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Matemática

2° Medio

UNIDAD 3. Fracciones Fracciones algebraicas. Sistemas de Ecuaciones Lineales

GUÍA N° 1

FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresión racional o fracción algebraica es un cuociente de polinomios en una o más variables 2

a - b (3x-1) Ejemplos: , a+ b ( x - 2 )2

a , el número a se denomina numerador y numerador y b b denominador. denominador. En una fracción algebraica mantendremos los mismos nombres. Así, en el primero de los ejemplos anteriores a – b es el numerador y a + b es el denominador a-b de la fracción algebraica . a+ b Recordemos que en una fracción numérica

Al trabajar con expresiones racionales, muchas veces nos interesa evaluarlas, es decir reemplazar las variables por números. Ejemplo: Evaluar

3x2 + 2x - 5  en x  =  = -2. 5x-6

3(-2)2 + 2(-2) - 5 12 - 4 - 5 3 . = = − 5 (- 2 ) - 6 - 10 - 6 16 3x 2 + 2 x - 5 3 Diremos que  está definida para x = -2 y su valor es − . 16 5x-6

Solución:

Las expresiones racionales aparecen muchas veces al resolver problemas: Ejemplo: Si la suma de dos números es 60 y la razón entre ellos es 3:7, ¿cuáles son los números? Solución: Llamemos  x e y  a  a los números pedidos. Como la suma de ellos es 60 podemos escribir: Despejemos una de las variables: La razón entre ellos es 3:7 se escribe: Reemplazamos la variable y

x + y = 60 y = 60 - x x 3 = y 7 x 3 = 60 - x 7 1

FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Por la propiedad fundamental de las proporciones: 7x = 3(60-x) 7x = 180- 3x 10x = 180 x = 18 Reemplazando el valor de x  obtenemos el valor de y : y = 60-18 = 42. Por lo tanto los números pedidos son 18 y 42.

2 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. Evalúa las expresiones racionales para los valores de x indicados:

4x3 -5x 1.1 ;  x = 3 x -5

6x2 - x 1.2 ; 2- x

 x =

-1

5x2 1.3 ; x+1

x  =

2 3

x -1   para x   =-3, x = -1; x = 0; x = 1; x = 2 y x = 3. x2 - 9 b) ¿Qué puedes decir de los resultados obtenidos? ¿Una expresión racional puede evaluarse en cualquier valor? ¿En qué te debes fijar al evaluar una fracción algebraica para que ella esté definida?

2. a) Evalúa la expresión racional

3. Encuentra para qué valores de la variable no está definida cada fracción algebraica:

x2 +3x 3.1   x-6

5+3x 3.2 2   x -4

x2 +3 3.3   ( x+3 )( x -5 )

x2 +x 3.4 2 x - x- 42

4. Construye un expresión racional que no esté definida en x= 2 y x = -1. Compara con tus compañeros. ¿Qué similitudes y diferencias encuentran en las expresiones construidas?

5. Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios, si están en la razón de 5 a 7.

3 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 2

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS A continuación veremos algunas propiedades de las fracciones algebraicas y nos daremos cuenta de que estas propiedades se parecen a las de los números racionales. Una fracción se puede simplificar y escribir en su mínima expresión. Para ello debemos dividir el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que el factor común sea el 1 o dividir directamente por el máximo común divisor. Por ejemplo: 105:5 21: 7 3:1 3 = = = 140:5 28 : 7 4:1 4 O calculamos el máximo común divisor entre 105 y 140 que es 35 y nos queda: 105:35 3 = 140:35 4 105 3 Observemos que su valor decimal sigue siendo el mismo: = 0, 75 ; = 0,75 4 140 x -1 Ejemplo: Simplificar la fracción algebraica: 2 x -1 Solución: Factorizando el denominador obtenemos x -1 x -1 1 = = x 2 -1 ( x -1)( x +1) x +1 Evaluemos la expresión original en x = 2 x -1 2 -1 1 = = x 2 -1 22 -1 3 Evaluemos ahora en x = 2 la expresión simplificada 1 1 1 = = x+1 2+1 3 ¿Qué pasará al evaluar en x = 1? Efectivamente la expresión original no está definida para x = 1 en cambio si evaluamos la expresión simplificada obtendremos: 1 1 1 = = x+1 1+1 2 En general cuando en una fracción algebraica el numerador y/o el denominador se pueden factorizar y luego simplificar la expresión racional no se altera salvo en el hecho de que la nueva expresión pueda evaluarse en números en los que la original no estaba definida.

4 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. Simplifica las siguientes expresiones racionales 1.1

5x+30   x +6

1.2

x2 -25 x2 + 3x -10 7x+21   1.3   1.4 2   x -5 x +4x -5 x +3

1.5

x2 -16 x2 +14x + 40

2. Escribe tres expresiones racionales distintas que al ser simplificada sean equivalentes a x +3 . x -1

x2 - 81 3. Pedro simplificó la fracción algebraica  y obtuvo  x  – 9. Marcelo obtuvo  x  + 9 x-9 ¿Cómo podrías ayudar para ver quién tiene la razón? ¿Qué crees que hizo incorrecto el que se equivocó? 4. 4.1 ¿Cómo simplificarías una fracción algebraica en donde el numerador y el denominador solo difieren en el signo? x2 - x+7 4.2 Simplifica 2 . -x +x -7 5. Determina el numerador que falta para obtener un enunciado verdadero

5 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 3

OPERATORIA CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicación de fracciones algebraicas Recordemos que para multiplicar fracciones, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador y luego simplificamos si es que se puede.

A veces conviene simplificar primero las expresiones antes de multiplicar. En nuestro ejemplo hubiese resultado más fácil simplificar primero y luego multiplicar

Veamos ahora la multiplicación de dos fracciones algebraicas:

x2 - 3x - 4 x2 - x -6 ( x +1)( x - 4 ) ( x +2)( x -3) · · = =1 x2 - 2x -8 x2 - 2x -3 ( x - 4 )( x +2) ( x -3)( x +1) División de fracciones algebraicas Recordemos que para dividir fracciones debemos multiplicar la fracción dividendo por el inverso multiplicativo, llamado también recíproco, de la fracción divisor:

Las fracciones algebraicas se dividen de la misma manera que los números racionales: Por ejemplo:

Adición y sustracción de fracciones algebraicas Al igual que en la suma y resta de fracciones tenemos dos casos: Denominadores iguales. Al sumar y restar fracciones de igual denominador se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Por ejemplo:

3 4

+

5 4

−

1 4

=

3 + 5 −1 4

=

7 4

6 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Lo mismo ocurre al sumar o restar fracciones algebraicas. Por ejemplo:  x − 5 y  x +  y

+

3 x + 2 y  x +  y

=

 x − 5 y + 3 x + 2 y  x +  y

=

4 x − 3 y  x +  y

Distintos denominadores. Cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores distintos, primero debemos encontrar un común denominador. Un común denominador posible es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Por ejemplo el m.c.m entre 4,5 y 10 es 20 así: 3 4

+

4 5

−

9 10

=

3·5 + 4·4 − 9·2 20

15 + 16 − 18

=

20

=

13 20

Para hallar el m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, primero las factorizamos. Nos quedamos con cada factor elevado a la mayor de las potencias. Ejemplos: 1. El m.c.m entre

4a2 y 3a es 12 a2 por

lo tanto al sumar

3b 4a

2

+

5 3a

resulta: 3b 4a 2

+

5

=

3a

3b·3 + 4a·5 12a 2

=

9b + 20a 12a 2

2. Para determinar el m.c.m entre 2x+1 y +5=5(2x+1) luego el m.c.m es 5(2x+1) Así:  x + 1

+

5 x − 1

2 x + 1 10 x + 5

=

 x + 1 2 x + 1

+

5 x − 1 5(2 x + 1)

=

10x +5

 x + 1 + 5 x − 1 5(2 x + 1)

primero debemos factorizar 

=

3. De la misma forma para determinar el m.c.m entre factorizar: 1 2r  + 2 s

−

r  − s r 2

+

2rs +  s 2

=

1 2(r  +  s )

−

r  −  s

(r  +  s )2

=

10x

6 x 5(2 x + 1) 2r+2s y r 2+2rs+s2 primero

r  +  s − 2(r  − s ) 2

2(r  +  s )

=

r  +  s − 2r  + 2 s 2

2(r  +  s )

=

debemos

3 s − r  2

2(r  + s )

7 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Ejercicios combinados También al usar álgebra se debe respetar la prioridades de las operaciones. Recordemos que el orden de las operaciones es: primero las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones, y finalmente las sumas y restas. Igual que con los números, este orden se puede alterar al usar paréntesis.

Resolver: 1  x + y

+

3 x+ y

⋅

+

2

 y

=

1 x+ y

+

Primero multiplicamos…

3 2

=

2 + 3·( x + y ) 2 ( x + y)

=

2 + 3x + 3 y 2 ( x + y)

…después sumamos.

8 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones 1.1

e +  f   3e 2

⋅

ef   3e + 3 f  

 

1.2

2a + 2b c + d 

⋅

4c + 4d  a2

+

2ab + b 2

2. Efectúa las siguientes divisiones x+y  x +  y 8 y + 8 x 2.1 ( x + y ) :   2.2   : x-y  x −  y 9 y − 9 x

2.3

(x

  1.3

 x 2

2

+

9x + 18) 5x − 25

x −5

 y 2

⋅

5x + 15

2 xy  x +  y :  x −  y  x −  y +

+

2

2

3. Efectúa las siguientes adiciones o sustracciones 3.1

a2

+

b2

2ab

+

a2

−

b2

2ab

  3.2

1  x −  y

−

 xy  x 2 −  y 2

  3.3

3 2 x 2

−

4 x

+

 x 2  x 2

−

4x + 4

4. Determina el denominador que falta para obtener un enunciado verdadero

5. Paula realizó la siguiente resta El profesor le indicó que había cometido un grave error ¿Cuál es ese error? 6. Determina el numerador que falta para obtener un enunciado verdadero

7. Gerardo y Daniela debían desarrollar la siguiente suma

El mínimo común denominador escogido por Gerardo fue (x – 3) · (3 – x) y Daniela dijo que el denominador común era  x – 3. Como no se pusieron de acuerdo ambos resolvieron el ejercicio con su denominador elegido. a) Calcula el resultado con ambos métodos. ¿Quién tenía razón? b) ¿Quién de los dos crees que se demoró menos en hacer el ejercicio? 8. Se pide evaluar

h −1 h

−

  h − 2    h

−

h − 3 

 para h = 10. Una forma de hacerlo es reemplazar el

h  

valor de h en la expresión y luego resolver. ¡Hazlo! ¿Se te ocurre alguna otra forma de hacer el ejercicio? Si es así verifica que llegas al mismo resultado y ve cuál forma es más rápida.

9 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 4

SISTEMAS DE ECUASIONES LINEALES Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma : a 1x + b1y + c1=0. Por ejemplo, x + 3y = 13. ¿Cuáles son valores de x  e y ? (1, 3) no es una solución de la ecuación, ya que si reemplazamos obtenemos 1 + 9 = 13, que no es una igualdad verdadera. En cambio (4, 3) sí es una solución, ya que al reemplazar obtenemos 4 + 9 = 13, que es verdadero. Pero también (13, 0) es una solución. Y (7, 2) también. De hecho, la ecuación x + 3y = 13 tiene infinitas soluciones. Cuando tenemos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se forma un sistema de ecuaciones: a1x + b1y + c1 = 0  a2 x + b2 y + c2 = 0

Resolver simultáneamente dos ecuaciones significa encontrar los valores de  x  e y  que satisfagan ambas ecuaciones. En esta unidad nos dedicaremos a conocer diversos métodos algebraicos para encontrar la solución, si la hay, de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En general, cualquier sistema puede resolverse mediante cualquiera de los métodos que describiremos, pero en la práctica, dependiendo de la forma que tengan las ecuaciones, será más fácil aplicar un método que los otros. Por ello es bueno dominarlos todos y saber sacarle partido a cada uno. Método de igualación Resolver:

x + 3y = 13 x - 5y = -11

1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.  x = 13 - 3y  x = -11 + 5y

2. Igualamos las ecuaciones antes obtenidas y resolvemos para la variable que queda. 13 - 3y = -11 + 5y -3y - 5y = -11 - 13 -8y = -24 y=3

3. Sustituimos el valor de esta variable en cualquiera de las ecuaciones del punto 1 y obtenemos el valor de la otra variable.  x = 13 - 3·3  x = 4

(Reemplaza el valor de y en la otra ecuación y verifica que obtienes el mismo valor para x) 10 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Método de sustitución Resolver:

2x + y = 17 x - 5y = -30

1. Despejamos una de las variables de una de las ecuaciones y = 17 - 2x

2. Sustituimos en la otra ecuación la expresión encontrada y resolvemos la ecuación para encontrar el valor de la variable.  x - 5(17 - 2x) = -30  x – 85 + 10x = -30 11x = 55  x = 5

3. Sustituimos dicho valor en la ecuación del paso 1 y resolvemos para obtener el valor de la otra variable. y = 17 - 2·5 y = 17 - 10 y=7

Método de reducción Resolver:

2x + 4y = 8 3x - 5y = 1

1. Multiplicamos las ecuaciones de tal forma que en ambas ecuaciones los coeficientes de una de las variables sean iguales en valor y distintos en signo. En nuestro ejemplo multiplicaremos la primera ecuación por 5 y la segunda por 4 10x + 20y = 40 12x - 20y = 4

2. Sumamos las ecuaciones para eliminar esa variable. 22x = 44  x = 2

3. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra variable. 2·2 + 4y= 8 4 + 4y = 8 4y = 4 y=1

11 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Resolución de problemas usando sistemas Diversos problemas se resuelven como aplicación de los sistemas de ecuaciones. Te recomendamos: 1.Leer y comprender el enunciado. 2.Identificar los datos y las exigencias del problema. 3.Determinar las incógnitas y denominarlas con alguna letra, por ejemplo  x  e y . 4.Plantear las ecuaciones traduciendo el lenguaje común a un lenguaje matemático. 5.Formar el sistema y elegir un método para resolverlo 6.Verificar que los valores obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Ejemplo: Si dos ratas de un experimento tienen un peso total de 800 g y una de ellas pesa 200 g más que la otra, ¿cuál es el peso de cada una? Llamemos x e y los pesos de las ratas. Las dos ratas pesan 800 g. Establece la primera ecuación: x + y = 800. Si una de ellas pesa 200 g más que la otra, es lo mismo que decir que la diferencia de sus pesos es 200 g. Tenemos así la segunda ecuación : x - y = 200 Formamos el sistema: x + y = 800 x - y = 200 Escogemos un método. ¿Cuál crees que es el óptimo para este sistema? Elegiremos el de reducción. Creemos que es el más apropiado. ¿Coincidimos? Sumando ambas ecuaciones obtenemos: 2x = 1000, lo que implica que x = 500. Reemplazando en la ecuación x + y = 800 (recuerda que da lo mismo donde reemplaces) obtenemos y = 300. El peso de cada rata es de 500 y 300 g.

12 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. 1.1 Escribe un sistema de ecuaciones que según tú sería más fácil de resolver por igualación. 1.2 Explica por qué la igualación sería el método más fácil de usar. 1.3 Resuelve el sistema por igualación. 2. 2.1 Escribe un sistema de ecuaciones que según tú sería más fácil de resolver por reducción. 2.2 Explica por qué la reducción sería el método más fácil de usar. 2.3 Resuelve el sistema por reducción. 3. 3.1 Escribe un sistema de ecuaciones que según tú sería más fácil de resolver por sustitución. 3.2 Explica por qué la sustitución sería el método más fácil de usar. 3.2Resuelve el sistema por sustitución. 4. Resuelve los siguientes sistemas, utilizando el método que estimes más conveniente 4.1

2x + y = 5 x − y =1

4.2

y =− x 3x − 2 y = 15

4.3

2 x −  y

=

7

3 x − 2 y

=

15

5. En un corral hay sólo gallinas y ovejas. Si hay 60 cabezas y 150 patas, ¿cuántas gallinas y ovejas hay en el corral? 6. En un criadero de perros hay 523 cachorros. Si hay 67 machos menos que hembras, ¿Cuántos hay de cada sexo? 7. Un padre reparte $ 10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $ 2.000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? 8. Me faltan $ 1.600 para poder comprar 10 cuadernos. Si tuviera $ 1.600 menos de lo que tengo alcanzaría justo a comprar 6 cuadernos. Entonces, ¿cuánto dinero tengo? 9. Escribe un problema que se pueda resolver con el sistema: x + 2y = 20 3x + y = 35

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