que cobra 300 pesos por ir a domicilio y $150 por hora de trabajo. a. Escribe la fórmula que representa el costo en función de las horas de trabajo. b. Confeccionar una tabla y graficar en un sistema de ejes

Unidad Nº5: Función Lineal

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c. ¿Cuál es la relación de las horas de trabajo y el precio que se paga? d. ¿Cuál es la diferencia de la gráfica de este problema y los anteriores que estuvimos  trabajando? e. Indicar dominio e imagen en el contexto de la situación. f. Indicar el crecimiento de la función 5. Una represa, cuya capacidad es de 1116 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde el primer día del mes pierde agua de manera uniforme, a razón de 18 millones de litros diarios, aproximadamente. a. Completa la siguiente tabla: 4  t (días) 0 1 2 3

C t  cantidad de agua que hay en la represa

b. Hallar la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa cada día. c. Graficar la situación en el siguiente eje coordenado

Unidad Nº5: Función Lineal

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d. ¿En cuánto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso de que no se solucione el problema de pérdida de agua?

e. ¿En cuánto tiempo la represa tendría 70 millones de litros de agua?

f. Indicar el dominio según el contexto de la situación ……………… g. Indicar el conjunto imagen en el contexto de la situación …………….. h. ¿Cuál es la relación entre la perdida de agua y los días que transcurren? i.

Indicar el crecimiento de la función.

Unidad Nº5: Función Lineal

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Características de la Función Lineal

Su fórmula es de la forma ..............

Su tabla nos muestra ................... ....................

Su gráfico es una ................

6.

. Calcula las ecuaciones de las tres funciones siguientes: a. Calcular el 15% de un precio: b.  Aumentar el precio en un 15%: c. Disminuir el precio en un 15%:

7.

: El servicio técnico de una marca de televisores cobra $200 por cada hora que  trabaja pero añade un suplemento de $230 si acude al domicilio del cliente. a. Indicar la fórmula que relaciona el importe a pagar teniendo en cuenta que no va el  técnico

b. Indicar la fórmula que relaciona el importe a pagar teniendo en cuenta que va el técnico a domicilio 8. Con una cuerda de 24 cm podemos formar una infinidad de rectángulos. Para cada valor de la base, se obtiene un valor de la altura: a. Completar la tabla: Base

1

3

5

7

…

 Altura

Unidad Nº5: Función Lineal

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b. Representar en un sistema de ejes.

c. Hallar la formula que relaciona la altura dependiendo de la base. 9.  Analicen las siguientes tablas de valores e indiquen cuáles de ellas pueden corresponder a funciones lineales. Justificar: a.

b.

c.

x

y

x

y

x

y

-1

-5

-2

0

-2

-4

0

-3

0

2

-1

-3,5

1

-1

2

5

0

-3

2

1

4

7

3

-1,5

5/4

2

10. Completar la tabla sabiendo que corresponde a un modelo lineal x

-2

f  x 

0

Unidad Nº5: Función Lineal

-1

0

1/2

1

1 3/2

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Análisis de la FUNCION LINEAL 11. Un auto circula por la ruta 2. La fórmula que permite calcular la distancia del auto a Buenos Aires sabiendo las horas que lleva de marcha es D  x   100 x   50 a. Completar la siguiente tabla: x

1/2

1

2

2,5

3

4

7

D  x  b. Graficar:

c. ¿A qué distancia de Buenos Aires salió el auto?¿Por qué?

d. ¿Cuál es la velocidad que se mueve el auto? ¿Cómo te das cuenta en el gráfico?

Unidad Nº5: Función Lineal

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12. En una empresa un empleado que recién ingresa cobra un sueldo de $2500 y el empleado con dos años de antigüedad recibe un sueldo de $3400, suponiendo que cumple con un modelo lineal durante los primeros 10 años. a. Grafiquemos la situación:

b. ¿Cómo podemos encontrar la fórmula que permite obtener el importe del sueldo en función de la antigüedad

c. ¿Cuánto cobra alguien con cinco años de antigüedad?

d. Indicar dominio y conjunto imagen. Justificar:

Unidad Nº5: Función Lineal

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Pendiente de la recta Es lo que incrementa la variable dependiente frente a un crecimiento de la variable independiente.

Indica la inclinación de la recta

si m es positiva, la recta crece si m es negativa , la recta decrece si m=0 , la recta se mantiene constante

 Al cociente de los incrementos o variación de x e y: m  

variación de V.D variación de V.I



 y  x 

El gráfico de la función lineal es la recta de ecuación:

 y  mx  b   Aunque dos puntos determinen una recta, para graficarla es conveniente hallar por lo menos tres puntos; de este modo, si los puntos están alineados, tendremos la certeza de no haber cometido ningún error.

Unidad Nº5: Función Lineal

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  Ejemplo 1: f :    / f  x   3x  2

x 

f  x 

1 0 -1

En este caso m  .......... y b   ..........

Ejemplo 2: g :    / g  x   2

x 

f  x 

-2 0 3 En este caso m  .......... y b   .......... 3

Ejemplo 3: h :    / h  x    x 1  2

x 

f  x 

-1 0 2 En este caso m  .......... y b   ..........

Unidad Nº5: Función Lineal

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¿Cómo encontrar la ecuación de la recta sabiendo que pasa por dos puntos? Ejemplo: Hallen la ecuación de la recta que pasa por los puntos  2,1 y 1,5 .

Gráficamente:

Analíticamente: Estamos buscando una ecuación de la forma,  y  mx  b  : Calculamos   de la recta mediante los incrementos:

Reemplazamos este dato en la fórmula:

 y 



Para calcular b, utilizamos cualquiera de los dos puntos que pasan por la recta, por lo tanto verifican la ecuación:

La ecuación buscada es:

13. Dado el siguiente sistema de ejes, representa las siguientes funciones lineales: a.  y  3 x  b.  y  0,2x 

1 2 d.  y  0,75x  c.  y   x 

a. Indicar cuál es la pendiente y marcarla en el gráfico. Unidad Nº5: Función Lineal

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14. Escribe de la forma y=mx+b a.  y  2  3  x   1

d.

b.  y   2  3  x  e.

c. 2 x  3 y   6

x   y   2

7

2  1 x  3 y   4

Indicar cuál es la pendiente (y que representa) y cuál es la ordenada al origen. 15. Relacionen cada una de las siguientes ecuaciones de rectas con su correspondiente grafico. Justificar

 y  3 x  0,5

 y  3  1,5  x  4 

3 x  2 y   1  0

x   y   1 2 4

16. Hallen analítica y gráficamente la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos: a.  2,3  y

 2,5

b.  1, 5  y

 3, 2 

c.  0, 3  y

 0,2

d.  3,0 y

 2,0

Unidad Nº5: Función Lineal

e.  1,5  y

 0,2  1   2,3 y     2 , 2 f.   g.  1, 3  y  0,0  h.  2, 4 y   2, 1

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17. Hallar analíticamente la ecuación de las siguientes rectas. Justificar a.

b.

c.

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18. Dados los puntos a  (1,3), b  (3,2) y c  (2,   2) se pide: a. Graficar los puntos en un sistema de ejes

b. Hallar las ecuaciones de las rectas Ecuación: ab 

Ecuación: bc 

Ecuación: ca 

Unidad Nº5: Función Lineal

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c. ¿Qué tipo de triángulo es? Justificar d. Hallar un punto “d” de manera tal que forme un cuadrado. Justificar. 19. De un platillo adosado a una viga colgamos diferentes pesos. La posición del platillo, en función del peso se indica en la tabla peso 25 g 10 g  14g Posición del platillo

7cm

7,8cm

10cm

a. ¿Cuál será la posición del platillo vacio? b. Grafica la situación. ¿Se trata de una función lineal? c. Halla la ecuación que relaciona la posición del platillo en función del peso d. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? 20. Un micro y un auto hacen un viaje por una ruta recta en la provincia de Chubut. El micro sale de Rio Mayo y el auto, desde Dr. Ricardo Rojas.

a. ¿A qué hora salió el micro? Y desde donde? b. ¿A qué velocidad circuló el micro? c. ¿A qué hora salió el auto? Y desde donde? d. ¿A qué velocidad circuló el auto? e. Escribir la formula que relaciona los kilómetros recorridos en función del tiempo de los dos móviles.

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21. Los alumnos de una escuela están juntando dinero para su viaje de egresados. Ya tienen ahorrados $ 1200 y logran juntar $100 por mes. a. Indicar cuál sería la fórmula que representa la situación b. ¿Qué valor representa la pendiente, la ordenada al origen, y cuál es el significado de ambos? m  :  

.......................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................

b  :   ..........................................................................................................................................

22. El alquiler de un salón de fiestas cuesta $4500, si se incluye el catering tiene un costo de $85 por persona, a. Escribir la función que da el precio de la fiesta según el número de invitados b. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? c. ¿Cuánto hay que pagar por una fiesta de 80 invitados? ¿y si son 150? 23. En un estudio sobre la evolución del peso de una especie animal, durante los primeros meses de vida, dos experimentos aportan los siguientes datos:  t (meses)

0

2

7

t (meses)

0

3

7

p (Kg.)

4

10

25

p (Kg.)

4

14

24

a. ¿Cuál de las tablas representa la relación entre variables como una función lineal? Justifiquen b. ¿Cuál es el dominio de la función lineal en el contexto estudiado? c. ¿Cuál es el conjunto imagen? d. Escriban la fórmula de la función lineal e. Indiquen que representa la ordenada al origen y la pendiente f. ¿Es creciente o decreciente 24. A Martín le regalaron un autito a pila que viaja a velocidad constante y una pista de madera. Jugando realizó las siguientes mediciones: Tiempo en marcha (seg)

10

15

25

Distancia al inicio de la pista (cm)

65

90

140

a. ¿A qué distancia del inicio de la pista largó Martin el auto? b. ¿Cuál es la velocidad del auto? c. ¿Cuánto tiempo tardó en estar a 60 cm del inicio de la pista? d. ¿Cuál será la fórmula que me permite calcular la distancia al inicio de la pista en función del tiempo?

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25. Dos autos se dirigen, a velocidad constante, a Uruguay por una ruta recta. El primero sale a 70km de Buenos aires con una velocidad de 65 km/h. Del segundo se registraron los siguientes datos: Tiempo (horas)

½

2

Distancia a Bs. As. (km)

65

185

a. Graficar la situación en un sistema de ejes.

b. ¿Qué auto va más rápido? Justificar. c. Encuentren una fórmula que les permita calcular la distancia a buenos aires de cada auto en cada momento d. ¿En qué momento el primer auto se encuentra a 240 km del punto donde partió? e. ¿En qué momento el segundo auto se encuentra a 100km de Bs As? f. ¿En qué momento se encuentran ambos autos? ¿A qué distancia de buenos Aires? g. Calcula, en cada uno de los casos anteriores, en que instante pasa por el kilómetros 65 26. Encuentren analíticamente y gráficamente el valor de k    para que los puntos de coordenadas  1;2  ,  1;3  y  3; k   estén alineados. a. Hallen analíticamente la ecuación de la recta que pase por los tres puntos. 27. La altura inicial de un líquido es de 15 cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel 2 cm cada 3 días. a. Traza unos ejes. Llama x al número de días e y a la altura del nivel. Marca los puntos correspondientes al tercero, sexto y noveno día. ¿Se trata de una función lineal? b. Halla la ecuación que relaciona el nivel del liquido en función de los días transcurridos c. Calcula el tiempo que tarda el líquido en evaporarse Unidad Nº5: Función Lineal

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28. Se pone a calentar una sustancia y la fórmula que expresa la temperatura (en grados centígrados) en función del tiempo (en minutos) es: 25  15t si 0  t   10 T t    si t   10  175 a. ¿Cuál era la temperatura del líquido al comenzar la experiencia?¿Qué dato indica esto en la fórmula de la función? ¿Por qué? b. ¿Cuánto aumenta la temperatura por minuto?¿Qué dato indica esto en la fórmula de la función? ¿Por qué? c. ¿Qué temperatura aproximada tendría la sustancia después de 5 minutos? d. ¿Cuál era la temperatura a los 12 minutos? e. ¿En qué momento la temperatura de la sustancia fue de 150º?¿y de 186º? f. Grafiquen la situación 29. Si f :    / f  x   2x 1  a. En

un mismo par de ejes g :    / g  x   2x  3  

de

coordenadas

grafiquen

f y g  ,

siendo

b. ¿Cómo son las dos rectas? c. ¿Qué tiene en común sus ecuaciones? Conclusiones:

Unidad Nº5: Función Lineal

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30. Si f :    / f  x  

1 x 2

 3 

a. ¿Cuánto vale m? ¿y b? En un mismo par de ejes de coordenadas grafiquen f y g  , siendo g :    / g  x   2x 1 

a. ¿Cómo son las dos rectas? conclusiones:

31. En la ciudad de buenos aires, por el consumo de energía eléctrica en una casa de familia se paga un cargo fijo de $16,28 (por bimestre), $0,1920 por kWh consumido (sin subsidio del estado nacional). Y $0,0420 por kWh consumido (con subsidio del estado nacional). a. Escriban la función que permite obtener el total a pagar según el consumo (con y sin el subsidio b. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? c. ¿Cuándo debería pagar una familia que consumió 950 KWh en un bimestre sin el subsidio del estado?¿y con el subsidio? d. ¿Cuándo debería pagar una familia que consumió 670KWh en un bimestre sin el subsidio del estado?¿y con el subsidio? 32. Elegir tres facturas de distintos servicios públicos (luz, gas, teléfono) a. Escribir las funciones que lo representan. b. Indicar dominio e imagen de da uno de los servicios.

Unidad Nº5: Función Lineal

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Rectas Verticales Hemos estudiado que cada ecuación del tipo  y  mx  b , en los reales, representa a una recta en el plano, para cualquier valor de m y b. Las rectas verticales, paralelas al eje de ordenadas, sino de otra forma x  k  , siendo k cualquier número real. Las rectas verticales no representan funciones, ¿Por qué?

1 2

3 2

33. Grafiquen las rectas: x   ; x  ; y  3; y  2 . ¿Cuáles   de ellas representas funciones? a. ¿Qué tipo de cuadrilátero determinan? b. Pongan nombre a los vértices y escriban sus coordenadas.

Unidad Nº5: Función Lineal

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Ejercicios de Repaso: Funciones lineales Fórmula: f ( x )  mx  b ó y  mx  b   Pendiente: m  

 y  x 

muestra el incremento de la variable dependiente ( y) , con respecto a un

incremento de la variable independiente ( x). Este cociente se mantiene en toda la recta, es constante. Ordenada al origen: b . Es la intersección con el eje de ordenadas. Corresponde al punto (0,b)

1. Escriban la fórmula de una función lineal para cada uno de estos casos: a. Con pendiente 2 y ordenada al origen 1 b. Con

m  0  y b   2

c. Con ordenada al origen 0 y pendiente 1, 2 d. Con

m  0  y b   0

e. Que tenga pendiente positiva y ordenada al origen negativa 2. Grafiquen en cada caso una recta que pase por el origen y que además cumpla que: a. Por cada unidad que aumenta la abscisa, la ordenada aumenta siempre una unidad y media. b. Por cada dos unidades que aumenta la abscisa, la ordenada disminuya tres unidades. c.  Al aumentar la abscisa, la ordenada no se modifique. 3. Consideren las siguientes funciones lineales definidas de  f ( x)   x  4

g ( x)  3 x  3



/

h( x)  2 x

m( x ) 

2 3

x4

a. Representen en un sistema de ejes, sin tabla de valores. (teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada al origen e. Completar la siguiente tabla, de cada función. C 0

(analíticamente)

Unidad Nº5: Función Lineal



C 



C 



 I 

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

 I 



eje  y

(analíticamente)

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4. En las siguientes tablas de valores, hallen p  y q , sabiendo que responden a modelos lineales: a.

 x

 y

b.

 y

 x

c.

 x

-5 -10 2 5 1 0 -5 -1/2 0 0  p 0 0 q  2 7 q  p  3  p  i. Escriban las formulas de las funciones correspondientes.

 y

0 1 q  5

5. Hallar la fórmula para calcular la cantidad de agua que queda en una represa cada día, si la cantidad inicial es de 1150 millones de litros, y la pérdida diaria, de 12 millones de litros. a. ¿En qué momento la represa tendrá 70 millones de litros? b. ¿Cuándo quedará vacía? 6. En el momento que comenzó a llover, la altura del agua en un pluviómetro era de 6 cm. Durante la tormenta, que duro 6 horas, la altura del agua en el instrumento aumento a razón de 2 cm por hora: a. Calculen la altura del agua en el pluviómetro al transcurrir ½ hora, 2 h, 5 h de iniciada la  tormenta b. Calculen cuanto tiempo transcurrió hasta que la altura del agua fue de 12 cm. y de 14,4 cm. c. Escriban la fórmula de la función que permite calcular la altura del agua en el pluviómetro (y) conociendo el tiempo (x), en horas, transcurrido desde que empezó la lluvia. ¿Es una función lineal? d. Indiquen el dominio y el conjunto imagen en el contexto del problema. 7. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos 1, 3

y

  1, 4

a. Hallar la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. b. Encontrar los puntos de intersección de dicha recta con los ejes coordenados. 8. Un bebe al nacer pesa 3,8 kg y tres años después alcanza un peso de 11.5 kg.. Suponga que el peso  de la infancia está relacionado linealmente con la edad  (tiempo medido en años) durante los primeros 5 años de vida. a. Expresar la fórmula  en función de  . b. Indicar dominio e imagen en el contexto de la situación. c. ¿A qué edad pesará 15 kg.? d. ¿Cuál será el peso del niño a los 4 años? 9. Hace 5 años, la población de una pequeña comunidad indígena era de 500 personas. Como consecuencia de su integración con otras comunidades, la población ascendió a 4000 personas. Suponiendo que la población crece en forma lineal: a. Expresen mediante una fórmula la cantidad de habitantes en función del tiempo. b. Indiquen aproximadamente cuando llegará la población a 10000 habitantes. c. Realicen un gráfico cartesiano de la situación.

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10. El prospecto de un medicamento indica una dosis de 2,5 mg por kilogramo de peso del paciente. Escriban la fórmula de la función lineal que me relaciona ambas variables a. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? b. Graficar 11. Una empresa de servicios médicos ofrece un plan de $50 por grupo familiar, con un adicional de $5 por cada estudio de alta complejidad. Expresen la situación mediante una fórmula. a. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? b. Graficar 12. Para preparar un piso de madera, un técnico especializado cobra $300 el metro cuadrado, más un cargo fijo de $250 por viáticos. Consideren la función p(a) que asigna el precio de p (en $) a la medida a (en m2 ) de superficie de piso reparado a. Completen la siguiente tabla de valores y vuelquen los valores en un grafico cartesiano b. Escriban la fórmula p(a) c. Indicar que representa la pendiente de la recta en esta situación. ¿Y la ordenada? d. Graficar e. ¿Cuál es el dominio y cuál es el conjunto imagen de la función, en el contexto de esta situación? 13. Los puntos a   2,  3 , respuestas gráficamente

b



 4, 3 ,

c



1, 0  , ¿pertenecen a la misma recta? Verifiquen la

14. En la ciudad de Buenos Aires, un vecino recibe su factura de Metrogas, con las siguientes características Consumió 47 m3 y tiene que pagar $14,50. Otro vecino: Consumió 126m3 y tiene que pagar $26. a. Calcular el cargo fijo y el variable de la factura de Metrogas. b. Si un tercer vecino pagó $21, ¿Cuántos m3 consumió? c. Si me llego la factura y dice que mi consumo fue de 110 m 3. ¿es posible que tenga que pagar $28? Justificar.

1 3

15. Dada la recta R: r :    / r  x    x  2   ,hallar   la ecuación de la recta que cumpla las siguientes condiciones,

a. Perpendicular a y que tenga ordenada al origen -2. Verificar gráficamente. b. Paralela a y que pase por (2,-1). Verificar gráficamente.

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