Fuerzas Hidrostaticas Sobre Una Superficie Curva
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teoría y ejercicios prácticos...
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FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
1.
FUSTAMANTE, TAPIA YEYSON
2.
GOMEZ TEJADA, KEYKO
3.
MONDRAGON HUIMAN, YELTSIN DANIEL
4.
NUÑEZ TORRES, ROYMER DANIEL
5.
PEREZ RAMOS, JHON AMBERLY
6.
SANTISTEBAN GONZALES, ARTURO
7.
TARRILLO PÉREZ, LADY MARGOTH
DOCENTE: Mg. Tc. Ing. LOAYZA RIVAS CARLOS ADOLFO
CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I
Pimentel, 16 de mayo de 2016 2016
MECANICA DE FLUIDOS I FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA
1
INTRODUCCION
En el siguiente capítulo sobre las FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA CURVA donde aprenderemos a calcular la fuerza resultante, magnitud, dirección, que ejerce un líquido sobre una superficie curva. Este trabajo se basa en los conceptos básicos de superficies sumergidas aplicando que los fluidos no pueden aplicar fuerzas, fuer zas, tampoco las pueden recibir, solo es posible aplicar o recibir fuerza de un fluido si se aplica sobre una superficie. En otras palabras, las fuerzas que interactúan sobre fluidos están asociadas a superficies, entonces se define una nueva magnitud, la presión.
MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
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GRUPO N° 04 – (USS)
MECANICA DE FLUIDOS I FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA
1
INTRODUCCION
En el siguiente capítulo sobre las FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA CURVA donde aprenderemos a calcular la fuerza resultante, magnitud, dirección, que ejerce un líquido sobre una superficie curva. Este trabajo se basa en los conceptos básicos de superficies sumergidas aplicando que los fluidos no pueden aplicar fuerzas, fuer zas, tampoco las pueden recibir, solo es posible aplicar o recibir fuerza de un fluido si se aplica sobre una superficie. En otras palabras, las fuerzas que interactúan sobre fluidos están asociadas a superficies, entonces se define una nueva magnitud, la presión.
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JUSTIFICACION
El presente trabajo nos ayudara a descubrir los principios que gobiernan la generación de fuerzas resultantes por la acción de los fluidos sobre superficies curvas. Es de vital importancia en el estudio de la estática de fluidos, ya que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de la ingeniería Civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. Dentro de este tema a sustentar plasmaremos lo relacionado con las fuerzas de presión sobre superficies planas. Esperando así cumplir con las expectativas de nuestro docente, y lograr contribuir al incremento en nuestro saber científico.
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INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................. 1 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................................................................ 2 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA ................................................................... 5 FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA ........................................................... 5 COMPONENTE HORIZONTAL ....................................................................................................................... 7 COMPONENTE VERTICAL .............................................................................................................................. 7 DETERMINACION DEL CENTRO DE PRESIONES ............................................................................... 9 COMPONENTES DE LA FUERZA HIDROSTATICA DE UNA SUPERICIE INCLINADA ....................... 12 TABLA PARA CALCULAR CENTROIDES ............................................................................................................ 14 FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS ...................................................................... 15 COMPONENTE HORIZONTAL ............................................................................................................................. 16 FUERZA HORIZONTAL ................................................................................................................................ 17 COMPONENTE VERTICAL .................................................................................................................................... 19 FUERZA VERTICAL ....................................................................................................................................... 20 FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS ............................. 21 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................... 22 PROBLEMAS N° 1........................................................................................................................................................ 24 PROBLEMAS N° 2........................................................................................................................................................ 26 PROBLEMAS N° 3........................................................................................................................................................ 29 PROBLEMAS N° 4........................................................................................................................................................ 32 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................................. 37
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Determinar la fuerza de presión ejercida en superficies curvas en contacto con un fluido.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Analizar la distribución de fuerzas actuantes sobre una superficie curva sumergida. Calcular las componentes horizontales y verticales de la fuerza de presión sobre superficies curvas. Calcular la fuerza resultante total sobre una superficie curva.
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FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA
Para conocer y determinar las fuerzas hidrostaticas sobre superficie curvas nos apoyaremos en las definiciones y conceptos de las fuerzas hidrostaticas sobre supericies planas.
FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.
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Determinación de la Fuerza (F) -
La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:
dF
p.dA ;
Pero
dF hdA ;
Luego: dF
p
h
Además:
h
ysen
ysen dA.......... .......(1)
- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza
resultante F, debida a la presión será: F
dF , sustituyendo (1)
F ysen dA
F sen ydA.......... .....( 2) Por definición de centro de gravedad: Dónde:
A
F
G
ydA momento del área con respecto al eje X Y G
(3) en (2): F
ydA Y A ………….. (3).
Ordenada del centro de gravedad Área total de la superficie plana sumergida
sen Y G A …………. (4); pero Y G sen
hG
hG A................( )
Es decir: “La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la
presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área ”.
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COMPONENTES DE LA FUERZA: El objetivo es determinar la del centro de curvatura.
ejercidas sobre el fluido y su ; actúa a través
Para poder visualizar el sistema de fuerza total debemos aislar el volumen del flujo, a manera de cuerpo libre, y mostrar todas la fuerzas que actúan sobre el cómo apreciamos en la figura
COMPONENTE HORIZONTAL (FH): La pared vertical solida ejerce fuerzas horizontales sobre el fluido en contacto con ella, como reacción a las fuerzas ocasionadas por la presión del fluido. Esta parte del sistema se comporta de la misma forma que las paredes verticales estudiadas con anterioridad.
¿Cómo actúan las fuerzas?
F: Es la fuerza resultante sobre la parte vertical izquierda y se analiza similar que las paredes verticales medida hasta una profundidad h. F: Es la fuerza resultante sobre la pared vertical derecha y se analiza similar que las paredes verticales medidas hasta una profundidad h. Fb: Es la fuerza que actúa sobre la parte derecha, en el área proyectada por la superficie curva en el plano vertical. La magnitud de Fb se encuentra bajo el mismo procedimiento desarrollado para superficies planas. Fb γhcA P hc, representa la profundidad hasta el centroide del área proyectada. hc h+s/2 Entonces:
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Fb F γswh+s⁄2 --
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Según las relaciones vistas F2b es el centro de presión del área proyectada:
hp hc hIccA
Para un rectángulo el área proyectada es:
El área viene dada por:
w s Ic 12 w s s hp hc 12hcsw 12hc
COMPONENTE VERTICAL (Fv) Hacia abajo sólo actúa el peso del fluido Hacia arriba sólo la componente vertical Fv.
v Wfui , donde W γf . Vf l Donde el volumen es el producto del área de la sección transversal del volumen por la longitud o ancho de interésw w
Actúa en la línea del centroide del volumen
FUERZA RESULTANTE (FR) Esta viene a ser la suma de los cuadrados de sus componentes.
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La fuerza resultante actúa en un ángulo en relación con la horizontal en dirección tal que su línea de acción pasa por el centro de curvatura dela superficie.
tan− ( )
DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES -
La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se
llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp) -
Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”
1. Cálculo de Yp Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:
MR dF y ; M R
Pero MR
F y p . Donde:
Momento de la resultante
dF y Momento de las componentes F y p y dF.......... ......( 5)
De (1) dF
ysen dA
(1) y (4) en (5): ( sen yG A) y p y ( ysen dA)
Y p
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y
2
dA
y G A
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Dónde: y dA I x momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”. 2
En (6): Y p
I x y G . A
.....................(7)
Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”.
Para ello aplicamos el teorema de Steiner
Respecto al eje x : I x
I x
2
AY G .....................(8)
(8) en (7): Y p
Y p
Y p
Y p
I x
2
AY G
Y G A I x Y G A
I x Y G A
Y G
2
AY G
Y G A
Y G
I x Y G A
......( )
Donde:
I x Y G A
0
Es decir: El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies horizontales que coinciden (Y p
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Y G )
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2. Cálculo de Xp Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y: MR
dF x ; Pero MR
F Xp
F Xp x dF(9)
(1) y (4) en (9):
( sen Y G A) X p x( ysen dA)
X p
xydA (10) Y G A
xydA I
Donde:
xy
Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.
en (10): X p
I xy
Y G A
Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales I xy
I xy
X p
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I xy Y G A I xy Y G A
x
e y , se tiene:
X G Y G A (12)
(12) en (11): X p
X p
(11) .
I xy X G Y G A Y G A
X GY G A Y G A
X G
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X p
X G
I xy Y G A
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( )
El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro lado de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que I xy
, en cuyo caso: X p
X G
Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.
COMPONENTES DE LA FUERZA HIDROSTÁTICA DE UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA:
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Fh
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Fsen
Fh h G Ssen
Fh h G S v
F H FV
FV
pG S v
F cos
hGS cos FV h G Sh
FV
Siendo: FV
p GSh
h G S h
Luego:
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FV
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“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una
superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos per pendiculares a dichas componentes”.
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TABLA PARA CALCULAR CENTROIDES.
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FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE SUPERFICIES CURVAS La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para luego combinarlas vectorialmente. Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de líquido ilustrado en la fig.(A), limitado por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El peso de este volumen es una fuerza “w” vertical hacia abajo, y actuando de derecha a izquierda, sobre o-b está la fuerza horizontal
P h h G A v , en donde “A v”
es el
área de la superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva a-b. Se deduce en consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una superficie curva es igual, y está aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y está aplicada en el centro de la gravedad del volumen líquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen imaginario del líquido que se encontraría encima de la superficie y está aplicada hacia arriba pasando por su centro de gravedad.
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Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por LNM y actúa hacia arriba pasando por “G” como se indica.
CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES En algunos casos, el cálculo de las fuerzas totales que actúan sobre superficies irregulares se hace muy complejo, por lo que analizamos las componentes horizontal y vertical de éstas fuerzas. Para efectos de nuestras deducciones consideremos la superficie curva de la figura, la que soporta una presión debida al líquido y en la que representamos las componentes de la fuerza total aplicada en ella.
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A) COMPONENTE HORIZONTAL Se calcula de la misma manera que para el caso de superficies planas, pero utilizando el área proyectada, y es aplicada en el centro de gravedad.
Integrando tenemos:
Donde hG viene a ser la distancia de la superficie al centro de gravedad de la superficie plana proyectada.
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FUERZA HORIZONTAL
La fuerza horizontal sobre cada una de las superficies planas verticales ya fue determinada.
Independientemente si la superficie es curva o plana, la fuerza horizontal es igual a la fuerza de presión que actúa sobre la proyección de la superficie curva sobre un plano vertical, perpendicular a la dirección de la fuerza. Esta fuerza puede calcularse mediante el prisma de presiones o usando
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PUNTO DE APLICACIÓN DE LA FUERZA HORIZONTAL:
B) COMPONENTE VERTICAL Es igual al peso del fluido Real o Imaginario ubicado por encima de la superficie curva.
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FUERZA VERTICAL
La fuerza vertical sobre cada una de las superficies planas horizontales es igual al peso del líquido sobre ella. Si hacemos que el ancho de las superficies planas sea muy pequeño, podemos llegar a tener la superficie curva y la fuerza vertical termina siendo igual al peso del líquido entre la superficie sólida y la superficie libre del líquido:
Donde VOL viene a ser el volumen del fluido por encima de la superficie curva, hasta la superficie del fluido.
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La línea de acción de la fuerza vertical pasa por el Centro de Gravedad del Volumen considerado.
FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS: ¿Cuál es la fuerza sobre una superficie curva si el líquido está por debajo? La situación es la misma que para el caso de superficies planas. La fuerza vertical es igual al peso del fluido que existiría entre la superficie curva y la horizontal definida por la superficie del líquido.
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PLOBLEMAS DE APLICACIÓN PROBLEMA N° 01 Calcule las magnitudes de las componentes horizontales y verticales de la fuerza que el fluido ejerce sobre la compuerta, luego calcule la fuerza resultante así como su dirección. La superficie de cilíndrica con la una longitud de 1.5 m.
Cálculo de la componente vertical.
.. + ℎ + 4 1, 2 0 2,801,20+ 4 1,50 6,74 9,810006,74 66.052
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Cálculo de la componente horizontal.
=59,976
=. .ℎ 1009,83.4 33..320 =33.321,51,2
Fuerza resultante.
√ + √ 66.052 +59,976 7960
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PROBLEMA 2 La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un
tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio. a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.
Solución: a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante
La posición de “P” está a (
1
Ph
h G A (1000
Ph
4320Kg
1.20m)
x
3
ó
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Kg )(0.60m)(6.00x1.20m 2 ) 4320Kg m3
h P
0.40m arriba de “C”
0.80m
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2
Pv
P v
W
6m
r
4
6m(1.20m) 2 1000
Kg m3
26
6785Kg
6785 Kg
“Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del círculo, el cual se encuentra
a:
4r 3
4(1.20m) 3
0.51m , a la izquierda de “oc”
x p
0.51m
Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:
1.50T W(0.51m) Ph (0.40m)
Reemplazando valores: T
3458 Kg
b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta. 2
P (4320) (6785)
P
2
8043 Kg
8043 Kg
La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a la superficie de la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye q ue “P” pasará también por “o”.
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c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la pared.
-)
F
H
T Ph Rh
Rh
T
Rh
(3458 4320)kg
Rh
Rh
Ph
862kg
862kg
-)
F
V
RV
RV
R V PV
PV
6785 kg
Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es: R (862)2
(6785)2
6839Kg
R = 6839 Kg.
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PROBLEMA N°03 Calcular la magnitud de la fuerza resultante que el fluido ejerce sobre la superficie curva; el diámetro de la superficie curva es de 36 pulgadas, y la longitud de la gráfica mostrada es de 60 pulgadas.
Solución 1pie= 12pulg
. L=60 pulg= 5pies
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1era parte
a) Calculando la fuerza horizontal Yc=4.75pies A=5X1.5pie2
.
)
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30
.... .. b) Calculando la fuerza vertical
...+. . ..
/4
f
2da parte
a) Calculando la fuerza horizontal
.... .. b) Calculando la fuerza vertical
....+. .. MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
/4)) x5
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Hallando la fuerza resultante
..+.. .
.... . +
871.01Klib.f
PROBLEMA N° 04 La presa cuya sección se muestra en la figura, está destinada al represamiento de agua, para las condiciones mostradas. Se pide para la superficie curva de un cuarto de cilindro, AB, determinar: a. Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción, b. La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante, c. El punto de intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB.
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Solución: a) Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción
Cálculo de la fuerza hidrostática horizontal por unidad de longitud Dónde: γ =1000 kg/m3
ℎ
ℎ 19
A = 10 m2 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:
190 000
Cálculo de la fuerza hidrostática vertical por unidad de longitud
Donde:
+ 0.25 +18∗2∗
Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:
195 705 MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
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Cálculo de la línea de acción de las Componentes de la Fuerza Hidrostática De la Componente Horizontal(Fh):
+ YG= 19 m IX =
A = 10 m2 Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: YP = 19.018 m
De la Componente Vertical(FV): Ubicamos el centroide de los volúmenes de agua ubicados sobre la superficie curva AB, aplicando el teorema de Varigñon, tomando momentos respecto al plano que pasa por DEA, de estos dos pesos de los volúmenes de agua correspondientes,
2 + 34
Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: XP = 0.988 m Por lo tanto, las líneas de acción de las componentes de las fuerzas hidrostáticas son:
Para la Componente vertical, tomada con respecto al eje “y”, que pasa por la recta DEA:
0.988 MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
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Para la componente horizontal, tomada con respecto al eje “x”, que pasa por
la recta EB, con origen(o) de la línea coordenada en E:
1.018 b) La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F)
Como se conoce las magnitudes de FV y F H , obtenemos la pendiente de la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F),
1.03
Determinamos la línea de acción de la fuerza hidrostática(F), como la ecuación de la línea recta, en la cual se conoce, la pendiente y un punto por donde pasa la línea recta, P1(0.988m ; -1.018m):
)
Reemplazando los valores de:
0.988 , 1.018 1.03 en
la expresión anterior, encontramos:
+1.03 0 La línea de acción de la fuerza (F), pasa por el origen(O).
MG. ING.CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS
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