Frecuencias Absolutas y Relativas

 

Evaluación educacional  Nociones básicas de estadística

FRECUENCIAS ABSOLUTAS, RELATIVAS  Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL  

FRECUENCIA ABSOLUTA Un profesor tiene anotadas en su cuaderno las notas de los 30 alumnos de una clase, que son las siguientes:

5 4 3

3 5 4

4 7 5

2 4 7

6 6 6

7 6 5

6 6 3

5 4 4

4 3 5

4 3 6 

Observa que hay varios alumnos que tienen la misma nota. Existen, por lo tanto, valores de la variable que se repiten; por ejemplo, la calificación 7 la han obtenido tres alumnos. Entonces diremos que la frecuencia absoluta de 7 es 3. Se llama  frecuencia absoluta del valor xi y la representaremos por f i, que es el número de veces que se repite dicho valor. Se llama frecuencia absoluta acumulada del valor xi y la representamos por Fi, a la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a x i más la frecuencia absoluta de xi: F i = f1 + f 2 + f 3 + ... + f i  

 

FRECUENCIA RELATIVA La frecuencia absoluta no es suficiente para reflejar la intensidad con que se repite un determinado valor de la variable estadística. Se llama  frecuencia relativa de un valor xi y la representaremos por hi, al cociente entre la frecuencia absoluta de xi y el número total de datos que intervienen en la distribución: hi =

f i N

 

Siendo N el número total de datos.  N  = f1 + f 2 + f3



... +f n   

Se llama  frecuencia relativa acumulada del valor de xi, y la representamos por H i,i, al cociente entre la frecuencia absoluta acumulada de  x i i,  y el número total de datos que intervienen en la distribución:  H i =

Fi N

= h1 + h 2 + h 3 + ... + h i  

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 ¿QUÉ HACER CON LOS DATOS?  Formaremos una tabla estadística. A continuación vamos a sistematizar cómo debemos proceder ordenadamente con los datos de una muestra:

1.-

Recogida de datos. Consiste en la toma de datos procedentes de la muestra.

2.-

Ordenamiento de los datos. Una vez recogidos los datos, los pondremos en orden creciente o decreciente.

3.-

Recuento de frecuencias. Efectuaremos el recuento de los datos obtenidos.

4.-

 Agrupación de los datos. En caso que la variable sea continua o bien discreta, pero con un número de datos muy grande, resulta aconsejable agrupar los datos en intervalos (clases) (clases).. Es aconsejable escoger los extremos de la clase (inferior y superior) de modo que se sitúen en números núme ros “redondos”; por ejemplo, múltiplos de 5, 10, etc.  etc.   Se debe procurar que todas las clases tengan la misma amplitud o tamaño. A los puntos medios de cada clase se les llama marca de clase. clase. Con el fin que la clasificación esté bien hecha, los intervalos se deben construir de tal manera que el extremo superior de una clase coincida con el extremo inferior de la siguiente.

5.-

Elaboración de la tabla estadística. En ella deberán figurar los valores de la variable (en caso que se encuentre agrupada en clases los extremos inferior y superior, así como la marca de clase) y las frecuencias absolutas relativas. A veces es conveniente incluir las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias acumuladas y los porcentajes. Vamos a construir la tabla estadística correspondiente a la clasificación de los alumnos respecto de sus calificaciones que es la muestra con la cual comenzamos. Nota

N° de alumnos

 X ii  

 f ii  

F ii  

hi 

H i i 

Totales

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las tablas estadísticas y las representaciones gráficas de las distribuciones dan una idea aproximada del comportamiento de una distribución. Sin embargo, se hace necesario simplificar ese conjunto de datos mediante unos valores numéricos, que reduzcan sensiblemente la gran complejidad de los datos. Imagínate que las calificaciones que has obtenido durante el semestre en la asignatura de matemática son: 4, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 5, 4,  5  Al final del semestre, el profesor trata de simplificar este conjunto de datos mediante un valor o parámetro, que es la calificación final del curso o calificación media; en este caso, 49 = 4,9   10

La media no es el único parámetro que se utiliza para simplificar un conjunto de datos. Hay otros valores, también importantes, que pueden representar al conjunto, según lo que se pretenda. En general, este tipo de parámetros nos proporciona unos valores en torno a los cuales se centran los datos de una distribución. Se les llama, por eso, medidas de tendencia central o medidas de centralización.  Vamos ahora a definirlos de forma precisa.

1.  Media aritmética La media aritmética de una variable estadística es el cociente entre la suma de todos los valores de dicha variable y el número de éstos. La media aritmética de la variable x se representa por

 x

. 

Ejemplos: a)  Teresa estudia la siguiente cantidad de horas diariamente: Lunes 3,5

Martes 5,5

Miércoles 4

Jueves 6

Viernes 5

 x = 3,5 + 5,5 + 4 + 6 + 5 = 24 = 4,8  

5

5

Teresa estudia en promedio 4,8 horas diaria.

b)  El profesor Francisco tiene anotado en su cuaderno las notas de 40 de sus alumnos, y son las siguientes: Calificaciones N° de alumnos

1 2

2 2

3 6

4 9

5 10

6 7

7 4

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Calcula la calificación media:

resultados:  c)  Se ha aplicado un test a 88 alumnos, obteniéndose los siguientes resultados:  Puntuaciones [38 – 44) [44 – 50) [50 – 56) [56 – 62) [62 – 68) [68 – 74) [74 – 80)

N° de alumnos 7 8 15 25 18 9 6

Calcula la puntuación media

2.  Moda Moda de una variable estadística es el valor de dicha variable que tiene mayor frecuencia. La moda se designa por M o La M o en el ejercicio anterior, sobre la cantidad de horas de estudio diario de Teresa, corresponde al día Jueves, pues es el día en que más horas estudia. Encuentra la M o en los ejemplos b) y c) 

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3.  Mediana Mediana de una variable estadística es un valor de la variable tal, que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. La mediana se representa por M.  El número de datos que preceden a la mediana es igual al número de datos que la siguen. Si la variable es discreta. Datos simples. Se ordenan los datos de menor a mayor. -  Si el número de datos es impar, la mediana es el valor central. -  Si el número de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos valores centrales. Si la variable es discreta. Datos agrupados. Formamos la tabla estadística con las frecuencias absolutas acumuladas F.  La mediana es el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número de datos. Ejemplos: a)  Dada la serie estadística 11, 3, 5, 9, 12, 2, 6. Calcula la M.  b)  Dada la serie estadística 12, 5, 3, 9, 11, 13, 2, 6. Calcula la M.  c)  Calcula la M de la distribución de notas del profesor Francisco Para finalizar esta primera parte calculemos las medidas de tendencia central vistas en el ejercicio con el cual comenzamos nuestro trabajo. Para facilitar los cálculos agregaremos una columna a nuestra tabla estadística. Nota

N° de alumnos

 X ii  

 f ii  

F ii  

hi 

H i i 

 xi



f i  

Totales

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