Foro 2 - Algebra Lineal Aplicada

 

a) El ángu ángulo lo entre entre los vec vector tores es U 2  y U 3 :

Recordemos que la fórmula para sacar el ángulo entre 2 vectores es la siguiente:

(u ∗u )

⃗

Cosθ=

2⃗

3

|u ||u |

⃗

⃗

2

3

Por lo tanto, sustuimos los valores y sacamos el producto punto de U 2  y U 3 :

u2= (5 , −3 ) u3=( 4 ,−8 ) u2∗u3=( 5 ) ( 4 ) + (−3 ) (−8 )= 20 +24 =44 u2= √ 5

+−3 =√ 25 25 + 9 =√ 3 34 4

u3= √ 4

+−8 =√ 16 16 + 64 =√ 8 80 0

2

2

2

2

Cosθ=

  44 34 √ 80 80 √ 34

=0.84366

θ =cos−1 ( 0.84366 ) θ =32.47 °

b) Ca Calc lcul ular ar la la nor norma ma de u1 , u 2 y u3 :

Para este caso, ulizaremos la siguiente formula:

⃗|u|=(a , b ) ⃗|u|=√ a2 + b 2

 

Sustuimos los valores en la formula y los aplicamos a cada vector: 2

|u | =3 + 5

⃗

2

2

1

|u |=√ 3 + 5 =√ 9 +25 2

⃗

2

1

34 o 5.8309 |u |=√ 34 1

⃗

2

|u | =5 + ¿

⃗

2

2

|u |=√ 5 +(−3 ) = √ 2255 +9 2

⃗

2

2

34 o 5.8309 |u |=√ 34 2

⃗

2

2

|u | =4 + ¿

⃗

3

2

2

|u |=√ 4 +(−8 ) = √ 16 + 64 80 o 8.9442 |u |=√ 80

⃗

3

3

⃗

sobree u3 : c) Ca Calcu lcular lar la proye proyecci cción ón de u1 sobr

Para calcular la proyección ulizaremos ulizaremos la siguiente formula:

⃗u∗⃗v  ∗⃗v ⃗|u|

 Proy⃗u⃗u= En donde:

16 + 64= √ 8 80 0 |u |=√ 4 +(−8 ) = √ 16 2

⃗

2

3

2

80 |u | =√ 80

⃗

3

2

80 ) = 80 |u |=( √ 80

⃗

3

Obteniendo este resultado, sustuimos los valores en la formula, tomando en cuenta el

estasob sobreel reel vector vector u3: vector u1 esta

 

u ∗u ⃗u∗⃗v  ∗⃗v→ Proy u u 1= 3 2 1  ∗u3 ⃗|u| |u3| ⃗

 Proy⃗u⃗u=

⃗

⃗

⃗

3

⃗

⃗

 Proyu u1= ⃗

⃗

3

( 4 ,−8 )∗(3 , 5 )  ( 4 ,−8 )∗( 3 , 5 )   ∗( 4 ,−8 )= ∗ ( 4 , −8 ) (4 ,−8 )( 4 ,− 8 ) ( 4 ,−8 ) 2

−40 −28  Proyu u = 16 + 64 ∗( 4 ,−8 ) = 80 ∗( 4 , −8 ) 12

⃗

⃗

 Proyu u1=

−28

⃗

⃗

80

3

∗( 4 ,− 8 )=

 Proyu u1= ⃗

⃗

3

1

3

√

(

−28 20

−14 40

2

2

) +( 56 ) = 20

 Proyu u1 = ⃗

⃗

∗ ( 4 , −8 ) =

3

√

√

3920 400

784 400

−7 20

∗( 4 , −8 ) =

+ 3136 = 400

√

−28 20

3920 400

o 3.13049

d) Ca Calcu lcular lar el el produc producto to punto punto entr entre e u1  y u 2: Para este caso ulizaremos la siguiente formula, tomando en cuenta que:

 A =u1=( 3 , 5⃗) B =u2=( 5 ,−3 )

⃗

⃗B = Ax∗Bx + Ay∗By  A∗

⃗

Sustuimos los valores:

u1∗ u2=( 3) ( 5 ) +(5 )(− 3) u1∗u2=15− 15 u1∗u2=0

e) Conv Conver err r el ve vect ctor or u2 en un vector unitario:

Tomando en cuenta que:

⃗|v|= √ a + b 2

2

⃗|v|= √ 5 + 3 = √ 2255 + 9 2

2

,

56 20

 

⃗|v|= √ 34 34 Sustuimos en la siguiente formula:

⃗v ⃗|v| Resolvemos:

⃗v (5. 3)   5   3 = = , ⃗|v| √ 34 34 34 √ 3 34 4 √ 34 5

∗ √ 34 34 34 34 34 34 √  = 5 √ 34 = 5 √ 34 o 0.85749 = 34 34 34 √ 34 √ 34 ( √ 34 34 ) 5

2

3 3

= √ 

34 34

34 √ 34

∗√ 34 34

34 √ 34

3 34 34  3 34 34 = √  = √  o 0.51449

( √ 34 34 )

2

34

⃗v ⃗|v|= ( 0.85749 , 0.51449 )

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

 Rodo, P. (2021, mayo). Producto escalar de dos vectores. Economipedia. Recuperado 8 de octubre de 2022, de https://economipedia.com/definiciones/producto-escalar-dedos-vectores.html 

 Ríos, J. (2014). Producto Punto y Producto Cruz. Matemáticas Modernas. https://matematicasmodernas.com/vectores-producto-punto-y-producto-cruz/ 

 Ríos, J. (2014). Proyecciones de Vectores y Vectores Ortogonales. Matemáticas Modernas.  Recuperado 8 de octubre de 2022, de https://matematicasmodernas.com/proyecciones-devectores/