FUNÇÃO EXPONENCIAL - INTENSIVO

1

Professor Cláudio Kaneko

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Dúvidas - E-mail: [email protected]

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se Equação Exponencial, a toda equação, onde a variável encontra-se localizada no expoente. Exemplo: a) 2x = 8

Definição Chama-se função exponencial de base a, a função f(x) = ax, onde a é um número real positivo e diferente de um (1 ≠ a > 0), definida para todo x real. Exemplos: a) y = 2x → função função exponencial de base 2. b) f(x) = (1/2) x →   função exponencial de base 1/2.

b) 2x+1 + 2x = 16

Classificação De Uma Equação Exponencial Uma Equação Exponencial poderá ser classificada como: Equação Exponencial Simples (um termo em cada membro) e Equação Exponencial Por Artifício (mais de um termo em um de seus membros).

Representação Gráfica

Exemplo: a) 2x = 8 (Equação Exponencial Simples) b) 2x+1 + 2x = 16 (Equação Exponencial Por Artifício) Resolução De Uma Equação Exponencial Simples Para resolvermos uma Equação Exponencial Simples, torna-se obrigatório igualarmos as bases dessa equação. Pois em toda exponencial, bases iguais geram expoentes também iguais. Resolução De Uma Equação Exponencial Por Artifício Para resolvermos uma Equação Exponencial Por  Artifício, pode-se transformá-la em uma Equação Exponencial Simples, para assim, igualarmos as bases dessa equação. Aplicações Diretas 01. Resolva as equações: a) 2x = 8 c) 3x = 81 b) 2x+2 = 16 d) 4x – 1 = 1/2

f) 8x – 9 = (1/2)x+1 g) (2/3)3x+1 = 1

02. Encontre o valor de “x” na equação: 83 x  =

3

32 x  4 x −1

03. Resolva os seguintes sistemas:

a)

5 x + y  = 1 b)   x  y  1 3 ⋅ 9 = 9 

2 x  + 3 y  = 11   x  2 − 3 y  = 5

04. Resolva as seguintes equações. a) 3 . 4x+1 = 96 c) 22x – 9 . 2x + 8 = 0 x+2 x–1 b) 2 + 2 = 18

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequação exponencial, devemos escrevê-la em potências de mesma base ou em potências de mesmo expoente, procedendo da seguinte maneira: 1) Quando as bases são maiores que 1, a relação de desigualdade se mantém para os expoentes. 2) Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1, a relação de desigualdade se inverte para os expoentes. Aplicações Diretas 05. Determine o conjunto verdade das inequações, admitindo-se U = IR: a) 3x > 27 c) (1/3)x > 1/9 x b) 2 < 16 d) (1/4)x ≤ 1/16 APLI APLICA CAÇ Ç ES DA FUNÇ FUNÇ O EXPO EXPONE NENC NCIA IAL L O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma ax, mas sim modificado por  constantes características do fenômeno, como em: f(x) = C . a kx

FUNÇÃO EXPONENCIAL Exemplo Introdutório Certo tipo de vegetação dobra sua área mensalmente. Estando com uma área inicial de 1m 2, vamos determinar a expressão analítica que exprime a área y (dada em m 2) em função do tempo x (dado em meses). Área inicial: 1m2 Área após 1 mês: 2m2 Área após 2 meses: 4m2 = 22m2 Área após 3 meses: 8m2 = 23m2 Área após 4 meses: 16m2 = 24m2 ⋮ x

Área após x meses: 2 m

2

Então a expressão procurada é y = 2x Funções desse tipo são chamadas EXPONENCIAIS . Sistema de Ensino Nazaré Av. Nazaré, 1307



TESTES DE VESTIBULARES

1ª QUESTÃO – FMJ/SP O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dada pela expressão N(t) = 1200 . 20,4t.Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38 400 4 00 bactérias? a) 12h05’ c) 12h50’ b) 12h d) 12h30’ e) 12,5’ 2ª QUESTÃO – Mack/SP Inicia-se a criação de certa espécie de peixe em um lago. Estudos indicam que o número N de peixes, decorrido m meses, é dado pela fórmula: N = 5.103 – 5.102.20,1m. Assim, encontre m, para que nesse lago, haja aproximadamente 4000 peixes. 1

3ª QUESTÃO – Mogi/SP O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados N 10 . 10

-16

pela fórmula I = 10 . O número de decibéis correspondente ao som provocado por tráfego pesado de veículos, cuja potência é estimada em 10 -8 watts por  centímetro quadrado, é igual a: a) 40 c) 120 b) 80 d) 160 e) 200

4ª QUESTÃO – U. Amazonas/AM Em pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25 . 2t, onde t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de: a) 4h c) 2h30’ b) 3h d) 2h e) 1h 5ª QUESTÃO – Cefet/PA No período de eleição, os canais de televisão disponibilizam um horário de propaganda gratuito. Admita que um certo candidato apareça diariamente num certo horário e “n” dias após o início da aparição o número “ P” de pessoas que ficam conhecendo o candidato é dado pela expressão P = 5 + 5 . (25)n. Se 3 130 pessoas já viram o candidato no horário de propaganda na televisão, então “ n” é igual a: a) 3 c) 4 b) 2 d) 1 e) 5

10ª QUESTÃO – UFRJ Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N = 640 (1 – 2-0,5t) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 e N = 635, determine t1. 11ª QUESTÃO – FGV/SP O crescimento de uma determinada população após t anos a partir de um instante t = 0 é dado por  P(t) = P(0) . 30,25t, onde P(t) indica a população no instante t. Após quanto tempo a população triplicará? 12ª QUESTÃO – Adaptada A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade da quantidade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para o mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo reduziu-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer  tempo com a quantidade inicial por meio da função t

  1  P N(t) = N0 .   , em que N0 é a quantidade inicial do material  2 

7ª QUESTÃO – IMS Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função P(t) = 50 + 5t, onde P é o preço da máquina (em reais) e t o tempo de uso (em anos). Determine, o tempo para que essa máquina passe a custar R$ 75,00.

radioativo, t é tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado. Usando essas informações resolva o problema: A PET (Positron Emission Tomography) é uma das melhores técnicas de tomografia para obtenção de imagens do corpo humano, permitindo melhores definições de imagem usando menos radiação do que outras técnicas. Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são o carbono-11, o nitrogênio13, o oxigênio-15 e o flúor-18, cujas meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um desses isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injeta-lo no paciente. Desta forma, em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida?

8ª QUESTÃO – UFGO Uma casa popular na periferia de uma certa cidade brasileira vale atualmente R$ 20 000,00, porém o abandono sofrido pelo imóvel e a ação do tempo, tem feito com que o mesmo se desvalorize 10% a cada ano sem nenhuma reforma. A expressão V(t) que dá o valor do imóvel após t anos é dada por: V(t) = 20 000. (0,9)t. Desta forma, após quanto tempo o imóvel valerá R$ 16 200,00?

13ª QUESTÃO – Vunesp/SP Uma substância se decompõe aproximada - mente segundo a lei Q(t) = K . 2 -0,5t, na qual K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em grama) no instante t. Considerando-se os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e a.

6ª QUESTÃO – USF Em uma cultura de bactérias, o número aproximado de indivíduos em função do tempo t (em horas) é dado por  f(t) = 100. 3 0,2t. Após quantas horas essa cultura terá 2 700 indivíduos?

9ª QUESTÃO – UFPA Uma das práticas mais prazerosas da relação humana – o beijo – pode ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo que o número de bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela expressão N(b) = 500 . 2b, para que o número de bactérias seja 32 000 você terá de dar: a) 6 beijos c) 8 beijos b) 5 beijos d) 7 beijos e) 4 beijos

Sistema de Ensino Nazaré Av. Nazaré, 1307

Q 2048 •

GABARITO – Testes De Vestibulares 01. D / 02. 10 / 03. B / 04. A / 05. B / 06. 15 h / 07. 2 anos / 08. 2 anos 09. A / 10. 14 dias / 11. 4 anos / 12. 40 min / 13. K = 2048 e a = 4

512

•

0

a

t

2