Formulas Teoria de Colas Varios Servidores

Investigación Operativa

Teoría de Colas - Fórmulas

tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo) 1/ λ = tiempo medio entre llegadas tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el µ= servidor está ocupado) λ=

1/ µ =

ρ= Pn = Lq = Ls = Wq = Ws =

tiempo medio requerido para prestar el servicio factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado) probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema número medio de unidades en la cola (longitud de la cola) número medio de unidades en el sistema tiempo medio de espera en la cola tiempo medio de espera en el sistema

_

λ = Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema Wq(t)

= Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola

Modelo de Colas Sencillo Para un sólo servidor (s = 1) Para servidores múltiples (s >1)

ρ = λ / µ / µ

ρ = λ / (s. µ)

P0 = 1 – ρ – ρ

s –1

n

s

P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ / µ) / n!] + (λ / µ / µ) } n=0 s!(1 - ρ)

n

Pn = P 0 ρ  _  λ=λ

n

para 0 ≤ n ≤ s

Pn = P0 [(λ [(λ / µ / µ) / n!] n

n–s

Pn = P0 [(λ [(λ / µ / µ) / (s! . s  _  λ=λ

2

)] para n ≥ s

s

2

Lq = λ / [µ [µ . (µ (µ - λ)] = ρ Ls

Lq = [P0 . (λ (λ / µ / µ) . ρ] / [s! (1 - ρ) ]

Ls = λ / (µ (µ - λ)

Ls = Lq + (λ / µ / µ)

W = λ / [µ [µ . (µ (µ - λ)] = Lq / λ / λ

W q = Lq / λ / λ

W s = 1 / (µ (µ - λ) = Ls / λ / λ

W s = W q + (1 / µ / µ)

- t / Ws

W s(t) = e

W q(t) = ρ . e

- t / Ws

- µ.t

s

- t (s – 1 - s . )

ρ 1 + (s.ρ (s.ρ) . p0.(1 – e µ ) s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ s.ρ)

(t ≥ 0)

W s(t) = e

(t ≥ 0)

W q(t) = (sρ (sρ) p0 . e

s

- s µ t (1 - ρ)

s! (1 - ρ)

INGENIERÍA INDUSTRIAL

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Investigación Operativa

Teoría de Colas - Fórmulas

Modelo Básico con una Cola Finita (Nro. de clientes ≤ M) Para un sólo servidor ( s = 1) Para servidores múltiples (s >1)

ρ = λ / µ

ρ = λ / (s. µ)

P0 = 1 - ρ M+1 1-ρ

Si ρ ≠ 1

P0 = 1 M+1

Si ρ = 1

n

Pn = P 0 ρ

n

M

s

n-s

Para cualquier valor de ρ

para 0 ≤ n ≤ M

 _  λ = λ (1 – PM)

Ls =

s

ρ P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ) / n!] + (λ / µ) ∑ } n=0 n=s+1 s!

M+1

ρ - (M+1) ρ M+1 1-ρ 1-ρ

LS = M / 2

Si ρ ≠ 1

n

para 0 ≤ n ≤ s

Pn = (λ / µ) P0 n-s s! s

n

para s ≤ n ≤ M

Pn = 0  _  λ = λ (1 – PM)

para n > M

Pn = (λ / µ) P0 n!

s-1

s -1

Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0

n=0

Si ρ = 1

s

Lq = Ls - 1 + P0

M-s

Lq = P0 (λ / µ) ρ [1 - ρ 2 s! (1 - ρ) M

W s = Ls / [λ (1 - P0 ρ )]

M

W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )]

W s = Ls / [λ (1 - P0 ρ )]

W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )]

M-s

- (M - s)ρ

(1 - ρ)]

M

M

Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada INGENIERÍA INDUSTRIAL

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Investigación Operativa

Teoría de Colas - Fórmulas

Para un sólo servidor ( s = 1) ρ = λ / µ

Para servidores múltiples (s >1) ρ = λ / (s. µ)

M

P0 = 1 / ∑ [ n=0

n

M! ρ ] (M - n)!

n

s -1

M

n

n

Pn = M! ρ P0 (M - n)!

para 0 ≤ n ≤ M Pn = M! (λ / µ) P0 (M - n)! n!

Pn = 0

para n > M

n

para 0 ≤ n ≤ s

Pn = M! (λ / µ) P0 n-s (M - n)! s! s

para s ≤ n ≤ M

 _  λ = λ (M – LS) = µ (1 - P0)

Pn = 0  _  λ = λ (M – LS)

para n > M

Lq = M - (λ + µ ) (1 - P0) λ

Lq = ∑ (n - s) Pn

Ls = Lq + 1 - P0

n

P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ) ] + ∑ [ M! (λ / µ) ] } n=0 n=s n-s (M - n)! n! (M - n)! s! s

M

n=s

s-1

s -1

Ls = [∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn) n=0

W q = Lq / [µ (1 - P0)]

W q = Lq / [λ (M - Ls)]

W s = Ls / [µ (1 - P0)]

W s = Ls / [λ (M - Ls)]

n=0

Otros Modelos de Colas Un solo servidor (s = 1) con entrada Un solo servidor (s = 1) con entrada tipo Poisson y cualquier distribución tipo Poisson y tiempos de servicio 2 del tiempo de servicio constantes (⇒ varianza σ = 0) ρ = λ / µ ρ = λ / µ P0 = 1 - ρ P0 = 1 - ρ n n Pn = P 0 ρ Pn = P0 ρ 2 2 2 2 Lq = λ σ + ρ Lq = ρ 2 (1 - ρ) 2 (1 - ρ) Ls = Lq + ρ Ls = L q + ρ W q = Lq / λ W q = Lq / λ W s = Ls / λ = W + 1/µ  W s = Ls / λ = W + 1/µ 

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