Formule Statistica

FORMULE

STATISTICA

frecvenţa relativă  f  i =

ni

⋅ 100

∑ ni

sau   greutatea unui elem elemen entt (xi) în tota totalu lull greutatea specifică  specifică  a unui

 ponderea n

colectivităţii ( ∑ x ) se obţine pe baza relaţiei: i

i =1

 f  i

=

 xi

⋅ 100,

n

∑ x

i = 1, n

i

i =1

Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile în care fiecare

nivel al caracteristicii este purtat de o singură unitate statistică.

n

x=

x1 + x 2

colectivităţii

+ x 3 + ... + x n n

sau

x

=

∑x i =1

n

i

,

i

1, n

=

, n=volumul

Media Media aritme aritmetic tică ă ponder ponderată ată se folo folose seşt ştee în cazu cazull seri seriil ilor or cu

frecvenţe

n

x=

∑x n i

x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + ... + x n n m

sau

n 1 + n 2 + ... + n m

x

=

i

i =1 n

∑n

i

i =1

formule de calcul simplificat a mediei aritmetice: n

-pt. serii simple:

x

=

∑ (x

− a)

i

+a

i =1

n n

∑ (x − a ) ⋅ n x= ∑n i

i =1

-pt. serii ponderate:

n

i

+a

i

i =1

a. Dacă se micşorea micşorează ză fiecare fiecare variantă variantă a caracteristi caracteristicii cii de un anumit anumit număr de ori ”k”, atunci media seriei se micşorează de acelaşi număr de ori.

Se obţin următoarele relaţii: n

-pt. serii simple:

x

=

xi

∑ k  i =1

n

⋅ k  n

∑ xk  ⋅ n i

-pt. serii ponderate:

x=

i =1

n

∑n i =1

i

i

⋅ k 

b. Dacă Dacă frec frecve venţ nţel elee seri seriei ei se micş micşor orea ează ză de un numă numărr „c” „c” de ori, ori, atunci media aritmetică rămâne neschimbată.

Această proprietate se aplică numai seriilor cu frecvenţe. n

ni

1

∑x ⋅ c i

x=

i =1

n

=

ni

∑c

n

n

∑x n ∑x n

c i=1 1 n

i

∑n

c i=1

i =1

c. Suma

i

i

=

i

i =1 n

∑n

i

=x

i

i =1

algebrică

a

abater terilor

nivelurilor

caracteristicii de la media lor este egală cu zero.

∑ (x ∑ (x

i

− x) = 0

∑ i − x) = ∑ x i − ∑ x = ∑ x i − n ⋅ x = ∑ x i − n ⋅

xi

n

=0

formule de calcul simplificat al mediei aritmetice : n

-pt. serii simple:

x

=

∑

xi

−a k 

i =1

⋅ k + a

n

∑ x k − a ⋅ nc n

i

-pt. serii ponderate:

x = i =1

n

i

ni

∑c

⋅ k + a

i =1

Media, în cazul caracteristicii alternative

individuale

ale

 p =

n1 n

Media unităţilor care nu poartă acea caracteristică se notează cu „q” şi se determină astfel: q=

n − n1 n

aplicarea relaţiei de calcul a modului: Mo = x 0

+d⋅

∆1 ∆1 + ∆ 2 ,

unde:

x0 = limita inferioară a intervalului modal, d = mărimea intervalului modal, ∆1

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

anterior celui modal, ∆2

= diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului

următor celui modal. Pe cale grafică, modul se determină pe baza histogramei

Metodologia de calcul a medianei este diferită după natura seriei luate în calcul. Pentru serii simple se întâlnesc două situaţii: -seria are un număr impar de termeni, când mediana este acea variantă a caracteristicii cu rangul

n +1 2

, după ce în prealabil seria a fost ordonată

crescător, unde n = nr. termenilor.

:

U Me =

∑ni ; 2

Me = x 0 + d ⋅

U Me − Na n Me

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului median; d = mărimea intervalului median;  Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului median; nMe = frecvenţa reală a intervalului median. Pe cale grafică mediana se determină ca şi în situaţia precedentă cu ajutorul curbei frecvenţelor cumulate.

Quartilele

Q1 = x 0 + d ⋅

U Q1 − Na n Q1

Q2 = x0 + d ⋅

Q3 = x 0 + d ⋅

U Q 2 − Na n Q2 U Q 3 − Na n Q3

x0 = limita inferioară a intervalului quattilic; d = mărimea intervalului quartilic; UQ1, UQ2, UQ3 = unităţile quartilice;  Na = frecvenţa cumulată anterioară intervalului quartilic; nQ1, nQ2, nQ3 = frecvenţele reale ale intervalului quartilic.

U Q1 =

∑n i ;

U Q2 =

4

2∑ n i 4

=

∑ni 2

=U

Me

;

U Q3 =

3∑ n i 4

 Decilele

D1 = x 0 + d ⋅

U D1 − Na n D1

D2 = x 0 + d ⋅

U D 2 − Na n D2



D5 = Me = Q2 

D9 = x 0 + d ⋅

U D 9 −  Na

U D1 =

U D2 =

n D9

∑n i 10 2∑ n i 10

=

∑ni 5



U D9 =

9∑n i 10

.

În cazul seriilor cu frecvenţe în care caracteristica este dată pe variante, mediala se calculează în următoarele etape: -se determină produsele x

i

ni ;

-se calculează şirul produselor  x

i

ni

cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei:

U Ml =

∑x i n i ; 2

-se caută locul unităţii mediale pe şirul L i, alegând un nivel egal sau mai mare decât acesta; -se identifică mediala ca fiind nivelul caracteristicii corespunzător unităţii mediale.

În cazul seriilor cu frecvenţe şi caracteristica sub formă de intervale de variaţie, mediala se determină tot prin calcul şi grafic. Prin calcul se parcurg operaţiile: -se determină produsele

xini ;

-se calculează şirul produselor  x

i

ni

cumulate, notate cu Li;

-se determină unitatea medială conform relaţiei:

U Ml =

∑x i n i ; 2

-se caută locul unităţii mediale pe şirul L i, alegând un nivel egal sau mai mare decât acesta; -se identifică intervalul medial, ca fiind intervalul caracteristicii corespunzător unităţii mediale; -se aplică formula medialei:

Ml = x 0

+ d⋅

U Ml

− La

x i n i Ml

, unde:

x0 = limita inferioară a intervalului medial; d = mărimea intervalului medial; UMl = unitatea medială; La = produsul cumulat anterioar intervalului medial; x i n iMl

= produsul

xini

corespunzător intervalului medial.

Media cronologică simplă  se calculează când momentele sunt egal distanţate

între ele. Pentru seria

x1 , x 2 ,



, x n -1 , x n ,

x1 + x 2 x cr  =

2

+

x2

+ x3 2

+ + 

x n −1 + x n 2

.

n −1 x1

Prin transformare, această relaţie devine:

x cr  = 2

+ x2 + x3



+ x n −1 +

xn 2

n −1

.

Media cronologică ponderată  se calculează atunci când intervalele de

timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale. În acest caz, mediile parţiale, din care se calculează media întregii  perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor parţiale dintre termenii seriei, notate cu ti. x1 + x 2 x cr  =

2

t1 +

x2

+ x3 2

t1 + t 2

t2

+

+



Media armonică simplă :



+

x n −1

+ xn 2

t n −1

+ t n −1

xh =

Media armonică ponderată :

n 1

∑x xh

i

=

∑n ∑ x1 ⋅ n i

i

i

Considerăm seria:

x1 , x 2 ,



, x n -1 , x n .

-mediile mobile din câte 3 termeni : =

x1

x1

+ x2 + x3 3

,

x2

=

+ x3 + x4

x2

3

,



,

x

n−2

=

x n−2

+ x n −1 + x n 3

.

-mediile mobile din câte 4 termeni : x1

=

x1

+ x2 + x3 + x4 4

,

x2

=

x2

+ x3 + x 4 + x5 4

,



,

x

n −3

=

x n −3 + x n −2 + x n −1 + x n

Media progresivă x  progr  = x

xs

x + xs

, unde:

2

= media generală a seriei; = media termenilor calitativ superiori mediei generale.

Media geometrică simplă : xg

=n

x1 ⋅ x 2 ⋅



⋅ xn

Media geometrică ponderată :

xg =

∑ ni

x1n ⋅ x n2 ⋅  ⋅ x nm 1

2

m

Media pătratică simplă : x patr 

∑x i

2

=

n

4

.

Media pătratică ponderată :

x patr  =

∑x ⋅n ∑n 2 i

i

i

•

 Indicatorii simpli ai dispersiei

Amplitudinea variaţiei În mărime absolută  A x

=  x max − x min

În mărime relativă  A x % =  x

max

 x

,  x min

 xmax −  x min  x

⋅ 100

,

unde:

= nivelul maxim, respectiv minim al variabilei X;

= nivelul mediu al variabilei X.

2.

Abaterea

În mărime absolută d i =  x i − x

În mărime relativă d i % =

 xi −  x  x

⋅ 100

individuală

•

 Indicatorii sintetici ai dispersiei

1. Abaterea medie liniară ∑ d i

-pentru serii simple:

d  =

∑  xi − x

i

i

=

n

,

când

n

n1 = n 2 = ... = n n = k  ,

∑ d  -pentru serii cu frecvenţe:

∑  x

⋅ni

i

i

d  =

∑

−  x ⋅ ni

,

i

=

ni

i

∑

i

ni

i

n1 ≠ n 2 ≠ ... ≠ n n

2. Varianţa (dispersia) ∑ ( xi − x )

∑ d i

2

-pentru serii simple:

σ 

-pentru serii cu frecvenţe:

2

i

=

=

n

2

n

i

i

∑

i

d i2

= =

n

∑ d  ⋅ n ∑n

i

i

i

i

Intervalul mediu de variaţie

 x − d   x ± d  =  ,  x + d 

respectiv

 x − σ   x ± σ  =   x + σ 

. Coeficientul mediu de variaţie σ  d  ⋅100 = ⋅100 , respectiv ν  =  x  x

ν  

∑ (x − x)

2

i

i

2 i

σ  =

.

i

3. Abaterea medie pătratică (deviaţia standard)

-pentru serii cu frecvenţe:

⋅ ni

i

i

=

2

i

i

 pentru serii simple:

,

i

∑ d  ⋅ n ∑ ( x −  x) = = n ∑ ∑n 2 i

σ 

2

=

i

n

∑ ( x −  x) = ∑n i

=

i

i

i

2

2

⋅ ni =

σ  2

când

 0 <  ν < 1 7%  1 7 %<  ν < 5 3 %  3 5 %<  ν < 5 0 %  ν > 5 0 % 

m m m m

e de isatset r i rc et p r e zt ei vn at a e de isatme o d er re ap tr e zt ei vn at e de isatree p r e zt ei vniatnas e nl as r e de isatne e r e p rt ea zt ievna .

Proprietăţile dispersiei sunt: Dispersia unei distribuţii este egală cu diferenţa dintre media

•

 pătratelor tuturor variantelor caracteristicii şi pătratul mediei. 2 σ  

σ 

2

=

∑ (x i

= x 2 − (x) 2

i

)

∑n 2

2

− x ⋅ ni i

=∑

i

2

= x − 2x + x = x − x 2

2

( x i2

− 2x i x + x

∑n

2

2

=∑

)n i

x i2 n i

∑n

i

i

− 2x ⋅ ∑

xini

∑n

i

i

+

∑n ∑n

x

2

i

=

i

Dispersia unui şir de valori constante este egală cu zero, Dispersia calculată din abaterile variantelor caracteristicii faţă •

de constanta „a” este mai mare decât dispersia calculată din aceleaşi variante faţă de media lor cu pătratul diferenţei dintre medie şi constanta „a”. -pentru serii simple:

∑ ( x − a)

σ 

2

=

i

n

∑ ( x − a) = ∑n i

-pentru serii cu frecvenţe:

2

i

σ  2

i

2

− (x − a ) 2 ,

⋅ ni − (x − a) 2 .

i

i

•

Dacă fiecare nivel al caracteristicii se micşorează de „k” ori, atunci dispersia se micşorează de „k 2” ori.

2

-pentru serii simple: σ 

2

 x i − x   ∑i   k      2 , = ⋅ k  n

2

-pentru serii cu frecvenţe:

 x − x   ∑i  i k     ⋅ n i   ⋅ k 2 . σ  2 =  

∑n

i

i

Dacă se împarte fiecare nivel al frecvenţelor printr-o constantă „c”,

•

atunci dispersia rămâne neschimbată.

∑ ( x − x)

2

i

σ 

2

=

i

⋅

ni c

ni

∑c i

Aceste proprietăţi sunt folosite pentru calculul simplificat al dispersiei. Din combinarea lor se ajunge la formulele care conduc la cea mai mare simplificare a calculelor. 2  x i − a      ∑ k      ⋅ k 2 − (x − a) 2 , i σ  2 =

-pentru serii simple:

n

-pentru serii cu frecvenţe:

2  x i − a   ⋅ n i ∑i   k     c 2 2 σ  = ⋅ k  − (x − a) 2 .

ni

∑c i

Indicatorii de asimetrie

O primă imagine asupra gradului de asimetrie (As) al unei distribuţii o

 putem face comparând media ei asimetrică cu modul. As As

stânga.

= x − Mo

0,



x

M o

, asimetrie negativă, cu extinderea frecvenţelor spre

As  0 ,

x  M o

, asimetrie pozitivă, cu extinderea frecvenţelor spre

dreapta. În mărimi relative se utilizează coeficientul de asimetrie a lui Pearson (k as). k as =

x − Mo σ  

Dacă k as =0,

x = Mo

Dacă k as >0,

x

Dacă k as 0, indică o legătură directă -dacă b=0, nu există legătură -dacă b