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 Walter Edwin Canaza Trujillo

Matemática Superior  –  Análisis  Análisis Vectorial y Tensorial

TENSORES # comp 

COMPONENTES DE UN TENSOR

A

orden 



 d im 

Z

NOTACION DE INDICES ai x j 

Para ecuaciones de 1er orden



ai x j x k 

Para ecuaciones de 2do orden

A

0 con dimensión “N”  

A

N

0 con dimensión “N” 

C

Y así sucesivamente.

.

TENSOR DELTA DE KRONEKER

 ij

1     0 0 

1 i  j     ij 0 i  j 

0

0

1

0

0

1

E



-



R

TENSOR ALTERNANTE

eijk 

eijk

1 

2

OI

 1 si i , j , k   1, 2, 3 ;  2, 3,1 ;  3,1, 2   1 si i , j , k    1, 3, 2 ;  3, 2,1 ;  2,1, 3  cualqui lquier er otr otro o cas caso  o  0 cua 

i



j j



k  k



i



elmn  li mj nk



R E

1i

1 j

  1k 

 2i

2 j

 2k    

 3i

3 j

  3k 

ALGEBRA TENSORIAL

CI

A

S

U

P

Adición

T

r   r    A   B    s   s 

A M

las condiciones serán que: sean del mismo peso, clase y numero de índices.

A ji i

12

Multiplicación

1



B i j

3 2



C ij ij i

12 3

E

 

T

1 2

A

las condiciones serán que: sean asociativas, distributivas y no conmutativas.

M



ANAZA

Pagina

 Walter Edwin Canaza Trujillo

Matemática Superior  –  Análisis Vectorial y Tensorial

SIMETRÍA TENSORIAL Simetría    ij

:

nmp Aqr



mnp   A qr  

nmp : T A As imetría  ij qr





nmp   A rq  

1    ij  2 Aij  A ji   Aij    ij  T ij    T  1 A  A   ji    ij 2 ij

Z

A A N A C .

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

E

Se cumplirán siempre por las siguientes relaciones:

Tv



det T

;

v



 I 

 



-

0

TENSOR METRICO Y ELEMENTO DE LINEA 2

dS  g g qr   pr

Por tanto:



i

gij du du

j 



gij 

x

 

 p

u

R OI

p 

x 

i

j 

u 

R E

1

 g  g ij    

p   q

ij 

P U

TRANSFORMACIONES

S

 p 

 p 

Transformación por contravarianza

a



u 

A

q 

q 

u 

a 

CI

 p 

Transformación por convarianza

a  p  

u 

q 

u 

T

a q 

A

Tensores de segundo orden

a

i1i 2



u

i1

 j 

i 2

u 

 j 

u  1 u  2

 j1 j 2

a 

a i i  ; 

12



u

 j 1

u

i1

 j 2

u 

i 2

u 

a  j

j 

1 2

a ; 

i 1 i 2



u

i 1

 j 

M

u 

i 

u  1 u  2



T

a  j   j  1

2

De la misma manera se ira generalizando para tensores de 3er, 4to … y n -esimo orden

ANAZA

E

 j 2

Pagina

M

A

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Matemática Superior  –  Análisis Vectorial y Tensorial

TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN Para tensores de 1er orden Ai 

 J t  A  cov ariante  ;

A

i 

A

 J 1  A contra var iante  

Z A

Para tensores de 2do orden

Aij   J t  A  J  ; A ij   J 1  A J 1  

N

t 

A C

TENSORES ASOCIADOS

. E

Estos serán según el tensor q tenga de dato:

Si

 A  A g pj  ij A    A  gip A pj  A  g A pq g ip qj  ij i  j j i

 Aj g A    Aij   Ai j  Aim g    A  g im A g jn    mn    ij

ip

i

;

im

  mj  mj  

-

 

R OI

Algunos casos especiales: Tensor covacontravariante:

Ti

T i j

Tensor contracovariante:

 j

gip T 





pj 

R E

T ip g pj 

P U

SÍMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Símbolos de Christoffel de 1ra clase

Símbolos de Christoffel de 2da clase

ij , k   ij ,k 

S

g jk

g ij     j   k   i 2  u u u   1  g ik 

k  k km     ij  g  ijm ij 

A CI T A

 

M

DERIVADA COVARIANTE

A p ,q Aij,k



A  p  u



q

A ij  u

k

E

 p 



s  s pq

A

; A

n ik

n  jk

p ,q



A 

q 



u 

p  qr 

A

r

 

T

 

A

ij 



Anj



Ain ; A



ij ,k



ANAZA

A 

k 

u 

i

  nk A

nj

j

  nk A  Pagina

in

 

 

M