Fuerza Cortante y Momento Flexionante en Vigas

 

FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS

M = 0, x=0 M = 30 x M = 60, x=2

Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas marcando los alores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula. Despreciar el peso propio de las vigas.

1.- Viga cargada como se indica en la figura:

+

∑Fy =0:

30-V=O V=30, cte.

  Corte 2 - 2: x = (2;6) 



+

∑MB = 0: M+50(x-2)-30x= 0 M=100-20x

M(x=2) = 60 kN.m M(x=6) = -20 kN.m +

∑Fy =0: =0: 30-50-V= 0 V = -20, cte.

Resolucion:

  Corte 3 - 3: x = (6;7)



+

M, = 0: M + 50(x - 2) - 40(x - 6) - 30x=0 M = 20x – 140

(I) 

Calculamos las reacciones, aplicando las ecuaciones de equilibrio.

+

∑MB = O: R1-50+R2-20= 0 R2 = 30kN

+

∑Fy =0: R1-50+R2-20=0 R1 =30kN

(II) 

En los cortes calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = 0: M-30x= 0

M(x=6) = -20 kN.m M(x=7) = 0 kN.m +

=0: 30-50+40-V= 0 ∑Fy =0: V = 20, cte.

(III) Dibujamos los diagramas: V(CD) = 20kN M(CD) = 20(X-140) kN.m; X= {6;7}

 

2.- Viga cargada como se indica en la figura:

  Corte 2 - 2: x = (2;5) 



+

∑MB = 0: M+10(x)-6(x-2) = 0 M=-4x-12x

M(x=2) = -20 kN.m M(x=5) = -32 kN.m

+

∑Fy =0: -10+6-V=0 V = -4, cte.

Resolucion:

  Corte 3 - 3: x = (5;7)



+

M, = 0: M + 10(x)-6(x-2)-40=0 M = -4x+28

(I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = O: 10(2)-40+R2(5) = O R, = 4 kN

+

∑Fy =0: -10+R1+R2 = O R1 = 6 kN

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = O:  M+10(x) = 0 M = -10

M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = -20 kN.m +

=0: -10-V= 0 ∑Fy =0: V = -10, cte.

M(x=5) = 8 kN.m M(x=7) = 0 kN.m +

∑Fy =0: -10+6-V = 0 V = -4, cte.

(III)

Dibujamos los diagramas: M(CD) = (-4x+28); X= {5;7}

 

3.- Viga cargada como se indica en la figura:

  Corte 2 - 2: x = (2;10) 



+

∑MB = 0:  M+(10x)(x/2)+30(x-2)-74x=0 M=60+44x-5x˄2

M(x=2) kN.m M(x=10)==128 0 kN.m M(x=4.4) = 156.8 kN.m Resolucion: +

∑Fy =0: 74-30-10x-V=0 V = 44-10x

V(x=2) = 24 kN V(x=10) = -56 kN V=0 => 44-10x=0 x=4.4 (I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = O: R2(10)-(10*10)(10/2)-30(2) = 0 R2 = 56 kN

+

∑Fy =0: R1-30-(10*10)+R2 = O R1 = 74 kN

(III)

Dibujamos los diagramas: M(CD) = -5x˄2+44+60; X= {2;10}

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = 0: M+(10x)(x/2)-74(x) = 0

M = 74x-5x˄2 M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = 128 kN.m +

∑Fy =0: 74-10x-V=0 V = 74-10x, cte.

V(x=0) = 74 kN V(x=2) = 54 kN V=0 => x=74/10=7.4=> Ɇ   x=(0;2)

 

4.- Viga cargada como se indica en la figura:

  Corte 2 - 2: x = (2;4) 



+

∑MB = 0:  M+20(x)-140x(x-2)+(20x)(x/2)=0 M= -10x˄2+120-280  M(x=2) = -80 kN.m

M(x=4) = 40 kN.m +

∑Fy =0: -20-20x+140-V=0 V = -20x+120

Resolucion:

V(x=2) = 80 kN V(x=4) = 40 kN V = -20x+80=0  x=(2;4)   x=6; Ɇ  x=(2;4)

  Corte 3 - 3: x = (4;6)



+

-M+40(6-x)-20(6-x)(6-x)/2=0 M = -10x˄2+80x-120

(I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = O:

40(2)-R1(4)+20(6)+( 20*6)(6/2)= 0 R2 = 140 kN +

∑Fy =0: -20+R1-20(6)-40+R2=0 R1 = 40 kN

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = 0: M+20(x)+(20x)(x/2)= 0 M = -10x˄2-20x

M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = -80 kN.m +

M, = 0:

∑Fy =0: -20-20x-V=0 V = -20-20x

V(x=0) = -20 kN V(x=2) = -60 kN

M(x=4) = 40 kN.m M(x=6) = 0 kN.m +

∑Fy =0: =0: V-20(6-x)+40= 0 V = -20x+80

V(x=4) = 0 kN V(x=6) = -40 kN V=0 =-20x+80 X=4; X=(4;6) (III)

Dibujamos los diagramas:

 

5.- Viga cargada como se indica en la figura:

Resolucion:

  Corte 2 - 2: x = (2;4) 



+

∑MB = 0:  M-24x+(30(x-2)(x-2)/2)=0 M= -15x˄2+84x-60  M(x=2) = 48 kN.m M(x=4) = 36 kN.m M(x=2.8) = 57.6 kN.m

+

∑Fy =0: 24-(30(x-2))-V=0 V = 84-30x

V(x=2) = 24 kN V(x=4) = -36 kN V = 84-30x=0  x=(2;4)   x=2.8; Ɇ  x=(2;4)

  Corte 3 - 3: x = (4;5)



+ (I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = 0:

R2(5)-(30(2))(2+2/2)= 0 R2 = 36 kN +

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = 0: M-24x= 0 M = 24X

M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = 48 kN.m +

-M+36(5-x)=0 M = 180-36x M(x=4) = 36 kN.m M(x=6) = 0 kN.m +

∑Fy =0: =0: V+36= 0 V = -36kN

(III)

Dibujamos los diagramas:

∑Fy =0: R1-(30(2))+R2=0 R1 = 24 kN

(II) 

∑Fy =0: 24-V=0 V = 24 cte.

M, = 0:

 

6.- Viga cargada como se indica en la figura:

  Corte 2 - 2: x = (2;6) 



+

∑MB = 0: 

-M-((15)(6-x))(6-x)/2+50(6-x)=0 M= -7.5x˄2+40x+30  M(x=2) kN.m M(x=6) = = 80 0 kN.m Resolucion:

+

∑Fy =0: V-15(6-x+50)=0 V = -15x+40

V(x=2) = 10 kN V(x=6) = -50 kN V = -15x+40=0  x=(2;6)   x=2.67; Ɇ  x=(2;6) Mmax=M(x=2.67)=83.33kN.m (III) (I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = 0:

R2(6)-60(1)-60(4)= 0 R2 = 50 kN +

∑Fy =0: R1-60-60+R2=0 R1 = 70 kN

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

∑MB = 0: M-(30x)(x/2)-70x= 0 M = 15x˄2+70X

M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = 80 kN.m +

∑Fy =0: 70-30(x)-V=0 V = -30x+70 cte.

V(x=0) = 70 kN V(x=2) = 10 kN

Dibujamos los diagramas:

 

7.- Viga cargada como se indica en la figura:

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

(L/2;L)   Corte 2 - 2: x = (L/2;L)



+

∑MB = 0: M+(w(L/2))(x-L/2+(L/2)/2)= 0 M = (-wL/2)x+(wl 2/8) ˄

M(x=L/2) = -(wL˄2/4) kN.m M(x=L) = -(3wL˄2/8) kN.m

Resolucion: +

∑Fy =0: -(w(L/2))-V=0 V = -wL/2

(III)

Dibujamos los diagramas:

El cálculo de las reacciones en C es opcional: (I) 

Calculo de las fuerzas en cortes:

  Corte 1 - 1: x = (0; L/2) 



+

∑MB = 0:

M+(W(x))(x/2)= 0 M=-wx˄2/2 M(x=0) = 0 kN.m M(x=L/2) = -wL˄2/4 kN.m

+

∑Fy =0: -w(x)-V=0 V=-wx

V(x=0) = 0 kN V(x=L/2) = -wL/2 kN

 

 

+

∑Fy =0: -w((wx/L)(x)/2)-V=0 V=-wx˄2/2L

8.- Viga cargada como se indica en la figura: V(x=0) = 0 kN V(x=L) = -wL/6 kN

(II) 

Resolucion:

El cálculo de las reacciones en C es opcional: (I) 

Calculo de las fuerzas en cortes:

  Corte 1 - 1: x = (0; L) 



Por semejanza: wx/x=w/L => wx=wx/L

+

∑M = 0:

M+((xw/L)(x)/2)(x/3)= 0 M=-wx˄3/6L M(x=0) = 0 kN.m M(x=L) = -wL˄2/6 kN.m

Dibujamos

los

diagramas:

 

9.- Viga cargada como se indica en la figura: M(x=2) = 20 kN.m M(x=6) = -20 kN.m

Resolucion:

+

∑Fy =0: 10-(10(x-2))-V=0 V = -10x+30

V(x=2) = 10 kN V(x=6) = -30 kN V = -10x+30 => x=3 (I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = 0:

R2(6)-(10(6))(2+6/2)= 0 R2 = 50 kN +

Mmax=M(x=3)= 25

  Corte 3 - 3: x = (6;8) 



+

-M-(10(8-x)(8-x)/2)=0 M= -5x˄2+80x-320

∑Fy =0: R1-(10(6))+R2=0 R1 = 10 kN

(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

M(x=6) = -20 kN.m M(x=8) = 0 kN.m +

  Corte 1 - 1: x = (0;2)



+

+

∑Fy =0: 10-V=0 V = 10 kN cte

  Corte 2 - 2: x = (2;6) 



+

∑MB = 0: 

M-10x+(10(x-2)(x-2)/2)=0 M= -5x˄2+30x-20

∑Fy =0: V-(10(8-x))=0 V = -10x+80

V(x=6) = 20 kN V(x=8) = 0 kN

∑MB = 0: M-10x= 0 M = 10x

M(x=0) = 0 kN.m M(x=2) = 20 kN.m

∑MB = 0: 

(III) 

Dibujamos los diagramas:

 

10.- Viga cargada como se indica en la figura:

+

∑MB = 0: M+25 -10x= 0 M = 10x-25

M(x=1) = -15 kN.m M(x=2) = -5 kN.m

  Corte 3 - 3: x = (2;5) 



+

∑Fy =0:

Resolucion: -10-10x(x-2)-V)=0 M= -10x+30 V(x=2) = 10 kN V(x=5) = -20 kN V=0=-10x+30 =>3m (I) 

Calculamos las reacciones:

+

∑MB = 0:

+

∑MB = 0: M+(10(x-2)(x-2)/2)+25-10x= 0 M = -5x˄2+30x-45

25-50(4.5)+R2(5)=0 R2 = 40 kN +

M(x=2) = -5 kN.m M(x=5) = -20 kN.m M(max) = M (x=3)=0

∑Fy =0: R1-50+R2=0 R1 = 10 kN

  Corte 4 - 4: x = (5;7)



(II) 

En los cortes, calculamos las fuerzas internas:

  Corte 1 - 1: x = (0;1)



+

∑Fy =0: -10(7-x)+V=0

 

V = -10x+70 V(x=5) = 20 kN V(x=7) = 0 kN

∑Fy =0: 10-V=0

V = 10 kN cte +

+

∑MB = 0: M-10x= 0 M = 10x

M(x=0) = 0 kN.m M(x=1) = 10 kN.m

( 1;2)   Corte 2 - 2: x = (1;2)



+

+

∑Fy =0: 10-V=0 V = 10 kN cte

∑MB = 0: M-(10(7-x)(7-x)/2)= 0 M = -5x˄2+70x-245

M(x=5) = -20 kN.m M(x=7) = 0 kN.m (III) 

Dibujamos los diagramas: