Fórmulas teoría de colas

ECUACIONES CLAVE

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Ecuaciones clave ␭ ⫽ número promedio de llegadas por periodo de tiempo ␮ ⫽ número promedio de personas u objetos atendidos por periodo de tiempo Las ecuaciones 13-1 a 13-7 describen características operativas en el modelo de un solo canal que tiene llegadas de Poisson y tasas de servicio exponenciales. (13-1) L ⫽ número promedio de unidades (clientes) en el sistema

l ␮ - l

=

1 m - l

(13-3) Lq ⫽ número promedio de unidades en la cola 2

=

l ␮(␮ - l)

(13-4) Wq ⫽ tiempo promedio que una unidad pasa esperando en la cola

l = ␮(␮ - l)

l (13-5) r = factor de utilización para el sistema = m (13-6) P0 ⫽ probabilidad de 0 unidades en el sistema (es decir, la unidad de servicio está ociosa o inactiva)

= 1 -

1

(13-13) P0 =

n=m-1

n

1 l 1 l m mm c a a b d + a b m! m mm - l n = 0 n! m para mm 7 l

Probabilidad de que no haya personas o unidades en el sistema.

(13-2) W ⫽ número promedio que una unidad pasa dentro del sistema (tiempo de espera ⫹ tiempo de servicio)

=

Las ecuaciones 13-13 a 13-18 describen las características operativas en los modelos multicanal que tienen llegadas de Poisson y tasas de servicio exponenciales, donde m = el número de canales abiertos.

l m

(13-7) Pn>k ⫽ probabilidad de más de k unidades estén en el sistema

l k+1 = a b ␮ Las ecuaciones 13-8 a 13-12 se utilizan para encontrar los costos de un sistema de colas (13-8) Costo total del servicio ⫽ mCs donde m ⫽ número de canales Cs ⫽ costo de servicio (costo de mano de obra) de cada canal (13-9) Costo total por periodo de tiempo de espera ⫽ (␭W) Cw Cw ⫽ costo de espera Costo de tiempo basado en el tiempo en el sistema. (13-10) Costo total por periodo de tiempo de espera ⫽ (␭Wq) Cw Costo del tiempo de espera en función del tiempo en la cola. (13-11) Costo total ⫽ mCs ⫹ ␭WCw Costo del tiempo de espera en función del tiempo en el sistema. (13-12) Costo total ⫽ mCs ⫹ ␭WqCw Costo del tiempo de espera en función del tiempo en la cola.

(13-14) L =

lm(l>m)m (m - 1)!(mm - l)2

P0 +

l m

Número promedio de personas o unidades en el sistema.

m(l>m)m

(13-15) W =

(m - 1)!(mm - l)2

P0 +

L 1 = m l

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera o recibiendo servicio (a saber, en el sistema).

(13-16) Lq = L -

l m

Número promedio de clientes o unidades en que esperan en la fila para recibir servicio.

(13-17) Wq = W -

Lq 1 = m l

Tiempo promedio que pasa una persona o una unidad en la cola para recibir servicio.

(13-18) r =

l mm

Tasa de utilización. Las ecuaciones 13-19 a 13-22 describen las características operativas de los modelos de un solo canal que tienen llegadas de Poisson y tasas de servicio constantes.

(13-19) Lq =

l2 2m(m - l)

Longitud promedio de la cola.

(13-20) Wq =

l 2m(m - l)

Tiempo de espera promedio en la cola

(13-21) L = Lq +

l m

Número promedio de clientes en el sistema.

(13-22) W = Wq +

1 m

Tiempo de espera promedio en el sistema.

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CAPÍTULO 13 • MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA Y TEORÍA DE COLAS

Las ecuaciones 13-23 a 13-28 describen las características operativas de los modelos de un solo canal que tienen llegadas de Poisson y tasas de servicio exponenciales, así como población potencial finita.

1 (13-23) P0 = N N! l n a b a n = 0 (N - n)! m Probabilidad de que el sistema esté vacío.

(13-24) Lq = N - a

l + m b(1 - P0) l

Longitud promedio de la cola.

(13-25) L = Lq + (1 - P0) Número promedio de unidades en el sistema.

(13-26) Wq =

1 ␮

(13-27) W = Wq +

Tiempo promedio en el sistema.

(13-28) Pn =

N! l n a b P0 para n = 0, 1, Á , N (N - n)! m

Probabilidad de n unidades en el sistema. Las ecuaciones 13-29 a 13-31 son las ecuaciones de flujo de Little, que se pueden utilizar cuando exista una condición de estado estable.

(13-29) L = lW (13-30) Lq = lWq (13-31) W = Wq + 1>m

Lq (N - L)l

Tiempo promedio en la cola.

Problemas resueltos Problema resuelto 13-1 La tienda Maitland Furniture recibe un promedio de 50 clientes por turno. La gerente de Maitland desea calcular si debería contratar a 1, 2, 3 o 4 vendedores. Ella ha determinado que el tiempo de espera promedio será de 7 minutos con 1 vendedor, 4 minutos con 2 vendedores, 3 minutos con 3 vendedores y 2 minutos con 4 vendedores. Ha estimado el costo por minuto que esperan los clientes en $1. El costo por vendedor por cada turno (con prestaciones incluidas) es de $70. ¿Cuántos vendedores se deberían contratar?

Solución Los cálculos de la gerente son los siguientes: NÚMERO DE VENDEDORES 1 a) Número promedio de clientes por turno b) Tiempo promedio de espera por cliente (minutos) c) Tiempo total de espera por turno (a ⫻ b) (minutos) d) Costo por minuto de tiempo de espera (estimado)

2

3

4

50

50

50

50

7

4

3

2

350

200

150

100

$1.00

$1.00

$1.00

$1.00

e) Valor del tiempo perdido (c ⫻ d) por turno

$ 350

$ 200

$ 150

$ 100

f) Costo del salario por turno

$ 70

$ 140

$ 210

$ 280

g) Costo total por turno

$ 420

$ 340

$ 360

$ 380

Debido a que el costo total mínimo por turno corresponde a dos vendedores, la estrategia óptima de la gerente es contratar a 2 vendedores.

Problema resuelto 13-2 Marty Schatz es dueño y gerente de un local de hot dogs y bebidas gaseosas cerca del campus. Aunque Marty puede atender en promedio a 30 clientes por hora (␮), tan solo recibe a 20 clientes por hora (␭). Ya que Marty podría esperar un 50% más de clientes que realmente visiten su tienda, pero para él no tiene sentido alguno tener colas de espera. Marty lo contrata a usted para que le ayude a examinar la situación y para determinar algunas de las características de la cola. Después de estudiar el problema, encuentra que es un sistema M/M/1. ¿Cuáles fueron sus resultados?