Fuerzas Magneticas sobre cargas y elementos de corriente

FUERZAS MAGNETICAS SOBRE PARTICULAS MOVILES Y ELEMENTOS DE CORRIENTES PROBLEMA 1: Si una partícula cargada con velocidad v ingresa en un campo magnético uniforme B, demostrar que a) describe una circunferencia de v es perpendicular a B. b) Describe una hélice cilíndrica si v forma un ángulo con B

B

y

Vo Fm

z

x

ρ

La fuerza que actúa sobre una partícula cargada es

Fm

=

q ⋅ ( vo × B )

Es decir, que la fuerza que actúa es perpendicular al plano formado por la velocidad y el campo magnético uniforme B (es un producto escalar entre vo y B). El sentido se obtiene por la regla de la mano derecha.

 A medida que la particula se mueve describe una trayectoria curvilinea cuyo radio se obtiene de igualar la fuerza centrífuga con la magnética 2

q ⋅ v⋅ B

=

m⋅ v R 

o

R  =

m⋅ v q⋅ B

La velocidad angular de la partícula será

ω=

v

=

q⋅ B

R 

m

y el periodo

T

=

2 ⋅ π

ω

=

2  π ⋅ q⋅B

⋅m

PROBLEMA 2: Dado un haz de electrones cuya distribución de velocidades es al azar, encontrar un método para seleccionar los electrones cn una velocidad determnada. Ver simulacion

Un selector de velocidades consiste en un par de placas paralelas cargadas cada una de ellas con caras iguales y opuestas (bah... un condensador de placas paralelas) generadoras de un campo electrico constante entre ellas

Perpendicular a la dirección del campo generado, se coloca un campo magnético constante.

De este modo, las fuerzas que estan actuando sobre la particula, si tiene carga negativa son

+++++++++ + Campo magnético entrante Campo eléctrico

- - - - - - - - - - Referencia vectores - Fuerza Eléctrica - Fuerza Magnética Para que no se desvie la particula, el campo eléctrico se deberá compensar con el magnético q⋅ E

=

q ⋅ v⋅ B

De modo que, pasarán por el selector de velocidades, aquellas partículas cuya velocidad sea

v=

E B

PEOBLEMA 3: Un electrón cuya velocidad es el 1% de la velocidad de la luz en el vacío, penetra en un campo magnético uniforme, formando su velocidad un ángulo recto con el campo B. a) ¿Cuál es el valor de B si el electrón se mueve con una órbita de radio 1 cm (ojo, en la guía dice 10 cm)? b) ¿Cuál es el período del electrón en su órbita? c := 300000

 km

Velocidad de la luz

sec

ρ :=  0.01m

Radio de la órbita

− 31

me := 9.1⋅ 10

kg

Masa del electrón

C

Carga del electrón

− 19

q e := 1.6⋅ 10 ve := .01⋅ c

Velocidad del electrón

Sabemos que la fuerza magnética está dada por  Fm

=

q e⋅ v e⋅ B

y esta fuerza se iguala con la centrífuga 2

q e⋅ v e⋅ B

=

me⋅ v e

ρ

por lo que

B := me⋅

ve

ρ ⋅ qe

B

= 1.706 × 10

−3

T

El período

τ

τ :=

2  π ⋅

τ =  2.094 × 10

 ve     ρ  

−8

s

ya que ω = ve/ ρ

PROBLEMA 4: Un ciclotrón acelera protones a velocidades no relativistas. El imán del ciclotrón posee una intensidad del campo de 1 tesla. ¿A qué frecuencia orbitan los protones en el acelerador?

− 27

m p := 1.67⋅ 10

B := 1T

kg

q p := q e

 Al igual que en el caso anterior, sabemos que la fuerza magnética es Fm

m p ⋅

v p

=

m p ⋅ ac

v p

ρ =

=

q p ⋅ v p ⋅ B

y como

ac

=

v p

2

ρ

2 =

q p ⋅ v p ⋅ B

entonces, la velocidad del protón es

ρ

q p ⋅ B ⋅ m p

la frecuencia es

f r  =

ω 2⋅ π

y

ω=

ve

ρ

f r :=

q p ⋅ B

7

f r  =  1.525 × 10 Hz

2  π ⋅ ⋅ m p

PROBLEMA 5: Un protón orbita en un ciclotrón cuyo campo magnético es de 2 tesla. a) ¿Cuál debe ser la frecuencia del campo eléctrico oscilante en el ciclotrón? b) Demuestre que la cantidad de movimiento del protón para un valor ρ del radio está dada por mp. vo = Bo.qp. ρ c) ¿Cuál es la energía cinética del protón si el radio de la órbita es i) 10 cm, ii) 100 cm. Exprese los valores en Mev B := 2T

Punto a) f r :=

q p ⋅ B

7

f r  =  3.05 × 10 Hz

2 ⋅ π ⋅ m p

Punto b)

m p ⋅

v p

2

ρ

=

q p ⋅ v p ⋅ B

m p ⋅ v p

=

q p ⋅ ρ ⋅ B

Punto c) Si a la expresión anterior la multiplicamos por vp y la dividimos por 2 m p ⋅ v p

2 =

2

Si

=

q p ⋅ ρ ⋅ B ⋅

 q p⋅ ρ ⋅ B    

m p

 

ρ :=  10cm Ek := q p ⋅ ρ ⋅ B⋅

Si

q p ⋅ ρ ⋅ B⋅ v p

 q p⋅ ρ ⋅ B    

m p

 

Ek  =  6.132 × 10

− 13

J

ρ :=  100cm Ek := q p ⋅ ρ ⋅ B⋅

 q p⋅ ρ ⋅ B    

m p

 

Ek  =  6.132 × 10

− 11

J

PROBLEMA 6: Un espectrógrfo de masas es un instrumento ideado para determinar la relación carga/masa de las partículas. a) Haga un esquema del dispositivo, indicando claramente la región donde se halla el campo magnético. b) Exprese la relación q/m de las partículas en términos de los parámetros que se manejan en el espetrógrafo. c) Para un haz de partículas de igual carga y distinta masa, el dispositivo dispersa el haz Porqué?

En el espectrógrafo, solo pasan por por la rendija de salida del selector de velocidades aquellas partículas que cumplan con que Fm q ⋅ v⋅ B

=

=

Fe q⋅ E

o que tengan una velocidad

v=

E B

Una vez que salen de la rendija las partículas quedan bajo la acción solo del campo magnético B y de la fuerza centrífuga, y dentro de esta región, las partículas realizan una trayectoria circular cuyo radio determinamos a partir de la expresión 2

q ⋅ v⋅ B

=

m⋅

v

R  2

m⋅

reemplazando v

q⋅

E B

⋅B =

E

B

2

R 

de donde despejamos el valor del cociente de q/m q m

=

E

(B2⋅ R )

Ejemplo de película fotográfica ubicada en la cámara de deflexión del espectrógrafo. Las regiones a, b y c indican los lugares donde impactan las partículas con igual velocidad pero distinta relación q/m Sabiendo que

2

q ⋅ v⋅ B

=

m⋅

v

R 

Si despejamos R y reemplazamos la expresión de la velocidad R  =

m⋅ E q⋅ B

(siempre que el campo en el selector y en la cámara de deflexión sean los mismos)

2

Vemos que el radio de curvatura es directamente proporcional a la masa, por lo que al aumentar la masa, también aumenta el radio de curvatura. PROBLEMA 7: En un espectrógrafo de masas se estudian los isótopos de un elemento simplemente ionizados. En su selector de velocidades actúan un campo B = 0.01 T y un campo E = 200 volt/m. En la cámara de deflexion existe una campo magnético uniforme de 1 T. Los iones impresionan una película fotográfica dejando trazas separadas 8.28 cm. El radio menor de las órbitas es 60.17 cm. ¿Cuál es la masa en gramos de cada isótopo? B s :=   0.01T

Es := 200

 volt m

campos magnéticos y eléctricos en el selector 

B d := 1T

campo magnético en la cámara de deflexión.

∆R := 8.28 cm

Distancia de separación entre trazas

R m :=   60.17cm

Distancia de la rendija a la primera impresión

Las partículas que pasan a través de la rendija son aquellas cuya velocidad es v :=

Es

4m

v = 2 × 10

Bs

s

Estas partículas entran a la cámara de deflexión donde describen una trayectoria de radio R  =

m⋅ v q ⋅ Bd

siendo que son partículas simplemente ionizadas, el valor de la carga será

q := 1.6⋅ 10

− 19

coul

y la masa de la primer partícula será

R 

⋅ ⋅B

− 27

uma := 1.6604⋅ 10

⋅ kg

m1 :=

m1 =  2.899 × 10 uma

v

y la masa de la segunda partícula será

m2 :=

( R m + ∆R )⋅ q ⋅ Bd

3

m2 =  3.298 × 10 uma

v

PROBLEMA 8: Por un conductor de sección A y número de portadores de carga por unidad de volumen n, circula una corriente I. Al conductor se lo coloca en un campo magnético como muestra la figura. Determine la diferencia de potencial generada a través del conductor conocidad como voltaje Hall

B

J

v t

 Al circular una corriente por el conductor en la dirección del eje y, la presencia del campo magnetico hace que aparezca sobre las partículas una fuerza que va a tener la dirección de las x positivas (si la carga es positiva) o de las x negativas (si la carga es negativa). La fuerza que actúa sobre cada portador es

EH

Fm

d

z

y x

=

q ⋅v⋅B

Esta acumulación de cargas provoca un campo eléctrico dentro del conductor que tiene la dirección de las x positivas y cuyo módulo está dado por 

EH

=

Fm q

=

v⋅ B

Si d es el espesor del conductor, la diferencia de potencial (conocidad como voltaje Hall) que se genera es VH = EH⋅ d

=

v⋅ B⋅ d

Sabemos que la expresión de la corriente viene dada por  I

=

n ⋅ q ⋅ v⋅ A

de ésta última, despejamos la expresión de la velocidad y la reemplazamos en la ecuación del voltaje

⋅ ⋅ n⋅ q⋅ A

VH =

1 R H = n⋅ q

se define como coeficiente Hall RH

VH =

R H⋅ I⋅ B⋅ d

o

A

VH =

R H⋅ B ⋅ I t

Problema 9: Un conductor de 0.5 cm de espesor, se utiliza como espécimen en la medida del efecto Hall. Si un voltaje Hall de 35 µV es medido para una corriente de 21 amp en un campo magnético de 1.8 T. Calcule el coeficiente Hall para el conductor 

−6

t := 0.5cm

VH := 35⋅ 10

VH⋅ t

R H :=

I := 21A

volt

B := 1.8T

3

−9m

R H =  4.63 × 10

B⋅ I

sA

Problema 10: Suponga que una hoja de plata lleva una corriente de 5 A. Si la corriente está dirigida perpendicular a un campo magnético de 1.5 T. El valor del coeficiente Hall es 0.84.10(-10) m(3)/coul ¿cuál debe ser el espesor de la hoja para producir un voltaje de Hall de a) 1 V b) 1 mV 3

− 10 m

I := 5A

t :=

B := 1.5T

R H⋅ B ⋅ I VH

= 6.3 × 10−

10

R H := 0.84⋅ 10

coul

m

−3

VH := 1 ⋅ 10

Si

t :=

t

VH := 1V

R H⋅ B ⋅ I

V

t

VH

= 6.3 × 10−

7

m

Problema 11: Un alambre recto de 10 g y 5 cm se suspende con dos resortes idénticos de tal manera que forman un circuito mostrado en la figura. La resistencia del mismo es de 12 Ω. Los resortes estan alargados debidos al peso en 0.5 cm. ¿Cuál es la magnnitud y sentido del campo magnético que se requiere para eliminar el alargamiento de los resortes? L := 5cm Resistencia

masa := 10gm

V b := 12V

:= 12Ω

Para que se elimine el alargamieno, el peso debe ser igual a la fuerza

magnética. La corriente circula en sentido antihorario y está formada por electrones. La fuerza que actía sobre uno de ellos es Fi := q ⋅ v⋅ B

Si n es el número de portadores por unidad de volumen, la fuerza total por unidad de volumen será será Ft

=

V

n ⋅ q⋅ v⋅ B

Y para el volumen del alambre Ft

=

n ⋅ q ⋅ v⋅ B⋅ A⋅ L

V := A⋅ L

ya que

pero la corriente era

I

=

por lo que la fuerza total es Ft :=

por la ley de ohm

n ⋅ q ⋅ v⋅ A Ft := I⋅ B ⋅ L V b ⋅ B⋅ L

Resistencia

esta fuerza se iguala al peso, por lo que el valor del campo B será masa⋅9.8 B :=

m 2

⋅ Resistencia

s

V b ⋅ L

B

= 1.96 T

Problema 12: Para el circuito de la figura determine la fuerza de origen magnético en la espira semicircular de la figura