Fracciones

* Por grupo de fracciones

FRACCIONES

1)

SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES FRACCIONES FRACCIÓN: Se denomina fracción o quebrado a una de las varias partes en que se considera la unidad.

f  = Q={

a  b

Donde: a: numerador

a

es una fracción propia, entonces a< b.

3

2

;

5

8

;

7

11

7

 b

frac fracci cioones nes

homogéneas.

5

;

9

7 11 ;

son son

4 5

frac fracci cion ones es

cuyos términos son primos entre sí (PESI), en caso contrario se dice que es reductible. 1 7 Ejemplo: Ejemplo: Las fracciones fracciones , son irreductibles, 9 5 4 20

,

36 21

son

equivalente a otra cuando tiene el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Ejemplo:

a

es una fracció fracciónn impro impropia pia,, entonc entonces es

4 16 7

=

28

son fracciones equivalentes.

En general:

a>b.

7

;

2

12 5

;

a

17

 b

9

denominador denominador es diferente diferente de 10 ó de una potencia potencia de 10.

7 25 17

8 4 Fraccion iones

;

9 Dec Decimal imalees.s.-

Cuando denominador es 10 ó cualquier potencia de 10.

13 531 31 ; ; 5 10 100 10

a.k   b.k 

, con k∈Z.

entera y una fraccionaria.

1) Fracción Ordinaria o Común.- Cuando el

;

es equivalente si :

Número Mixto.- Es aquel que consta de una parte

* Por su denominador.

Ejemplos:

7

son son

Fraccio Fracciones nes Equivale Equivalente ntes.s.- Una fracci cción es

mayor que el denominador, es decir:

2)

7

20

;

reductibles.

2) Frac Fracció ciónn Impr Improp opia. ia.-- Cuando el numerador es

Ejemplos:

9

;

mien mientr tras as que que las las frac fracci cion ones es

Ejemplos :

Ejemplos:

4

Fracción Irreductible.- Son aquellas fracciones

menor que el denominador, es decir:

Si: f  =

Ejemplos:

heterogéneas.

1) Frac Fracci ción ón Propi ropia. a.-- Cuando Cuando el numer numerad ador or es

 b

los los

denominadores son iguales.

Ejemplos:

CLASES DE FRACCIONES

a

Cuand uandoo

denominadores son diferentes.

* Por Comparación de sus términos.

Si: f  =

Homo Ho mogé géne neas as..-

Cuando do los los 2) Frac Fraccio cione ness Hete Hetero rogé géne neas as..- Cuan

b :denominador

/ a∈Z ∧ b∈Z , b≠ 0 }

 b

Frac Fracci cion onees

el

Ejemplos: 2

1 5

;5

2 7

;1

1 3

PROPIEDAD DE FRACCIONES 1) Si a los los térm érminos inos de una una fracc racció iónn se les les multip multiplic licaa o divide divide por un mismo mismo número número,, la fracción no se altera. (Fracción equivalente) e quivalente) 2) De dos o más fracciones homogéneas, es mayor la que presenta mayor numerador.

3) De dos o más fracciones heterogéneas que presentan un mismo numerador es mayor la que presenta menor denominador. Ejemplo:

5

De las fracciones

5

la menor es

4

;

4

35 13

6

6

7 13

;

;

6

13

la mayor es

6

6

. mientras que las fracciones

la mayor es

4

y la menor es

13

4 35

4 21

,

,

 b d f 

Ejemplo: ;

.

son fracciones irreductibles, entonces:

MCD (a ; c ; e)

MCD = MCM =

16

,

9

1

1

de

3

indica que la fracción

4

1 4

1

de

1

3 4 Aplicación:

1 1

=

.

3 4

=

1 12

del todo.

Hallar los 2/7 de 4/8 de 5/3 de 84 Solución:

MCM (a ; c ; e)

2 4 5 .

MCD (b ; d ; f) y

se ha dividido

en 3 partes iguales de los cuales se ha considerado 1. Parte sombreada:

MCM (b ; d ; f)

.

.84 =

5 . 84

=20

7 8 3 21 ¿Qué fracción es una Cantidad de otra.?

Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de

12 42

las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales.

y

MCD y MCM de Números Fraccionarios.- Si: a c e

Fracción de Fracción.- Se llama así a

1)

9

Ejemplo: ¿Qué parte es la región sombreada de la no sombreada?

8

Solución: Las fracciones irreductibles:

12 16

=

deben

3 4

;

42 9

ser

=

necesariamente

14 3

;

9 8

=

Luego:

MCD = MCM =

MCD (3 ; 14 ; 9) MCM (4 ; 3 ; 8) MCM (3 ; 14 ; 9) MCD (4 ; 3 ; 8)

Aplicación de las Fracciones

=

1 24

= 126

9

Solución:

8

Podemos interpretar: ¿Qué parte es 1/4 de 3/4.?

 1 / 4   =    3 / 4    

1. 4 4.3

=

1 3

Es la tercera parte o un tercio. NÚMEROS DECIMALES.- Al dividir los términos de una fracción irreductible, se obtiene un número decimal, puede tener una cantidad de cifras decimales limitada (Decimal Exacto) o una cantidad de cifras ilimitada (Decimal Inexacto)

Conversión de Fracciones a decimales  Numero decimal

Decimal Exacto Decimal Inexacto

Periódico Puro Periódico Mixto

5

= 0,4545.... . = 0,45

11 Fracción Generatriz.- La fracción generatriz de

1. Decimal Exacto.- Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando del denominador sea una potencia de 2 y/o una potencia de 5. Ejemplos: 13 25

23 8

=

=

13 2

5 23 3

200

=

= 2,875

31 3

2

2 .5

= 0,155

una fracción decimal exacto será igual al número formado por las cifras decimales dividida entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplos: 75 3 = * 0,75= 100 4 2225 1000

=

89 40

En general:

abc, de......s =   

n cifras

abcde..... s 10

n

2.Decimal Inexacto 2.1Decimal Inexacto Periódico Puro.- Una fracción irreductible originará un decimal periódico puro cuando el valor del denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplo:

1 3

= 0,333..... = 0,3

º 0,75 =

75 99

=

25 33

2.2.Decimal Inexacto Periódico Mixto.- Una

17

Fracción Generatriz.- La fracción generatriz de

* 2,225=

Ejemplo:

fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente. Ejemplo:

= 0,52

2

31

un decimal inexacto periódico puro está dado por el número formado por las cifras del período dividido entre tantos nueves como cifras tenga el período.

=

88

73

17 3

2 .11

= 0,19318181 8... = 0,19318

= 0,82954

88 ⇒ 3 cifras no periódicas ⇒ 2 cifras periódicas

Fracción Generatriz.- La fracción generatriz de un decimal inexacto periódico mixto estará dado por el números formado por la parte no periódica, seguida de la parte periódica menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tengan la parte no periódica. Ejemplos: * 0,95454... = 0,954

954 - 9 990

=

945 990

=

21 22

* 0,80681818...=0,80681=

80681 - 806 99000

=

79875 99000

=

71 88

PROBLEMAS

1. Un ingeniero ha valorizado los 2/5 de un

muro de 3260 soles. ¿Cuál es el precio de todo el muro? a) 8150 b) 9150 c) 10150 d) 7150 e) 11150 2.Calcular el precio de un rollo de alambre, sabiendo que su mitad, sumada con sus 2/3 partes y 5/8 cuesta 387 soles. a) 385 b) 400 c) 218 d) 216 e) 214,8 3.¿Qué frente tiene una casa si sus 13/20 excede a su cuarta parte en 7 metros 1/2? a) 18,10 m b) 18,00 m c) 18,50 m d) 18,75 m e) 18,25 m 4.Se ha repartido una herencia entre tres personas; a la primera le tocó la cuarta parte; a la segunda 1/3 de la herencia y a la última 15000 soles ¿A cuánto asciende la herencia? a) 28000 b) 40000 c) 36000 d) 35000 e) N.A. 5.Después de construir los 2/7 de un cimiento, se fabrican los 3/5 del resto. ¿Qué longitud tiene el cimiento, si todavía faltan construir 23m? a) 85,50m b) 78,50m c) 80,50m d) 80, 25m e) 80,75m 6.Un armario y una mesa cuestan juntos, 625 soles. El precio de la mesa es los 2/3 del precio del armario. Hallar la diferencia de los precios de ambos muebles en soles. a) 250 b) 125 c) 75 d) 375 e) 145

5 1  3 3  9 1 2  7. Simplificar:  1 − 5   + −    8 6 3  3 3 a) 1/3

b) 3

c) 5

d) 1/5

e) 3/5

8.Hallar “a” en: 1,a + 2,a + 3,a + 4,a

a) 3 d) 8

b) 9 e) 5

c) 7

9. ¿Cuántas fracciones de la forma n/144, n

∈

¥

tal que sea mayor que 1/3 y menor que 5/3? a) 201 b) 181 c) 180 d) 191 e) 190 10. Una bola cae desde la altura de 160m; después de cada rebote se eleva nuevamente hasta una altura igual a la mitad de la altura de la cual cayó. ¿A qué altura se elevará la bola después de haber rebotado por cuarta vez? a) 20 b) 5 c) 10 d) 25 e) 28 11. ¿En cuanto tiempo se llenará un estanque, si un caño A llena el estanque en 4 horas, un segundo caño B lo hace en 6 horas. Ambos empezaron a funcionar al mismo tiempo y cuando el estanque estaba vacío? a) 2,0 h b) 2,6 h c) 2,4 h d) 2,5 h e) 2,8 h 12. ¿En cuánto tiempo se llenaría el estanque del problema anterior, si la segunda llave B en lugar de llenarlo en 6 horas, la vacía en ese tiempo? a) 6h b) 9h c) 10h d) 12h e) 8h 13. Hallar

una fracción propia e irreductible m/n sabiendo que la fracción equivalente a 1/m +1/n tiene como producto de sus términos igual a 840. a) 5/7 b) 4/7 c) 1/3 d) 7/3 e) 3/7

14. Si a y b son naturales y

hallar b – a. a) 16 b) 11 c) 13 d) 10 5

15. Si:

37

+

igual a: a) 1 d) 16

x 27

a 3

+

b 37

» = 0,711,

e) 15

¼ = 0,x09 , entonces

b) 4 e) N.A.

x

2

es

c) 9

16. Hallar el numerador de la fracción equivalente a 13/19 tal que la suma de sus términos (mumerador y denominador) sea 160. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho numerador. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 17. Sabiendo que una fracción es equivalente a 119/133 y que la suma de sus términos es un múltiplo de 45 comprendido entre 600 y 800, hallar la suma de las cifras del denominador. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 18. La suma de dos números racionales es 46/35 y su diferencia 4/35. Hallar el producto de dichos racionales. a) 4/7 b) 5/7 c) 7/3 d) 3/7 e) 2/7 19. Si:

a  b

=

7 3

y a + b = 40.

1 5

24. Si a los dos términos de una fracción se

añade 1, el valor de la fracción es 2/3 y si a los dos términos se les resta 1, el valor de la fracción es 1/2 . Hallar el numerador de la fracción original. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 25. Hallar una fracción equivalente a 0,375 tal que el producto de sus términos sea 384. Dar como respuesta el resultado de restar el denominador y numerador de la fracción pedida. a) 15 b) 10 c) 30 d) 20 e) 35

TAREA DOMICILIARIA

restar de

27. El mayor de tres hermanos puede segar

c) 4

21. Sumar a 1/2 los 2/3 de 4

23. Al disminuirle una misma cantidad a los dos términos de una fracción a/b resulta el inverso multiplicativo de dicha fracción ¿Cuál es dicha cantidad? a) a – b b) b c) a d) a + b e) N.A.

ab/ba

¼ 0,571428

b) 5 e) 9

22. ¿Cuánto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de 7? a) 7/9 b) 11/9 c) 4/9 d) No le falta nada e) N.A.

26. Dos jugadores entran al juego con una misma suma de dinero. El primero pierde los 2/3 de su capital y el segundo los 3/4. Al retirarse el primero tiene S/. 15 más que el segundo. Dar como respuesta la suma de los capitales de los jugadores antes de entrar a dicho juego. a) 480 b) 90 c) 240 d) 180 e) 360

Hallar a- b

a) 12 b) 28 c) 16 d) 14 e) 13 20. ¿Cuántas fracciones de la forma son equivalentes a: a) 3 d) 8

esta suma la mitad de 3/5 ; dividir esta diferencia entre el resultado de sumar a 1/4 los 5/4 de 1/3. a) 9/4 b) 9/5 c) 33/10 d) 9/2 e) N.A.

un prado en 3 horas; el segundo hermando puede cortarlo en 4 horas y el menor de los tres en 6 horas. ¿Qué tiempo emplearán si lo hacen conjuntamente? a) 4/3 h b) 5/3 h c) 7/3 h d) 2 h e) 13/3 h 28. Una bola de pimpón después de tocar

una mesa de mármol por cuarta vez, se, eleva 1,50 cm. Se desea saber desde qué alturá se dejó caer sabiendo que cada vez que rebota, se eleva hasta la tercera parte de la cual cayó. a) 115, 5 cm b) 110,5 cm c) 112,5 cm d) 121,5 cm e) 120,5 cm 29. Calcular cuánto se le debe restar al numerador y denominador de una fracción (que son diferentes) para que se obtenga el inverso multiplicativo de dicha fracción. a) 0 b) La suma del numerador y el denominador. c) La diferencia entre el numerador y el denominador. d) El producto del numerador por el denominador e) El cociente del mumerador entre el denominador. 30. Un tubo puede llenar un depósito en 2 horas y otro menos grueso en 3 horas, mientras un desagüe puede vaciarlo totalmente en 4. Con los 3 tubos abiertos, el depositó se llenará en: a) 12/7 h b) 10h c) 11/7h d) 1 hora e) 1 h y 7 min. 31. A y B hacer una obra en 3 días, B y C en cuatro y A y C en cinco. ¿En cuántos días puede hacerlo A trabajando solo? a) 10d d) 15d

b) e)

7 8

1 17 1

18

d d

c) 7d

32. Se tienen dos cajas de fósforos; se usa

de la primera 2/7 del total y de la segunda 1/5 de su total. Los fósforos usados de la primera son once más que la segunda y queda en la primera caja el doble de fósforos que en la segunda. ¿Cuántos fósforos quedan en total? a) 10 b) 20 c) 40 d) 52 e) 60 33. Calcular el valor de “a +b” en: ) 0,ab + 0, ba − 0,1

a) 4 d) 15

= 1,3

b) 9 e) 17

c) 11

34. Se deja caer una pelota desde una alura

de 9m y que al rebotar alcanza una altura igual a los 3/4 de la altura del rebote anterior. ¿Luego de cuántos rebotes alcanzará la altura de ? a) 3 d) 5

b) 4 e) 6

2

217 256

m

c) 2

35. ¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo denominador es 12, cumplen con la condición que sean mayores que 2/7 pero menores que 5/7? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 36. Hallar una fracción equivalente a 32/144; sabiendo que la suma de sus términos es 154. a) 40/104 b) 48/106 c) 28/126 d) 36/118 e) 60/94 37. ¿Cuántas fracciones cuyo denominador es 60; son mayores que 4/3 pero menores que 13/4? a) 114 b) 113 c) 112 d) 111 e) 115 38. ¿Cuántas fracciones propias, cuyos términos son consecutivos, son menores que 0,75?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

39. Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13/4 a) 1/3 b) 2/3 c) 4/9 d) 2/9 e) 2/5 40. Cuántas fracciones propias de la forma: ab 75

son irreductibles

a) 90 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 41. Los obreros A, B y C hacen una obra en 18 días; A y B hacen la misma obra en 30 días. En cuántos días hace la obra C trabajando solo. a) 50 b) 60 c) 90 d) 84 e) 45 42. ¿Qué hora es cuando han pasado los 5/8 de los 2/3 de los 4/5 del día? a) 16h b) 12h c) 13h d) 10h e) 8h 43. Un vendedor ambulante ha vendido los 2/5 de una talega de limones, luego 1/2 del resto y finalmente los 2/3 del nuevo resto. Si entonces tiene 48 limones ¿Cuántos tenía al principio? a) 480 b) 250 c) 310 d) 155 e) 180 44. Si la fracción

hallar b –a a) 2 b) 3 d) 5 e) 6

ab  bb

es equivalente a

3 11

,

c) 4

45. Hallar la suma de los términos de una fracción irreductible cuyo valor no cambia si le añadimos a la vez 4 al numerador y 10 al denominador. a) 13 b) 7 c) 8 d) 11 e) 5

46. ¿Cuántos fracciones irreductibles existen tales que sean menores a 11/12, mayores a 4/5 y cuyos denominadores sean 120 ? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 47. ¿Cuál es la última cifra decimal de

? a) 0 d) 6

b) 2 e) 8

1 5424

c) 4

48. Hallar el valor de: 1

S=

a) d)

1× 4

+

1 4× 7

12

+

b)

29

16

e)

33

1 7 × 10 13 41

+L +

1 28 × 31

c)

15 37

10 31

49. Hallar la suma de: S=

1 2

+

1 4

+

1 8

+ ...

( doce sumandos )

Dar el valor del numerador del resultado. a) 4095 b) 2048 c) 2047 d) 4097 e) 4098