formule matematica 9-12

1

Ecua¸ tii

1.1

Rezolvarea ecua¸ tiilor de gradul I

Fie ecua¸tia ax + b = 0 ) ax = a 6= 0

1.2

8 < (DA) x =

b:

b tie a solu¸

: (N U ) b 6= 0

unic¼ a (DA) ecua¸tia are o in…initate de solu¸tii x 2 R (N U ) x 2 ?

Rezolvarea ecua¸ tiilor de gradul II

Fie ecua¸tia ax2 + bx + c = 0:

= b2 4ac

1.3

8 > < > :

> 0 ) ecua¸tia are 2 solu¸tii reale ¸si distincte: x1;2 = = 0 ) ecua¸tia are o singur¼ a solutie x1 = x2 = 2ab < 0 ) ecua¸tia are 2 solu¸tii complexe conjugate x1;2 =

Rela¸ tiile lui Viete

Fie x1 ; x2 solu¸tiile ecua¸tiei ax2 + bx + c = 0: Not¼ am

1.4

S = x1 + x2 ) S = P = x1 x2 ) P = ac

b a

iar

x21 + x22 = S 2 2p x31 + x32 = S(S 2 3p)

Semnul r¼ adacinilor ecua¸ tiiei de gradul II

Fie x1 ; x2 2 R r¼ ad¼ acinile ecua¸tiei ax2 + bx + c = 0: P < 0 ) x1 > 0; x2 < 0 S < 0 ) x1 > 0; x2 < 0 ¸si x1 < jx2 j Daca P > 0 S > 0 ) x1 > 0; x2 < 0 ¸si x1 > jx2 j P = 0 ) x1 = 0; x2 2 R

2 2.1

Func¸ tii Func¸ tia de gradul I

De…nim f : R ! R f (x) = ax + b: 1

b

p 2a b

p i 2a

Gra cul este o dreapt¼ a. 8 atoare dac¼ aa>0 < cresc¼ descresc¼ atoare dac¼ aa0

2.2

a0 : concava; dac¼ aa0,

x

>0

a0

a>0,

=0

x

y

y

y

x

x

a0,

a < 0;

0 ! f (x) = ax2 + bx + c admite un minim ¸si fmin = b pentru x = 2a :

4a

¸si se realizeaz¼ a

a < 0 ! f (x) = ax2 + bx + c admite un maxim ¸si fmin = b : pentru x = 2a

4a

¸si se realizeaz¼ a

2.5

Monotonia func¸ tiei de gradul II

Dac¼ a a > 0; func¸tia e strict decresc¼ atoare pe ( 1; b ( 2a ; 1): Dac¼ a a < 0; func¸tia e strict cresc¼ atoare pe ( 1; b ( 2a ; 1):

2.6 1)

3.1

b 2a )

¸si cresc¼ atoare pe

¸si decresc¼ atoare pe

> 0; x1 ; x2 2 R: 1 semnul lui a

x1 0 semn contrar lui a

x2 0

+1 semnul lui a

= 0; x1 = x2 ; x1 ; x2 2 R:

x f (x) = ax2 + bx + c

3

b 2a )

Semnul func¸ tiei de gradul II

x f (x) = ax2 + bx + c 2)

>0

1 semnul lui a

x1 = x2 0

+1 semnul lui a

S ¸iruri de numere Progresii aritmetice. Progresii geometrice.

De…ni¸ tie. O func¸tie de…nit¼ a pe mul¸timea N a numerelor naturale nenule cu valori într-o mul¸time E de numere reale se denume¸ste ¸sir de elemente ale mul¸timii E. 3

De…ni¸ tie. Dou¼ a ¸siruri (an )n De…ni¸ tie. Un ¸sir (an )n 8 n 1:

1

1

¸si (bn )n

1

sunt egale dac¼ a ak = bk 8 n 2 N :

este m¼ arginit dac¼ a 9 ;

2 R astfel încât

De…ni¸ tie. Un ¸sir (an )n 1 este monoton dac¼ a e cresc¼ ator (a1 an+1 ) sau descresc¼ ator (a1 a2 ::: an an+1 ):

a2

an :::

an

De…ni¸ tie. Un ¸sir (an )n 1 este strict monoton dac¼ a e strict descresc¼ ator (a1 < a2 < ::: < an < an+1 ) sau dac¼ a e strict descrescator (a1 > a2 > ::: > an > an+1 ): De…ni¸ tie. Un ¸sir (an )n 1 e progresie aritmetic¼ a dac¼ a diferen¸ta oric¼ aror doi termeni connsecutivi este constant¼ a. a2 a1 = a3 a2 = ::: = an an 1 = r ; Dac¼ a a; b; c sunt în progresie aritmetic¼ a $ b = a+c 2 : an = a1 +(n

1)r(formula termenului general al unei progresii aritmetice);

n Sn = a1 +a ; Sn = n a1 + n(n2 2 .

1)

r(formula sumei primelor n termeni ai unei progresii aritmetice)

Progresiile geometrice sunt ¸siruri de numere reale ce au proprietatea c¼ a raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant ¸si egal cu ra¸tia a a; b; c sunt în progresiei geometrice: aa21 = aa32 = ::: = anan 1 = q:Dac¼ p progresie aritmetic¼ a () b = ac: an = a1 qn n

Sn =a1 qq

4

1

(formula termenului general al unei progresii geometrice);

1 1 (formula

sumei primelor n termeni ai unei progresii geometrice).

Ecua¸ tii ira¸ tionale

p a) f (x) = a ; C:E: f (x) p f (x) = g(x) ; C:E

0 =) f (x) = a2 ;

0 =) f (x) = g 2 (x) ; 0 8 p f (x) 0 > > fp (x) + 2 f (x)g(x) + g(x) = h(x) < p p p g(x) 0 c) f (x)+ g(x) = h(x) ; C:E =) 2 f (x)g(x) = h(x) f (x) g(x) h(x) 0 > > : 4f (x)g(x) = (h(x) f (x) g(x))2 ; h(x) f (x) g(x) 0 p p p 3 3 f (x) + p g(x) = 3 h(x) fp (x) + g(x) + 3 3 f (x)g(x)h(x) = h(x) d) 3 3 f (x)g(x)h(x) = h(x) f (x) g(x) 27h(x)f (x)g(x) = (h(x) f (x) g(x))3 ; b)

f (x) g(x)

4

5

Trigonometrie

M (a; b) ; M (cos x; sin x) M (a; b) 2 Cadranul I ) sin x > 0; cos x > 0; M (a; b) 2 Cadranul II ) sin x > 0; cos x < 0; M (a; b) 2 Cadranul III ) sin x < 0; cos x < 0; M (a; b) 2 Cadranul IV ) sin x < 0; cos x > 0;

Dac¼ a

sin2 x + cos2 x = 1 sin(a

b) = sin a cos b

cos a sin b

cos(a

b) = cos a cos b

sin a sin b

tg(a

b) =

tg a tg b 1 tg a tg b ctg a ctg b 1 ctg a ctg b

ctg(a

b) =

sin( 2

x) = cos x

cos( 2

x) = sin x

tg ( 2

x) = ctg x

ctg ( 2

x) = tg x

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x tg 2x =

sin2 x = 2 cos2 x

1=1

2tg x 1 tg 2 x

ctg 2x =

ctg 2 x 1 2ctg x

sin 3x = 3 sin x

4 sin3 x

cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x q 1 cos x sin x2 = 2 cos x2 =

q

q

1+cos x 2

tg

x 2

=

1 cos x 1+cos x

tg

x 2

=

sin x 1+cos x

tg

x 2

=

1 cos x sin x

5

2 sin2 x:

ctg

x 2

=

1+cos x sin x

ctg

x 2

=

sin x 1 cos x

sin x = p tg

x 1+tg 2 x

cos x = p

1 1+tg 2 x

sin x =

2tg x 2 1+tg 2 x 2

cos x =

1 tg 2 x 2 1+tg 2 x 2

tg x =

2tg x 2 1 tg 2 x 2

ctg x =

1 tg 2 x 2 2tg x 2

x y sin x + sin y = 2 sin x+y 2 cos 2

sin x

sin y = 2 sin x 2 y cos x+y 2

x y cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos 2

cos x

x y cos y = 2 sin x+y 2 sin 2

tg x + tg y =

sin(x+y) cos x cos x

tg x

sin(x y) cos x cos x

tg y =

1 + cos x = 2 cos2

a 2

cos x = 2 sin2 x2 p sin x + cos x = 2 cos(a p sin a cos a = 2 sin(a 1

4) 4)

sin x cos x =

sin(x+y)+sin(x y) 2

sin x sin y =

cos(x y) cos(x+y) 2

cos x cos y =

cos(x+y)+cos(x y) 2

Produsul scalar a doi vectori nenuli ! u ¸si ! v este ! u ! v = j! u j j! v j cos ! ! = ( u ; v ):

unde

Teorema cosinusului. Într-un triunghi oarecare ABC are loc rela¸tia: a2 = b2 + c2 2bc cos a unde a; b; c sunt laturile triunghiului.

6

Teorema sinusului. Într-un triunghi oarecare raportul dintre lungimea …ec¼ arei laturi ¸si sinusul unghiului opus este constant ¸si egal cu lungimea diametrului cercului circumscris triunghiului: sinaB = sinb B = sinc C = 2R: q c) A sin 2 = (p b)(p q bc Dac¼ a not¼ am cu p = a+b+c =) cos A2 = p(pbc a) 2 q b)(p c) tg A2 = (p p(p a) Formule pentru aria triunghiului.

p B S = 2ho ; S = ac sin ; S = p(p a)(p b)(p c); S = abc 2 4R : S Not¼ am cu r raza cercului înscris în triunghi. Atunci r = p unde S este aria trungiului iar p este semiperimetrul.

6

Func¸ tia exponen¸ tial¼ a

Fie a > 0; a 6= 1: De…nim f : R ! R+ exponen¸tial¼ a

f (x) = ax se numeste func¸tie

ax ay = ax+y ax : ay = ax

y

(ax )y = axy (ab)x = ax by ( ab )x =

ax by

Func¸tia exponen¸tial¼ a este func¸tie bijectiv¼ a. ax = ay , x = y ax = bx , x = 0 Monotonia. Dac¼ a a 2 (0; 1) f (x) = ax este strict descrescatoare .Dac¼ a a 2 (0; 1) este strict cresc¼ atoare

7

x < y , ax < ay x > y , ax > ay

x < y , ax > ay x > y , ax < ay

6.1

Gra…cele:

y

y

x

x

a>0

7

0< a 0 a 6= 1 f : R ! (0; 1) f (x) = ax este bijectiv¼ a adic¼ a ecua¸tia ax ; y cu y > 0 si necunoscuta x; are solu¸tie unic¼ a. Aceast¼ a solu¸tie este x = loga y ¸si se nume¸ste logaritmul în baz¼ a a al num¼ arului pozitiv y: Def

Deci x = loga y () ax = y ) aloga a = x ¸si loga a = 1: De…ni¸ tie. Fie a > 0; a 6= 1: Func¸tia f : (0; 1) ! R nume¸ste func¸tie logaritmic¼ a de baz¼ a a.

f (x) = loga x se

Func¸tia logaritmic¼ a este invers¼ a func¸tiei exponen¸tiale ¸si gra…cul func¸tiei logaritmice este simetricul fa¸ta¼ de prima bisectoare a gra…cului func¸tiei exponen¸tiale.

y

y x x a>0

7.1

0< a 1; f e strict cresc¼ atoare adic¼ a x < y ) loga x < loga y ¸si x > y ) loga x > loga y; iar dac¼ a a 2 (0; 1); f e strict descresc¼ atoare adic¼ a x < y ) loga x > loga y ¸si x > y ) loga x < loga y: 8

c) dac¼ a a > 1; f e convev¼ a pe (0; 1); iar dac¼ a a < 0 < 1; func¸tia e concav¼ a pe (0; 1): d) f e bijectiv¼ a. e) loga (xy) = loga x + loga y f) loga

x y

= loga x

loga x

g) loga xn = n loga x p ax h) loga m xn = n log m ax g) loga x = log logb a (formula de schimbare a bazei ) în particular loga x = 8 x > 0; x 6= 1

8

1 logx a

Ecua¸ tii ¸ si inecua¸ tii exponen¸ tiale sau logaritmice

In rezolvarea ecua¸tiilor exponen¸tiale ne baz¼ am pe injectivitatea func¸tiei exponen¸tiale ax = ay ) x = y; a 6= 1:

8.1

Tipurile clasice de ecua¸ tii exponen¸ tiale:

a) Ecua¸tii de tipul af (x) = b

b 0)S=? b = a ) f (x) = : b 6= a ; b > 0 ) f (x) = loga b

b) Ecua¸tii de tipul af (x) = ag(x) ) f (x) = g(x) c) Ecua¸tii de tipul a2f (x) + af (x) + = 0 care se reduce prin notarea lui af (x) = t la o ecua¸tie de gradul doi iar apoi, prin revenirea la nota¸tii, la 2 ecua¸tii de tipul a). d) Ecua¸tii de tipul a2f (x) + af (x) bf (x) + b2f (x) = 0 care se împarte la b2f (x) ¸si apoi se noteaz¼ a ( ab )f (x) cu t devine astfel o ecua¸tie de gradul doi: t2 + t + = 0 cu solu¸tiile t1 ; t2 : Problema revine la rezolvarea a dou¼ a ecua¸tii de tipul a) de forma ( ab )f (x) = t: e) Ecua¸tii de tipul af (x) + bf (x) = c unde ab = 1: Se noteaz¼ a af (x) = t se ob¸tine o ecua¸tie de gradul al II-lea in t , se rezolv¼ a ¸si apoi problema revine la rezolvarea a dou¼ a ecua¸tii de tipul a):

9

8.2

Tipuri clasice de ecua¸ tii logaritmice:

f (x) > 0 a) Ecua¸tii de tipul logf (x) g(x) = a C.E. g(x) > 0 : În aceste condi¸tii g(x) = f (x) 6= 1 f (x)a : b) Ecua¸tii de tipul loga f (x) = loga g(x) C.E. condi¸tii ecua¸tia devine f (x) = g(x):

f (x); g(x) > 0 : În aceste a > 0; a 6= 1

c) Ecua¸tii de tipul logg(x) f (x) = logg(x) h(x) C.E. aceste condi¸tii se impune f (x) = h(x):

f (x); g(x) > 0 : În g(x) > 0; g(x) 6= 1

d) Ecua¸tii de tipul log2g(x) f (x) + logg(x) f (x) + = 0 8 ; ; 2 R g(x) > 0; g(x) 6= 1 C.E. : Se noteaz¼ a logg(x) f (x) = t ¸si ecua¸tia dat¼ a ref (x) > 0 devine o ecua¸tie de gradul al II-lea. Revenind la nota¸tie vom avea în func¸tie de 2,1 sau 0 ecua¸tii de tipul a).

9

Func¸ tii trigonometrice inverse.

Dac¼ a func¸tia sin : R ! [ 1; 1] : Inversa func¸tiei sin numita arcsin : [ 1; 1] ! si y 2 [ 1; 1] : 2 ; 2 ; arcsin y = x , sin x = y pentru x 2 2; 2 ¸ Dac¼ a func¸tia cos : R ! [ 1; 1] : Inversa func¸tiei cos numita arccos : [ 1; 1] ! [0; ] ; ar cos y = x , cos x = y pentru x 2 0; 2 ¸si y 2 [ 1; 1] : Dac¼ a func¸tia tg : R n 2 + k j k 2 Z ! R inversa func¸tiei tg este arctangent¼ a ¸si arctg : R ! 2 ; 2 ; arctg y = x , tg x = y pentru x2 ; ; y 2 R: 2 2 Dac¼ a func¸tia ctg : R n fk j k 2 Zg ! R inversa func¸tiei ctg este arccotangent¼ a ¸si arcctg : R ! (0; ) ; arcctg y = x , x = y pentru x 2 (0; ) ; y 2 R:

10

Ecua¸ tii trigonometrice

O ecua¸tie în care necunoscuta apare ca argument al unei func¸tii trigonometrice se nume¸ste ecua¸tie trigonometric¼ a

10

Ecua¸tia sin x = a; a 2 R are solu¸tii , a 2 [ 1; 1]

a = 1 x 2 2 + 2k j k 2 Z Dac¼ a a = 1 x 2 32 + 2k j k 2 Z jaj < 1 x 2 farcsin a + 2k j k 2 Zg [ f

arcsin a + 2k j k 2 Zg

Ecua¸tia cos x = a; a 2 R are solu¸tii , a 2 [ 1; 1]

a = 1 x 2 f2k j k 2 Zg a = 1 x 2 f + 2k j k 2 Zg jaj < 1 x 2 f ar cos x + 2k j k 2 Zg [ far cos x + 2k j k 2 Zg

Dac¼ a

Ecua¸tia tg x = a are solu¸tia x 2 farctg a + k j k 2 Zg : Ecua¸tia ctg x = a are solu¸tia x 2 farcctg a + k j k 2 Zg :

11

Elemente de combinatoric¼ a

De…ni¸ tie. Se consider¼ a o mul¸time A cu n elemente, n 2 N :Orice func¸tie injectiv¼ a f : f1; 2; 3; :::ng ! A se nume¸ste permutare a mul¸timii A. Num¼ arul tuturor permut¼ arilor unei mul¸timi A se noteaz¼ a cu Pn ¸si Pn = n!: De…ni¸ tie. Fie A o mul¸time cu n elemente, n 2 N ¸si …e k 2 N; k n: Numim aranjamente de n elemente luate câte k, k 1 ale mul¸timii A orice submul¸time ordonat¼ a de k elemente. Num¼ arul tuturor aranjamentelor de n elemente luate cîte k se noteaz¼ a cu Akn ¸si Akn = n(n 1):::(n k + 1) sau Akn = PPnn k = (n n!k)! : De…ni¸ tie. Fie A o mul¸time cu n elemente, n 2 N ¸si k 2 N; k n: Numim combinare de n elemente luate cîte k elemente, a mul¸timii A orice submul¸time cu k elemente a mul¸timii A: Num¼ arul tuturor combin¼ arilor de n elemente luate cîte k se noteaz¼ a cu Ak Cnk ¸si Cnk = Pkn = k!(nn! k)! : Pn = 1 2 ::: n = n!; Pn = n(n 1):::(n k + 1)Pn k + 1):::(n 1)n; P0 = 0! = 1(conventie)

k;

n! = (n

k)!(n

Pn+1 = (n + 1)Pn sau (n + 1)! = n!(n + 1) k!k = (k + 1)! 1 (k 1)!(k+1)

=

k! 8 0 k (k+1)!

Akn = n(n 1):::(n 1(conventii) Pn = (n Cnk = Cnn

=

1 k!

k

n 1 (k+1)!

k + 1); Akn =

Pn Pn k ;

Akn = (n

k)!Akn ; Pn = Akn = n! k

(formula combin¼ arilor complementare) 11

k + 1)Akn

1

; A0n =

Cnk+1 =

n k k k+1 Cn ;

Cnk = Cnk

1

+ Cnk

1 1

(formula de recurent¼ a pentru combin¼ ari)

Cn0 + Cn1 + ::: + Cnn = 2n Cn0 + Cn2 + Cn4 + ::: = Cn1 + Cn3 + ::: = 2n 1 X

kCnk = n

2n

1

1

k=0

11.1

Binomul lui Newton.

(a + b)n =

n X

Cnk an

k k

b

k=0

Tk+1 = Cnk an

12

k k

b (termenul general de rang k+1al dezvolt¼ arii)

Numere complexe

Un element z = a + ib cu a; b 2 R ¸si i2 =

1 se nume¸ste num¼ ar complex.

a = partea real¼ a a lui z ¸si se noteaz¼ a Re z b = partea imaginar¼ a a lui z ¸si se noteaz¼ a Im z

Adunarea ¸ si sc¼ aderea numerelor complexe z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 : z1

z2 = (a1

a2 ) + i(b1

b2 )

Imul¸ tirea a dou¼ a numere complexe : z1

z2 = (a1 a2

b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 )

Conjugatul unui num¼ ar complex z = a + ib este z = a Imp¼ ar¸ tirea a dou¼ a numere complexe : z1 z2

=

z1 z2 z2 z2

=

(a1 +ib1 )(a2 ib2 ) a22 +b22

=

a1 a2 +b1 b2 a22 +b22

+ i b1 aa22 +ba21 b2 2

2

Egalitatea a dou¼ a numere complexe : z1 = z2 , Re z1 = Re z2 ¸si Im z1 = Im z2 z = 0 , Re z = 0; Im z = 0 Puterile num¼ arului i : i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 =

1; i4k+3 =

Modulul unui num¼ ar complex : p p 2 2 jzj = a + b = (Re z)2 + (Im z)2

12

1 8k2N

ib:

Numere complexe sub form¼ a trigonometric¼ a Pentru orice num¼ ar complex nenul z; exist¼ a un unic încât z = jzj (cos + i sin ) unde jzj este modulul lui z: Not¼ am jzj = r ) z = r(cos + i sin )

z1 z2 = r1 r2 (cos( z1 z2 n

=

1

r1 r2 (cos( 1 n

+

2)

2)

+ i sin(

+ i sin(

1

+

2 [0; 2 ] astfel

2 ))

2 ))

1

z = r (cos + i sin ) R¼ ad¼ acinile de ordinul n ale unui num¼ ar complex z = r(cos + i sin ): p zk = n k(cos +2k + i sin +2k 1g n n ) k 2 f0; 1; :::; n

13

Polinoame

De…ni¸ tie. Fie a1 ; i = 0; n ; n 2 N; numere complexe. Expresia a0 + a1 x + a2 x2 + :::: + an xn se nume¸ste polinom în form¼ a algebric¼ a. a1 ; i = 0; n se numesc coe…cien¸tii polinomului : Fie f; g 2 C [x]

f = a0 + a1 x + :::: + an xn g = b0 + b1 x + ::: + bn xn

f = g , n = m ¸si ak = bk k = 0; n

f + g = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + ::: + (am + bm )xm + am+1 xm+1 + ::: + an xn (n m) f g = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + ::: + (a0 bk + a1 kk an bm xn+m

1

+ ::: + ak b0 )xk + ::: +

Fie f; g; h 2 C [x]

(f + g) + h = f + (g + h) 0+f =f +0=f f

g = f + ( g)

f +g =g+f

8 f; g 2 C [x]

(f g)h = f (gh) 8 f; g; h 2 C [x]

1

f =f

f g = gf

1 8 f 2 C [x]

8 f; g 2 C [x]

f (g + h) = f g + f h 8 f; g; h 2 C [x] Teorema împ¼ ar¸ tiri cu rest. Pentru …ecare pereche f; g 2 C [x] cu g 6= 0 exf = gq + r ist¼ a ¸si sunt unuce polinoamele q; r 2 C [x] cu propriet¼ a¸tiile : grad r < grad g

13

Teorema restului. Dac¼ a f 2 C [x] ¸si a 2 C atunci restul împ¼ ar¸tirii polinomului f prin polinomul x a e polinomul constant f (a): De…ni¸ tie. Fie f; g 2 C [x] spunem c¼ a polinomul nenul g divide polinomul f ¸si not¼ am g=f dac¼ a exist¼ a un polinom h 2 C [x] astfel încât f = gh Teorema lui Bezout. Fie f 2 C [x] ; f 6= 0: Num¼ arul a 2 C e r¼ ad¼ acin¼ a a polinomului f dac¼ a ¸si numai dac¼ a f se divide cu x a: Teorem¼ a. Dac¼ a f 2 C [x] ; grad f = n 1 atunci el are n r¼ ad¼ acini complexe (nu neap¼ arat distincte) x1 ; x2 ; :::xn : În plus polinomul f se descompune, în C [x] ; în n factori liniari astfel : f = an (x x1 )(x x2 ):::(x xn ):

13.1

Rela¸ tiile între r¼ ad¼ aciinile ¸ si coe…cien¸ ti

Teorem¼ a. Fie f = an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0 2 C [x] ; an 6= 0 un polinom de gradul n: Numerele x1 ; x2 ; :::xn sunt r¼ ad¼ acinile polinomului dac¼ a ¸si numai dac¼ a: an 1 an

x1 + x2 + ::: + xn = x1 x2 + x1 x3 + ::: + xn x1 x2 :::xk + ::: + xn

1 xn

=

k+1 :::xn

an 2 an

= ( 1)k anan k

x1 x2 :::xn = ( 1)n aan0 : Teorem¼ a. Fie f un polinom cu coe…cien¸ti reali. Dac¼ a z = a + bi; a; b 2 R; b 6= 0; este o r¼ ad¼ acin¼ a complex¼ a a polinomului f; atunci z = a bi este de asemenea, r¼ ad¼ acin¼ a a polinomului f: Observa¸tie 1) z ¸si z au acela¸si ordin de multiplicitate. ) Orice polinom cu coe…cien¸ti reali de grad impar are cel pu¸tin o r¼ ad¼ acin¼ a real¼ a. 3) Pentru polinoamele cu cel pu¸tin un coe…cient din C n R teorema nu este valabil¼ a. 4) Singurele polinoame ireductibile din R [x] sunt cele de gradul întâi ¸si al doilea cu < 0: p Teorem¼ a. Fie f un a z = a + b; p polinom cu coe…cien¸ti ra¸tionali. Dac¼ ad¼ acin¼ a ira¸tional¼ a a polinomului f atunci a; b 2 Q; p b > 0; b 2 Q este o r¼ z =a b este, de asemenea, r¼ ad¼ acin¼ a a polinomului f .

14

14

Statistici ¸ si probabilit¼ a¸ ti

Consider¼ am un lot de numere x1 ; x2 ; :::xn : n X 1 n M = x1 +:::+x = xi (media) n n i=1

D=

q

(x1

M )2 +(x2

M )2 +:::+(xn

M )2

n

v u X u n = t n1 (x1

M )2

(dispersia)

i=1

Fie U mul¸time ¸si E par¸tile mul¸timii U: Elementele lui E se numesc evenimente. P : E ! [0; 1] : P are urm¼ atoarele propriet¼ a¸ti: 1) P (?) = 0 2) A

B ) P (A)

P (B)

3) P (A [ B) = P (A) + P (B)

P (A \ B)

4) A \ B = ? ) P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A) =

15

num a¼rul de cazuri favorabile evenim entului num a¼rul total de cazuri

:

Elemente de geometrie analitic¼ a

Un reper cartezian x cadrane.

y în plan determin¼ a o împ¼ ar¸tire a planului în patru

I = fM (x; y) jx > 0; y > 0g II = fM (x; y) jx < 0; y > 0g III = fM (x; y) jx < 0; y < 0g IV = fM (x; y) jx > 0; y < 0g Distan¸ta dintre dou¼ a puncte M (x1 ; y1 ); N (x2 ; y2 ) în plan: M N = .

p (x2

x1 )2 + (y2

Panta unei drepte reprezint¼ a tangenta unghiului pe care acea dreapt¼ a o face cu Ox : mM N =

y2 y 1 x2 x1 :

Dou¼ a drepte d1 ; d2 sunt paralele d1 k d2 , md1 = md2 : Dou¼ a drepte d1 ; d2 sunt perpendiculare d1 ? d2 , md1 15

md2 =

1:

y1 )

Ecua¸tia unei drepte ce trece printr+un punct A(x0 ; y0 ) ¸si este de panta m este y y0 = m(x x0 ): Ecua¸tia unei drepte ce trece prin x este : yy2 yy11 = xx2 xx11 sau x1 x2

dou¼ a puncte distincte A(x1 ; y1 ); B(x2 ; y2 ) y 1 y1 1 = 0: y2 1

Ecua¸tia cartezian¼ a general¼ a a unei drepte d este ax + by + c = 0: Condi¸tia x1 x2 x3

ca trei puncte M (x1 ; y1 ); N (x2 ; y2 ); P (x3 ; y3 ) s¼ a …e coliniare este : y1 1 y2 1 = 0: y3 1

Condi¸tia a1 a2 a3

ca trei drepte ai x + bi y + ci = 0 i = 1; 3 s¼ a …e concurente este : b1 1 b2 1 = 0: b3 1

Distan¸ta de la un punct A(x0 ; y0 ) la o dreapt¼ a d : ax + by + c = 0 este : 0 +cj : d(A; h) = jaxp0a+by 2 +b2 Formula ariei unui triunghi de V f Ai (xi ; yi ) i = 1; 3 este :

1 2

x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 : 1

15.0.1 Distan¸ta dintre a puncte M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ¸si M2 (x2 ; y2 ; z2 ) din spa¸tiu este : pdou¼ M1 M2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 + (z2 z1 )2 :

Ecua¸tia general¼ a a planului trigonometric în spa¸tiu este : Ax+By+Cz+D = 0 unde A; B; C nu sunt toate nule . Ecua¸tia planului ce trece prin punctul (x0 ; y0 ; z0 ) este : A(x y0 ) + C(z z0 ) = 0: Ecua¸tia planului ce trece x x1 (x3 ; y3 ; z3 ) este : x2 x3

prin y y1 y2 y3

trei z z1 z2 z3

x0 ) + B(y

puncte necoliniare (x1 ; y1 ; z1 ); (x2 ; y2 ; z2 ); 1 1 = 0: 1 1

Condi¸tia de necoliniaritate a trei puncte de cordonate (x1 ; y1 ; z1 ); (x2 ; y2 ; z2 ); x1 y1 z1 (x3 ; y3 ; z3 ) este : x2 y2 z2 6= 0: x3 y3 z3 16

15.1

Ecua¸ tiile dreptei în spa¸ tiu.

Ecua¸tiile parametrice ale dreptei determinat¼ a de punctul M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ¸si vec8 < x = x0 + l y = y0 + m torul director ! v (l:m; n) sunt d : 2 R: : z = z0 + n x x0 l

Ecua¸tiile canonice ale dreptei :

=

y y0 m

=

z z0 n :

Ecua¸tiile canonice ale dreptei d determinat¼ a de punctele M1 (x1 ; y1 ; z1 ) ¸si M2 (x2 ; y2 ; z2 ) sunt : xx2 xx11 = yy2 yy11 = zz2 zz11 x1 6= x2 ; y1 6= y2 ; z1 6= z2 : Fie dreptele d1 ; d2 date prin ecua¸tiile concentrice: x l1x1 = ymy1 1 = z n1z1 ¸si x x2 = ymy2 2 = z n2z2 : Unghiul format de dreptele d1 ¸si d2 este dat de l2 +n1 n2 1 m2p formula : cos = p 2l1 l2 +m : 2 2 2 2 2 l1 +m1 +n1

Pozi¸tia relativ¼ a a unei drepte Ax + By + Cz + D = 0:

x x0 l

l2 +m2 +n2

=

y y0 m

=

z z0 n

fa¸ta¼ de un plan ¸si P :

1) Dac¼ a Al + Bm + Cn 6= 0 ) d \ P = fAg 2) Dac¼ a Al + Bm + Cn = 0 ¸si Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0 ) d k P: 3) Dac¼ a Al + Bm + Cn = 0 ¸si Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ) d

P:

Unghiul format de o dreapt¼ a cu un plan. Fie dreapta d dat¼ a de ecua¸tiile : y y0 x x0 z z0 = = ¸ s i planul P de ecua¸ t ia Ax + By + Cz + D = 0: Fie l m n jAl+Bm+Cnj p p unghiul dintre dreapta d ¸si planul P : sin = l2 m2 +n2 + A2 +B 2 +C 2 : Distan¸ta de la un punct M (x0 ; y0 ; z0 ) la un plan este : d =

jAx0 +By0 +Cz0 +Dj p : A2 +B 2 +C 2

Fiind date dou¼ a plane : A1 x + B1 y + C1 y + D1 = 0 ¸si A2 x + B2 y + C2 y + D2 = 0: Cosinusul unghiului format de cele dou¼ a plane are formula : 1 A2 +B1 B2 +C1 C2 j p : cos = p jA 2 2 2 2 2 2 A1 +B1 +C1

A2 +B2 +C2

Dou¼ a plane P1 : A1 x + B1 y + C1 y + D1 = 0 ¸si P2 : A2 x + B2 y + C2 y + D2 = 0 A1 C1 D1 1 sunt paralele dac¼ a A =B B2 = C2 6= D2 : 2 Aria triunghiului cu vârfului p în M1 (x1 ; y1 ; z1 ); M2 (x2 ; y2 ; z2 ); M3 (x3 ; y3 ; z3 ) 2+ 2+ 2: este : AM1 M2 M3 = 21 1 2 3 1

y1 = y2 y3

z1 z2 z3

1 1 ; 1

2

x1 = x2 x3

z1 z2 z3

1 1 ; 1

3

x1 = x2 x3

y1 y2 y3

1 1 : 1

Volumul tetraedului cu vârfurile M0 (x0 ; y0 ; z0 ); M1 (x1 ; y1 ; z1 ); M2 (x2 ; y2 ; z2 ); x0 y0 z0 1 x y 1 z1 1 j: M3 (x3 ; y3 ; z3 ) este : V = 61 j 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 17

Ecua¸tia arcului cu centrul în punctul M (a; b) ¸si raza r este : (x a)2 (x b)2 = x = r cos + a r2 : Ecua¸tiile parometrice sunt : : y = r sin + b 2

2

Ecua¸tia implicit¼ a a elipsei este xa2 = zb2 = 1 a; b > 0 iar ecua¸tiile parametrice x = a cos t sunt : ; t 2 [0; 2 ) : y = b sin t Ecua¸tia parabolei cu axa de simetrie Oy este : x2 = 2py; p 6= 0: Ecua¸tia parabolei cu axa de simetrie Ox este : y 2 = 2px; p 6= 0: ( Ecua¸tiile parametrice ale parabolei cu axa de simetrie Ox sunt : .

Ecua¸tia hiperbolei :

x2 a2

y2 b2

=1

2

t x = 2p ; p 6= 0 y=t

a; b > 0:

Ecua¸tia tangentei la curb¼ a în punctul M (x0 ; y0 ) este y cu y0 = f (x0 ):

y0 = f 0(x0 )(x

Ecua¸tia tangentei la cerc în punctul M (x0 ; y0 ) 2 C este (x b)(y0 b) = r2 (ecua¸tia cercului prin dedublare).

a)(x0

x0 )

a) + (y

Ecua¸tia tangentei la elips¼ a (hiperbol¼ a) în punctul M (x0 ; y0 ) este yy0 = p(x + x0 ):

16

Siruri de numere reale

Fie un ¸sir numeric (an )n2N : S ¸irul (an )n este cresc¼ ator dac¼ a an

an+1 ; 8 n 2 N:

S ¸irul (an )n este strict cresc¼ ator dac¼ a an < an+1 ; 8 n 2 N: S ¸irul (an )n este decresc¼ ator dac¼ a an

an+1 ; 8 n 2 N:

S ¸irul (an )n este strict decresc¼ ator dac¼ a an > an+1 ; 8 n 2 N: S ¸irul (an )n este m¼ arginit superior dac¼ a 9 B 2 R astfel încât an

B; 8 n 2 N:

S ¸irul (an )n este m¼ arginit inferior dac¼ a 9 A 2 R astfel încât an

A; 8 n 2 N:

S ¸irul (an )n este m¼ arginit dac¼ a 9 A; B 2 R astfel încât A

B; 8 n 2 N:

S ¸irul (an )n este m¼ arginit dac¼ a 9 M 2 R astfel încât jan j S ¸irurile care nu sunt m¼ arginite se numesc nem¼ arginite.

18

an

M; 8 n 2 N:

Spunem c¼ a ¸sirul (an ) tinde la l (covergen¸ta la l) ¸si scriem lim an = l dac¼ a n!1 este adev¼ arat¼ a una din propozi¸tii : 1) Orice vecin¼ atate a lui l con¸tine to¸ti termeni ¸sirului exceptând eventual un num¼ ar …nit. 2) 8 3) 8 " > 0; 9 n" 2 N astfel încât, 8 n 2 N; n > n" ) jan

lj < ":

Spunem c¼ a ¸sirul (an )N tinde la 1 ¸si scriem lim an = 1 dac¼ a este adev¼ arat¼ a n!1 oricare din urm¼ atoarele a…rma¸tii : 1) Orice vecin¼ atate a lui 1 con¸tine to¸ti termeni ¸sirului exceptând eventual un num¼ ar …nit. 2) 3) 8 M 2 R; 9 nM 2 N astfel încât,8 n 2 N; n > nM ) an > M: Se nume¸ste ¸sir convergent un ¸sir cu limita …nit¼ a. S ¸irurile care nu sunt convergente se numesc divergente. Orice ¸sir convergent e m¼ arginit ¸si monoton ¸si invers orice ¸sir m¼ arginit ¸si monoton e convergent. Criteriul cle¸ stelui. Fie (an )n ; (bn )n ; (xn )n ¸siruri de numere reale. Dac¼ a an < xn < bn 8 n 2 N ¸si lim an = lim bn = x atunci lim xn = x: n!1

n!1

n!1

Lema lui Cesaro-Stolz. Fie ¸sirurile (xn )n ; (yn )n cu propriet¼ a¸tiile : 1) yn > 0; 8n: 2) yn < yn+1 ; 8n (¸sirul (yn )n e strict cresc¼ ator ): 3) (yn )n e nem¼ arginit (superior). n+1 4) 9 a = lim xyn+1

n

xn yn :

Atunci (9) lim xynn ¸si mai mult lim xynn = a: n

n

Criteriul lui Cauchy d’Alembert (sau criteriul r¼ ad¼ acinii). Lem¼a. Fie ¸sirul (xn ) cu propriet¼ a¸tile : 1) xn > 0; 8n . 2) (9) lim xn = a: p Dac¼ a gn este de…nit prin gn = n x1 x2 :::xn ; 8n (¸sirul medulor geometrice) atunci (gn )n este convergent ¸si mai mult lim gn = lim xn = a: n

19

n

Criteriul lui Cauchy d’Alembert (sau criteriul r¼ ad¼ acinii). Fie ¸sirul (xn )n cu xn > 0; 8 n 2 N pentru care exist¼ a lim

n!1

p p Arunci ¸sirul ( n xn ) are limit¼ a ¸si mai mult lim n xn = lim n!1

16.1

xn+1 xn

n!1

= a:

xn+1 xn

= a:

Limite importante.

8 a a > 0; > 0 < 1 dac¼ 1 dac¼ a a < 0; > 0 : lim a n = n!1 : 0 dac¼ a a 2 R; < 0 8 0 dac¼ a q 2 ( 1; 1) > > < 1 dac¼ aq=1 : lim q n = 1 dac¼ aq>1 n!1 > > : nu exist¼ a dac¼ aq 1 P (n) = ap np + ap Dac¼ a Q(n) = bq nq + bq

u(n)!0

lim

sin u(n) u(n)

lim

tg u(n) u(n)

u(n)!0

lim

arcsin u(n) u(n)

u(n)!0

lim

arctg u(n) u(n)

lim

ln(1+ u(n)) u(n)

lim

au(n) 1 u(n)

u(n)!0

u(n)!0

u(n)!0

p 1 + ::: + a0 1n q 1 + ::: + b0 1n

atunci lim = n!1

= 1:

= 1: = 1: = 1: = 1:

= ln a: 1

lim (1 + u(n)) u(n) = e:

u(n)!0

În particular dac¼ a u(n) =

1 n

)

lim (1 + n1 )n = e:

u(n)!0

20

p(n) Q(n)

8 > > <

ap bq

dac¼ ap=q 0 dac¼ ap 1 dac¼ a p > q ¸si ap bq > 0 > : 1 dac¼ a p > q ¸si ap bq < 0

16.2

Opera¸ tii cu ¸ siruri

Fie (an ); (bn ) dou¼ a ¸siruri cu limit¼ a (…nit¼ a sau in…nit¼ a). Atunci : lim (an + bn ) = lim an + lim bn (caz exceptat 1

n!1

n!1

lim

an =

n!1

lim (an

17

lim an : lim bn (caz eceptat 1

n!1

=

1).

n!1

bn ) = lim an

n!1

lim an n!1 bn

n!1

lim an

n!1

1 1 ).

(cazuri exceptate 00 ;

n!1

lim bn

n!1

0):

Limite de func¸ tii

17.1

Limite fundamentale de func¸ tii

17.2

1. Polinoame.

P (x) = an xn + an

n 1 1x

+ ::: + a0 ; Q(x) = bm xm + bm

m 1 1x

lim P (x) = P (x0 ); 8 x0 2 R:

x!1

lim P (x) = an ( 1)n :

x!1

lim P (x) x!1 Q(x)

17.3

=

P (x) x! 1 Q(x)

p n

x=

x!1

lim

1 p n

=

lim

p n

x!1

lim

=

8 < :

0 dac¼ anm

an bm an bm (

3. Func¸ tia radical.

lim

x!1

8x0 2 R; Q(x0 ) 6= 0:

2. Func¸ tii ra¸ tionale.

lim

17.4

P (x0 ) Q(x0 ) ;

x! 1

x

p n

x0 ; x0 2 R+ ; n 2 N; n

1 p n x ; 0

x0 2 R+ :

x = +1; lim

x!0 x>0

p

2n+1

x=

2:

1 p n

x

= +1; lim

1; lim = x!0 x>0

x!1

1p

2n+1

x

=

21

1 p n

1;

x

= 0: lim

x! 1

1p

2n+1

x

= 0:

+ ::: + b0 :

17.5

4.Func¸ tia exponem¸ tial¼ a.

lim ax = ax0 ; x0 2 R; a > 0; a 6= 1; a 2 R:

x!x0

lim

x!+1

ax = 1; lim = ax = 0 dac¼ a a > 1; a 2 R: x! 1

lim ax = 0; lim ax = +1 dac¼ a 0 < a < 1; a 2 R: x! 1

x!+1

lim ex = 0; lim ex = 1; e = 2; 7182:

x! 1

17.6

x! 1

5. Func¸ tia logarirmic¼ a.

lim loga x = loga x0 ; x0 > 0; …nit a > 0; a 6= 1; a 2 R:

x!x0

lim loga x =

x!0 x>0

1; lim loga x = +1; dac¼ a a > 1; a 2 R: x!1

lim loga x = 1; lim loga x = lim lnx =

x!0 x>0

17.7

1; dac¼ a 0 < a < 1; a 2 R:

x!1

x!0 x>0

1; lim ln x = +1: x!1

6. Func¸ tii trigonometrice.

lim sin x = sin x0 ; lim cos x = cos x0 ; 8 x0 2 R:

x!x0

x!x0

= lim tg x = tg x0 ; x0 2

x!x0

2

+Z :

lim ctg x = ctg x0 ; x0 2 =Z :

x!x0

lim tg x = +1; lim tg x =

1:

lim ctg x = +1; lim ctg x =

1

lim arcsin x = arcsin x0 ;

1

x0

1:

lim arccos x = arccos x0 ;

1

x0

1:

x! 2 x< 2 x!0 x>0

x! 2 x> 2

x!0 x 0; a 6= 1

= ln a; a 2 R; a > 0: = ab ln a; a 2 R; a > 0: 0 dac¼ a 0 < a < 1; a 2 R 1 dac¼ a a > 1; a 2 R; n 2 N

=

.

lim ax xn = 0; 8 a 2 R; a 2 (0; 1); n 2 N :

x!1

lim xn ln x = 0; n

x!0 x>0

p lim ln ax x!+1 x

lim

x!0

18 Fie E

(1+x) x

ln x n x!+1 x

1; lim

= 0; 8 n 2 N :

= 0; 8 p 2 N; a > 0: 1

= ;8

2 R:

Func¸ tii continue R o mul¸time, x0 2 E ¸si f : E ! R o func¸tie.

Func¸tia f e continu¼ a în punctul x = x0 , f (x0

0) = f (x0 ) = f (x0 + 0):

Punctul x0 se nume¸ste punct de continuitate. Punctul x0 se nume¸ste punct de descontinuitate de prim¼ a spe¸ta¼, dac¼ a …e discontinu¼ a în x0 ; iar f (x0 ); f (x0 + 0) exist¼ a ¸si sunt …nite. De…ni¸ tie. O func¸tie f : E ! R se nume¸ste continu¼ a pe A continu¼ a în …ecare punct x din A:

19

R; dac¼ a f e

Func¸ tii derivabile

Func¸tii cu derivat¼ a într-un punct. Fie f : E ! R o func¸tie ¸si x0 un punct de acumulare. Func¸tia f are derivat¼ a în x0 dac¼ a lim

x!x0

23

f (x) f (x0 ) x x0

= f 0 (x0 ) exist¼ a în R:

Fie f : E ! R se nume¸ste derivabil¼ a în x0 dac¼ a lim

x!x0

f (x) f (x0 ) x x0

= f 0 (x0 )

exist¼ a ¸si este …nit¼ a în R:

Orice func¸tie derivabil¼ a într+un punct e continu¼ a în acel punct. Teotem¼ a. Fie f; g : E ! R dou¼ a func¸tii derivabile în x0 2 E \ E 0 ¸si 2 R un num¼ ar dat. Atunci func¸tiile f g; f; f g; fg (g(x0 ) 6= 0) ¸si f g (dac¼ a fg are sens) sunt derivabile în x0 ¸si avem : i) (f

g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )

g 0 (x0 )

ii) ( f )0(x0 ) = f 0(x0 ) iii) (f g)0(x0 ) = f 0(x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0(x0 ) iv) ( fg )0 (x0 ) =

f 0(x0 )g (x0 ) f (x0 )g 0(x0 ) : g 2 (x0 )

v) (f g )0 (x0 ) = (gf g

19.1

1 1

f )(x0 ) + (f g ln f )(x0 ):

Derivata func¸ tiei compuse a dou¼ a func¸ tii.

Fie f : F ! R, g : E ! F dou¼ a func¸tii. Dac¼ a g este derivabil¼ a în x0 2 E \ E 0 0 ¸si f în g(x0 ) 2 F \ F atunci f g e derivabil¼ a în x0 2 E ¸si avem : (f g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ):

19.2

Derivata func¸ tiei inverse unei func¸ tii date.

Fie f : I ! J; I; J intervale, o func¸tie continu¼ a ¸si bijectiv¼ a ¸si f 1 : J ! I inversa ei. Dac¼ a f e derivabil¼ a în x0 2 I ¸si f 0 (x0 ) 6= 0; atunci f 1 e derivabil¼ a în y0 = f (x0 ) 2 J ¸si avem (f 1 )0 (y0 ) = f 0 1(x0 ) :

24

19.3

Tabloul de derivare al func¸ tiilor elementare. Func¸tia c (constant¼ a) x xn xr p x ln x ex x a ; a > 0; a 6= 1 sin x cos x tg x ctg x arcsin x arccos x arctg x arcctg x

19.4

1 p 2 x 1 x x

Denumirea de derivabilitate R R cel pu¸tin (0; 1) (0; 1) (0; 1) R

e ax ln a cos x sin x

R R R cos x 6= 0 sin x 6= 0 (-1,1) (-1,1) R R

1 cos2 x 1 sin2 x p 1 1+x2 p 1 1+x2 1 1+x2 1 1+x2

Tabloul de derivare al func¸ tiilor compuse. Func¸tia u un ; n 1 întreg ur p u ln u eu u a ; a > 0; a 6= 1 sin u cos u tg u ctg u arcsin u arccos u arctg u arcctg u

19.5

Derivata 0 1 nxn 1 rxr 1

Derivata

Denumirea de derivabilitate

nun 1 u0 rur 1 u0 0 u p 2 u u0 u u 0

u u 0 a u ln a cos u u0 sin u u0 1 0 cos2 u u 1 0 u sin2 u 0 p 1 u 1 u2

(u > 0) (u > 0) (u > 0)

e

1 1+u2 u0 1+u2 u0 1+u2

(cos u 6= 0) (sin u 6= 0) (u2 < 1) (u2 < 1)

Propriet¼ a¸ tii ale func¸ tiilor derivabile

Teorema lui Fermat. Fie f : I ! R o func¸tie derivat¼ a pe I. În orice punct de extrem local (maxim sau minim) derivata lui f este nul¼ a. Teorema lui Rolle. Fie f : I ! R ¸si a; b 2 I cu a < b: Dac¼ a: 25

1) f e cntinu¼ a pe intervalul [a; b] ; 2) f e derivabil¼ a pe intervalul deschis (a; b) ; 3) f (a) = f (b): Atunci exist¼ a cel pu¸tin un punct c 2 [a; b] astfel încât f 0 (c) = 0: Teorema lui Lagrange. Fie f : I ! R ¸si a; b 2 I cu a < b: Dac¼ a: 1) f e cntinu¼ a pe intervalul [a; b] ; 2) f e derivabil¼ a pe intervalul deschis (a; b) : Atunci exist¼ a cel pu¸tin un punct c 2 [a; b] astfel încât f 0 (c) =

f (b) f (a) b a

Teorema lui Cauchy. Fie f; g : I ! R dou¼ a func¸tii ¸si a; b 2 I cu a; b:Dac¼ a: 1) f; g continue pe intervalul inchis [a; b] : 2) f; g derivabile pe intervalul deschis (a; b) : 3) g 0 (x) 6= 0; 8x 2 (a; b) Atunci g(a) 6= g(b) ¸si exist¼ a cel pu¸tin un punct c 2 [a; b] astfel încât

f (b) f (a) g(b) g(a)

=

0

f (c) g ’(c) :

20

Derivate de ordin superior

Formula lui Leibuiz. Fie f; g : I ! R dau¼ a func¸tii de n ori derivabil¼ a pe I: Atunci f g este de n ori derivabil¼ a pe I: Atunci f g este de n ori derivabil¼ a pe I ¸si avem rela¸tia (f g)(n) (x) = f (n) (x)g(x) + Cn1 f (n Cnn f (x)g (n) (x); 8 x 2 I:

1)

(x) + ::: + Cnn

Câteva derivate de ordinul n : 1. (sin x)(n) = sin(x + n 2 ); 8 x 2 R; n 2 N: 2. (cos x)(n) = cos(x + n 2 ); 8 x 2 R; n 2 N: 3. ( x1 )(n) = ( 1)n 4.

1 x a

(n)

=

n! xn+1 ;

8 x 2 R ; n 2 N:

( 1)n n! (x a)n+1 :

5. (aex )(n) = aex ; 8 a 2 R; x 2 R; n 2 N: 6. (xm )

(n)

= Anm xm

n

; 8 x 2 R; 1

n

m:

7. (ax )(n) = ax (ln a)n ; a > 0; x 2 R; n 2 N: 26

1

f 0 (x)g (n

1)

(x) +

Formula lui Taylor. Dac¼ a f este o func¸tie de n ori derivabil¼ a într-o vecin¼ atate a punctului x0 ¸si f (n) continu¼ a în x0 ; atunci are loc formula aproximativ¼ a : 0

0

(n)

(x0 ) (x0 ) f (x) ' f (x0 ) + f 1! (x x0 ) + f 2! (x x0 )2 + ::: + f n!(x0 ) pentru orice x 2 V; în care eroarea absolut¼ a j (x)j satisface condi¸tia lim (xj (x)j x0 )m = 0: x!x0

Regulile lui L’Hospital. 1. Fie f; g : [a; b] ! R ¸si x0 2 [a; b] : Presupunem satisf¼ acute urm¼ atoarele condi¸tii : a) f ¸si g derivabile pe [a; b] n fx0 g ¸si continue în x0 ; b) f (x0 ) = 0; g(x0 ) = 0; c) g 0 (x) nu se anuleaz¼ a într-o vecin¼ atate V a lui x0 (8x 2 V n fx0 g); f 0 (x) 0 x!x0 g (x)

d) exist¼ a lim

=

(^{n R); f (x) x!x0 g(x)

In aceste condi¸tii, exist¼ a lim

= :

2. Fie f; g : (a; 1] ! R; a > 0: Presupunem c¼ a: a) f ¸si g derivabile pe [a; b] ; b) lim f (x) = lim g(x) = l unde l = 0; 1 sau

1;

c) g 0 (x) 6= 0 pentru orice x su…cient de mare (x

A; A

x!1

x!1

0

f (x) 0 x!1 g (x)

d) exist¼ a lim

=

f (x) x!1 g(x)

Atunci exist¼ a lim

21 21.1

a);

(^{n R); = :

Asimptotele func¸ tiilor reale Asimptote orizontale

Fie f : E ! R cu E

R mul¸timii, o func¸tie real¼ a ¸si x0 2 R:

De…nitii : Dreapta y = y0 este asimptot¼ a orizontal¼ a a lui f dac¼ a lim f (x) = x!x0 1:

27

21.2

Asimptote oblice

Fie f : E ! R o func¸tie real¼ a cu E

R:

De…nitii : Dreapta y = mx + n este asimptot¼ a oblic¼ a la +1 sau func¸tiei f dac¼ a: lim [f (x)

x! 1

m = lim

x! 1

(mx + n)] = 0; f (x) x

2 R;

n = lim [f (x) x! 1

22

1 a

mx] 2 R:

Reprezentarea gra…c¼ a a func¸ tiilor

Etape de parcurs : 1. Stabilirea domeniului

max

de de…ni¸tie al func¸tiei.

2. Semnul func¸tiei ¸si eventualele simetrii ale gra…cului. 3. Limite la cap¼ at, continuitatea func¸tiilor, asimptote. 4. Derivata Iii : 5. Studiul deriv¼ arii a II. 6. Tablou de variet¼ a¸ti. 7. Trasarea gra…cului.

23

Primitive

De…ni¸ tii. Fie J un interval R ¸si f : J ! R: Spunem c¼ a f admite primitiv¼ a pe J dac¼ a exist¼ a o func¸tie f : J ! R astfel încât : 1) F este derivabil¼ a pe J ; 2) F 0 (x) = f (x), 8x 2 J ; Mul¸timea tuturor primitivelor lui a nede…nit¼ a a func¸tiei R f se nume¸ste integral¼ f ¸si se noteaz¼ a cu simbolul f (x)dx:

Teorem¼ a. Fie f; g : J ! R func¸tii care admit primitivele ¸si 2 R; = 6 0; atunci func¸tiile f + g; admit deasemenea primitive ¸si au loc rela¸tiile : 28

R R [f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx ; R R b) f (x)dx = f (x)dx ; R R c) f (x)dx = f (x)dx + c ;

a)

R

23.0.1

Tabel de integrale nede…nite

R

f :R!R f (x) = xn f : J ! R; J (0; 1) f (x) = xa ; a 2 R n f 1g f :R!R f (x) = ax ; a 2 R+ n f1g f : J ! R; J R f (x) = x1 f : J ! R; J R n f a; ag f (x) = x2 1 a2 ; a 6= 0 f :R!R 1 f (x) = x2 +a 2 ; a 6= 0 f :R!R f (x) = sin x f :R!R f (x) = cos x f : J ! R; J R n (2k + 1) 2 j k 2 Z f (x) = cos12 x f : J ! R; J R n fk j k 2 Zg f (x) = sin12 x f : J ! R; J R n (2k + 1) 2 j k 2 Z f (x) = tg1 x f : J ! R; J R n fk j k 2 Zg f (x) = ctg1 x f :R!R 6 0 f (x) = px21+a2 ; a = J ( 1; a) sau f :J !Ra>0 J (a; 1) f (x) = px21 a2 f : J ! R; J ( a; a); a > 0 f (x) = pa21 x2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R R R R

R

xn dx =

xn+1 n+1

+b

xa dx =

xa+1 a+1

+b

ax dx =

ax ln a

1 x dx

+b

= ln jxj + b

1 x2 a2 dx

=

1 x2 +a2 dx

= a1 arctg xa + b

sin x dx =

1 2a

ln

x a x+a

+b

cos x + b

cos x dx = sin x + b 1 cos2 x dx

= tg x + b

1 dx sin2 x

=

tg x dx =

ctg x + b ln jcos xj + b

ctg x dx = ln jsin xj + b p 1 dx x2 +a2

= ln(x +

p

p 1 dx x2 a2

= ln x +

p

p 1 dx a2 x2

= arcsin xa + b

x2 + a2 ) + b x2 + a2 + b

Teorem¼ a. Formula de integrare prin p¼ar¸ti. Dac¼ a f; g : J ! R func¸tii derivabile cu derivate continue atunci func¸tiile f g; f 0 g ¸si f g 0 admit primitive ¸si mul¸timile lor de primitive ¸si mul¸timile lor de primitive sunt legat prin rela¸tia : R R 0 f (x)g 0 (x)dx = f g f (x)g(x)dx: 29

Prima metod¼ a de schimbare de variabil¼ a. '

f

Teorem¼ a. Fie F; J intervale din R ¸si I ! J ! R func¸tii cu propriet¼ a¸tile : a) ' derivabil¼ a pe I ; b) f admite primitive (…e F o primitiv¼ a a sa). Atunci func¸tia (f ') '0 admite primitive, iar func¸tia F lui (f ') '0 ; adic¼ a: R f ('(t)) '0 (t)dt = F ' + b

' este o primitiv¼ aa

Tabel de integrale nede…nite. ' : I ! R derivabil¼ a cu derivat¼ a continu¼ a. R n+1 1) 'n (x) '0 (x) dx = ' n+1(x) + b; n 2 N: 2)

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

R

'a (x) '0 (x) dx =

R

a'(x) '0 (x) dx =

R

'0 (x) '(x) dx

R

R

R

10)

a'(x) ln a

+ b; a 2 R n f 1g ; '(I)

(0; 1):

+ b; a 2 R+ n f 1g :

= ln j'(x)j + b; '(x) 6= 0; 8 x 2 I:

'0 (x) '2 (x) a2 dx

=

'0 (x) '2 (x)+a2 dx

= a1 arctg

1 2a

ln

sin '(x) '0 (x) dx =

R

R

'a+1 (x) a+1

'(x) a '(x)+a '(x) a

+ b; '(x) 6=

a; 8 x 2 I; a 6= 0:

+ b:

cos '(x) + b:

cos '(x) '0 (x) dx = sin '(x) + b: '0 (x) cos2 '(x) dx

R

= tg '(x) + b; '(x) 2 = (2k + 1)

'0 (x) dx sin2 '(x)

=

2

j k 2 Z ; 8 x 2 I:

ctg '(x) + c; '(x) 2 = fk j k 2 Zg ; 8x 2 I:

R 11) tg '(x) '0 (x)dx = ln jcos '(x)j + b; '(x) 2 = (2k + 1) 2 j k 2 Z ; 8 x 2 I: R = fk j k 2 Zg ; 8x 2 I: 12) ctg '(x) '0 (x)dx = ln jsin '(x)j + b; '(x) 2 i h p R '0 (x)dx 13) p 2 = ln '(x) + '2 (x) + a2 + b; a 6= 0: 2 ' (x)+a

14)

R

15)

R

0

p' 2(x)dx ' (x)

p

a2

'0 (x) a2 '2 (x)

= ln '(x) +

p

'2 (x)

a2 +b; a > 0

dx = arcsin '(x) a + b; a > 0; '(I)

30

'(I) '(I)

( a; a):

( 1; a) sau : (a; 1)

23.1

Primitivele func¸ tiilor ra¸ tionale.

De…ni¸ tie. O func¸tie f : E ! R(E …ind interval) se nume¸ste ra¸tional¼ a dac¼ a P (x) f (x) = Q(x) unde P; Q sunt polinoame cu coe…cien¸ti reali ¸si Q(x) 6= 0; 8 x 2 R: O func¸tie ra¸tional¼ a se nume¸ste simpl¼ a dac¼ a are una sin formele : 1) f (x) =

A (x a)n ;

2) f (x) =

Bx+c (ax2 +bx+c)n ;

n 2 N ; x 6= a: n 2 N; b2

4ac < 0.

Teorem¼ a. Orice func¸tie ra¸tional¼ a poate … repretentat¼ a sub forma unei sume …nite de func¸tii ra¸tionale simple, adic¼ a dac¼ a f : E ! R este o func¸tie P (x) ; Q(x) 6= 0; 8 x 2 E unde P ¸si Q sunt polinoame ra¸tional¼ a f (x) = Q(x) prime între ele ¸si dac¼a Q se descompune în factori primi sub forma : Q(x) = (x a1 ) 1 (x a2 ) 2 ::: (x ap ) p (x2 + b1 x + c1 ) 1 ::: (x2 + bp x + cp ) p ; unde b2i 4ci < 0; 8 i = 1; r ; atunci f (x) = L(x) + i P i P h r h P Bk r x+Ck r A2k Ak k A1k Bk1 x+Ck1 + + ::: + + + ::: + 2 2 k 2 r x ak x +bk x+ck (x ak ) (x +bk x+ck ) (x a ) k

k=1

k=1

unde L este un polinom cu coe…cien¸tii reali, iar ak ; bk ; ck ; Aik ; Bki ; Cki sunt numere reale ¸si b2k 4Ck < 0.

23.2

Primitivele func¸ tiilor exponen¸ tiale

R Integralele nede…nite de forma f (ex ) dx se calculeaz¼ aR cu ajutorul arii R schimb¼ de variabil¼ a : ex = t ) x = ln t ) dx = 1t dt ) (ex )dx = f (ln t) 1t dt:

23.3

Primitivele func¸ tiilor logaritmice.

Integralele de forma abil¼ a:

R

f (ln x)dx se calculeaz¼ a cu ajutorul schimb¼ arii de vari-

ln x = t ) x = et ; dx = et dt )

23.4 R

R

f (ln x)dx =

R

f (t) et dt:

Primitivele func¸ tiilor trigonometrice

f (sin x; cos x)dx

1) Dac¼ a f ( sin x; cos x) = f (sin x; cos x) se face substitu¸tia cos x = t ) x = arccos t ) dx = p11 t2 dt: =)

R

f (sin x; cos x) dx =

R

p f( 1

R

p f (t; 1

t2 ; t)

p 1 1 t2

dt:

2) Dac¼ a f (sin x; cos x) = f (sin x; cos x) se face substitu¸tia sin x = t ) x = arcsin ) dx = p11 t2 dt: =)

R

f (sin x; cos x) dx =

31

t2 )

p 1 dt: 1 t2

3) Dac¼ a f ( sin x; cos x) = f (sin x; cos x) se face substitu¸tia tg x = 1 ) x = 1 arctg t ) dx = 1+t 2 dt: R R 1 1 t ; p1+t ) p1+t dt: =) f (sin x; cos x) dx = f ( p1+t 2 2 2

4) În toate celelalte cazuri se face substitu¸tia tg x2 = t ) 2 2arctg t ) dx = 1+t 2 dt: =)

23.5

R

f (sin x; cos x) dx =

R

2

2 1 t f ( 1+t 2 ; 1+t2 )

x 2

= arctg t ) x =

2 1+t2 dt:

Formula lui Leibniz-Newton

Teorem¼ a. Fie f : [a; b] ! R o func¸tie integral¼ a care admite primitive pe [a; b] : Atnci pentru orice primitiv¼ a F a lui f are loc egalitatea : Rb f (x)dx = F (b) F (a): a

23.6 1)

Rb

Propriet¼ atii ale func¸ tiilor integrale.

f (x)dx =

Rb

f (x)dx: Rb Rb Rb 2) a [f (x) + g(x)] dx = a f (x)dx + a g(x)dx: Rb Rc Rc 3) a f (x)dx + b f (x)dx f (x)dx: b Rb 4) a f (x)dx = f ( )(b a) unde a < < b: a

a

5) Dac¼ a f : [a; b] ! R este o func¸tie integrabil¼ a pozitiv¼ a, f (x) atunci : Rb f (x)dx 0: a

0 8 x 2 [a; b]

6) Dac¼ a f; g : [a; b] ! R sunt func¸tii integrabile astfel încât f (x) x 2 [a; b] ; atunci : Rb Rb f (x)dx g(x)dx: a a 7) Dac¼ a f : [a; b] ! R este integrabil¼ a ¸si m Rb m(b a) f (x)dx M (b a): a

f (x)

g(x); 8

M; 8 x 2 [a; b] ; atunci :

8) Teorema de existen¸ta¼ a primitivelor unei func¸tii continu¼ a f : [a; b] ! R def R x func¸tia F : [a; b] ! R de…nit¼ a prin F (x) = a f (t)dt; 8 x 2 [a; b] este o primitiv¼ a a lui f care se anuleaz¼ a în punctul a.

32

23.7

Aplica¸ tii ale integralelor cu probleme practice

Not¼ am f = (x; y) 2 R2 j a x b; 0 y f (x) ¸si se nume¸ste subgra…cul func¸tiei f. Aceast¼ a mul¸time are o arie ¸si aria sa este : Rb aria( f ) = a f (x)dx: Dac¼ a f; g : [a; b] ! R sunt func¸tii continue astfel încât f (x) atunci mul¸timea :

g(x); 8 x 2 [a; b]

= (x; y) 2 R2 j a x b; f (x) y g(x) cuprins¼ a între gra…cele func¸tiilor f; g ¸si dreptele paralele la Oy care intersecteaz¼ a axa Ox în punctele a ¸si b are arie ¸si aria sa este : Rb aria( f;g ) = a [g(x) f (x)] dx

f;g

Fie f : [a; b] ! R+ o func¸tie continu¼ a ¸si pozitiv¼ a pe [a; b] : Prin rotirea suprafe¸telor în jurul axei Ox ia na¸stere un corp de rota¸tii. Volumul corpului de rota¸tie ob¸tinut : Rb 2 V = f (x)dx . a

Dac¼ a f : [a; b] !qR+ este o func¸tie derivabil¼ a cu derivat¼ a continu¼ a pe (a; b) 2 0 astfel încât f 1 + (f ) are limite …nite în punctele a ¸si b atunci suprafa¸ta de rota¸tie determinat¼ a de f are arie ¸si : p Rb A(f ) = 2 a f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx:

Dac¼ a func¸tia f : [a; b] ! R este derivabil¼ a, cu derivat¼ a continu¼ a, atunci gra…cul s¼ au are lungime …nit¼ a ¸si Rbp l(f ) = a 1 + (f 0 (x))2 dx:

24 24.1

Elemente de algebr¼ a matematic¼ a Matrice

Se nume¸ste matrice 0 a11 a12 B a21 a22 A=B @ am1 am2

cu m lini ¸si n coloane un tablou bidimensional de forma : 1 ::: a1n ::: a2n C C: A ::: amn

Mul¸timea tuturor matricelor cu elemente într-un corp k se noteaz¼ a Mm;n (k): Dac¼ a m = n matricea e p¼ atratic¼ a.

33

Dac¼ a matricea A = (aij ) ¸si B = (bij ) 2 Mm;n (k) ) C = A + B ) C = (Cij ) unde (Cij ) 2 Mm;n (k) ¸si Cij = aij + bij ; 8 i = 1; m ; j = 1; n : Propriet¼ a¸tiile adun¼ arii matricelor 8 A; B; C 2 Mm;n avem : 1) A + B = B + A ; 2) (A + B) + C = A + (B + C) ; 3) A + 0 = 0 + A ; 4) A + ( A) = ( A) + A ;

24.2

Îmul¸ tirea matricelor cu un scalar.

Fie A = (aij ) 2 Mm;n ; 2 k matricea B = (bij ) 2 Mm;n ¸si B = A dac¼ a bij = aij 8 i = 1; n , j = 1; n: Îmul¸tirea matricelor A = (aij ) 2 Mm;n :Matricea C = (cij ) 2 Mm;n se nume¸ste produsul B = (bij ) 2 Mm;n n P matricelor A ¸si B, C = AB dac¼ a : cij = aik bkj , 8 i = 1; n , j = 1; n .

Fie

k=1

Propriet¼ a¸tiile îmul¸tirii matricelor : 1)A In = In A = A: 2)A 0 = 0 A = 0: 3) (AB) C = A (BC): 4)

(AB) = ( A) B = A ( B):

5) (A + B)C = AC + BC: 6)C(A + B) = CA + CB:

24.3

Transpusa unei matrici

Fie A = (aij ) 2 Mm;n : Matricea tA se nume¸ste lrauspusa matricea A dac¼ a i = 1; n tA = (aij ) : Ea se ob¸tine din matricea A prin schimbarea linilor j = 1; n cu coloanele ¸si a coloanelor cu linile. 0 1 a11 a21 ::: am1 B a12 a22 ::: am2 C C: tA = B @ A a1n a2n ::: amn 34

24.4

Matricea adjunt¼ a a unei matric :

Se nume¸ste adjuncta 0unei matricei A11 A21 B A12 A22 matricea : A = B @ A1n A2n

A = (aij )12 Mm;n ¸si se noteaz¼ a cu A ::: Am1 ::: Am2 C C: A ::: Amn

unde Aij este complementul algebric al lui aij determinantul ce rezult¼ a eliminând linia ¸si coloana pe care se a‡a¼ elementul aji :

O matrice se nume¸ste nedegenerat¼ a, dac¼ a det A 6= 0:

24.5

Matrice inversabile.

Matricea A 2 Mn admite o invers¼ aA A : det A Propriet¼ a¸ ti. (A

24.6

1

)

1

= A ; (AB)

1

1

2 Mn , det A 6= 0: în plus A

=B

1

A

1

1

=

.

Rangul unei matrice.

Fie matricea A 2 Mm;n : Se nume¸ste minor al unei matrice de ordinul k determinantul format din k 2 elemente date (p¼ astrând ordinea elementelor). Matricea A are rangul r; dac¼ a A are un minor nenul de ordinul r; iar to¸ti minorii lui A de ordin mai mare ca r, dac¼ a exist¼ a, sunt mili. Se scriu rang A = r:

24.7

Ecua¸ tii matriciale

AX = B ) x = A 1 B XA = B ) X = BA 1 AXB = C ) X = A 1 CB

24.8

1

Determinan¸ ti

Fie matricea A =

a11 a21

a12 : a22

Num¼ arul = a11 a22 a12 a21 se nume¸ste determinantul matricei A sau determinant de ordin al doilea ¸si se noteaz¼ a cu det A:Deci det A = a11 a22 a12 a21 : 0 1 a11 a12 a13 Fie matricea A = @a21 a22 a23 A : a31 a32 a33 35

Num¼ arul ob¸tinut astfel a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a12 a21 a31 se nume¸ste determinantul de ordinul al treilea sau det A: Pentru o matrice de ordinul n se dezvolt¼ a determinantul dup¼ a elementele unei linii "i" astfel : det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ::: + a1n Ain sau dup¼ a elementele coloanei "j" astfel : det A = a1j A1j + a2j A2j + :: + anj Anj : unde Aij = ( 1)i+j Mij ; Mij =minor alelementului aij ; determinant de ordinul n 1 ce se ob¸tine din A prin eliminarea liniei "i" ¸si a coloanei "j".

24.9

Propriet¼ a¸ tiile determinan¸ tilor.

1) det(AB) = det A det B: 2) Dac¼ a toate elementele unei coloane sau ale unei linii dintr-o matrice sunt egale cu 0, atunci determinantul e zero. 3) Dac¼ a elementele a dou¼ a linii sau ale unei coloane sunt egale sau propor¸tionate, atunci determinantul este zero. 4) Dac¼ a schimb¼ am între ele dou¼ a linii sau dou¼ a coloane ale unei matrice A; ob¸tinând o nou¼ a matrice A0 atunci det A0 = det A: 5) Dac¼ a într-o matrice A îmul¸tim o linie sau o coloan¼ a cu un num¼ ar a, ob¸tinând o nou¼ a matrice A0 ; atunci det A0 = a det A: 6) Orice matrice ¸si transpusa ei tA au acela¸si determinant, dett A = det A: 7) Dac¼ a într+o matrice A o coloan¼ a sau o line este o combina¸tie liniar¼ a a celorlalte coloane sau linii, atunci det A = 0: 8) Dac¼ a într-o matrice A toate elementele unei linii sau ale unei coloane sunt sume de câte doi termeni atunci det A se poate scrie ca suma a doi determinan¸tii.

24.10 n P

Sistemul de n ecua¸ tii cu n necunoscute.

aik xk = bi

k=1

0

a11 B a21 D=B @ an1

a12 a22

::: :::

an2

:::

1 a1n a2n C C: A ann 36

Di se ob¸tine din D prin înlocuirea elementelor din coloana i cu termenii liberi. Dac¼ a D 6= 0 )sistemul are o solu¸tie unic¼ a dat¼ a de regula lui Cramer: xi = i = 1; n:

Di D ;

Dac¼ a D = 0 )Se calculeaz¼ a rangul matricei. Teorema lui Rouche-Fontene. O condi¸tie necesar¼ a ¸si su…cient¼ a ca sistemul s¼ a aib¼ a solu¸tii este ca to¸ti determinan¸tii lui caracteristici s¼ a …e nuli. Din matricea A = (aik ) a coe…cien¸tilor necunoscutelor se extrage un determinant nenul de ordin maxim p; notat p ; ¸si numit determinant principal ¸si se construiesc determinan¸tii caracteristici, Dc ; c = p + 1; p + 2; :::m prin bondarea determinantului principal orizontal, jos, cu coe…cien¸tii necunoscutelor principale din ecua¸tiile r¼ amase, care nu au intrat în formarea determinantului principal, ¸si "vertical" în dreapta, cu termenii liberi corespunz¼ atori. Dac¼ a = 0 ¸si cel pu¸tin un determinant caracteristic este diferit de zero, atunci sistemul nu are solu¸tii. Dac¼ a = 0 ¸si to¸ti determinan¸tii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil dar nedeterminat. Se rezolv¼ a cele p ecua¸tii principale ¸si se ob¸sin necunoscutele principale x1 ; x2 ::xp în func¸tie de xp+1 ; ::xn : Sistemul are o "nedeterminare" de ordin n p; în sensul c¼ a necunoscutele xp+1 ; xp+2 :::xn r¼ amân arbelare.

37