Fotogrametría analítica (1)

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA

Integració i sèries

Aprenentatge de Càlcul - 2

El presente texto surge con la intención de presentar conjuntamente la teoría y la práctica del desarrollo fotogramétrico analítico y la obtención de cartografía base a partir de los resultados. La idea inicial es que un estudiante de cualquier ingeniería, licenciatura o arquitectura que incorpore la fotogrametría en su currículum pueda disponer de un texto que contenga, de forma fácilmente accesible, toda la información técnica acerca de los métodos matemáticos implicados, necesaria para comprender, estudiar y aplicar los procesos fotogramétricos en la obtención de un modelo del terreno y la generación de cartografía base a partir de éste. El texto se estructura alrededor de un ejemplo práctico, obtenido de un caso real, de manera que la introducción de los diferentes conceptos teóricos siempre va acompañada de su correspondiente aplicación. Los cálculos están desarrollados con el programa Maple para ilustrar la utilidad de los programas de cálculo simbólico en procesos en los que es preciso realizar cálculos analíticos y numéricos. Se incluyen además anexos con información sobre las transformaciones de coordenadas que intervienen en los diferentes procesos descritos y sobre el método de los mínimos cuadrados. Asimismo se incluye un breve glosario de los términos técnicos utilizados.

Fotogrametría analítica

Buill - Núñez - Rodríguez

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AULA POLITÈCNICA / EUPB

Felipe Buill - M. Amparo Núñez Juan José Rodríguez

Fotogrametría analítica

Felipe Buill es Licenciado en Geografía e Ingeniero Técnico en Topografía y M. Amparo Núñez es Ingeniero en Geodesia y Cartografía e Ingeniero Téc-nico en Topografía; ambos pertenecen al Depar-tamento de Ingeniería del Terreno, Cartográfica y Geofísica de la UPC. Juan José Rodríguez es Doctor en Física y profesor del Departamento de Matemática Aplicada I de la UPC. Todos ellos imparten docencia en la Escola Universitària Politècnica de Barcelona (EUPB), en la titulación de Ingeniería Técnica Topográfica, con responsabilidad en asignaturas de las áreas de la fotogrametría, la cartografía y los métodos matemáticos, respectivamente.

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AULA POLITÈCNICA 79

Fotogrametría analítica

AULA POLITÈCNICA / EUPB

Felipe Buill - M. Amparo Núñez Juan José Rodríguez

Fotogrametría analítica

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La presente obra fue galardonada en el noveno concurso "Ajut a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.

Primera edición: febrero de 2003

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

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Los autores, 2003

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Edicions UPC, 2003 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected]

Producción:

CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-4843-2003 ISBN: 84-8301-671-0 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

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Introducción

Introducción El presente texto surge con la idea de introducir el proceso de producción cartográfica mediante métodos fotogramétricos. Para ello se presentan conjuntamente la teoría y práctica del desarrollo fotogramétrico analítico y la obtención de cartografía base a partir de los resultados. En esencia, se entiende por fotogrametría el conjunto de técnicas, instrumentales y matemáticas, que permiten obtener coordenadas tridimensionales de un objeto, a partir de la información bidimensional extraida de una o varias fotografías. Por lo tanto, es evidente que en este proceso deben intervenir, de forma fundamental, varios tipos de transformaciones de semejanza, afines, proyectivas,... del plano, del espacio y entre el plano y el espacio. En la mayoría de los textos de fotogrametría estas transformaciones se consideran conocidas por el lector. Sin embargo, al considerar transformaciones pertenecientes a ramas diferentes de la matemática o, más concretamente de la geometría (euclídea, afín, proyectiva,...), para estudiarlas es necesario recurrir a varios textos y, en la mayoría de los casos, con un tratamiento poco adecuado para las aplicaciones o, como mínimo, poco práctico. Por otra parte, todas estas transformaciones dependen de un cierto número de parámetros (ángulos de giro, factores de escala, vectores de traslación,...) cuyos valores deberán estimarse, mediante el método de los mínimos cuadrados, a partir de un cierto número de puntos de control de los que conocemos sus coordenadas en ambos sistemas. En general, también ocurre que en los tratados de fotogrametría este método matemático se supone conocido. En este caso tampoco es fácil encontrar un texto que explique el método desde un punto de vista práctico y con un mínimo de, no ya rigor, sino detalle matemático; se puede encontrar en algunos tratados de topografía, GPS o fotogrametría (Mickail, Leick, Slama, Chueca, Lerma,...). De ahí la idea de que un estudiante de cualquier ingeniería, licenciatura o arquitectura que incluya la fotogrametría en su currículum pueda disponer de un texto en el que se encuentre, de forma fácilmente accesible, toda la información, tanto técnica como referente a los métodos matemáticos implicados, necesaria para comprender, estudiar y aplicar los procesos fotogramétricos en la obtención de cartografía base. Para ello, y a fin de que el desarrollo de los diferentes métodos matemáticos implicados no interfiera en el discurso propiamente fotogramétrico, éstos se han incluido en dos apéndices. Uno dedicado a transformaciones geométricas y otro al método de los mínimos cuadrados. La ventaja de que ambos temas estén incluidos en el mismo texto es la unidad de notación y que, por ejemplo, las transformaciones ya se dejan formalmente preparadas para la correspondiente estimación paramétrica mediante los diferentes métodos de mínimos cuadrados. Pero lo más importante no es la coherencia entre los diferentes apéndices matemáticos, sino la coherencia entre éstos y los capítulos

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

fotogramétricos. Así por ejemplo, en cada paso del proceso fotogramétrico en el que aparezca una estimación por mínimos cuadrados, la unificación de lenguaje obligará a dejar claro las variables que se consideran observacionales y las que se consideran como parámetros y qué tipo de ajuste se va a hacer en consecuencia, cuál es el correspondiente modelo matemático y, en su caso, qué modelo estocástico se considera. La estructuración del texto se desarrolla entorno a un ejemplo práctico que servirá como hilo conductor para el tratamiento teórico de los conocimientos necesarios. Cada una de las etapas del proceso se resolverá numéricamente. Siempre que sea interesante, se utilizarán diferentes métodos y se compararán las soluciones alcanzadas. Los cálculos se realizarán mediante el programa MAPLE y así, además, se ilustrará la utilidad de los programas de cálculo simbólico de altas prestaciones en trabajos donde hay que hacer cálculos algebraicos y analíticos además de numéricos. A lo largo del texto las entradas de datos y comandos a este programa se pueden identificar porque se encuentran en una tipografía diferente (courier). El ejemplo desarrollado tiene como objeto conseguir una cartografía a escala 1/1000 de una zona residencial a partir de fotogramas a escala 1/5000, mediante el proceso fotogramétrico de restitución numérica digital, con los condicionantes habituales en este tipo de trabajo. Además de los dos apéndices matemáticos ya comentados, nos ha parecido oportuno introducir un glosario relativo al vocabulario técnico relacionado con la fotogrametría, en el que aparece una lista de términos acompañados de una pequeña definición. Para concluir queremos agradecer a todas las personas que nos han ayudado en la elaboración de este libro, en especial a la Oficina técnica de cartografía y SIG local de la Diputación de Barcelona, al laboratorio de cartografía y teledetección y al laboratorio de fotogrametría de la Escuela Universitaria Politécnica de Barcelona, por la cesión de los fotogramas y datos empleados como base del ejemplo desarrollado. Igualmente agradecer a Ricard González Almuzara y Moises Martín Betancor por las ideas y sugerencias aportadas.

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Índice

Indice Introducción ..............................................................................................................................7

1

La fotogrametría ...........................................................................................................11

1.1 1.2 1.3

Evolución histórica ......................................................................................................................12 Aplicaciones fotogramétricas ......................................................................................................13 Generación de cartografía............................................................................................................15

2

Toma de datos................................................................................................................19

2.1 2.2 2.3 2.4

Datos de campo. Puntos de control y toma de fotografías...........................................................19 Datos de gabinete. Medida de coordenadas fotográficas.............................................................21 Transformaciones bidimensionales de coordenadas....................................................................24 Ejemplo........................................................................................................................................25

3

Refinamiento de coordenadas fotográficas.................................................................47

3.1 3.2 3.3 3.4

Influencias de la lente de la cámara métrica ................................................................................48 Refracción atmosférica ................................................................................................................49 Esfericidad terrestre.....................................................................................................................50 Ejemplo........................................................................................................................................52

4

Restitución analítica......................................................................................................57

4.1

Orientación ..................................................................................................................................58 4.1.1 Orientación interna...........................................................................................................58 4.1.2 Orientación externa ..........................................................................................................58 Método de los dos pasos ..............................................................................................................59 4.2.1 Orientación relativa..........................................................................................................59 4.2.2 Cálculo de las coordenadas modelo .................................................................................61 4.2.3 Orientación absoluta.........................................................................................................62 Ejemplo........................................................................................................................................63

4.2

4.3

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10

4.4

4.5

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Método de un paso.......................................................................................................................75 4.4.1 Orientación.......................................................................................................................76 4.4.2 Restitución .......................................................................................................................76 Ejemplo........................................................................................................................................77 4.5.1 Cálculo simultáneo de los 12 parámetros de orientación .................................................78 4.5.2 Restitución: cálculo de coordenadas terreno....................................................................83

5

Análisis comparativo.....................................................................................................87

5.1

5.2

Evaluación del error.....................................................................................................................87 5.1.1 Método de los dos pasos ..................................................................................................87 5.1.2 Método de un solo paso....................................................................................................92 Conclusiones................................................................................................................................97

6

Obtención, edición y explotación cartográfica ...........................................................99

6.1 6.2 6.3

Fase de restitución .....................................................................................................................100 Revisión de la restitución...........................................................................................................101 Fase de edición ..........................................................................................................................103 6.3.1 Edición de la altimetría ..................................................................................................104 6.3.2 Edición de la planimetría ...............................................................................................105 Toponimia..................................................................................................................................106 6.4.1 Obtención de los topónimos...........................................................................................106 6.4.2 Rotulación ......................................................................................................................107 Compilación cartográfica...........................................................................................................109 Explotación cartográfica............................................................................................................109

6.4

6.5 6.6

Bibliografía............................................................................................................................113

Glosario..................................................................................................................................115

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas................................................................121 A.1 A.2

Transformaciones de semejanza y afines ..............................................................................121 Transformaciones proyectivas...............................................................................................136

Apéndice B. El método de los mínimos cuadrados ............................................................147 B.1 B.2

Método general de los mínimos cuadrados ...........................................................................147 Método de las observaciones indirectas o de las ecuaciones de observación........................149

Indice de figuras....................................................................................................................155

Indice alfabético....................................................................................................................157

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La fotogrametría

1 La fotogrametría En el planeamiento y ejecución de muchos trabajos técnicos es necesario conseguir un modelo tridimensional del terreno donde se ubica el trabajo o del objeto que se quiere estudiar. En ocasiones es posible definir este modelo únicamente con un número limitado de puntos, pero muchas veces, como es el caso de la cartografía, se necesita información espacial detallada y precisa de un área que puede llegar a ser muy amplia. Este tipo de cartografía se puede apoyar en trabajos topográficos habituales, como son los levantamientos taquimétricos mediante instrumentos y métodos convencionales, o bien utilizando técnicas y métodos más modernos, como son los efectuados con los receptores GPS. Sin embargo, el empleo de estos métodos está limitado, en general, a superficies de pequeña extensión y a escalas grandes, puesto que se trata de trabajos que conllevan un amplio consumo de recursos técnicos y humanos, y un plazo de ejecución largo. La fotogrametría presenta una alternativa muy ventajosa por su capacidad para conseguir un resultado de calidad, con costes más bajos y en un periodo de tiempo considerablemente menor. Por todo ello hace ya muchas décadas que se emplea en los servicios cartográficos de todo el mundo. Según la Sociedad Internacional de Fotogrametría y Teledetección (ISPRS) la fotogrametría se define como: “Photogrammetry and Remote Sensing is the art, science, and technology of obtaining reliable information from noncontact imaging and other sensor systems about the Earth and its environment, and other physical objects and processes through recording, measuring, analyzing and representation”. (ISPRS, 2000). En otras palabras, la fotogrametría es la técnica que consigue información métrica fiable a partir de fotogramas, y cuya principal característica proviene, pues, de su fuente de información, la fotografía. Frecuentemente la fotogrametría se clasifica en dos categorías según el tipo de fotografía o sensor empleado. Cuando los fotogramas se toman desde la superficie terrestre se denomina fotogrametría terrestre, y si se obtienen a partir de una cámara o sensor situado en un avión, se denomina fotogrametría aérea. Otras clasificaciones que podemos encontrar son las que se establecen en función del sensor o método empleado. En este caso podemos hablar de: estereofotogrametría (par de fotogramas), fotogrametría monoscópica (usando fotografías independientes), radargrametría (radar), holografía (hologramas), fotogrametría submarina, videogrametría (cámara de vídeo), teledetección, fotogrametría espacial (sensor instalado en vehículos espaciales),...

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1.1

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Evolución histórica

La fotogrametría es utilizada como técnica de medición desde mediados del siglo XIX, incluso antes de la invención de la fotografía. Existen antecedentes, como el uso de perspectivas dibujadas, en levantamientos de planos entre los siglos XVII y XVIII. En 1850 Laussedat, ingeniero militar francés, utilizó por primera vez la fotogrametría para la obtención de cartografía, comenzó dibujando panorámicas del terreno, primero a mano, después con cámara clara, y finalmente con fotografías, para más tarde en gabinete poder determinar por intersección gráfica la situación de los puntos. A esta idea le da el nombre de iconometría y metrofotografía cuando comienza a utilizarla con fotografías. Simultáneamente Meydenbauer, arquitecto alemán, realiza numerosos levantamientos fotogramétricos de monumentos en Alemania con una cámara diseñada por él. El termino fotogrametría se debe a él, y desplazó al término metrofotografía acuñado por Laussedat. Fundó en 1885 el instituto Messhildansat, que se ocupó en la Alemania del Reich del catálogo de monumentos históricos efectuando miles de fotogramas (más de 76000), que sirvió para su posterior reconstrucción después de las guerras mundiales. En 1858 el francés Gaspar Felix Tournachon (Nadar) realizó algunas tomas fotográficas desde un globo cautivo con propósitos culturales. Los primeros trabajos fotogramétricos desde el aire se efectuaron en el periodo comprendido entre 1861 y 1865 desde un globo cautivo en la guerra civil americana. En 1890 en Austria el coronel Scheimpflug estableció los principios de rectificación y los principios para las tomas de fotografías, desarrollando con su teoría el aprovechamiento de los recubrimientos fotográficos tomados desde el aire a intervalos regulares. Con sus estudios descubrió que sólo son necesarios tres puntos para la resección, iniciando la metodología para los aparatos de doble proyección. La aplicación de los estereocomparadores marcó el inicio de la alta precisión en la fotogrametría, suprimiendo la dificultad de obtener puntos homólogos. Carl Pulfrich en 1901 diseña el estereocomparador (precursor de los instrumentos de fotogrametría analítica). Sin embargo, la complejidad del cálculo fotogramétrico numérico requirió la aparición de los instrumentos analógicos. Durante la primera guerra mundial se perfeccionaron las cámaras aéreas para reconocimiento y los métodos de navegación para aplicaciones fotogramétricas, diseñándose cámaras específicamente para estos fines (cámaras automáticas que no necesitasen la intervención del operador, siendo manejadas directamente por el piloto) y cambiando el diseño de placas de vidrio por película fotográfica. El perfeccionamiento de los instrumentos derivará hacia el restituidor de aplicación universal. En 1930 aparece el primer aparato de diseño español construido por Kern conocido como Ordovas-Kern Photocartograph. A partir de esta época aparecen numerosas soluciones analíticas a la resección, orientación, intersección, rectificación y aerotriangulación. En 1947 el British Ordenance Survey utiliza la aerotriangulación como sistema operacional de forma enteramente manual. A mediados de los años 50 se desarrolla la aerotriangulación analítica con pasadas y bloques.

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La fotogrametría

Helava, trabajando en el National Research Council de Canadá, anunció su concepto de restituidor analítico en la conferencia de 1957. A partir de este momento y fundamentalmente en la década de los 70 se desarrollan numerosos instrumentos para este fin, se mejoran monocomparadores, estereocomparadores y restituidores analíticos de mediana y alta precisión, así como equipos de producción de ortofotografía. Se desarrollan programas de restitución asistida, medición automática, correlación, programas de aerotriangulación... que permiten mejorar el rendimiento del equipo de restitución tradicional. La informática permitió transformar la imagen analógica (soporte flexible) en digital y tratarla como en un proceso analítico tradicional. El primero en desarrollar un restituidor digital fue Helava en la década de los 80, resolviendo informáticamente el problema de la epipolarización para la visión estereoscópica y adicionando al equipo nuevas posibilidades como son la correlación (para disminuir el trabajo del operador), la rectificación y la ortofotografía digital (para eliminar el equipo mecánico de rectificación), el tratamiento digital de la imagen y las técnicas de teledetección. El desarrollo de las técnicas fotogramétricas está derivando en la actualidad hacia cálculos más complejos de correlación y aerotriangulación de múltiples fotogramas, detección de formas para la restitución automática, reduciendo la influencia del operador y aumentando la producción.

1.2

Aplicaciones fotogramétricas

La fotogrametría es un procedimiento de medida general que puede ser utilizada en multitud de ciencias y técnicas para aplicaciones de todo tipo, pero es en las aplicaciones topográficas y en la elaboración de mapas y planos donde se encuentra su principal interés. Es por esta causa por la que generalmente se clasifican las aplicaciones fotogramétricas en dos grupos, las aplicaciones topográficas (cartográficas) y las no topográficas. Aplicaciones topográficas En los trabajos topográficos, el uso de la fotogrametría presenta ventajas considerables, como son la sustitución del trabajo de campo por trabajo de gabinete, la posibilidad de trabajar por líneas continuas con lo que se consigue una mayor precisión y homogeneidad, poder tomar todo tipo de terreno... Hablaremos de aplicaciones topográficas en el caso terrestre y aéreo. Las primeras aplicaciones fotogramétricas fueron efectuadas en el caso terrestre; frente a la fotogrametría aérea presenta grandes inconvenientes como son el hecho de que la precisión obtenida no es homogénea (puede variar mucho la distancia a los puntos en una misma fotografía y el error es función directa de la distancia) y puede llevar a realizar levantamientos incompletos, puesto que los detalles anteriores tapan a los posteriores. Sin embargo, y a pesar de estos inconvenientes, es muy valiosa para levantamientos de pequeña extensión teniendo, además, la ventaja de posibilitar la toma de los parámetros externos directamente y, en segundo lugar, encontramos que los restituidores y programas de cálculo con los que se trabajan son más sencillos. La fotogrametría aérea permite obtener imágenes de zonas muy amplias sin que se produzca, como en el caso de la fotogrametria terrestre, la ocultación de elementos (a excepción de aquellas que están tapadas por elementos como árboles, cornisas, balcones...); además, al mantenerse la altura de vuelo constante en todos los puntos, el levantamiento resulta homogéneo. El caso fotogramétrico aéreo se caracteriza por ser el único procedimiento posible para el levantamiento de grandes extensiones, característica que puede compartir en un futuro próximo con nuevas técnicas de medición como es el uso del láser escáner aéreo. Como única desventaja tenemos que la determinación de los parámetros

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

externos de orientación se ha de realizar en la mayoría de los casos de forma indirecta, mediante el empleo de puntos de apoyo. En la actualidad se empiezan a utilizar cámaras aéreas de formato digital junto a dispositivos que permiten obtener los parámetros de orientación. Aplicaciones no topográficas Las aplicaciones no topográficas son cada vez más numerosas y variadas y, como en el caso topográfico, es la única posibilidad de conocer la forma y dimensiones de los objetos en algunas ocasiones, como es por ejemplo en el caso de estudios en fluidos y gases. El caso terrestre se utiliza para el estudio de la forma y dimensiones de objetos diversos para aplicaciones de: -

arquitectura y arqueología ingeniería civil medicina y cirugía estudios industriales escultura ...

Fig. 1.1 Fotogrametría arquitectónica. Isometría de la Plaça del Rei - Barcelona

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La fotogrametría

En el caso de objetos en movimiento lento, para comparar a intervalos de tiempo grande, se utiliza en: - deformación de estructuras (presas, puentes...) - movimiento de glaciares - inestabilidad de taludes - ... Para el caso de movimiento rápido o muy rápido es el único sistema factible, como por ejemplo: - dinámica de fluidos (corrientes, olas...) - aeronomía y meteorología (nubes, corrientes ionosféricas...) - balística (movimiento de proyectiles y su efecto) Una vez realizada esta pequeña introducción a la fotogrametría, vamos a centrar el problema a desarrollar: generación de cartografía base por medios fotogramétricos.

1.3

Generación de cartografía

El problema que se va a tratar en este manual es el de la generación por medios fotogramétricos de cartografía base 3D y topológica, de modo que pueda ser empleada directamente en sistemas de información geográfica (SIG). Es decir, se trata de describir y estudiar el proceso que conduce a la producción de cartografía a partir de la cobertura fotográfica del terreno mediante un sistema de fotogramas a la escala adecuada. Este proceso consta de diferentes fases.

Fig. 1.2 Cobertura fotográfica y modelos a restituir

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

1) Sobre el objeto a cartografiar, que genéricamente llamaremos terreno, aunque puede ser de otro tipo según las aplicaciones, será necesario calcular, si no se dispone de ellas, las coordenadas de un mínimo número de puntos, llamados de apoyo o de control, imprescindibles para estimar el valor de los diferentes parámetros que modulan las transformaciones de coordenadas que intervienen en el proceso. 2) Sobre los fotogramas hay que considerar varios aspectos que conducirán a la obtención de las llamadas coordenadas fotográficas o coordenadas imagen, en un sistema definido por ciertos elementos característicos de la placa fotográfica, las marcas fiduciales y el punto principal. Hay que efectuar el cambio de unas coordenadas, que llamaremos comparador, en un sistema arbitrario, a coordenadas fotográficas, con el proceso de estimación paramétrica correspondiente, y también hay que corregir las coordenadas fotográficas de una serie de errores tales como la deformación del material fotográfico, la refracción o las aberraciones ópticas en el sistema de lentes. Si el proceso de medición de coordenadas cliché es digital, habrá que atender a las características de la digitalización para la escala cartográfica final. Este proceso es lo que conocemos por refinamiento de fotocoordenadas. 3) Una vez se han obtenido las coordenadas fotográficas del conjunto de puntos considerado, hay que establecer el sistema para su transformación a coordenadas terreno. Ello incluye definir las transformaciones de coordenadas adecuadas, efectuar la estimación paramétrica correspondiente (ángulos de giro, vectores de traslación, factores de escala...), mediante el método de los mínimos cuadrados aplicado a modelos matemáticos que atienden a las principales relaciones existentes (condición de coplaneridad o condición de colinealidad) entre las coordenadas de un punto del terreno y las de su representación en el fotograma. O(X0, Y0, Z0) SISTEMA DE COORDENADAS IMAGEN

Z f

x

a (x, y)

y

A(X, Y, Z) Y SISTEMA DE COORDENADAS TERRENO

X

Fig. 1.3 Relación entre los sistemas de coordenadas fotográficas y terreno

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La fotogrametría

Condición de colinealidad: un punto del fotograma, su homólogo en el terreno y el centro de proyección han de pertenecer a una misma recta. Esta condición es propia del punto y la fotografía a la que pertenece (Fig. 1.3). Condición de coplanaridad: en un modelo estereoscópico, cuando se dispone de dos fotogramas de la misma zona, un punto del terreno se localizará en la intersección de dos rayos proyectivos. Para que esta intersección se produzca, ambos rayos deben estar contenidos en el mismo plano (Fig. 1.4).

Z

Y

X S1

b

bz by S2

a1 a2

A

Fig. 1.4 Condición de coplanaridad

4) El proceso de restitución, o cálculo de las coordenadas terreno del conjunto de puntos considerado, se efectuará mediante el método de los mínimos cuadrados donde las variables observacionales son las coordenadas fotográficas de los puntos homólogos, en los diferentes fotogramas de que se dispone. Durante este proceso y para facilitar y automatizar la posterior elaboración de la cartografia se han de definir los elementos que serán representados y la codificación de los mismos. 5) La compilación cartográfica es la fase final, para la cual habrá que definir la tabla de simbología a utilizar, así como la recogida y revisión toponímica de la zona en estudio (Fig. 1.5).

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Fig. 1.5 Compilación de las minutas, una vez editadas, para obtener la cartografía

Todos estos procesos se ilustrarán mediante un caso práctico real que se desarrollará a lo largo de todos los capítulos, a partir del cual se irá realizando la exposición teórica de los métodos empleados. El caso que vamos a desarrollar es la obtención de cartografía 3D topológica (de modo que pueda ser empleada directamente en un Sistema de Información Geográfica) a escala 1/1000, para lo cual se dispone de 6 fotogramas de formato 23 cm x 23 cm, dispuestos en dos pasadas consecutivas, con tres fotogramas cada una, de un vuelo a escala 1/5000. El solape longitudinal es de un 60% y el recubrimiento transversal de un 30%. Los puntos de control, fueron observados mediante GPS empleando receptores bifrecuencia y método estático, y sus coordenadas se consideran fijas. Para la determinación de los parámetros de la cámara se dispone del certificado de calibración de la misma con una focal de 153.09 mm.

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Toma de datos

2 Toma de datos Como se ha comentado en la introducción, cuando se trabaja con superficies de gran extensión y/o de geometría compleja y/o de difícil acceso, la técnica más efectiva para obtener un modelo tridimensional es la fotogrametría, en la que se sustituyen las acotaciones efectuadas en el terreno por medidas efectuadas en fotografías. Sin embargo, este tipo de trabajo requiere también de algunos detalles del terreno identificables en las fotografías y cuyas coordenadas en un sistema terrestre sean conocidas. Son los llamados puntos de control. En el desarrollo del proceso fotogramétrico existen, pues, dos fases bien diferenciadas aunque relacionadas entre sí. La primera es la fase de trabajo en campo, que consiste en la obtención de las fotografías del objeto del que se pretende levantar un modelo tridimensional y en algunas medidas efectuadas sobre éste. En una segunda fase se obtiene la geometría de este objeto mediante cálculos a partir de medidas efectuadas sobre los fotogramas y de las efectuadas sobre el terreno en la fase anterior. Así pues, el proceso de toma de datos se puede resumir en: 1. Toma de datos en campo - fotografías - medida de algunos elementos 2. Toma de datos en gabinete - medidas en las fotografías - restitución de los elementos a cartografiar Sólo trataremos los datos referentes a las medidas directas sobre fotografias dejando el tema de la restitución en un capítulo aparte.

2.1

Datos de campo. Puntos de control y toma de fotografías

Los puntos de apoyo o control son puntos de los que se conocen sus coordenadas terreno (planimétricas y/o altimétricas) y que son perfectamente identificables en los fotogramas, por lo que se pueden obtener sus coordenadas imagen fácilmente (Fig. 2.1). Para la obtención de las coordenadas terreno de estos puntos tradicionalmente se ha empleado métodos de topografía clásica (triangulación, poligonación, radiación, nivelación...), aunque cada vez más se trabaja con sistemas de posicionamiento global (GPS).

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Existen dos métodos para tomar los puntos de apoyo. El primero, llamado de preseñalización, consiste en la colocación de unas dianas o señales en el campo de las que se determinan sus coordenadas antes de efectuar el vuelo. El segundo método sería la toma de puntos después de efectuado el vuelo, para lo cual se buscan en los fotogramas puntos claramente identificables, y posteriormente se determinan sus coordenadas en campo. Este método es el más empleado por los organismos y empresas españolas.

12-23 12-23

Fig. 2.1 Fotograma y detalle de punto de control

Generalmente no coinciden el punto de estación topográfica y el punto de control, debido a que lo que se presenta como un buen punto de campo para poder estacionarse y visar a otras estaciones topográficas es un mal punto de control. En ocasiones se obtiene de puntos diferentes las coordenadas planimétricas y la altimétrica por los mismos motivos, lo que es un buen punto planimétrico puede ser un mal punto altimétrico, y viceversa, como pasa en el caso de utilizar para este fin un cruce de caminos, un poste telefónico o un quiebro de valla. Con el fin de que estos puntos queden perfectamente identificados, se ha de efectuar una reseña para cada uno de ellos, con un croquis de acceso y una fotografía. Además, si el vuelo está ya efectuado, se ha de marcar el punto en el fotograma. Como se verá cuando se trate el problema de la estimación de parámetros, para cada fotografía se han de dar como mínimo tres puntos (pero es aconsejable dar un mínimo de cuatro puntos), con imágenes nítidas e identificables en los fotogramas. A fin de conseguir una buena determinación de los parámetros externos de orientación, estos puntos deben estar situados en el mayor triángulo que se pueda tomar, sin acercarse demasiado a los bordes del fotograma para evitar problemas de distorsión (de 1 a 2 cm del borde del fotograma). Al conjunto total de puntos de control se le denomina canevás de restitución. En el caso de efectuar aerotriangulación a estos puntos de apoyo así calculados, se les conoce por puntos de control menor (canevás de apoyo menor).

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21

Toma de datos

En cuanto a la toma de fotografías, debido a que los trabajos fotogramétricos aéreos se efectúan para extensiones de terreno grandes, es necesario efectuar varios fotogramas de la zona que cubran toda el área de trabajo. Estos fotogramas deben tener un recubrimiento común en sentido longitudinal y transversal para unir varias pasadas (Fig. 2.2). Generalmente las pasadas se efectúan en dirección esteoeste, aunque en ocasiones siguen una dirección distinta marcada por algún accidente del terreno (por ejemplo una línea divisoria de montañas) o una obra lineal construida o proyectada.

FOTOGRAFÍA 1

FOTOGRAFÍA 2

PASADA 1 RECUBRIMIENTO LONGITUDINAL

PASADA 2 RECUBRIMIENTO TRANSVERSAL

Fig. 2.2 Esquema de cobertura fotográfica de dos pasadas con dos fotografías

2.2

Datos de gabinete. Medida de coordenadas fotográficas

Todo método fotogramétrico está basado en alguna medida efectuada sobre fotografías. Normalmente estas medidas se refieren a un sistema cartesiano de referencia y las coordenadas se miden sobre el plano imagen. A estas coordenadas se les conoce por coordenadas cliché, coordenadas comparador, coordenadas fotográficas, fotocoordenadas, coordenadas placa o coordenadas imagen (Fig. 2.3).

Y y

P x

X

0

Fig. 2.3 Sistema de coordenadas comparador, X, Y, y de fotocoordenadas, x, y

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22

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

En la práctica, la medida directa de las coordenadas fotográficas en un sistema cartesiano propio del fotograma no es factible, debido a que no están esgrafiados sobre el fotograma los ejes y no disponen de sistema de medición incorporado, por lo que se han de medir y referir estas acotaciones a un sistema exterior y, posteriormente, relacionarlo con el sistema fotográfico.

Fig. 2.4 Coordenadas fiduciales

Actualmente los sistemas utilizados en la medida de las coordenadas fotográficas son todos de tipo analítico y digital; utilizando como documento a medir el negativo o diapositiva fotográfica directamente, en el caso de un comparador analítico (monoscópico o estereoscópico), o copia en papel, en caso de digitalizador manual, o mediante digitalización, del original o copia en papel, utilizando un escáner. Estas medidas servirán para relacionar los puntos de la imagen entre ellos. En todos los casos lo que nos interesa es relacionar los detalles fotográficos con un sistema de coordenadas fotográficas fijo y de geometría conocida. Los aparatos que se utilizan para esta medición se denominan comparadores. Se dividen en dos grupos según su forma de observación: -

monocomparadores, con visión monocular o binocular de una sola fotografía estereocomparadores, con observación binocular de dos fotografías (con estereoscopía)

Un monocomparador es un sistema con un plano, capaz de girar y desplazarse respecto de un sistema cartesiano de referencia, en el que se monta el fotograma con los puntos a medir. El sistema de observación binocular dispone de una marca de referencia que debe ser ajustada sobre el detalle para poder efectuarse la lectura. Los estereocomparadores disponen de un sistema binocular que permite observar las dos fotografías que forman par, con cada ocular una fotografía, de manera que se puede tener visión estereoscópica y de esta manera asegurar que los dos puntos están correctamente observados a un mismo tiempo.

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Toma de datos

Fig. 2.5 Bloque fotográfico. Caso arquitectónico.

También se pueden efectuar lecturas sobre fotografías en papel digitalizando los puntos sobre una mesa o tableta digitalizadora, tomando como marca de referencia el punto esgrafiado en el mouse. Generalmente este tipo de lectura se efectúa sobre fotografías ampliadas a gran escala.

Fig. 2.6 Medición de coordenadas de una imagen digital

En el caso de disponer de imagen digital, el proceso es similar al caso de medida sobre comparador. La única diferencia es que el aparato de medición se sustituye por la propia imagen digital, de manera que es la celda la que muestra tanto información cualitativa (nivel de gris o color) como información cuantitativa (fila, columna) (Fig. 2. 6). Sin embargo, y pese al avance producido por la técnica digital, la mayor parte de las fotografías aéreas se realizan con cámaras fotográficas analógicas y emulsión sobre soporte estable que necesitan ser escaneadas en laboratorio para poder obtener una imagen en formato digital.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Después de medir las coordenadas cliché hemos de tener en cuenta los posibles desplazamientos que pueden haber sufrido como consecuencia de ciertos factores que afectan a la métrica, como pueden ser la deformación del material fotográfico o efectos del escaneado y la toma de datos digital. El proceso de estimación de los parámetros de la transformación bidimensional que permitirá el cambio de coordenadas cliché a fotocoordenadas incluye la amortiguación de éstas deformaciones.

2.3

Transformaciones bidimensionales de coordenadas

Las transformaciones más usuales para pasar del sistema de coordenadas cliché al sistema de fotocoordenadas son la transformación bidimensional de semejanza, la transformación afín, la transformación bilineal, la proyectiva y la expresada mediante polinomio de orden n. En el apéndice dedicado a transformaciones de coordenadas se puede encontrar un análisis detallado de todas ellas. El hecho de utilizar un tipo de transformación u otro está motivado por diversas razones, como es el número de marcas fiduciales que se conocen, que permitirán estimar un número máximo de parámetros, la propia resolución de la imagen o el tipo de cámara y escáner utilizados, que obligarán a corregir algún tipo concreto de deformaciones. Así, por ejemplo, la transformación bidimensional de semejanza, conocida también por transformación de Helmert, se debe emplear solamente cuando la calidad del fotograma y el sistema de medición aseguren una deformación homogénea. Transformación bidimensional de semejanza

ax  by  g bx  ay  h

x' y'

(2.1)

Depende de 4 parámetros. Necesita, por tanto, al menos, de dos puntos identificables en la fotografía y conocidos en ambos sistemas. Se compone (ver apéndice) de una traslación del origen de coordenadas, un factor de escala idéntico para los dos ejes y una rotación. Transformación bidimensional afín

ax  by  g cx  dy  h

x' y'

(2.2)

Depende de 6 parámetros. Necesita, por tanto, al menos, de tres puntos identificables en la fotografía y conocidos en ambos sistemas. Se compone (ver apéndice) de una traslación del origen de coordenadas, un factor de escala diferente para cada eje, una corrección de ortogonalidad y una rotación. Transformación bidimensional bilineal

ax  by  exy  g cx  dy  fxy  h

x' y'

(2.3)

Depende de 8 parámetros. Necesita, por tanto, al menos, de cuatro puntos identificables en la fotografía y conocidos en ambos sistemas. A los parámetros a, b, c, d, g y h se les pueden dar el mismo significado que en la transformación afín. El hecho de tener dos parámetros más puede permitir modular mejor algún tipo de deformación, aspecto que se trata en el ejemplo desarrollado.

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Toma de datos

Transformación proyectiva

ax  by  g ex  fy  1 cx  dy  h y' ex  fy  1

x'

(2.4)

Depende de 8 parámetros. Necesita, por tanto, al menos, de cuatro puntos identificables en la fotografía y conocidos en ambos sistemas. A los parámetros a, b, c, d, g y h se les pueden dar el mismo significado que en la transformación afín. El hecho de tener dos parámetros más puede permitir modular mejor algún tipo de deformación relacionada con la transformación entre dos planos, a través de un punto que actúa como centro de proyección. De una forma más general, una transformación bidimensional se puede expresar como un polinomio de orden n, de la forma: x ' a0  a1 x  a2 y  a3 xy  a4 x 2  a5 y 2  ...  am x n  am y n y ' b0  b1 x  b2 y  b3 xy  b4 x 2  b5 y 2  ...  bm x n  bm y n

(2.5)

Para una correcta evaluación geométrica de una imagen digital se ha de procurar calcular los parámetros del mayor número posible de las transformaciones anteriormente mencionadas mediante el método de ajuste por mínimos cuadrados, y analizar a posteriori cuál de ellas ofrece los mejores resultados.

2.4

Ejemplo

En el caso desarrollado se conocen ocho marcas fiduciales de una cámara métrica de 9 pulgadas de formato (23 cm), escaneadas con una resolución de 15 micrómetros, lo que supone aproximadamente unos 1700ppp, con un escáner plano fotogramétrico. Para cada fotograma se dispone de las coordenadas comparador (en pixeles) y de las coordenadas fotográficas calibradas (en mm) de las ocho marcas fiduciales. Se dispone de 6 fotografías correspondientes a dos pasadas (Fig. 2.7): pasada 18, fotogramas 24 a 26 y pasada 19, fotogramas 32 a 34. Las coordenadas comparador de 8 marcas fiduciales se presentan en la tabla 2.1: Tabla 2.1 Coordenadas comparador de las marcas fiduciales (en pixeles) mf 1 2 3 4 5 6 7 8

Foto 18_24 X Y 6810.2 7168.7 6993.6 -6961.9 -7139.6 -7145.6 -7322.3 6985.5 7168.0 106.6 -69.1 -7320.4 -7496.7 -83.6 -259.2 7343.8

Foto 18_25 X Y 6809.7 7150.8 6965.8 -6976.6 -7166.3 -7134.8 -7321.6 6995.3 7153.8 89.1 -97.2 -7322.4 -7509.7 -72.6 -258.5 7340.1

Foto 18_26 X Y 6822.9 7127.5 6954.9 -6700.0 -7177.9 -7133.5 -7308.8 6996.8 7155.3 66.0 -108.5 -7333.3 -7508.8 -70.5 -245.3 7329.6

Foto 19_32 X Y 6802.8 7168.9 6964.4 -6961.5 -7167.9 -7123.2 -7328.9 7007.5 7149.9 107.1 -97.5 -7307.9 -7514.3 -60.7 -266.0 7355.5

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Foto 19_33 X Y 6838.9 7159.7 6979.8 -6971.4 -7153.4 -7110.8 -7292.6 7019.6 7175.6 97.4 -83.9 -7307.2 -7488.6 -48.0 -229.4 7356.4

Foto 19_34 X Y 6780.3 7163.5 6967.9 -6967.4 -7163.9 -7154.3 -7350.9 6975.3 7140.3 101.7 -94.1 -7326.7 -7523.0 -92.9 -288.5 7335.9

26

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Las fotocoordenadas de las marcas fiduciales en la placa fotográfica coinciden en todos los fotogramas y quedan recogidas en la tabla 2.2: Tabla 2.2 Fotocoordenadas de las marcas fiduciales (en mm)

1 2 3 4 5 6 7 8

X 106.004 -106.001 -106.004 106.005 0.003 -110.002 0.001 110.004

Y -106.006 -106.001 106.006 106.004 -109.997 0.001 110.001 0.003

Se ha de prestar especial atención en la correcta correspondencia entre las marcas fiduciales que aparecen dibujadas en el certificado de calibración y las marcas fiduciales de los fotogramas empleados.

Fig. 2.7 Cobertura fotográfica aérea

Obsérvese, por los signos de las coordenadas que, aunque generalmente las imágenes digitales tienen su origen de coordenadas en el centro del pixel superior izquierdo, en este caso este origen está desplazado al centro de la imagen (Fig. 2.8).

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27

Toma de datos

0/0

0/0

Fig. 2.8 Sistemas de coordenadas cliché

El proceso a seguir con cada uno de los fotogramas es el siguiente: 1) Calcular los parámetros de la transformación de coordenadas cliché a fotocoordenadas para diferentes tipos de transformación. En nuestro caso se hará para transformaciones bidimensionales de semejanza, afín, bilineal y proyectiva. Se considerarán como variables observacionales y, por tanto, variables aleatorias, las coordenadas cliché. En el proceso de estimación paramétrica por mínimos cuadrados se empleará el método de las observaciones indirectas donde las ecuaciones de observación serán las ecuaciones de las diferentes transformaciones. Supondremos todas las observaciones con la misma desviación tipo y, por tanto, matriz de pesos identidad. 2) Escoger la transformación que mejor se adapta al caso en cuestión a partir del análisis estadístico de los resultados. A continuación se desarrolla el cálculo detallado para el fotograma 26, empleando el programa MAPLE. Para el resto de los fotogramas se mostrarán únicamente los resultados finales. Se carga la librería de álgebra lineal que nos permite hacer cálculos matriciales de manera cómoda: > with(linalg):

Observación: por defecto, MAPLE hace los cálculos con 10 dígitos, que son suficientes para las cifras que se manejan en esta fase de los cálculos. Sin embargo, cuando se muestran los resultados, éstos se suelen evaluar, una vez calculados, con el número de dígitos adecuado para cada caso.

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28

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

a) Introducción de datos Se introducen los datos para cada fotografía, comunes a todas las transformaciones: Se producirán 2 ecuaciones por cada una de las marcas fiduciales empleadas > nmf:=8:ne:=2*nmf:

Coordenadas de las marcas fiduciales, en pixeles, capturadas de la imagen digital > v[1]:=vector(2,[ 6822.9, 7127.5]): v[2]:=vector(2,[ 6954.8, -7000.0]): v[3]:=vector(2,[-7177.9, -7133.5]): v[4]:=vector(2,[-7308.8, 6996.8]): v[5]:=vector(2,[ 7155.3, 66.0]): v[6]:=vector(2,[ -108.5, -7333.3]): v[7]:=vector(2,[-7508.8, -70.5]): v[8]:=vector(2,[ -245.2, 7329.6]):

Fotocoordenadas de las marcas fiduciales en mm > vt[1]:=vector(2,[ 106.004, -106.006]): vt[2]:=vector(2,[-106.001, -106.001]): vt[3]:=vector(2,[-106.004, 106.006]): vt[4]:=vector(2,[ 106.005, 106.004]): vt[5]:=vector(2,[ 0.003, -109.997]): vt[6]:=vector(2,[-110.002, 0.001]): vt[7]:=vector(2,[ 0.001, 110.001]): vt[8]:=vector(2,[ 110.004, 0.003]):

Términos independientes del sistema lineal sobredeterminado: fotocoordenadas de las marcas fiduciales. Es el mismo para todas las transformaciones. > U:=convert(stackmatrix(seq(vt[i],i=1..nmf)),vector):

b) Cálculos para las diferentes transformaciones: b-1) Transformación de semejanza bidimensional

ax  by  g bx  ay  h

x' y'

Depende de los 4 parámetros (a, b, g, h). Para su estimación se parte del modelo matemático lineal

§ x1 y1 1 0 · § x '1 · ¨ y x 0 1 ¸ § a · ¨ y ' ¸ 1 ¨ 1 ¸¨ b ¸ ¨ 1 ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸¨ g ¸ ¨ ¸ ¨ xk yk 1 0 ¸ ¨¨ h ¸¸ ¨ x 'k ¸ ¨ y x 0 1 ¸ © ¹ ¨ y ' ¸ k © k ¹ © k¹

(2.6)

en el que se consideran como variables observacionales las fotocoordenadas de las marcas fiduciales (x’i, y’i).

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Toma de datos

Número de parámetros a determinar: npar. Grados de libertad = ne-npar > npar:=4:gdl:=ne-npar:

Matriz del modelo matemático linealizado, o matriz de diseño. Matrices parciales para cada marca fiducial. Se muestra para una sola marca a fin de comprobar la semejanza formal con la expresión 2.6 > Ap[1]:=matrix(2,npar,[ v[1][1],v[1][2],1,0,v[1][2],-v[1][1],0,1]); for i from 2 to nmf do Ap[i]:=matrix(2,npar,[ v[i][1],v[i][2],1,0,v[i][2],-v[i][1],0,1]) end do:

6822.9 7127.5 1 Ap1 := ª«« ¬7127.5 -6822.9 0

0º » 1»¼

Se "apilan" las anteriores matrices parciales y se transpone la matriz resultante. > A:=(stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..nmf))): At:=transpose(A):

Sistema de ecuaciones normales. N = matriz del sistema. T = términos independientes. Q = inversa de N = cofactor de la solución > N:=evalm(At&*A): Q:=inverse(N): T:=evalm(At&*U):

Parámetros: pars = solución del sistema normal. Se calcula de forma precisa y después se evalúa con cuatro cifras significativas el sufijo s hace referencia a semejanza. > pars:=evalm(Q&*T): par_s:=evalf(evalm(pars),4);

par_s := [ -.0001399, .01500, .009042, -2.655 ] Residuos > U0:=evalm(A&*pars): Vs:=evalm(U-U0): V_s:=evalf(evalm(Vs),1);

V_s := [ .02, .004, -.02, .01, .0007, -.02, .007, -.01, .004, .01, -.01, .002, -.0005, -.002, .001, .004 ] Varianza y desviación tipo de referencia a posteriori > S2pos:=norm(Vs,2)/gdl:

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Sposs:=sqrt(S2pos): Spos_s:=evalf(evalm(Sposs),3);

Spos_s := .0613 Matriz de varianza-covarianza > Sigm:=evalm(S2pos*Q): Sigma_s:= evalf(evalm(Sigm),1);

-0. .1 10 -8 .1 10 -10º ª.6 10 -11 «« » -11 -10 -8» « -0. » .6 10 .1 10 -.1 10 »» Sigma_s := «« « .1 10 -8 .1 10 -10 .0005 » -0. «« »» «¬.1 10 -10 -.1 10 -8 -0. .0005 »¼ Obsérvese que la correlación entre los parámetros es nula entre a y b y despreciable entre g y h. Error (desviación tipo) en la determinación de los parámetros. Los dos primeros, correspondientes a a = par[1] y b = par[2], son adimensionales, mientras que los restantes, correspondientes a g = par[3] y h = par[4] están expresados en mm. > for i from 1 to npar do Spar[i]:=sqrt(Sigm[i,i]) end do: for i from 1 to npar do sigma_s[i]:=evalf(Spar[i],1) end do;

sigma_s1 := .2 10 -5 sigma_s2 := .2 10 -5

sigma_s3 := .02 sigma_s4 := .02 Se da únicamente una cifra significativa en las desviaciones típicas de los parámetros de transformación, en este caso corresponde con la decima de milimetro, ya que al hablar de lo que nos interesa conocer es el orden de magnitud de las mismas. Factor de escala > lambda:=evalf(sqrt(pars[1]^2+pars[2]^2));

O := .01500278904 Ángulo de giro en grados, minutos y segundos sexagesimales > alpha:=arctan(pars[2]/pars[1]);

gr:=evalf(alpha*180/Pi):

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Toma de datos

mn:=abs((gr-trunc(gr))*60): sg:=(mn-trunc(mn))*60: grados:=trunc(gr); minutos:=trunc(mn); segundos:=evalf(sg,3);

D := -1.561473081 grados := -89 minutos := 27 segundos := 56.9

El giro resultante será de -89º 27’ 56.9”. Es de especial interés comprobar como el factor de escala nos muestra, al relacionar dos unidades distintas, el tamaño de la celda (pixel) y, por tanto, nos da la resolución a la que se digitalizó la imagen. El ángulo entre los sistemas cartesianos, imagen escaneada y marcas fiduciales, con un valor próximo a 90º, muestra que las imágenes fueron escaneadas con el eje de ordenadas en posición horizontal. b-2) Transformación afín

ax  by  g cx  dy  h

x' y'

Depende de los 6 parámetros (a, b, c, d, g, h). Para su estimación se parte del modelo matemático lineal,

§ x1 ¨0 ¨ ¨ ... ¨ ¨ xk ¨0 ©

§a· 1 0 ·¨ ¸ ¸ b x1 y1 0 1 ¸ ¨ ¸ ¨c¸ ¸¨ ¸ ¸ d yk 0 0 1 0 ¸ ¨ ¸ ¨g¸ 0 xk yk 0 1 ¸¹ ¨¨ ¸¸ ©h¹

y1 0

0

0

§ x1 ' · ¨ '¸ ¨ y1 ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨ xk ' ¸ ¨ y '¸ © k ¹

(2.7)

en el que se consideran como variables observacionales las fotocoordenadas de las marcas fiduciales (x’i, y’i). Número de parámetros a determinar: npar. Grados de libertad = ne-npar > npar:=6:gdl:=ne-npar:

Matriz del modelo matemático linealizado, o matriz de diseño. Matrices parciales para cada marca fiducial. Se muestra para una sola marca a fin de comprobar la semejanza formal con la expresión 2.7. > Ap[1]:=matrix(2,npar,[ v[1][1],v[1][2],0,0,1,0,0,0,v[1][1],v[1][2],0,1]); for i from 2 to nmf do Ap[i]:=matrix(2,npar,[ v[i][1],v[i][2],0,0,1,0,0,0,v[i][1],v[i][2],0,1]) end do:

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

6822.9 7127.5 0 0 1 Ap1 := ª«« 0 6822.9 7127.5 0 ¬ 0

0º » 1»¼

Se "apilan" las anteriores matrices parciales y se transpone la matriz resultante. > A:=(stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..nmf))): At:=transpose(A):

Sistema de ecuaciones normales. N = matriz del sistema. T = términos independientes. Q = inversa de N = cofactor de la solución. > N:=evalm(At&*A): Q:=inverse(N): T:=evalm(At&*U):

Parámetros: para = solución del sistema normal. > para:=evalm(Q&*T): par_a:=evalf(evalm(para),4);

par_a := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, .009028, -2.654 ] Residuos > U0:=evalm(A&*para): Va:=evalm(U-U0): V_a:=evalf(evalm(Va),1);

V_a := [ .01, -.007, -.01, .003, .01, -.01, -.004, -.0007, .005, .001, -.0005, .002, -.001, .008, -.01, .003 ] Varianza y desviación tipo de referencia a posteriori > S2pos:=norm(Va,2)/gdl:Sposa:=sqrt(S2pos): Spos_a:=evalf(evalm(Sposa),3);

Spos_a := .0525 Matriz de varianza-covarianza > Sigm:=evalm(S2pos*Q): Sigma_a:= evalf(evalm(Sigm),1);

0. 0. .2 10 -8 0. º ª .9 10 -11 -.3 10 -15 »» «« -15 -11 -10 » «-.3 10 .9 10 0. 0. .2 10 0. «« »» -11 -15 -8 «« 0. -.3 10 0. .2 10 »» 0. .9 10 Sigma_a := « » «« 0. 0. -.3 10 -15 .9 10 -11 0. .2 10 -10»» » «« -8 .2 10 -10 0. 0. .0003 0. »» «« .2 10 » « 0. 0. .0003 »¼ 0. .2 10 -8 .2 10 -10 ¬

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Toma de datos

Obsérvese que la correlación entre los parámetros es despreciable. Error (desviación tipo) en la determinación de los parámetros Los cuatro primeros, correspondientes a a = par[1], b = par[2], c = par[3] y d = par[4] son adimensionales, mientras que los restantes, correspondientes a g = par[5] y h = par[6] están expresados en mm. > for i from 1 to npar do Spar[i]:=sqrt(Sigm[i,i]) end do: for i from 1 to npar do sigma_a[i]:=evalf(Spar[i],1) end do;

sigma_a1 := .3 10 -5 sigma_a2 := .3 10 -5 sigma_a3 := .3 10 -5 sigma_a4 := .3 10 -5

sigma_a5 := .02 sigma_a6 := .02 b-3) Transformación bilineal

ax  by  exy  g cx  dy  fxy  h

x' y'

Depende de los 8 parámetros (a, b, c, d, e, f, g, h). Para su estimación se parte del modelo matemático lineal,

§ x1 ¨0 ¨ ¨ ... ¨ ¨ xk ¨0 ©

y1 0 yk 0

0

0

x1

y1

0

0

xk

yk

x1 y1 0 xk yk 0

0

1 0

x1 y1 0 1 0 xk yk

1 0

§a· ¨b¸ ·¨ ¸ ¸¨ c ¸ ¸¨ d ¸ ¸¨ ¸ ¸¨ e ¸ 0¸¨ ¸ ¨f¸ 1 ¸¹ ¨ ¸ g ¨¨ ¸¸ ©h ¹

§ x1 ' · ¨y '¸ ¨ 1 ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨ xk ' ¸ ¨ y '¸ © k ¹

(2.8)

en el que se consideran como variables observacionales las fotocoordenadas de las marcas fiduciales (x’i, y’i). Número de parámetros a determinar: npar. Grados de libertad = ne-npar > npar:=8:gdl:=ne-npar:

Matriz del modelo matemático linealizado, o matriz de diseño. Matrices parciales para dada marca fiducial. Se muestra para una sola marca a fin de comprobar la semejanza formal con la expresión 2.8. © Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

34

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

> Ap[1]:=matrix(2,npar,[ v[1][1],v[1][2],0,0,v[1][1]*v[1][2],0,1,0, 0,0,v[1][1],v[1][2],0,v[1][1]*v[1][2],0,1]); for i from 2 to nmf do Ap[i]:=matrix(2,npar,[ v[i][1],v[i][2],0,0,v[i][1]*v[i][2],0,1,0, 0,0,v[i][1],v[i][2],0,v[i][1]*v[i][2],0,1]) end do:

0 1 0 0 .4863021975 10 8 ª6822.9 7127.5 « Ap1 := « 8 « 0 0 6822.9 7127.5 0 .4863021975 10 0 ¬

0º »» 1»¼

> A:=(stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..nmf))): At:=transpose(A):

Sistema de ecuaciones normales. N = matriz del sistema. T = términos independientes. Q = inversa de N = cofactor de la solución. > N:=evalm(At&*A): Q:=inverse(N): T:=evalm(At&*U):

Parámetros: parb = solución del sistema normal. > parb:=evalm(Q&*T): par_b:=evalf(evalm(parb),4);

par_b := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, .1903 10 -9, -.9941 10 -10, .009028, -2.654 ] Residuos > U0:=evalm(A&*parb): Vb:=evalm(U-U0): V_b:=evalf(evalm(Vb),1);

, , , , , , -.006.004 , , .001, -.0004.002 , , -.001.008 , , -.009.003 , ] V_b:= [ .003, -.002-.002-.002.0008-.005.006 Varianza y desviación tipo de referencia a posteriori > S2pos:=norm(Vb,2)/gdl: Spos:=sqrt(S2pos): Spos_b:=evalf(evalm(Spos),3);

Spos_b := .0466 Matriz de varianza-covarianza > Sigm:=evalm(S2pos*Q): Sigma_b:= evalf(evalm(Sigm),1);

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35

Toma de datos

0. 0. .6 10 -18 0. .1 10 -8 0. º ª .7 10 -11 -.1 10 -15 »» «« -15 -11 -16 -10 » «-.1 10 .7 10 0. 0. .4 10 0. .2 10 0. » «« -11 -15 -18 -8 » » « 0. -.1 10 0. .6 10 0. .1 10 0. .7 10 » «« -15 -11 -16 -10 » «« 0. 0. -.1 10 .7 10 0. .4 10 0. .2 10 »» Sigma_b := « » «« .6 10 -18 .4 10 -16 0. 0. .2 10 -18 0. -.1 10 -15 0. »» » «« 0. .2 10 -18 0. -.1 10 -15»» 0. .6 10 -18 .4 10 -16 « 0. »» «« «« .1 10 -8 .2 10 -10 0. 0. -.1 10 -15 0. .0003 0. »» «« » 0. -.1 10 -15 0. .0003 »¼ 0. .1 10 -8 .2 10 -10 ¬ 0. Obsérvese que la correlación entre los parámetros es despreciable. Error (desviación tipo) en la determinación de los parámetros Los cuatro primeros, correspondientes a a = par[1], b = par[2], c = par[3] y d = par[4] son adimensionales, los dos siguientes, correspondientes a e = par[5] y f = par[6] están expresados en mm –1, mientras que los dos restantes, correspondientes a g = par[7] y h = par[8] están expresados en mm. > for i from 1 to npar do Spar[i]:=sqrt(Sigm[i,i]) end do: for i from 1 to npar do sigma_b[i]:=evalf(Spar[i],1) end do;

sigma_b1 := .3 10 -5 sigma_b2 := .3 10 -5 sigma_b3 := .3 10 -5 sigma_b4 := .3 10 -5 sigma_b5 := .5 10 -9 sigma_b6 := .5 10 -9

sigma_b7 := .02 sigma_b8 := .02 b-4) Transformación proyectiva

ax  by  g ex  fy  1 cx  dy  h y' ex  fy  1

x'

Depende de los 8 parámetros (a, b, c, d, e, f, g, h). Para su estimación se debe comenzar por linealizar la transformación. En el apéndice se pueden encontrar las derivadas correspondientes al cálculo del jacobiano. Sin embargo, una forma alternativa de hacerlo es introducir la transformación en MAPLE y

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36

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

linealizarla utilizando recursos del programa. Ello evita posibles errores en la transcripción de las derivadas: > proyec:=vector(2,[(a*x+b*y+g)/(e*x+f*y+1), (c*x+d*y+h)/(e*x+f*y+1)]); > jacp:=jacobian(proyec,[a,b,c,d,e,f,g,h]);

a xb yg c xd yh º , proyec := ª«« » ¬ e xf y1 e xf y1 »¼ x y ª , ,0,0, «« e xf y1 e xf y1 « jacp := « « x y ««0 , 0 , , , «¬ e xf y1 e xf y1

( a xb yg ) x ( a xb yg ) y 1 , , , 0º» 2 2 e xf y1 »» ( e xf y1 ) ( e xf y1 ) » » ( c xd yh ) x ( c xd yh ) y 1 »» , ,0, 2 2 »¼ 1 e x f y   ( e xf y1 ) ( e xf y1 )

(2.9) Se introducen dos vectores genéricos, param para los parámetros y pcont para los puntos de control, y dos funciones, proy y jp, que permiten calcular la proyección y su jacobiano respectivamente, para cualquier par de vectores: > param:=vector(npar,[]):pcont:=vector(2,[]): proy:=(param,pcont)-> subs(a=param[1],b=param[2],c=param[3],d=param[4], e=param[5],f=param[6],g=param[7],h=param[8], x=pcont[1],y=pcont[2],evalm(proyec)): jp:=(param,pcont)-> subs(a=param[1],b=param[2],c=param[3],d=param[4], e=param[5],f=param[6],g=param[7],h=param[8], x=pcont[1],y=pcont[2],evalm(jacp)):

Valores aproximados de los parámetros: para los parámetros del numerador tomamos los valores obtenidos en la transformación afín, y para los del denominador, tomamos cero. > par0:=vector(npar, [-0.0002,0.015,-0.015,-0.0002,0,0,-0.103,-2.87]):

Matrices diferenciales (derivadas respecto de los parámetros) de las ecuaciones de transformación para cada punto. Se muestra para una sola marca a fin de comprobar la semejanza formal con la expresión 2.9 del jacobiano jacp > Ap[1]:=jp(par0,v[1]); for i from 2 to nmf do Ap[i]:=jp(par0,v[i]) end do:

6822.9 7127.5 0 0 -719440.1446 -751558.6673 1 Ap1 := ª«« 0 6822.9 7127.5 727587.2332 760069.4725 0 ¬ 0

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0º » 1»¼

37

Toma de datos

Matriz de diseño > A:=stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..nmf)):At:=transpose(A):

Valores de las fotocoordenadas calculados a partir de la transformación, con los valores aproximados de los parámetros: Uc. Valores observados menos valores calculados: dU > Uc:=convert( stackmatrix(seq(proy(par0,v[i]),i=1..nmf)),vector): dU:=evalm(U-Uc):

Sistema de ecuaciones normales. N = matriz del sistema. T = términos independientes. Q = inversa de N = cofactor de la solución. > N:=evalm(At&*A): Q:=inverse(N): T:=evalm(At&*dU):

Parámetros: dpar = solución del sistema normal. > dpar:=evalm(Q&*T):parp:=evalm(par0+dpar): dpar_p:=evalf(evalm(dpar),3); par_p:=evalf(evalm(parp),4);

dpar_p := [ .0000600, .360 10 -5, -.729 10 -6, .0000602, -.101 10 -7, -.383 10 -8, .110, .221 ] par_p := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, -.1009 10 -7, -.3832 10 -8, .006899, -2.649 ] Sólo los parámetros de traslación han sido modificados apreciablemente respecto a los valores aproximados propuestos. Los residuos y la varianza de referencia nos permitirán hacernos una idea más fundamentada de la bondad de la estimación. Residuos > dU0:=evalm(A&*dpar): Vp:=evalm(dU-dU0): V_p:=evalf(evalm(Vp),1);

V_p := [ .004, -.002, -.005, .002, .002, -.006, .003, -.002, .007, .004, -.001, -.004, .001, .01, -.01, -.003] Varianza y desviación tipo de referencia a posteriori > S2pos:=norm(Vp,2)/gdl: Spos:=sqrt(S2pos): Spos_p:=evalf(evalm(Spos),3);

Spos_p := .0499 La varianza de referencia es del mismo orden de magnitud que la obtenida en los ajustes precedentes. Veamos si se obtiene mejoría con una nueva iteración.

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38

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

> par0:=parp: for i from 1 to nmf do Ap[i]:=jp(par0,v[i]) end do: A:=stackmatrix (Ap[1],Ap[2],Ap[3],Ap[4],Ap[5],Ap[6],Ap[7],Ap[8]): At:=transpose(A): Uc:=convert (stackmatrix(seq(proy(par0,v[i]),i=1..nmf)),vector): dU:=evalm(U-Uc): N:=evalm(At&*A): Q:=inverse(N): T:=evalm(At&*dU): dpar:=evalm(Q&*T): parp:=evalm(par0+dpar): dpar_p:=evalf(evalm(dpar),3); par_p:=evalf(evalm(parp),3); dU0:=evalm(A&*dpar):Vp:=evalm(dU-dU0): V_p:=evalf(evalm(Vp),1); S2pos:=norm(Vp,2)/gdl:Spos:=sqrt(S2pos): Spos_p:=evalf(evalm(Spos),3);

dpar_p := [ -.909 10 -9, -.454 10 -9, -.211 10 -8, -.727 10 -9, .102 10 -10, -.267 10 -10, -.0000392, -.0000143 ] par_p := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, -.1008 10 -7, -.3859 10 -8, .006859, -2.649 ] V_p := [ .004, -.002, -.005, .002, .002, -.006, .003, -.002, .007, .004, -.001, -.004, .001, .01, -.01, -.003 ] Spos_p := .0499 Las modificaciones en los parámetros ya no han sido significativas en absoluto. No es necesaria una nueva iteración Matriz de varianza-covarianza > Sigm:=evalm(S2pos*Q): Sigma_p:= evalf(evalm(Sigm),1);

ª .8 10 -11 «« «-.3 10 -15 «« « .5 10 -16 «« « .5 10 -18 Sigma_p := «« «« .2 10 -16 «« «-.9 10 -17 «« «« .1 10 -8 «« -10 ¬-.1 10

-.3 10-15

.5 10 -16

.5 10 -18

.2 10 -16

-.9 10 -17

.1 10 -8

.8 10 -11

-.6 10 -14 -.6 10 -16 -.2 10 -14 -.2 10 -16

.1 10 -10

-.6 10-14

.8 10 -11

-.2 10 -15

.2 10 -14

.3 10 -16

.4 10 -11

-.6 10-16 -.2 10 -15

.8 10 -11

.2 10 -16

.6 10 -17

.3 10 -11

-.2 10-14

.2 10 -14

.2 10 -16

.8 10 -15

-.6 10 -19 -.4 10 -11

-.2 10-16

.3 10 -16

.6 10 -17

-.6 10 -19

.8 10 -15

.5 10 -9

.1 10 -10

.4 10 -11

.3 10 -11

-.4 10 -11

.5 10 -9

.0006

.1 10-8

.2 10 -9

.1 10 -11

-.5 10 -9

-.4 10 -11

.1 10 -7

-.1 10 -10º »» .1 10 -8 »» » .2 10 -9 »» » .1 10 -11 »» » -.5 10 -9 »» » -.4 10 -11»» »» .1 10 -7 »» » .0006 »¼

Obsérvese que la correlación entre los parámetros es despreciable, variando entre las magnitudes de 10-7 y 10-19.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

39

Toma de datos

Error (desviación tipo) en la determinación de los parámetros Los cuatro primeros, correspondientes a a = par[1], b = par[2], c = par[3] y d = par[4] son adimensionales, los dos siguientes, correspondientes a e = par[5] y f = par[6] están expresados en mm –1, mientras que los dos restantes, correspondientes a g = par[7] y h = par[8] están expresados en mm. > for i from 1 to npar do Spar[i]:=sqrt(Sigm[i,i]) end do: for i from 1 to npar do sigma_p[i]:=evalf(Spar[i],1) end do;

sigma_p1 := .3 10 -5 sigma_p2 := .3 10 -5 sigma_p3 := .3 10 -5 sigma_p4 := .3 10 -5 sigma_p5 := .3 10 -7 sigma_p6 := .3 10 -7

sigma_p7 := .02 sigma_p8 := .02 Parámetros > par_s:=eval(par_s); par_a:=eval(par_a); par_b:=eval(par_b); par_p:=eval(par_p);

par_s := [ -.0001399, .01500, .009042, -2.655 ] par_a := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, .009028, -2.654 ] par_b := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, .1903 10 -9, -.9941 10 -10, .009028, -2.654 ] par_p := [ -.0001400, .01500, -.01500, -.0001398, -.1008 10 -7, -.3859 10 -8, .006859, -2.649 ] Errores en los parámetros > sigma_s:=eval(sigma_s); sigma_a:=eval(sigma_a); sigma_b:=eval(sigma_b); sigma_p:=eval(sigma_p);

sigma_s := table([1 .2 10 -5, 2 .2 10 -5, 3 .02, 4 .02]) © Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

40

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

sigma_a := table([1 .3 10 -5, 2 .3 10 -5, 3 .3 10 -5, 4 .3 10 -5, 5 .02, 6 .02]) sigma_b := table([1 .3 10 -5, 2 .3 10 -5, 3 .3 10 -5, 4 .3 10 -5, 5 .5 10 -9, 6 .5 10 -9, 7 .02, 8 .02]) sigma_p := table([1 .3 10 -5, 2 .3 10 -5, 3 .3 10 -5, 4 .3 10 -5, 5 .3 10 -7, 6 .3 10 -7, 7 .02, 8 .02]) Desviación tipo de referencia (error medio cuadrático) > Spos_s:=eval(Spos_s); Spos_a:=eval(Spos_a); Spos_b:=eval(Spos_b); Spos_p:=eval(Spos_p);

Spos_s := .0613 Spos_a := .0525 Spos_b := .0466 Spos_p := .0499 A continuación mostramos los resultados obtenidos, siguiendo el mismo proceso, para todos los fotogramas: Parámetros a= b= F O T O

Semejanza -0,000199 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000199 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000199 r 0,000003

-0,10 r 0,02 -2,87 r 0,02 0,045

-0,10 r 0,02 -2,87 r 0,02 0,044

Semejanza -0,000166 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000166 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000165 r 0,000003

-0,16 r 0,02 -2,67 r 0,02 0,060

-0,16 r 0,02 -2,67 r 0,02 0,052

c= d=

24

e= f= g= h= emc =

Parámetros a= b= F O T O

25

c= d= e= f= g= h= emc =

Bilineal -0,000199 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000002 -0,000199 r 0,000002 0 r 0,4u10-9 0 r 0,4u10-9 -0,10 r 0,01 -2,87 r 0,01 0,042

Proyectiva -0,000199 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000199 r 0,000003 0 r 0,3u10-7 0 r 0,3u10-7 -0,10 r 0,02 -2,87 r 0,02 0,047

Bilineal -0,000166 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000165 r 0,000003 0 r 0,5u10-9 0 r 0,5u10-9 -0,16 r 0,01 -2,67 r 0,01 0,048

Proyectiva -0,000166 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000165 r 0,000003 0 r 0,3u10-7 0 r 0,3u10-7 -0,16 r 0,02 -2,66 r 0,02 0,050

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

41

Toma de datos

Parámetros a= b= F O T O

Semejanza -0,000140 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000140 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000140 r 0,000003

0,01 r 0,02 -2,65 r 0,02 0,061

0,01 r 0,02 -2,65 r 0,02 0,052

Semejanza -0,000172 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000171 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000r 0,000003 -0,000172 r 0,000003

-0,38 r 0,02 -2,73 r 0,02 0,048

-0,38 r 0,02 -2,73 r 0,02 0,047

Semejanza -0,000149 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000148 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000149 r 0,000003

-0,39 r 0,02 -2,35 r 0,02 0,048

-0,39 r 0,02 -2,34 r 0,02 0,045

c= d=

26

e= f= g= h= emc =

Parámetros a= b= F O T O

c= d=

32

e= f= g= h= emc =

Parámetros a= b= F O T O

33

c= d= e= f= g= h= emc =

Bilineal -0,000140 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000140 r 0,000003 0 r 0,5u10-9 0 r 0,5u10-9 0,01 r 0,02 -2,65 r 0,02 0,047

Proyectiva -0,000140 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000140 r 0,000003 0 r 0,3u10-7 0 r 0,3u10-7 0,01 r 0,02 -2,65 r 0,02 0,050

Bilineal -0,000171 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000172 r 0,000003 0 r 0,5u10-9 0 r 0,5u10-9 -0,38 r 0,02 -2,73 r 0,02 0,051

Proyectiva -0,000171 r 0,000003 0,015000 r 0,000003 -0,015000 r 0,000003 -0,000172 r 0,000003 0 r 0,3u10-7 0 r 0,3u10-7 -0,38 r 0,02 -2,73 r 0,02 0,051

Bilineal -0,000148 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000002 -0,000149 r 0,000002 0 r 0,4u10-9 0 r 0,4u10-9 -0,39 r 0,01 -2,34 r 0,01 0,040

Proyectiva -0,000148 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000002 -0,000149 r 0,000002 0 r 0,2u10-7 0 r 0,2u10-7 -0,39 r 0,02 -2,35 r 0,02 0,042

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

42

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Parámetros a= b= F O T O

34

Semejanza -0,000194 r 0,000002 0,015000 r 0,000002

Afín -0,000194 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000003 -0,000194 r 0,000002

-0,21 r 0,02 -2,46 r 0,02 0,046

-0,21 r 0,01 -2,46 r 0,01 0,038

c= d= e= f= g= h= emc =

Bilineal -0,000194 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000002 -0,000194 r 0,000002 0 r 0,4u10-9 0 r 0,4u10-9 -0,21 r 0,01 -2,46 r 0,01 0,039

Proyectiva -0,000194 r 0,000002 0,015000 r 0,000002 -0,015000 r 0,000002 -0,000194 r 0,000002 0 r 0,2u10-7 0 r 0,2u10-7 -0,21 r 0,02 -2,46 r 0,02 0,040

Las unidades de los errores medios cuadraticos y de los parámetros g y h se expresan en mm. Recordemos que, en la transformación bidimensional de semejanza, el análisis de los parámetros a y b nos da información sobre el giro y el factor de escala entre los sistemas cartesianos correspondientes entre ambos sistemas:

a b

O cos D OsinD

En el resto de las transformaciones estos parámetros tendrán un significado análogo. Por tanto, si ambos sistemas fueran paralelos e isométricos, los valores a y b deberían ser 1 y 0 respectivamente, ya que el factor de escala será la unidad y el ángulo entre los sistemas será cero. En el caso de estudio, como se puede apreciar en los datos de la tabla, el valor del parámetro a en todas las transformaciones toma valores cercanos a cero. Esto es debido a que existe un giro de 90º entre los sistemas relacionados. Como consecuencia, el parámetro b toma el valor del factor de escala, 0.015, que corresponde al cambio de unidades, de pixeles a mm, entre los dos sistemas. En los parámetros de traslación g y h, las variaciones producidas son inferiores a los 2 micrómetros por lo que se pueden considerar idénticos en todas las transformaciones y en todos los casos estudiados. La precisión alcanzada para los parámetros es muy similar en todas las transformaciones. Únicamente se detecta una ligera mejora en la desviación del observable de peso unidad en la transformación bilineal. La igualdad alcanzada en las diversas transformaciones se debe a la calidad geométrica del escáner empleado en la digitalización de los fotogramas. A fin de ilustrar las diferentes situaciones que se pueden presentar en la práctica, veamos ahora un ejemplo en el que se ha empleado un escáner común.

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Toma de datos

Las coordenadas obtenidas en este caso en el sistema imagen son: Marcas fiduciales 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X (pixel) 110.50 1102.00 2088.50 2116.00 2143.00 1155.50 164.67 136.00 1124.00

Y (pixel) 174.00 147.00 116.00 1096.00 2078.00 2105.00 2136.33 1156.00 1125.00

Los resultados en el cálculo de los parámetros de las transformaciones se recogen en la siguiente tabla: Parámetros a= b=

N 0 2

Semejanza 0,02536 r 0,00005 0,00073 r 0,00005

Afín 0,02525 r 0,00004 0,00070 r 0,00004 -0,00076 r 0,00004 0,02548 r 0,00004

-27,8 r 0,1 29,4 r 0,1 0,175

-27,66 r 0,08 29,54 r 0,08 0,104

c= d= e= f= g= h= emc =

Bilineal 0,02525 r 0,00008 0,00069 r 0,00008 -0,00075 r 0,00008 0,02548 r 0,00008 0 r 0,6u10-7 0 r 0,6u10-7 -27,7 r 0,1 29,5 r 0,1 0,113

Proyectiva 0,02525 r 0,00009 0,00067 r 0,00005 -0,00076 r 0,00005 0,02548 r 0,00009 0 r 0,2u10-5 0 r 0,2u10-5 -27,7 r 0,1 29,5 r 0,1 0,113

El hecho de emplear un escáner no fotogramétrico produce que el barrido de la imagen no sea homogéneo, lo que da lugar a diferentes deformaciones en el sentido de avance y en el transversal a este. Así mismo, se pueden producir diferentes deformaciones en el propio sentido de avance debido a paros y reinicios del motor. En la tabla anterior se puede apreciar que la transformación de semejanza no es capaz de detectar tales diferencias mientras que, si comparamos los parámetros a y d, vemos que sí lo hacen en el resto de las transformaciones. Recordemos (ver apéndice) que, en el caso de la transformación afín, se tiene

Ox cos D d O y cos(D  E ) a

Atendiendo a la tabla, se puede apreciar que en uno de los sentidos se produce un estiramiento dando un factor de escala de 0.02525, frente al teórico de 0.254, y en el sentido transversal una compresión, factor de escala de 0.02548.

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44

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Sin embargo, puede sorprender el menor grado de incertidumbre, observando los errores asociados a cada parámetro, en las transformaciones de semejanza y afín frente a la bilineal y proyectiva. Esto puede explicarse por la disminución de grados de libertad del ajuste en los últimos casos, al determinarse más parámetros con el mismo número de marcas fiduciales.

c) Cálculo de fotocoordenadas Una vez hemos decidido que la transformación bilineal es la que mejores resultados nos ofrece, vamos a aplicarla sobre los puntos pertenecientes a los fotogramas 25 y 26. A partir de este momento únicamente trabajaremos con el modelo formado por ambos fotogramas. Para ello en MAPLE seguiremos los siguientes pasos: Definición de la función que ejecuta la transformación bilineal (trbil). Depende de los 8 parámetros anteriormente calculados recogidos en el vector param y de las coordenadas de cada punto (pcont). > trbil:=(param,pcont)->vector(2,[ param[1]*pcont[1]+param[2]*pcont[2]+ param[5]*pcont[1]*pcont[2]+param[7], param[3]*pcont[1]+param[4]*pcont[2]+ param[6]*pcont[1]*pcont[2]+param[8]]):

Definición de la función que ejecuta la traslación del origen (trasl). Depende de las coordenadas del nuevo origen (nor) en el sistema fiducial y de las fotocoordenadas de cada punto de control (fotc). > trasl:=(fotc,nor)->vector(2, [fotc[1]-nor[1],fotc[2]-nor[2]]):

Entrada de datos para la fotografía 18_26. Parámetros de la transformación bilineal > parb26 := vector([-.1400e-3, .1500e-1, -.1500e-1, -.1398e-3, .1903e-9, -.9941e-10, .9028e-2, -2.654]):

Puntos medidos. Coordenadas pixel > npc:=12: v[1]:=vector(2,evalf([-309.878723, -5951.572754],5)): v[2]:=vector(2,evalf([-6057.319336, -6027.381836],5)): v[3]:=vector(2,evalf([5979.258789, -4552.218750],5)): v[4]:=vector(2,evalf([-5720.034668, -45.542042],5)): v[5]:=vector(2,evalf([-816.445068, 437.557892],5)): v[6]:=vector(2,evalf([5678.819824, 855.593140],5)): v[7]:=vector(2,evalf([-5091.335449, 4963.910645],5)): v[8]:=vector(2,evalf([-565.212585, 4968.404785],5)): v[9]:=vector(2,evalf([4880.385254, 5429.999023],5)): v[10]:=vector(2,evalf([-3763.244141, -2955.953613],5)): v[11]:=vector(2,evalf([2195.054199, 4756.950195],5)): v[12]:=vector(2,evalf([2737.211182, -7252.757324],5)): nom:=vector(npc,[20101,19101,21101,22101,23101,24101,25101, 26101,27101,41101,102100,103100]):

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Toma de datos

Aplicación de la transformación bilineal y traslación a las fotocoordenadas medidas > for i from 1 to npc do vt[i]:=trasl(trbil(parb26,v[i]),pprin) end do;

MAPLE por defecto nos muestra los numeros con 10 cifras, por lo que se han modificado los resultados al micrómetro, puesto que las fotocoordenadas se han medido con esta precisión. vt[1] := [-89.236, 2.820] vt[2] := [-89.562, 89.038] vt[3] := [-69.131, -91.710] vt[4] := [.112, 83.146] vt[5] := [6.672, 9.526] vt[6] := [12.034, -87.962] vt[7] := [75.161, 73.018] vt[8] := [74.599, 5.124] vt[9] := [80.766, -76.628] vt[10] := [-43.817, 54.200] vt[11] := [71.044, -36.253] vt[12] := [-109.185, -42.702] Aplicando las mismas funciones sobre el fotograma 25 obtenemos: vt[1] := [-100.263, 100.839] vt[2] := [-83.183, 7.322] vt[3] := [-63.913, -91.116] vt[4] := [-6.925, 89.680] vt[5] := [-9.057, 3.248] vt[6] := [3.863, -92.574] vt[7] := [81.108, 81.437] vt[8] := [86.439, 7.9404] vt[9] := [87.653, -90.033] vt[10] := [38.940, 53.715] vt[11] := [-29.232, -42.302]

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Refinamiento de coordenadas fotográficas

3 Refinamiento de coordenadas fotográficas En el capítulo anterior se ha visto cómo las coordenadas cliché, medidas sobre la placa fotográfica en un sistema externo, se transforman en fotocoordenadas referidas a un sistema propio de la fotografía. La correspondiente transformación de coordenadas ha eliminado, en la medida de lo posible, las deformaciones producidas en el proceso de medición de las coordenadas comparador, así como el desplazamiento generalmente existente entre el centro fiducial y el punto principal. Sin embargo, estas fotocoordenadas todavía han de ser corregidas del desplazamiento, respecto al punto imagen teórico, debido al desplazamiento de los rayos de luz producido por diferentes fenómenos ópticos. Se trata, pues, de calcular las fotocoordenadas teóricas que se hubieran obtenido si los rayos hubieran sido rectilíneos. A este proceso se le suele llamar reconstrucción de los haces de rayos. Consideremos el camino del rayo desde el terreno hasta su intersección con la película. Si la imagen corresponde a una fotografía aérea y queremos representar el terreno sobre una proyección plana, el primer desplazamiento que debemos tener en cuenta es el producido por la forma de la Tierra, es el conocido como error por esfericidad terrestre. Luego, durante el recorrido a través de la atmósfera, se produce el fenómeno de refracción ocasionado por la variación de la densidad atmosférica al ir aumentando la altura. Al llegar el rayo a la cámara fotográfica y pasar por el objetivo aparece otro desplazamiento producido, fundamentalmente, por la aberración geométrica de las lentes. Por último, el rayo impresionará la emulsión fotográfica que está situada sobre un soporte que puede sufrir pequeñas variaciones dimensionales que hay que conocer. Este último error se corrige en la transformación bidimensional anteriormente mencionada. Las correcciones se efectúan en orden inverso en el que fueron producidas las correspondientes deformaciones, es decir, desde el punto fotografía al punto terreno. Retomándolo de nuevo desde el principio, el proceso se resume en los siguientes pasos: 1. Se dispone de las coordenadas calibradas de algunos puntos imágenes (marcas fiduciales) y de sus lecturas efectuadas con el comparador. 2. Calculamos los parámetros incógnita de la transformación bidimensional (paso de coordenadas comparador a coordenadas fotográficas). 3. Lectura de los puntos y transformación de éstos. Corrección de los posibles errores de digitalización en el caso de imagen escaneada.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

4. Corrección de la distorsión óptica de la cámara. 5. Corrección de la refracción atmosférica. 6. Corrección de la esfericidad terrestre y fotocoordenadas finales.

3.1

Influencias de la lente de la cámara métrica

Las distorsiones debidas al sistema óptico del conjunto de lentes se suponen conocidas gracias al proceso de calibración de la cámara. En la práctica es imposible eliminar estas distorsiones ópticas por completo, fijándose como límite extremo de perfección en la reconstrucción del haz el valor de 10 Pm. Existen diversas funciones para representar de forma gráfica estas distorsiones y poder corregirlas. Entre ellas está la función definida por el ISPRS (International Society Photogrammetry and Remote Sensing) y el método Orient (Universidad de Viena). En el caso de la función utilizada por el ISPRS la corrección radial tiene la siguiente forma polinómica: (3.1) 'r k1r 3  k2 r 5  k3 r 7  ... El método Orient emplea la siguiente expresión: 'r

k1r (r 2  r02 )  k2 r ( r 4  r04 )

(3.2)

donde r es la distancia radial medida desde el punto principal al punto imagen considerado y ro el valor de corte con el eje de abscisas. Generalmente se dispone de una tabla con la distorsión 'r correspondiente a ciertos valores de la distancia radial r. Los valores de los coeficientes k1, k2, k3, ... se obtienen mediante la resolución, por mínimos cuadrados, del correspondiente sistema sobredeterminado de ecuaciones. La tabla de distorsión radial obtenida para la cámara con la que se han realizado las fotografías del ejemplo es la siguiente:

Radio (mm) 10 20 30 40 50 60 70 80

Corrección (Pm) 1.2 1.8 2.4 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9

Radio (mm) 90 100 110 120 130 140 148

Corrección (Pm) 2.8 2.7 2.6 2.2 -1.7 -3.5 -5.0

Tabla 3.1 Correcciones radiales

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Refinamiento de coordenadas fotográficas

Resolviendo por mínimos cuadrados el sistema de 15 ecuaciones del tipo 3.1 con las 3 incógnitas k1, k2, k3, se obtiene el siguiente resultado: k1 = 0.46200442344587e-005 k2 = -0.144072869591562e-009 k3 = 0.321153713192771e-014 Estos parámetros se utilizarán para la obtención de la corrección 'r para cualquier punto de la imagen. Otro tipo de errores, generalmente ocasionados después de la calibración, como un montaje defectuoso del objetivo, una mala calidad de construcción, una deformación en la planeidad y paralelismo de las caras del filtro, un golpe en el objetivo o en el cuerpo de cámara, etc., deben ser detectados y corregidos por métodos que van más allá de los objetivos de este manual.

3.2

Refracción atmosférica

Los rayos que llegan a la cámara aérea deben atravesar en su recorrido un espesor atmosférico que, en ocasiones, llega a kilómetros. Además, el índice de refracción de las diversas capas atmosféricas disminuye con la presión, y por lo tanto con la altura. Considerando una atmósfera formada por capas concéntricas, un rayo cualquiera, al atravesarlas, sufrirá entre cada dos capas una variación en su trayectoria que formará un arco contenido en el plano vertical del teórico y que mostrará su concavidad hacia el eje óptico (fig. 3.1).

'r m'

Z

m f

S 'D D'

H

D

N

D

M

Fig. 3.1 Error por refracción atmosférica

Mediante relaciones geométricas sencillas en el espacio imagen se llega a una expresión del tipo: f (3.3) 'r 'D cos 2 D donde 'D

'D 0tagD

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(3.4)

50

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

y 'D 0

T

Q0  Q H  hm

(3.5)

Siendo H la altura de vuelo (referida sobre el dátum altimétrico) y hm la altura media del terreno expresados en km, T, Q y Q0 son las funciones polinómicas: T 178.46  17.14 H  0.6296 H 2  0.01071H 3  ... Q (2803.11hm  134.629hm2  3.2966hm3  ...) u 107 Q0

(2803.11H  134.629 H  3.2966 H  ...) u 10 2

3

(3.6) 7

Teniendo en cuenta que r f

tan D

(3.7)

y cosD se obtiene 'r

f r  f2 2

2 2 ª Q0  Q º r  r  f «T  » H  hm ¼ f2 ¬

(3.8)

(3.9)

Se trata de una distorsión positiva, ya que tiene como efecto alejar los puntos del centro de forma radial.

3.3

Esfericidad terrestre

Suponemos que la Tierra se asemeja a un geoide esférico y que su representación se confunde con su proyección ortogonal sobre el plano tangente. De forma similar al error de refracción, en la esfericidad terrestre se producirá un desplazamiento de la ecuación 3.3 que, en este caso, se puede escribir (Fig. 3.2): 'r

fD3 2 RH 2

(3.10)

donde R es el radio de la tierra y H es la altura del vuelo sobre el terreno. Aplicando semejanza de triángulos f r3H 3 'r 2 RH 2 f 3 Es decir 'r

H 3 r 2 Rf 2

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(3.11)

51

Refinamiento de coordenadas fotográficas

Observando la expresión 3.11 y atendiendo a las características de este desplazamiento, se deduce que el error por esfericidad terrestre tiene las siguientes características: acerca los puntos radialmente, por lo tanto su corrección ha de ser positiva, aumenta con la altura de vuelo, es más importante cerca de los bordes del fotograma y crece con focales cortas.

Z f

r 'r D'

'D'

Z

r D

f 'D

D

'r 'D

D' S

H

'D 'D'

D

R J C Fig. 3.2 Error causado por la esfericidad terrestre

Observación Una vez se tiene la corrección radial, la correspondiente transformación de coordenadas será (Fig. 3.3):

y’ 'r y r

D x

x’

Fig. 3.3 Transformación de coordenadas

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

x  'r cosD x x  'r r § 'r · x ¨1  ¸ r ¹ © y ' y  'rsenD y y  'r r § 'r · y ¨1  ¸ r ¹ ©

x'

Es decir, las diferentes transformaciones son todas homotecias del tipo:

§ x ' · § 'r · § x · ¨ y ' ¸ ¨1  ¸¨ ¸ r ¹© y ¹ © ¹ © 3.4

(3.12)

Ejemplo

En el ejemplo que se plantea estamos trabajando con fotografías aéreas con un formato útil de 210 mm tomadas con una cámara de 153.09 mm de focal a una altura aproximada de 750 m sobre el terreno, por lo que el valor máximo de la corrección estará entorno a 10Pm. En el siguiente ejemplo se pretende obtener las coordenadas fotográficas refinadas, para ello los pasos a seguir serán: -

-

Obtención de las coordenadas referidas al punto principal, corrigiendo el desplazamiento existente entre el punto principal y el origen de coordenadas del sistema formado por las marcas fiduciales. Cálculo de las coordenadas fotográficas corregidas de errores sistemáticos, aplicando a las coordenadas imagen los parámetros de transformación obtenidos en el capítulo anterior. En este caso hemos elegido la transformación bilineal, ya que, aunque debido a la calidad del escaneado no se aprecian diferencias entre todas ellas, en el caso de trabajar con un escáner no fotogramétrico, es la que ofrece mejores resultados. Aplicación de las correcciones de distorsión radial, por refracción atmosférica y por esfericidad terrestre.

Veamos ahora las secuencias para resolverlo mediante Maple. 1) Entrada de datos: Datos de la cámara. Punto principal y distancia focal (en mm): > pprin:=vector(2,[1.500000e-002, 6.000000e-003]): f:=153.09:f2:=f*f:

Altura del vuelo y altitud media del terreno (en km): > H:=1.050: hm:=0.300:

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Refinamiento de coordenadas fotográficas

Coeficientes para el cálculo de la distorsión óptica: > k:=vector(3,[0.46200442344587e-008, -1.44072869591562e-012, 3.21153713192771e-017]):

Coeficientes para el cálculo de la distorsión por refracción atmosférica: > T:=(178.46-17.14*H+0.6296*H^2-0.01071*H^3)/636620: Q:=(2803.11*hm-134.629*hm^2+3.2966*hm^3)*10^(-07): Q0:=(2803.11*H-134.629*H^2+3.2966*H^3)*10^(-07): TQH:=T-(Q0-Q)/(H-hm):

Radio de la tierra (en km) y coeficiente para la corrección de la distorsión por esfericidad terrestre: > R:=6370: HR:=(H-hm)/(2*R*f2):

2) Cálculos para cada fotografía A continuación se procede al refinamiento de las fotocoordenadas calculadas en el capítulo anterior, referidas al punto principal en el sistema cartesiano fotográfico. Las diferentes correcciones son todas homotecias del tipo 3.12 con diferentes expresiones de 'r/r, según el tipo de distorsión de que se trate: a) Corrección de la distorsión óptica de la cámara. Atendiendo a 3.1

'r r

r 2 (k1  k2 r 2  k3 r 4 )

> facdop:=vector(npc,[]): for i from 1 to npc do r12[i]:=vt[i][1]^2+vt[i][2]^2: facdop[i]:=1+r12[i]*(k[1]+k[2]*r12[i]+k[3]*r12[i]^2): vt2[i]:=evalm(facdop[i]*vt[i]): end do:

b) Corrección del desplazamiento producido por la refracción atmosférica. Atendiendo a 3.9

'r r

ª Q0  Q º r 2  f 2 «T  » H  hm ¼ f 2 ¬

> facref:=vector(npc,[]): for i from 1 to npc do r22[i]:=vt2[i][1]^2+vt2[i][2]^2: facref[i]:=1+TQH*(r22[i]+f2)/f2: vt3[i]:=evalm(facref[i]*vt2[i]): end do:

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54

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

c) Corrección del desplazamiento producido por la esfericidad terrestre. Atendiendo a 3.11

'r r

H  hm 2 r 2 Rf 2

> facesf:=vector(npc,[]): for i from 1 to npc do r32[i]:=vt3[i][1]^2+vt3[i][2]^2: facesf[i]:=1+HR*r32[i]: vt4[i]:=evalm(facesf[i]*vt3[i]): end do: xtf:=vector(npc,[seq(evalf(vt4[i][1],5),i=1..npc)]): ytf:=vector(npc,[seq(evalf(vt4[i][2],5),i=1..npc)]):

3) Resultados: fotocoordenadas iniciales, parámetros de distorsión y fotocoordenadas finales > cab:=vector(8, ['punto','xini','yini','distopt','refratm','esfterr','xfinal','yfinal']): xt:=vector(npc,[seq(evalf(vt[i][1],5),i=1..npc)]): yt:=vector(npc,[seq(evalf(vt[i][2],5),i=1..npc)]): result:=concat(nom,xt,yt,facdop,facref,facesf,xtf,ytf): M26:=stackmatrix(cab,result);

ª« punto « 20101 «« «« 19101 « 21101 «« «« 22101 « «« 23101 « M26 := «« 24101 «« 25101 «« « 26101 «« «« 27101 « 41101 «« ««102100 «103100 ¬

xini -89.236 -89.562 -69.131 .11175 6.6717 12.034 75.161 74.599 80.766 -43.817 71.044 -109.18

yini 2.8201 89.039 -91.710 83.146 9.5256 -87.962 73.018 5.1238 -76.628 54.200 -36.253 -42.702

distopt 1.000041262 .9999969853 1.000015883 1.000042826 1.000001951 1.000041454 1.000029342 1.000042318 1.000021026 1.000040704 1.000042969 1.000012160

refratm .9999872547 .9999840147 .9999851352 .9999876843 .9999904375 .9999872908 .9999860323 .9999882214 .9999854580 .9999885193 .9999879085 .9999849098

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esfterr 1.000020047 1.000040108 1.000033171 1.000017387 1.000000340 1.000019823 1.000027616 1.000014062 1.000031172 1.000012217 1.000015999 1.000034566

xfinal -89.241 -89.564 -69.134 .11175 6.6716 12.034 75.164 74.602 80.769 -43.819 71.047 -109.19

yfinal º » 2.8202»» » 89.040»» -91.714»» » 83.150»» » 9.5255»» » -87.966»» 73.021»» » 5.1241»» » -76.631»» » 54.202»» -36.254»» » -42.703»¼

55

Refinamiento de coordenadas fotográficas

El resultado obtenido tras operar de forma análoga con el fotograma 25 es:

ª punto « « 16101 « « « 17101 « «« 18101 «« « 19101 « « 20101 M25 := «« «« 21101 «« 22101 «« «« 23101 «« 24101 «« «« 41101 ¬103100

xini -100.26 -83.183 -63.913 -6.9247 -9.0571 3.8633 81.108 86.439 87.653 38.940 -29.232

yini 100.84 7.3224 -91.116 89.680 3.2485 -92.574 81.437 7.9403 -90.033 53.715 -42.302

distopt .9999720678 1.000042782 1.000021076 1.000040986 1.000001341 1.000039649 1.000015746 1.000042103 .9999980822 1.000039177 1.000029177

refratm .9999822800 .9999876601 .9999854613 .9999872062 .9999904548 .9999870054 .9999851268 .9999874319 .9999840798 .9999887046 .9999894185

esfterr 1.000050848 1.000017537 1.000031151 1.000020347 1.000000233 1.000021591 1.000033222 1.000018950 1.000039705 1.000011070 1.000006650

xfinal -100.26 -83.187 -63.915 -6.9251 -9.0570 3.8635 81.111 86.443 87.655 38.941 -29.233

Como se puede ver, en ninguno de los casos las correcciones superan los 5 micrómetros.

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yfinal º » 100.84»» » 7.3228»» -91.119»» » 89.685»» » 3.2484»» » -92.579»» 81.440»» » 7.9407»» » -90.035»» » 53.717»» -42.303»¼

57

Restitución analítica

4 Restitución analítica La restitución trata el problema de obtener y almacenar las coordenadas de un determinado objeto, en nuestro caso un terreno, a partir de las correspondientes fotocoordenadas refinadas que, a su vez, se han calculado a partir de medidas hechas sobre las fotografías. En los restituidores analógicos (Fig.4.1), este proceso se efectúa mediante la reconstrucción de la forma de los haces perspectivos que impresionaron los fotogramas y su posición en el espacio, de manera que los rayos homólogos intersectan formando un modelo homotético al que impresionó los fotogramas. La restitución analítica realiza el mismo desarrollo mediante cálculos matemáticos, sin necesidad de reproducir el modelo físicamente mediante alguna analogía mecánica u óptica. En cualquier caso, el proceso tiene dos partes diferenciadas: la orientación de los haces de rayos, que recibe el nombre de orientación externa y el cálculo de coordenadas terreno, que es la restitución propiamente dicha. En este capítulo se desarrollan los diferentes procedimientos de cálculo hasta la obtención de coordenadas terreno. El análisis de los errores y la comparación entre los diferentes métodos se tratarán en el capítulo siguiente.

Fig. 4.1 Restituidor analógico mecánico Wild B-8

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58

4.1

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Orientación

El proceso que se sigue hasta conseguir esta intersección entre los rayos homólogos se denomina orientación y se puede dividir en dos grandes apartados: orientación interna y orientación externa. 4.1.1

Orientación interna

La orientación interna consiste en el proceso descrito en los capítulos anteriores, es decir, en la reconstrucción individual de los rayos que impresionaron la placa fotográfica, eliminando las deformaciones producidas en el proceso de medición de coordenadas cliché, y su posterior refinamiento. Para realizar la orientación interna de los fotogramas es necesario, pues, conocer los datos de calibración de la cámara con la que se hicieron las fotografías. Estos datos incluyen la focal calibrada, la posición del punto principal respecto al centro fiducial y la función de distorsión óptica. 4.1.2

Orientación externa

Se llama orientación externa al problema de lograr que los haces, formados mediante la orientación interna, tomen idéntica posición, con respecto al terreno, a la que tuvieron al ser impresionadas las fotografías. Para ello es necesario orientar las fotografías o el modelo en un sistema de coordenadas externo (fig. 4.2). Dicho de otro modo, se trata de relacionar el sistema de coordenadas imagen, propio de la fotografía con el sistema de coordenadas terreno.

Z

a1

z

y

a2

o

x

A

Y

O X

Fig. 4.2 Modelo y coordenadas terreno

Si la orientación se lleva a cabo utilizando el par estereoscópico como unidad de trabajo, según la metodología empleada en los restituidores analógicos, se dice que se sigue el método de los dos pasos,

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59

Restitución analítica

mientras que, si se hace para cada fotograma individualmente, se dice que se sigue el método de un solo paso. El correspondiente proceso de restitución, o cálculo de coordenadas terreno, también es diferente según el método de orientación utilizado. A continuación estudiaremos con detalle cada uno de los dos métodos y lo aplicaremos al ejemplo de trabajo.

4.2

Método de los dos pasos

Como se ha comentado anteriormente, este método sigue el sistema empleado en los restituidores analógicos, dividiendo el proceso en tres fases: - Orientación relativa: se disponen las dos fotografías en la misma posición relativa que estaban en el momento de toma. - Cálculo de coordenadas modelo: se intersectan los rayos homólogos formando un modelo tridimensional. - Orientación absoluta: se escala, gira y desplaza todo el conjunto hasta una posición conocida con respecto a un sistema coordenado terrestre. 4.2.1

Orientación relativa

Se trata de colocar los puntos de vista (O1 y O2) y orientar libremente los dos haces, de modo que dos rayos homólogos, es decir, correspondientes al mismo punto del terreno, se intersecten en el espacio (Fig. 4.3). La posición relativa de los dos fotogramas depende, en principio, de 9 parámetros: las coordenadas (bx, by, bz) del vector b que une ambos centros de proyección, b=O1O2, y 6 ángulos de giro correspondientes a las 6 posibles rotaciones de ejes: Z1, M1, N1 y Z2, M2, N2, aunque algunos de estos parámetros se pueden fijar de antemano. z

N

y

M S1

Z

y1 x1 a1

Z

x

bx b

bz by S2 y2 a2 x2

A Y

X

Fig. 4.3 Orientación relativa

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60

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Hay diferentes métodos de orientación relativa, dependiendo de los parámetros que se fijen y los que se dejen libres para ser ajustados mediante mínimos cuadrados. El modelo matemático que se utiliza en todos estos ajustes es la ecuación de coplanaridad (ver apéndice), que establece que el vector b = O1O2 y los rayos proyectivos Vi = O1p1 y Vd = O2p2 pertenecen a un mismo plano, el plano epipolar o nuclear, gracias a lo cual los dos rayos homólogos efectivamente se intersectan en P: Todos estos vectores están referidos a un sistema ortogonal de coordenadas cartesianas con origen en el centro de proyección izquierdo del par estereoscópico, con el eje z definido por el centro de proyección izquierdo y el punto principal de este fotograma, el eje x en la dirección de la pasada fotográfica y el eje y perpendicular a los dos anteriores. La condición de coplanaridad se expresa, pues, de la forma:

bx

by

bz

Xi Xd

Yi Yd

Zi Zd

0

(4.1)

donde Vi

Vd

§ Xi · § x1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Yi ¸ Ri ¨ y1 ¸ ¨Z ¸ ¨ f ¸ © i¹ © ¹ § Xd · § x2 · § bx · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Yd ¸ Rd ¨ y2 ¸  ¨ by ¸ ¨Z ¸ ¨ f ¸ ¨b ¸ © d¹ © ¹ © z¹

(4.2)

siendo Ri y Rd las matrices de rotación de ejes de ángulos Z1, M1, N1 y Z2, M2, N2 respectivamente, x1, y1 y x2, y2 las fotocoordenadas de los puntos imagen p1 y p2 y f la distancia focal. Para cada par de puntos homólogos se tiene una ecuación de coplanaridad (4.1) que relaciona sus fotocoordenadas x1, y1, x2, y2 con los 9 parámetros bx, by, bz, Z1, M1, N1, Z2, M2, N2: f(x1, y1, x2, y2, bx, by, bz, Z1, M1, N1, Z2, M2, N2) = 0 En general se fijan de antemano 4 de los parámetros y quedan los 5 restantes como incógnitas. Por tanto, se necesita un mínimo de 5 parejas de puntos homólogos para poder determinarlas. Habitualmente se usan más parejas de las estrictamente necesarias, de esta forma se posibilita la obtención de los parámetros mediante mínimos cuadrados, a fin de compensar los errores en las fotocoordenadas. Si las fotocoordenadas se consideran como variables observacionales y, por tanto, como variables aleatorias, para poder calcular la propagación de la desviación tipo es necesario emplear el método general de mínimos cuadrados. El método de las observaciones indirectas o de las ecuaciones de observación no se puede aplicar en este caso puesto que en las ecuaciones 4.1 no se puede despejar una observación en función de las incógnitas. En aras de la simplicidad que pretende tener este manual, el ajuste se hará por mínimos cuadrados en sentido puramente analítico, considerando las fotocoordenadas como datos y no como variables aleatorias afectadas por un cierto error (ver apéndice).

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61

Restitución analítica

En cuanto a los parámetros que se fijan de antemano, consideraremos dos casos. -

Mantener el proyector de la izquierda fijo:

Se toma Z1 = M1 = N1 =0 y, por tanto, Ri = I. Ademas, se da a bx un valor arbitrario, generalmente 1. -

Se giran ambos proyectores:

Se toma Z1 = 0, bx = 1 y by = bz = 0 4.2.2

Cálculo de las coordenadas modelo

Una vez se tienen los parámetros de orientación relativa, se calcula un modelo tridimensional de todos los puntos homólogos, que será semejante al objeto (terreno) que se quiere representar pero a una escala arbitraria determinada por el valor que se ha dado al parámetro bx. Ello se hará mediante la intersección de los rayos proyectivos determinados por las rectas que pasan por O1 y p1 y por O2 y p2 respectivamente (Fig. 4.4): X Xi

Y Yi

Z Zi Y  by

X  bx Xd

Yd

Z  bz Zd

Sin embargo, es difícil que se produzca esta intersección debido a pequeños residuales en el ajuste de los parámetros. Aparecerá un vector, conocido como paralaje vertical, de separación para todos los puntos del modelo y para todas las alturas que consideremos. Es el que en los restituidores analógicos suele incomodar e incluso impedir una buena observación estereoscópica del modelo orientado. Existen diferentes soluciones para evitar la paralaje vertical y encontrar las coordenadas del modelo fotogramétrico. Una de ellas consiste en determinar una coordenada Y para cada recta: X Xi

Y1 Yi

Z Zi Y2  by

X  bx Xd

Yd

Z  bz Zd

y considerar la intersección en el punto intermedio:

Y

Y1  Y2 2

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Z

Y

X

bx

S1

b

bz by S2

a1 a2

A'' A'

py

Fig. 4.4 Cálculo del modelo

4.2.3

Orientación absoluta

Como se dispone de un modelo semejante al terreno, mediante un mínimo de 3 puntos de control, para los que se conocen las coordenadas en ambos sistemas, modelo y terreno, se determinan los 7 parámetros (vector de traslación, ángulos de giro y factor de escala) de la transformación tridimensional de semejanza que pasa del sistema modelo al sistema terreno. El modelo matemático para la estimación de los parámetros por mínimos cuadrados es la propia transformación de semejanza: §X · § x · § tx · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Y ¸ O R ¨ y ¸  ¨ ty ¸ ¨Z¸ ¨ z ¸ ¨t ¸ © ¹ © ¹ © z¹ donde R es una matriz de rotación de ejes de ángulos Z, M, N. Se empleará el método de las observaciones indirectas, considerando como variables observacionales las coordenadas (X, Y, Z) de los puntos de control, que aparecen despejadas en función de las incógnitas, todas con la misma desviación tipo. Las coordenadas modelo (x, y, z) se considerarán como datos. Si se consideraran como observables, habría que aplicar el método general de mínimos cuadrados. Una vez se dispone de la transformación, se calculan las coordenadas terreno de todos los puntos del modelo.

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63

Restitución analítica

4.3

Ejemplo

A continuación se desarrollan los cálculos en MAPLE de la restitución, por el método de los dos pasos, con los puntos del terreno correspondientes a nuestro ejemplo de trabajo. La orientación relativa se hará para los dos casos descritos y se compararán los correspondientes modelos. Primero buscaremos aquellos puntos comunes en ambas fotografias, ya que serán estos los que nos permitan formar el modelo. Para posteriormente pasar a aplicar las diferentes condiciones anteriormente descritas. 1) Búsqueda de puntos comunes en los fotogramas 25 y 26 Recordemos que M25 y M26 son las matrices que contienen el resultado del refinamiento de las fotografías 25 y 26. En la primera columna se encuentra el identificador de cada punto, que utilizaremos para localizar los puntos comunes a ambas. > rd25:=rowdim(M25):rd26:=rowdim(M26): nom25:={seq(M25[i,1],i=2..rd25)}: nom26:={seq(M26[i,1],i=2..rd26)}: pcom:=nom25 intersect nom26; convert(pcom,list): np:=nops(pcom);

pcom:= { 19101, 20101, 21101, 22101, 23101, 24101, 41101, 103100} np := 8 Lista de coordenadas refinadas y coordenadas de los puntos comunes de la fotografía 25 > for j from 1 to np do for i from 2 to rd25 do ref25[i]:=[M25[i,7],M25[i,8]]: if M25[i,1] = pcom[j] then c25[j]:=ref25[i] end if end do end do; Lista de coordenadas refinadas y coordenadas de los puntos comunes de la fotografía 26 > for j from 1 to np do for i from 2 to rd26 do ref26[i]:=[M26[i,7],M26[i,8]]: if M26[i,1] = pcom[j] then c26[j]:=ref26[i] end if end do end do; 2) Orientación relativa 2-a) Orientación relativa girando un solo proyector En este caso, a partir de la condición de que los vectores se encuentren en un mismo plano, buscaremos el valor de los tres ángulos de rotación de uno de los proyectores, asi como de los valores de las componentes y y z del vector que une ambos centros de proyección. © Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

x Ecuación de coplanaridad Matriz de rotación de ejes > R:=matrix(3,3,[ cos(phi)*cos(kappa), cos(omega)*sin(kappa)+sin(omega)*sin(phi)*cos(kappa), sin(omega)*sin(kappa)-cos(omega)*sin(phi)*cos(kappa), -cos(phi)*sin(kappa), cos(omega)*cos(kappa)-sin(omega)*sin(phi)*sin(kappa), sin(omega)*cos(kappa)+cos(omega)*sin(phi)*sin(kappa), sin(phi), -sin(omega)*cos(phi), cos(omega)*cos(phi) ]);

ª« cos( I ) cos( N) cos( Z ) sin( N)sin( Z ) sin( I ) cos( N) sin( Z ) sin( N)cos( Z ) sin( I ) cos( N)º» R := ««cos( I ) sin( N) cos( Z ) cos( N)sin( Z ) sin( I ) sin( N) sin( Z ) cos( N)cos( Z ) sin( I ) sin( N)»» «« »» sin( Z ) cos( I ) sin( I ) cos( Z ) cos( I ) ¬ ¼ Introducimos la condición de coplanaridad. > B:=vector(3,[Bx,By,Bz]): p1:=vector(3,[x1,y1,-f]): p2:=vector(3,[x2,y2,-f]): v2:=evalm(&*(R,p2)): mcop:=stackmatrix(B,p1,v2): copl:=det(mcop): No se muestra el resultado por el gran tamaño de la ecuación resultante. En el caso de ángulos suficientemente pequeños esta matriz se simplifica considerablemente: > M:=matrix(3,3,[1,kappa,-phi,-kappa,1,omega,phi,-omega,1]); v2m:=evalm(&*(M,p2)): mcopm:=stackmatrix(B,p1,v2m): coplm:=det(mcopm);

N ª1 « M := ««N 1 «« ¬ I Z Bx ª « mcopm := «« x1 «« ¬x2N y2I f

Iº » Z »» » 1 »¼

By y1 N x2y2Z f

Bz º » »» f » I x2Z y2f»¼

Debido a que el modelo matemático del que partimos no es lineal, se ha de proceder a su linealización, mediante desarrollo de Taylor de primer orden, y tomando unos valores aproximados para los

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Restitución analítica

parámetros que deseamos determinar. De este modo ya podremos aplicar el método de los mínimos cuadrados, para la obtención del mejor valor para los mismos. x Linealización del modelo matemático Diferencial de la ecuación de coplanaridad respecto de los paràmetros > difpar:=grad(copl,[omega,phi,kappa,By,Bz]):

Distancia focal, base del modelo y número de parámetros para cada ecuación de coplanaridad > f:=153.09:Bx:=1:npar:=5:

Jacobiano de la condición de coplanaridad respecto de los parámetros, en función de éstos. Sustitución de las fotocoordenadas > for i from 1 to np do Ap[i]:=subs(x1=c25[i][1],y1=c25[i][2],x2=c26[i][1],y2=c26[i][2],eval m(difpar)) end do: Apar:=stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..np)):

Término independiente en función de los parámetros. Sustitución de las fotocoordenadas > for i from 1 to np do Wp[i]:=subs(x1=c25[i][1],y1=c25[i][2],x2=c26[i][1],y2=c26[i][2],copl ) end do: Wpar:=convert([seq(Wp[i],i=1..np)],vector):

Preparación de dos funciones para sustituir los valores aproximados de los parámetros en el jacobiano y el término independiente > param:=vector(5,[]): Aparam:=param->subs(omega=param[1],phi=param[2],kappa=param[3], By=param[4],Bz=param[5],evalm(Apar)): Wparam:=param->subs(omega=param[1],phi=param[2],kappa=param[3], By=param[4],Bz=param[5],evalm(Wpar)):

Sustitución de los valores aproximados de los parámetros, se toma cero en todos los casos. > par0:=vector(5,[0,0,0,0,0]): A:=evalf(Aparam(par0)); At:=transpose(A): W:=evalm(-Wparam(par0));

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

ª -31422.100500 «« «-23445.70923768 «« « -31927.338506 «« -30208.284100 A := «« «-23512.18723785 «« «« -31356.566910 « -26348.116934 «« ¬ -25243.013109

-8032.547340 13711.35276 12651.189201 7415.9364360 º » -289.8904644 13661.90469 12275.368560 264.34791300 »» » 6400.356586 10583.72406 11175.187275 -6754.6936250 »» 9.10092000 -17.1078075 12400.1751825 6735.27873000»» » 52.97717412 -1021.355244 12212.203626 770.43562238 »» » -1083.481190 -1842.28506 11576.81889 -6627.178540 »» » -2353.825223 6708.25071 12669.72840 4464.505305 »» 4619.06457 16715.8971 12240.61713 -3370.727771 »¼

W := [ 98.7430565.553138-132.42285-261.78390-242.617032 , , , , , -316.74321-74.2486561.23600 , , ] x Solución por mm. cc. > N:=evalm(&*(At,A)): U:=evalm(&*(At,W)): Qx:=inverse(N): Delta:=evalm(&*(Qx,U)): delta:=evalf(evalm(Delta),3); par0:=evalm(par0+Delta):

G := [ .00716, -.0100, .0209, -.00451, .00174 ] Las correcciones, sobre todo las angulares (están expresadas en radianes), son de un orden de magnitud considerable. Iteraremos hasta que las correcciones angulares bajen del segundo (4,84 10-6 radianes) y las lineales del milímetro. Los sucesivos resultados son los siguientes

G := [ -.956 10 -5, .0000229, -.579 10 -5, -.000308, .000139 ] G := [ .925 10 -9, -.271 10 -8, .109 10 -8, -.135 10 -7, .725 10 -8 ] Los correspondientes valores finales de los parámetros son parámetros:= evalf(evalm(par0),6);

parámetros := [ .00715254, -.00998585, .0209225, -.00481361, .00187574 ] x Cálculo de las coordenadas modelo con los parámetros calculados girando un solo proyector Transformación de coordenadas del sistema de la fotografía 26 al sistema de la fotografía 25 > p:=vector(3,[]): Rot:=subs(omega=par0[1],phi=par0[2],kappa=par0[3],evalm(R)): Tras:=vector(3,[1,par0[4],par0[5]]): transf:=p->evalm(&*(Rot,p)+Tras);

transf := poevalm( `&*`( Rot, p )Tras )

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Restitución analítica

Cálculo de las coordenadas de los puntos comunes de la fotografía 26 en el sistema de la fotografía 25 > for i from 1 to np do f263d:=vector(3,[c26[i][1],c26[i][2],-f]): c26I[i]:=transf(f263d): end do: Cálculo de las coordenadas modelo. Intersección de la recta que pasa por OI = (0, 0, 0) y tiene la dirección del vector VI = (x1i, y1i, z1i), con la recta que pasa por OD = (Bx, By, Bz) y tiene la dirección del vector VD = (x2d, y2d, z2d), manteniendo paralaje en Y > sl:=solve({X/x1i=Z/z1i, Y1/y1i=Z/z1i, (X-Bx)/x2d=(Z-Bz)/z2d, (Y2-By)/y2d=(Z-Bz)/z2d}, {X,Y1,Y2,Z});

z1i x2d Byz2d x1i Byz1i y2d Bxx1i y2d Bz , z1i x2dz2d x1i ( z2d Bxx2d Bz ) y1i ( z2d Bxx2d Bz ) x1i z1i ( z2d Bxx2d Bz ) , X  , Z  } Y1  z1i x2dz2d x1i z1i x2dz2d x1i z1i x2dz2d x1i

sl := { Y2 

Adaptamos la solución del sistema a nuestro caso > for i from 1 to np do X:=(-c26I[i][3]+c26I[i][1]*par0[5])*c25[i][1]/(-f*c26I[i][1]c26I[i][3]*c25[i][1]): Z:=-f*(-c26I[i][3]+c26I[i][1]*par0[5])/(-f*c26I[i][1]c26I[i][3]*c25[i][1]): Y1:=-c25[i][2]*Z/f: Y2:=par0[4]+c26I[i][2]*(Z-par0[5])/c26I[i][3]: dY[i]:=Y2-Y1: Y:=(Y1+Y2)/2: Mod[i]:=[X,Y,Z]: end do: Mostramos la paralaje vertical (pv) con dos cifras significativas y las coordenadas modelo con 4 cifras significativas > for i from 1 to np do pv[i]:=evalf(dY[i],2): Modp[i]:=evalf(Mod[i],4): end do;

Modp1 := [ -.08491, 1.100, -1.877 ]

pv1 := -.000048

Modp2 := [ -.1115, .04000, -1.884 ]

pv2 := .000049

Modp3 := [ .05073, -1.216, -2.010 ]

pv3 := -.000063

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Modp4 := [ 1.016, 1.020, -1.918 ]

pv4 := .000058

Modp5 := [ 1.079, .09905, -1.911 ]

pv5 := -.00011

Modp6 := [ 1.124, -1.155, -1.964 ]

pv6 := .000058

Modp7 := [ .4736, .6533, -1.862 ]

pv7 := .000024

Modp8 := [ -.3543, -.5127, -1.855 ]

pv8 := .000027

2-b) Orientación relativa girando ambos proyectores Esencialmente, los cálculos a realizar son los mismos que en la orientación relativa girando un solo proyector, salvo en el planteamiento de la ecuación de coplanaridad, que en este caso será: x Ecuación de coplanaridad Matrices de rotación. Se establecen las matrices de rotación para los dos proyectores llamando RI a la matriz del proyector izquierdo y RD a la del derecho. La notación para los angulos será la definida anteriormente, con el subindice 1 y 2 respectivamente. Condición de coplanaridad > B:=vector(3,[1,0,0]): p1:=vector(3,[x1,y1,-f]): p2:=vector(3,[x2,y2,-f]): v1:=evalm(&*(RI,p1)): v2:=evalm(&*(RD,p2)): mcop:=stackmatrix(B,v1,v2): copl:=det(mcop): Diferencial respecto de los parámetros > difpar:=grad(copl,[phi1,kappa1,omega2,phi2,kappa2]): Determinación del giro Z > f:=153.09:omega1:=0: A partir de este momento los cálculos son los mismos que en el caso de girar un solo proyector. Los resultados obtenidos tras la iteración para los 5 parámetros angulares, expresados en radianes, son > parámetros:= evalf(evalm(par0),6);

parámetros := [ -.00187574, -.00481357, .00719179, -.0118612, .0161094 ] x Cálculo de las coordenadas modelo con los parámetros calculados girando ambos proyectores Función para la transformación de coordenadas del sistema de la fotografía izquierda (25): rotación

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Restitución analítica

> p:=vector(3,[]): RotI:=evalf(subs(omega1=0,phi1=par0[1],kappa1=par0[2],evalm(RI))): transfI:=p->evalm(&*(RotI,p));

transfI := poevalm( `&*`( RotI, p ) ) Función para la transformación de coordenadas del sistema de la fotografía derecha (26) al sistema de la fotografía izquierda (25): rotación y traslación > RotD:=subs(omega2=par0[3],phi2=par0[4],kappa2=par0[5],evalm(RD)): Tras:=vector(3,[1,0,0]): transfD:=p->evalm(&*(RotD,p)+Tras);

transfD := poevalm( `&*`( RotD, p )Tras ) Transformación de coordenadas de los puntos comunes de la fotografía izquierda (25) > for i from 1 to np do f253d:=vector(3,[c25[i][1],c25[i][2],-f]): c25I[i]:=transfI(f253d): end do: Transformación de coordenadas de los puntos comunes de la fotografía derecha (26) al sistema de la fotografía izquierda (25) > for i from 1 to np do f263d:=vector(3,[c26[i][1],c26[i][2],-f]): c26I[i]:=transfD(f263d): end do: Ahora se procederá al cálculo de las coordenadas modelo por intersección de rectas. En este caso seguiremos una metodología de cálculos MAPLE alternativa, a fin de ilustrar diferentes posiblidades. Intersección de la recta que pasa por OI = (0, 0, 0) y tiene la dirección del vector VI = (x1i, y1i, z1i), con la recta que pasa por OD = (Bx, By, Bz) y tiene la dirección del vector VD = (x2d, y2d, z2d), manteniendo paralaje en Y > sl:=solve({x/x1i=z/z1i, y1/y1i=z/z1i, (x-Bx)/x2d=(z-Bz)/z2d, (y2-By)/y2d=(z-Bz)/z2d}, {x,y1,y2,z});

z1i ( z2d Bxx2d Bz ) , z1i x2dz2d x1i ( z2d Bxx2d Bz ) y1i By z1i x2dz2d By x1iy2d z1i Bxy2d Bz x1i , y1  , y2  z1i x2dz2d x1i z1i x2dz2d x1i ( z2d Bxx2d Bz ) x1i } x  z1i x2dz2d x1i

sl := { z 

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

El resultado obtenido con la sentencia solve no está vinculado a las correspondientes variables. La vinculación se efectúa independientemente: > x := (z2d*Bx-x2d*Bz)*x1i/(-z1i*x2d+z2d*x1i); z := (z2d*Bx-x2d*Bz)*z1i/(-z1i*x2d+z2d*x1i); y1:= (z2d*Bx-x2d*Bz)*y1i/(-z1i*x2d+z2d*x1i); y2:=-(z1i*x2d*By-z2d*x1i*By-z1i*y2d*Bx+x1i*y2d*Bz)/(z1i*x2d+z2d*x1i): X2p:=subs(Bx=1,By=0,Bz=0,x); Z2p:=subs(Bx=1,By=0,Bz=0,z); Y12p:=subs(Bx=1,By=0,Bz=0,y1); Y22p:=subs(Bx=1,By=0,Bz=0,y2);

X2p :=

z2d x1i z1i x2dz2d x1i

Z2p :=

z1i z2d z1i x2dz2d x1i

Y12p :=

z2d y1i z1i x2dz2d x1i

Y22p :=

y2d z1i z1i x2dz2d x1i

Finalmente, para el cálculo de las coordenadas modelo, se sustituyen las fotocoordenadas en las expresiones anteriores. Para cada vector Modp se muestra la correspondiente paralaje vertical (pv). > for i from 1 to np do X:=subs(x1i=c25I[i][1],y1i=c25I[i][2],z1i=c25I[i][3], x2d=c26I[i][1],y2d=c26I[i][2],z2d=c26I[i][3],X2p): Z:=subs(x1i=c25I[i][1],y1i=c25I[i][2],z1i=c25I[i][3], x2d=c26I[i][1],y2d=c26I[i][2],z2d=c26I[i][3],Z2p): Y1:=subs(x1i=c25I[i][1],y1i=c25I[i][2],z1i=c25I[i][3], x2d=c26I[i][1],y2d=c26I[i][2],z2d=c26I[i][3],Y12p): Y2:=subs(x1i=c25I[i][1],y1i=c25I[i][2],z1i=c25I[i][3], x2d=c26I[i][1],y2d=c26I[i][2],z2d=c26I[i][3],Y22p): dY[i]:=Y2-Y1: Y:=(Y1+Y2)/2: Mod[i]:=[X,Y,Z]: end do: for i from 1 to np do pv[i]:=evalf(dY[i],2): Modp[i]:=evalf(Mod[i],4): end do;

Modp1 := [ -.09373, 1.099, -1.877 ]

pv1 := -.000048

Modp2 := [ -.1152, .03944, -1.884 ]

pv2 := .000049

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Restitución analítica

Modp3 := [ .05281, -1.216, -2.010 ]

pv3 := -.000063

Modp4 := [ 1.008, 1.025, -1.920 ]

pv4 := .000058

Modp5 := [ 1.075, .1042, -1.913 ]

pv5 := -.00011

Modp6 := [ 1.126, -1.149, -1.966 ]

pv6 := .000058

Modp7 := [ .4669, .6555, -1.863 ]

pv7 := .000024

Modp8 := [ -.3553, -.5144, -1.855 ]

pv8 := .000027

3) Cálculo de los parámetros de orientación absoluta Una vez tenemos puntos homólogos de coordenadas conocidas en el sistema modelo y en el sistema terreno, deberemos calcular los parámetros que nos llevan a la transformación de un sistema a otro. Es decir, la transformación tridimensional de semejanza que nos colocará ambos sistemas paralelos, con un mismo origen y un mismo sistema de unidades. Por tanto, los parámetros a determinar serán tres rotaciones, tres traslaciones (una en cada eje coordenado) y un factor de escala. Para calcular estos parámetros mediante mínimos cuadrados se precisa un valor aproximado de los mismos, que calcularemos a partir de la relación existente entre ambos sistemas para un vector definido entre dos de los puntos conocidos. Veamos ahora este proceso de forma más detallada. x Introducción de las coordenadas modelo y coordenadas terreno Disponemos de 5 puntos de control correspondientes a 5 de los puntos del modelo que acabamos de calcular np:=5:npm:=8: Mod[1] := vector(3,[-.8491382458e-1, 1.099670778, -1.87715085]): Mod[2] := vector(3,[-.3542981155, -.5126903336, -1.855420193]): Mod[3] := vector(3,[1.124254656, -1.154751193, -1.963517715]): Mod[4] := vector(3,[1.016166652, 1.020317388, -1.917926703]): Mod[5] := vector(3,[.4735569511, .6532580750, -1.861709603]): Mod[6] := vector(3,[-.1114521692, .3999791282e-1, -1.88387022]): Mod[7] := vector(3,[.5073462446e-1, -1.215758576, -2.01034390]): Mod[8] := vector(3,[1.078856591, .9904963628e-1, -1.910648121]): ct[1] := vector(3,[438454.674,4627903.774,679.925]): ct[2] := vector(3,[437945.559,4628214.874,677.639]): ct[3] := vector(3,[437527.842,4627802.264,627.479]): ct[4] := vector(3,[438277.841,4627542.013,659.851]): ct[5] := vector(3,[438227.287,4627775.509,679.804]): Representación gráfica de las bases (x, y) de los dos sistemas > textplot({seq([Mod[i][1],Mod[i][2],i],i=1..np)},axes=boxed); textplot({seq([ct[i][1],ct[i][2],i],i=1..np)},axes=boxed);

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Se observa que, efectivamente, los dos sistemas forman figuras semejantes con una rotación de aproximadamente 90º en sentido antihorario y un cambio de escala de 2 (rango vertical en el sistema modelo) a 800 (rango horizontal en el sistema terreno), es decir, un cambio de escala de factor 400 aproximadamente. Calculemos el giro acimutal y el factor de escala con mejor aproximación a partir de un vector representativo, por ejemplo el que va del punto 3 al punto 1, en ambos sistemas. > VM:=evalm(Mod[1]-Mod[3]): VT:=evalm(ct[1]-ct[3]): l0:=norm(VT,2)/norm(VM,2); k0:=arctan(VT[1]/VT[2])-arctan(VM[1]/VM[2]);

l0 := 364.8299265 k0 := 1.954013694

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Restitución analítica

x Orientación Como hemos mencionado anteriormente, este proceso consiste en la determinación de los parámetros que pondrán ambos sistemas paralelos y a escala el modelo para “igualarlo” al terreno. x Transformación de semejanza tridimensional Primero aplicaremos una rotación de los ejes, para lo cual definimos de nuevo la matriz de rotación tridimensional R y posteriormente aplicamos la traslación y el factor de escala. > Tras:=vector(3,[tx,ty,tz]): p:=vector(3,[x,y,z]): transf:=evalm(lambda*(R&*p)+Tras): x Linealización del modelo matemático Datos: número de puntos, número de ecuaciones y número de parámetros > nec:=np*3:npar:=7:gdl:=nec-npar: Diferencial respecto de los paràmetros > difpar:=jacobian(transf,[omega,phi,kappa,tx,ty,tz,lambda]): Por cada punto de control se pueden definir tres ecuaciones. Para construir el jacobiano respecto de los parámetros, en función de los mismos, se sustituyen las coordenadas modelo en difpar y luego se apilan las submatrices obtenidas. > for i from 1 to np do Ap[i]:=subs(x=Mod[i][1],y=Mod[i][2],z=Mod[i][3],evalm(difpar)) end do: Apar:=stackmatrix(seq(Ap[i],i=1..np)): A continuación calcularemos los valores de las coordenadas terreno en función de los parámetros e introduciremos tambien los valores observados para las mismas. > for i from 1 to np do Wp[i]:=subs(x=Mod[i][1],y=Mod[i][2],z=Mod[i][3],evalm(transf)) end do: Wpar:=convert(stackmatrix(seq(Wp[i],i=1..np)),vector): > W:=convert(stackmatrix(seq(ct[i],i=1..np)),vector): Se preparan las funciones para sustituir los valores aproximados de los parámetros en el jacobiano posteriormente, y así obtener la matriz de coeficientes A. > param:=vector(npar,[]): Aparam:=param->subs(omega=param[1],phi=param[2],kappa=param[3], tx=param[4],ty=param[5],tz=param[6], lambda=param[7], evalm(Apar)): Wparam:=param->subs(omega=param[1],phi=param[2],kappa=param[3],

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

tx=param[4],ty=param[5],tz=param[6], lambda=param[7],evalm(Wpar)): Sustitución de los valores aproximados de los parámetros. Como primera aproximación tomaremos el giro acimutal y el factor de escala calculados anteriormente y cero en el resto de los parámetros > par0:=vector(npar,[0,0,k0,0,0,0,l0]);

par0 := [ 0, 0, 1.954013694, 0, 0, 0, 364.8299265 ] Construcción de la matriz de diseño y del vector término independiente, que contiene los coeficientes de las incógnitas, mediante la sustitución en el modelo linealizado con los valores aproximados: > A:=evalf(Aparam(par0)): At:=transpose(A): > W0:=evalf(Wparam(par0)): DW:=evalm(W-W0): x Solución del sistema por mm.cc. > N:=evalm(&*(At,A)): U:=evalm(&*(At,DW)): Qx:=inverse(N): Delta:=evalm(&*(Qx,U)); par0:=evalm(par0+Delta); V:=evalm(A&*Delta-DW); Igual que en los casos anteriores, iteramos hasta que las correcciones de los parámetros angulares bajan del segundo y las de los parámetros lineales del milímetro. Las ordenes a ejecutar para llevar a cabo esta iteración son: > for i from 1 while Delta[1]>=0.1e-5 or Delta[2]>=0.1e-5 or Delta[3]>=0.1e-5 or Delta[4]>=0.001 or Delta[5]>=0.001 or Delta[6]>=0.001 or Delta[7]>=0.001 do A:=evalf(Aparam(par0)): At:=transpose(A): W0:=evalf(Wparam(par0)): DW:=evalm(W-W0): N:=evalm(&*(At,A)): U:=evalm(&*(At,DW)): Qx:=inverse(N): Delta:=evalm(&*(Qx,U)): par0:=evalm(par0+Delta): V:=evalm(A&*Delta-DW): end do: Los resultados finales tras la tercera iteración son: > Iteraciones:=i; DW:=evalm(DW);

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Restitución analítica

delta:=evalf(evalm(Delta),2); Parámetros:=evalf(evalm(par0),10); Residuos:=evalf(evalm(V),2);

Iteraciones := 3 G := [ .63 10 -8, -.58 10 -7, .60 10 -6, .000014, .00058, .000011, .48 10 -6 ]

Parámetros:= [-.019203020 , -.011578670 , 1.9538897 , 438055.82 , .46280225 107, 1356.4815 , 364.84153 ]

Residuos := [ -.085, -.053, -.072, .12, -.062, -.017, -.12, -.021, -.029, .083, .012, -.078, -.0011, .12, .19 ]

4.4

Método de un paso

Se basa, como indica su nombre, en encontrar en un solo proceso de cálculo los parámetros de orientación de cada haz, relacionando el sistema fotográfico con el sistema de coordenadas terreno mediante la condición de colinealidad, que establece que el centro proyectivo, el punto imagen y el punto del terreno considerado se encuentren en la misma recta (Fig. 4.5). Relaciona las coordenadas terreno con las coordenadas fotográficas, las primeras referidas a un sistema terrestre y las segundas al sistema formado por los ejes fiduciales y el eje principal de la cámara.

Z'

z

N

y

M

Y' x

Z

S(X 0,Y 0,Z 0 )

X' a ya xa

Z

A Y

ZA XA YA X

O

Fig. 4.5 Ecuación de colinealidad

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Las expresiones utilizadas son (ver apéndice):

x

f

m11 ( X  X 0 )  m12 (Y  Y0 )  m13 ( Z  Z 0 ) m31 ( X  X 0 )  m32 (Y  Y0 )  m33 ( Z  Z 0 )

y

f

m21 ( X  X 0 )  m22 (Y  Y0 )  m23 ( Z  Z 0 ) m31 ( X  X 0 )  m32 (Y  Y0 )  m33 ( Z  Z 0 )

donde: x, y f X0, Y0, Z0 X, Y, Z mij N M Z

coordenadas fotográficas refinadas focal calibrada de la cámara coordenadas terreno del centro de proyección coordenadas terreno del punto considerado elementos de la matriz de rotación transpuesta Dependen de los tres ángulos: giro en torno al eje Z', paralelo al eje Z giro en torno al eje Y', paralelo al eje Y giro en torno al eje X', paralelo al eje X

Estas ecuaciones se emplearán como ecuaciones de observación, considerando siempre las fotocoordenadas (x, y) como variables observacionales, en las dos fases de que consta este método de restitución. 4.4.1

Orientación

Se trata de determinar por mínimos cuadrados, mediante el método de las observaciones indirectas, los 6 parámetros de orientación de cada fotograma: coordenadas del centro de proyección y ángulos de giro. El modelo matemático son las ecuaciones de colinealidad, donde las variables observacionales son las fotocoordenadas (x, y). Las coordenadas terreno (X, Y, Z) se toman como datos sin desviación tipo. Si las coordenadas terreno se consideraran también como variables observacionales, es decir, variables aleatorias con desviación tipo, para la estimación de los parámetros habría que aplicar el método general de los mínimos cuadrados. 4.4.2

Restitución

Se trata de determinar por mínimos cuadrados, mediante el método de las observaciones indirectas, las coordenadas terreno de todos los puntos de los que se disponga de fotocoordenadas en un mínimo de dos fotogramas orientados. El modelo matemático son las ecuaciones de colinealidad, donde las variables observacionales son las fotocoordenadas (x, y). Los parámetros de orientación (X0, Y0, Z0, ZMN) de cada fotograma se toman como datos sin desviación tipo; si éstos se consideraran también como variables observacionales, habría que aplicar el método general de los mínimos cuadrados.

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77

Restitución analítica

4.5

Ejemplo

Partiremos de los mismos datos iniciales que en la restitución mediante el método de los dos pasos: fotocoordenadas de 8 puntos en dos fotogramas y coordenadas tereno de 5 de estos 8 puntos. Fotocoordenadas refinadas de 5 puntos en las dos fotografias y coordenadas terreno correspondientes a estos 5 puntos > np:=5: npi:=3: Proyector izquierdo > ci[1] := vector(2,[-6.9251, 89.685]): ci[2] := vector(2,[-29.233, -42.303]): ci[3] := vector(2,[87.655, -90.035]): ci[4] := vector(2,[81.111, 81.440]): ci[5] := vector(2,[38.941, 53.717]): ci[6]=vector(2,[-9.0570, 3.2484]): ci[7]=vector(2,[3.8635, -92.579]): ci[8]=vector(2,[86.443, 7.9407]): Proyector derecho > cd[1] := vector(2,[-89.564, 89.040]): cd[2] := vector(2,[-109.19, -42.703]): cd[3] := vector(2,[12.034, -87.966]): cd[4] := vector(2,[.11175, 83.150]): cd[5] := vector(2,[-43.819, 54.202]): cd[6]=vector(2,[-89.241, 2.8202]): cd[7]=vector(2,[-69.134, -91.714]): cd[8]=vector(2,[6.6716, 9.5255]): Terreno > ct[1] := vector(3,[438454.674, 4627903.774, 679.925]): ct[2] := vector(3,[437945.559, 4628214.874, 677.639]): ct[3] := vector(3,[437527.842, 4627802.264, 627.479]): ct[4] := vector(3,[438277.841, 4627542.013, 659.851]): ct[5] := vector(3,[438227.287, 4627775.509, 679.804]): Construcción del modelo matemático: ecuaciones de colinealidad Definimos las matrices de rotación de ejes de ambos proyectores, llamadas RI y RD y sus traspuestas respectivas RIt y RDt.

Introducimos los datos necesarios: - Vectores origen de los dos sistemas de fotocoordenadas, en el sistema terreno: OI,OD - Fotocoordenadas de los puntos imagen:pI, pD - Coordenadas de los puntos imagen en sistema paralelo al sistema terreno: vI, vD - Coordenadas de los puntos imagen en el sistema terreno para cada proyector: OPI, OPD - Vector del punto objeto en el sistema terreno: OP - Distancia focal: f

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

> OI:=vector(3,[XIc,YIc,ZIc]): OD:=vector(3,[XDc,YDc,ZDc]): pI:=vector(3,[xI,yI,-f]): pD:=vector(3,[xD,yD,-f]): OPI:=vector(3,[XI,YI,ZI]): OPD:=vector(3,[XD,YD,ZD]): OP:=vector(3,[X,Y,Z]): f:=153.09: Introducimos las ecuaciones de colinealidad derivadas de que el objeto, la imagen y el centro de proyección están alineados. Estas ecuaciones relacionan parámetros, fotocoordenadas y coordenadas terreno. Proyector izquierdo > OIP:=evalm(OP-OI): RItOIP:=evalm(RIt&*OIP): colIx:=pI[3]*RItOIP[1]/RItOIP[3]: colIy:=pI[3]*RItOIP[2]/RItOIP[3]: Proyector derecho > ODP:=evalm(OP-OD): RDtODP:=evalm(RDt&*ODP): colDx:=pD[3]*RDtODP[1]/RDtODP[3]: colDy:=pD[3]*RDtODP[2]/RDtODP[3]: 4.5.1

Cálculo simultáneo de los 12 parámetros de orientación

Para el cálculo de los parámetros de orientación emplearemos el método de las observaciones indirectas considerando las fotocoordenadas refinadas como magnitudes observables y, por tanto, variables aleatorias, todas con la misma desviación tipo. Las coordenadas terreno no las consideraremos variables aleatorias, si no datos sin desviación tipo. Las coordenadas de los centros de proyección y los ángulos de giro son las incógnitas o parámetros a estimar. Como en los casos anteriores nos encontramos con un modelo matemático no lineal y se ha de proceder a la linealización antes de realizar el ajuste mínimo cuiadrático. Gradiente de las ecuaciones de colinealidad respecto de los parámetros de traslación y giro > npar:=12: par:=vector(npar, [XIc,YIc,ZIc,XDc,YDc,ZDc,omega1,phi1,kappa1,omega2,phi2,kappa2]): dcolIxpar:=grad(colIx,par): dcolIypar:=grad(colIy,par): dcolDxpar:=grad(colDx,par): dcolDypar:=grad(colDy,par):

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79

Restitución analítica

Jacobiano de las condiciones de colinealidad respecto de los parámetros, en función de éstos: sustituimos las coordenadas terreno de los puntos. Se ha de plantear en ambos proyectores: Proyector izquierdo > for i from 1 to np do AcolIx[i]:=subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],evalm(dcolIxpar)): AcolIy[i]:=subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],evalm(dcolIypar)): AcolI[i]:=stackmatrix(AcolIx[i],AcolIy[i]): end do: AcolIpar:=stackmatrix(seq(AcolI[i],i=1..np)): Proyector derecho > for i from 1 to np do AcolDx[i]:=subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],evalm(dcolDxpar)): AcolDy[i]:=subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],evalm(dcolDypar)): AcolD[i]:=stackmatrix(AcolDx[i],AcolDy[i]): end do: AcolDpar:=stackmatrix(seq(AcolD[i],i=1..np)): Matriz Apar: A (matriz de diseño) en función de los parámetros > Apar:=stackmatrix(AcolIpar,AcolDpar): Vector Wpar o vector DW (término independiente) en función de los parámetros: valores observados menos valores calculados de las fotocoordenadas > for i from 1 to np do WcolIx[i]:=ci[i][1]-subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],colIx): WcolIy[i]:=ci[i][2]-subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],colIy): WcolI[i]:=[WcolIx[i],WcolIy[i]]: WcolDx[i]:=cd[i][1]-subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],colDx): WcolDy[i]:=cd[i][2]-subs(X=ct[i][1],Y=ct[i][2],Z=ct[i][3],colDy): WcolD[i]:=[WcolDx[i],WcolDy[i]]: end do: Wpar:=convert([seq(op(WcolI[i]),i=1..np), seq(op(WcolD[i]),i=1..np)],vector): Preparación de dos funciones para sustituir los valores aproximados de los parámetros en la matriz A y el vector W > param:=vector(npar,[]): Aparam:=param->subs(XIc=param[1],YIc=param[2],ZIc=param[3], XDc=param[4],YDc=param[5],ZDc=param[6], omega1= param[7],phi1= param[8],kappa1=param[9], omega2=param[10],phi2=param[11],kappa2=param[12], evalm(Apar)): Wparam:=param->subs(XIc=param[1],YIc=param[2],ZIc=param[3], XDc=param[4],YDc=param[5],ZDc=param[6], omega1= param[7],phi1= param[8],kappa1=param[9], omega2=param[10],phi2=param[11],kappa2=param[12],

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

evalm(Wpar)): Cálculo de valores aproximados de los parámetros de factor de escala y giro a partir de los vectores en ambos sistemas que une los puntos 1 y 3 Proyector izquierdo > ti:=vector(4,[ct[1][1],ct[1][2],ct[3][1],ct[3][2]]): MI:=matrix(4,4,[ci[1][1],-ci[1][2],1,0, ci[1][2], ci[1][1],0,1, ci[3][1],-ci[3][2],1,0, ci[3][2], ci[3][1],0,1]): MIi:=inverse(MI): parap:=evalm(MIi&*ti): lambda1:=sqrt(parap[1]^2+parap[2]^2); kappa10:=arctan(parap[2]/parap[1]); XIc0:=parap[3]; YIc0:=parap[4]; ZIc0:=lambda1*f+(ct[1][3]+ct[3][3])/2;

O := 4.5909901207795622118063574974279996 N := 1.1954480641062575012366263000250553 XIc0 := 438059.94136371353739639225867566409 YIc0 := .46280251379193191479061622553707423 10 7 ZIc0 := 1356.5366775901431790054352692812525 Ejecutando las mismas sentencias sobre el proyector derecho obtenemos:

O := 4.568416 N := 1.1588173556 XDc0 := 437918.097 YDc0 := 4627691.724

ZDc0 := 1353.081 Sustitución de los valores aproximados de los parámetros. Colin es la diferencia entre valores de las fotocoordenadas observados y calculados. > par0:=vector(npar,[XIc0,YIc0,ZIc0,XDc0,YDc0,ZDc0, 0,0,kappa10,0,0,kappa20]): A:=evalf(Aparam(par0)): At:=transpose(A): DW:=evalm(Wparam(par0)): Colin:=evalf(evalm(DW),6);

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Restitución analítica

Colin := [ -65.2147, 16.6574, 20.0291, -33.9906, 85.0739, 31.075, -35.213, 75.8107, -27.4765, 39.1978, -94.2375, -42.089, -3.031, -95.8859, 66.3745, -21.8567, -61.9950, 23.5914, -54.5132, -17.8480 ] Modelo estocástico. Como hemos considerado las observaciones con la misma desviación tipo, la matriz de pesos es la identidad y no hace falta introducirla. Cálculos matriciales y solución del sistema normal. Correc son las correcciones a efectuar en los parámetros expresadas en metros y en radianes. > N:=evalm(&*(At,A)): U:=evalm(&*(At,DW)): Qx:=inverse(N): Delta:=evalm(&*(Qx,U)): Correc:=evalf(evalm(Delta),3);

Correc := [ 5.89, 25.3, 187., -3.69, 25.5, 223., .00436, .0205, .691, -.00205, .0223, .728 ] Nuevos valores aproximados de los parámetros y resíduos. SV2 es la suma cuadrática de resíduos, es decir, la magnitud que el proceso hace mínima. También se muestra Colin a posteriori. > par0:=evalm(par0+Delta): DW:=evalm(Wparam(par0)): V:=evalm(A&*Delta-DW): V2:=dotprod(V,V): SV2:=evalf(V2,3); Colin:=evalf(evalm(DW),6);

SV2 := 40100. Colin := [ -7.09823, 15.3125, -5.0177, -13.6746, 24.1819, -18.9131, 12.4922, 19.0110, 4.7869, 10.8861, -26.6495, 10.8974, -22.4238, -20.7791, 9.08846, -24.0511, -5.40076, 16.7432, -14.2126, 6.6334 ] Iteración mientras las correcciones a los parámetros de distancia sean mayores que 1 mm o las de los parámetros angulares mayores que un segundo. Los resultados son los siguientes: 1ª iteración

Correc := [ -25.1, -39.9, -235., -11.3, -64.3, -287., -.0381, -.0417, .0865, -.0218, -.0673, .114 ] Colin := [ 5.0695, -5.7196, 4.2603, 3.7422, -6.8225, 5.8900, -1.2185, -7.3580, 1.1469, -4.7964, 13.706, -2.5208, 12.560, 8.6226, .1144, 10.7526, 6.63322, -5.8210, 9.8495, -1.8181] SV2 := .0541

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

2ª iteración

Colin := [ .42937, -.3452, .3787, .1655, -.3541, .3353, .0880, -.4451, .1981, -.3313, 1.1036, -.0066, 1.115, .6172, .2357, .9217, .717590, -.3269, .9237, -.0562 ] Correc := [ 12.5, 11.1, 45.0, 9.79, 23.3, 59.0, .0121, .00867, -.0179, .00926, .0188, -.0248 ] SV2 := .00982 3ª iteración

Colin := [ .01291, -.0002, .0084, -.0042, -.0059, -.0055, -.0047, .0064, -.0033, -.0023, .0139, .0056, .010, -.0044, .0049, .0070, .007306, -.0008, .0006, .0022 ] Correc := [ 2.06, .855, 3.03, 2.70, 3.87, 5.15, .00195, .000554, -.00128, .00247, .00331, -.00196 ] SV2 := .000561 4ª iteración

Colin := [ .00998, .0015, .0064, -.0041, -.0051, -.0052, -.0071, .0088, -.0056, 0., .0076, .0039, .002, -.0059, -.0014, .0014, .000067, -.0007, -.0074, .0020 ] Correc := [ .0172, .00427, .00857, .0404, .0503, .0235, .0000140, .317 10 -5, -.439 10 -5, .0000322, .0000426, -.455 10 -5 ] SV2 := .000537 5ª iteración

Colin := [ .00998, .0015, .0064, -.0041, -.0051, -.0052, -.0071, .0088, -.0056, 0., .0076, .0039, .002, -.0059, -.0014, .0014, .000067, -.0007, -.0074, .0020 ] Correc := [ -.275 10 -5, .0000146, -.402 10 -5, .276 10 -5, .0000133, .120 10 -5, -.979 10 -8, .165 10 -7, .825 10 -10, -.253 10 -8, .155 10 -7, .211 10 -8 ] SV2 := .000537 Parámetros := [ 438055.3376, .4628022415 10 7, 1356.629842, 437915.6298, .4627680125 10 7, 1352.773214, -.01962977289, -.01203177604, 1.953782868, -.01205967654, -.02279390847, 1.974528415 ] Se puede apreciar una clara mejora de los resultados con cada itreracion. Paramos la iteración porque las correcciones ya no son significativas. Inferiores a las décimas de milímetro en los parámetros lineales y a las décimas de segundo en las angulares. Por otra parte, la magnitud SV2 que el proceso hace mínima se ha estabilizado. Obsérvese que la diferencia entre fotocoordenadas observadas menos calculadas también se ha estabilizado.

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83

Restitución analítica

4.5.2

Restitución: cálculo de coordenadas terreno

En primer lugar se ha realizado la representación gráfica de los puntos del fotograma izquierdo. Los puntos que se presentan numerados son aquellos para los que hemos de calcular las coordenadas terreno. Los otros 5 son los que se han utilizado para la estimación de los parámetros de orientación. >txp:=textplot({seq([ci[np+i][1],ci[np+i][2],i],i=1..npi)},axes=boxe d): ptp:=pointplot({seq([ci[i][1],ci[i][2]],i=1..np)},axes=boxed): display(txp,ptp);

Preparación del cálculo de coordenadas terreno de un punto a partir de sus fotocoordenadas en los dos fotogramas, por el método de las observaciones indirectas, donde las ecuaciones de observación son las ecuaciones de colinealidad. Las variables observables son las fotocoordenadas, que consideraremos todas con la misma desviación tipo. Para poder aplicar el método de las observaciones indirectas, hemos de considerar los parámetros de orientación como datos sin error (aunque acabemos de calcularlo). Las incógnitas o parámetros a determinar son las coordenadas terreno Ecuaciones de la proyección (colinealidad) correspondientes a los valores de los parámetros que acabamos de calcular Matrices de rotación traspuestas > RtI:=evalf( subs(omega1=par0[7],phi1=par0[8],kappa1=par0[9],evalm(RIt))): RtD:=evalf( subs(omega2=par0[10],phi2=par0[11],kappa2=par0[12],evalm(RDt))): Vectores que van desde el origen de cada sistema de fotocoordenadas a punto del terreno > OPI:=evalm(OP-vector(3,[seq(par0[i],i=1..3)])): OPD:=evalm(OP-vector(3,[seq(par0[i],i=4..6)])):

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Producto > RtIP:=evalm(RtI&*OPI): RtDP:=evalm(RtD&*OPD): Ecuaciones de la proyección > PROY:=vector(4): PROY[1]:=-f*RtIP[1]/RtIP[3]: PROY[2]:=-f*RtIP[2]/RtIP[3]: PROY[3]:=-f*RtDP[1]/RtDP[3]: PROY[4]:=-f*RtDP[2]/RtDP[3]: Comenzamos ya con el cálculo de coordenadas terreno. Primero haremos los cálculos con un punto de control para contrastar la bondad del método. Observaciones: fotocoordenadas del primero de la lista de puntos comunes > Obs:=vector(4,[ci[1][1],ci[1][2],cd[1][1],cd[1][2]]): Linealización. Como valores aproximados iniciales de las incógnitas tomamos el centroide de los puntos de control. > X0:=sum('ct[i][1]','i=1..5')/np: Y0:=sum('ct[i][2]','i=1..5')/np: Z0:=sum('ct[i][3]','i=1..5')/np: Matriz de diseño > DPR:=jacobian(PROY,OP): A0:=subs(X=X0,Y=Y0,Z=Z0,evalm(DPR)): A0t:=transpose(A0): Término independiente: fotocoordenadas observadas menos calculadas > W0:=convert(subs(X=X0,Y=Y0,Z=Z0,evalm(PROY)),vector): DW:=evalm(Obs-W0): Sistema normal y solución > N0:=evalm(A0t&*A0): N0I:=inverse(N0): T:=evalm(A0t&*DW): m:=evalm(N0I&*T): Nuevos valores aproximados > Xi:=X0+m[1]: Yi:=Y0+m[2]: Zi:=Z0+m[3]:

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Restitución analítica

Iteración mientras las correcciones a las coordenadas terreno sean superiores a 1 mm > for niter from 1 while abs(m[1])>0.001 or abs(m[2])>0.001 or abs(m[3])>0.001 do Ai:=subs(X=Xi,Y=Yi,Z=Zi,evalm(DPR)): Ait:=transpose(Ai): Wi:=convert(subs(X=Xi,Y=Yi,Z=Zi,evalm(PROY)),vector): DW:=evalm(Obs-Wi): N:=evalm(Ait&*Ai): Qm:=inverse(N): T:=evalm(Ait&*DW): m:=evalm(Qm&*T); Xi:=Xi+m[1]: Yi:=Yi+m[2]: Zi:=Zi+m[3]: end do: Resultado > niter:=niter; correc:=evalf(evalm(m),3); difer:=[ct[1][1]-Xi,ct[1][2]-Yi,ct[1][3]-Zi]: diferencia:=evalf(evalm(difer),3);

niter := 4 correc := [ -.231 10 -9, .136 10 -10, .161 10 -9 ] diferencia := [ .0222, .0427, -.0244 ] Cálculo de las coordenadas terreno para los tres puntos de los que conocemos las fotocoordenadas en los dos proyectores. Grados de libertad > nec :=4:npar:=3:gdl:=nec-npar: Bucle > for i from 1 to npi do ctc[i]:=vector(3): Obs:=vector(4,[ci[np+i][1],ci[np+i][2],cd[np+i][1],cd[np+i][2]]): DW:=evalm(Obs-W0): T:=evalm(A0t&*DW): m:=evalm(N0I&*T): Xi:=X0+m[1]: Yi:=Y0+m[2]: Zi:=Z0+m[3]: for niter from 1 while abs(m[1])>0.001 or abs(m[2])>0.001 or abs(m[3])>0.001 do Ai:=subs(X=Xi,Y=Yi,Z=Zi,evalm(DPR)): Ait:=transpose(Ai): Wi:=convert(subs(X=Xi,Y=Yi,Z=Zi,evalm(PROY)),vector):

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

DW:=evalm(Obs-Wi): N:=evalm(Ait&*Ai): Qm:=inverse(N): T:=evalm(Ait&*DW): m:=evalm(Qm&*T); Xi:=Xi+m[1]: Yi:=Yi+m[2]: Zi:=Zi+m[3]: end do: V[i]:=evalm(Ai&*m-DW): V2[i]:=dotprod(V[i],V[i]): Qres[i]:=evalm(diag(seq(1,i=1..4))-evalm(Ai&*Qm&*Ait)): s2[i]:=V2[i]/gdl: matvc[i]:=evalm(s2[i]*Qm): sfc[i]:=sqrt(s2[i]): ctc[i][1]:=Xi:ctc[i][2]:=Yi:ctc[i][3]:=Zi: end do: Resultados > for i from 1 to npi do Coor_terreno:=evalf(evalm(ctc[i]),10); residuos:=evalf(evalm(V[i]),3); end do;

Coor_terreno := [ 438099.6813, .4628057302 10 7, 670.1781400 ] residuos := [ .0000179, .00402, .0000675, -.00404 ] Coor_terreno := [ 437654.0676, .4628173758 10 7, 615.0564283 ] residuos := [ -.0000538, -.00974, -.0000902, .00988 ] Coor_terreno := [ 437957.5773, .4627646439 10 7, 655.5893053 ] residuos := [ -.0000192, -.00436, -.0000746, .00436 ] Fin del cálculo de coordenadas terreno >

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Análisis comparativo

5 Análisis comparativo En el capítulo anterior se han descrito diferentes métodos para la obtención de coordenadas terreno a partir de fotocoordenadas refinadas de un par fotogramétrico, y se han implementado en lenguaje MAPLE para un ejemplo concreto. Ahora nos ocuparemos de la comparación entre estos procedimientos atendiendo, además, a la propagación del error en los cálculos involucrados. Para ello es conveniente recordar los diferentes caminos posibles con el esquema 1 (siguiente página).

5.1

Evaluación del error

Tanto en el método de los dos pasos como en el de un solo paso se parte de las fotocoordenadas refinadas de unos cuantos pares de puntos homólogos de un par fotogramétrico y de las correspondientes coordenadas terreno de algunos de ellos. Dependiendo del método de cálculo que se utilice, estas coordenadas se considerarán como variables observacionales, es decir, como variables aleatorias con una desviación tipo de la que habrá que analizar su propagación o como datos sin más, es decir, sin error que se propague en los cálculos. 5.1.1

Método de los dos pasos

a) Orientación relativa La ecuación de coplanaridad relaciona cada pareja de fotocoordenadas de puntos homólogos con los 5 parámetros de orientación. Se utilizarán más de 5 parejas para que haya redundancia y estimar los parámetros por mínimos cuadrados. Al no poder expresarse cada fotocoordenada en función de los parámetros, no se puede emplear el método de las ecuaciones de observación. Por tanto, si se consideran las fotocoordenadas como variables observacionales, para poder calcular la propagación de la desviación tipo es necesario utilizar el método general de mínimos cuadrados. Como ya se ha comentado en su momento, para no sobrepasar el nivel de simplicidad en los cálculos que se desea mantener en este manual, los parámetros de orientación relativa se han estimado por mínimos cuadrados en un sentido puramente analítico, sin considerar las fotocoordenadas como variables aleatorias. En consecuencia, no se puede hacer un estudio de la propagación del error en el sentido estadístico, y no se dispone de una evaluación de la desviación tipo de los parámetros ni de su covariancia.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Esquema 1 Datos Datos internos internos

0/0

Medida de fotocoordenadas

MÉTODO DE DOS PASOS

MÉTODO DE UN PASO

Refinamiento de fotocoordenadas

Orientación relativa z y

Z

x

Y

S(X 0,Y0,Z0)

a a ay x

X

S1

b

Orientación externa

bz by S2

a1 a2 Z

A Y

ZA XA Y

Orientación absoluta

O

A

Restitución Restitución

Z

a

1

z

a

y

o

2

x

A

Y

O

X

Edición. Compilación

SIG.MDT. Cartografía numérica,..

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A

X

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Análisis comparativo

b) Cálculo de las coordenadas modelo La intersección de rayos homólogos proporciona un sistema de ecuaciones que permite calcular las coordenadas modelo en función de los parámetros de orientación y las fotocoordenadas de cada par fotogramétrico. Si se dispusiera de las correspondientes desviaciones tipo y covariancias, la ley de propagación de la matriz de varianza-covarianza nos permitiría calcular las desviaciones tipo y las covariancias de las coordenadas modelo. No es el caso del ejemplo desarrollado. Por tanto, tampoco se dispone de evaluación del error estadístico en las coordenadas modelo. c) Orientación absoluta Los 7 parámetros de la transformación de semejanza tridimensional que relaciona las coordenadas modelo con las coordenadas terreno se determinan mediante mínimos cuadrados con un mínimo de 3 (en nuestro caso 5) parejas de puntos de los que se conocen las coordenadas modelo y terreno. Si tanto unas como otras se consideran variables observacionales, habrá que emplear el método general de mínimos cuadrados para evaluar la propagación del error. En nuestro caso se ha empleado el método de las ecuaciones de observación considerando las coordenadas terreno como variables observacionales independientes, todas con la misma desviación tipo, y las coordenadas modelo como datos. A continuación se expone el análisis estadístico de la propagación del error en las coordenadas terreno en los parámetros de orientación absoluta. Los cálculos son continuación de los correspondientes del capítulo 4 y se mantiene la notación introducida en su momento. Los cálculos se realizan con precisión alta y los resultados se muestran con el número de cifras significativas adecuado a cada caso. Desviación tipo de referencia a posteriori. Es la desviación tipo de los observables (coordenadas terreno), expresada en metros, calculada a posteriori. > V2:=dotprod(V,V): s2:=V2/gdl: Spos:=evalf(sqrt(s2),3);

Spos := .121 Matriz de varianza-covarianza de los parámetros > mvc:=evalm(s2*Qx): Sigma:=evalf(evalm(mvc),2);

ª .28 10 -7 -.55 10 -8 -.44 10 -9 .000016 -.000011 .34 10 -5 -.25 10 -14º «« » -8 -14 » « -.55 10 -8 .65 10 -7 » .19 10 .000014 .000043 -.000010 .34 10 «« »» -9 -8 -7 -5 -5 -6 -15 « -.44 10 .19 10 .19 10 .36 10 .19 10 -.32 10 -.67 10 »» «« » 6 := «« .000016 .000014 .36 10 -5 .017 .0045 -.00094 -.00021 »» « » «« -.000011 .000043 .19 10 -5 .0045 .034 -.0052 .0012 »» « » «« .34 10 -5 -.000010 -.32 10 -6 -.00094 -.0052 .014 .0048 »» «« »» «¬-.25 10 -14 .34 10 -14 -.67 10 -15 -.00021 .0012 .0048 .0025 »¼

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

En la diagonal de esta matriz aparecen por este orden las varianzas de los giros en torno a los ejes X, Y, Z, las traslaciones y el factor de escala. Desviación tipo de los parámetros angulares en segundos sexagesimales para los ejes X, Y, Z. > fc:=evalf(180*3600/Pi): for i from 1 to 3 do s[i]:=sqrt(mvc[i,i])*fc end do: for i from 1 to 3 do Spar[i]:=evalf(s[i],3) end do;

Spar1 := 34.3 Spar2 := 52.6 Spar3 := 28.6 Desviación tipo de los parámetros de distancia en metros de la traslación > for i from 4 to 6 do s[i]:=sqrt(mvc[i,i]) end do: for i from 4 to 6 do Spar[i]:=evalf(s[i],3) end do;

Spar4 := .132 Spar5 := .185 Spar6 := .118 Desviación tipo del factor de escala (adimensional) > s[7]:=sqrt(mvc[7,7]): Spar[7]:=evalf(s[7],3);

Spar7 := .0504 Análisis de los residuos. Matriz cofactor y números de redundancia. > Qv:=evalm(diag(seq(1,i=1..nec))-evalm(A&*Qx&*At)): for i from 1 to nec do r[i]:=Qv[i,i] end do; snr:=evalf(sum('r[i]','i=1..15')): suma_nr:=evalf(snr,3);

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Análisis comparativo

r1 := .6183715543 r2 := .6183013679 r3 := .4915919108 r4 := .5963139811 r5 := .5963843114 r6 := .2361738277 r7 := .3859536069 r8 := .3859735331 r9 := .1370299253 r10 := .6291390531 r11 := .6292688718 r12 := .3916689194 r13 := .7668491647 r14 := .7667871229 r15 := .7501928525 suma_nr := 8.00 Como se puede observar, en ningun caso tenemos observables mal controlados o sin controlar. En todos los puntos, los observables peor controlados son los correspondientes a la coordenada altimétrica debido a su mayor sensibilidad respecto a los posibles errores en las fotocoordenadas. Comparando las redundancias correspondientes a los diferentes puntos se observa que el peor controlado es el punto número 3, que podría ser eliminado del ajuste. d) Cálculo de las coordenadas terreno Para evaluar el error estadístico de las coordenadas terreno calculadas mediante la transformación de semejanza tridimensional, habría que aplicar la ley de propagación de la matriz de varianza-covarianza a la desviación tipo y la covarianza de las coordenadas modelo y de los parámetros de la transformación. Al no disponer del error en las coordenadas modelo, si sólo se estudia la propagación del error en los parámetros se obtiene una evaluación parcial del error en las coordenadas terreno. Alternativamente, se ha mantenido un punto del que se conocen las coordenadas terreno fuera del grupo empleado para estimar los parámetros de la transformación, y se han comparado las coordenadas terreno conocidas previamente con las calculadas a partir de las coordenadas modelo y la transformación de semejanza:

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

> Ter := vector(3,[438099.708,4628057.327,670.123]): difer :=evalm(Terr[1]-Ter);

difer := [ .0644 , -.051 , -.0318245 ]

5.1.2

Método de un solo paso

a) Cálculo de los parámetros de orientación del haz La ecuación de colinealidad relaciona los seis parámetros de orientación (ángulos de giro y coordenadas del centro de proyección) de cada uno de los dos proyectores con las fotocoordenadas y las coordenadas terreno. Si se consideran ambos conjuntos de coordenadas como variables observacionales, para estimar los parámetros de orientación y calcular la propagación del error, habrá que emplear el método general de los mínimos cuadrados. En nuestro caso, se ha utilizado la ecuación de colinealidad expresando las fotocoordenadas en función de los parámetros y las coordenadas terreno y se han estimado los parámetros mediante el método de las ecuaciones de observación considerando las coordenadas terreno como datos sin desviación tipo. A continuación se expone el análisis estadístico de la propagación del error en las fotocoordenadas en los parámetros de orientación. Los cálculos son continuación de los correspondientes del capítulo 4 y se mantiene la notación introducida en su momento. Los cálculos se realizan con precisión alta y los resultados se muestran con el número de cifras significativas adecuado a cada caso. Grados de libertad y varianza de referencia a posteriori > nec :=np*4:gdl:=nec-npar: s2:=V2/gdl: S2pos:=evalf(s2,3);

S2pos := .0000671 Desviación tipo de las fotocoordenadas (en las unidades en que se han introducido) calculada a posteriori > sfc:=sqrt(s2): Sfotoc:=evalf(sfc,3);

Sfotoc := .00819 Matriz de varianza-covarianza para los parámetros y desviación tipo de los parámetros de distancia en metros > mvc:=evalm(s2*Qx): Sigma:=evalf(evalm(mvc),2): > for i from 1 to 6 do s[i]:=sqrt(mvc[i,i]) end do: for i from 1 to 6 do

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Análisis comparativo

Spar[i]:=evalf(s[i],3) end do;

Spar1 := .0876 Spar2 := .135 Spar3 := .0498 Spar4 := .115 Spar5 := .116 Spar6 := .0440 Desviación tipo de los parámetros angulares en segundos sexagesimales > fc:=evalf(180*3600/Pi): for i from 7 to 12 do s[i]:=sqrt(mvc[i,i])*fc end do: for i from 7 to 12 do Spar[i]:=evalf(s[i],3) end do;

Spar7 := 24.0 Spar8 := 34.5 Spar9 := 9.41 Spar10 := 28.5 Spar11 := 27.9 Spar12 := 11.1 Análisis de los residuos. Matriz cofactor y números de redundancia. Su suma debe ser igual a los grados de libertad del sistema. > Qv:=evalm(diag(seq(1,i=1..nec))-evalm(A&*Qx&*At)): for i from 1 to nec do r[i]:=Qv[i,i] end do: for i from 1 to nec do red[i]:=evalf(r[i],3) end do; snr:=evalf(sum('r[i]','i=1..20')): suma_nr:=evalf(snr,3);

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

red1 := .534 red2 := .317 red3 := .544 red4 := .153 red5 := .183 red6 := .232 red7 := .280 red8 := .386 red9 := .686 red10 := .684 red11 := .402 red12 := .418 red13 := .152 red14 := .448 red15 := .232 red16 := .105 red17 := .488 red18 := .433 red19 := .680 red20 := .641 suma_nr := 8.00 Aunque se observan algunos puntos debilmente controlados, no se puede considerar ninguno de ellos como mal controlado. b) Cálculo de las coordenadas terreno Se utiliza de nuevo la ecuación de colinealidad, pero considerando como incógnitas a estimar las coordenadas terreno. Si se consideran las fotocoordenadas y los parámetros de orientación como variables aleatorias, para estimar las coordenadas terreno y calcular la propagación del error, habrá que emplear el método general de los mínimos cuadrados.

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Análisis comparativo

En nuestro caso, se ha utilizado la ecuación de colinealidad expresando las fotocoordenadas en función de los parámetros y las coordenadas terreno y se han estimado las coordenadas terreno mediante el método de las ecuaciones de observación considerando los parámetros de orientación como datos sin desviación tipo. A continuación se expone el análisis estadístico de la propagación del error en las fotocoordenadas de las coordenadas terreno. Los cálculos son continuación de los correspondientes del capítulo 4 y se mantiene la notación introducida en su momento. Los cálculos se realizan con precisión alta y los resultados se muestran con el número de cifras significativas adecuado a cada caso. Desviación tipo de las fotocoordenadas (en las unidades en que se han introducido) calculada a posteriori > for i from 1 to npi do Sfotoc:=evalf(sfc[i],1) end do;

Sfotoc := .006 Sfotoc := .01 Sfotoc := .006 Matriz de varianza-covarianza para los parámetros > for i from 1 to npi do Sig[i]:=evalf(evalm(matvc[i]),2) end do;

ª .00045 .00023 -.00075º « » Sig1 := «« .00023 .00073 -.0014 »» «« »» ¬-.00075 -.0014 .0046 ¼ ª .0094 -.0070 .016 º « » Sig2 := ««-.0070 .0089 -.015»» «« » -.015 .036 »¼ ¬ .016 ª .00040 .000066 .00023º « » Sig3 := ««.000066 .00088 .0017 »» «« » .0017 .0056 »¼ ¬ .00023 Desviación tipo de los parámetros (coordenadas terreno) > for i from 1 to 3 do s[1][i]:=sqrt(matvc[1][i,i]) end do:

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96

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

for i from 1 to 3 do s[2][i]:=sqrt(matvc[1][i,i]) end do: for i from 1 to 3 do s[3][i]:=sqrt(matvc[1][i,i]) end do: > for i from 1 to 3 do Sct[1][i]:=evalf(s[1][i],3) end do; for i from 1 to 3 do Sct[2][i]:=evalf(s[2][i],3) end do; for i from 1 to 3 do Sct[3][i]:=evalf(s[3][i],3) end do;

Sct1 := .0213 1

Sct1 := .0271 2

Sct1 := .0675 3

Sct2 := .0213 1

Sct2 := .0271 2

Sct2 := .0675 3

Sct3 := .0213 1

Sct3 := .0271 2

Sct3 := .0675 3

Análisis de los residuos. Matriz cofactor y números de redundancia. Su suma debe ser igual a los grados de libertad del sistema. > for i from 1 to 4 do r[1][i]:=Qres[1][i,i] end do: snr:=evalf(sum('r[1][i]','i=1..4')): suma_nr[1]:=evalf(snr,3); for i from 1 to 4 do r[2][i]:=Qres[2][i,i] end do: snr:=evalf(sum('r[2][i]','i=1..4')): suma_nr[2]:=evalf(snr,3); for i from 1 to 4 do

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Análisis comparativo

r[3][i]:=Qres[3][i,i] end do: snr:=evalf(sum('r[3][i]','i=1..4')): suma_nr[3]:=evalf(snr,3);

suma_nr1 := 1.00 suma_nr2 := 1.00 suma_nr3 := 1.00 Igual que se ha hecho con el método de un solo paso, compararemos las coordenadas terreno calculadas para uno de los puntos (el mismo que en aquel caso) con las conocidas previamente: > difer:=evalm(Ter-ctc[1]): diferencia:=evalf((difer),3)

diferencia := [ .0267 , .0253 , -.0551 ]

5.2

Conclusiones

El método de los dos pasos tiene un valor didáctico evidente por su semejanza con la metodología empleada en los restituidores analógicos. Por otra parte, tiene la ventaja de permitir la obtención de un modelo a escala del terreno sin la necesidad de puntos de control de coordenadas terreno conocidas. Sin embargo, desde el punto de vista del análisis estadístico, el cálculo de la propagación del error resulta excesivamente complicado y, en la práctica, tal como se ha hecho en el ejemplo estudiado, se prescinde de él. Además, desde el punto de vista analítico, hace intervenir muchos modelos: la ecuación de coplanaridad, la intersección de rayos homólogos y la transformación de semejanza tridimensional El método de un solo paso usa la ecuación de colinealidad como modelo único y permite un control más detallado de la propagación del error aun sin usar el método general de los mínimos cuadrados. Además, la comparación de las coordenadas terreno conocidas previamente con las calculadas, al menos en el punto que se ha considerado en el ejemplo, da un resultado ligeramente mejor. Por otra parte, empleando el método general de los mínimos cuadrados, el modelo de la ecuación de colinealidad permite estimar los parámetros de orientación y las coordenadas terreno en un solo bloque de cálculo y hacer un seguimiento riguroso de la propagación del error (Slama, 1980), aunque en este manual, por motivos didácticos y de simplicidad, se han presentado los cálculos en dos bloques separados y mediante el método de las ecuaciones de condición.

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Obtención, edición y explotación cartográfica

6 Obtención, edición y explotación cartográfica El objetivo final del proceso descrito hasta este momento es la representación, en el sistema de coordenadas terreno, de los diferentes elementos recogidos en las fotografías, lo cual es factible una vez hemos obtenido los parámetros que permiten pasar de fotocoordenadas a coordenadas terreno. Una vez restituido el modelo fotogramétrico, para obtener la cartografía del terreno fotografiado será necesario proceder a la edición del resultado y tratar la información obtenida para crear los diferentes productos cartográficos. Hoy en día el proceso de restitución se realiza en línea, es decir, según se recorren los elementos del modelo reconstruido, el propio programa de diseño toma las coordenadas espaciales a la vez que dibuja los elementos cartográficos a representar La cartografía final está compuesta por diferentes capas de información que proceden de diferentes fuentes. Elementos planimétricos, altimetría, cultivos y vegetación procedentes de la restitución; límites administrativos, procedentes de las bases de datos de los organismos oficiales y toponimia, recogida en cartografía de escalas mayores, nomenclators o en campo. Para sintetizar, podríamos decir que las fases para obtener la cartografía desde el punto en que nos encontramos son: Restitución Revisión de la restitución Edición de la altimetría Generación de las curvas de nivel (si no se han restituido en línea anteriormente) Edición de la planimetría Compilación de la minuta Reproducción y explotación de la cartografía A continuación pasaremos a describir con más detalle cada una de ellas.

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6.1

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Fase de restitución

Consiste en la obtención de las coordenadas que definen la geometría de cada uno de los elementos a representar. Generalmente no se obtiene un listado de coordenadas sino la representación gráfica de los objetos de la zona, tanto naturales como artificiales. En esta fase de dibujo el orden que se sigue es el siguiente: altimetría, planimetría y finalmente los cultivos y vegetación. De este modo se facilita el proceso, ya que existen determinados elementos planimétricos, tales como los cursos fluviales, cuyo trazado nos ayudará en la determinación de la altimetría al estar asociado directamente a ella (los rios fluyen por los caminos de máxima pendiente). Con la posterior edición y compilación de estos archivos o minutas, obtendremos la cartografía definitiva.

Fig. 6.1 Curvas de nivel y curso fluvial

Con el fin de facilitar y automatizar en lo posible la edición de las minutas resultantes de la restitución, durante la misma se realiza la codificación de todos los elementos. Los códigos a asignar a cada tipo de elemento vienen dados en los pliegos de condiciones que facilitan los organismos oficiales que van a editar o tratar esa cartografía, aunque existe una codificación recomendada por la norma MIGRA en el ámbito nacional. Estos códigos vienen dados por la simbología que se asigna a cada elemento durante su dibujo en el sistema de CAD. El empleado en los Institutos Cartográficos y otros organismos encargados de generar cartografía es el programa MicroStation de Bentley, de modo que los elementos se diferenciarán por sus atributos de nivel, color, grosor y estilo de línea. Por ello, antes de empezar con el proceso de restitución, hay que crear una tabla que recoja la simbología de todos los elementos que vayan a quedar representados a la escala a la que va a ser elaborada la cartografía. Así mismo, y en función de dicha escala, se planteará qué elementos, que por su tamaño no quedarían representados, serán sustituidos por un símbolo, ya que por su importancia es necesario que queden recogidos en la cartografía. En este caso lo único que hará falta restituir de los mismos es un punto que lo posicione y nos indique el punto de inserción de la célula (símbolo que representa al elemento). Otra forma de trabajar sería crear una librería donde se recojan todos los símbolos y colocarlos directamente en la fase de restitución. Como hemos visto, cada hoja de cartografía estará compuesta por varias hojas, por lo que generalmente la forma de trabajar en el sistema CAD consiste en la creación de un proyecto, al que se vinculan los diferentes ficheros de dibujo (altimetría, planimetría y cultivos), las librerías de símbolos, tabla de colores, ficheros de ajustes (donde se definen las unidades, sistema de medida de ángulos...) y el interface personalizado. Esta interfaz consiste en un menú personalizado en forma de catálogo, de modo que al seleccionar un elemento (el que se va a dibujar) se activa la simbología asociada a ese

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Obtención, edición y explotación cartográfica

elemento y la orden de dibujo con la que se ha de restituir (poner línea, poner polígono...). Esta metodología evita errores en la simbolización de los elementos restituidos y permite aumentar la calidad del proceso. El otro parámetro fundamental en la calidad del resultado de la restitución es el factor humano. La precisión del posado condiciona la calidad métrica de los vectores extraídos, por lo que del operador se requiere experiencia en la visualización estereoscópica, es decir, en la visualización del modelo 3D en el restituidor para que no tenga dificultades en posarse sobre la superficie del terreno o sobre los elementos a dibujar, y no se encuentre flotando o por debajo de ellos. Otra condición que debe cumplir el operador es que tenga experiencia en la fotointerpretación de los elementos que visualice en los modelos puesto que la correcta codificación de un elemento depende de la decisión del operador de incluirlo en una clase u otra. En caso de trabajar con restituidores digitales, la restitución se ve afectada por la calidad de los fotogramas que forman cada par y por la resolución de la imagen digital. Es decir, por el mínimo nivel de información geométrica que aparecerá en la imagen. La mala radiometría de los fotogramas dificulta la visión estereoscópica, este problema se resuelve parcialmente ajustando el brillo y contraste de las imágenes para la zona que se vaya a restituir. Por otra parte, se ha de tener en cuenta que, en zonas con un relieve muy accidentado y/o zonas de bosque denso, puede que se oculte información y se dificulta el posado sobre la superficie del modelo. Al finalizar la restitución los elementos del territorio quedaran representados mediante el trazado de los vectores que recogen la geometría de cada uno de ellos. En el caso de los cultivos, se traza el polígono que delimita un cierto tipo y se coloca un texto en el centro que indica de qué cultivo se trata. Estos textos también están sujetos a una simbología recogida en la misma tabla que el resto de elementos.

6.2

Revisión de la restitución

Concluida la fase de restitución, y antes de pasar a la edición, es necesaria la revisión de los trabajos realizados, para lo cual se llevan a cabo dos operaciones: Comprobación de la continuidad de los modelos En esta fase se crea una hoja de cartografía a escala inferior con los modelos empleados en el trabajo de restitución, con el fin de comprobar que no existen solapamientos entre hojas ni zonas que han quedado sin cubrir. Posteriormente se crean los marcos de las hojas eliminando todos los elementos que sobresalgan de los mismos y comprobando la coherencia entre elementos que continúan en hojas contiguas: vías de comunicación, cursos fluviales... Revisión de la restitución Se revisa individualmente cada una de las hojas comprobando tanto su contenido como la geometría de los elementos. Para la revisión del contenido se emplean los propios fotogramas, así como cartografía a menor escala. Se comprueban los elementos que, estando en las fotografías, no aparecen en el fichero de dibujo, los enlaces de vías de comunicación, la localización de los cursos fluviales sobre las vaguadas...

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102

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

En la mayoría de los casos la revisión geométrica se encuentra automatizada. Es en este momento cuando se comprueban cosas tales como: que las curvas de nivel no se corten entre si, que todos los tramos de las curvas estén unidos, eliminación de puntos que no aportan información significativa simplificando el trazado de elementos lineales: curvas de nivel, vías de comunicación...

Revisión de campo Se realiza con el objetivo de comprobar todos aquellos aspectos en los que existieron dudas a la hora de realizar la restitución o la revisión, y aquellos elementos que no son visibles o lo son parcialmente en los fotogramas como las líneas eléctricas, límites, canalizaciones subterráneas, toponimia... Este último caso será tratado con más detalle. Antes de salir a campo se realiza una recopilación de toda la cartografía existente de la zona, ya que muchos de los datos que se están buscando se encontrarán en ella y de este modo la comprobación se puede hacer de forma inmediata. A continuación se detallan algunos de los elementos que se han de localizar: Hidrografía: - Se clasificarán los cauces fluviales en permanentes e intermitentes. - Se marcará el sentido de circulación del agua en canales y acequias. - Se clasificarán las conducciones de agua en subterráneas y elevadas. - Se diferenciarán los pozos, fuentes, manantiales... Parajes: - Se identificarán sus limites Construcciones aisladas: - Se localizarán chimeneas de fábrica, torres vigías, monasterios, faros, depósitos de gasolina, monumentos y ruinas de monumentos... y en general todas las edificaciones que tengan un uso distinto a vivienda, cobertizo, taller o almacén. Líneas eléctricas y elementos de transmisión: - Se localizarán todas las líneas eléctricas de alta tensión situando sus puntos de inflexión. - Se localizarán las subestaciones eléctricas, antenas de radio, repetidores de televisión y teléfonos, estaciones radar... Vías de comunicación: - En las carreteras se indicará su clasificación y nomenclatura oficial. - Se señalarán los hitos kilométricos, viaductos, puentes, nudos o raquetas de acceso y salida. - En los caminos se distinguirán: a) pistas y carreteras particulares, b) caminos carreteros y c) caminos de herradura o sendas. Cultivos: - Se comprobará mediante un muestreo si los cultivos restituidos corresponden a la realidad. En las zonas de bosque y monte se deberá ver que tipo de vegetación predomina. Construcciones: - Todos los elementos que se encuentren en construcción y no figuren en los fotogramas se situarán en su posición con la mayor precisión posible y se codificarán como en construcción.

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Obtención, edición y explotación cartográfica

Finalmente se puede pasar a los ayuntamientos un cuestionario donde se recoja información que de otra forma seria difícil determinar. Algunas de las preguntas que podría recoger este formulario son: -

6.3

¿Ha experimentado alguna variación el nombre del pueblo o su ortografía? Las entidades de población o grupos importantes de edificios ¿han cambiado o modificado su denominación? ¿Se ha agregado o segregado alguna parte del termino municipal? ¿Se han realizado obras civiles de importancia? ¿Se han puesto en explotación minas o se han construido instalaciones con ese fin? Líneas de alta tensión que cruzan el termino municipal. ¿Se ha construido alguna conducción subterránea? Comprobación del nombre de los parajes. ...

Fase de edición

Esta fase comprende los procesos para representar los elementos de las diversas capas de información generadas durante la restitución (minuta altimétrica, minuta planimétrica y minuta de cultivos y vegetación de restitución) con la simbología que deberán tener en el documento cartográfico definitivo, es decir, se cambia la codificación de estos elementos. Un ejemplo de codificación lo tenemos a continuación:

Curva de nivel Curva maestra Punto de cota altimétrica Etiqueta curva maestra Etiqueta punto altimétrico

Código MIGRA 0230201 0230202 0210802 0290500

Tipo de elemento LineString LineString punt text text

Nivel (L) 9 8 4 8 7

Color (C) 6 6 0 0 0

Estilo Grosor (S) (W) 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0

Fuente

33 33

Hasta hace unos años la cartografía estaba destinada a ser utilizada, en la mayoría de los casos, sólo en forma de salida gráfica (papel). Por ser notablemente más sencillo, una vez finalizada la restitución se eliminaba la componente altimétrica de los vectores para realizar la edición de la cartografía en dos dimensiones. En la actualidad la información cartográfica es empleada, en muchos casos, en formato digital. De este modo, mediante los sistemas CAD y los sistemas de información geográfica (SIG) se puede generar cartografía derivada y manipular la existente con gran facilidad y a bajo coste. El potencial de estas herramientas y las necesidades del mercado ha favorecido que actualmente la generación de cartografía en formato digital se realice en tres dimensiones. Cada vez son más los organismos que elaboran sus propias normas para la generación de cartografía tridimensional y más numerosos los pliegos que exigen en el producto cartográfico esta condición, aunque en general hasta ahora sólo afectan a las grandes escalas. En nuestro caso, se ha considerado que la cartografía resultante sea perfectamente válida para ser introducida en un sistema de información geográfica, por lo que el tratamiento de todos los elementos durante la edición de las minutas de restitución irá encaminado a tal fin. Es necesario, por tanto, que todos los elementos representados mantengan las condiciones topológicas que tenían en el mundo real: continuidad, vecindad, proximidad...

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6.3.1

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Edición de la altimetría

Hasta hace poco, en el dibujo de las curvas de nivel se ha venido empleando el trazado en línea, es decir, el operador se situaba sobre el modelo en la cota de la curva correspondiente, e iba resiguiendo el modelo a esa altura. Este tipo de curvado tiene el inconveniente de no permitir ajustar de forma exacta la curva de nivel a los elementos planimétricos si no se han restituido anteriormente. En la actualidad, la información altimétrica queda almacenada en el modelo digital del terreno generado durante la restitución y formado por una nube de puntos irregular. Durante el proceso de edición se genera una malla de paso adecuado a la escala de trabajo final, a partir de la nube de puntos, y posteriormente se convierte a formato TIN (Triangulation irregular network, malla irregular de triángulos) y se recalcula tomando los elementos provenientes de la restitución (caminos, carreteras, senderos,...) como líneas de rotura, de forma que el modelo se ajuste perfectamente a los quiebros y cambios de pendiente que define la planimetría restituida. Con el nuevo modelo generado se modifica el curvado existente o se crea con la equidistancia establecida según la escala de la cartografía deseada. De este modo, cuando una curva cruza un elemento lineal como un camino se adapta a los cambios de pendiente (Fig. 6.2) y la cota de cualquier elemento restituido coincide con la cota del modelo digital en el mismo punto.

CURVADO ORIGINAL CURVADO DEFINITIVO

LINEAS DE ROTURA Fig. 6.2 Resultado del curvado tomando como líneas de rotura los elementos planimétricos

La generación de las curvas de nivel se hace de acuerdo con la simbología establecida previamente. Se rotulan las curvas maestras colocando una "etiqueta" del mismo color que el fondo del mapa final debajo del texto, de modo que cause el efecto de que la curva está cortada, pero en realidad se mantiene la continuidad para su tratamiento en los sistemas de información geográfica. Lo mismo ocurre en las poblaciones en las que igualmente se coloca una etiqueta con el objetivo de que no aparezcan las curvas sobre las edificaciones. En las vaguadas se corrige el curvado para que la línea de rotura que definen coincida exactamente con los cursos de agua restituidos.

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105

Obtención, edición y explotación cartográfica

Fig. 6.3 Etiquetado de las curvas de nivel.

6.3.2

Edición de la planimetría

En esta fase la minuta de restitución obtenida se pasa por una serie de procesos, programados sobre el propio sistema de diseño, con el fin de modificar la codificación de la restitución a la codificación que finalmente presentarán los elementos en la cartografía. Durante esta fase se corrigen los errores detectados, como pueden ser líneas que quedan colgadas, elementos duplicados, elementos poligonales que no cierran... Una vez eliminados todos los errores en la fase de revisión de la restitución, se procede a: -

Relleno de todos los elementos que lo requieran: edificaciones, ríos permanentes... Sustitución de los elementos puntuales por su símbolo correspondiente Unión de los segmentos que forman los diferentes elementos lineales Creación de las etiquetas en aquellas zonas donde se produce intersección de varias vías a diferentes niveles, o bien una vía de comunicación con un curso fluvial. Ya que, como en el caso de las curvas de nivel, si se quiere que la cartografía sea útil para un SIG, es necesario que se mantenga la continuidad de todos los elementos.

Fig. 6.4 Etiqueta sobre curso fluvial

Si la cartografía está correctamente editada, la manipulación de la misma, los procesos de generalización para la obtención de cartografía derivada o su posible integración en un sistema de información geográfica se simplifican notablemente.

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6.4

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Toponimia

En un mapa, además de los elementos geográficos se han de localizar los topónimos de los mismos lo que ayudará a su mejor comprensión, siempre y cuando estos sean correctos en forma y posición. La toponimia está estrechamente relacionada con otros campos, además de la topografía, como son la geografía, la etnología, la arqueología y la historia. Un estudio toponímico riguroso incluye trabajos de investigación etimológica, para concluir en el topónimo actual. El proceso seguido para la obtención y tratamiento de la toponimia es el siguiente: localización de toda la toponimia de la zona. selección de los topónimos que aparecerán en el mapa final. La dificultad y el trabajo al realizar estos procesos es muy variable en función de la escala final del mapa, ya que si estamos trabajando a escalas pequeñas, únicamente será necesario recoger la "toponimia mayor", es decir, los grandes accidentes geográficos, núcleos de población,... Sin embargo, a escalas grandes el proceso se complica, ya que el número de topónimos a representar aumenta considerablemente. En este caso el proceso de selección resulta fundamental puesto que han de estar presente en número suficiente para dar la información necesaria, pero sin que se produzca una sobrecarga en el mapa que lo haga de difícil interpretación. 6.4.1

Obtención de los topónimos

La primera operación para obtención de los topónimos consiste en realizar un vaciado de la cartografía oficial a escala mayor. En el caso del nombre de los núcleos urbanos se procederá a consultar las disposiciones oficiales: nomenclator, registro oficial de municipios, boletines oficiales de las comunidades autónomas,... ya que éstos siempre vienen estipulados por decreto u otras disposiciones oficiales. Posteriormente se realiza la labor de campo, cuyo objetivo es la recopilación de los topónimos a partir de una encuesta oral a los habitantes de las diferentes zonas, con la finalidad de obtener el topónimo actual, situación, delimitación y codificación geográfica del mismo. Para facilitar la tarea, durante este proceso los operadores disponen generalmente de: -

Minuta plani-altimétrica en papel Cartografía a escala menor Fotografías aéreas y paisajísticas Relación de topónimos Hoja de anotaciones

Sobre esta minuta se irán colocando los topónimos en el lugar correspondiente y delimitando la zona a la que pertenecen. Los dos principales problemas que se plantean son la fidelidad del topónimo (lo que se ve dificultado si se hace labor de campo por la mala pronunciación de alguno de los topónimos) y la correcta ubicación de los mismos. A la hora de recogida de los topónimos, en la mayoría de las empresas y organismos se siguen las normas dictadas por el Instituto Geográfico Nacional, que indican lo siguiente:

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107

Obtención, edición y explotación cartográfica

-

Elementos hidrográficos: Se recogerá toda la toponimia existente de ríos, arroyos, torrentes, vados,..., determinando cuáles son los ríos principales y cuáles los afluentes, para su clasificación y posterior rotulación con la simbología de texto adecuada.

-

Los parajes se rotularan cuando el nombre corresponda a una gran cantidad de terreno. Cuando la densidad de parajes sea grande, se elegirán los suficientes para lograr una densidad media de un paraje por Km2. El rotulo del paraje siempre se colocará en el centro de la extensión que ocupe, con el fin de delimitarlo.

-

Vías de comunicación: se distinguen varios casos: -

Caminos: sólo se rotularán los que tengan nombre propio y no indiquen procedencia o destino entre dos pueblos. Tampoco se rotularán los que vayan a un paraje o edificación que tenga nombre propio y ya esté rotulado. Cuando vayan a una zona o edificación que no estén en la hoja, se rotularán (camino a...)

-

Carreteras: se rotulará el nombre oficial y, en el borde de la hoja, el destino y distancia a la entidad más próxima. Con las pistas y carreteras particulares se actuará de igual forma.

-

Altimetría: se rotularán todas las cadenas montañosas, sierras, picos, puertos, collados, desfiladeros...

-

Núcleos de población: se rotularán todos aquellos recogidos en el nomenclator del I.N.E. Se rotularán también los núcleos aislados con mas de cinco edificios. En el interior de los núcleos se rotularán los edificios artística, histórica o administrativamente importantes y, en poblaciones grandes, figurarán los nombres de los barrios o distritos, siempre que la densidad de topónimos lo permita.

-

Edificaciones aisladas: se rotularán únicamente las que tengan nombre propio, evitándose aquellas que correspondan a nombres comerciales de propiedad particular o casas cuyo nombre sea el del propietario.

-

Urbanizaciones: se rotularán únicamente las legalizadas.

En las zonas donde la lengua sea distinta del castellano, la toponimia se recogerá en el idioma del lugar. En zonas donde se combinen más de una lengua se recogerá el topónimo tal y como se conozca en la zona, a excepción, como ya se ha mencionado anteriormente, de los nombres de los municipios que se rotularan de la forma en que estén registrados en las disposiciones oficiales. 6.4.2

Rotulación

Una vez seleccionados los topónimos a colocar, y tras su revisión y comparación de los topónimos recopilados con los de la cartografía existente, se procederá a su rotulación siguiendo criterios tipográficos referentes al estilo, la forma, el tamaño o el color del rótulo y la ubicación de éste dentro del marco del elemento. De no cumplirlos, la información puede causar que el usuario haga una interpretación equívoca del elemento y, por lo tanto, del mapa. Es conveniente, entonces, elaborar una tabla de simbología para la toponimia y seguir una serie de criterios para que la ubicación del rótulo siga siempre un mismo patrón.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Algunas de las normas que se siguen para la rotulación son: - Los topónimos se escriben en el idioma del lugar. - Se realiza la distinción entre elementos construidos por el hombre, que se escriben en vertical, y elementos naturales, que se escriben en itálica.

Por su colocación, se distinguen rótulos paralelos a la base del marco y rótulos que siguen paralelamente al elemento. Los rótulos que siempre son paralelos a la base del marco son: núcleos de población, edificaciones, detalles puntuales, comarcas, parajes, lagos, lagunas, islas, embalses, picos, collados, cotas altimétricas ... Para su correcta ubicación, se tendrá en cuenta que deben leerse con la máxima facilidad y no ofrecer duda a qué elemento hacen referencia, para lo cual, si son elementos zonales, el rótulo se colocará entre los límites de la zona a la que se refieren. Si se trata de elementos puntuales, se rotulan al lado del mismo, siguiendo un orden de preferencia:

5 Rótulo 3 Rótulo

1 Rótulo

4 Rótulo

2 Rótulo 6 Rótulo

Debe procurarse que los rótulos no pisen líneas de carreteras, ferrocarril, ríos, líneas límite y, en general, detalles planimétricos que actúan de barrera en la realidad. Debe evitarse que los rótulos pisen líneas de su mismo color. Así mismo, se evitará que cualquier rótulo pise las líneas horizontales de la cuadricula UTM, procurando que las líneas verticales pasen entre las palabras, si el rótulo tiene más de una, o entre las letras que tengan menor peso visual si el rótulo es de una sola palabra. Los rótulos no deben pisar las líneas de costa ni embalse. En caso de rotular pueblos cercanos a la costa, puertos, formas costeras, etc., el texto puede colocarse sobre el azul del mar. Los rótulos que siguen a los elementos a los que identifican son: accidentes orográficos, vías de comunicación y cursos de agua. En el primer caso, los rótulos se colocan siguiendo la alineación de la orografía y sobre la línea de cumbres. En cuanto a las vías de comunicación, si se trata de carreteras su identificador se colocará en tramos rectos repitiéndolo varias veces a lo largo del trazado. En cualquier caso, cuando la dirección del elemento a rotular sea Norte-Sur, el rotulo se colocará de forma que la base de las letras quede hacia el centro de la hoja, de forma que en la parte oeste de la hoja se situarán de sur a norte y los de la parte este a la inversa.

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109

Obtención, edición y explotación cartográfica

6.5

Compilación cartográfica

Se entiende como compilación cartográfica la recogida y disposición conjunta de los datos geográficos que se incluyen en el mapa. Tras la fase de edición, se disponen de cuatro minutas diferenciadas que abarcan la totalidad de la superficie a cartografiar: -

Minuta planimétrica Minuta altimétrica Minuta de cultivos y vegetación Minuta toponímica

Además de todos los elementos geográficos, límites administrativos y toponimia un aspecto fundamental de la cartografía es la información marginal que debe contener para la correcta interpretación de la misma, la cuadricula superpuesta sobre la cartografía y la carátula del mapa. En esta información marginal debe figurar: sistema de referencia empleado, generalmente el ED50 para el territorio español, origen de coordenadas geodésicas; sistema cartográfico de representación; leyenda de símbolos, usos del suelo y vegetación; vocabulario (en el caso de que la toponimia este rotulada en un idioma diferente al castellano). Toda esta información es incorporada automáticamente puesto que está configurada en bloques que se actualizan según la base de datos, por lo que respecta a la convergencia de la cuadrícula, declinación magnética y coordenadas de las esquinas de la hoja. La carátula generalmente contiene los siguientes elementos, que pueden variar en función de la escala de la cartografía: número de la hoja y junto a este el nombre de la serie, nombre de la hoja, términos municipales (su situación gráfica con los límites y su nombre), escala de la cartografía, Instituto u organización que la realiza junto a su logotipo, esquema de las hojas a escala inferior y resaltado de la hoja en cuestión dentro de este esquema.

6.6

Explotación cartográfica.

Una vez se tiene la cartografía final, existen diferentes métodos para su reproducción y distribución, que describiremos brevemente por no ser objetivo principal de este texto. Si lo que queremos es disponer de ella en formato papel podemos diferenciar dos casos: que se vayan a realizar grandes tiradas o de distribución limitada. En el primero de ellos, antes del empleo generalizado del ploter se empleaba la generación de las hojas cartográficas mediante la imprenta. Para ello se separaba el original en diferentes planchas, una por cada uno de los seis colores básicos que aparecen en la cartografía: negro, siena, amarillo, rojo, azul y verde. Para las superficies se empleaban mezclas de colores básicos o valores porcentuales de uno de ellos. Posteriormente se procedía a la impresión sucesiva de cada una de ellas. En la actualidad se emplean ploters de chorro de tinta para obtener en serie el número de ejemplares planificado. El mapa en papel se obtiene por dibujo de la cartografía en formato digital en el momento que el usuario lo solicita, existiendo la posibilidad de eliminar aquellos elementos que carecen de importancia para el mismo. Tendríamos una cartografía que cubre las necesidades del usuario en cada momento.

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110

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

En ambos casos, antes de proceder a la impresión, es necesario configurar los ficheros de ploter para pasar de los grosores lógicos (nº de pixeles en pantalla) a los correspondientes grosores físicos (medidas métricas sobre papel).

Fig. 6.5 Cartografía a gran escala de la zona de estudio

Disponer de cartografía digital es básico para el desarrollo de los SIG puesto que permite la obtención de cartografía derivada (mapas de pendientes, temáticos...) de forma rápida, fácil y económica. Por lo tanto, durante la restitución y edición se deberá asegurar la continuidad geométrica de los elementos y la unicidad de la codificación de los mismos. Para ello, las hojas cartográficas no deben estar individualizadas unas de otras sino que han de formar un continuo. Unicamente a la hora de imprimir, se seleccionarán aquellos elementos que constituirán una hoja y se cortarán si fuese necesario, pero en la base digital se conserva la continuidad. Por esto, a la hora de etiquetar las curvas de nivel, cuando éstas "atraviesan" construcciones o núcleos de población o cuando los cursos fluviales y las vías de comunicación se cruzan, no se cortan los elementos que no deberían ser visibles, sino que se coloca sobre ellos un parche o etiqueta del color del fondo de la hoja para que no sean visibles a la hora de la impresión, durante la cual se establecerán las prioridades referentes a qué elementos se imprimen primero. Así, por ejemplo, en el caso de cruces de cursos fluviales y vías de comunicación, se impriman en el siguiente orden: río, etiqueta y finalmente la vía de comunicación. Otro aspecto que se debe tener en cuenta es que, mientras que para la edición de la cartografía en papel los ejes de vías de comunicación y cauces fluviales son eliminados para pasar al trazado de los bordes de los mismos, en el SIG se conserva este eje, puesto que todas las operaciones de consulta y enlaces a la base de datos se realizarán sobre los mismos.

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Obtención, edición y explotación cartográfica

RESTITUCIÓN

Revisión

Obtención de la toponimia Revisión

EDICIÓN Y COMPILACIÓN CARTOGRÁFICA: Tratamiento de altimetría Tratamiento de planimetría Rotulación

Revisión

CONTROL DE CALIDAD

Cartografia papel

SIG

Cabe mencionar la importancia que está adquiriendo la ortofotografía como documento cartográfico final para las grandes escalas (ortofotoplano), antes limitado para pocos usos por su elevado coste; llegando este empleo también a los sistemas de información geográfica sobre base fotográfica digital (raster) que se aplicaba generalmente a imágenes efectuadas desde satelite y, por tanto, a escalas pequeñas. El gran avance producido en la técnica digital permite conseguir, de una manera rápida, tanto el modelo digital del terreno, en el caso de correlación de imágenes para la búsqueda de puntos homólogos, como la ortoproyección de las imágenes fotográficas, sobre ese modelo editado, y su compilación con otras capas cartográficas, que permitan una explotación correcta, incluso en el caso urbano para escalas 1/1000 e incluso 1/500. En este caso, el proceso de restitución puede ser sustituido total o parcialmente por este documento fotográfico que junto a la rotulación de la toponimia, el dibujado de las curvas de nivel , los límites administrativos, ..., permite llegar al ortofotoplano final.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Fig. 6.6 Ortofotografía a gran escala de la zona de estudio

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Bibliografía

Bibliografía Egels Y. Digital Photogrammetry, Taylor & Francis, 2001 Falkner E., Aerial Mapping: Methods and applications, Lewis Publishers, 1995 Guillem S., Herráez J., Restitución analítica, SPUPV, 1992 Karara H.M. (editor), Non-Topographic Photogrammetry, ASPRS, 1988 Lerma García J.L., Fotogrametría moderna: Analítica y digital, UPV, 2002 Mikhail E.M., Introduction to Modern Photogrammetry, John Willei & Sons, 2001 Slama Ch.C (editor), Manual of Photogrammetry, ASPRS, 1980 Wolf P.R., Dewitt, B.A. Elements of Photogrammetry (with applications in GIS), Mc Graw Hill, 2000 Wolf P.R., Ghilani C.D., Adjustment Computations, John Willei & Sons, 1997

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Glosario

Glosario Aberración de las lentes: errores que alteran la calidad y/o la situación de los puntos de la imagen. Se dividen, según Seidel, en dos grupos: aberraciones cromáticas y aberraciones geométricas. De estas últimas la más importante es la distorsión, por lo que en ocasiones se confunde el término aberración con el de distorsión. Aerotriangulación: proceso fotogramétrico para aumentar el número de puntos de apoyo, en el que las medidas de coordenadas hechas sobre los fotogramas se utilizan con la finalidad de obtener los parámetros externos de todos los haces y las coordenadas terrestres de nuevos puntos. Base fotográfica: vector que une los centros proyectivos de dos fotogramas sucesivos de un modelo o pasada fotográfica. Calibración de la cámara: proceso que se realiza para conocer con exactitud las características métricas de la cámara. Se obtienen los siguientes valores: -

Parámetros internos (focal calibrada, punto principal y función de distorsión) Poder separador del objetivo Planeidad del plano focal Posición de las marcas fiduciales

Es recomendable efectuar el cálculo de los parámetros internos en el momento del montaje y después, de una forma regular, cada cierto tiempo o después de un determinado uso. Cámara métrica: cámaras fotográficas aéreas o terrestres de las que son conocidos con exactitud sus parámetros internos. Cuando no se conocen con exactitud o se desconoce alguno de estos parámetros se denominan cámaras semimétricas; si se desconocen los parámetros se denominan cámaras no métricas.

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116

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

ESQUEMA DE UNA CÁMARA MÉTRICA AÉREA

Película por impresionar

Película impresionada

Almacén Película

Plano focal Cuerpo Cono

Objetivo

Diafragma Obturador Filtro Ángulo de campo

Eje óptico

Canevas de apoyo: termino francés que hace referencia al conjunto de los puntos de control. Se distingue entre canevas de apoyo mayor y menor en función de si los puntos son conocidos o a calcular mediante aerotriangulación. Comparador: aparato de medida de coordenadas de puntos en las imágenes fotográficas. Existen dos tipos, monocomparadores y estereocomparadores, según trabajemos con una o dos fotografías (par fotogramétrico). Compilación: en cartografía este término se refiere a la recogida y disposición conjunta de los diversos datos geográficos que se incluyen en un mapa. Condición de coplanaridad: condición que relaciona los vectores base fotográfica y rayos homólogos que unen los puntos imagen con el punto modelo o terreno, de forma que los tres estén contenidos en un plano (plano epipolar). Coordenadas comparador: son coordenadas planas de la imagen de un punto referido a cualquier sistema cartesiano situado sobre el plano imagen. Un monocomparador obtiene las coordenadas de un punto de la imagen; un estereocomparador facilita al mismo tiempo, dos pares de coordenadas del punto objeto fotografiado (coordenadas del par fotográfico). Coordenadas fotográficas o fotocoordenadas: coordenadas de un punto de la imagen fotográfica referido a un sistema bidimensional situado sobre el plano imagen, definido por las marcas fiduciales y con origen en el punto principal. Si se utiliza imagen fotográfica digital también se emplea de forma inadecuada el término coordenadas imagen para referirse a las coordenadas de un punto de la matriz imagen o coordenadas pixel (ver Coordenadas pixel). Coordenadas imagen o coordenadas placa: coordenadas de un punto de la imagen fotográfica referido a un sistema tridimensional, definido por las marcas fiduciales y el eje principal de la cámara. Coordenadas pixel: son las coordenadas cartesianas de un punto imagen en una fotografía digital en un sistema que tiene su origen, generalmente, en el centro del pixel superior izquierdo.

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Glosario

Coordenadas modelo: coordenadas de un punto del modelo tridimensional formado tras la orientación relativa, en un sistema distinto del cartográfico. Coordenadas terreno: coordenadas de un punto del terreno en el sistema cartográfico en el que estén definidos los puntos de apoyo empleados. Correlación: término con el que se indica la falta de independencia estadística entre dos variables aleatorias.(En fotogrametría): se refiere al proceso que permite encontrar parejas de puntos homólogos en un par fotogramétrico. Densidad fotográfica: es el logaritmo en base diez de la opacidad (ver Opacidad). Distorsión óptica: según la clasificación efectuada por Seidel, es una aberración geométrica producida por la inclinación del rayo respecto del eje óptico. Debido a este tipo de aberración, la imagen de un objeto sufre deformaciones. Para una cuadrícula objeto, la imagen adopta la forma de un corsé o barrilete. Al objetivo considerado sin distorsión se le denomina ortoscópico. Ecuación de colinealidad: ecuación que establece la condición de que un punto terreno, su imagen y el centro de proyección se encuentran en la misma recta. Error sistemático (en fotogrametría): error habitual que ocasiona desplazamientos en las imágenes fotográficas; como su nombre indica de carácter sistemático y simétrico, como la distorsión radial, el error de refracción,... Estereoscopía (en fotogrametría): técnica que permite, usando la visión binocular de un par de perspectivas fotográficas, la visión en tres dimensiones de la zona común. Focal: se puede definir como la mínima distancia existente entre el plano de la imagen y el centro perspectivo del objetivo. Generalmente se utiliza este termino para referirse a la focal calibrada, que sería la encontrada en el proceso de calibración y que, por lo tanto, minimiza las distorsiones. Función de distorsión: expresión matemática que permite evaluar el desplazamiento en la imagen por causa de esta aberración geométrica. Generalización: proceso cartográfico por el que, después de realizar la selección, eliminación, simbolización y simplificación de la información recogida en cartografía de escala mayor, se obtiene cartografía a menor escala. Haz perspectivo: conjunto de semirrectas formadas por el centro perspectivo y puntos de la superficie modelo o terreno. Marcas fiduciales: marcas esgrafiadas en el plano focal que quedan registradas en los márgenes de los fotogramas en el momento de la exposición fotográfica. Definen el sistema cartesiano de coordenadas fotográficas. Minuta cartográfica: hoja de trabajo sobre la que se colocan los elementos cartográficos que finalmente conformarán el mapa. Modelo estereoscópico: modelo sintético idéntico al original, formado por la visión estereoscópica de dos fotogramas de una misma zona.

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Modelo estocástico: matriz de varianza-covarianza o, alternativamente, matriz de pesos, de un conjunto de variables observacionales. Opacidad: es la relación entre la intensidad de luz que atraviesa una zona transparente de un negativo revelado y la luz que transmite otra zona ennegrecida. Orientación interna (en fotogrametría): reconstrucción de la forma del haz proyectivo. Para ello es necesario conocer los parámetros internos de la cámara fotográfica (situación del punto principal referido al centro fiducial, distancia principal y función de distorsión). Orientación externa (en fotogrametría): determinación de los parámetros de orientación de la cámara o cámaras referidos a un sistema de coordenadas espaciales objeto. Dependiendo del método de cálculo empleado, el proceso de orientación externa consta de un paso (ecuación de colinealidad) o dos pasos (orientación relativa y orientación absoluta). Orientación relativa (en fotogrametría): es el primer paso a efectuar en el proceso de orientación externa. Consiste en la eliminación de la paralaje vertical del modelo estereoscópico. Orientación absoluta (en fotogrametría): es el segundo paso a efectuar en el proceso de orientación externa. Consiste en encontrar la relación entre el sistema coordenado del modelo obtenido tras la orientación relativa y el sistema coordenado terreno. Paralaje: desplazamiento aparente producido al observar un punto objeto desde dos puntos de vista distintos. En fotogrametría el desplazamiento se encuentra en las imágenes fotográficas y se distingue entre paralaje horizontal y paralaje vertical, siendo la primera (px) la que permite encontrar las coordenadas del modelo y la segunda (py) la que debe ser eliminada en el proceso de orientación relativa para poder tener visión estereoscópica. Pixel: siglas inglesas de picture x element. En castellano celda o casilla. Es la unidad mínima de información en la imagen digital. Sería cada una de las celdas en que se encuentra dividida la imagen digital. Plano epipolar o nuclear: plano determinado por la base fotográfica y los vectores que unen los extremos de ésta con el punto modelo o terreno considerado. Todos los puntos homólogos de un par fotogramétrico se encuentran, por tanto, contenidos en el plano epipolar correspondiente a la base fotográfica y al punto modelo considerado. (ver Condición de coplanaridad). Poder de resolución: se define como el número de líneas por milímetro que se puede apreciar en un negativo expuesto y revelado. Se determina comparando la fotografía con una carta de prueba para un contraste dado (generalmente una densidad de valor 3). Las altas resoluciones ofrecen un mayor detalle y una mejor percepción de variaciones de color o tonalidad. Puntos de control: son puntos auxiliares identificables en el fotograma de coordenadas conocidas en un sistema cartográfico (coordenadas terreno). (ver Canevas de apoyo). Puntos de control mayor: son puntos de coordenadas terreno conocidas e identificables en el fotograma. Si el apoyo es continuo, todo él en campo, se dan tres por fotograma; si el apoyo es aerotriangulado el número varía según diferentes características instrumentales o metodológicas. Puntos de control menor (de enlace o de paso): son puntos identificables en las fotografías de coordenadas terreno desconocidas inicialmente, que sirven para enlazar los fotogramas. Deben estar

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Glosario

distribuidos en el modelo de manera efectiva, es decir, distribuidos de forma que se puedan transferir en la medición al modelo anterior y posterior, y a las pasadas superior e inferior. Puntos homólogos (en fotogrametría): serían aquellos puntos imagen de un par fotogramétrico que se corresponden con un mismo punto terreno. Punto principal: intersección del eje principal del sistema óptico (lentes) con el fondo de la cámara fotográfica. Es el origen del sistema bidimensional de coordenadas fotográficas. Radiometría: medida de la radiación (energía radiante). Rectificación: enderezamiento de la imagen que transforma una perspectiva en un documento métrico. Relación perspectiva entre la imagen fotográfica y el mapa o plano. Recubrimiento: zona de solape entre fotogramas contiguos, bien en una misma pasada (recubrimiento longitudinal) o entre pasadas diferentes (recubrimiento transversal). Resección espacial: proceso que permite encontrar los giros (FMZ y el centro de proyección (X0,Y0,Z0) de la cámara fotográfica a partir de las coordenadas conocidas de puntos del terreno. Resolución de la imagen digital: relación entre el número de celdas (pixeles) que existen en una imagen y el tamaño de ésta. Se miden, por lo general, en puntos por pulgada (se utilizan las siglas ppp). Las altas resoluciones ofrecen un mayor detalle y una mejor percepción de variaciones de color o tonalidad. Restitución: proceso fotogramétrico que permite encontrar la forma de un objeto a partir de la intersección de haces perspectivos y las relaciones espaciales entre puntos del modelo reconstruido. Topología: relaciones espaciales de los elementos geográficos entre sí, como pueden ser vecindad, continuidad,... Transformación bidimensional de coordenadas: relación que permite el paso entre dos sistemas de coordenadas planas con origen, escala y giro entre ellos distintos. Transformación tridimensional de coordenadas: relación que permite el paso entre dos sistemas de coordenadas distintos en el espacio. Visión binocular: visión simultánea con los dos ojos. Se puede utilizar para observar una misma fotografía o para observar un par estereoscópico.

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Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas Tanto en el proceso de toma de datos y refinamiento como en el de restitución en sus diferentes modalidades intervienen diversos tipos de transformaciones de coordenadas bidimensionales y tridimensionales. En este apéndice se describen todas las transformaciones de interés fotogramétrico y se linealizan para ser utilizadas en la estimación paramétrica y cálculo de coordenadas mediante métodos de mínimos cuadrados.

A.1 Transformaciones de semejanza y afines

A.1.1 Transformación de semejanza bidimensional En Fotogrametría se llama transformación de semejanza bidimensional o transformación de 4 parámetros a una transformación del plano compuesta de: Una rotación de ejes de ángulo D (Fig. A-1)

y

y’ x' x Fig. A-1 Rotación de ejes

de ecuaciones § cos D ¨ ©  sin D

sin D ·§ x · § x ' · ¸¨ ¸ ¨ ¸ cosD ¹© y ¹ © y ' ¹

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(A-1)

122

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Una homotecia de razón O (Fig. A-2)

Ov

v

Fig. A-2 Homotecia

de ecuaciones § O 0 ·§ x · § x· ¨¨ ¸¸¨¨ ¸¸ O ¨¨ ¸¸ © 0 O ¹© y ¹ © y¹

§ x' · ¨¨ ¸¸ © y'¹

(A-2)

Y una traslación de vector t = (tx, ty) (Fig.A-3)

t+v t v Fig. A-3 Traslación

de ecuaciones § x · § tx · ¨¨ ¸¸  ¨¨ ¸¸ © y ¹ © ty ¹

§ x' · ¨¨ ¸¸ © y' ¹

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(A-3)

123

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Es decir, una transformación

y’ y

x'

x Fig. A-4 Transformación de semejanza

de ecuaciones § cosD sinD ·§ x · § tx · § x ' · O¨ ¸¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ¸ © sinD cos D ¹© y ¹ © ty ¹ © y ' ¹

(A-4)

Esta expresión nos permite, dado un punto cualquiera de coordenadas (x, y), calcular las coordenadas (x’, y’) del punto transformado. Cambio de parámetros En Fotogrametría, las transformaciones de semejanza se suelen escribir § a b ·§ x · § g · § x ' · ¨ ¸¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ¸ © b a ¹© y ¹ © h ¹ © y ' ¹

(A-5)

o bien ax  by  g bx  ay  h

x' y'

(A-6)

donde a = OcosD, b = OsinD

(A-7)

y, por tanto,

O D

a2  b2 b arctg a

y g = tx, h = ty

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(A-8)

124

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Estimación paramétrica En general, en las aplicaciones se presenta el problema de estimar el valor de los 4 parámetros a partir de un número de puntos, llamados de control, de los cuales se conocen sus coordenadas (x, y) y las del punto transformado (x’, y’). Se pueden considerar dos casos. Se consideran como variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias, las coordenadas del punto transformado (x’, y’), mientas que las coordenadas (x, y) del punto de control se consideran como constantes. En este caso, para cada punto de control se tienen las dos ecuaciones lineales en los 4 parámetros §a· ¨ ¸ § x y 1 0·¨ b ¸ § x '· ¨ ¸ ¨ ¸ © y x 0 1 ¹¨ g ¸ © y '¹ ¨¨ ¸¸ ©h¹

(A-9)

Con dos puntos de control obtendríamos un sistema lineal determinado de 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Pero, para compensar los errores en las observaciones y cálculos que llevan a la evaluación de las coordenadas (x, y) y (x’, y’) del punto de control y del punto transformado respectivamente, conviene tomar un mínimo de tres puntos y estimar los parámetros mediante el método de los mínimos cuadrados con un sistema sobredeterminado § x1 y1 1 0 · § x '1 · ¨ ¸§ a · ¨ ¸ ¨ y1  x1 0 1 ¸ ¨ b ¸ ¨ y '1 ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸¨ g ¸ ¨ ¸ ¨ xk yk 1 0 ¸ ¨¨ h ¸¸ ¨ x 'k ¸ ¨ y x 0 1 ¸ © ¹ ¨ y ' ¸ k © k ¹ © k¹

(A-10)

Tanto las coordenadas (x, y) del punto de control como las correspondientes (x’, y’) del punto transformado, se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias. En este caso las ecuaciones A-6 ya no son lineales respecto observaciones y parámetros y, para aplicar el método general de mínimos cuadrados, es necesario linealizarlas mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales y de unos valores aproximados de los parámetros a0, b0, g0 y h0 Llamando F G

ax  by  g  x ' 0 bx  ay  h  y ' 0

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(A-11)

125

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

se tiene wF wF wF wF wF wF wF wF 'x  'y  'x ' 'y ' 'a  'b  'g  'h 0 wx wy wx ' wy ' wa wb wg wh wG wG wG wG wG wG wG wG 'x  'y  'x ' 'y ' 'a  'b  'g  'h 0 G0  wx wy wx ' wy ' wa wb wg wh F0 

(A-12)

Es decir F0  a0 'x  b0 'y  1'x ' 0'y ' x'a  y'b  1'g  0'h 0 G0  b0 'x  a0 'y  0'x ' 1'y ' y'a  x'b  0'g  1'h 0

(A-13)

Matricialmente

§ a0 ¨ © b0

b0 a0

§ 'x · § 'a · ¨ ¸ ¨ ¸ 1 0 · ¨ 'y ¸ § x y 1 0 · ¨ 'b ¸ § 0 ·  ¸ 0 1¹ ¨ 'x ' ¸ ©¨ y  x 0 1 ¹¸ ¨ 'g ¸ ©¨ 0 ¹¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ 'y ' ¸¸ © ¹ © 'h ¹

(A-14)

A.1.2 Transformación afín bidimensional En Fotogrametría, se llama transformación afín bidimensional o transformación de 6 parámetros a una transformación del plano compuesta de: Dos cambios de escala diferentes para cada eje de coordenadas, de razones Ox y Oy respectivamente (Fig. A-5)

O yy

y x

O xx

Fig. A-5 Cambio de escala diferente para cada eje

de ecuaciones § Ox ¨ ¨0 ©

0 ·§ x · ¸¨ ¸ O y ¸¹¨© y ¸¹

§ x' · ¨¨ ¸¸ © y' ¹

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(A-15)

126

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Una corrección de ortogonalidad en los ejes mediante una rotación del eje y de ángulo E (Fig. A-6) y’

y

x

x’

Fig. A-6 Corrección de ortogonalidad

de ecuaciones § 1 sinE ·§ x · § x ' · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 cos E ¹© y ¹ © y ' ¹

(A-16)

Una rotación de ejes de ángulo D (Fig. A-1) de ecuaciones A-1 y una traslación de vector t = (tx, ty) (Fig. A-3) de ecuaciones A-3. Es decir, una transformación de ecuaciones § cos D ¨ © sinD

sinD ·§ 1 sinE · § Ox ¸¨ ¸¨ cosD ¹© 0 cos E ¹ © 0

0 · § x · § tx · § x ' ·  O y ¸¹ ¨© y ¸¹ ¨© ty ¸¹ ¨© y ' ¸¹

(A-17)

§ cos D ¨ © sinD

cos D sinE  sinD cos E · § Ox x · § tx · § x ' · ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¸¨  sin D sinE  cosD cos E ¹ © O y y ¹ © ty ¹ © y ' ¹

(A-18)

o bien

Ox cos D x  O y sin(D  E ) y

x'

Ox sinD x  O y cos(D  E ) y

y'

(A-19)

que nos permite, dado un punto cualquiera de coordenadas (x, y), calcular las coordenadas (x’, y’) del punto transformado. Cambio de parámetros En Fotogrametría, las transformaciones afines se suelen escribir § a b ·§ x · § g · § x ' · ¨ ¸¨ ¸  ¨ ¸ ¨ ¸ © c d ¹© y ¹ © h ¹ © y ' ¹

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(A-20)

127

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

o bien ax  by  g cx  dy  h

x'

(A-21)

y'

donde a = OxcosD, b = Oysin(D+E), g = tx, c = -OxsinD, d = Oycos(D+E), h = ty

(A-22)

y, por tanto,

Ox D

a 2  c 2 , Oy c  arctg , E a

b2  d 2 D  arctg

b d

(A-23)

Estimación paramétrica En general, en las aplicaciones se presenta el problema de estimar el valor de los 6 parámetros a partir de un número de puntos, llamados de control, de los cuales se conocen sus coordenadas (x, y) y las del punto transformado (x’, y’). Se pueden considerar dos casos. Se consideran como variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias, las coordenadas del punto transformado (x’, y’), mientas que las coordenadas (x, y) del punto de control se consideran como constantes. En este caso, para cada punto de control se tienen las dos ecuaciones lineales en los 6 parámetros §a· ¨ ¸ ¨b¸ § x y 0 0 1 0·¨ c ¸ § x '· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 0 x y 0 1 ¹¨ d ¸ © y '¹ ¨g¸ ¨¨ ¸¸ ©h¹

(A-24)

Con tres puntos de control obtendríamos un sistema lineal determinado de 6 ecuaciones y 6 incógnitas. Pero, para compensar los errores en las observaciones y cálculos que llevan a la evaluación de las coordenadas (x, y) y (x’, y’) del punto de control y del punto transformado respectivamente, conviene tomar un mínimo de cuatro puntos y estimar los parámetros mediante el método de los mínimos cuadrados con un sistema sobredeterminado

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128

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

§ x1 ¨ ¨0 ¨ ... ¨ ¨ xk ¨0 ©

y1 0 yk 0

§a· 0 1 0 ·¨ ¸ ¸ b y1 0 1 ¸ ¨ ¸ ¨c¸ ¸¨ ¸ ¸ d 0 0 1 0 ¸ ¨¨ ¸¸ g xk yk 0 1 ¸¹ ¨¨ ¸¸ ©h¹

0 x1

§ x1 ' · ¨ ¸ ¨ y1 ' ¸ ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨ xk ' ¸ ¨ y '¸ © k ¹

(A-25)

b) Tanto las coordenadas (x, y) del punto de control como las correspondientes (x’, y’) del punto transformado se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias. En este caso las ecuaciones A-21 ya no son lineales respecto observaciones y parámetros y, para aplicar el método general de mínimos cuadrados, es necesario linealizarlas mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales y de unos valores aproximados de los parámetros a0, b0, c0, d0, e0 y f0. Llamando F G

ax  by  g  x ' 0 cx  dy  h  y ' 0

(A-26)

se tiene wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF 'x  'y  'x ' 'y ' 'a  'b  'c  'd  'g  'h 0 wx wy wx ' wy ' wa wb wc wd wg wh wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG G0  'x  'y  'x ' 'y ' 'a  'b  'c  'd  'g  'h 0 wx wy wx ' wy ' wa wb wc wd wg wh F0 

(A-27)

Es decir F0  a0 'x  b0 'y  1'x ' 0'y ' x'a  y'b  0'c  0'd  1'g  0'h 0 G0  d0 'x  e0 'y  0'x ' 1'y ' 0'a  0'b  x'c  y'd  0'g  1'h 0

(A-28)

Matricialmente

§ F0 · § a0 ¨ ¸¨ © G0 ¹ © d 0

b0 e0

§ 'a · ¨ ¸ § 'x · ¨ 'b ¸ ¨ ¸ 1 0 · ¨ 'y ¸ § x y 0 0 1 0 · ¨ 'c ¸ § 0 ·  ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 1¹ ¨ 'x ' ¸ © 0 0 x y 0 1 ¹ ¨ 'd ¸ © 0 ¹ ¨¨ ¸¸ ¨ 'g ¸ © 'y ' ¹ ¨¨ ¸¸ © 'h ¹

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-29)

129

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

A.1.3 Transformación de semejanza tridimensional Análogamente al caso bidimensional, una transformación de semejanza tridimensional, o transformación de 7 parámetros, está compuesta por una rotación de ejes, una homotecia y una traslación. Las homotecias y las traslaciones tridimensionales tienen ecuaciones análogas a las correspondientes en dos dimensiones, A-2 y A-3 respectivamente, mientras que las rotaciones de ejes resultan de componer rotaciones parciales respecto a cada uno de los ejes y con ecuaciones análogas a A-1. Una rotación de ejes de ángulo Z alrededor del eje x (Fig. A-7)

Fig. A-7 Rotación respecto del eje x

tiene las ecuaciones § x '· ¨ ¸ ¨ y '¸ ¨ z'¸ © ¹

0 §1 ¨ ¨ 0 cos Z ¨ 0 sinZ ©

0 ·§ x · ¸¨ ¸ sinZ ¸¨ y ¸ ¸ cos Z ¸¨ ¹© z ¹

A la matriz de la rotación de ejes de ángulo Z alrededor del eje x la llamaremos RZ. Una rotación de ejes de ángulo M alrededor del eje y (Fig. A-8)

Fig. A-8 Rotación respecto del eje y

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-30)

130

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

tiene las ecuaciones § x '· ¨ ¸ ¨ y '¸ ¨ z'¸ © ¹

§ cos M ¨ ¨ 0 ¨ sinM ©

0 sinM ·§ x · ¸¨ ¸ 1 0 ¸¨ y ¸ ¸ 0 cos M ¸¨ ¹© z ¹

(A-31)

A la matriz de la rotación de ejes de ángulo M alrededor del eje y, la llamaremos RM. Una rotación de ejes de ángulo N alrededor del eje z (Fig. A-9)

Fig. A-9 Rotación respecto del eje z

tiene las ecuaciones § x '· ¨ ¸ ¨ y '¸ ¨ z'¸ © ¹

§ cos N ¨ ¨ sinN ¨ 0 ©

sinN cos N 0

0 ·§ x · ¸¨ ¸ 0 ¸¨ y ¸ ¸ 1 ¸¨ ¹© z ¹

(A-32)

A la matriz de la rotación de ejes de ángulo N alrededor del eje y la llamaremos RN. La composición de las tres rotaciones da la matriz R = RN RM RZ

R

§ cos M cos N ¨ ¨  cos M sin N ¨ sin M ©

cos Z sin N  sin Z sin M cos N cos Z cos N  sin Z sin M sin N  sin Z cos M

sin Z sin N  cos Z sin M cos N · ¸ sin Z cos N  cos Z sin M sin N ¸ ¸ cos Z cos M ¹

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-33)

131

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Observación: Si Z, M y N son pequeños, entonces, en primera aproximación, se puede escribir

R

§ 1 ¨ ¨ N ¨ M ©

N 1 Z

M · ¸ Z ¸ 1 ¸¹

La expresión de una transformación de semejanza tridimensional compuesta de tres rotaciones de ángulos Z, M y N, respecto los ejes x, y y z respectivamente, una homotecia de razón O y una traslación de vector t = (tx, ty, tz) es

§ cosM cosN cosZ s i n N  s i n Z s i n M cosN s i n Z s i n N  cosZ s i n M cosN ·§ x · ¨ ¸¨ ¸ O¨  cosM s i nN cosZ cosN  s i nZ s i nM s i nN s i nZ cosN  cosZ s i n M s i n N ¸¨ y ¸ ¨ s i nM ¸¨ z ¸ cosZ cosM  s i n Z cosM © ¹© ¹ § tx· ¨ ¸  ¨ ty ¸ ¨ tz ¸ © ¹

§ x' · ¨ ¸ ¨ y'¸ ¨ z' ¸ © ¹

(A-34)

Para simplificar la notación llamaremos rij a los elementos de la matriz de rotación R. Estimación paramétrica Una transformación de semejanza tridimensional depende de 7 parámetros. Los ángulos de rotación Z, M y N, la razón de homotecia o cambio de escala O y las tres componentes del vector de traslación tx, ty y tz. En general, en las aplicaciones se presenta el problema de estimar el valor de estos 7 parámetros a partir de un número de puntos, llamados de control, de los cuales se conocen sus coordenadas (x, y, z) y las del punto transformado (x’, y’, z’), para cada uno de los cuales tenemos las tres ecuaciones no lineales: xO cos M cos N  yO cos ZsinN  yO si n Z si n M cosN  zO si n Z si n N  zO cosZ si n M cosN  tx x '  xO cos M si n N  yO cos Z cosN  yO si n Z si n M si n N  zO si n Z cosN  zO cosZ sin M si n N  ty y ' (A-35) xO si n M  yO si n Z cosM  zO cosZ cosM  tz z '

en las 7 incógnitas Z, M, N, tx, ty, tz y O. Se pueden presentar dos casos. a) Se consideran como variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias, las coordenadas del punto transformado (x’, y’, z’), mientras que las coordenadas (x, y, z) del punto de control se consideran como constantes. Para poder estimar los parámetros mediante el método de los mínimos cuadrados aplicado a un sistema sobredeterminado de ecuaciones indirectas de observación, es necesario linealizar estas ecuaciones respecto de los parámetros, mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de unos valores aproximados de los parámetros Z0, M0, N0, tx0, ty0, tz0 y O0.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

132

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

wx' wx' wx' wx' wx' wx' wx' 'Z  'M  'N  'tx  'ty  'tz  'O wZ wM wN wtx wty wtz wO wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' 'O 'Z  'M  'N  'tx  'ty  'tz  y' y'0  wty wtz wO wZ wM wN wtx wz ' wz ' wz ' wz ' wz ' wz ' wz ' 'Z  'M  'N  'tx  'ty  'tz  'O z' z'0  wZ wM wN wtx wty wtz wO x' x' 0 

(A-36)

Matricialmente

§ 'x' · ¨ ¸ ¨ 'y ' ¸ ¨ 'z ' ¸ © ¹

§ wx' ¨ ¨ wZ ¨ wy ' ¨ ¨ wZ ¨ wz ' ¨ wZ ©

wx' wM wy ' wM wz ' wM

wx' wN wy ' wN wz ' wN

wx' wtx wy ' wtx wz ' wtx

wx' wty wy ' wty wz ' wty

wx' wtz wy ' wtz wz ' wtz

§ 'Z · ¨ ¸ · wx' ¨ 'M ¸ ¸ wO ¸¨ 'N ¸ ¸ wy ' ¸¨ ¸¨ 'tx ¸ wO ¸¨ ¸ wz ' ¸¨ 'ty ¸ wO ¸¹¨¨ 'tz ¸¸ © 'O ¹

(A-37)

donde wx ' y O0 (  sinZ 0 s i n N 0  cos Z 0 sinM 0 cos N 0 )  zO0 (cos Z 0 sinN 0  sin Z 0 sinM 0 cos N 0 ) wZ wx ' xO0 ( sin M 0 cos N 0 )  y O0 (sin Z 0 cos M 0 cos N 0 )  z O0 (  cos Z 0 cos M 0 cos N 0 ) wM wx ' xO0 (  cos M 0 sin N 0 )  y O0 (cos Z 0 cos N 0  sin Z 0 sinM 0 sinN 0 ) wN  z O0 (sin Z 0 cos N 0  cos Z 0 sinM 0 sinN 0 )

(A-38)

wx ' wx ' wx ' 1, 0, 0, wtx wty wtz wx ' x (cos M 0 cos N 0 )  y (cos Z 0 s i n N 0  s i n Z 0 s i n M 0 cos N 0 ) wO  z (s i n Z 0 s i n N 0  cos Z 0 s i n M 0 cos N 0 ) wy '

y O 0 (cos Z 0 cos N 0  cos Z 0 sin M 0 sin N 0 ) wZ  z O 0 (cos Z 0 cos N 0  sin Z 0 sin M 0 sin N 0 ) wy ' wM

x O 0 (sin M 0 sin N 0 )  y O 0 (  sin Z 0 cos M 0 sin N 0 )  z O 0 (cos Z 0 cos M 0 sin N 0 )

wy '

x O 0 (  cos M 0 cos N 0 )  y O 0 (  cos Z 0 sin N 0  sin Z 0 sin M 0 cos N 0 ) wN  z O 0 (  sin Z 0 s in N 0  cos Z 0 sin M 0 cos N 0 ) wy ' w tx wy ' wO

0,

wy ' w ty

1,

wy ' w tz

0,

x (  cos M 0 sin N 0 )  y (cos Z 0 cos N 0  sin Z 0 sin M 0 sin N 0 )  z (sin Z 0 cos N 0  cos Z 0 sin M 0 sin N 0 )

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-39)

133

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

wz ' wZ wz ' wM wz ' wN wz ' w tx wz ' wO

y O 0 (  cos Z 0 cos M 0 )  z O 0 (  sin Z 0 cos M 0 ) x O 0 (cos M 0 )  y O 0 (sin Z 0 sin M 0 )  z O 0 (  cos Z 0 sin M 0 )

(A-40)

0 0,

wz ' w ty

0,

wz ' w tz

1,

x (sin M 0 )  y (  sin Z 0 cos M 0 )  z (cos Z 0 cos M 0 )

Observación: Si los ángulos de rotación son pequeños y, como valores aproximados, se toma Z0 = M0 = N0 = 0, entonces se tiene wx' wZ wy ' wZ wz ' wZ

wx' wx' wx'  zO 0 , yO 0 , wO wM wN wy ' wy ' wy '  xO 0 , 0, zO 0 , wM wN wO wz ' wz ' wz '  yO 0 , 0, xO0 , wO wM wN

0,

x, y,

(A-41)

z

b) Tanto las coordenadas (x, y, z) del punto de control como las correspondientes (x’, y’, z’) del punto transformado, se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias. En este caso las ecuaciones (A-35) tampoco son lineales respecto observaciones y parámetros y, para aplicar el método general de mínimos cuadrados, es necesario linealizarlas mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales y de unos valores aproximados de los parámetros Z0, M0, N0, tx0, ty0, tz0 y O0. Llamando

F

x O c o s M c o s N  y O c o s Z s in N  y O s in Z s in M c o s N

 z O s in Z s in N  z O c o s Z s in M c o s N  tx  x ' G

 x O c o s M s in N  y O c o s Z c o s N  y O s in Z s in M s in N

 z O s in Z c o s N  z O c o s Z s in M s in N  ty  y ' H

0

(A-42)

0

x O s in M  y O s in Z c o s M  z O c o s Z c o s M  tz  z '

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

0

134

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

se tiene wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF 'x 'y 'z 'x' 'y' 'z' 'Z 'M 'N  'tx 'ty 'tz 'O wx wy wz wx' wy' wz' wZ wM wN wtx wty wtz wO wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG G0  'x 'y 'z 'x' 'y' 'z' 'Z 'M 'N  'tx 'ty 'tz  'O wx wy wz wx' wy' wz' wZ wM wN wtx wty wtz wO wH wH wH wH wH wH wH wH wH wH wH wH wH H0  'x 'y 'z 'x' 'y' 'z' 'Z 'M 'N  'tx 'ty 'tz 'O wx wy wz wx' wy' wz' wZ wM wN wtx wty wtz wO F0 

(A-43)

Matricialmente § wF ¨ § F0 · ¨ wx ¨ ¸ ¨ wG ¨ G0 ¸  ¨ ¨ G ¸ ¨ wx © 0 ¹ ¨ wH ¨ wx © § wF ¨ ¨ wZ ¨ wG ¨ ¨ wZ ¨ wH ¨ wZ ©

wF wM wG wM wH wM

wF wy wG wy wH wy wF wN wG wN wH wN

wF wz wG wz wH wz wF wtx wG wtx wH wtx

wF wx' wG wx' wH wx' wF wty wG wty wH wty

wF wy ' wG wy ' wH wy ' wF wtz wG wtz wH wtz

'x wF ·§¨ ¸· ¸ 'y wz ' ¸¨ ¸ wG ¸¨¨ 'z ¸¸  ¸ wz ' ¸¨ 'x' ¸ wH ¸¨ 'y ' ¸ ¨ ¸ wz ' ¹¸¨ 'z ' ¸ © ¹ § 'Z · ¸ ¨ wF ·¨ 'M ¸ ¸ wO ¸¨ 'N ¸ § 0 · ¸ ¨ ¸ wG ¸¨ ¸¨ 'tx ¸ ¨ 0 ¸ wO ¸¨ ¸ ¨ ¸ wH ¸¨ 'ty ¸ © 0 ¹ wO ¸¹¨¨ 'tz ¸¸ © 'O ¹

(A-44)

donde wF O0 cos M 0 cos N 0 , wx wF O0 (cos Z sinN 0  sinZ sinM 0 cos N 0 ), wy wF O0 (sinZ 0sinN 0  cos Z 0sinM 0 cos N 0 ) wz wF wF wF 1, 0, 0, wx ' wy ' wz '

(A-45)

wF yO0 (sinZ 0sinN 0  cos Z 0sinM 0 cos N 0 )  zO0 (cos Z 0sinN 0  sinZ 0sinM 0 cos N 0 ) wZ wF xO0 (sinM 0 cos N 0 )  yO0 (sinZ 0 cos M 0 cos N 0 )  zO0 ( cosZ 0 cos M 0 cosN 0 ) wM wF xO0 ( cos M 0sinN 0 )  yO0 (cos Z 0 cos N 0  sinZ 0 sinM 0 sinN 0 )  zO0 (sinZ 0 cosN 0  cos Z 0sinM 0sinN 0 ) wN wF wF wF 1, 0, 0, wtx wty wtz wF x (cos M 0 cos N 0 )  y (cos Z 0 sinN 0  sinZ 0 sinM 0 cos N 0 )  z (sinZ 0sinN 0  cos Z 0sinM 0 cos N 0 ) wO

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

135

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

wG wx wG wy wF wz wG wx' wG wZ wG wM wG wN wG wtx wG wO

wH wx wH wx ' wH wZ wH wM

wH wN wH wtx wH wO

O0 cos M 0sinN 0 ,

O0 (cos Z 0 cos N 0  sinZ 0sinM 0sinN 0 ), O0 (sinZ 0 cos N 0  cos Z 0sinM 0sinN 0 ) 0,

wG wy '

1,

wG wz '

(A-46)

0,

yO0 (cos Z 0 cos N 0  cos Z 0sinM 0sinN 0 )  zO0 (cos Z 0 cos N 0  sinZ 0sinM 0sinN 0 ) xO0 (sinM 0sinN 0 )  yO0 (sinZ 0 cos M 0sinN 0 )  zO0 (cos Z 0 cos M 0sinN 0 ) xO0 ( cosM 0 cos N 0 )  yO0 ( cos Z 0sinN 0  sinZ 0sinM 0 cosN 0 )  zO0 (sinZ 0sinN 0  cos Z 0sinM 0 cos N 0 ) 0,

wG wG 1, wty wtz

0,

x( cos M 0sinN 0 )  y (cos Z 0 cos N 0  sinZ 0sinM 0 sinN 0 )  z (s e n Z 0 cos N 0  cos Z 0sinM 0 sinN 0 )

wH wH O0sinZ 0sinM 0 , wy wz wH 0, 1, wz '

O0sinM 0 , 0,

wH wy '

O0 cos Z 0 cos M 0 ,

yO0 ( cos Z 0 cos M 0 )  zO0 (sinZ 0 cos M 0 ) xO0 (cos M 0 )  yO0 (sinZ 0sinM 0 )  zO0 ( cos Z 0 sinM 0 ) 0 0,

(A-47) wH wty

0,

wH wtz

1,

x(sinM 0 )  y (sinZ 0 cos M 0 )  z (cos Z 0 cos M 0 )

Observación: Si los ángulos de rotación son pequeños y, como valores aproximados, se toma Z0 = M0 = N0 = 0, entonces se tiene

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136

wF wx wG wx wH wx

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

wF wF wF wF wF wF 0, 0, 0,  zO 0 , yO 0 , x, wy wz wZ wM wN wO wG wG wG wG wG wG 0, 0, 0, O0 ,  xO 0 , zO 0 , y, wz wZ wM wN wO wy wH wH wH wH wH wH 0, 0, 0, O0 ,  yO 0 , xO 0 , z wy wz wZ wM wN wO

O0 ,

(A-48)

A.2 Transformaciones proyectivas

A.2.1 Transformación proyectiva tridimensional En el contexto de la Fotogrametría, se llama transformación proyectiva a la que relaciona las coordenadas de un punto V = (X, Y, Z) en el sistema externo del terreno con las de su homólogo v = (x, y, z) en el sistema interno de la cámara (Fig. A-10).

v

C

V-C

V

Fig. A-10 Transformación proyectiva

Llamando C = (XC, YC, ZC) al vector que une los orígenes de ambos sistemas y R a la matriz de la rotación de ejes que transforma el sistema interno en paralelo al externo, la transformación proyectiva resulta de asumir que V – C y Rv son paralelos: ORv = V - C

(A-49)

Las ecuaciones correspondientes se llaman ecuaciones de la transformación proyectiva. Obsérvese que estas ecuaciones expresan que v y V están relacionados mediante una transformación de semejanza tridimensional. Se trata, por tanto, de una transformación de 7 parámetros.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

137

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Debido a que R es ortogonal y, por tanto, su inversa igual a su traspuesta, y llamando M = RT a la traspuesta, las ecuaciones de la transformación proyectiva también se pueden escribir x y z

1 1 1 m11 ( X  X C )  m12 (Y  YC )  m13 ( Z  Z C ) O O O 1 1 1 m21 ( X  X C )  m 22 (Y  YC )  m23 ( Z  Z C ) O O O 1 1 1 m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  Z C ) O O O

(A-50)

donde

m21 m31

m11 cosM cosN m12  cosMsinN m13 sinM cosZsinN  sinZsinM cosN m22 cosZ cosN  sinZsinMsinN m23 sinZ cosM sinZsinN  cosZsinM cosN m32 sinZ cosN  cosZsinMsinN m33 cosZ cosM

(A-51)

A.2.2 Ecuaciones de colinealidad. En Fotogrametría es útil expresar las coordenadas planas (x, y) de la proyección del vector v sobre el fotograma, en el sistema interno, en función de las coordenadas tridimensionales del vector V en el sistema externo. Teniendo en cuenta que la tercera componente de v en el sistema interno es la distancia focal de la cámara, z = -f, despejando el factor de escala O en la tercera ecuación de A-50 y sustituyéndolo en las dos primeras, se obtienen las relaciones

m11 ( X  X C )  m12 (Y  YC )  m13 ( Z  Z C ) m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  Z C )

x

f

y

m ( X  X C )  m22 (Y  YC )  m23 ( Z  Z C )  f 21 m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  Z C )

(A-52)

llamadas ecuaciones de colinealidad. Son las dos ecuaciones fundamentales de la Fotogrametría analítica y se usan en una gran variedad de problemas Estimación paramétrica: En las ecuaciones de colinealidad intervienen 6 parámetros. Los ángulos de rotación Z, M, N y las tres componentes del vector C, XC,, YC,, ZC. En general, en las aplicaciones se presenta el problema de estimar el valor de estos 6 parámetros a partir de un número de puntos, llamados de control, de los cuales se conocen sus coordenadas fotográficas (x, y) y terreno (X, Y, Z). Todas ellas se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias. Para aplicar el método general de los mínimos cuadrados, es necesario linealizar las ecuaciones A-52 mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales x, y, X, Y, Z y de unos valores aproximados de los parámetros Z0, M0, N0, X0C,, Y0C,, y Z0C

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

138

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Llamando

F

x f

m11 ( X  X C )  m12 (Y  YC )  m13 ( Z  ZC ) m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  Z C )

0

G

m ( X  X C )  m22 (Y  YC )  m23 ( Z  Z C ) y  f 21 m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  ZC )

0

(A-53)

se tiene F0 

wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF wF 'x  'y  'X  'Y  'Z  'Z  'M  'N  'XC  'YC  'ZC 0 wx wy wX wY wZ wZ wM wN wXC wYC wZC

wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG wG 'XC  'YC  'ZC 0 G0  'x  'y  'X  'Y  'Z  'Z  'M  'N  wx wy wX wY wZ wZ wM wN wXC wYC wZC

(A-54)

Matricialmente § 'x · § wF wF wF wF wF ·¨ 'y ¸ § wF ¨ ¸¨ ¸ ¨ § F0 · ¨ wx wy wX wY wZ ¸¨ ¸ ¨ wZ ¨¨ ¸¸  'X  © G0 ¹ ¨ wG wG wG wG wG ¸¨¨ 'Y ¸ ¨ wG ¸ ¨ ¨ wx wy wX wY wZ ¸ © ¹¨ ¸ © wZ © 'Z ¹

wF wM wG wM

wF wF wN wX C wG wG wN wX C

wF wYC wG wYC

§ 'Z · ¨ ¸ wF ·¨ 'M ¸ ¸¨ ¸ wZ C ¸¨ 'N ¸ wG ¸¨ 'X C ¸ wZ C ¹¸¨ 'YC ¸ ¨ ¸ ¨ 'Z ¸ © C¹

§ 0· (A-55) ¨¨ ¸¸ © 0¹

Para que las expresiones de las derivadas de las funciones F y G respecto las variables observacionales y los parámetros no resulten demasiado complicadas, conviene encontrar la formulación adecuada. Llamaremos m0ij a las funciones mij de los parámetros angulares definidas en A-51, calculadas para los valores aproximados Z0, M0 y N0. Así mismo, llamaremos

NF

m11 ( X  X C )  m12 (Y  YC )  m13 ( Z  Z C )

NF0

m011 ( X  X 0 C )  m012 (Y  Y 0 C )  m013 ( Z  Z 0 C )

NG

m21 ( X  X C )  m22 (Y  YC )  m23 ( Z  Z C )

NG0 D

m0 21 ( X  X 0C )  m0 22 (Y  Y 0C )  m0 23 ( Z  Z 0C ) m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 ( Z  Z C )

D0

m031 ( X  X 0C )  m032 (Y  Y 0C )  m033 ( Z  Z 0C )

x0

f

NF0 , y0 D0

f

NG0 D0

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-56)

139

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Con esta notación, las derivadas de F respecto las variables observacionales son

wF wx

1,

wF wy

wF wX

f

wF wY

m012 D0  m032 NF0 f D02

wF wZ

f

0,

m011 D0  m031 NF0 D02

m013 D0  m033 NF0 D02

f

m011 m0 31 ,  x0 D0 D0

m012 m032 , f  x0 D0 D0 f

(A-57)

m013 m033 ,  x0 D0 D0

Las derivadas de F respecto los parámetros lineales son wF wX C



wF wF , wX wYC



wF wF , wY wZ C



wF wZ

(A-58)

Las derivadas de F respecto los parámetros angulares son un poco más complicadas de calcular. En principio,

donde

wF wZ

wNF wD D0  NF0 w w Z Z 0 0 , f D02

wF wM

wNF wD D0  NF0 wM 0 wM 0 , f D02

wF wN

wNF wD D0  NF0 wN 0 f wN 0 D02

wm wm11 wm ( X  X C )  12 (Y  YC )  13 ( Z  Z C ) wZ wZ wZ wm wm11 wm ( X  X C )  12 (Y  YC )  13 ( Z  Z C ) wM wM wM wm wm wNF wm11 ( X  X C )  12 (Y  YC )  13 ( Z  Z C ) wN wN wN wN wm32 wm33 wD wm31 (X  X C )  (Y  YC )  (Z  Z C ) wZ wZ wZ wZ wm32 wm33 wD wm31 (X  X C )  (Y  YC )  (Z  Z C ) wM wM wM wM wm32 wm33 wD wm31 (X  X C )  (Y  YC )  (Z  Z C ) wN wN wN wN wNF wZ wNF wM

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

140

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Atendiendo a las ecuaciones A-63 - A-65 que expresan las derivadas de los elementos de la matriz de rotación respecto los parámetros angulares, wNF 0 wZ wNF  sen M cos N ( X  X C )  sen M sen N (Y  YC )  cos M ( Z  Z C ) wM wNF m12 ( X  X C )  m11 (Y  YC ) wN wD m 21 ( X  X C )  m 22 (Y  YC )  m 23 ( Z  Z C ) wZ wD  cos Z cos M cos N ( X  X C )  cos Z cos M sen N (Y  YC )  cos Z sen M ( Z  Z C ) wM wD m32 ( X  X C )  m31 (Y  YC ) wN Sustituyendo, las derivadas de F respecto los parámetros angulares resultan ser wF wZ

f

(m21 ( X  X C )  m22 (Y  YC )  m23 (Z  ZC ))0 NF0 , D02

wF wM

f

(sinM cosN ( X  X C )  sinM sen N (Y  YC )  cos M (Z  ZC ))0  D0

( cos Z cos M cos N ( X  X C )  cos Z cos M sinN (Y  YC )  cos ZsinM (Z  ZC ))0 NF0 f , D02 wF wN

f

(A-59)

(m12 ( X  X C )  m11 (Y  YC ))0 D0  (m32 ( X  X C )  m31 (Y  YC ))0 NF0 D02

Procediendo análogamente para la función G, las derivadas respecto las variables observacionales son

wG wx

0,

wG wy

wG wX

f

m0 21 D0  m031 NG0 , D02

wF wY

m0 22 D0  m032 NG0 , f D02

wF wZ

f

1,

(A-60)

m0 23 D0  m033 NG0 , D02

Las derivadas de F respecto los parámetros lineales son wG wX C



wG wG , wX wYC



wG wG , wY wZ C



wG wZ

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(A-61)

141

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

Las derivadas de G respecto los parámetros lineales son wG wZ

f f

wG wM

f f

wG wN

f

(m31 ( X  X C )  m32 (Y  YC )  m33 (Z  ZC ))0 D0 (m21 ( X  X C )  m22 (Y  YC )  m23 (Z  ZC ))0 NG0 , D02 (sinZ cosM cos N ( X  X C )  sinZ cosMsinN (Y  YC )  sinZ cosM (Z  ZC ))0  D0

(A-62)

( cosZ cosM cosN ( X  X C )  cosZ cosMsinN (Y  YC )  cosZsinM (Z  ZC ))0 NG0 , D02 (m22 ( X  X C )  m21 (Y  YC ))0 D0  (m32 ( X  X C )  m31 (Y  YC ))0 NG0 D02

Derivadas angulares de los elementos de una matriz de rotación. Recordemos que llamamos M a la matriz de rotación inversa que, por ser ortogonal, coincide con la traspuesta: M = RT (ecuaciones A-51). Derivadas respecto Z wm11 wZ wm21 wZ wm22 wZ wm23 wZ wm31 wZ wm32 wZ wm33 wZ

0,

wm12 wZ

0,

wm13 wZ

0

sinZ sinN  cos Z sinM cos N

 m31

sinZ cos N  cos Z sinM sinN

 m32

 cos Z cos M

 m33

(A-63)

cos Z sinN  sinZ sinM cos N

m21

cos Z cos N  sinZ sinM sinN

m22

sinZ cos M

m23

Derivadas respecto M wm11 wM wm21 wM wm31 wM

sinM cos N ,

wm12 wM

sinM sinN ,

wm13 wM

cos M

wm22 wm23 sinZ sinM sinZ cos M sinN , wM wM wm32 wm33 cos Z cos M sinN ,  cos Z cos M cos N ,  cos Z sinM wM wM

sinZ cos M cos N ,

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(A-64)

142

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Derivadas respecto N wm11 wm12 wm13 0 cosMsinN m12 , cosM cosN m11, wN wN wN wm23 wm21 wm22 cosZ cosN  sinZsinMsinN m22 , 0 cosZsinN  sinZsinM cosN m21, wN wN wN wm31 wm32 wm33 sinZ cosN  cosZsinMsinN m32 , 0 sinZsinN  cosZsinM cosN m31, wN wN wN

(A-65)

A.2.3 Transformación proyectiva bidimensional En Fotogrametría se llama transformación proyectiva bidimensional o transformación de 8 parámetros a una aplicación que transforma un plano en otro, en general no paralelo, en la que cada punto y su transformado están alineados con un punto llamado centro de la proyección.

Fig. A-11 Transformación proyectiva bidimensional

A partir de las relaciones proyectivas entre un punto y su transformado, y de las relaciones de semejanza que hacen coincidir los dos sistemas de coordenadas, en principio arbitrarios, correspondientes a cada uno de los planos, se deduce (Slama 1980) la siguiente relación entre las parejas de puntos homólogos: ax  by  g ex  fy  1 cx  dy  h y' ex  fy  1

x'

(A-66)

que también se puede obtener como un caso particular de las ecuaciones de colinealidad A-52 haciendo Z = 0, es decir, considerando el terreno plano. Estimación paramétrica En general, en las aplicaciones se presenta el problema de estimar el valor de los 8 parámetros a partir de un número de puntos, llamados de control, de los cuales se conocen sus coordenadas (x, y) y las del punto transformado (x’, y’). Se pueden considerar dos casos.

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143

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

a) Se consideran como variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias, las coordenadas del punto transformado (x’, y’), mientas que las coordenadas (x, y) del punto de control se consideran como constantes. En este caso, para cada punto de control se tienen las dos ecuaciones no lineales A-66 en los 8 parámetros. Para poder estimar los parámetros mediante el método de los mínimos cuadrados aplicado a un sistema sobredeterminado de ecuaciones de observación, es necesario linealizar estas ecuaciones respecto de los parámetros, mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de unos valores aproximados de éstos a0, b0, c0, d0, e0, f0, g0 y h0 wx' wx' wx' wx' wx' wx' wx' wx' 'a  'b  'c  'd  'e  'f  'g  'h wa wb wc wd we wf wg wh wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' wy ' y'0  'a  'b  'c  'd  'e  'f  'g  'h wa wb wc wd we wf wg wh

x' x' 0  y'

(A-67)

donde wx ' wa

wx ' x , e0 x  f 0 y  1 wb

wx ' wc wx ' we

wx ' y , e0 x  f0 y  1 wg

wx ' wx ' 0, 0, wd wh a x  b0 y  g0 wx ' x 0 , (e0 x  f 0 y  1)2 wf

1 , e0 x  f0 y  1

0,

wy ' wa wy ' wc

wy ' 0, wb

wy ' 0, wg

x

a0 x  b0 y  g0 (e0 x  f 0 y  1)2

(A-68)

0,

wy ' x , e0 x  f 0 y  1 wd

wy ' we

y

wy ' y , e0 x  f 0 y  1 wh

c0 x  d 0 y  h0 wy ' , (e0 x  f 0 y  1)2 wf

y

1 , e0 x  f 0 y  1

c0 x  d 0 y  h0 (e0 x  f 0 y  1)2

b) Tanto las coordenadas (x, y) del punto de control como las correspondientes (x’, y’) del punto transformado, se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias. En este caso las ecuaciones A-66 tampoco son lineales respecto observaciones y parámetros y, para aplicar el método general de mínimos cuadrados, es necesario linealizarlas mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales x, y, x’, y’ y de unos valores aproximados de los parámetros a0, b0, c0, d0, e0, f0, g0 y h0. Llamando ax  by  g  exx ' fyx ' x ' 0 cx  dy  h  exy ' fyy ' y ' 0

F G

(A-69)

se tiene F0  G0 

wF wx

wG wx

'x 

'x 

wF wy

wG wy

'y 

'y 

wF wx'

wG wx'

'x'

'x'

wF wy'

wG wy '

'y'

'y'

wF wa

wG wa

'a 

'a 

wF wb

wG wb

'b 

'b 

wF wc

wG wc

'c 

'c 

wF wd

wG wd

'd 

'd 

wF we

wG we

'e  'e 

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

wF wf wG wf

'f  'f 

wF wg wG wg

'g  'g 

wF wh wG wh

'h 0

(A-70) 'h 0

144

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Es decir F0 (a0 e0x')'x(b0  f0x')'y (xe0  yf0 1)'x'0'y' x'a y'b0'c0'd  xx''e yx''f 1'g  0'h 0 G0 (c0 e0 y')'x (d0  f0 y')'y 0'x'(xe0  yf0 1)'y'0'a0'b x'c  y'd  xy''e yy''f 0'g 1'h 0

(A-71)

Matricialmente

§ 'x · ¨ ¸ 0 § F0 · § a0  e0 x' b0  f0 x' (xe0  yf0 1) ·¨ 'y ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ (xe0  yf0 1)¹ 'x' 0 ©G0 ¹ © c0 e0 y' d0  f0 y' ¨¨ ¸¸ © 'y'¹

§ 'a· ¨ ¸ ¨ 'b¸ ¨ 'c ¸ ¨ ¸ § x y 0 0 xx' yx' 1 0·¨'d ¸ §0· ¨ ¸ ¨ ¸ © 0 0 x y xy' yy' 0 1¹¨¨ 'e ¸¸ ©0¹ ¨ 'f ¸ ¨'g ¸ ¨ ¸ ¨ 'h ¸ © ¹

(A-72)

A.2.4 Transformación bilineal En fotogrametría se llama transformación bilineal a una transformación del tipo

ax  by  exy  g cx  dy  fxy  h

x' y'

(A-73)

Depende de los 8 parámetros a, b, c, d, e, f, g, h. A los 6 parámetros a, b, c, d, g, h se les puede dar el mismo significado que a los correspondientes de la transformación bidimensional afín. Estimación paramétrica a) Se consideran como variables observacionales únicamente las coordenadas x’, y’. Para la estimación de los 8 parámetros se parte del modelo matemático lineal

§x y 0 0 ¨0 0 x y ©

xy 0

§a· ¨b¸ ¨ ¸ ¨c¸ ¨ ¸ 0 1 0·¨ d ¸ § x '· xy 0 1 ¸¹ ¨ e ¸ ¨© y ' ¸¹ ¨ ¸ ¨f¸ ¨g ¸ ¨¨ ¸¸ ©h ¹

(A-74)

b) Tanto las coordenadas (x, y) del punto de control como las correspondientes (x’, y’) del punto transformado, se consideran variables observacionales y, por lo tanto, variables con error aleatorio o variables aleatorias.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

145

Apéndice A. Transformaciones de coordenadas

En este caso las ecuaciones A-73 no son lineales respecto observaciones y parámetros y, para aplicar el método general de mínimos cuadrados, es necesario linealizarlas mediante un desarrollo de Taylor de orden 1 alrededor de los valores observacionales x, y, x’, y’ y de unos valores aproximados de los parámetros a0, b0, c0, d0, e0, f0, g0 y h0. Llamando ax  by  exy  g  x ' 0 cx  dy  fxy  h  y ' 0

F G

(A-75)

se tiene F0  G0 

wF wx

wG wx

'x 

'x 

wF wy

wG wy

'y 

'y 

wF wx '

wG wx '

'x '

'x '

wF wy '

wG wy '

'y '

'y '

wF wa

wG wa

'a 

'a 

wF wb

wG wb

'b 

'b 

wF wc

wG wc

'c 

'c 

wF wd

wG wd

'd  'd 

wF we wG we

'e  'e 

wF wf wG wf

'f  'f 

wF wg wG wg

'g  'g 

wF wh wG wh

'h 0

(A-76) 'h 0

Es decir F0  (a0  e0 y)'x  (b0  e0 x)'y 1'x ' 0'y ' x'a  y'b  0'c  0'd  xy'e  0'f 1'g  0'h 0 G0  (c0  f0 y)'x  (d0  f0 x)'y  0'x '1'y ' 0'a  0'b  x'c  y'd  0'e  xy'f  0'g 1'h 0

(A-77)

Matricialmente § 'a · ¨ ¸ ¨ 'b ¸ ¨ 'c ¸ § 'x · ¨ ¸ ¨ ¸ § F0 · § a0  e0 y b0  e0 x 1 0 ·¨ 'y ¸ § x y 0 0 xy 0 1 0·¨ 'd ¸ § 0·  ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ©G0 ¹ ©c0  f0 y d0  f0x 0 1¹¨ 'x' ¸ © 0 0 x y 0 xy 0 1¹¨ 'e ¸ ©0¹ ¨¨ ¸¸ ¨ 'f ¸ © 'y '¹ ¨ 'g ¸ ¨ ¸ ¨ 'h ¸ © ¹

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(A-78)

147

Apéndice B.El método de los mínimos cuadrados

Apéndice B

B.1 Solución mínimo-cuadrática de sistemas de ecuaciones sobredeterminados.

Caso lineal Consideremos un sistema lineal de n ecuaciones con h incógnitas x1, x2, ...,xh de la forma

­ a11 x1  a12 x 2  ...  a1h x h u1 ° a x  a x  ...  a x u 2h h ° 21 1 22 2 2 ® ° .................................. ° a x  a x  ...  a x u nh h n ¯ n1 1 n 2 2

(B-1)

o bien, en notación matricial Ax = u

(B-2)

donde n > h. El número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas y sistema está sobredeterminado. Supondremos, además, que la matriz A es de rango máximo h y que la matriz ampliada (A|u) es de rango h+1. El sistema será, por tanto, incompatible y no existirá ningún vector x que verifique esta igualdad matricial. Para cada vector x habrán unas correcciones v = (v1, v2, ..., vn) al término independiente u tales que se satisfará la igualdad Ax = u + v

(B-3)

Ax – u = v

(B-4)

El vector v así definido

recibe el nombre de vector de correcciones o vector de residuos.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

148

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

La solución del sistema (B-2) en el sentido mínimo cuadrático consiste en el vector x que hace mínima la suma cuadrática de residuos (B-5) vT v ¦ vi2 Si, además, se pondera cada ecuación con un peso pi y se llama matriz de pesos a la matriz diagonal § p1 ¨ 0 P ¨ ¨ ¨¨ ©0

... p2 ... ...

... ... ... ...

0· ¸ 0¸ ¸ ¸ pn ¸¹

(B-6)

la solución del sistema (B-2) en el sentido mínimo cuadrático consiste en el vector x que hace mínima la suma cuadrática ponderada de residuos (B-7) vT Pv ¦ pi vi2 y se demuestra que está determinado por la solución del llamado sistema normal ATPA x =AT P u

(B-8)

x =N -1ATPu

(B-9)

N = ATPA

(B-10)

que se suele expresar de la forma

donde

recibe el nombre de matriz normal o matriz del sistema normal. Caso no lineal Sea un sistema de ecuaciones f1(x1, x2, ..., xh) = 0 f2(x1, x2, ..., xh) = 0 ... fn(x1, x2, ..., xh) = 0

(B-11)

o bien F(x) = 0

(B-12)

donde el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas (n > h). Igual que en el caso lineal, sistema está sobredeterminado y es incompatible. No existe ningún vector x que verifique la expresión (B-12). Para cada x existe un vector v de residuos tal que F(x) = v

(B-13)

Desarrollando por Taylor en un entorno de un punto x0, podemos escribir F ( x 0 )  dFx0 '

v

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

(B-14)

149

Apéndice B.El método de los mínimos cuadrados

donde ' ( x  x0 )

(B-15)

La expresión (B-14) es análoga a la expresión lineal (B-4) identificando F ( x 0 ) u

(B-16)

y dFx0

A

(B-17)

Utilizando los resultados correspondientes al caso lineal podemos decir que, en primera aproximación, el vector x1 que hace mínima la magnitud vTPv es

donde

x1 = x0 + '

(B-18)

' = -N-1ATPu

(B-19)

N = ATPA

(B-20)

y El proceso se puede iterar desarrollando en un entorno de x1, y así sucesivamente, hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas sea despreciable.

B.2 Ajuste de observaciones y estimación de parámetros mediante el método de los mínimos cuadrados

Método general Supongamos que tenemos n observaciones u0 = (u01, u02, ..., u0n), que consideraremos como realizaciones de n variables aleatorias normales (ui a N(Pi, Vi)) y h incógnitas x = (x1, x2, ..., xh), de verdadero valor ] = (]1, ]2, ..., ]h), relacionadas con las observaciones mediante un sistema no lineal de r ecuaciones (modelo matemático): f1(u1, u2, ..., un, x1, x2, ..., xh) = 0 f2(u1, u2, ..., un, x1, x2, ..., xh) = 0 ... fr(u1, u2, ..., un, x1, x2, ..., xh) = 0

(B-21)

o bien F(u, x) = 0

(B-22)

donde r > h: el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas y el sistema está, por tanto, sobredeterminado.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

150

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Para compensar las observaciones y estimar los parámetros ]i según el método general de los mínimos cuadrados, se siguen los siguientes pasos: 1. Identificar las n variables observacionales u = (u1, u2, ..., un), las h incógnitas x = (x1, x2, ..., xh) y el número de grados de libertad del sistema gdl = r-h. 2. Proponer valores aproximados de las incógnitas x0 = (x01, x02, ..., x0h). 3. Linealizar el modelo matemático que relaciona observaciones con incógnitas: § wF · § wF · ' 0 F (u 0 , x 0 )  ¨ ¸ 0 0 v¨ ¸ © wu ¹( u , x ) © wx ¹( u 0 , x0 )

(B-23)

donde v = (u-u0) son los residuos o correcciones a las observaciones y ' = (x-x0) son las correcciones a los valores aproximados de las incógnitas, e identificar las matrices de diseño § wF · § wF · B ¨ ¸ 0 0 y A ¨ ¸ © wu ¹( u , x ) © wx ¹( u0 , x0 )

(B-24)

W = F(u0, x0)

(B-25)

y el término independiente

4. Establecer el modelo estocástico. Consideraremos dos casos posibles: Se conocen los errores en las observaciones Vui y su correlación Vuij. Es decir, se conoce la matriz de varianza-covarianza de las observaciones 6u. En este caso, se establece la varianza de referencia a priori V2, la matriz cofactor Qu = (1/V2)6u

(B-26)

Wu = Q-1u

(B-27)

y la matriz peso

Si las observaciones son independientes, entonces

Wu

P

§ p1 ¨ ¨0 ¨ ¨ ¨0 ©

... p2 ...

... ... ...

...

...

0 · ¸ 0 ¸ ¸ ¸ p n ¸¹

(B-28)

y Qu0 = P-1

(B-29)

Se conocen los pesos de las observaciones, es decir la matriz P, pero no sus errores Vui ni la varianza de referencia a priori V2.

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

151

Apéndice B.El método de los mínimos cuadrados

5. Cálculos matriciales M = B P-1BT

(B-30)

M-1 N = ATM-1A

(B-31)

N-1 T = AT M-1W

(B-32)

N' = -T

(B-33)

' = -N-1T

(B-34)

k = - M-1(A' + W)

(B-35)

v = P-1BTk

(B-36)

x = x0 + '

(B-37)

u = u0 + v

(B-38)

Qx = N-1

(B-39)

Qv = P-1BTM-1(M - A N-1AT)M-1B P-1

(B-40)

Qu = Qu0 - Qv

(B-41)

S2 = vTPv/gdl

(B-42)

Sistema de ecuaciones normales:

6. Solución Correcciones a las incógnitas Multiplicadores de Lagrange Residuos Incógnitas Observaciones ajustadas

7. Matrices cofactor

8. Varianza de referencia a posteriori

9. Test de bondad de ajuste mediante el estadístico vTPv/V2 a F2gdl

(B-43)

6x = V2Qx o Vxi = V—Qxii | S—Qxii

(B-44)

10. Iteración del proceso, en su caso. 11. Errores en la solución.

12. Estimación por intervalo de confianza

]i = xi r tD, gdlVxi

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(B-45)

152

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

13. Análisis de los residuos Números de redundancia ri = (QvP)ii

(B-46)

0 d ri d 1

(B-47)

Cumplen las siguientes propiedades:

¦r

i

gdl

(B-48)

Se dice que un observable ui está: perfectamente controlado si bien controlado si: débilmente controlado si: mal controlado si: no está controlado si:

ri = 1 1 t ri d 0,4 0,4 t ri d 0,1 0,1 t ri d 0 ri = 0

(B-49)

Aquellos observables débilmente, mal o no controlados son sospechos de estar afectados por errores groseros. Test de Baarda mediante el estadístico

zi

vi

N (0,1) V vi

(B-50)

Método de las observaciones indirectas o de las ecuaciones de observación Supongamos que tenemos n observaciones u0 = (u01, u02, ..., u0n), que consideraremos como realizaciones de n variables aleatorias normales (ui a N(Pi, Vi)) y h incógnitas x = (x1, x2, ..., xh), de verdadero valor ] = (]1, ]2, ..., ]h), relacionadas con las observaciones mediante un sistema no lineal de n ecuaciones (modelo matemático): f1(x1, x2, ..., xh) = u1 f2(x1, x2, ..., xh) = u2 ... fn(x1, x2, ..., xh) = un

(B-51)

o bien F(x) = u

(B-52)

donde n > h: el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas y el sistema está, por tanto, sobredeterminado. Se trata, pues, de un caso particular del método general en el que cada variable observable se escribe en función de las incógnitas. Hay, por tanto, tantas ecuaciones como observaciones. Para compensar las observaciones y estimar los parámetros ]i según el método de las ecuaciones de observación, se siguen los mismos pasos que en el método general teniendo en cuenta que, en este caso, B = -I (B-53) y (B-54) W = F(x0) – u0

© Los autores, 2003; © Edicions UPC, 2003.

153

Apéndice B.El método de los mínimos cuadrados

2.1. Identificar las n variables observacionales u = (u1, u2, ..., un), las h incógnitas x = (x1, x2, ..., xh) y el número de grados de libertad del sistema gdl = n-h. 2.2. Proponer valores aproximados de las incógnitas x0 = (x01, x02, ..., x0h). 2.3. Linealizar el modelo matemático que relaciona observaciones con incógnitas: § wF · 0 0 ¨ ¸ 0 0 ' u  F(x )  v © wx ¹ (u , x )

(B-55)

donde v = (u-u0) son los resíduos o correcciones a las observaciones y ' = (x-x0) son las correcciones a los valores aproximados de las incógnitas, e identificar la matriz de diseño

y el término independiente

§ wF · A ¨ ¸ © wx ¹(u 0 , x0 )

(B-56)

W = F(x0) – u0

(B-57)

2.4. Establecer el modelo estocástico. Consideraremos dos casos posibles: Se conocen los errores en las observaciones Vui y su correlación Vuij. Es decir, se conoce la matriz de varianza-covarianza de las observaciones 6u. En este caso, se establece la varianza de referencia a priori V2, la matriz cofactor Qu = (1/V2)6u

(B-58)

Wu = Q-1u

(B-59)

y la matriz peso

Si las observaciones son independientes, entonces

Wu

§ p1 ¨ 0 P ¨ ¨0 ¨¨ ©0

...

... ...

p2 ... ... ... ...

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ pn ¸¹

(B-60)

y Qu0 = P-1

(B-61)

Se conocen los pesos de las observaciones, es decir la matriz P, pero no sus errores Vui ni la varianza de referencia a priori V2. 2.5. Cálculos matriciales N = ATPA N-1 T = AT PW

(B-63)

N' = -T

(B-64)

(B-62)

Sistema de ecuaciones normales:

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154

Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

2.6. Solución Correcciones a las incógnitas ' = -N-1T

(B-65)

v = A' + W

(B-66)

x = x0 + '

(B-67)

u = u0 + v

(B-68)

Qx = N-1

(B-69)

Qv = P-1 - A N-1AT

(B-70)

Qu = Qu0 - Qv

(B-71)

S2 = vTPv/gdl

(B-72)

Residuos Incógnitas Observaciones ajustadas 2.7. Matrices cofactor

2.8. Varianza de referencia a posteriori

2.9. Test de bondad de ajuste mediante el estadístico vTPv/V2 a F2gdl

(B-73)

6x = V2Qx o Vxi = V—Qxii | S—Qxii

(B-74)

2.10. Iteración del proceso, en su caso. 2.11. Errores en la solución.

2.12. Estimación por intervalo de confianza

]i = xi r tD, gdlVxi 2.13. Análisis de los residuos El proceso a seguir es el mismo que en el método general

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(B-75)

155

Índice de figuras

Índice de figuras Fig. 1.1 Fotogrametría arquitectónica. Isometría de la Plaça del Rei - Barcelona (TFC: Rubio, M-Buill, F.)....................................................................................................................... 14 Fig. 1.2 Cobertura fotográfica y modelos a restituir ............................................................................................ 15 Fig. 1.3 Relación entre los sistemas de coordenadas fotográficas y terreno ........................................................ 16 Fig. 1.4 Condición de coplanaridad ..................................................................................................................... 17 Fig. 1.5 Compilación de las minutas, una vez editadas, para obtener la cartografía (TFC: Quesada, O., Veigas, O.-Buill, F.)...................................................................................................... 18 Fig. 2.1 Fotograma y detalle de punto de control................................................................................................. 20 Fig. 2.2 Esquema de cobertura fotográfica de dos pasadas con dos fotografías................................................... 21 Fig. 2.3 Sistema de coordenadas comparador, X, Y, y de fotocoordenadas, x, y................................................. 21 Fig. 2.4 Coordenadas fiduciales ........................................................................................................................... 22 Fig. 2.5 Bloque fotográfico. Caso arquitectónico. (TFC: Bonet, F.-Buill, F.). ............................................................................................................................ 23 Fig. 2.6 Medición de coordenadas de una imagen digital (TFC: Bonet, F.-Buill, F.). ............................................................................................................................ 23 Fig. 2.7 Cobertura fotográfica aérea..................................................................................................................... 26 Fig. 2.8 Sistemas de coordenadas cliché .............................................................................................................. 27 Fig. 3.1 Error por refracción atmosférica............................................................................................................. 49 Fig. 3.2 Error causado por la esfericidad terrestre ............................................................................................... 51 Fig. 3.3 Transformación de coordenadas ............................................................................................................. 51 Fig. 4.1 Restituidor analógico mecánico Wild B-8 .............................................................................................. 57 Fig. 4.2 Modelo y coordenadas terreno................................................................................................................ 58 Fig. 4.3 Orientación relativa................................................................................................................................. 59 Fig. 4.4 Cálculo del modelo ................................................................................................................................. 62 Fig. 4.5 Ecuación de colinealidad ........................................................................................................................ 75 Fig. 6.1 Curvas de nivel y curso fluvial ............................................................................................................. 100 Fig. 6.2 Resultado del curvado tomando como líneas de rotura los elementos planimétricos (TFC: Quesada, O., Veigas, O.-Buill, F.).................................................................................................... 104 Fig. 6.3 Etiquetado de las curvas de nivel.......................................................................................................... 105 Fig. 6.4 Etiqueta sobre curso fluvial .................................................................................................................. 105 Fig. 6.5 Cartografía a gran escala de la zona de estudio .................................................................................... 110 Fig. 6.6 Ortofotografía a gran escala de la zona de estudio ............................................................................... 112 Fig. A-1 Rotación de ejes.................................................................................................................................... 121 Fig. A-2 Homotecia............................................................................................................................................. 122 Fig. A-3 Traslación ............................................................................................................................................. 122 Fig. A-4 Transformación de semejanza .............................................................................................................. 123 Fig. A-5 Cambio de escala diferente para cada eje ............................................................................................. 125 Fig. A-6 Corrección de ortogonalidad ................................................................................................................ 126 Fig. A-7 Rotación respecto del eje x................................................................................................................... 129 Fig. A-8 Rotación respecto del eje y................................................................................................................... 129

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Fig. A-9 Rotación respecto del eje z ................................................................................................................... 130 Fig. A-10 Transformación proyectiva................................................................................................................ 136 Fig. A-11 Transformación proyectiva bidimensional ......................................................................................... 142

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Índice de figuras

Índice Alfabético Aberración, 53, 133, 135 Aerotriangulación, 14, 15, 25, 134 Ajuste de observaciones, 169 Altura, 16, 53, 56, 57, 58, 59, 120 Atmósfera, 53, 56

Coordenadas placa, 25, 135 Coordenadas terreno, 10, 18, 20, 23, 65, 66, 67, 71, 81, 84, 86-91, 95, 97-99, 101, 104, 106, 107, 109-111, 113, 115, 137, 177 Corrección, 29, 54, 56, 58-60, 144 Correlación, 15, 35, 38, 40, 45, 128, 170, 173

B

D

A

Densidad fotográfica, 135 Distancia focal, 59, 69, 156 Distancia focal, 74, 89 Distorsión óptica, 54, 60, 66

Base fotográfica, 128, 134, 137

C CAD, 116, 119 Calibración de la cámara, 54, 66 Cámara, 9, 13, 14, 21, 28, 30, 53, 54, 56, 59, 60, 66, 86, 87, 133, 135-137, 155, 156 Cámara aérea, 56 Cámara métrica, 9, 30, 54 Canevas de apoyo, 134 Codificación, 20, 116, 117, 119, 121, 123, 127 Comparador, 18, 25, 26, 28, 30, 31, 53, 54, 134, 177 Compilación cartográfica, 20, 126 Condición de coplanaridad, 68, 73, 74 Coordenadas Coordenadas cliché, 18, 25, 28, 32, 53, 66, 177 Coordenadas comparador, 25, 26, 30, 31, 53, 54, 177 Coordenadas fotográficas, 9, 18, 19, 20, 2527, 30, 53, 54, 59, 86, 87, 136, 137, 156, 177 Coordenadas imagen, 18, 23, 25, 59, 66, 134 Coordenadas modelo, 9, 67, 69, 71, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 84, 102, 104, 106 Coordenadas pixel, 134

E Ecuación de colinealidad, 107, 109, 110, 113, 136 Eje, 29, 36, 54, 56, 68, 81, 86, 87, 127, 135, 137, 143, 144, 148, 149, 177 Error, 10, 15, 46, 53, 57, 58, 69, 95, 101, 102, 104, 106, 107, 110, 113, 135, 142, 146, 147, 150, 152, 157, 163, 164 Escala, 7, 8, 18, 19, 21, 27, 29, 35, 36, 48, 50, 67, 69, 71, 81, 82, 84, 85, 92, 104, 105, 113, 116, 117, 120, 123, 126, 127, 129, 135, 138, 143, 150, 156, 177 Escáner, 16, 26, 28, 30, 48, 49, 59 Estereoscopía, 27

F Focal, 21, 59, 66, 69, 74, 87, 89, 133, 135, 136, 156 Fotografía, 13-15, 19, 24, 27, 29, 30, 33, 50, 53, 60, 66, 72, 75, 77, 79, 135, 137, 138 Fotograma, 19, 24, 26-28, 30, 32, 52, 58, 63, 67, 68, 88, 95, 137, 156

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Generación de cartografía mediante técnicas fotogramétricas

Fotogrametría, 7-9, 13-17, 23, 135-137, 164 Función de distorsión, 66, 133, 136

G Generalización, 122

H Haz perspectivo, 136

I Imágenes, 16, 24, 32, 36, 53, 117, 128, 134, 135, 136 Inclinación, 135 Intersección, 14, 19, 53, 66, 70, 79, 102, 113, 121, 137, 138

L Leyenda, 126

M Marcas fiduciales, 18, 28, 30-34, 36, 39, 50, 53, 59, 133, 134, 135 Minuta cartográfica, 136 Modelo Modelo digital del terreno, 120, 128 Modelo estereoscópico, 19, 136 Modelo estocástico, 8, 170, 173

Perspectiva, 137 Pixel, 32, 36, 49, 50, 134, 135 Placa, 18, 25, 31, 53, 66, 135 Plano epipolar, 68, 134, 137 Poder de resolución, 137 Polinomio, 28, 30 Posado, 117 Presión, 56 Punto principal, 18, 53, 54, 59, 60, 66, 68, 133, 134, 136 Puntos homólogos, 14, 20, 69, 81, 101, 128, 135, 137, 162

R Radiometría, 117 Raster, 128 Rectificación, 14, 15 Recubrimiento Recubrimiento longitudinal, 137 Recubrimiento transversal, 21, 137 Resección, 14, 137 Resolución, 28, 30, 36, 54, 117, 137 Restitución, 8, 10, 15, 20, 23, 25, 65, 67, 72, 88, 115-121, 127, 128, 139 Restituidor, 14, 15, 117 Rotulación, 124, 125, 128

S Sensibilidad, 106 Serie, 18, 121, 124, 126

O Objetivo, 53, 56, 115, 118, 121, 123, 126, 133, 135 Opacidad, 135 Óptica, 54, 60, 65, 66, 135 Orientación Orientación absoluta, 81, 104, 136 Orientación externa, 65, 66, 136 Orientación interna, 66 Orientación relativa, 68, 69, 72, 78, 101, 135, 136

T Tabla, 20, 31, 48-50, 54, 116, 117, 124 Tabla, 31, 55 Topología, 138 Transformación Transformación bidimensional, 28, 30, 48, 53, 54, 164 Transformación bilineal, 28, 48, 50, 52, 59, 164 Transformación tridimensional, 71, 81 Triangulación, 23

P Par, 13, 27, 34, 35, 37-41, 43-45, 67-69, 74, 90, 101, 102, 117, 134, 135, 137, 138 Paralaje, 70, 77, 79, 80, 136

V Visión estereoscópica, 15, 27, 117, 136

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