Friccion - Hidraulica

 

Flujo uniforme El flujo uniforme rara vez ocurre en los canales naturales debido a que no son prismáticos. Aun en los prismáticos es poco frecuente por la existencia de controles, como vertederos, compuertas, etc., que dictan una relación gasto-tirante diferente de la apropiada al flujo, dificultando su establecimiento. Sin embargo, el flujo uniforme es una condición básica que debe considerarse en todos los problemas de diseño. En una canal de cierta pendiente y rugosidad, que debe conducir un caudal conocido, el estado de flujo uniforme es el criterio que rige al área de la sección transversal mínima requerida. Aun cuando exista otra situación que determine sus dimensiones, estas difícilmente serán menores que las de la sección mencionada, ya que la tendencia natural del flujo será tratar de alcanzar dicho estado. Por esta razón es conveniente exponer las condiciones hidráulicas que rigen el flujo uniforme, antes de las de cualquier otro que pudiera representar las condiciones reales del movimiento del agua en el canal por diseñar. Por definición, el flujo uniforme se presenta cuando: c uando:

    La velocidad, y con ella el tirante y el área hidráulica, permanezcan constantes en cada sección. son n paralelas. (fig. 2.1)     La línea de energía, la superficie libre del agua y la planta del canal so De acuerdo con lo anterior, el flujo uniforme ocurre solo en estado permanente y en canales prismáticos de gran longitud. El flujo en corrientes naturales casi nunca alcanza una condición estricta de uniforme; cuando se supone en el cálculo, se entiende que los resultados obtenidos bajo esta suposición son aproximados, y a veces satisfactorios en algunos problemas prácticos. El flujo uniforme puede ser laminar o turbulento, pero las dimensiones relativamente grandes de la mayoría de los canales, combinadas con la pequeña viscosidad del agua, obligan a que el laminar sea poco común en la práctica. Además, aunque la velocidad sea suficientemente pequeña para permitirlo, factores secundarios, como los disturbios ocasionados por el viento, de manera habitual producen aceleraciones locales o corrientes que exceden la velocidad limite laminar cuando el tirante es bajo. La única ocurrencia genuina del flujo laminar se presenta en el drenaje del agua de la lluvia sobre cubiertas, techos y pavimentos de poca pendiente, debido a la pequeña magnitud del tirante. En los ríos, la rugosidad de la frontera es por lo general tan grande, que aun el flujo turbulento de pared hidráulicamente lista rara vez ocurre.

 

  Para que establezca flujo uniforme es necesario que exista un balance dinámico entre el componente de la fuerza de peso en la dirección del flujo y la fricción (fig. 2.1a). Para alcanzar o relajarse de este equilibrio es forzosa la presencia de un flujo variado antes o después del uniforme, que sirva de transición entre un estado, por ejemplo de reposo a, a otro de flujo uniforme, o entre dos uniformes distintos. Cuando la longitud del canal no es suficiente para alojar uno u otro tramo de transición, el e l flujo uniforme no alcanza a establecerse. Ecuación de Chezy En un canal de sección cualquiera donde el flujo sea uniforme, como el que se muestra en la figura 2.1, la velocidad media y el tirante permanecen constantes. De ese modo, al aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento al volumen de control de longitud Δx entre dos secciones, el componente de la fuerza de peso en la dirección del movimiento debe ser igual a la fuerza de fricción producida sobre el fondo y las paredes, valuada a través del esfuerzo tangencial medio τ 0  sobre dichas fronteras, toda vez que el cambio de cantidad de movimiento es cero. Es decir, se debe cumplir

           

 

Siendo



tiene que

el radio hidráulico de la sección y no depende de

y resulta

(2.1)

   



se presenta pos , de la ecuación anterior se

 

Si



es pequeño,

 

se confunde con la pendiente del canal

interpretarse como

.

Debido a las características del flujo uniforme,



Donde





. Es decir:

; en caso contrario debe

es también el ángulo de inclinación de la línea de

energía respecto a la horizontal y por lo tanto hidráulica en el tramo

 

también representa a la llamada pendiente

     

 

es la perdida por fricción que se produce en dicho tramo.

La ecuación 2.1 también se puede escribir e scribir como sigue:

       

Las dimensiones del término

(2.2)

corresponden a los de una velocidad, y por ello es común

designarlo como velocidad de fricción, equivale a una forma de representar a densidad del agua.



relacionado con la

El esfuerzo tangencial que produce el flujo turbulento se supone proporcional al cuadrado de la velocidad, esto es:

Donde



 

 

es el factor de proporcionalidad (adimensional). Al sustituir esta expresión en la ecuación

2.2 resulta:

   

(2.3)

Esta ecuación la obtuvo experimentalmente Chezy, en 1775, donde resistencia o de fricción (con las dimensiones de

), y es similar a

 

   ⁄   

es un factor de

de la ecuación de Darcy-

Weisbach empleada en los conductos a presión. En efecto, si esta última, con extensiva a canales, la velocidad media es:

       

(2.4)

Si se divide esta ecuación entre la 2.2 resulta:

   

(2.5)

Si se compara la ecuación 2.3 con la 2.4 se obtiene:

   

(2.6)

, se hace

 

Esto es, los factores de fricción



de Chezy y

 

de Darcy-Weisbach (este sin dimensiones) quedan

relacionados por la ecuación 2.6. Ambos son dependientes del número de Reynolds y de la rugosidad relativa del canal. De las ecuaciones 2.5 y 2.6 se obtiene:

    √ 

(2.7)

Estos resultados indican una gran analogía entre el problema de fricción en canales y el de conductos a presión, ya que sería suficiente que en las ecuaciones que se obtuvieron para los últimos se utilice



en lugar del diámetro y se apliquen a canales. Sin embargo, para llegar a

esta conclusión se ha tenido que aceptar un esfuerzo tangencial medio uniforme sobre toda la sección (ecu. 2.1). Algunas investigaciones sobre el tema han permitido evaluar y corregir los pequeños errores que se encuentran en e n esta consideración. FACTORES DE FRICCION EN CANALES RUGOSOS Leyes de generales de fricción Una investigación experimental exhaustiva y sistemática de los factores de fricción o , como la que se efectuó en tubos t ubos de pared lisa o rugosa, no ha sido posible en canales c anales de pared similar;

  

Esto es, no se ha obtenido a la fecha un diagrama universal para canales, como el de Moody para tubos, que haya sido plenamente verificado de manera experimental y que tenga la misma amplitud en sus aplicaciones. Algunos autores como Henderson, solo han convertido el diagrama de Moody con base en la analogía señalada y la ecuación ec uación 2.6, pero sin verificación alguna. Las principales dificultades que se muestran en canales se atribuyen a la multitud de formas de sección, a la amplia variedad de dimensiones y tipos de rugosidad que se presentan en la práctica y a la de alcanzar en campo y laboratorio un flujo uniforme completamente desarrollado. En las distintas pruebas efectuadas se ha observado que el tipo de flujo en un canal cambia de laminar a turbulento de acuerdo con la rugosidad y en la medida que aumenta el número de Reynolds   (ecu. 1.3), a través de una zona de transición cuyos límites no están bien definidos. Para el inferior



valor de 500; el superior puede llegar hasta 12500.

El fondo y paredes de un canal rugoso, sobre los que ocurre flujo turbulento plenamente desarrollado, tienen tres tipos de comportamiento hidráulico, según la magnitud de la rugosidad



en las fronteras y el espesor

   

de la subcapa laminar, que a continuación se explican.

a)  Pared hidráulicamente lisa. Los elementos de rugosidad quedan por completo cubiertos por la subcapa laminar pared lisa.

, y la pared tiene un comportamiento idéntico al eje de la

b)  Pared hidráulicamente rugosa. Los elementos de rugosidad se extienden fuera de la subcapa laminar y dominan el comportamiento del flujo

, por lo que la

  

 

resistencia a dicho flujo es por completo dependiente de la rugosidad e independiente del número de Reynolds. Es el caso común en la práctica. c)  Pared hidráulicamente de transición. Entre los dos extremos anteriores hay una zona de transición, definida por los limites

    

(2.8)

El inferior define el final de la zona de comportamiento de pared lisa, y el superior el principio de la zona plenamente rugosa; es la velocidad de fricción dada por la ecuación 2.2, el parámetro







de longitud que caracteriza a la llamada rugosidad equivalente, según se aclara más adelante, y   la viscosidad cinemática del agua. Con respecto al comportamiento del factor

 

dentro de la zona de transición, se observa un

ascenso de su valor, más o menos brusco, a medida que aumenta uno constante que depende de la rugosidad relativa

⁄



, para finalmente tender a

en el estado de plena turbulencia.

La ecuación de Colebrook-White, aplicable a tubos en la zona de transición, se transforma en el caso de canales y adopta la siguiente forma general

Donde

   ,

y

(2.9)

      [ [   ⁄]

son coeficientes, los dos últimos varían de acuerdo con el comportamiento de la

pared y forma de la sección, como se indica en la tabla 2.1. En esta también aparecen, con fines comparativos, los coeficientes correspondientes a tubos transformados a canales de igual radio hidráulico, de acuerdo con la definición de discrepancias entre ambos son pequeñas. En la misma tabla se observa que los valores de

 

que se ha usado para estos últimos. Las

son los aceptados en la ecuaci ecuación ón para canales

lisos; dicha ecuación se convierten en una simplificación de la 2.9 cuando c uando

     

 

Investigaciones experimentales de D’Marchi, en 1962, y de Book, en 1966, demostraron que la forma de la sección influye en los coeficientes de la ecuación 2.9. En la figura 2.2 se muestra la variación que experimentan dichos coeficientes en términos de la llamada relación de aspecto

⁄

, tanto en canales rectangulares como trapeciales, estos últimos

de talud 1:1. Dicha figura ha sido obtenida por el autor de este libro atendiendo los resultados experimentales antes señalados.

 

 

 

  El estado de plena turbulencia en los canales rugosos se caracteriza porque la forma de su sección tiene un efecto importante sobre

 

. Cuando el grado de rugosidades constante, el factor de

fricción decrece aproximadamente en orden del rectangular, al triangular, al trapecial y al circular. Es probable que esto se deba a la formación de corrientes secundarias en la sección transversal, que se mueve en la dirección longitudinal del canal y cuya intensidad cambia con la forma de la sección. Las curvas

  

se elevan a partir de la que representa a la de canales lisos, como

resultado de la pérdida de energía adicional generad por los elementos de rugosidad, al grado que, cuando el numero de Reynolds es grande y se alcanza el estado de plena turbulencia, algunas de las curvas se vuelven horizontales. Para canales de pared hidráulicamente rugosa, la ecuación 2.9 se reduce a la forma como ecuación de Nikuradase, que es

           ⁄

Donde el coeficiente C adquiere los valores dados en la tabla 2.1.



 

 

 

 

Con objeto de observar el efecto que el factor de forma tiene sobre

 

, Unger hizo ensayes en

canales rugosos y llego a conclusiones semejantes a las de Shih y Grigg en los lisos, al necesitar parámetros de forma de la sección en e n el cálculo del factor de fricción. Blau, en 1969, dio otra explicación sobre el uso de factores de fricción modificados, dependientes de la relación de aspecto. En efecto, para la derivación de la ecuación de Chezy, se acepto un esfuerzo tangencial medio

sobre la frontera, que no depende de la forma de la sección ni de su



relación de aspecto. Esto no parece correcto por la distribución irregular que



tiene sobre esa

pared de las muchas formas de sección, por lo que, para seguir utilizando la ecuación de chezy, que sería necesaria una corrección al obtener el esfuerzo tangencial medio verdadero, de manera que

  



 

Donde



= Factor de corrección que depende de la forma y relación de aspecto de la sección del

canal;

Esfuerzo tangencial medio usado en la derivación de la ecuación de Chezy y expresado por la ecuación 2.1



De este modo la velocidad media resulta

  √   ⁄  Donde

      

(2.12)

es un factor de fricción modificado, aplicable a canales rugosos y similar a

de la ecuación que obtuvo Narayana en los lisos.

En la referencia 9 de Blau presenta los resultados a que llego Zschieseche, en 1952, de mediciones realizadas en ríos y modelos con diferentes rugosidades y formas de sección. En las figuras 2.3ª y b se muestran dichos resultados (con algunas modificaciones hechas por el autor del libro) a través de la dependencia entre el factor de fricción C y el numero de Reynolds comparación entre las ecuaciones empíricas de otros autores.



, además de una

 

 

 

 

 

De acuerdo con sus investigaciones sobre la distribución del esfuerzo tangencial, Blau obtuvo el valor de



para canales rectangulares en función de

⁄

, lo que permitió corregir los valores de

Zschiesche. Los resultados se presentan en las figuras 2.4. a, b y c, corregidos en canales rectangulares de un metro de ancho de plantilla y diferentes rugosidades. En

canales

  En canales trapeciales, Blau encontró buena concordancia con los resultados de las figuras 2.3 sin la necesidad del factor correctivo. Esto se debe a que el esfuerzo tangencial en dichos canales se distribuye más uniformemente sobre el perímetro mojado. Los trabajos de Blau y Zschiesche constituyen un intento de establecer un diagrama aplicable a canales similar al de Moody. Rugosidad de la pared 

Nikuradse realizo experimentos en conductos a presión adhiriendo granos de arena de tamaño uniforme a dos paredes, de modo que en las asperezas la tomo como diámetro medio de los

 

granos. En las ecuaciones empíricas resultantes considero como rugosidad de la pared a ese diámetro. Las paredes de conductos comerciales de acero, fierro concreto, etc., no poseen rugosidad uniforme y se ha comprobado que el efecto que producen no solo depende de la altura de las asperezas, sino también de su separación. Para simplificar este problema se considera que la rugosidad de dichas paredes es equivalente a la de granos de arena uniforme, es decir, se utiliza la rugosidad equivalente designada por . Con



ella se indica el diámetro de partículas uniformes de arena que causan la misma rugosidad que la pared considerada y, por tanto, igual pérdida por fricción. El argumento anterior paree sencillo, sin embargo, la mayor dificultad en la aplicación de las ecuaciones de fricción en canales rugosos está en la determinación de la rugosidad equivalente de las fronteras. Los valores para distintas superficies se presentan en la tabla 2.2. Varios autores han realizado experimentos con rugosidades artificiales, empleando cubos, esferas, conos, escalones rectangulares y triangulares, etc., para cuantificar no solo el efecto de la altura de los obstáculos, sino también su separación o densidad de distribución. Cuando la densidad de las asperezas es muy grande, no ocurre cuando se tienen elementos aislados. La tabla 2.3 complementa los valores de





es igual al tamaño de la rugosidad, lo que

.

Ecuaciones empíricas de fricción. El uso de la ecuación de Chezy en canales tiene la finalidad de tener que hacer una estimación adecuada del factor de fricción, toda vez ve z que este depende del número de Reynolds. Sin embargo, la mayor parte de los problemas de canales que se presentan en la práctica están dentro de la región hidráulicamente rugosa del flujo turbulento. Para esta condición se han obtenido de manera experimental una buena cantidad de ecuaciones que valúan el factor C, algunas de las cuales se presentan en la tabla 2.4 y los coeficientes de rugosidad respectivos en la tabla 2.5. Las ecuaciones fueron obtenidas por distintos autores pero deben aplicarse para el mismo ámbito de condiciones de geometría del canal, rugosidad, número de Reynolds, etc., para el cual fueron obtenidas. Las rugosidades estudiadas han sido muy restringidas en la mayoría de los casos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Aspectos teóricos del coeficiente de manning. manning. En la tabla 2.4 destaca la ecuación conocida en los países de habla inglesa como ecuación de Manning, pero que en justicia debería llamarse: de Gauckler-Manning-Strickler, por atribuirse su origen a estos tres autores. Dicha ecuación, de carácter netamente empírico, es la más conocida en todo el mundo y valúa el coeficiente coeficie nte de Chezy en la forma

Donde



  



 

es un nuevo factor de fricción, llamado coeficiente de Manning, que por ser aplicable a

canales hidráulicamente rugosos, depende solo de

la rugosidad de la frontera

y

es

independiente del número de Reynolds. Además, tiene dimensiones y de la ecuación e cuación 2.6 resulta

     



 

O bien

  [ ]           



 

En la misma forma, de las ecuaciones 2.7 y 2.13 se obtienen



 

Con fines comparativos, de la ecuación 2.9 de Colebrook-White se calculo parámetro que contiene a



contra los de 4



 

y de la 2.14bel

. La representación grafica de los resultados de dicho parámetro

se muestra en la figura 2.5a.

todas las curvas debieran reducirse a una sola horizontal. En la figura Si depende solo de se observa que esto ocurre en la medida que el número de Reynolds aumenta, de

               



modo que para intervalo

   ⁄

se ve claro que dicha recta correspondiente al valor medio del

. Al permitir una desviación de ±5 por ciento de error (banda de

desviación total de 10 por ciento en la predicción del valor medio, dicha predicción es aceptable para

en el intervalo de

  

, y para

 

en el intervalo

, siendo este ultimo el más común en la práctica. Para llegar a estos resultados no

se ha considerado la influencia de la geometría de la sección, ni la estructura de la rugosidad.

 

 

 

En la misma forma, con la ecuación de Nikuradse (2.10) donde

       ⁄

  

, de la 2.14ª resulta



 

O bien, de la 2.14b la forma a dimensional

   ⁄⁄    ⁄ ⁄   



 

Que para el sistema internacional de unidades es

En las tres últimas expresiones



 

debe seleccionarse de la tabla 2.1 o de la figura 2.2 para pared

hidráulicamente rugosa y de acuerdo con las ecuaciones 2.2 y 2.8, dichas expresiones tienen validez cuando

    



 

En la figura 2.5b se muestra la representación grafica de la ecuación 2.17b para dos valores



distintos de . La curva superior corresponde a



, dado por Colebrook-White, y para ella

es posible estimar un valor constante del parámetro que aparece en el eje de ordenadas de la

    

figura, para los valores de

O bien

más frecuentes en la práctica. Esto es

      



 



 

Sin incurrir en desviaciones superiores al 3 por ciento y con validez en el sistema internacional de unidades. Strikler, en 1923, obtuvo experimentalmente la ecuación 2.19, que en su honor lleva su nombre. Cuando



esta en mm, la ecuación de Strikler se convierte en



De la sustitución de la ecuación 2.19b en la 2.14ª se tiene



 

 

Lo cual significa que

 

      [[]



 

es constante para una rugosidad relativa

⁄

dada.

De la sustitución de la ecuación 2.19ª en e n la 2.13 resulta  

⁄



En el sistema internacional de unidades.

Williamson, en 1951, realizo experimentos similares a los de Nikuradse con tubos de rugosidad artificial, y encontró un pequeño ajuste a la ecuación de Strikler, de modo que

Donde







 

esta en mm.

La curva inferior de la figura 2.5b corresponde c orresponde a la misma ecuación 2.17b, pero con



, valor

dado por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ASCE). Con el e l mismo razonamiento de antes, se tiene ahora que

   

O bien

        

 

También sin incurrir en desviaciones superiores a 3 por ciento, y donde Si se sustituye

 



esta en m.

de la ecuación de Strikler S trikler 2.19ª, en la ecuación 2.18, e en n el límite de aplicación de

la de Manning, a las temperaturas comunes del agua, ag ua, es

  



 

Para el sistema internacional de unidades. De acuerdo con lo antes discutido, a continuación se resumen las limitaciones observadas en la aplicación de la ecuación de Mannig. a)  El coeficiente



no es adimensional. Cada valor es válido solo para las dimensiones del

canal en que se sostuvo. b)  No considera la influencia de la viscosidad y por ello es válida solo para números de Reynolds grandes

.

 

 

c)  No sigue las leyes generales de fricción y por ello es válida solo para rugosidades relativas medias (figura 2.5ª). d)  La forma de la sección no se considera y por ello un valor conocido de la forma de sección del canal en que se obtuvo.



es válido solo para

e)  No considera la influencia de distintas rugosidades en la misma sección y la de su distribución de acuerdo con el nivel de agua. f)  No considera la formación de ondas y la inestabilidad que introducen cuando el régimen es supercrítico. g)  No considera la influencia del arrastre de aire al interior del flujo cuando la velocidad es muy grande. h)  No considera la influencia del transporte de sedimentos y de la forma variable de un lecho móvil. i)  Por las razones anteriores, el nombre de coeficiente de rugosidad que rugosidad que se atribuye al factor



tiene muchas restricciones. Por ello, aquí se le designa como coeficiente de Manning.