FUERZAS VIRTUALES

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

CAPÍTULO VIII 8.- MÉTODO DE LAS FUERZAS VIRTUALES Generalidades En este capítulo se presenta un método para el cálculo de desplazamientos en estructuras isostáticas, basado en algunos principios fundamentales de trabajo y energía. Es por ello, que se comienza por introducir algunas definiciones relacionadas con esos principios. Se considera el trabajo virtual con el desarrollo del principio de las fuerzas virtuales, aplicado a cuerpos deformables y su utilidad determina el resultado obtenido para el cálculo de desplazamientos en estructuras isostáticas. Se establece su aplicación a través del método de las fuerzas virtuales y el uso en el cálculo específico de desplazamientos en algunas estructuras isostáticas. Según Norris y Wilbur, las estructuras se deforman ligeramente cuando están sometidas a cargas o cambios de temperatura. Como consecuencia de estas deformaciones los puntos de la estructura experimentan ciertos desplazamientos y la estructura sufre a su vez una deformación general. Siempre cuando no sobrepase el límite elástico del material, estas deformaciones y desplazamientos desaparecen cuando se suprime el esfuerzo y la temperatura vuelve a su valor primitivo. Este tipo de deformación se llama elástica. El cálculo de desplazamientos determina si las deformaciones exceden los límites impuestos y así efectuar el control de las estructuras ya construidas y largo tiempo de servicio, también, para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, el cual podría estar basado en el cálculo de su deformación bajo los diferentes estímulos. Existen varios métodos para calcular deformaciones, algunos vistos en mecánica de los materiales, siendo el de los trabajos virtuales, uno de los métodos más generales, seguro y en particular útil para el cálculo de desplazamientos en estructuras isostáticas y el cual es estudiado en el presente capítulo. 8.1. Definiciones de trabajo y energía El método de los trabajos virtuales es un enfoque alternativo para calcular desplazamientos, basado en algunos principios fundamentales de trabajo y energía. Por esta razón, se incluyen en esta sección algunas definiciones básicas relacionadas con estos principios. Uno de los principios más importantes de la física, es el de la conservación de la energía, que en el contexto del análisis estructural, es planteado según: We + WI = 0 We = -WI

Ec. 8.1

We = U 

Trabajo externo = energía interna de deformación

Este teorema o ecuación de trabajo afirma que el trabajo externo realizado sobre un cuerpo se convierte en una energía de deformación que se almacena en el cuerpo.

249

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Al verificar los términos involucrados en este principio se tiene que; En una distancia para obtener el trabajo y la relación entre deformaciones, conviene recordar las expresiones generales dadas por la mecánica de materiales, para su determinación y estas son: 

Energía de deformación por esfuerzos normales: Ec. 8.2

U     d dv v  , 

Energía de deformación por esfuerzos cortantes:

U =   td  dv

Ec. 8.3

V  ,

Aunque el principio de conservación de la energía expresado matemáticamente en la ecuación (8.1) es ciertamente un concepto importante, en realidad se utiliza muy poco en el análisis estructural, debido a las limitaciones que su uso presenta. Así, para el caso particular del cálculo de desplazamientos, su aplicación conlleva a una ecuación con varias incógnitas de desplazamiento que no puede resolverse, como se aprecia a continuación para una viga simple:

W e = P1 v1 + P2 v2 +... = U Adicionalmente, el cálculo de la energía de deformación U, a partir de las ecuaciones (8.2) y (8.3) no es sencillo. Esta limitación, obliga a cambiar de trabajo, según Laible J. demuestra ser uno de los conceptos más útiles e importantes en mecánica y es el trabajo virtual, debido a un desplazamiento real por alguna fuerza virtual; utilizado para definir un teorema conocido como principio de las fuerzas virtuales: 8.2. Trabajo virtual – principio de las fuerzas virtuales Dada la importancia que tiene el principio de las fuerzas virtuales para el cálculo de desplazamientos reales, desde el punto de vista físico, se puede desarrollar considerando un cuerpo elástico, como el de la figura 8.1, sometido a una distribución general de cargas:

Figura 8.1 Cuerpo elástico sometido a cargas

Antes de cargar el cuerpo con las cargas reales, primero se coloca la carga concentrada virtual Q externa o carga imaginaria sobre el cuerpo en el punto y en relación con el desplazamiento

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CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

deseado. Debido a Q, se desarrollan esfuerzos internos virtuales que están en equilibrio con Q y con las reacciones de apoyo debidas a Q. Como resultado de esta carga se efectuará una cantidad igual de trabajo interno y externo, de acuerdo con el principio de conservación de la energía, el cuerpo está en equilibrio y las energías interna y externa se equilibran. Luego se aplican las cargas reales. Todos los desplazamientos que resulten en este momento se deben a las cargas reales. Cuando se aplican estas cargas resultan dos tipos de trabajo. El primero es un trabajo real interno y externo debido a las cargas reales, que puede expresarse de acuerdo a la ecuación (8.1) como: Ec. 8.4

    U

Donde los desplazamientos y los esfuerzos y deformaciones son debidos a las cargas reales. El segundo es el trabajo virtual externo e interno producido por la carga virtual externa y los esfuerzos virtuales internos al “moverse” a lo largo de una cantidad de desplazamiento, que no se debe a la carga virtual, sino a las cargas reales aplicadas; dado por:

W e = Q  p = U

Ec.8.5

Se podría sumar este

trabajo virtual interno y externo al primer trabajo real interno y externo para formar el trabajo total, pero como los términos de (8.4) se cancelan, permanecen los términos de (8.5) como una igualdad, que es una forma del principio del trabajo virtual o principio de la fuerza virtual. Laible J. plantea la relación (8.5), en palabras, como sigue: Si las fuerzas virtuales externas y los esfuerzos virtuales internos de un cuerpo elástico están en equilibrio, entonces el trabajo virtual realizado por las fuerzas virtuales externas que se mueven a lo largo de los desplazamientos reales externos será igual al trabajo virtual interno, efectuado por los esfuerzos virtuales internos que se mueven a lo largo de las deformaciones internas compatibles. Este principio involucra algunos aspectos claves como son: 

La fuerza virtual y los esfuerzos virtuales internos están en equilibrio; esto es, los esfuerzos se deben a la carga virtual.



Las deformaciones reales se deben a las cargas reales sobre la estructura. El cálculo de estas deformaciones requiere que las fuerzas internas y los esfuerzos debidos a las cargas reales sean determinados.



El desplazamiento real resultante en la dirección de la carga virtual será compatible con las deformaciones reales internas.

Una expresión para U puede obtenerse, considerando la noción clave del trabajo virtual, como es que el trabajo no es creado por fuerzas y desplazamientos vinculados entre sí; mediante alguna relación de deformación o alguna ley de las propiedades del material. Se considera que los esfuerzos virtuales son independientes de las deformaciones o que el desplazamiento no está provocado por la carga virtual. En consecuencia y a partir de las ecuaciones (8.2) y (8.3) se obtienen las expresiones generales para la energía de deformación virtual U, como:

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

Energía de deformación virtual por esfuerzos normales   U      d  dv     v   , v 



Ec. 8.6

Energía de deformación virtual por esfuerzos cortantes

U =  (intfrom ,   d  )dv =   (intfrom , d  )dv =   dv v v v

Ec. 8.7

De esta manera se tiene: 

Expresión general de U para esfuerzos normales

U =   dv v 

Ec. 8.8

Expresión general de U para esfuerzos cortantes

U =   dv v

Ec. 8.9

Así, por ejemplo, introducida la expresión de U (8.8) en la ecuación de trabajo virtual (8.5) para el cuerpo dada por la ecuación elástico se obtiene:

Q   p =  overlinesigma dv v Donde Q y  representan la fuerza y los esfuerzos virtuales en equilibrio y ∆p y  el desplazamiento y las deformaciones compatibles debidas a las cargas reales. Lo antes expuesto, sirve de base y permite plantear una técnica para práctica de análisis, que permite calcular los desplazamientos en estructuras estáticamente determinadas, llamado método de las fuerzas virtuales. 8.3. Planteamiento general del método de las fuerzas virtuales desplazamientos en estructuras isostáticas.

para calcular

Dada una estructura, sometida a un sistema de cargas reales aplicadas, a la cual se le desea conocer un desplazamiento específico en un punto dado, debido al sistema de cargas aplicadas, se define una estructura ficticia de idénticas características geométricas a la estructura real, a la cual se le aplica una carga también ficticia virtual unitaria, en el punto de la estructura donde se desea conocer el desplazamiento, para producir trabajo virtual. Este planteamiento del método de las fuerzas virtuales conduce a la definición práctica de dos sistemas: SR.: Sistema real de desplazamientos, representa a la estructura real sometida a los estímulos que la deforman. SV: Sistema virtual de fuerzas, define la estructura ficticia con la carga virtual unitaria apropiadamente aplicada para los efectos de calcular el desplazamiento deseado.

252

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Una simple aplicación del método de las fuerzas virtuales a la viga simplemente apoyada, se muestra a continuación:

Sistema real de desplazamientos (SR) (SV)

Sistema virtual de fuerzas para calcular 

c

La evaluación del trabajo que realizan las fuerzas virtuales sobre los desplazamientos reales, define una ecuación de trabajo virtual de la forma:

1vc =U 

Ec. 8.10

Trabajo virtual externo = energía de deformación virtual

La ecuación (8.10) expresa la igualdad entre el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas virtuales sobre los desplazamientos reales y la energía interna de deformación virtual acumulada. Se observa, ahora, que en la ecuación de trabajo virtual solo aparece como incógnita el desplazamiento deseado. Es decir, la ecuación de trabajo virtual para calcular un desplazamiento cualquiera  sé convierte en:

We = U

1   +W R = U

Ec. 8.11

Donde el término W R representa el trabajo realizado por las reacciones virtuales sobre los movimientos de soporte, es posible que estén impuestos en la estructura real, como estímulos reales, en correspondencia con las reacciones virtuales del SV y cuya evaluación se analiza posteriormente. Al señalar, la importancia que tiene la ecuación de trabajo virtual (8.11) como expresión matemática fundamental para el cálculo de desplazamientos, se realiza a continuación una evaluación detallada de los términos que en ella intervienen. 8.4. Definición y evaluación de los términos de la ecuación de

trabajo vir-

tual. 1 •  representa el trabajo virtual externo realizado por la carga virtual ficticia unitaria sobre el desplazamiento  deseado. Este trabajo es evaluado aplicando el concepto básico de fuerza (virtual unitaria) x distancia (desplazamiento  deseado) para obtener el trabajo, válido también para cuerpos deformables. Es tomado positivo, bajo la consideración inicial de que el desplazamiento  tiene igual sentido al de la fuerza virtual unitaria aplicada. Realizados los cálculos, si  resulta positivo, se ratifi-

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ca la suposición de sentido de  igual al supuesto para la carga virtual unitaria. Un valor negativo para el desplazamiento indicaría que el desplazamiento ocurre en el sentido contrario al supuesto para la carga virtual aplicada. W R: representa el trabajo virtual externo realizado por las reacciones virtuales del SV sobre posibles movimientos de soporte (ms) impuestos como estímulos en la estructura, razón por la cual ésta experimenta desplazamientos. La evaluación de este término se realiza por aplicación directa del concepto de trabajo: fuerza (reacción virtual) x desplazamiento (ms en correspondencia). Lo indicado, se aprecia en la viga simple mostrada a continuación, sometida a un movimiento de soporte en b:

SR de desplazamientos

SV de fuerzas para calcular vc

1

W R=- 2v En general, el término W R debe incluir el trabajo producido por todas las reacciones virtuales que tengan movimientos de soporte asociados en el SR de desplazamientos. Esto se considera en el siguiente ejemplo:

SR de desplazamientos

SV de fuerzas para calcular vb

El trabajo realizado por las reacciones virtuales es:

W R = - 1 2 v  1 2v a

c

Ū: representa la energía de deformación virtual, expresada hasta ahora, mediante las ecuaciones (8.8) y (8.9). A partir de estas ecuaciones se establece, que deben existir algunos medios para evaluar los esfuerzos internos virtuales debidos a la carga virtual impuesta y las deformaciones

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CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

reales internas, para la solución de los desplazamientos de las estructuras que sean determinadas. En este caso, bastan los análisis de equilibrio sencillos de los sistemas real y virtual definidos, para obtenerlas, como se específica a continuación. Así, del análisis del SV se obtienen las fuerzas internas, en los miembros de la estructura, debidas a la carga virtual, a partir de las cuales pueden encontrarse fácilmente los esfuerzos virtuales. Del análisis del SR se determinan las fuerzas en los miembros, a partir de las cuales es posible calcular las deformaciones. Este planteamiento conduce a un análisis por miembro, que exige la definición y determinación de la energía de deformación para diferentes miembros estructurales, para luego superponer y obtener la energía de deformación virtual para la estructura completa. 8.5.1. Energía de deformación en los miembros estructurales. Para determinar la energía de deformación virtual en los miembros estructurales es posible efectuar una reordenación de las expresiones correspondientes a los esfuerzos y las deformaciones reales internas, con objeto de producir una ecuación de energía virtual en términos de las fuerzas interna virtual y real obtenida de los análisis de equilibrio sencillos realizados a los sistemas real y virtual. Para ello son considerados seguidamente, los diferentes tipos de esfuerzos internos y deformaciones que pueden existir en los miembros de una estructura de pórtico plano o en parrilla, con sus correspondientes expresiones dadas por la mecánica de los materiales. Asimismo, los esfuerzos virtuales internos y las deformaciones reales internas ya definidas, se puede aplicar, según el caso, la ecuación de energía virtual (8.8) u (8.9), donde la integración sobre el volumen implica la integración sobre el volumen de cada uno de los miembros de la estructura: 

U para miembro sometido a efecto axial Una fuerza axial virtual N origina esfuerzos norma- les virtuales

=



:

N A

En este miembro, en el SR se producirán deformaciones lineales x que pueden deberse a cargas o a cambios de temperatura constantes Λtp en la sección. Para deformación x producida por carga axial.

 x =

du dx

 x = E x ,  x =

 x=

x N = E AE

255

N A

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Al llevar las expresiones obtenidas para los esfuerzos virtuales  y las deformaciones reales , a la ecuación de energía virtual (8.8) y expresando la integral de volumen como una integral sox bre el área y la longitud, se obtiene la expresión de U para un miembro axial debido a cargas, según:

U    x var epsilon x dv  

NN N N dx  dA   A x AE A AE

ó NN AEdx x

Ec. 12

U 

Donde: N: fuerza axial virtual N: fuerza axial real A. área transversal de la sección E: módulo de elasticidad del material son integrados a lo largo del miembro. Para deformación x, producida por un cambio de temperatura constante en la sección, se tiene:

x 

du dx

En este caso, el alargamiento du originado se determina así:

du  t p y por tanto:

 x  t p Al modificar esta expresión para x en la ecuación (8.8) de U; para un miembro sometido a efecto axial, debido a temperatura se obtiene:

U    x var epsilonx dv  v

N

 A x

p

dx  dA   N p dx A

x

ó

U   NalphaDeltatpdx v

Ec. 13

Donde: N: fuerza axial virtual

256

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

: coeficiente de dilatación térmica del material

 p: cambio de temperatura a nivel del eje neutro de la sección Se realiza las ecuaciones (8.13) y (8.13), como las expresiones particulares de U para un miembro sometido a efecto axial. 

U para miembro sometido a flexión Un momento flector virtual M genera esfuerzos normales virtuales , de la forma: 

My 1

Donde, el efecto flector es un miembro se debe a cargas o cambios de temperatura variable, en la sección al obtenerse dos expresiones para las deformaciones reales x. Para x producidas por cargas, se tiene: X =

du  yd overdx dx

x =

x MyoverE  E

Al sustituir las expresiones definidas para los esfuerzos virtuales x y las deformaciones reales x respectivamente, en la ecuación de energía virtual (8.8) y al señalar la integral de volumen sobre al área y la longitud, se obtiene la expresión de U para miembro en flexión debido a cargas así:

MM MM 2 U    xvarepsilon x dv   dx  y dA   dx x x  A x  ó

MM U  dx x 

Ec. 8.14

M: momento flector virtual M: momento flector real E: módulo de elasticidad I: momento de inercia de la sección Son integrados a lo largo del miembro Para deformación x ocasionada por un cambio de temperatura con variación lineal, se tiene: Un cambio de temperatura de este tipo, produce efecto flector, al definir alargamiento diferente para las fibras superiores e inferiores con un relativo ángulo de giro d, como se indica:

257

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d  

 ( t  Deltarts dx h

Alargamientos en fibra superior e inferior

Al sustituir, las expresiones definidas para  y x en la ecuación de energía virtual (8.8), se define la expresión de U para un miembro en flexión debido a un cambio de temperatura lineal:

U    x var epsilon x dv   v x

M 1

A 2 ( t  t s )dx  y dA   M ( t  ts A x h h



ó

U  M  overh (t  t s ) dx

Ec. 8.15

x

Donde: M: momento flector virtual : coeficiente de dilatación térmica h: alturas de sección

t i  ts  Cambio de temperatura en fibras inferiores y superiores respectivamente. Son integrados a lo largo del miembro. Se destacan las ecuaciones (8.14 y 8.15), como las expresiones particulares de U para un miembro sometido a efector flector. 

U para un miembro sometido a corte

Fuerza cortante virtual V, al generar esfuerzos cortantes virtuales fórmula de Zurhaski de esta manera:



, expresados mediante la



VQ

*

lb

 Gv  VQ *   G

lbG

Al sustituir las expresiones definidas para los esfuerzos cortantes virtuales  y las deformaciones angulares reales  respectivamente, en la ecuación energía virtual (8.9), al agrupar convenientemente y al señalar lo integral del volumen sobre el área y la longitud, se tiene: Al realizar:

VV  A dx  2 I x AG 

U    vdv   v

258

 O*  A  b 

2

  dA  

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Al mostrar que: 2

* A O    dA  K I 2 A  b 

Ec. 8.16

Denominado factor de corrección por corte, al obtenerse como resultado la expresión de U para un miembro sometido a efector cortante:

VV dx x AG

U  K

Ec. 8.17

La ecuación (8.17) expresa matemáticamente, la energía de deformación virtual debido al cortante, donde: V: fuerza cortante virtual V: fuerza cortante real

A: área de la sección G: módulo de elasticidad al corte K: factor de corrección por corte Son integrados a lo largo del miembro El factor de corrección por corte K, depende de la forma de la sección transversal y puede ser evaluado mediante la expresión matemática, dada por la ecuación (8.16), que contiene las características de la sección: área, inercia y lo integral del área; cuyo integrado está dado por el cuadrado de la relación momento elástico, ancho de la sección. En la figura 8.2 se muestran los valores de K para algunas secciones transversales más comunes: Sección rectangular

K = 6/5

Sección circular

K = 10/9

Sección circular hueca

K=2

259

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Perfiles laminados

K=1

K=1

Utilizar el área de la base como A 

U para miembro sometido a torsión

El torsor virtual T genera esfuerzos cortantes de la forma



Tp J

 G

SV:

 Tp   G GJ

SR:

En las expresiones dadas, por los esfuerzos cortantes virtuales  y las deformaciones reales  respectivamente, en la ecuación de energía virtual (8.9), al agrupar convenientemente y al mostrar la integral de volumen en una en una integral sobre el área y la longitud, se tiene:

TT TT dx  p 2 dA   dx 2 GJ x A x GJ

U    vdv   v

ó

TT dx x GJ

U 

Ec. 8.18

La ecuación (8.18) expresa en forma matemática la energía de deformación virtual para un miembro sometido a torsión, donde:

260

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

T: Momento torsor virtual T: Momento torsor virtual G: Módulo de elasticidad al corte J: Momento polar de inercia de la sección Son integrados a lo largo del miembro La evaluación del momento polar de inercia J depende del tipo de sección que se considere. De la mecánica de los materiales se tienen expresiones según el tipo de sección, como se indica en la figura 8.3:

d4 r 4  32 2

Sección circular

J

Sección rectangular

J   ab3 (a = lado mayor) Figura Nro. 8.3. Expresiones para el momento polar de inercia

 : Coeficiente que depende de la relación a/b como se indica: a b 1



.141

1.2

1.5

1.75

2

2.5

3

4

5

6

8

.166

.196

.214

.229

.249

.263

.281

.29 1

.299

.307

J

Sección elíptica



.312

333

 a 3 b3 16(a2  b 2 )

J = 0,02165 a

Sección de triángulo equilátero de lado “a”

10

4

Para completar las expresiones para U, se considera ahora su evolución en el caso de recortes sometidos a efecto axial. 

U En resorte sometidos a fuerza axial

La evaluación de U para el caso de resorte, se realiza directamente por la vía del trabajo virtual interno, como el trabajo realizado por la fuerza virtual N sobre el desplazamiento axial real u experimentado por el resorte, como se indica:

261

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

u Wi Nu Se busca el desplazamiento u en función de la fuerza axial N. Por eso se considera la constante de resorte Kr, como la pendiente de la gráfica fuerza – desplazamiento, como se muestra:

Esto permite definir la constante del resorte Kr como la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario en el resorte, así:

N  Kr u u

N Kr

De esta manera, se define la energía virtual para deformación axial en resortes,

u  Nu 

NN Kr

Ec.8.19

Establecidas las diferentes expresiones matemáticas para la energía de deformación virtual por miembro y en función de las fuerzas internas virtuales y reales, debe contemplarse, ahora, la evaluación general de U en la estructura completa para los fines de calcular algún desplazamiento. Esto se logra, mediante la superposición de la energía definida para cada miembro de la estructura; al tomar para U los términos correspondientes según el tipo de estructura, de estímulo, donde esta sometida a deformaciones que se indique. Asimismo, el planteamiento general de la ecuación de trabajo virtual se muestra a continuación estructuras, donde interesa aplicar el método de las fuerzas virtuales para calcular un desplazamiento particular. 8.6. Ecuaciones de trabajo virtual según la estructura al consi- derar estímulos que actúen simultáneamente.

262

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

8.6.1.

Estructura de armadura plana

Al señalarse, una armadura plana de una estructura en la que sus barras se consideran doblemente articuladas, solamente la única fuerza axial, la ecuación general de trabajo virtual para calcular en este tipo de estructura un desplazamiento, se indica así:

 NN  1.  W R      N p  dx AE x 

Ec. 8.20

La ecuación (8.20) contempla la acción de cargas y cambios de temperatura como estímulo sobre la estructura. La acción de uno solo, anula en (8.20) el término correspondiente al otro. Asimismo, para cargas se tendría:

1.  W R    x

NN dx AE

Ec. 8.21

La existencia de resortes en deformación axial en la estructura incluye el término para U, como se señala:

1.  W R 

NN

  AE dx  

barras x

NN Kr

Ec. 8.22

Estructuras de pórtico plano Del análisis simple de los pórticos plano, se conoce que sus miembros quedan sometidos, en el caso general, a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Así la ecuación de trabajo virtual, al determinar estos tres tipos de deformaciones y toda clase de estímulo, se tiene:

 NN VV MM   NN 1. WR  K  Ntp M  ti ts  dx AE AG EI h Kr x 

Ec. 8.23

Los términos correspondientes para U en la ecuación (8.23), consideran deformación axial, por corte y deformaciones flectoras; cargas, modificaciones de temperatura y la existencia de resortes. Sin embargo, se insiste en que la selección de los términos para U depende del tipo de estímulo al cual esté sometida la estructura y el tipo de deformación que se considere. El cálculo de  podría despreciarse algún tipo de deformación, ello simplemente anula los términos correspondientes. Así las deformaciones flectoras en pórtico son predominantes, con frecuencia se delegan la deformación axial y por corte, en el caso a la ecuación de trabajo virtual a partir de la ecuación (8.23) sería, al considerar cargas y cambios de temperatura:

1.  W R 

 MM

   

miembros x

EI

M

   ti  ts   dx h 

Ec. 8.24

Al determinar únicamente cargas:

1.  W R 

 

miembros x

263

MM dx EI

Ec. 8.25

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

8.6.2.

Estructura en parrilla

Del análisis simple de la estructuras en parrilla, se determinan sus miembros sometidos a momento torsor, corte y momento flector. Por consiguiente, la ecuación general de trabajo virtual para este tipo de estructuras, al considerar sólo deformaciones donde:

 TT

VV

   GJ  K AG  

1.  W R 

miembros x

MM EI

 dx 

Ec. 8.26

Al dejar un lado cualquier tipo de deformación, elimina el término correspondiente de U, así al indicar sólo deformaciones torsoras y flectoras (desestima las deformaciones cortantes):

 TT M M  1    W R int fromX    dx    GJ

Ec.8.27

En este mismo orden de idea, se tienen ecuaciones de trabajo virtual hasta ahora señaladas para los diferentes tipos de estructuras, permiten calcular el desplazamiento deseado, debido todos los estímulos; cargas, cambios de temperatura y movimientos de soporte, al actuar en forma simultánea en la estructura. Sin embargo, es posible calcular el desplazamiento a cada estímulo por separado, como se muestra seguidamente, después de explicar el caso correspondiente a la función de movimientos de soporte al intervenir como único estímulo en la estructura. En este sentido, para los movimientos de soporte, asociados a movimientos de cuerpos rígidos que no producen deformaciones internas, la ecuación de trabajo virtual para el cálculo de desplazamientos debido sólo a esta acción tendrá energía de deformación nula. 8.7. Ecuaciones de trabajo virtual según el tipo de estructura al estímulos actuando por separado. 8.7.1. 

considerar

Estructura de armadura plana

Desplazamiento debido sólo a cargas

1. 

NN

  AE dx

Ec. 8.28

barras x



Desplazamiento debido sólo a temperatura

1. 

  Nt

p

Ec. 8.29

dx

barras x



Desplazamiento debido sólo a mo-

vimiento de soporte

1    WR  0 8.7.2. 

Ec. 8.30

Estructura de pórtico plano

Desplazamiento debido sólo a cargas

1. 

 NN

miembros x

264

VV

   AE  K AG  

MM EI

 dx 

Ec. 8.31

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES





1. 

   N  t

p

M

miembros x

   ti   t s   dx h 

Desplazamiento debido solo a temperatura Ec. 8.32

Las ecuaciones (8.31) y (8.32) indicadas contemplan todo tipo de deformación, con la opción de seleccionar los términos de U en función del tipo de deformación observada. 

Desplazamiento debido sólo a ms Ec.8. 33

1   W R  0 8.7.3. 

Estructura en parrilla

Desplazamiento debido sólo a cargas

 Ec. 8.34 dx miembros x  La ecuación (8.34) muestra la consideración de todo tipo de deformación en los términos de U, pero con posibilidad de escoger dichos términos que actúan según el tipo de deformación que se establezca en la estructura. 1. 

 TT

VV

   GJ  K AG  

MM EI

Se destaca, que al ser válido el principio de superposición, al calcular un desplazamiento  cualquiera, debido a cada estimulo al funcionar por separado, luego, supuesto los valores obtenidos, se concluye, que es el mismo resultado para  calculado a partir de la ecuación general de trabajo virtual que distinga todos los estímulos simultáneamente. 8.8. Evaluación práctica de la energía de deformación para es-tructuras con miembros de la sección constante. El método de las fuerzas virtuales para calcular desplazamientos en estructuras, continúa cierta dificultad relacionada con el proceso de integración presente el cálculo de U. Sin embargo, esta dificultad se reduce para el caso sencillo de estructuras con miembros de sección constante y considerada de un solo material. Para la evaluación de la U, en este tipo muy particular de estructuras, se ha creado unas tablas conocidas como superposición, que suministran la información rápida y sencilla del valor integral correspondiente y en esta sección se incluyen atención especial en su uso para obtener el valor de U. Al señalar que: 

Todas las expresiones de U aparecen en términos del producto de las fuerzas internas virtuales y reales. Estas fuerzas son obtenidas mediante el análisis de equilibrio sencillos, realizados a los sistemas definidos como real (SR) y (SV) virtual.



Las tablas de superposición se ilustran figuras geométricas simples para suponer que representan los diagramas de fuerzas internas de los miembros de la estructura. En consecuencia se tiene:

265

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



En uso de las tablas de superposición para determinar U, requiere la solución de dos sistemas SR y SV, hasta las gráficas de fuerzas internas de todo los miembros de la estructura en ambos sistemas.



Las tablas suministran la superposición de cada diagrama de fuerza interna real con el virtual, o viceversa, correspondiente. Por esta razón la tabla indica en la parte superior algunos rayados: seleccionado uno de ellos, por relacionarse con uno de los diagramas a superponer, se entra en la tabla en forma descendente hasta ubicar el diagrama. Inmediatamente aparece a derecha la expresión relativa al numerador de la integral. El denominador considerado constante, sale de la integral y basta agregarlo al valor dado por la tabla.



El signo de una superposición queda definido, al distinguir el signo de dos diagramas superpuestos, al establecer el criterio de signos para el producto: + con + ➱ + - con - ➱ + + con - ➱ - con + ➱ De forma simple se expone:



Los signos de dos diagramas real virtual = ➱ superposición +, signos de dos diagramas real y virtual diferentes ➱ superposición -. Si un miembro cualquiera de la estructura, en algunos de los sistemas real o virtual tiene una de sus fuerzas internas con valor 0 (no tiene diagrama) la superposición es nula.

Estas consideraciones señaladas sobre el uso de las tablas de superposición para obtener U, se explican en el siguiente ejemplo correspondiente a un miembro cualquiera ij de una estructura de pórtico plano:

266

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Uij considerando todo tipo de deformación:

U ij  

11.11x1/ 3x 2 Kx1.56 x 2 / 3 x 2 1 3.12 x / 3 x2   AE AG 3 

Uij Considerando sólo deformaciones por flexión:

U ij  1/ 3

3.12 x 4 / 3 x 2 

Al justificar la geometría de las secciones transversales y los módulos de elasticidad E y de elasticidad al corte G, es posible evaluar numéricamente la energía virtual para un miembro ij en consideración. Se debe tener en cuenta en este cálculo con las unidades. 8.9. Algunas consideraciones adicionales 

Escogencia del diagrama para entrar en la tabla de superposición.

La a las tablas de superposición se efectúa con el diagrama más sencillo, real o virtual, indistintamente, dado que los términos a evaluar en las expresiones de U son productos de fuerzas internas virtuales y reales. 

Diagramas de fuerzas internas por separado

Al notar, que las tablas contienen diagramas simples, cuando un diagrama resulta complicado y no se presenta en las tablas, se puede descomponer, al utilizar el principio de superposición, en diagramas sencillos denominados por separado. Esto se muestra a continuación mediante la figura 8.4, para el momento flector en un miembro de pórtico plano:

Figura 8.4. Diagrama de momento por separado en un miembro de pórtico plano



Diagramas de fuerzas internas que deben graficarse

267

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

En miembros de la estructura donde se desprecia algún tipo de deformación, no será necesario graficar el diagrama de fuerza interna correspondiente. Se grafican únicamente los diagramas de fuerzas internas según el tipo de deformación que este considerado. Note, que una simplificación importante se presenta el caso particular de miembros inclinados de pórtico plano, cuando sólo se considera deformaciones por flexión. Esto miembros solamente será necesario, graficar los diagramas de momento flector con su valor máximo. Por esto, la forma y ordenada máxima de momento flector de algunos diagramas, se originan y pueden demostrarse mediante la figura 8.5, donde podrán aplicarse directamente sin necesidad de realizar descomposición de fuerzas:

Figura Nro. 8.5. Diagramas y valor máximo de momento flector en miembros inclinados plano.

de pórtico

Por otra parte, aquellas barras de estructuras que solo quedan sometidas a fuerza axial, su aporte a la energía de deformación virtual se deberá a este efecto bajo la consideración de deformación axial ellas mismas. 

Desplazamientos que pueden calcularse

Cada aplicación del método de fuerzas vinculadas, permiten calcular un solo desplazamiento de los experimentados por la estructura, debido a los estímulos que la solicitan. Puede ser un desplazamiento horizontal o vertical, una rotación absoluta o relativa.

268

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Se exponen a continuación algunos ejemplos particulares de estructuras isostáticas simples, bajo la acción de cargas, las cuales se quiere calcular un determinado desplazamiento. Así mismo se indica el sistema virtual para la solución por método de las fuerzas virtuales:

SR

Desplazamiento horizontal de punto b

desplazamiento vertical de punto medio de BC

SV

SV

Desplazamiento horizontal en d SV

Rotación absoluta en b SV

269

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Rotación absoluta en d Rotación absoluta en a SV

SV

SR

Rotación absoluta en b

Rotación absoluta en c

SV

SV

270

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

SR

Rotación relativa entre las barras ab y bc (SV)

Rotación relativa entre las barras ab y be (SV)



Definición del sistema real de temperatura

271

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

La temperatura es un estímulo, mediante el cual, origina deformaciones en la estructura. Estos estímulos son impuestos a la estructura, para definir el sistema real (SR), conocido también como sistema real de temperatura. Ahora bien, interesa distinguir SR de temperatura y los efectos producidos en los miembros de la estructura en este sistema. Determinado los efectos en los miembros del SR de temperatura, podrá ejecutarse la superposición correspondiente con el SV, en consideración. Para determinar la energía de deformación virtual debida a cambios de temperatura. En el estudio realizado en la sección 8.5.1., se deriva que un cambio de temperatura origina un efecto axial y un efecto flector, estos cambios de temperatura sobre miembros, se representan a través de gráficos, donde intervienen aspectos relevantes con su forma, las ordenadas y signo del diagrama. Tales consideraciones se muestran seguidamente para los efectos axial y flector. 

Efecto axial debido a cambios de temperatura

Este efecto se tomará en cuenta, solamente cuando la estructura se consideren las deformaciones axiales, en el caso contrario será omitido. Al tomar en cuenta, la deformación axial mediante cambios de temperatura, se tendrá el diagrama de efecto axial en aquellos miembros sometidos a temperatura en el SR. En relación, con el valor de las ordenadas del diagrama se parte de la figura (8.13), que el efecto axial esta dado por el factor t p .Por eso, este factor representa la ordenada del diagrama de efecto axial real, debido a cambio de temperatura, a nivel del eje neutro, en cada sección trasversal del miembro. La forma del diagrama dependerá, del cambio de temperatura. Un cambio constante a lo largo de un miembro, produce el mismo efecto de toda longitud y se representa con un diagrama rectangular de ordenada constante. Además origina efecto axial variable, al ocasionar ordenadas diferentes y en consecuencia representación gráfica variable. Son entonces, los cambios de temperatura constantes a lo largo del miembro, producirá acortamientos que son tomados como negativos. El signo del diagrama será positivo, si el cambio de temperatura a nivel del eje neutro, produce alargamiento o tracción en el miembro. Temperatura negativa a nivel del eje neutro de las secciones transversales del miembro, producirá acortamientos negativos. Lo establecido, representa gráficamente para un miembro ij cualquiera sometida algunos cambios de temperatura:



Efecto flector debidos cambios de temperatura

272

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Sometida a consideración de deformaciones flectoras, por efectos de cambios de temperatura se tendrá diagrama de efecto flector en aquellos miembros del SR, de temperatura bajo este estímulo. El valor de las ordenadas también será a este estímulo. El valor de las ordenadas del diagrama se deriva de la ecuación (8.15), donde el factor

 (ti  ts) es el que le corresponde al SR. h Se nota que este factor se obtiene a partir de un caso muy particular de temperatura. Sin embargo, podía ser otro cambio actuante en la estructura, originando efecto flector. Cambios de temperatura diferentes al considerar para determinar la expresión (8.15), al surgir modificaciones en su factor real

 (ti  ts) , a los efectos prácticos, para cualquier cambio de temperatura, se resuelve h

al efectuar al cálculo de las ordenadas del diagrama de efecto flector así: 

Usar el factor real de la ecuación (8.15)



Evaluar la diferencia de temperatura en valor absoluto



Comprender en forma adecuada el efecto flector producido en el miembro por cambio de temperatura.

 ti ts  h

Algunos cambios de temperatura constantes, lo largo de un miembro ij, cualquiera que producen afecto flector se muestra con el diagrama que ellos consideran pertinente:



Cálculo de desplazamientos debido a movimientos de soporte por el método cinemática.

La evaluación del término W R del trabajo virtual externo, realizado por las reacciones virtuales sobre ms, impuesto en la estructura como estímulo, se consideró en la sección 8.5. Así mismo en la sección 8.7, donde se plantea el cálculo de desplazamiento debido solo a ms. A hora bien, se trata una vía diferente a la de trabajo, para la determinación de estos desplazamientos. Basados en el método cinemática. Este método se realiza al liberar cada movimiento de soporte por separado. De esta manera la estructura para a inestable, con un grado de libertad y un desplazamiento prescrito como (el ms

273

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

liberado). Bajo esta condición, la estructura sufre movimientos de cuerpo rígido, al ser posible conocer los desplazamientos experimentados por sus puntos una vez liberado cada ms. Este procedimiento se ilustra a continuación, para una viga simple sometida a dos ms, Va y Vc, en la que se desea el desplazamiento vertical que experimenta el punto 6 debido a este estímulo y se compara con el cálculo realizado por el trabajo:

Desplazamiento en b debido al ms Va Por cinemática

Por trabajo

(Liberando Va)

(Solo debido a Va) 1xVb+ W R = 0 Vb + (  1 2 Va) = 0 Vb Va /2

Desplazamiento en b debido al ms Vc Por cinemática

Por trabajo

(Liberando Vc)

(Solo debido a Vc) 1x Vb + W R = 0

274

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Vb + (- 1 2 ) = 0 Vb = Vc /2 Nota: Por cinemática el desplazamiento se toma, si ocurre en el mismo sentido de la fuerza virtual unitaria asumida. Para finalizar, se estima conveniente presentar en forma resumida la sucesión de pasos a seguir para calcular desplazamientos en estructuras isostáticas, al utilizar el método de las fuerzas virtuales. 8.10. Sucesión de pasos en el método de las fuerzas virtuales Paso 1: Definir el SV Aplicar una carga virtual en las estructuras en el punto y en la dirección del desplazamiento deseado. Cuando se aplica esta carga, no hay otras cargas actuando sobre la estructura. Paso 2: Resolver el SV Calcular las fuerzas internas debidas a la carga virtual Paso 3: Resolver el SR Aplicar las cargas reales (sin la presencia de carga virtual) y otros estímulos a la estructura y calcular las fuerzas internas reales. Paso 4: Aplicar la ecuación del trabajo virtual correspondiente Tomar en cuenta para su evaluación: Tipo de estructura, forma de cálculo deseado (estímulo actuando simultáneamente o por separado), tipo de deformación que se considere en la estructura. Para exponer en forma general, la aplicación del método de las fuerzas virtuales para el cálculo de desplazamientos en la estructuras isostáticas, con miembros de sección constante, se señalan a continuación algunos ejemplos. 8.11. Ejemplos de aplicación 3

2

Para la estructura mostrada eb Egf = 1.4x10 T/cm y E (de las restantes barras) = 2.1x10 2 T/cm y la sección de las barras en cm y entre paréntesis utilizado el MFV:

3

2

a) Calcular el desplazamiento vertical del punto “C” (Vc), debido a las cargas. b) Si se ajunta un torsor en la barra “gf” para acortarla 12,5 mm ¿Cuáles serían las componentes vertical y horizontal del punto “c” debido sólo a ese ajuste?

275

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Sistema real de desplazamiento debido a cargas

Sistema virtual (para vc) de fuerzas

276

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Ecuación de trabajo virtual Barra

AE(Tn)

L(cm)

N(Tn)

N

NNL/AE

ab

94.500

900

-15

-0,75

0.10701

bc

94.500

900

-15

-0,75

0,10701

cd

63.000

1500

-12,5

0

-

de

75.600

900

7,5

0

-

ef

75.600

900

7,5

0

-

fg

16.800

900

22,5

1,5

1.8080

af

63.000

1500

-1,25

-1,25

0,3720

bf

50.400

1200

0

0

0,3720

cf

63.000

1500

1,25

1,25

0,3720

50.400

1200

1200

0

-

ce

U = 1 = 2.766

Luego: 1 Tn x Vc = 2,766 T cm Vc = 2,766 cm

Sistema virtual (para uc) de fuerzas

277

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Sistema real de desplazamiento debido A ms



Ecuación de trabajo virtual: 1xVc + W R = 0 Puesto que W R ➱ Uc = 0

Ejemplo 8.2 Para la estructura de la figura se requiere el desplazamiento horizontal del punto b, al considerar las siguientes efectos actuando por separado y la rotación relativa en c, si ellos trabajan simultáneamente. a) Las cargas mostradas sugiriendo deformaciones por flexión, fuerza axial y corte en todos los miembros, deformación axial en el resorte. o

b) Un cambio de temperatura en “ab” y “bc” con variación lineal  Ti = O C, como se muestra:

278

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema real

279

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Despiece y diagramas

280

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema virtual para Ub



Despiece y diagramas

281

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema real de temperatura



Desplazamiento horizontal del punto b

a) Por cargas: 1 (T)xUb(cm) =



11.11x1/ 3x 200 1,56 x 2 / 3 x 200 1/ 3 x 4,3 x3,12 x10 4  Kyx  AE AG EI



1/ 3x6,89 x 400 1/ 3 x3,11x 200 1/ 3 x6,89 x200  Kyx  Ky AE AG AG +

1/ 3 x7,56 x 4 / 3 x10 4 x 400 1/ 4 x10 x4 / 3 x10 4 x400  EI EI

Ub = 0,2383 cm ➱ b) Por temperatura 1 x Ub = 1/ 3x104 x 200  1/ 2 x4 / 3 x100 x4, 44 6 x200  1/ 3 x10 4 x400

1/ 2 x 4 / 3x100 x 4, 44 x106 x 400 Ub = - 0,1843 cm  Ub -, 1843 cm 

282

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema virtual para  c



Despiece y diagramas

283

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Rotación relativa en c, (tomado en cuenta todos los efectos que actúen simultáneamente).





4 /15 4, 27  9, 07  500 1/ 3x16 / 3x 200  1/ 2 Kr AE

1(Tm) x100 cm/m  θc =





1/ 3x32 / 3x15 / 9 x10 4 x 200 7 /18 x11.11x 200 1.56 x1/18 x200   EI AE AG





1/ 3x1x104 x500 16 / 3 x1/ 3 x 200 1/ 6 x1x32 / 3 x10 4 x 200   EI AG EI

1/ 3x3,12 x1/ 9 x104 x 200 7 /18 x6,89 x 400 3.11x 7 /18 x 200   EI AE AG

6,89 xx 7 /18 x 200 1/ 3 x12 / 9 x7,56 x10 4 x 400 1/ 4 x14 /10 x10 4 x400   AG EI EI

100  θc = 0,6778-0,1409 (por carga de temperatura)

 θc = 0,005369 rad Ejemplo 8.3 3

2

Para la estructura mostrada con Egf = 1.4x10 T/cm y E (de las barras restantes) = 2.1x10 2 T/cm , y la sección de las barras en cm y entre paréntesis, utilizando una MFV: 2

284

3

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema virtual de fuerzas para va

285

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES



Sistema real de desplazamiento debido a cargas

 Fy  0 -400 – 300x4 – 150 + Vf = 0

Vf = 1750 K

ΣMx (f) = 0 40 + 150 x 8 + (300x4) x 6 + 400 x 4 - MXF = 0 Mx = 10040 Km ΣMz (f) = 0 60 – 50 x 6 +150 x 2 – 400 x 2 + Mzf = 0 Mxf = 740 Km

286

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

I

II   4 4 De4  D 4j    25    20    11320.78cm 4   64 64

I

II   4 4 De4  D 4j    25   20    22641.56cm 4   32 32

1xVa 

104 1  1    x 4 x3040 x 4  x 4 x 40 x 4  2 x10 x11320, 78  3 6  6

1 1 1  x 4 x600 x 4  x 4 x3040 x 4  x 4 x10040 x 4 3 3 6

Va   0, 08193m 8.12. Ley de Betti

287

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

La ley de Betti es aplicable en cualquier tipo de estructura, bien sea viga, armadura o pórtico. Sin embargo, para simplificar su desarrollo se presentarán las ideas considerando la armadura simple de la figura 8.5. Se supone que esta armadura esta sometida a dos sistemas de fuerzas separadas e independientes.

Figura Nro. 8.5. Estructuras para deducir la ley de Betti



El sistema de las fuerzas Pm y el Pn

El sistema Pm origina las fuerzas Fm en las diversas barras de la armadura, mientras que el Pn, produce las fuerzas de barra Fn. Se determinan dos casos: 

Se supone que el sistema Pm esta en reposo en la armadura y que ella es deformada al aplicarle el sistema Pn.



En este caso sucede lo contrario, donde el sistema Pn actúa en la armadura, y que por la utilización del sistema Pm esta se deforma. En ambos conceptos pueden ponerse en práctica la ley de trabajos virtuales para determinar esta ley de Betti.

Para deducir que la estructura solo esta sometida a carga, es decir los apoyos no pueden ceder y la temperatura permanece constante. Además se define de esta manera:

 mn : Desplazamiento del punto de aplicación de un de las fuerzas Pm (en la dirección y sentido de esta fuerza), originado por el empleo del sistema Pn.  nm ; Desplazamiento del punto de aplicación de una fuerzas Pn, debido a la utilización del sistema de fuerzas Pm Al saber ahora, la aplicación de esta ley de los trabajos virtuales, la primera definición, cuando el sistema experimenta desplazamientos en correspondencia con las fuerzas Pm, surge la deformación producida por la aplicación del sistema Pm, se tiene en consecuencia:

I

II  4 4 De4  D 4j    25    20    11320.78cm 4    64 64

El segundo caso, cuando el sistema experimenta desplazamientos en correspondencia con las fuerzas Pn, como consecuencia de la deformación ocasionada por el empleo del sistema Pm, al indicar:

288

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

I

II   4 4 De4  D 4j    25   20    11320.78cm 4  64 64 

De las ecuaciones anteriores se deduce que:

I

II   4 4 25  20   11320.78cm 4  De4  D4j   64      64

Conceptualización La ley de Betti se representa de esta manera: En una estructura, cuyo material es elástico y sigue la ley de Hooke y donde los apoyos no pueden ceder, la temperatura es constante, el trabajo virtual realizado por el sistema Pm, durante la deformación ocasionada por un sistema de fuerza Pn, es igual al trabajo virtual externo realizado por el sistema Pn, a través de la deformación producida por el sistema Pm. 8.13. Ley de Maxwell Esta ley es aplicable a cualquier tipo de estructura, viga, armadura o pórtico. Considérese una armadura como la mostrada en la figura 8.6:

Figura 8.6. Estructuras para deducir la ley de Maxwell

Al suponer que la armadura actúa primero una carta P, en el punto (1) en la dirección ab y sea:

 21 : El desplazamiento experimentado por el punto (2), en la dirección cd, causado a la carga P, que actúa en el punto (1) en dirección ab. Luego, la armadura actúa, una carga de igual magnitud P, pero, aplicada ahora en el punto (2) en dirección cd, sea:

12 : El desplazamiento del punto (1) en la dirección ab mediante una carga P que actúa en el punto (2) en dirección cd. Al representar la ley de Betti sería:

P 12  P 21

289

CAPÍTULO VIII – FUERZAS VIRTUALES

Por esto:

12   21

Ec 8.36

La ley de Maxwell se determina como se ha indicado. Al generalizar una estructura, donde el material es elástico y se rige por la ley de Hooke, en la que los apoyos no pueden ceder y la temperatura es constante, la deformación del punto 1 en la dirección ab, originada a la carga P en el punto 2, que actúa en la única dirección cd, numéricamente es igual a la deformación en el punto 2 en cd, a una carga P en el punto 1, al actuar en la dirección ab. Una aplicación sencilla de la ley de Maxwell, se tienen en la siguiente ilustración:

12 : Desplazamiento vertical del punto 1 punto 2

 21 : Rotación en el punto 2 debida a

P actuando en el punto 1

290

debido P actuando