Formulas de Propagacion de Incertezas

 

PROPAGACIÓN DE I NCERTEZAS  Sean

 A

=  A  ± ε  A  y  B =  B  ± ε  B  los resultados de dos mediciones, es decir que son dos intervalos:

Si queremos hacer una cuenta con  A y  B, por ejemplo  A+B, el resultado no será un único número ya que  A es todo un intervalo de valores y  B también. En consecuencia  A+B será el intervalo de todos los resultados que se pueden obtener si uno hace la cuenta con todos y cada uno de los valores de  A y  B. Es decir que, en general, cualquier operación que hagamos con  A y  B nos dará como resultado un intervalo y ese intervalo lo expresaremos como un valor representativo ± una incerteza. Para esto aplicaremos las siguientes reglas:  El valor representativo de una operación es el resultado de efectuar dicha operación con los valores representativos. Por ejemplo:  A +  B  =  A +  B  



 Las incertezas para las distintas operaciones se obtienen a partir de las siguientes



fórmulas:

 Suma: ε  ( A +  B ) =  ε  A + ε  B  Resta: ε ( A −  B ) =  ε  A + ε  B







 Producto: e( A. B)  = eA + eB ⎛  A ⎞  Cociente: e⎜ ⎟ = eA + eB   ⎝  B ⎠  Potencia: e( A  R ) =   R .eA con  R ∈ ℜ  





Las fórmulas para Suma y Resta son exactas. En cambio, las fórmulas para Producto, Cociente y Potencia son aproximadas  y dichas aproximaciones son válidas si las incertezas relativas de las mediciones son “pequeñas”. Pero… ¿de dónde salen estas fórmulas para las incertezas? La idea que aplicaremos para demostrarlas es la siguiente: Sabemos que el resultado de una operación entre  A y  B (llamémoslo C ) es un intervalo:

Y consideraremos que el valor representativo de C  (o  (o sea C  ) se obtiene al hacer la cuenta con los valores representativos de  A  y de  B. C    es el punto medio del intervalo C . La incerteza absoluta de C   ( ε   C  ) es la distancia que hay desde el punto medio del intervalo hasta cada uno de los extremos, es decir: ε C  = C  −  C  =  C  − C    Entonces, para cada operación entre  A  y  B calcularemos la diferencia entre el máximo valor posible del resu result ltad adoo ( C ) y el val valor repr repres esen enttat ativ ivoo de C   (( C  ) y eso nos dará la ε C  . máx

máx

mín

 

Suma: Tenemos

 A

=  A  ± ε  A  y  B =  B  ± ε  B  y deseamos calcular:

C  =   A +  B  

El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: C  =  A +  B   Veamos ahora cuál es el máximo valor posible de la suma de  A  y  B, es decir

C máx

. Al sumar dos

números, cuanto mayor sea cada uno de ellos mayor será el resultado. Entonces: C  =  A  + B   pero  A  A  (o sea el punto medio del intervalo de  A más lo que le tengo que sumar para llegar al extremo =  A   + ε  superior del mismo) y  B =  B  + ε  B   máx

máx

máx

máx

En consecuencia:

C máx

=  Amáx +  Bmáx  =   A + ε  A +   B + ε B   123 123  Amáx

Ya tenemos ε C 

C   y Cmáx

. Como

ε C 

 

Bmáx

= C máx   − C  , sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos.

 ⎞ ⎛  ⎟ ⎜  A  B  B  A  B   = C máx − C  =  A + + + − + ε  ε    244  144  3 ⎜ 123 ⎟ = ε  A + ε  B +  A +  B −  A −  B = ε  A + ε  B   C  ⎝  C   ⎠ máx

Tenemos finalmente lo que queríamos: ε 

( A +  B ) = ε  A + ε  B   1 2 3 C 

máx

 

Resta: Tenemos

 A

=  A  ± ε  A  y  B =  B  ± ε  B  y ahora deseamos calcular:

C  =   A −  B  

El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: C  =   A −  B   Veamos ahora cuál es el máximo valor posible de la diferencia entre  A y  B, es decir  A

 B

C máx

. Al efectuar la

 A

 B

diferencia C  entre=dos será mayor cuanto mayor sea   y cuanto menor sea .    B Entonces:   −  A , el= resultado  A =  B   − ε    + ε A  y  B   A  números − B pero máx

máx

En consecuencia:

mín

C  máx

=

mín

máx

 A máx

−  B mín =

 A + ε  A 123  A máx

Ya tenemos ε C 

C   y Cmáx

. Como

ε C 

− 

( B −

ε  B

) =   A −  B   +

1 424 3

 

ε  A

+ ε B  

B mín

= C máx  − C  , sólo nos falta hacer la diferencia entre ambos.

 ⎞ ⎛  ⎟ ⎜  B  A  B  A  B ε  ε    = C máx − C  =  A − + + − −   244  144  3 ⎜ 123 ⎟ = ε  A + ε  B +  A −  B −  A +  B = ε  A + ε  B   C  ⎝  C   ⎠ máx

Tenemos finalmente lo que queríamos: ε 

 B ) = ε  A + ε  B   ( A −3 1 2 C 

 

Producto: Tenemos  A =  A  ± ε  A   y  B =  B  ± ε  B  y deseamos calcular: C  =  A.  B . Por ejemplo, podríamos pensar que este es el cálculo de un área. El valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: C  =  A.  B . Esto correspondería al área de un rectángulo de lados  A;  B

Veamos ahora cuál es el máximo valor posible del producto entre  A y  B, es decir C  . Para esto uno debería analizar distintos casos:  A>0 y  B>0;  A>0 y  B0  y  B>0  donde dice

  y donde dice

 B  

Si dividimos ahora ambos miembros de la ecuación por el módulo del valor representativo de obtenemos:  A.  B  B ε   A. ε  B ε C     A . ε  ε  = + +  

C  

 puedo poner

 B

 A   puedo

poner

 A

. ε C 

C 

 Notemos ahora dos cosas:

ε C 

C 

= ε  A.  B +   A   . ε  B + ε  A. ε  B  

C 

C 

= eC   y por otra parte

C 

=

C 

 A.  B 

=

 A .  B

 

Entonces tenemos: eC  =

.  B +  A .  B

 A ε 

 A . ε  B  A .   B

+

.   A ε  B  A ε  B ε  ε  = + + ⋅ = eA + eB + eA. eB    A .  B  A  B  A  B

 A   ε  B ε 

Aquí efectuaremos una aproximación: supondremos que las incertezas relativas de  A y  B son “pequeñas” con lo cual consideraremos que el último término es despreciable frente a los otros dos. Por ejemplo: si  A y  B  tienen una incerteza del 10% cada una entonces eA =  eB  e B = 0,1 ; con lo cual eA. eB   = 0,01 y eso es 20 veces menor que eA + eB = 0,2 . Observación: si miran de dónde viene cada término, notarán que esta aproximación equivale a decir que el área del rectangulito en rojo ( ε  A  .  ε B ) de la figura anterior es mucho menor que la suma de las áreas de los rectángulos azul y verde ( ε  A. B   +   A. ε B ). Entonces, despreciando este último término frente a los otros dos, obtenemos lo que queríamos demostrar:  ⎞

⎛ 

e⎜ .  B ⎟ {⎟ ⎜  A

⎝ 

C 

 ⎠

= eA + eB  

Comentario: ahora que tenemos las fórmulas para la suma y el producto podríamos haber demostrado la fórmula para la resta pensando a la diferencia entre  A y  B de la siguiente manera:  A −  B

=  A + −

 B

( 1.  )   Entonces: ε ( A −  B) = ε  A + ε (− 1. B ) = ε  A + − 1.  B e(− 1.  B )   14 4  244  3 ε 

( −1.  B )

1) +  eB aplicando la fórmula para el producto, nos queda que: Como − 1.  B = −   B =  B y e(− 1.  B )  = e1 (2 −3 0 ε 

( A −  B) = ε  A + − 1. B e(− 1.  B )  = ε   A +  B eB = ε  A  +  B

 B ε 

= ε  A + ε B

 B

Que es efectivamente la fórmula que dedujimos para la resta. En este caso, como la e(− 1)  = 0  no haría falta ninguna aproximación y la fórmula es exacta.

 

Cociente: Tenemos

 A

C   = =

=  A  ± ε  A  y  B =  B  ± ε  B  y deseamos calcular:

 A  B

 

Uno podría aplicar aquí la misma idea que en la demostración para el caso del producto efectuando la misma aproximación. Otra forma de demostrar la fórmula de propagación de incertezas en un cociente es  pensarlo como un producto y aplicar la fórmula f órmula del producto:  A 1 =  A ⋅    B

 B

Con lo cual sólo tenemos que ver cuál es la incerteza de

1

 B

.

Como siempre, el valor representativo se obtiene realizando la operación con los valores representativos: ⎛  1  ⎞ 1 ⎜ ⎟=   ⎝  B ⎠

 B

Veamos ahora cuál es el máximo valor posible de

1  B

1 , es decir ⎜⎛   ⎞⎟

⎝  B ⎠ máx

. Para esto uno debería analizar los

distintos casos posibles:  B>0;  B0 y puede verificarse haciendo lo mismo para los otros casos que la fórmula que se obtiene para la incerteza es la misma. El inverso multiplicativo de un número positivo es mayor cuanto menor sea dicho número. Entonces: 1 1 1 ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞   ε  ⎜  B ⎠⎟ =  B  pero  B =  B −  B . En consecuencia: ⎜⎝  B ⎠⎟ =  B     =  B − ε B   ⎝  123 mín

máx

máx

mín

mín

 Bmín

1  ⎞ ⎛  1  ⎞ Ya tenemos ⎜ ⎟   y ⎛  ⎜ ⎟ ⎝  B ⎠

⎝  B ⎠ máx

  . Como

ε 

⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ , sólo nos falta hacer la diferencia entre ⎝  B ⎠ ⎝  B ⎠ máx ⎝  B ⎠

ambos. ε 

 B 1 1  B − ( B − ε  B )  B −  B + ε  B ε  ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞   − = = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = ⎝  B ⎠ ⎝  B ⎠ máx ⎝  B ⎠  B − ε  B  B  B. ( B   − ε  B )  B. ( B − ε  B )  B. ( B − ε  B )

Multiplico ahora a ambos miembros de la ecuación por:

 1  1  B

ε 

1  ⎞⎟ ⎜⎛  B ⎝   ⎠ = 1

 B ε 

(

 B.   B

− ε  B )

ε 

1 = 1  B

 B

 Notemos ahora dos cosas: como

⋅

 B>0 

 B ε 

⎛  B ε  B ⎞  B. ⎜ − ⎟  B  B  ⎠ ⎝ 

entonces donde dice

⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎜ ⎟ ε ⎜ ⎟ ε ⎜ ⎟ ε ⎜ ⎟ ⎝  B ⎠ = ⎝  B ⎠ = ⎝  B ⎠ = ⎝  B ⎠ = e⎛  1  ⎞  y por otra parte ⎜ ⎟ 1 1 1 ⎝  B ⎠ ⎛  1  ⎞ ⎟ ⎜  B  B  B ⎝  B ⎠

Entonces nos queda:

=

 B ε   B

=

 B   ε   B

 B ε 

⎛  ε  B ⎞  B. ⎜1 − ⎟ ⎝   B  ⎠  B

= eB  

 

  puedo poner

 B

  y entonces:

 

⎛  1  ⎞ ⎟= ⎝  B ⎠

e⎜

 B  ε 

⎛  ε  B ⎞ ⎟  B . ⎜1 − ⎜  B ⎟ ⎝   ⎠

=

 B ε   B .

(1 − eB )

 

Ahora efectuaremos la misma aproximación que para el producto: consideraremos que la incerteza relativa de  B  es “pequeña”, esto quiere decir que es mucho menor que 1: eB