Formulario

 

 NST TUTO TECNOLÓG CO DE AGUASCAL ENTES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FORMULARIO BÁSICO DE MATEMÁTICAS SUPERIORES

UNIDAD COSIO EDICIÓN FEBRERO – JUNIO 2009

 

ÍNDICE

Geometría

1

Trigonometría

2

 Números  Núme ros Complejos Complejos

6

Geometría Analítica del Espacio

6

Reglas Generales de Derivación



Ta!las de "ntegrales

#

$ectores

1%

"ntegrales &últiples

1'

(órm)las &iscel*neas

16

Ta!la de Trans+ormadas de ,aplace

1-

 

NSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES 2004

FORMULARIOS BÁSICOS

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS Geometr! r 

$ol)men =   '% π r % 2

.rea de la /)per+icie

r  = ' π   r 

  r 

$ol)men = π r 2 h h

.rea de la s)per+icie lateral = 2 π rh   r 

$ol)men = 1% π r 2 h h

.rea de la s)per+icie lateral

2

l

2

= π r r + h = π r l  

$ol)men = 1% π   h( a 2 + a b + b2 ) = π  ( a + b ) h 2 + ( b  − a ) 2 .rea de la s)per+icie lateral = π  ( a + b ) l 

a

l

h

b

Departamento de Cen!a" B#"!a"

$

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

Tr"#o$ometr!

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNCIONES DE UN ANGULO

=1 Cos  x Sec  x = 1 Ta Tan n  x Cot   x = 1

Sen  x Co sec  x

Tan  x

=

Sen  x Cos  x

Cot   x

=

Cos  x Sen  x

Identidades Pitagóricas : Sen2 x + Cos 2 x

=1

= 1 − Cos 2 x Cos  x = 1 − Sen2 x 1 + Ta Tan n 2 x = Sec 2 x 1 + Cot 2 x = Co sec2  x Sen  x

Suma o diferencia de 2 ángulos : Sen (α  ± β )

= Sen α  Cos β  ± Cos α  Sen β  Cos ( α  ± β ) = Cos α  Cos β  Sen α  Sen β  Ta Tan n α  ± Tan Tan β  Ta Tan n (α  ± β ) = 1 Tan Tan α  Ta Tan n β 

Cot  ( α  ± β )

=

Cot  α  Cot  β  1 Cot  α  ± Cot  β 

Sen α  + β  + γ  0

= Sen α  Cos β  Cos γ   + Cos α  Sen β  Cos γ   + Cos α  Cos β  Sen γ   − Sen α  Sen β  Sen γ   Cos α  + β  + γ  0 = Cos α  Cos β  Cos γ   − Sen α  Sen β  Cos γ   − Sen α  Cos β  Sen γ   − Cos α  Sen β  Sen γ  

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES Identidade s  trigonomét ricas  del  ángulo  doble :

= 2 sen  x cos  x cos 2 x = cos2  x − sen 2  x cos 2 x = 2 cos2  x − 1 cos 2 x = 1 − 2 sen 2  x sen 2 x

tg 2 x

=

Cot  2 x

=

2 tg  x 1 − tg 2  x Cot 2 x − 1 2 Cot   x

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:

Departamento de Cen!a" B#"!a"

2

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

sen %α  = % sen α  − ' sen % α  cos %α  = ' cos% α  − % cos α  % tg α  − tg % α 

tg %α  = c tg %α  =

1 − % tg 2 α  c tg % α  − % c tg α  % c tg 2 α  − 1

Identidades de ángulo cuádruple: sen 'α  = - cos% α  sen α  − ' cos α  sen α  cos 'α  = - cos ' α  − - cos 2 α  + 1 ' tg α  − ' tg % α 

tg 'α  =

1 − 6 tg 2 α  + tg ' α  c tg ' α  − 6 c tg 2 α  + 1

c tg 'α  =

' c tg % α  − ' c tg α 

Generalizando, para cualquier mltiplo de ángulo: !teorema de "oi#re$ C 2 cosn − 2

cosn

cos n

α  =

α  −

sen nα  =

C ' cosn − '

sen2

α  α  + − n cosn 1 α  senα  − C n% cos n

n n −%

C 6 cosn −6

sen '

α  α  − α  sen% α  + C n4 cos

n n −4

sen6

333

α  α  + α  sen4 α  − 3333

donde : r 

C n

=

n n − r 0 r 

Identidade s  trigonomét ricas del  ángulo  mitad : sen cos tg

cot

 x 2  x 2

=± =±

 x 2  x

=± =±

2 1 − cos  x 1 + cos  x 1 + cos  x 1 − cos  x

= =

1 − cos  x 2 1 + cos  x 2 1 − cos α  sen α  1 + cos α  sen α 

= =

sen α  1 + cos α  sen α  1 − cos α 

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES

Departamento de Cen!a" B#"!a"

+

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

:

Sen (α  + β )

+ Sen ( α  − β ) = 2 Sen α  Cos β  Sen ( α  + β ) − Sen (α  − β ) = 2 Cos α  2 Cos β  Cos ( α  + β ) + Cos (α  − β ) = 2 Cos α  Cos β  Cos ( α  + β ) − Cos (α  − β ) = −2 Sen α  Sen β  α  + β  α  − β  Sen α  + Sen β  = 2 Sen Cos 2

Sen α 

Sen β 

−

2 Cos

α  − β 

Sen

2 sen α  ± β 0 cos α  cos β 

=

tg α  ± tg β  = tg α  + c tg β  = c tg α  ± c tg β  =

α  + β 

2

2

cos α  − β 0 cos α sen β  α  ± β 0 sen α  sen β 

± sen

α  + β  α  − β  Cos 2 2 −2 Sen α  + β  Sen α  − β  2 2 cos α  + β 0

Cos α  + Cos β  = 2 Cos Cos α  − Cos β  =

c tg α  − tg β  = sen α  cos β 

% &P'%SI() *% +) - +).I() " %*I)/% 0 /'

!del mismo ángulo$:

sen α  =

1 − cos 2 α 

=

cos α  =

1 − sen 2 α 

=

tg α  =

sen α  1 − sen 2 α 

c tg α  =

sen α 

1 + tg 2 α  1

=

1 + c tg 2 α  c tg α 

=

1 + tg 2 α  cos α 

1

=

1 − cos 2 α 

=

1 − sen 2 α 

tg α 

=

cos α  1 − cos α  2

1 + c tg 2 α  1 c tg α 

=

1 tg α 

sec 2 α  − 1

= =

sec α  1 sec α 

=

=

sec 2 α  − 1

=

=

1

=

sec α  − 1 2

=

1 cos ec α 

cos ec 2α  − 1 cos ec α  1 cos ec 2α  − 1 cos ec 2α  − 1

PRODUCTO DE FUNCIONES

Departamento de Cen!a" B#"!a"

4

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

[ cos α  − β 0 − cos α  + β 0] cos α  cos β  = 12 [ cos α  − β 0 + cos α  + β 0] sen α  cos β  = 12 [ sen α  − β 0 + sen α  + β 0] sen α  sen β  sen γ  = 1' [ sen α  + β  − γ 0 + sen  β  + γ  − α 0 + sen γ  + α  − β 0 − sen α  + β  + γ 0] sen α  cos β  cos γ  = 1' [ sen α  + β  − γ 0 − sen  β  + γ  − α 0 + sen γ  + α  − β 0 − sen α  + β  + γ 0] sen α  sen β  cos γ  = 1' [ − cos α  + β  − γ 0 + cos  β  + γ  − α 0 + cos γ  + α  − β 0 − cos α  + β  + γ 0] cos cos α  cos β  cos γ  = 1' [ cos α  + β  − γ 0 + cos  β  + γ  − α 0 + cos γ  + α  − β 0 + cos α  + β  + γ 0] sen α  sen β  =

1 2

POTENCIAS DE FUNCIONES sen 2 α  = 12 1 − cos 2α 0 cos 2 α  = 12 1 + cos 2α 0 sen % α  = 1' % sen α  − sen %α 0 cos% α  = 1' cos %α  + % cos α 0 sen ' α  = 1- cos 'α  − ' cos 2α  + %0 cos ' α  = 1- cos 'α  + ' cos 2α  + %0 sen ( − A) = − sen A cos ( − A) = cos A tan ( −  A   ) =  −  tan A

,as le5es sig)ientes son validas para c)al)ier tri*ng)lo plano A7C de lados a8 !8 c 5 de *ng)los A8 78 C3

Le% &e 'o( (e$o( a

sen A

=

b

sen B

=

c

sen C 

 ,

Le% &e 'o( )o(e$o(

b

c

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cosC  

.

,os otros otro s lados 5 *ng)los est*n relacionados en +orma simi similar  lar  a

Le% &e '!( t!$#e$te( a +b

1

tan 2 ( A + B)  = 1 a − b ta n 2 ( A − B ) ,os otros otro s lados 5 *ng)los est*n relacionados en +orma simi similar  lar  1

N*mero( Com+'e,o( /iendo p )n número real c)al)iera8 c)al)iera8 el teorema de De &oivre esta!le esta!lece ce )e  p

[ r( cosθ + i sen θ ) ] =  r p ( cos pθ + i sen pθ ) Departamento de Cen!a" B#"!a"

,

  In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

/ea n c)al)ier entero positivo po sitivo 5  p = 1 n 8 entonces 1

 

[ r( cosθ + i senθ ) ] n =   r 

1

n

  θ + 2 k π n

[ cos

+ i sen

θ + 2 k π n

]

 

donde 9 es )n ent donde entero ero pos posit itiv ivo3 o3 De a)í se p)eden p)eden o!tener o!tener las n  raíce raícess n:;simas distintas de )n número   8 n −1 complejo =

si a < =

du

+ a ∫ u b + ∫ 

a + bu du

2 u a + bu In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

  ∫ ( a udu + bu)  

2

 

  +

  b2 ( a + bu bu )

du

∫ u( a + bu )

a

=  2

1

=

  −

    a( a +  bu bu)

1

ln a + bu bu

b

 

1

ln

a2

∫ u

+C  

a + bu u

  a + bu d u =

n

∫

+ C 

2

[

  u   n ( a + bu ) b( 2n + %)

%

2

− na  ∫ u n −1

2 na u  n −1 du − (   = b 2 n + 1)   a + bu a + bu du b(  2 n − %) du   a + bu   = −   −     1) u n −1 a + b a ( n − 1) u n −1 2 a ( n    − u n a + bu 2 u n  a + bu bu   b( 2 n + 1)

u n du

∫ 

      a2      a a bu 2 ln a bu   = + − − + ∫ ( a + bu ) 2 b %    + C  ∫  a + bu     2 % 2 2 u a + budu = 14b ( %bu − 2a ) ( a + bu) + C   u 2 du

∫ ∫  udu   

1

=

2

2 a + bu   %b

a+b

∫ 

( bu − 2a ) a + bu bu

∫ ax

dx 2

+ bx + c

=

2 ' ac − b

2

2 ax + b

tg −1

'ac − b 2

− 'ac    + C  2 b − ' ac    

 2ax + b − ln = ∫ ax 2 + bx + c b 2 − 'ac   2ax + b + dx

∫ ax

 xdx 2

b2

1

+ bx + c

2

 x dx

=

 x

1 2a b

lnax 2

+ bx + c0 −  

b

2a ∫ ax b

2

2

dx 2

 + bx + c

− 2ac

dx

∫ ax + xbxdx+ c = a −  x2a lnaxc + bx  x+ c0dx+ 2a b ∫ ax x  +dxbx + c ∫ ax + bx + c = m − 10a − a ∫ ax + bx + c − a ∫ ax  + bx + c 2

2

2

m −1

m

2

m−2

 

2

m −1

2

2

   x 2   b dx    = ln − ∫  xax 2 + bx + c0 2c  ax 2 + bx  + c    2c ∫ ax 2  + bx + c  ax 2  + bx + c   1 b 2 − 2ac dx b dx    = − + ln ∫  x 2 ax 2 + bx + c0 2c2    x 2      cx 2c 2 ∫ ax 2 + bx + c dx

∫  x ax n

dx 2

+ bx + c0

1

=−

n − 10cx

dx

∫ ax + bx + c0  xdx ∫ ax + bx + c0 2

2

2

2

=

n −1

−

b

dx

∫

  

n −1

c  x

ax

2

+ bx + c0

2 ax + b   + c0  ' ac3 − b 2 0 ax 2 + bx bx + 2c

=−

 'ac − b 2 0 ax 2

−

a c

∫  x

2a 'ac − b 2 b

dx n−2

ax  

2

+ bx + c0

dx

∫ ax  + bx + c dx − ∫  + bx   + c 0 'ac − b ax  + bx + c +

2

2

2

2c dx − 2ac 0 x + bc + ∫ ax 2 + bx + c02 a'ac + b 2 0ax 2 + bx  + c0 'ac − b 2 ∫ ax 2  + bx + c   m−2  x m −1  m − 10 c  x dx  n − m 0b  x m −1dx − =− +  2 n − m − 10 a  ax 2 + bx + c 0 n −1   2n − m − 10 a ∫  ax 2 + bx + c 0 n  2n − m − 10 a ∫  ax 2  + bx +  x 2 dx

∫

1

 x m dx  ax 2 + bx + c 0 n

b 2

 x 2 n − %dx c  x 2 n − %dx b  x 2 n − 2 dx 1 = − − a  ax 2 + bx + c 0  n −1 a  ax 2 + bx + c 0 n a  ax 2  + bx + c 0 n  ax 2 + bx + c 0 n dx 1 dx dx = − b +1 2 2 2   2 2 2  x  ax + bx + c 0 2c  ax + bx + c 0 2c   ax + bx + c 0 c  x  ax   + bx + c 0 dx 1 %a dx 2b dx

∫ ∫

 x 2 n −1dx

=

∫  x ax 2

2

∫

∫ ∫

+ bx + c 0 2 = − cx  ax 2 + bx + c0 −

Departamento de Cen!a" B#"!a"

$$

c 

∫ ∫ 

∫ ax  

2

+ bx + c0 2 −

c

 

∫  xax   + bx + c0 2

2

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

∫  x

dx m

+ bx + c0 n

 ax 2

=−

1  m − 10cx m −1  ax 2

= 21 u − 1' se  n 2u + C cos2 u du  = 21 u + '1 se  n 2u + C  

sen 2 u du

tan 2 u du  =   tan u  − u

∫  ∫ cot

 

+ bx + c0

∫ tan

%

u du

1 %

= 

+ C 

∫ tan

tan   2 u +  ln cos u

cot % u du  = − 12 cot 2 u − ln ln sen u

∫  x

 m−2

 ax 2

+ bx + c 0 n

 m + n − 20b  m − 10c

∫  x

m −1

n

u du

1

=

  

n −1

tan

n −1

u   −

∫ 

∫ tan  

n−2

u du

∫ cot u du  =  n−−11 c ot  u − ∫ cot u du ∫ sec u  du = n 1− 1 tanu s ec u + nn  −− 21 ∫ s  ec u du ∫ csc u  du = n 1− 1 cot u c  sc u + n n −− 21 ∫ c  sc u d  ∫ sen au sen bu du = se2n ((aa−−bb))  u − se2n ((aa++bb))  u  + C  n −1

n

+ C 

+C

−

∫ 

∫ 

( 2 + cos2 u) sen u + C   1 2

  m 10c

∫ 

 

sen % u du  = − 1% ( 2 + sen 2 u) cos u + C  

cos% u du  =

 

dx

csc % u du = − 21 csc u cot u + 12 ln csc u − cot u + C   n  − 1     n −1 sen n u d se  n n− 2 u du u = − n1 sen u cos u + n   n  − 1 n   n− 2   n −1 1 n c o s u d u = co s u s en u + n co  s u du

 

u du =     − cot u   − u + C 

2

 m + 2 n − %0 a

− n −1

 

  = 12 sec u tanu + 21 ln sec u + tanu sec % u du

∫ 

n

n− 2

n−2

n

n−2

n−2

  sen  ( a − b) u sen  ( a + b) u cos au cos bu du du = 2( a − b)  + 2( a + b)    + C 

+C  

co s( a − b) u co s( a + b) u sen au cos bu du = −   − ( 2( a − b) 2 a + b)

n− 2

∫ u

n

 

cos u du = u sen u − n u n

n −1

sen u du

sen n u cosm u du u sen u du = sen u − u cos u + C  

  −1 sen n −1 u cosm+1 u n =−   + se n n − 2 u cosm u du n+m n+m

∫ 

=− u co s u d u = co s u + u s en u + C    

u sen u du = u cos u + n u n

n

−1

sen

−1

cos

∫ tan

−1

−1

u du = u cos

−1

∫ u sen  

u du = u sen

u du

−1

n −1

u + 1− u

2

u−

2

1− u

∫ u cos

cos u du

+C

 

+C

 

2u   2 − 1 −1 u   1 − u 2 s en u + ' '

Departamento de Cen!a" B#"!a"

 

n+m  

∫ 

−1

utan

  2u  2

u du =

−1

u du

+

  −1 m

∫ se  n n+m

−1

u  2'+ 1

=  

2

−1

n

u c o s m − 2 u du

  u   1 − u2

co s u −

tan −1 u −

u 2

+ C 

'

+ C 

 n+1 −1 u n+1du  ∫ u sen u du = n + 1u  sen  u − ∫  1 − u2 8  n ≠ −1 1  n+1 u n+1du  −1 −1 n   ∫ u cos u du = n + 1u  cos  u + ∫  1− u2 8  n ≠ −1 −1

n  

  = u tan   −1u  − 12 ln (1 + u 2 ) + C 

u du =

sen n +1 u cos m−1 u

∫

u n tan −1 u du

1

=

+  n +1 u n 1 du −1 u u tan −  ∫  1 + u 2 n +1 

1

+ $2

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

∫ ue

au

∫ u e n

∫ e

au

  1 du = 2 ( au − 1) e au + C   a

au

 

1

du =

a

sen bu   du =

eau cos bu   du =

∫ 

n

u e

−

au

n

∫ u a  

ln u du = u ln u − u + C   au

e du du

eau

1 2

 

cos< u du = sen< u + C     u + C  ∫ tan< u du =   ln cos<  

2

∫ sec< udu =  ln tan  u + C  ∫ sec< u du   = tanG 5 >GB respectivamente8 mientras )e a 5  ! son las a!scisas a!scisas de los p)ntos > 5 B3 Esta integral tam!i; tam!i;nn se p)ede escri!ir así?

∫    ∫  d 

 g2  y 0

 y = c  x = g1 ( y )

  F ( x 8 y ) dxd dxdy   =

∫     ∫   d 

 g 2  y 0

 y = c

 x = g1 ( y )

 

F ( x 8 y ) dx dy

donde  x = g1  y 0 8  x = g2  y0  son las ec)aciones ec)aciones de las c)rvas H>G 5 >GB respectivamente8 respectivamente8 mie mientras ntras )e c 5 d son las ordenadas de H 5 G3 Estas son las llamadas integrales do!les o integrales de *rea3 ,os anteriores conceptos se p)eden ampliar para considerar integrales triples o de vol)men así como integrales múltiples en m*s de tres dimensiones3  s = st 0 = Departamento de Cen!a" B#"!a"

$4

∫   r ′t 0 dt  t 

a

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

6 

 

Es la longit)d de c)rva correspondiente al intervalo param;trico a 8 t  3 En par*metro ar!itrario?   r ′t 0 t t 0 =  r ′t 0

$ector tangente )nitario

En par*metro s? t  s0

 



$ector normal principal



b t 0  

$ector !inormal ,os vectores )nitarios

t 8 n8 b

Recta tangente en t = Ec)ación vectorial?

r  s0  



r  s0

  r   s0 -r  s0 b  s0 = r  s0

 





r  ′- r  ′′t 0



 

 



 

 +orman )n triedo positivo ( b = t @n 8 n = b @t 8 t = n @b )

 x=′

=

 y  − y=  y=′

=

 z  − z =  x=′

Ec)ación param;trica

( r − r ( t ) ) • (  r ′( t ) xr ′′( t  ) )  = =   =

 

=



 

r  ′-r  ′′t 0

 x − x=

>lano osc)lador ( t 8 n )  en t = Ec)ación vectorial =

=

 

Ec)ación param;trica

=  r ( t = ) + λ  r ′( t= )    

r ( λ)

n  s0

n t   0 =  b   t 0- t  t 0

= r  s0

=

 x − x =

y − y=

z − z =

 x =′

y =′

z =′

 x =′′

y =′′

z =′′

==

C)rvat)ra 5 To Torsión rsión κ ( t ) κ  ( 

=

s)

 r ′( t ) @r ′ ( t )      % r ′( t ) =

 

τ ( t )

=

 r ′( t ) ⋅ (  r ′ ( t ) @r ′′( t )  )   2 r ′( t ) @r ′ ( t )  

r ( s)  

>lano Normal Ec)ación vectorial? ( r − r ( t= ) ) ⋅  r  ′( t=   )  = =

Ec)ación param;trica?

 

>lano Recti+icante ( t 8 b )  en t = Ec)ación vectorial?

( r − r ( t ) ) ⋅ n ( t  )  = = =

=

 x=′ (  x − x= )

+  y=′ (  y − y= ) +  z=′ (  z − z = ) =  =

Ec)ación param;trica?  x : x =

y : y=

z : z =

 x =′

y =′

z =′

 y =′ z =′′ ′′−−  y =′′′′z =′

z =′ x =′′′′ −  z =′′x =′

x =′ y =′′′′ −  x =′′y =′

==

Componentes Tangencial 5 Normal de la Aceleración Departamento de Cen!a" B#"!a"

$,

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

→

a

T 

→ →

=   a ⋅T  =

→

ν    3 a →

ν  → →

→

a =  a 3 '  =  ' 

ν 

→

 x

a

→

ν 

>ropiedades de la Divergencia → →  →  → 0 div   ( 0 ( 0  div   F  i0 div   F  →  → → 0   grad φ   0 •   F   0  φ   div  F  ii0 div  φ    F   → → →  →  → rot  t    ( 0   ] 0   ]  :  F  ( 0  G •   [ rot   F  iii0 div   F    •   [ ro

Frm1'!( m"()e'7$e!( E)1!)"o$e( +!r!mtr")!( &e '! )")'o"&e +!r! t ∈ )    y = a ( 1 − cos t )  x = a ( t  − sen t ) Tr!4!,o 

* =  

Comp b a =   a • b b

  • d r    ∫   F   

b



 

a

Lo$#"t1& &e !r)o &e  y = & ( x )   m=

∫ ∫    ρ ( x8  y ) dA

∫    1 +  y′0 dx b

[ a 8 b] =

e$ 

 

2

a

∫ ∫ 

   +  x =    y ρ    ( x8  y ) dA

 

 +  y

 )

 )



= ∫ ∫     x ρ    ( x8  y ) dA  )

b

Ce$tro &e #r!/e&!& &e 1$! re#"$ +'!$!

 x

=

∫  8 ∫   &   x0dx  x&   x0 dx

a b

 y

=

a

2

1 2

b

∫  ∫   &   x0dx

  2 [  &   x 0 ] dx a b

a

2

dy    dx   dt   , = ∫         +   α    dt      dt    2 2 Mome$to &e "$er)" "$er)"!! &e R re(+e)to !' or"#e$  =  - o = ( x    +   y ) ρ   ( x8  y ) dA   β 

Lo$#"t1& &e !r)o e$ orm! +!r!mtr" +!r!mtr")! )! 

∫ ∫   )

Áre! &e '! (1+er")"e #e$er!&! !' #"r!r '! #r7")!  &   !'re&e&or &e  x S =

b

∫   2π  F  x  0

1+(  &   x 0 )  d x 2

a

5o'1me$ &e' ('"&o &e re/o'1)"$ #e$er!&o !' #"r!r '! #r7")! &e  &   !'re&e&or &e' e,e  y .   =

 

b

∫ 

a

C7')1'o &e' /o'1me$

 

.   =

 

2

 

 π    t  F  1t  0d  t  b

b

∫ 

a

   A1  x 0dx

∫ 

.  = π (  &  ( x ) ) dx

 

 

2

a

E)1!)"$ &"ere$) & "ere$)"!' "!' &e +r"mer or&e$  /ol)ción

 y ′ + P  x 0 y = / x 0

Departamento de Cen!a" B#"!a"

$-

 ye  y e ∫

 P  x 0 dx

= ∫ / x 0e ∫  P  x 0 dx dx + k  In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

E)1!)"$ &e' re(orte :e'")o"&!'  Der"/!&! &"re))"o$!' 

→

t  se en t 8   r  t 0 = cos t 8 s 2π 

 Du &  ( x 8 y 8 z ) 

= ∇& ( x 8 y 8 z ) • )    )  vector )nitario0

E)1!)"$ (!t"(e):! +or '! )!r#! &e 1$ )"r)1"to LRC  F1er.! e,er)"&! +or 1$ '1&o

 F  =

 ,0′′ + )0   ′+

 0 C 

= 1 ( t )

b

∫     γ    y ⋅  , y0dy a

F1er.! ;1e !)t*! (o4re 1$ ';1"&o e$)err!&o e$ 1$ t14o

Departamento de Cen!a" B#"!a"

1

$.

 F = δ A 2 x= g − δ  A 2 x g 

In%& Enr'(e A& S)*a A!o"ta

 

TABLA TA BLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE    s0 L {  &  t  0} =   F 

  &  t 0

1

1

 s

1

t 

 s 2

n 8  s n +1

t n

n  es entero positivo π 

− 12

t 

 s

π 

1

t 2

2 s

%

2

Γ α  + 10 8

α 

t 

 sα +1

α  > −1

k 

 sen kt 

 s 2

+ k 2  s

cos kt 

2

 s 2

 sen kt 

 s  s

2

+ k  2

2k 

2

+ 'k 2 0

 s 2  + 2k 2

2

cos kt 

 s  s 2 'k 2 0 1

e at 

 s − a

k 

 senh kt 

 s 2

− k 2  s

cos< kt 

 s 2

− k 2

2k 2  senh kt  2

− 'k 2 0 2 2  s − 2k   s s 2 − 'k 2 0  s s 2

cos< 2 kt 

1

te at  n

t  e

n

at 

e at  sen kt  eat  cos kt 

e at  sen  senh h kt 

 s − a0 2

 

 

 s − a  0 n +1

 8

n  es entero positivo k 

 s − a 0 2

+ k 2

 s − a  s − a 0 2

+ k 2

k   s − a  0 2

− k 2

 

e at  cos< kt 

 s − a  s − a  0 2 − k 2

 

2 ks

t   sen kt 

+ k 2 0 2  s 2 − k 2  s 2   + k 2 0 2  s 2

t  t    cos kt 

2ks 2

 sen kt  +   kt cos kt 

2

 sen kt  −   kt cos kt 

 s 2

+ k 2 0 2

− k 2 0 2  s 2 + k 2  s 2   − k 2 0 2

 s 2

t  cos< kt 

− ebt  a−b at    bt  ae − be a −b

+ k % 0 2 k  2 ks

t  senh kt 

e

1

at   

 s

− a 0 s − b0  s

 s

− a 0 s − b0 k 2

1 − cos kt 

 s  s

− b2 0 cos bt  − cos at  a 2 − b2  sen kt  senh kt 

+  k 2 0

 s 2  s 2

a sen bt  − b sen at   

+ k 2 0

2  

k %

kt   − −  sen kt 

ab  a 2

2 2

 s

1  s 2

+ a 2 0 s 2 + b 2 0  s

 s

2

+a

2 

0 s 2

+ b2 0

2k 2 s

 sen kt    cos< kt 

 s ' + ' k ' k  s 2 + 2k 2 0

cos kt  senh kt 

 s ' + 'k ' k  s 2 − 2k 2 0

cos kt  kt cos< cos< kt 

 s '

 s %  s '

t 

  − cos kt 0 21 t  21   − cos< kt 0 t 

+ 'k ' 1

 2 =   kt 0   ebt  − eat 

+ 'k '

 s 2  + k 2 ln

ln

ln

 s − a  s − b

 s 2  + k 2  s 2

 s 2  − k 2  s 2

 

a          s   a + b 1  1 arctan + arctan a − b

 sen at 

arctan

t   sen at    cos bt  1

 

π  t 

 s

2

t  e

−a 2

e − a 

' t 

%

2 π  t 

e  −a

2

' t 

  a      2 t   

er&c

 s

e − a 

s

s e − a 

' t 

 s e

2

s

− a 

s

+ b0

be − a   s   s 

s

+ b0

1

δ  t 0

  − − t = 0

δ  t 

e − st =

 

eat   &  t 0   &   t  −   a0 U t   − −  a 0

 F  s    − a 0 −  as e  F  s 0

 

e −  as

 −  a 0 U t  −   n 0

s

 s   s 

2

  &  

s

e−a

 

a   − a er&c         2 t    a     e ab e  b t  er&c b t  +   2 t      a     a   − e ab e  b t  er&c   b t  +  + er&c   2 t       2 t    t    − a 2 e π 

 s

 s

a

2

2

 s  F  s0 −  s n

t 0

 s     &  =0    − 3333 −   &   n −10 =0

n −1

n

n −10

t n  &  t 0 t 

∫   &    0 g t  − =

τ 

 

L (  &  ′) =   s L (  &  ) −   & ( = ) L

 

τ  0 d τ 

d    n  F  s0 ds

 F  s 0(    s0

TRAN/(IR&ADA/ DE DER"$ADA/ % 2     s  > γ  0 L (  &  ′′) =  s L   (  &  ) −  s L   &  ( = ) −  s  &  ′( = ) −  &  ′ ( = )

(  &  ′′) =   s 2 L (  &  )  − s  &  ( =) −  &  ′( =)

L

(  &  ( ) ) =   s  n

n

L

(  &  ) − s  n −1  &  ( =)  − s  n −2  &  ′( =) −  33333 −  &  

TRAN/(IR&ADA DE "NTEGRA,

 t   1 L   &  (τ  ) d τ  = L {  &   ( t ) } ∫    s =

( s > =8 s > γ  )

 

I)S/I/+/0 /%.)0(GI.0 *% G+S.I%)/%S S+1*I'%..I() .*3"I. *%P'/"%)/0 *%P'/ "%)/0 *% .I%).IS 14SI.S 1 4SI.S  #  #55 dolfo dolfo  ópez ópez "at "ateos eos 6 7897, 7897,0te5 0te5 -racc5 1ona Gens .5P5 292; /ell 97 !992, %?t 7