Fourier Media Onda
August 30, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Series de fourier para Rectificador de media onda
→
→
Definición de algunas ecuaciones comunes en electrónica
ClearAll w,f,T 1 f= ; T velocidad = w == 2 *f;
π
Analizamos la onda sabemos que media onda pertenece a la función f(x) = VmSen(wx) y la otra medio onda pertenece a la función f(x) = 0 F ( x )
VmSin((wx VmSin wx))
=
0
0≤ x ≤
T
T
x
T
2
≤ ≤
2
Remplazamos T en términos de w
periodo = Solve velocidad,T [[1,1]] (1/2) *#& / /@ @periodo
→ 2w π T → π
T
2
w
F ( x )
=
VmSin((wx VmSin wx))
0
0≤ x ≤ π w
π w
≤ x ≤ 2w π
La serie de Fourier puede ser representada como f ( x ) =
a0
2
+ ∑∞ nCos((nwx nwx)+ )+b n=1 anCos
n
Sen Sen((nwx nwx))
Cálculo de Coeficientes: Coeficiente a0 : a0 =
∫ f x ⅆ x T 0
2 T
( )
Reescribimos en términos de w
π
2
a0 =
2 2
w
π
0
∫
w
f ( x)
π
2
x
w
0
ⅆ ⩵ π ∫
w
f ( x)
ⅆ
x
Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula,
2
fourier media onda.nb
0 ≤ x ≤ ≤
Vm Si Sin n(wx wx)) ,
π w
ClearAll[vm,w,x] π w w a0 = vm Si Sin n[w x] x
ⅆ
π 0
2 vm
π
Coeficiente an : an =
2 T
∫ f (x) Cos (nwx) ⅆ x T 0
Reescribiendo en términos de w an =
π
2 w
π ∫
2w 2
0
f ( x) Cos ( nwx)
ⅆ x ⩵ π ∫ π f (x) Cos (nwx) ⅆ x w
2 w
0
Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula, Vm Si Sin n(wx wx)) , 0 ≤ x ≤ ≤ π w ClearAll[vm,w,x,n]
π w
an = w
] Cos[n w x] x//Simplify
[
Sin n w x π vm Si
ⅆ
0
π
vm 1 + Cos[n ] - n2
π
π
Análisis de la función Cos[n π ]
Fori 0,i 5,i Cleari Clear i =
π
++,Print "e "el l pa para ra n =",i ",i," ," Cos(n ) = ",Cos i*Pi
<
π Cos Cos(nπ)
el para para n=0 Cos Cos(n ) = 1 el para para n=1 =
(
= -1
) =
ππ Cos Cos(nπ)
el par para a n 2 Cos Cos n 1 el para para n=3 Cos Cos(n ) = -1 el para para n=4
= 1
Podemos notar que para cada n par el Cos(n podemos entoces remplazar Cos(n an = -
(-1)n π ) por - (-1
π .Cos n π → 1 n π
vm (1+Cos[n
(-1+n) ( + )
1 + - 1 vm - 1 + n 1 + n π 1+n
]) ]) //
[
π ) es igual a 1 y para cada n impar el Cos (n π ) = -1
]
-(-1)
n
fourier media onda.nb
Clear[n,vm,w] -(-1+n)(1+n)//Expand
1
1 π
+(-1)1+n vm
an =
-n2
1 - n2 1+n
1 + -1 1 - n2
π vm an esta definida por para todo n != 1 1 1 vm 1 π + -
1+n 2
-n
an = ?
≠1
n
n
= 1
Calculando la indeterminación para n = 1
π
w
ⅆ
Sin n w x π vm Si
a1 =
w
[
] Cos[1 w x] x//Simplify
0
0 1+(+(-1 1)1+n vm 1-n2 π
an = 0
≠1
n
n=1
Coeficiente bn : bn =
2 T
∫ f (x) Sen (nwx) ⅆ x T
0
Reescribiendo en términos de w bn =
2 T
T
w
0
π
2 w
∫ f (x) Sen (nwx) ⅆ x ⩵ π ∫
0
f ( x) Sen ( nwx)
ⅆ x
Como la función esta definida a trozos, integramos solo donde la función no es nula, Vm Si Sin n(wx wx)) , 0 ≤ x ≤ ≤ π w
π w
bn = w
Sin n w x π vm Si [
ⅆ
] Sin[n w x] x
0
π
vm w Sin[n ] w - n2 w
π
Análisis para Sen(2nπ )
Fori 0,i 5,i Cleari Clear i =
<
π
++,Print "e "el l pa para ra n =",i ",i," ," Sen(n ) = ",Sin i*Pi
3
4
fourier media onda.nb
π Sen Sen(nπ) Sen Sen(nπ) Sen Sen(nπ) Sen Sen(nπ)
el para para n=0 Sen Sen(n ) = 0 el para para n=1 el para para n=2 el para para n=3 el para para n=4
= 0 = 0 = 0 = 0
podemos notar que para cada valor de n el el sen(nπ ) = haciendo que la componente b n = 0 bn = 0
0
Calculando la indeterminación para n = 1
π
w
ⅆ
Sin n w x π vm Si
b1 =
w
[
] Sin[w x] x
0
vm 2 bn =
0vm 2
≠
n 1 n=1
Finalmente tenemos que: 0 ∞=1 anCos f ( x ) = a + ∑n nCos((nwx nwx)+ )+b 2
n
a0
f = f2 =
vm
Sen Sen((nwx nwx))
+a1 Cos[w x]+b1 Sin[w x]
2 a0 2
+a1 Cos[w x]+b1 Sin[w x]+
∞ a Cos n w x n
]+bn Sin[n w x]
[
n=2
1
π + 2 vm Sin[w x] vm 1 ⅈ ⅈ ⅈ ⅈ ⅈ π - 4 π ⅇ ⅈ vm 1 + ⅇ ⅈ + Log ⅈ1 - ⅇ -ⅈ ⅇ Logⅈ1 - ⅇ - 1 + ⅇ + ⅇ Logⅇ - 1 + ⅇ + Log1 + ⅇⅈ Logⅇ ⅇ ⅈ Log1 + ⅇⅈ - Logⅇ ⅈ 1 + ⅇⅈ + ⅇ ⅈ Logⅇ ⅈ 1 + ⅇⅈ + 12 vm Sin[w x] - w x
2 w x
- w x
2 w x
w x
w x
w x
2 w x
2 w x
- w x
- w x
para una amplitud de 5 y una frecuencia de 1
w x
w x
w x
2 w x
w x
- w x
w x
fourier media onda.nb
5
w = 2* Pi * 1; vm = 5;
10 Plot π
Show
5
π ⩵ ⩵
Sin[2 x], {x, 0, 2} , 2 ContourPlot {x 1,x 2}, x,0,3Pi ,{y,-1, 4},ContourStyle +
6
→Dashing 0.01 ,Red [
]
5
4
3
2
1
0.5
1.0
vmPi , hasta,0,50
Manipulate Show Plot {
+
vm 2
1.5
Sin[w x]+
2.0
n vm hasta 1+(-1) Cos[n w x],{x,0,2} ,ContourPlot {x 1,x 2}, Pi n=2 1-n2
}
hasta
1.0
0.5
0.5
-0.5
-1.0
1.0
1.5
2.0
⩵ ⩵
6
fourier media onda.nb
hasta
1.0
0.5
0.5
-0.5
-1.0
1.0
1.5
2.0
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