FOURIER

La trasformata di Fourier 23 maggio 2005

Lezioni di Metodi Matematici per l'Ingegneria - Prof. Giorgio Vergara Caarelli a cura di Pietro Abbati Marescotti

Il presente testo è frutto della raccolta degli appunti del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria di alcuni studenti, rivisti e riorganizzati sotto la guida del prof. Vergara Caarelli. Questo testo è stato creato per gli studenti di Ingegneria ed è liberamente distribuibile.

1

2 In questo testo verranno usate le seguenti notazioni: R campo reale C campo complesso N numeri naturali Z numeri relativi K trasformata integrale F trasformata integrale di Fourier L trasformata di Laplace unilatera L1 (a, b) spazio delle funzioni sommabili nell'intervallo (a, b) L2 (a, b) spazio delle funzioni di quadrato sommabile nell'intervallo (a, b) kf kL1 norma L1 della funzione f (f · g)L2 prodotto scalare L2 delle funzioni f e g

INDICE

3

Indice 1

Trasformazioni integrali e loro inverse

4

2

Serie di Fourier delle funzioni periodiche

5

3

Dalla serie alla trasformata di Fourier

7

4

Prime proprietà della trasformata di Fourier di funzioni sommabili

8

5

Il teorema integrale di Fourier

11

1

1

4

TRASFORMAZIONI INTEGRALI E LORO INVERSE

Trasformazioni integrali e loro inverse

Assegnato un nucleo K(ζ, η)con ζ ∈ B e η ∈ A, cioè una funzione delle due variabili ζ ed η , alla funzione f (η) (originale) associamo F (ζ)(immagine) mediante la formula F (ζ) =

R

trasformate integrali

K(ζ, η)f (η)dη A

Scriveremo: κ(f ) = F e - esplicitando la dipendenza dalle variabili K(f (η)(ζ)) = F (ζ)

Linearità La linearità è una proprietà fondamentale delle trasformazioni integrali: prese delle costanti c1 , c2 e operando con la trasformazione K ) avremo

linearità

K(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 F1 + c2 F2

Trasformata di Fourier Sia f (x) la funzione originale e F (ω) la sua trasformata. Posto B = A = R, x = η , ζ = ω e K(ω, x) = e−iωx avremo +∞

Z

e−iωx f (x) dx

F (ω) = F(f (x))(ω) = −∞

F - trasformata

cioè la denizione di trasformata di Fourier. La trasformata inversa (antitasformata) di Fourier è F −1 (F (ω))(x) =

l v.p. 2π

Z

+∞

e−iωx F (ω)dω

−∞

Trasformate seno e coseno Sia ora, A = R+ . Si deniscono trasformate coseno e seno rispettivamente q R 2 +∞

Fc (ξ) =

π

0

f (x)cosξx dx

e

Fs (ξ) =

q R 2 +∞ π

0

f (x)sinξx dx seno e coseno trasformate

Come trasformate coseno-seno inverse, si ha f (x) =

q R 2 +∞ π

0

Fc (ξ)cosξx dξ

e

f (x) =

q R 2 +∞ π

0

Fs (ξ)sinξx dξ

Nota: Il coeciente moltiplicativo

q

2 π

può essere variato a seconda delle applicazioni, modicando trasformata e antitrasformata.

Trasformata di Laplace unilatera La trasformata di Laplace è denita dalla formula +∞

Z

e−st f (t)dt

F (s) = Lf (t)(s) = 0

essendo A = R+ e B ⊂ C con K(s, t) = e−st La formula di inversione della trasformata di Laplace è: L−1 (F (s))(t) =

1 2πi

Z

c+i∞

c−i∞

F (s)est ds

2

5

SERIE DI FOURIER DELLE FUNZIONI PERIODICHE

2

Serie di Fourier delle funzioni periodiche

Sia f (x) = fT (x) una funzione periodica di periodo T che, per semplicità, supporremo in L2 (− T2 , T2 ). 1 Poniamo v = 2π T che chiameremo (impropriamente) frequenza e quindi ovviamente kv (per k = 1, 2, 3, ...) sono le frequenze multiple della fondamentale. Vediamo ora il signicato dello sviluppo in serie di Fourier: fT (x) = a0 +

∞ X

Rappresentazione di fT (x)nella serie delle funzioni trigonometriche

[ak cos(kvx) + bk sen(kvx)]

k=1

che fornisce la rappresentazione di fT (x) nella serie di armoniche successive delle funzioni periodiche elementari (funzioni trigonometriche).

Sistema ortogonale in L2 (−T /2, +T /2) e coecienti di Fourier [1, cos(kvx), sen(kvx)]

sistema ortogonale in

Il sistema

L2 (−T /2, T /2)

[1, cos(kvx), sen(kvx)] (k ∈ N)

è ortogonale in L2 (−T /2, +T /2) e i coecienti di Fourier della funzione fT (x), per k ∈ N

a0 =

1 T

R +T /2 −T /2

f (x)dx

ak =

2 T

R +T /2 −T /2

f (x)cos(kvx)dx

bk =

2 T

R +T /2 −T /2

f (x)sen(kvx)dx

si possono ricavare dalle componenti di fT (x)∈L2 (−T /2, +T /2) nel sistema ortonormale associato Infatti la lunghezza dei vettori del sistema ortogonale è: +T /2

Z k1kL2 (−T /2,+T /2) = (

1dx)1/2 =

√ T

−T /2

e, per k ≥ 1 si hanno +T /2

kcos(kνx)kL2 (−T /2,+T /2)

Z =(

ksen(kνx)kL2 (−T /2,+T /2)

Z =(

Pertanto l'associato sistema

ortonormale



−T /2

eikνx + e−ikνx 2 ) dx)1/2 = ( 2

+T /2

−T /2

eikνx − e−ikνx 2 ) dx)1/2 = ( 2i

r

T 2

r

T 2 sistema ortonormale e componenti di f (x)

in L2 (−T /2, T /2) è

√1 T

cos(kvx) sen(kvx)

, √

T /2

, √

T /2



.

E' possibile quindi denire le componenti di fT (x) mediante i prodotti scalari: 1 1 (f · √ )L2= √ T T 1 in

Z

+T /2

f (x)dx −T /2

realtà noi stiamo considerando la pulsazione che dierisce dalla frequenza per un fattore di scala di 2π

2

6

SERIE DI FOURIER DELLE FUNZIONI PERIODICHE

1 cos(kνx) q )L2= q

Z

sen(kνx) 1 (f · q )L2= q

Z

(f ·

T 2

f (x)cos(kνx)dx

T 2

T 2

+T /2

−T /2

+T /2

f (x)sen(kνx)dx

T 2

−T /2

Da queste espressioni nasce il signicato geometrico dei coecienti della serie di Fourier a0 ,ak ,bk , quali componenti di fT (x) nel sistema ortogonale costituito dalle funzioni trigonometriche

Serie di Fourier complessa La serie di Fourier complessa può esprimersi tramite gli esponenziali complessi: f (x) =

∞ X

ck eikνx

k=−∞

avendo posto ν = 2π T ed intendendo la serie bilatera da sommarsi simmetricamente in [-n,n]. Essendo per k = h, Z

+T /2

eiv(k−h)x dx = (eivkx eivhx )L2 = T

−T /2

altrimenti per k 6= h, Z

+T /2

eiv(k−h)x dx = (eivkx · eivhx )L2 = 0

−T /2

possiamo dire che 

ed inoltre essendo

eikvx (k ∈ Z)

è un sistema ortogonale in

L2 (−T /2, T /2)

ikνx √

e

2 = T . (k ∈ Z) L (−T /2,+T /2)

icoecienti di Fourier complessi ck risultano dati da: ck =

1 T

Z

+T /2

f (x)e−ivkx dx

−T /2

in quanto le componenti di fT nel sistema ortonormale sono eikνx 1 (f (x), √ )L2 = √ T T

Z

+T /2

f (x)e−ivkx dx

−T /2

Il collegamento con la serie di Fourier reale si ricava dalle relazioni (che scriveremo per k ≥ 0): ck eikvx + c−k e−ikvx = = ck cos(kvx) + ick sen(kvx) + c−k cos(kvx) − ic−k sen(kvx) =

ortogonalità degli esponenziali complessi

3

7

DALLA SERIE ALLA TRASFORMATA DI FOURIER

= (ck + c−k )cos(kvx) + i(ck − c−k )sen(kvx)

cioè a0 = c0 (per k = 0), e per k ≥ 1

ak = ck + c−k e bk = i(ck − c−k )

da cui segue

ak −ibk 2

ck =

e c−k =

ak +ibk 2

,

Se f (x)è reale allora tra i coecienti della serie trigonometrica e della serie esponenziale valgono le identità ak = 2Re(ck ) e bk = −2Im(ck ) ed inoltre i coecienti della serie esponenziale di indice opposto sono coniugati, cioè ck = c−k

per cui c0 ∈ R. Una condizione analoga sarà trovata per la trasformata di Fourier delle funzioni reali.

3

Dalla serie alla trasformata di Fourier

Per collegare serie e trasformata di Fourier prendiamo la funzione f (x) ∈ L1 (−∞, +∞), la restringiamo in (− T2 , T2 ) e poi la prolunghiamo per periodicità in R indicandola con fT (x). Scriviamo lo sviluppo in serie di Fourier complessa come:

fT (x) =

Z +∞ 1 X ivk x +T /2 [e f (t)e−ivk t dt]∆v 2π −T /2 k=−∞

(avendo posto vk = kv , per k ∈ Z e ∆ν = 2π T ). Ora passiamo al limite per T → ∞. Essendo ∆ν = 2π T la lunghezza degli intervallini della decomposizione di R, costruita dagli (inniti) punti vk = k 2π T per k in Z per analogia con la somma integrale arriviamo così alla formula di inversione della trasformata di Fourier: f (x) =

1 2π

Z

+∞

[eivx

−∞

Z

+∞

f (t)e−ivt dt]dv

−∞

2 +∞ −iwx e f (x)dx, vediamo perchè la formula dell'antitraformata fornisce l'analisi armonica Posto F (w) = −∞ del segnale aperiodico f (x).

R

Analisi armonica delle funzioni non periodiche Poniamo a(w) =

R +∞

f (x)cos(ωx)dx (funzione pari di ω )

2 Nota:

−∞

e

b(w) =

R +∞ −∞

f (x)sen(ωx)dx

(funzione dispari di ω )

l'antitrasformata di Fourier di funzioni L1 [R] (o L2 [R])va intesa come valor principale dell 'integrale, come si vedrà in seguito.

4

PRIME PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI

8

Essendo e−iwx = cos(ωx) − isen(ωx) risulta allora F (w) = a(ω) − ib(ω)

e la formula dell'antitrasformata f (x) = 1 f (x) = 2π

1 2π

Z

eiwx F (ω)dω diviene

R +∞ −∞

+∞

[a(ω)cos(ωx) + b(ω)sen(ωx)]dω −∞

cancellando gli integrali delle funzioni dispari in ω perchè non danno contributo. Essendo le funzioni integrande entrambe pari in ω , tale formula si può scrivere come f (x) =

1 π

R +∞

[a(w)cos(wx) + b(w)sen(wx)]dw

0

che ricorda da vicino l'analisi armonica di funzioni periodiche di periodo T : f (x) =

dove vk =

2π T k

P∞

k=0

[ak cos(vk x) + bk sen(vk x)]

sono le frequenze discrete multiple della fondamentale v =

2π T

.

Trasformata di Fourier delle funzioni reali Proposizione

L'originale f (x) è una funzione reale se e solo se la sua trasformata F (ω) verica F (ω) = F (−ω) f(x) reale m F (w) = F (−w)

DIM Se f (x) è reale, cioè f (x) = f (x), dalla denizione Z +∞ F (ω) = e−iωx f (x)dx −∞

segue coniugando: Z

+∞

e−iωx f (x)dx = F (ω)

F (−ω) = −∞

Viceversa se F (ω) = F (−ω) dalla formula dell'antitrasformata si ha 1 f (x) = 2π

Z

+∞ −iωx

e −∞

1 F (ω)dω = 2π

Z

+∞ −iωx

e −∞

1 F (−ω)dω = 2π

Z

+∞

0

eiω x F (ω 0 )dω 0 = f (x)

−∞

avendo posto nell'integrale ω = −ω 0

4

Prime proprietà della trasformata di Fourier di funzioni sommabili

Continuità della trasformata • Proposizione 1

Se la funzione f (x) è sommabile in R, allora la

sua trasformata a

Z

+∞

F (w) = −∞ è continua in

ω

cioè

F (w) ∈ C 0 (R).

e−iwx f (x)dx

Se f (x) ∈ L1 (R) allora F (w) ∈ C 0 (R).

4

PRIME PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI

9

: la funzione integranda e−iwx f (x) è continua in ω per q.o. x ∈ R ed inoltre esiste una maggiorante sommabile indipendente da w avendosi |e−iwx f (x)| = |f (x)|. La dimostrazione segue quindi dal teorema di Lebesgue di passaggio al limite sotto il segno di integrale:

Dim

+∞

Z

−iwx

e

lim

w→w0

+∞

Z f (x)dx =

−∞

lim e−iwx f (x)dx = F (w0 )

−∞ w→w0

Limitatezza della trasformata • Proposizione 2

Se la funzione data è sommabile, allora la sua trasformata F (w) e risulta

è limitata in

R, e risulta 1 f (x) ∈ L (R) ∞ =⇒ F (w) ∈ L (R) ∞ =⇒ F (w) ∈ L (R)

kF kL∞ (R) ≤ kf kL1 (R) 3

Dim

: si ha Z

+∞

e−iwx f (x)dx| ≤

|F (w)| = | −∞

Z

+∞

|e−iwx f (x)|dx =

−∞

Z

+∞

|f (x)|dx −∞

da cui la tesi. Quindi, dalle proposizioni 1 e 2 segue che la F -trasformata muta funzioni sommabili (cioè assolutamente integrabili) in funzioni continue e limitate, ossia: F :L1 (R)→C 0 (R) ∩ L∞ (R)

Continuità in L1 (R) delle traslazioni Per vedere ora un'ulteriore proprietà delle F -trasformate delle funzioni sommabili, premettiamo un risultato sulle traslazioni: Per una funzione f (x) di L1 (R) si denisce la traslata fh (x) ∈ L1 (R) come fh (x)=f (x − h) 1 Resta allora denito un operatore τh :L (R)→L1 (R), cioè da L1 (R) in sè ponendo: τh (f )(x)=f (x − h) 1 Teorema sulla continuità in L (R) delle traslazioni (senza dimostrazione) Se la funzione f (x) è sommabile in R, allora lim kτh (f ) − f kL1 (R) = 0

h→0

cioè Z

+∞

|f (x) − f (x − h)|dx = 0

lim

h→0

−∞

Comportamento all'innito delle F -trasformate Lemma di Riemann-Lebesgue

Dimostriamo ora il seguente il seguente Lemma di Riemann-Lebesgue sul comportamento all'innito delle F -trasformate di funzioni sommabili: Lemma

la traslazione non modica la sommabilità

continuità in L1 (R) delle traslazioni

4

PRIME PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI

Se la funzione f (x) è sommabile (cioè f (x) ∈ L1 (R)), allora posto,

10 f ∈ L1 (R) =⇒ lim|w|→+∞ F (w) = 0

Z

+∞

e−iwx f (x)dx

F (w) = −∞

risulta lim F (w) = 0

w→∞

Dim.:

Si noti che essendo −1 = e−iπ possiamo riscrivere la trasformata di Fourier come Z

+∞

π

e−iw(x+ w ) f (x)dx

F (w) = − −∞

e quindi posto x0 = x + wπ risulta Z

+∞

π )dx0 w

0

e−iwx f (x0 −

F (w) = − −∞

dove la variabile di integrazione x0 puo ridenotarsi x. Sommando membro a membro le due espressioni della trasformata di Fourier si ricava: Z

+∞

e−iwx [f (x) − f (x −

2F (w) = + −∞

π )]dx w

per cui Z

+∞ −iwx

2|F (w)| ≤

|e −∞

π [f (x) − f (x − )]|dx = w

Z

+∞

|f (x) − f (x − −∞

π )|dx w

La proposizione resta quindi dimostrata per il teorema di continuità delle traslazioni in L1 (R)

Estensioni A questo punto facciamo due osservazioni che portano a due corollari di questo lemma: Corollario 1

Il lemma vale anche su di un intervallo

(a, b) ⊂ R.

Infatti data g(x) ∈ L (a, b), si può considerare il prolungamento di tali funzioni su tutto R: ponendo f (x) = g(x) per x ∈ (a, b) e f (x) = 0 per x ∈/ (a, b) e si ha Z Z 1

b

+∞

e−iωx g(x)dx =

a

e−iωx f (x)dx

−∞

con, ovviamente, f (x) ∈ L1 (R). 3 Si

ricorda che kf kL1 (R) =

R +∞ −∞

|f (x)|dx e che kF kL∞ (R) =supw∈R |F (w)|

estensione del lemma alle funzioni sommabili in [a, b]

5

11

IL TEOREMA INTEGRALE DI FOURIER

Corollario 2

Si può sostituire

eiωx

con

sen(ωx)

cos(ωx).

o

Data sempre g(x) ∈ L (a, b) reale, si ha: 1

b

Z

b

Z

e−iωx g(x)dx =

b

Z cos(ωx)g(x)dx − i

sen(ωx)g(x)dx a

a

a

che sappiamo tendere a 0 per w → ∞. Ma allora separando parte reale da parte immaginaria segue si ha: Z Z +∞

+∞

|w|→∞

5

g(x)sen(wx) = 0

g(x)cos(wx)dx = lim

lim

|w|→∞

−∞

−∞

Il teorema integrale di Fourier

La formula di inversione della F -trasformata Scriviamo correttamente la formula di inversione come: f (x) = v.p.

cioè

1 f (x) = 2π

Z

+A iwx

lim

A→+∞

e −A

Z

1 2π

formula di inversione

+∞

eiwx F (w)dw

−∞

Z

1 F (w)dw = 2π

+A iwx

lim

A→+∞

+∞

Z

e−iwt f (t)dt

dwe −A

−∞

Scambiando gli integrali per il teorema di Fubini, si ha -dalle formule di Eulero: 1 f (x) = 2π

+∞

Z

Z

lim

A→+∞

+A iw(x−t)

f (t)dt

e

−∞

−A

1 dw = π

Z

+∞

lim

A→+∞

f (t) −∞

senA(x − t) dt x−t

E ponendo t − x = v , ossia t = v + x, perveniamo alla formula di inversione: +∞

Z

1 π

f (x) =

lim

f (v + t)

A→+∞

−∞

senAv dv v

che domostreremo nelle cosiddette ipotesi di Dirichlet. Nota:

Nel senso degli integrali impropri la formula di inversione può anche scriversi come f (x) =

1∗ π

Z

+∞

Z

+∞

f (t)cos[w(x − t)]dt

dw −∞

0

Infatti tale formula di inversione si ottiene direttamente dalla formula dell'antitrasformata: 1 v.p. f (x) = 2π

Z

+∞ iwx

Z

+∞

dwe −∞

osservando che risulta

−iwt

e −∞

1 f (t)dt = v.p. 2π

Z

+∞

Z

−∞

eiw(x−t) = cos[w(x − t)] + isen[w(x − t)]

e che la funzione di ω

Z

+∞

w −→

+∞

dw

sen[w(x − t)]f (t)dt −∞

essendo dispari, non dà contributo al valor principale dell'integrale.

−∞

eiw(x−t) f (t)dt

5

12

IL TEOREMA INTEGRALE DI FOURIER

Funzioni regolari a tratti Consideriamo le seguenti ipotesi Condizioni di Dirichlet (funzioni regolari a tratti)

Le condizioni di Dirichlet sono le seguenti: 1. La funzione f (x)è denita continua e derivabile eccezion fatta, in ogni intervallo limitato, per un numero nito di punti. 2. Dove non sono continue f (x)e f 0 (x) hanno salti 3. Viene poi supposta f (x) ∈ L1 (R). Poniamo limx→x0 −f (x) = f (x0 − 0) e limx→x0+ f (x) = f (x0 + 0) Teorema

Nelle condizioni di Dirichlet, risulta 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] = 2

1 π

R +∞ 0

R +∞

dw

−∞

1 π

f (t)cos[w(x − t)]dt =

Z

+∞

lim

A→+∞

f (x + v) −∞

Dim

Calcoliamo Z

+∞

lim

A→+∞

f (x + v) −∞

sen(Av) dv v

Possiamo scrivere: Z

+∞

+∞

Z

f (x + v) − f (x − 0) sen(Av) dv + f (x − 0) v −1

Z

−∞

sen(Av) dv = v

Z

−1

sen(Av) dv + v

f (x + v)

f (x + v) −∞

0

Z

Z

1

sen(Av) 0

f (x + v) − f (x + 0) dv + f (x + 0) v

f (x + v) 1

0

−1

Z 0

Ora si noti che per v → 0− si ha f (x + v) − f (x − 0) → f 0 (x − 0) v

e che per v → 0+ si ha f (x + v) + f (x + 0) → f 0 (x + 0) v

sen(Av) dv+ v

sen(Av) dv+ v

+1

sen(Av) dv v

senAv dv v

5

13

IL TEOREMA INTEGRALE DI FOURIER

Mentre se |v| ≥ 1 allora | v1 | ≤ 1 è limitata. Pertanto quando A tende a +∞ i quattro integrali −1

Z

f (x + v) −∞

sen(Av) dv v

+∞

Z

f (x + v) 1

0

Z

sen(Av)

f (x + v) − f (x − 0) dv v

sen(Av)

f (x + v) − f (x + 0) dv v

−1

1

Z

sen(Av) dv v

0

per il lemma di Riemann-Lebesgue tendono a zero. Nei due restanti col cambiamento di variabile ξ = Av si ha 1

Z lim f (x + 0)

A→+∞

0

senAv dv = lim f (x + 0) A→+∞ v

Z

senAv dv = lim f (x − 0) A→+∞ v

Z

A

senξ dξ ξ

0

senξ dξ ξ

0

ed, analogamente, Z

0

lim f (x − 0)

A→+∞

−1

da cui la tesi, essendo4 Z

0

−∞

4 gli

senξ dξ = ξ

Z 0

integrali devono essere intesi come impropri convergenti

∞

senξ π dξ = ξ 2

−A