Formulas mecánica de materiales

Esfuerzo cortante máximo en el plano

Carga Axial

Flexión

Esfuerzo Normal

Esfuerzo Normal

P σ = A

 σx − σy  2  + τ xy 2   2

τ max = 

My σ = I

Desplazamiento

σ prom =

Flexión Asimétrica

L

P ( x) dx A( x) E 0 PL δ =∑ AE

δ =∫

σ =−

I M Z y MY z , tanα = Z tanθ + IY IZ IY

Esfuerzo Cortante Esfuerzo cortante directo promedio

δ T = α∆TL

Torsión

P = Tω = 2πfT L

φ=∫ 0

Cilindro TL JG σ1 Esfuerzo Cortante promedio en un tubo de pared delgada Esfera

τ prom

T = 2 AM t prom

T 2 Amt min M Ll ds θ= 2 4 AM G ∫ t M Ll perimetro θ= 2 4 AM G espesor

τ max =

T 2 AM

pr pr ; σ2 = t 2t

pr σ1 = σ 2 = 2t

Transformación de esfuerzos σ x' =

σx +σy 2

+

τ x' y ' = −

σx −σ y 2

σx −σy 2

cos 2θ + τ x y sen 2θ

sen 2θ + τ xy cos 2θ

Esfuerzos principales

Flujo Cortante

q = σ prom t =

=

σ 1, 2 =

σx +σy 2

2

abs

υ=−

Esfuerzos en estanques de pared delgada

φ =∑

σ max − σ min

σ max + σ min 2

Razón de Poisson

VQ q = τt = I

T ( x) dx J ( x)G

τ max =

Reacciones entre Propiedades del material

Esfuerzo cortante transversal Esfuerzo Cortante en una flecha circular VQ Tr τ= τ= It J Flujo Cortante Potencia Angulo de Torsión

2

Esfuerzo Cortante maximo absoluto

σprom =

V A

τ prom =

σx + σy

σ x −σ y   + τ xy ±   2  2

ε lat ε long

Ley de Hooke Generalizada

1 (σ x − υ (σ y + σ z )) E 1 ε y = (σ y − υ (σ x + σ z )) E 1 ε z = (σ z − υ (σ x + σ y )) E 1 γ xy = τ xy G

εx =

Relaciones entre w, V y M dV = − w( x) dx dM =V dx

Curva Elástica 1 M = R EI d4y EI 4 = − w( x) dx d3y EI 3 = V ( x) dx d2y EI 2 = M ( x) dx

Métodos de Energía Energía de Deformación Carga axial constante

Ui =

N 2L 2 AE

Momento flexionante L

Ui = ∫ 0

M2 dx 2 EI

Cortante Transversal L

Ui = ∫ 0

fs =

f sV 2 dx 2GA

A Q2 dA I 2 ∫A t 2

Momento Torsor L

Ui = ∫ 0

T2 dx 2GJ

Vigas Curvas

Torsión de secciones Rectangulares delgadas

A 1 ∫A r dA M (R − r) σ= Ar (r − R) My σ= Ae( R − y ) R=

(Base = a >> altura = b)

3T τ max = 2 = Gϕb ab 3T ϕ= 3 ab G Rigidez Torsional

Flexión Barra Recta L

δ =∫ 0

M ∂M dx EI ∂Fi

Teorema de Castigliano Aplicado A Armaduras  ∂N  L ∆ = ∑ N   ∂P  AE

∆: desplazamiento del nodo de la armadura R: distancia medida desde el centro de P: fuerza externa de magnitud variable curvatura al eje neutro Secciones Compuestas Por Rectángulos Delgados aplicada al nodo de la armadura en la r : distancia medida desde el centro de 3Tbmax dirección de ∆ curvatura al centroide de la sección τ max = N: fuerza axial interna en un miembro 3 transversal ai bi causada por la fuerza P y las cargas en r: distancia medida desde el centro de la armadura Teoría de Fallas curvatura al punto en que va a L: longitud de un miembro Teoría Del Esfuerzo Normal Máximo determinarse el esfuerzo A: área transversa e=( r - R) σ0 =σn E: modulo de elasticidad del material Teoría Del Esfuerzo De Corte Máximo

1 K = ab 3G 3

∑

Torsión de Secciones rectangulares τ max

τ max = τ 0 =

T = k1 ab 2

a/b k1 k2

σ 1 − υσ 2 = ±σ 0

T k 2 ab 3 G

1 1,2 10 0,208 0,219 0,312 0,141 0,166 0,312

2

Teoría De La Deformación Normal Máxima

Ángulo de torsión por unidad de longitud

ϕ=

σ0

Teoría De La Energía De Deformación Máxima, Teoría De Von Mises

σ 0 = σ 1 2 − σ 1σ 2 + σ 2 2 ∞ 1/3 1/3

Teoremas De Energía Teorema de Castigliano

∂U ∂U =δ ; =θk ∂Pk ∂M k

Carga Axial Centrada L

δ =∫ 0

P ∂P dx E ∂Fi

Torsión Barra Cilíndrica

T ∂T dx GJ ∂Fi 0

L

δ =∫

Inestabilidad En Columnas (Pandeo)

Rangos de Análisis 1º) λ≤40 Bloque en Compresión

2º) 40≤λ≤120 Formula de la Secante Formulas empíricas(línea recta y parábola)

∂2 y = P(e + δ − y ( x)) ∂x 2

Solución General  P   P  y = A sen x  + B cos x  + (e + δ ) EI    EI  encontrando las constantes   P  y = 1 − cos x  (e + δ )    EI    Deflexión Máxima   P l  δ = e sec − 1      EI 2   Esfuerzo Máximo  P λz  P ec  σ max = 1 + 2 sec  A  rz  EA 2   Formula de Euler

Pcritica =

π 2 EI l2

P ec  1 + 2  A  rz 

σ max =

Ecuación Diferencial de Vigas Con Excentricidad

Relaciones esfuerzo Deformación (Ecuaciones Constitutivas) Ley de Hooke (para un sólido elástico - lineal isotrópico y homogéneo)

π 2 EA = λ2

Modos de Pandeo

3º) 120≤λ Formula de Euler

Análisis Plástico Principio de los trabajos virtuales

WFext = WF int

Nº de Rotulas Plasticas =Nº de Restricciones – 1

Teoría de Elasticidad Componentes Del Esfuerzo En Un Plano Oblicuo

σ n = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + ... ...2(τ xylm + τ xz nl + τ yz mn )

Esfuerzos Principales

σ P 3 − I 1σ P 2 + I 2σ P − I 3 = 0

2

2

2

I3 =σxσyσz +2τxyτxzτyz −σxτyz −σyτxz −σzτxy 2

l ef = 0,707l

Formula de la Línea Recta

  σ P = σ 0 1 − 0,385 20 λ    A E π   para

40 ≤ λ ≤ 1,732

σ P   = σ 0 1 − 20 λ2  π A 4 E  

para

40 ≤ λ ≤

2π 2 E

σ0

2

τnt =(σ1 −σ2) l2m2 +(σ2 −σ3) m2n2 +(σ1 −σ3) l2n2 2

2

l

π 2E σ0

Formula de la Parábola

2

Esfuerzo de Corte Máximo 2

m

±

1 2

±

1 2

1 2

±

0 ±

1 2

±

1 2

0

2

τmax

n 1 2

±

0

τ xy G

=

2(1 + ν ) τ xy E

 ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0  ∂x ∂y ∂z   ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z   ∂τ xz ∂τ xy ∂σ z + + + fz = 0  ∂x ∂y ∂z 

Condiciones de Borde

Ecuaciones de Compatibilidad

I2 = σ xσ y + σ yσ z + σ xσ z −τ xy −τ yz −τ xz l l ef = 2l 2

γ xy =

fx = σ x l + τ xy m + τ xz n   fy = τ xy l + σ y m + τ yz n   fz = τ xz l + τ yz m + σ z n 

I1 = σ x + σ y + σ z

l ef =

1 (σ x − ν (σ y + σ z )) E

Ecuaciones de Elasticidad Ecuaciones de Equilibrio Ecuaciones de Navier

Invariantes del Esfuerzo

l ef = l

εx =

σ 2 −σ3 2

σ1 − σ 3 2

σ1 − σ 2 2

Con respecto a las direcciones principales

∂ 2ε x ∂  ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy   2 =  − + + ∂y∂z ∂x  ∂x ∂y ∂z   ∂ 2ε y ∂  ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy     2 =  − + ∂x∂z ∂y  ∂x ∂y ∂z   2 ∂ εz ∂  ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy    2 =  + − ∂x∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  

Solución Por Medio De La Función Esfuerzo De Airy Se define φ(x,y), tal que:

∂ 2φ ∂y 2

   2  ∂ φ σ y =  2 ∂x  ∂ 2φ  τ xy = −  ∂ x ∂ y 

σ

x

=

∇ 4φ = 0 Planteamiento del problema de Elasticidad en 2-D (coordenadas polares)

∂σ r 1 ∂τ rθ σ r + σθ  + + + fr = 0  ∂r r ∂θ r  τ rθ 1 ∂σθ ∂τ rθ  + + + = F : 2 f 0 ∑ θ r ∂θ ∂r r θ 

∑F : r

∂µ r ∂r

   µ 1 ∂σ θ  εθ = r +  r r ∂θ  ∂Vθ V  1 ∂µ r + − θ  γ rθ = r ∂θ ∂r r 

εr =

Cilindros de Pared Gruesa

1 1−ν 2 2 3  ρω r  8 r   K2 3 +ν 2 2 σr = K1 − 2 − ρω r  r 8  K2 1+ 3ν 2 2  σθ = K1 + 2 − ρω r  r 8  1 E

µr =  K1(1−ν )r + K2 (1+ν ) −

Solución a problemas de Elasticidad en 2Solución por medio de la función esfuerzo de Airy D

∂ τ xy ∂σ x + = 0 ∂x ∂y ∂σ y ∂ τ xy + = 0 ∂y ∂x  ∂2 ∂2  + 2 ∂y 2  ∂x

  (σ 

x

       + σ y ) = 0 

1 ∂φ r ∂r ∂ 2φ = ∂r 2 ∂ =− ∂r

σr = σθ τ rθ

1 ∂φ  r 2 ∂θ       1 ∂φ       r ∂θ   +

φ = A log (r ) + Br 2 log (r ) + Cr 2 + D