Formule - Analitička geometrija u ravni

Puškice → Treći razred Analitička geometrija u ravni Tačka:

Trougao:

Rastojanje između tačaka A1 ( x1 , y1 ) i A2 ( x2 , y2 ) :

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2

d=

Površina trougla sa temenima A1(x1, y1), A2 (x2 , y2 ) i A3 (x3 , y3 ):

2

Središte duži A1 A2 :

⎛ x + x y + y2 ⎞ S⎜ 1 2 , 1 2 ⎟⎠ ⎝ 2

x1 1 x2 2 x3

y1 1

P=

1 x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) 2

y2 1 y3 1

Uslov paralelnosti dve prave:

Jednačina prave: 1.

Opšti oblik: Ax + By + C = 0

2.

Segmentni oblik:

3.

Eksplicitni oblik: y = kx + n

Prave y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 su paralelne ako i samo

x y + = 1, a b

ako je k1 = k2

a ≠ 0, b ≠ 0

Uslov normalnosti dve prave: Prave y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 su normalne ako i samo

Pramen pravih: Ako je data tačka A( x0 , y0 ) tada su formulom y − y0 = k ( x − x0 ) date sve prave koje sadrže ovu tačku. Jednačina prave kroz dve tačke: Ako su date dve tačke A1 ( x1 , y1 ) i A2 ( x2 , y2 ) tada jednačina prave koja sadrži ove tačke glasi:

y − y1 =

P=

y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

ako je k1 ⋅ k2 = −1 Ugao između dve prave: Ugao između pravih y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 se računa pomoću formule:

tgϕ =

k2 − k1 za 1 + k1 ⋅ k2 ≠ 0. 1 + k1 ⋅ k2

ako je 1 + k1 ⋅ k2 = 0 tada je ϕ = 90o

Rastojanje tačke od prave: Rastojanje tačke M ( x0 , y0 ) od prave Ax + By + C = 0 je

d=

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

Kružnica:

Elipsa:

Jednačina kružnice sa centrom u tački C ( p, q ) i poluprečnikom r je:

Jednačina elipse sa centrom u koordinatnom početku je:

( x − p) + ( y − q) 2

2

x2 y2 + =1 a 2 b2

= r2

Tangenta kružnice: ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada kružnici onda je jednačina tangente:

( x0 − p )

2

Sledeće formule važe ako je a > b Ekcentricitet: e =

( x − p ) + ( y0 − q ) ( y − q) = r 2

c pri čemu je c = a 2 − b 2 a

Fokusi ( žiže ): F1 (−c, 0), F2 (c, 0) Uslov dodira prave i kružnice:

Tangenta elipse:

prava y = kx + n je tangenta kružnice ako i samo ako je:

(1 + k ) r = ( kp + n − q ) 2

2

ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada elipsi onda je jednačina tangente:

2

x0 x y0 y + 2 =1 a2 b Uslov dodira prave i elipse: prava y = kx + n dodiruje elipsu ako i samo ako je:

a 2 k 2 + b2 = n2 autor: Miloš Petrović

Hiperbola:

Parabola:

Jednačina hiperbole sa centrom u koordinatnom početku je: 2

Jednačina parabole sa centrom u koordinatnom početku je:

y 2 = 2 px

2

x y − =1 a 2 b2

⎛p ⎞ ,0⎟ ⎝2 ⎠

Fokus ( žiža ): F ⎜

Sledeće formule važe ako je a > b Ekcentricitet: e =

c pri čemu je c = a 2 + b 2 a

Direktrisa: x = −

Fokusi ( žiže ): F1 (−c, 0), F2 (c, 0)

p 2

Tangenta hiperbole:

Tangenta parabole:

ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada hiperboli onda je jednačina tangente:

ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada paraboli onda je jednačina tangente:

y0 y = p ( x + x0 )

x0 x y0 y − 2 =1 a2 b

Uslov dodira prave i parabole:

Uslov dodira prave i hiperbole:

prava y = kx + n dodiruje parabolu ako i samo ako je:

prava y = kx + n dodiruje hiperbolu ako i samo ako je:

a k −b = n 2

2

2

2kn = p

2

Asimptote hiperbole:

y=

b b xi y=− x a a

Nizovi: Aritmetički niz:

Geometrijski niz:

Niz je aritmetički ako je razlika njegovih susednih članova konstantna: pr: 2, 5, 8, 11, ...

Niz je geometrijski ako je količnik njegovih susednih članova konstantna: pr: 2, 6, 18, 54, ...

d : razlika aritmetičkog niza ( u primeru je d = 3 )

q : količnik geometrijskog niza ( u primeru je q = 3 )

a1 : prvi član niza ( u primeru je a1 = 2 )

a1 : prvi član niza ( u primeru je a1 = 2 )

k – ti član niza: ak = a1 + (k − 1)d Zbir prvih k članova niza: S k = ka1 +

k −1 k – ti član niza: ak = a1 ⋅ q

k (k − 1)d a1 + ak = 2 2

Zbir prvih k članova niza: S k = b1

1 − qk 1− q

Ako je −1 < q < 1 tada može da se izračuna zbir SVIH članova geometrijskog niza:

S=

autor: Miloš Petrović

a1 1− q