Formulas Geometria

 

 

Geometria Plana

1. Triângulo Relações métricas em um triângulo retângulo

Sejam A( x  x A ,y A), B( x  x B ,y B) e C ( x  xC  ,yC ) três pontos de Em um triângulo retângulo qualquer: 

 A

* a 2 = b2 + c2 b

• 

n D

 

 D =  x B  y B    x C 

2 * h = mn   * ah = bc  

B

a

*  D = 0 ⇔  A A, B e C  são  são colineares;  são vértices de um triângulo *  D ≠ 0 ⇔  A A, B e C  são 1 cuja área S  é  é dada por: S = | D |   2

Área de um triângulo  A b

h

1 1 , tem-se que:  y C   1

 x A  y A  

* b = ma   * c 2 = na  

m  

 

2

c h

C 

um plano obtido porcartesiano. Sendo D o determinante

• 

Teorema dos senos ( ou  ou lei dos senos)  A

α  

b

S  =  = bh

2

C

B

a

α

S  = ab senα      sen

 

2

b

c

 A

a

O

 A

β

c

 R

b

c

b

 R

γ

  a

 B

senα

=

b sen β

=

c sen γ 

= 2 R  

C 

O

a  

 B

C 

p ( p − a) ( p − b)( p − c)

S=

 B

  a

C 

,  p = a  + b + c   2

S  =

abc

4 R

• 

 

Teorema dos cossenos ( ou  ou lei dos cossenos)  A

 A

c

r 

α

S = pr  ,

O

em que  p =

a  + b + c

2

c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos γ  β  B

 B

C 

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β   

 

r  a  

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α 

b

c

b

  r 

  a

γ

C 

 

 

• 

Diagrama de inclusão dos quadriláteros

Teorema da bissetriz

Interna

Externa

Quadriláteros

 A

α

Trapézios

 A

 Losangos

 Retângulos

β

α

Paralelogramos

β

Quadrados  B

 B

C 

C   pé da bissetriz interna

S 

S 

 pé da bissetriz externa

 AB = AC     BS CS 

 AB = AC     BS CS 

  3. Polígonos

2. Quadriláteros • 

Áreas dos quadriláteros notáveis

 A 1

Trapézio

β1

Paralelogramo

b

 An a

h

b α6  

a

S  =

α3 α4

 B

( B + b ) h 2

α1

αn

h

 

 A 2 β3

α2

βn

b

Em um polígono convexo de  n lados:

β2

 A 3 β4

β6

n ( n − 3)

2

* a soma dos ângulos internos é Si = ( n − 2 )180°   * a soma dos ângulos externos é S e  = 360°  

* cada ângulo interno é α =

S i

* cada ângulo externo é β =

S e

 A 5

n

=

=

( n − 2 )180° n

360°

n

Losango

Retângulo

Quadrado  



a

b

b

 

Áreas das partes do círculo Coroa circular

Setor circular



 R

  

 D

a

S = a ⋅b  

• 

Círculo

d 

S  =

 d ⋅D

2

 

 

n

4. Círculo 



 

Em um polígono regular de n lados:

 A 4

α5

β5

 A 6

S = a⋅h  

* o número de diagonais é  d  =

 R

 S  =  =  

2

 R

O α R

r 

  2 * S = π R   * C = 2π R  

C 

S  =

CR  

2

=

α R 2

2

, α  em radianos 

(

S  = π  R 2 − r 2

) 

 

 

 

• 

Geometria Espacial

Ângulos em um círculo Ângulo central ( α ) e

1.

Ângulo excêntrico exterior

Ângulo excêntrico interior

ângulo inscrito ( β )

Prisma  base

Em um prisma qualquer:  * o volume é V = ( área d da ab ba ase ) × ( altura )  

P

P

 D

 A

β

 D

β

* a área lateral ( A )  é a soma das áreas das faces laterais * a área da base ( A B )  é a área de apenas uma base * a área total é  AT = 2 AB + A  

aresta lateral

C 

 A

α

O

aresta da base

C 

α

 base

 B

 A

 

 B

B  AB + CD   

α=

( ) 

α = 2β = med AB

  

 

 

2

 

• 

 AB − CD  

  

β=

 

2

Prismas particulares Cubo

 P é

interno

d  a

Conseqüência importante

externo

  * Diagonal de uma face: d  =  = a 2   * Diagonal do cubo:  D =  D  = a 3   * Volume: V   = a 3   * Soma das dimensões: a +  b + c   * Soma das arestas: 4a +  4b + 4c   * Área total:  AT  = 2(ab  + ac + bc)   * Diagonal:  D = a 2  + b 2 + c 2   * Volume: V   = abc  

a

Paralelepípedo reto-retângulo  A

a

a

P

 B

 A

b

C  P  

b c  D

d  c

B

b

( PA) ( PB ) = ( PC ) ( PD )  

2

b

 D

c

( PA) ( PB ) = ( PC ) ( PD )  

 

b C 

 D

* Área total:  AT   = 6 a 2

a

 D

a

Potência de um ponto P em relação a uma circunferência

 P é

* Área lateral:  A  = 4 a 2  

a a

• 

* Área da base:  A B   = a 2  

a

 

a+c =b+d

  

2.

2

* Relação importante: ( a + b + c ) = D + AT   

a

Cilindro circular reto r 

r 

2πr 

 A  = 2πrh

g=h

 

2πr 

  * Área da base:  A B =  πr 2  

r 

  r (r + h)   * Área total:  AT  = 2π

* Volume: V  =  A B h = πr 2 h  

h=g

 

  * Área lateral:  A =  2πrh

* Diagonal: d  =  = a 2   a

a

a

a

 

a

3. Pirâmide Em uma pirâmide qualquer: 

V 

apótema da pirâmide

altura

aresta lateral

1 ⋅ A ⋅h   3  B * a área lateral ( A )   é a soma das áreas das faces laterais * a área total ( AT  )  é  AT = AB + A   * o volume é V =

4.

Cone circular reto raio do setor circular  g g

g

g

h

raio da  base

 A = πrg r 

apótema da base r 

aresta da base

• 

 

Sólidos importantes  * Área da base:  A B   =

Tetraedro regular

a

 

a

 H 

3

4

 

Em qualquer cone circular reto:  *

g 2 =  h 2 + r 2  

3a 2 3   * Área lateral:  A  = 4

* a área da base é  A B =  πr 2  

* Área total:  AT   = a 2 3  

5.

a a

a2

* Volume: V   =

Esfera

a3

2

12

 

O

* Área total:  AT  = 2a  2 3  

Octaedro regular

* Volume: V   =

* a área lateral é  A  = πrg   * a área total é  AT  = π  r (r + g )   1 * o volume é V  = πr 2 h   3

6

* Altura:  H   = 3   a

2πr 

a3

2 3

  • 

Partes da esfera

 R

* Área da superfície esférica:  A =  4π R 2   4 * Volume da esfera: V  =  π R 3   3

 

 

Cunha esférica

e

Fuso esférico

 A

e

 A Cunha esférica

Calota esférica é só a superfície

Fuso esférico

 R

h

 R

O

r 

O

O

    θ

Zona esférica é só a superfície

 R

O

 R  

θ

 R

 R

 B

2π ∼ 4 π R 3 3 θ ∼ S 

 

⇒ V  =

( volume da cunha )

2θ R3 , 3

θ  em radianos Segmento esférico de duas bases e

 B

2π ∼ 4π R 2 ⇒ S = 2θR 2 , θ ∼ S  ( áreadofuso ) θ  em radianos Segmento esférico de uma base e

* Área (S ): ): S  =  2π Rh

* Área (S ): ): S  =  2π Rh    

6. Razão de semelhança semelhança de dois sólidos e

V 

Quando dois sólidos S 1  e S 2  ( como são semelhantes de

V'  h

~

r 

r 1

h O

 D

O r 

h r 2

C 

 D'  O' 

(S 1)

7.

B' 

(S 2)  B

πh

6

[3( r 12 + r 22 ) + h 2 ]  

* Área (S ): ): S = 2πRh + πr 21 + πr2 2     Calota esférica

* Volume (V ): ): V  =

πh   3r 2 + h 2  

6

(

* Área (S ): ): S = 2πRh + πr 2    

Zona esférica

)

aresta lateral

altura

* a razão entre dois elementos lineares quaisquer é k   * a razão entre as áreas correspondentes é k 2   * a razão entre os volumes é k 3  

Tronco de pirâmide de bases paralelas  base menor 

* Volume (V )):: V  =

C' 

 A'

O  A

os da figura) razão linear k  

h

 base maior 

Sendo  Ab  a área da base menor,  A B  a área da  base maior,  A   a área lateral, h  a altura e V   o volume do tronco, tem-se que: * a área lateral  A  é a soma das áreas das faces laterais * a área área total é  AT  = A B  +  Ab +  A   * o volume é V  =

h

3

 

 A  +  A +  A  A

(

 B

b

 B

b

)

h

 

 

8.

10.  Teorema de Pappus-Guldin

Tronco cone de revolução de bases paralelas g

e r 

*  ÉV  =vantagem aplicaro acentro fórmula de   2πdS   quando gravidade da figura é de fácil determinação. *  Em qualquer triângulo, o centro de gravidade é o seu baricentro. *  Em qualquer quadrado, losango ou  paralelogramo, o centro de gravidade é a intersecção das suas

r 

geratriz altura

2π R

g

h

2πr 

G

g

Figura plana de área S 

 R

 R

Superfície desenvolvida do tronco

Sendo  Ab  a área da base menor,  A B  a área da base maior,  A  a área lateral, g a geratriz, h  a altura e V   o volume do tronco, tem-se que: *  Ab =  πr 2   *

 A =  π R 2

Seja S  a  a área de uma figura plana. Ao girar essa figura plana (de  360o) em torno do eixo e, obtém-se um sólido de revolução. Demonstra-se que o volume desse sólido pode ser calculado pela fórmula V  =  2πdS . Sendo G o centro de gravidade da figura, d  é  é a distância do ponto G à reta e.

*  A = π g ( R + r )   *  AT  = A B  +  Ab +  A  

  h3 ( A

* V  =

 B

) π 3h ( R 2 + r 2 + Rr )  

+  Ab +  A B Ab   =

 

 B

11.  Poliedros Poliedro convexo

Em um poliedro convexo com faces, V  vértices  vértices e A arestas:

9. Princípio de Cavalieri Princípio de Cavalieri para áreas d 2

d 1

s

r 

as intersecções da reta s como as figuras F 1  e  F 2 ), então as figuras F 1  e F 2  são

equivalentes (têm áreas iguais).

O princípio de Cavalieri S 1

S 2

β  A1

 

A2

α

"Sejam S 1  e S 2  dois sólidos apoiados sobre um mesmo plano α . Se todo  plano β , paralelo a , secciona S 1   e S 2   segundo figuras planas equivalentes ( A1  =  A2 ) , então os sólidos S 1  e S 2  têm volumes iguais."

 F

* V − A + F  = 2   * S = (V  − 2) 360° , em que S  é  é a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo 

"Sejam F 1   e F 2   duas figuras planas apoiadas sobre uma mesma reta r . Se toda reta s, paralela a r , determina em F 1   e F 2   segmentos d 1   e d 2   congruentes (os segmentos d 1  e  d 2  são

F 2

F 1

*  diagonais. Em qualquer polígono regular, o centro de gravidade é o centro da circunferência inscrita (ou circunscrita).

Classificação  Poliedros de Platão (há apenas 5 poliedros de Platão): • 

* tetraedros * hexaedros * octaedros * dodecaedros * icosaedros

Um poliedro é de Platão somente se: 1o) todas as suas faces são polígonos com o mesmo número de lados; 2o)  em cada um de seus vértices concorre concorre o mesmo número de arestas; 3o) é Euleriano.

 

 

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular somente se: o

1 ) todas as a s suas faces são polígonos regulares e congruentes 2o) possui todos os ângulos poliédricos congruentes

Observações importantes

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

*  São os poliedros de Platão com todas as faces formadas por polígonos regulares *  "Todo poliedro regular é de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é regular."