Fracci Ones

 

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA LA ANTIGUA   NOMBRE DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA GENERAL

TEMA FRACCIONES

PROFESOR: JOSÉ A. MONTEZUMA A.

CÓDIGO: 5679

ENERO – ABRIL  2021

 

CÓMO CALCULAR LA FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD Hallar la fracción de una cantidad es una habilidad útil que puedes utilizar para resolver problemas matemáticos de la vida diaria. Por ejemplo, para hallar un precio con descuento o para determinar la porción de algo (o tiene eness que que saber saber calc calcul ular ar la fr frac acci ción ón de dich dichaa cuánto falta de algo),  ti cantidad. Para resolver este tipo de problemas, tendrás que saber multiplicar una fracción por un número entero o cómo crear una fracción según la información proporcionada. Quizá te parezca que la parte más difícil del proceso es determinar qué es lo que te pide el problema.

MÉTODO  N°1: CALCULAR UNA CANTIDAD MÉTODO N°1: se tedepide hallar la fracción de DETERMINA EL PROBLEMA: PROBLEMA un número entero, se trata de: Cuando un problema multiplicación y tendrás que multiplicar la fracción por el número entero. Busca la palabra clave de . Cuando veas de  en un problema escrito, significa que tienes que multiplicar.

CONV NVIE IERTE RTE EL NÚ NÚME MERO RO ENTE ENTERO RO EN UN UNA A FR FRAC ACCI CIÓN ÓN:: Para CO hacerlo, agrégale el denominador 1. Recuerda que el denominador es el número que se encuentra debajo de la línea divisoria. Recu cuer erda da MULTIPLICA LOS NUMERADORES ENTRE SÍ: SÍ : Re

que que el numerador es el número que se encuentra encima de la línea divisoria.

MULLTI TIPL PLIICA LOS DE DENO NOM MIN INAD ADO ORE RES S ENT NTRE RE SÍ: MU

Colo Co loca ca el

resultado debajo del producto de los numeradores.

SIMPLIFICA LA FRACCIÓN: Para hacerlo, divide el numerador entre el denominador. denominador. De esta manera, obtendrás obtendrás la respuesta respuesta final como un número entero o como un decimal. Si el resultado no es un número

 

entero y necesitas convertir la respuesta en una fracción, tendrás que reducir la fracción, dividiendo el numerador y el denominador entre su máximo factor común.

EJEMPLO N°1:  5

“¿Cuánto es:

6

294

 de:

?"

SOLUCIÓN: 5 6

¿

5

 294

6

1

 x 294=  x

 1470 6

¿ 245

EJEMPLO N°2:  3

“¿Cuánto es:

7

 de:

28

?"

 de:

400

SOLUCIÓN: 3 7

¿

3

 2 8

7

1

 x 28 =  x

 84 7

¿12

EJEMPLO N°3:  “¿Cuánto es:

SOLUCIÓN: 5 8

5

 400

8

1

 x 400=  x

 2000 ¿ 8

¿ 2 50

5 8

?"

 

EJEMPLO N°4:  “¿Cuánto es:

1 9

 de:

9 00

?"

SOLUCIÓN: 1 9

¿

1

  900

9

1

 x 9 00=  x

 900 9

¿ 100

EJEMPLO N°5:  “¿Cuánto es:

2

1 3

 de:

45

?"

 de:

92

?"

SOLUCIÓN: 2

1 3

7

 4 5

3

1

 x 4 5=  x

  315 ¿ 3

¿ 10 5

EJEMPLO N°6:  “¿Cuánto es:

SOLUCIÓN:  2 3 7  92  x 92=  x

7

5

5

1

¿  3404 5

¿ 690.8

EJEMPLO N°7: 

7

 2 5

 

“¿Cuánto es:

11

 3 4

 de:

?"

10 2

SOLUCIÓN: 11

 3 4

 x 102=

 47 4

 x

 102 1

 4794

¿

4

¿ 1198.5

EJEMPLO N°8:  Para ara al alim imen enttar una una masco ascotta comp comprré una una bo bols lsaa de 30 kg de alimento, al día siguiente gasté 2/5 de ella y 3 días después gasté 1/3 de lo que me quedaba. ¿Cuántos kg quedaron? ¿Qué fracción del total me quedó?

SOLUCIÓN: 2 5 1 3

 x 30 =  x 18 =

60 5 18 3

=12 primer día =6 ter tercer cer día 30 kg

12 30

−12 kg −6 kg =12 kg

=2 5

Respuesta: Quedaron 12 kg de alimento y 2/5 fracción del total.

EJEMPLO N°9: 

 

En una Universidad de 1400 estudiantes 1/4 usan lentes y 3/7 de los que usan lentes son mujeres. ¿Cuántos hombres usan lentes? ¿Qué fracción del total son las mujeres que usan lentes?

SOLUCIÓN: 1 4

 x 1400 =

USAN LENTES: =350 usanlentes

1400 4

  3 7

MUJERES CON LENTES:  x 350=

1050 7

=150 mujeres

HOMBRES CON LENTES: −1 50= 2 00

350

FRACCIÓN DE MUJERES CON LENTES: 150 14 140 00

=

 3 28

Respuesta: 200 Hombres usan lentes y 3/28 es la fracción de mujeres con lentes. EJEMPLO N°10:  De los 40 balones de una Universidad. 3/5 son de futbol, 1/4 de baloncesto y el resto de voleibol. ¿Cuántos balones de voleibol hay en un colegio?

SOLUCIÓN: Balones de Futbol: 3 5

 x 40=

1 20 5

  1 4

=24

Balones de Baloncesto:  x 4 0 =

40 4

=10

Resto De Voleibol:

 

40

−34 =6

Hay 6  6 balones de Voleibol. Respuesta: Hay EJEMPLO N°11:  De una pieza de Geotextil para la adecuación de una vía se utilizan 2/9 en el primer km. Luego se utilizó una parte correspondiente a los 5/6 de lo anterior en el km 5. Si aún quedan 80m, ¿cuál era la longitud de la pieza.

SOLUCIÓN: Primer Km: 2 9

 

Cinco Km:

5

6  x 9

= 5 4 = 27

  2 9

Fracción gastada o total de tela: +

 5 27

=

  1

 5

 1 0

 2

+

6 5 27

11 27

Fracción que queda:

− 11 = 27 27

−11

27

   x .

=

= 16 27

Longitud de la pieza:  16 27

=80

 x =80 .  x =

27 16

2160 16

 x =135 m

MÉTODO N°2: MÉTODO  N°2: CALCULAR UNA FRACCIÓN COMPRENDE QUÉ ES LO QUE PIDE EL PROBLEMA:  Cuando se te

pide que digas qué fracción de un número entero es otro número

 

entero, tienes que crear una fracción y reducirla. Busca las palabras clave “fracción de” o “parte de”.

DETERMINA EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR: El numerador es la fracción de la cantidad completa. Por lo general, es el número meno me nor, r,idam pero peente rote. esto es nonomi si siem empr pre er se cu le, , así as que que lee lee el  Busca pr prob oble lema ma de deten tenid amen . to El deno de mina nado dor es cump elmple nú númer mero o í “completo”. las palabras clave “fracción de x ”. La variable x es el denominador. 

SIMPLIFICA LA FRACCIÓN: Para

hacerlo, halla el máximo factor común del numerador y el denominador y divide cada número entre ese factor.

EJEMPLO N°1: 

“¿Qué fracción de 294 es 24 5?"

SOLUCIÓN: 245 294

÷

 49 49

=

5 6

tanto;  245 es 56  de 294 Por lo tanto; EJEMPLO “¿Qué N°2:  fracción de 14 4 es 24?" SOLUCIÓN: 24 14 4

÷

 24 24

=

1 6

tanto;  24 es 16  de 144 Por lo tanto; EJEMPLO N°3:  560

“¿Qué fracción de 

 es

4500

?"

 

SOLUCIÓN: 4500 560

= 450 ÷  2 = 225 56

2

28

tanto;  4500 es Por lo tanto;

225 28

 de 560

EJEMPLO N°4: 

“¿Qué fracción de 84 es 270?"

SOLUCIÓN: 270 84

=

270 84

 6

 45

6

14

÷ =

tanto; 270 es Por lo tanto; 

45 14

 de 84

EJEMPLO N°5: 

“¿De 240 que fracción es de  36 ?"

SOLUCIÓN: 240 36

=

240 36

÷

 1 2 12

=

20 3

Por lo tanto;  tanto; 240 es

20 3

 de 36

MÉTODO N°3: MÉTODO  N°3: ALTERAR UNA CANTIDAD POR UNA FRACCIÓN COMPRENDE QUÉ ES LO QUE PIDE EL PROBLEMA:  Si se te pide determinar cuánto queda de una cantidad, reducir cierta cantidad o hallar un descuento, lo primero que deberás hacer es multiplicar para hallar la fracción o parte y luego restar el resultado de la cantidad entera. Por otro lado, si se te pide hallar cuánto queda luego de añadir unaa frac un fracci ción ón,, prim primer eroo tend tendrá ráss que que mult multip ipli lica carr para para hall hallar ar dich dichaa fracción o parte y luego sumar el resultado a la cantidad entera.

 

DETERMINA EL PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓN: Para

hacerlo, convierte la cantidad total en una fracción colocando el número sobre el denominador 1.

Mult Mu ltip iplilica ca lo loss nu nume mera rado dore ress y de deno nomi mina nado dore ress en entr tree sí sí:: De

est esta

manera hallarás el nuevo numerador y denominador.

SIMPLIFICA LA FRACCIÓN:

Primero divide el numerador entre el denominador para ver si el resultado es un número entero. De lo contrario, tendrás que reducir la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre su máximo factor común. SUMA O RESTA LA FRACCIÓN:  hallada en el paso anterior a la cantidad original. De esta manera hallarás la respuesta final.

EJEMPLO N°1:  “¿si “¿ si tienes 294 y donas 56   del dinero, ¿cuánto te queda?”. SOLUCIÓN: 294 1

 x

 5 6

=

1470 6

¿ 245

Luego: Luego:  294−245=49 nosqueda EJEMPLO N°2:  “¿si “¿ si tienes 45 y recibes 45   del dinero, ¿cuánto te aumenta?”. aumenta?”. SOLUCIÓN: 45 1

 x

 4 5

= 18 0 5

¿ 36

Luego: Luego:  4 5+36=81 deaumento FUNCIONES DE INGRESO

 

Para las Para las empr empresa esass el ingr ingreso eso corr corresp espond ondee a las las ent entrad radas as econó económic micas as o  remuneración que recibe por la venta de bienes y/o servicios . El ingreso no contempla los costos o gastos en que se incurre para obtener este ingreso. Los ingresos se pueden clasificar en:

Ingreso eso Tota Total: l:  Ingr

ing ingreso reso obten btenid idoo por por la vent ventaa de la tot otal aliidad dad de los los

productos.

Ingreso Marginal:  corresponde al ingreso generado por el aumento de la producción en una unidad.

Ingreso Medio:  corresponde al promedio de ingreso por unidad vendida, es decir, es el ingreso total dividido por el total de unidades vendidas. La función tiempo.

de Ingreso  son las ventas obtenidas a lo largo de un periodo de

El ingreso se calcula con la fórmula:  I ( x )= p . x  

donde

 p= precio y x =canti cantidad dad de unidades unidades

FUNCIÓN DE COSTO Por su parte, los costos el sacrificio incurrido produciren bienes y  servicios  . Al igual que los son ingresos, los costos puedenpara clasificarse costos totales, marginales y medios. Por su parte, los costos totales se dividen en dos componentes:

Costos fijos: no varían con la cantidad producida. Derivan del mantenimiento de recursos fijos de producción, que deben pagarse aun cuando la empresa no produzca, por ejemplo, el arriendo de un local o el pago de un seguro contra incendio. Es importante considerar que los costos sólo se comportan como fijos en el corto plazo, dado que a largo plazo todos los costos son variables.

 

Costos variables: son aquellos que varían de acuerdo a la tasa productiva. Por ejemplo, el costo por insumos o materias primas o el uso de energía son vari va riab able less dado dado que que depe depend ndee de la cant cantid idad ad prod produc ucid ida. a. Es impo import rtan ante te diferenciar a los costos de los gastos. Mientras los costos se incurren para prod pr oduuci cirr un bi bien en o ser servici vicio, o, los los gast gastos os son son aquel quello loss dest destin inad ados os a la distribución o venta del producto, y a la administración. Los gastos por tanto no suelen ser atribuidos a un activo en particular. En efecto, no se realizan con el propósito de generar posteriores ingresos, sino que se incurre en los gastos por necesidad. El costo se calcula con la fórmula: C T  ( x ) =C V  . x + C  F  

Donde:

     

C T = costototal . C VV  = cos costode tode variab variables les .

C  F =cos costo to fij fijos os .

. FUNCIÓN DE UTILIDAD

 x =cant cantida idad d de unidad unidades es

La utilidad es la diferencia entre los ingresos y todos los costos y gastos  en  en los cuales se incurrió durante el período. Por tanto, la utilidad y no los ingresos son lo que realmente gana la empresa. Ahora bien, la utilidad también puede ser entendida como la ganancia que se obtiene al vender un producto. Por tanto, no considera los gastos en el cálculo y corresponde a un margen de contribución  por  por producto. Para calcular la utilidad utilizamos la siguiente fórmula: U   (( x )= I ( x )−C ( x )

Donde:

U =uti utilida lidad d.

 

 I =ingreso.

 

C =costo.

 

JEM MPL PLO O N° N°11: Una fábrica que produce cierto artículo deportivo, EJE cono co noce ce que el co cost stoo de prod produc ucci ción ón por por ca cada da un unid idad ad es de B/ 2500. Además, sabe que los costos por el alquiler, recibos mensuales y salarios son de B/1 850 000. Para finalmente vender este producto a un precio de B/8 200 cada unidad. a.) Determine la función que modela los costos. b.) Determine el costo de producir 25 artículos. c.) Si el ingreso es de B/ 2 993 000 ¿Cuántas unidades debe vender la empresa? d.) Cuantas unidades se deben de producir y vender para alcanzar una utilidad de B/ 1 199 500 SOLUCIÓN: C V =2500 C  F =1 8 5 0 0 0 0  P= 8200

a.)

  C T  ( x  x ) =C V  . x + C  F   C T  ( x  x ) =2500 . x + 1 85 850 0 00 000 0

b.)

  C T  ( x  x ) =C V  . x + C  F  C T  (25 )=2500 ( 25 ) + 1 85 850 0 00 000 0= 62500 + 1 85 850 0 00 000 0=1912500

c.)

  I ( x )=2993000 

     

 I ( x )= P . x =8200 x

= 8200 x

2 99 993 3 00 000 0

 x =

2 99 993 3 00 000 0 8200

 x =365

 

d.)

  U   (( x )= I ( x )−C ( x )   U   (( x )=8200 x −(2500 x + 1 850000 850000 )  U  ( ( x )=8200 x −2500 x −1 85 850 0 00 000 0  U  ( ( x )=5 7 0 0 x −1850000

 

1 199500 199500

1 19950 199500 0

=5700 x −1 85000 850000 0

+ 1 85 850 0 00 000 0 =5700 x +

1 199500 199500 1 85 850 0 00 000 0

=5700 x

3049500

 x =

3 049500 049500 5700

 x =535

=5700 x