Funcion Generatriz de Momentos

 

 

“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CUIDADANO” 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE ESTADISTICA

  ALUMNA: -CORDOVA CORDOVA ROSA

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-REQUENA FLORES ESTEFANI   CURSO: CALCULO DE PROBABILIDADES I   TEMA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS 



  DOCENTE:COSME CORREA 

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FECHA : 25/08/17 

 

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS En  probabilidad  y estadística estadística,,  la función generadora de momentos o función En probabilidad generatriz de momentos de una  una variable aleatoria  aleatoria  X  X  es  es

siempre que esta  esta esperanza esperanza  exista. La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un  entorno un entorno  de t  = 0, permite generar los los  momentos momentos  de la  la distribución de probabilidad::  probabilidad

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la  función característica  la característica siempre existe y puede usarse en su lugar. De forma general, donde

es un un  vector aleatorio  aleatorio n-dimensional

 

Función generadora de momentos: Definición: Si X Si X es una variable aleatoria, el momento de orden k de de X  X se define como: E(Xk) siempre que la esperanza exista. Notemos que E ( X  X ) = m 1er momento: posición 2 E ( X  X 2 )= s +m 2do momento: dispersión E ( X  X 3 )= 3er momento: relacionado con una medida de asimetría E ( X  X 4 )=

4to momento: relacionado con la kurtosis

 

Definición: La función generadora de momentos de una v.a. X es una función a valores reales M (t) X , definida como:

La demostración se basa en el siguiente lema de Cálculo avanzado (ver por ejemplo,  Advanced Calculus, D. Widder (1961)):

 

 

 

 

 

FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS DE  ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES D DISCRETA ISCRETAS SY CONTINUAS.

  DISTRIBUCION

MULTINOMIAL  MULTINOMIAL 

En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalizació generalización n de la  distribución binomial. la binomial.  La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades

La Función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue: f(x1, ..., xk; n, p1, pk)= Pr(x1=x1 y ... y Xk= xk) [ (n!)/(x1!...xk!) ] * (P1

... Pk xk ) cuando ∑k i=1 xi=n

x1

=

  0 en otras casos

Para enteros no negativos negativos x   x 1, ..., x  ..., x k  k.    PROPIEDADES:



ESPERANZA MATEMÁTICA  Una definición fácil de entender es la relación entre el premio obtenido y la probabilidad de acertar en para una variable aleatoria discreta y f(x) es

 

el valor esperado de su distribución de probabilidad en x el valor esperado de x es:

ϵ(x)=∑_(i=1)^n 〖xi∙f(xi) 〗 

ALGUNOS TEOOREMAS SOBRE ESPERANZA MATEMATICA M ATEMATICA   



TEOREMA 1: si C es cualquier constante entonces se tiene lo siguiente: ∈(cx)=c∈(x)



 

TEOREMA 2: si X y Y son variables aleatorias entonces la esperanz esperanza a es: ∈(x+y)=∈(x)+∈(y)



 

TEOREMA 3: si X y Y son variables aleatorias independientes entonces ∈(xy)=∈(x)∈(y)

VARIANZA:   VARIANZA: estadística y se Una cantidad de gran importancia en probabilidad y estadística define como el valor esperado de:

ALGUNOS TEOREMAS SOBRE VARIANZA  

 

TEOREMA 1: √^2=∈[(x-M)^2 ┤]=∈(x)^2-M^2



 

TEOREMA 2: si C es una constante entonces se obtiene lo siguiente var(x)=C^2 var (x)



 

TEOREMA 3: si X y Y son variables aleatorias independientes entonces se obtiene lo siguiente var(x+y)=var (x)+var (y)

√(x+y)〗^2=〖√x〗^2+ 〖√y〗^2 var (x+y)=var(x)-var (y) 〖√(x+y)〗 ^2=〖√x〗^2- 〖√y〗^2

 

 

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA  En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: 

  Bernoulli la distribución delcontenido número número X   X el  del  del   ensayo{ 1, de necesariade para probabilidad obtener un éxito, en conjunto 2, 3,...} o   la distribución de probabilidad del número Y   = X  = X  − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.



Sus propiedades:

2. Si la proba probabilidad bilidad de éxito en c cada ada ensa ensayo yo es es p  p,, entonces la probabilidad de que x  que  x  ensayos sean necesarios para obtener un éxito es   Equivalentemente, la probabilidad de que haya x  haya  x  fallos  fallos antes del primer éxito es P(Y=X)=(1-p) x  para x   x  =  = 0, 1, 2, 3,....  p  para

3. En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica. El valor esperado de una variable aleatoria aleatoria X   X  distribuida  distribuida geométricamente es: E(X) =1/p y dado que Y=X-1 E(Y) =(1/p)/p 1.

4. en ambos casos. la varianza es var(Y) = var(X) = 5.Las funciones respectivamente.

generatrices

de

probabilidad de de X   X  y

la

de Y  son,  son,

6. Como su análoga continua, la di la distribución stribución exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito ttodavía odavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

 

7.La distribución geométrica del número y  de ffallos allos antes del primer éxito es es i  infinitamente nfinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y  1,..., Y n distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y . Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1.   Ejemplos:



1.Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.  -  Solución: Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación: S S S S S S S A S A   Sí denotamos; x = el número de repeticiones d del el experimento neces necesarias arias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sería; P(aparezca una águila en lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) lanzamiento)=p(S)*p(S)* p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

el

último

=q*q*q*q*q*q*q*p =q*q*q*q*q *q*q*p = Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

Donde:  p(x) =  p(x)  = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x  ensayo x  por  por primera y única vez  p =  p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesario necesarios s para que aparezca por primera vez una águila p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

 

 

p(x=8) =

2. Sí la probabilidad de que que un cierto dispositivo dispositivo de medición mu muestre estre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo deque estos mediciónexcesiva?. sometidos  a prueba, sea el primero no dispositivos muestre una de desviación -Solución: a)

x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

p(x = 6) = b)

x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva p(x = 5) = 

3. Los registros de una ccompañía ompañía constructora constructora de po pozos, zos, indican q que ue la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparacion reparaciones es en un año?. -Solución: x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año

p(x = 5) =

 

 

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA  En

estadística la distribución

binomial

negativa es

una

distribución

de

probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. El número de e de experimentos xperimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k  y θ.  La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1. 1.

PROPIEDADES  Su función de Probabilidad es

para enteros x  enteros x  mayores  mayores o iguales que k , donde

Figura 4.1.3 Fórmula Binomial Enteros mayores o iguales que k   Su media es:

μ= k(1-θ)/θ  Si se piensa en el número de fracasos únicamente y Si se cuentan también los k-1 éxitos su varianza es

μ= k/θ 

σ2=(k(1-θ))/θ2 

en ambos casos.

Ejemplos:

1. Si la probabilida pr obabilidad d de que un niño expuesto a un unaa enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el

 

décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y x=10, k=1, θ=0.40  La solución es: b*(10;1,0.4)= (103--11)0.43(1-0.4)10-3=(92)0.43(0.6)7=0.0645 En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\11)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso

1. Sí la probabilidad de que un cierto cierto dispositivo de medición muestre muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviación excesiva excesiva?. ?. Solución: a) k = 6 dispositivos de medición r = 3 dispositivos que muestran desviación excesiv excesiva a p = p(dispositivo muestre una desviación excesiv excesiva) a) = 0.05 q = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95

p(Y = 6) = b) k = 7 dispositivos de medición r = 4 dispositivos que no muestran una desviación excesiva p = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95 q = p(dispositivo muestre una desviación excesiv excesiva) a) = 0.05

p(Y = 7) =

2. Los registros de una una compañía constructora constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20.

 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo constru construido ido por est estaa compañía en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?.  b) ¿Cuál es la probabilidad de de que el octavo pozo pozo constru construido ido por est estaa compañía en un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un año?.  Solución: a) k = 6 pozos r = 2 pozos que requieren reparaciones en un año p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80

p( Y = 6) =

b) k = 8 pozos r = 3 pozos que requieren reparaciones en un año p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80

p(Y = 8) =

 

 

LA DISTRIBUCIÓN GAMMA Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para m modelar odelar variables q que ue describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso. suceso . Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ( p)  p) es la denominada función Gamma de Euler  que  que representa la siguiente integral:

que verifica Γ ( p  p + 1) =  =  pΓ  pΓ ( p),  p), con lo que, si p si  p es  es un número entero positivo, Γ( p  p + 1) = p = p!! El siguiente permitese visualizar la forma f orma la función de de este modeloprograma (para simplificar, ha restringido al de caso en que p que p es  esdensidad un número entero).

Propiedades de la distribución Gamma  1. Su esperanza es p es pα. 2. Su varianza es es p  pα2 3.

La distribución Gamma (α, p = p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p con p = 1.

4.

Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común

 

 X   ~  X  ~ G(α, p  p1) y Y   ~ ~ G(α,  p p2) se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma  X   + + Y   ~ ~ G(α, p  p1 +  + p  p2). Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos tenemos k   k  variables  variables

aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k ))..

 

 

LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por:

que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo). La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale:

El siguiente programa permite visualizar la forma f orma de la función de densidad de este modelo y el valor de la función de distribución:

Propiedades de la distribución Weibull  1.

Si tomamos β = 1 tenemos una distribución Exponencial. 

2. Su esperanza vale:

3. Su varianza vale:

 

 

donde Γ( x   x ) representa la  la función Gamma de Euler  definida anteriormente.