Formulario Trigonometria Adprevi

 

TRIGONOMETRÍA

 

01 - SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

03 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS  AGUDOS I

GRADOS

9°  = 10 g S  = 9 ⋅ k 

 

S  = C  = 20 R = k  9 10 π   

a 2 + b 2 = c 2  

C  = 10 ⋅ k   R =

π  ⋅ k 

 

α  +  β   = 90°  

20

MINUTOS

27'  = 50m a

27

=

b

50

=  p

Propiedades de la Razones Trigonométricas: Propiedades Razones Ra zones Trigono métricas Recíprocas: senα  ⋅ csc    α  = 1   cos α ⋅ sec    α = 1   tan α ⋅ cot    α = 1  

  a = 27 ⋅  p

b = 50 ⋅  p  

  SEGUNDOS

81'  ' = 250s  x

81

=

 y

250

Nótese: “ángulos iguales”

= 81 ⋅ q    y = 250 ⋅ q

   x

=q  

Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios: Dado: α  + β   = 90° , entonces se verifica: senα   =   cos β    tan α  = cot β    sec α  = csc β   

02 – ARCO Y SECTOR CIRCULAR Longitud de Arco:

Área del Sector Circular:

Razones Trigonométric as de Ángulos Notables: Razones Triángulos Rectángulos Notables Exactos: 30º y 60º : 45º y 45º :

l

r 2  ⋅ θ 

=  θ  ⋅ r 

S=

S=

Observaciones:

l

2

2

S=

2 ⋅ θ 

 l ⋅ r 

Triángulos Rectángulos Notables Aproximados: 37º y 53º : 16º y 74º :

2

Área de un Trapecio Circular:

53/2 º :

AT

B   + b =       ⋅ h   2  

θ  =

37/2 º :

B − b h

Jr. Chancay 869 – A media cdra. De la UNFV

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8º y 82º :

TRIGONOMETRÍA  

Razones trigonométricas cuadrantales:

14º y 76º :

04 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS  AGUDOS II

sen cos tan cot sec csc

0° 0 1 0 ND 1 ND

90° 1 0 ND 0 ND 1

de

180° 0 -1 0 ND -1 ND

ángulos

270° -1 0 ND 0 ND -1

360° 0 1 0 ND 1 ND

 Ángu  Án gulo lo s Coter Co ter mi minal nal es: α  − β  =  k  360°   k  ∈ Ζ +  

(

)

06 - REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Para Para ángulos po sitivo s menores que una vuelta:    RT (90 ° ±   x ) =  ± CORT ( x )    RT ( 270 °  ±  x) =  ± CORT ( x )  

 RT (180 ° ±    x )  = ± RT ( x )    RT (360 °  −  x )  = ± RT ( x )  

 Área  Ár ea de l a regió reg ió n t ririang ang ul ar

Para Para ángulos po sitivo s mayores a una vuelta:  RT ( n ⋅ 360  ° +  x ) =  RT ( x )   A∆ =

a ⋅  c ⋅ sen B

2

 

05 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Razones trigonométricas de ángulos en posición normal:

Para Para ángulos negativos : sen ( −θ     ) =  − senθ    tan( −θ )  =  − tan θ    cot( −θ )  =  − cot θ    csc( −θ )  =  − csc θ 

cos( −θ   )  = cos θ  sec( −θ   )  = sec θ     

  OBS: Se aplican los signos del IV cuadrante

07 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA r  =

senθ  = cos θ  =

 y r   x  

r  Observación:  

tan θ  = cot θ  =

   x 2 +  y 2

 y  x  x    y

Líneas Trigono métricas:   Líneas Línea Seno: Línea Coseno: Coseno :

r   x r  csc θ  =    y

sec θ  =

y : cateto opuesto x : cateto adyacente r : hipotenusa

Signoss de la R.T. Signo R.T. en en cada cuadrante: cu adrante: y SEN CSC

 

Intervalos del Seno Seno y el Coseno: Sin restricciones: Seno

TODAS

− 1 ≤  sen   θ  ≤ 1  

Coseno

− 1 ≤  cos   θ  ≤ 1  

x TAN COT

COS SEC

OBS: Intervalos cerrados.  

Telf: 304 - 3897

¡Éxitos en tu examen!

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Según Según el cuadrante: I II III IV

Seno 

Coseno 

0 < sen    θ  < 1   0 < sen    θ  < 1   − 1 <  sen   θ  < 0   − 1 <  sen   θ  < 0  

0 < cos    θ  < 1   − 1 <  cos   θ  < 0   − 1 <  cos   θ  < 0   0 < cos    θ  < 1  

09 - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL  ARCO COMPUESTO Identidades Básicas: sen(α  ±  β ) = senα      ⋅  cos β    ± cosα  ⋅ senβ   

OBS: Se aplican los signos de cada cuadrante,

cos(α  ±  β ) = cos α  ⋅  cos β     senα   ⋅ senβ   

intervalos abiertos.

tan(α  ± β ) =

Coordenadas en la CT:

( x0 ; y  0 ) = (cos   θ ;  sen θ )   Coordenadas Opuestas:

Coordenadas Ortogonales:

tan α  ± tan β  1  tan α  ⋅ tan β   

Identidades Auxiliares:   2   − sen2 β  sen(α  +  β ) ⋅ sen(α   −  β ) = sen α 

 

  2 cos(α  +  β ) ⋅ cos(α  −   − sen2 β       β ) = cos α 

tan α  + tan β  + tan (α  +  β    )  ⋅ tan α  ⋅ tan β  = tan (α  +  β )   Si α + β + θ = 180° → 

tan α  + tan β  + tan θ     = tan α  ⋅ tan β  ⋅ tan θ 

08 - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL MISMO ARCO

  Si α + β + θ = 90° → 

tan α  ⋅ tan β  + tan β  ⋅ tan    θ  + tan α  ⋅ tan θ  = 1  

Identidadess Reciproc as: Identidade Si α + β = 45° →       

   θ  = 1   sen θ  ⋅ csc cos θ  ⋅ sec    θ  = 1   tan θ  ⋅ cot    θ  = 1  

Identidades por Cociente:

tan θ   =

sen θ    cos θ 

cot θ   =

cos θ    sen θ 

Identidades Pitagóric Pitagóric as:  

sen 2θ  +  cos   2 θ  = 1  

 

tan 2 θ   + 1 =  sec 2 θ   

 

cot 2 θ   + 1 =  csc 2 θ   

Identidades Auxiliares:   2 2 sen 4θ  + cos 4 θ  =   1 − 2sen θ  ⋅ cos θ      2 2 sen 6θ  + cos 6 θ  =   1 − 3sen θ  ⋅ cos θ    tan θ  + cot θ    = sec θ  ⋅ csc θ      2 2 sec 2 θ  + csc 2 θ    = sec θ  ⋅ csc θ   

(1 ± sen θ   ± cos θ )2 = 2 (1 ± sen θ )(1 ± cos θ )   =  tan 2 θ  ⋅ sen 2θ    tan 2 θ  − sen 2θ    2 2 cot 2 θ  − cos 2 θ    = cot θ  ⋅ cos θ   

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tan α  + tan β  +  tan   α  ⋅ tan β  = 1  

10 - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL  ARCO DOBLE DOB LE Identidades Básicas: sen2θ  = 2   sen   θ  ⋅ cosθ 

2  2 cos 2θ  = cos   θ  − sen θ   

 

2 tan θ 

= tan 2θ 

1 − tan 2 θ   

Degradación De gradación Cuadrática:   2 2sen θ  = 1 −  cos 2θ    Identidades Especiales: 2 tan θ  sen2θ  = 1 + tan 2 θ   

  2 2 cos θ  = 1 +  cos 2θ   

cos 2θ  =

1 − tan 2 θ  1 + tan 2 θ   

Identidades Auxiliares: cot θ  + tan   θ   = 2 csc 2θ  cot θ  − tan   θ   = 2 cot 2θ      tan 2θ    sec 2θ  + 1 = sec 2θ  − 1 =  tan   2θ  ⋅ tan θ    tan θ  sen4θ  + cos4  θ   = 3 + cos 4θ    4   5 + 3 cos 4θ  6 6  sen θ  + cos θ  =   8

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11 - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL  ARCO MITAD MITA D

sen

tan

tan tan

θ  2 θ  2

  1 − cosθ  =± 2

=±

cos  

1 − cosθ 

cot

1 + cosθ   

θ    1 − cosθ  2 θ  2

=

θ  2

cot

senθ   

= csc   θ  − cot θ 

θ  2

14 – RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Ley de Senos: a

    1 + cosθ  =± 2

=±

senA

 

1 + cosθ 

cot  

2

=

= csc   θ  + cot θ   

c =  2 RsenC   c

senB

=

2 R  

2 R  

senC 

Ley de Cosenos: Cosenos:

  3 4 sen  x = 3senx   − sen3 x   3   3 cos 3 x = 4 cos   x − 3 cos x    4 cos  x = 3 cos  x + cos 3 x 

 

3 tan x − tan 3  x

a

2

b

2

2

2

= b +  c − 2bc cos A  

cos  A =

b 2  + c 2 − a

=

a

2

2

+  c − 2ac cos B  

c = a +  b − 2ab cos C    2

2

2

cos B =

cos C  =

2

 

2bc a  + c − b 2

3

1 − 3 tan 2  x

= 2 R  

asenB = bRsenA  

sen3 x = 3 senx − 4sen  x

tan 3 x =

senC 

=

2 R  

senθ   

12 - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL  ARCO TRIPLE TRIPL E  

c

=

b =  2 RsenB   b

=

senA

b senB

a =  2 RsenA   a

1 − cosθ   

θ    1 + cosθ  2 θ 

=

2

2

 

2ac 2 2 a  + b − c

2ab

2

 

 

Ley de Proyeccio Proyeccio nes: a = b cos  C    + c cos B   b = a cos   C    + c cos A   c = a cos   B  + b cos A  

sen3 x = senx(   2 cos 2 x + 1)

cos 3 x = cos x  ( 2 cos 2 x − 1)  

 2 cos 2 x + 1  tan 3 x = tan x    2 cos 2 x − 1 

15 – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

sen3 x = 4senx ⋅ sen(60    ° −  x ) ⋅ sen(60° +  x )

Seno

Coseno

cos 3 x = 4 cos x ⋅ cos(60     ° −  x ) ⋅ cos(60° +  x ) tan 3 x = tan x ⋅ tan (60     ° −  x ) ⋅ tan (60° +  x )   x

13 – TRANFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

>   De suma a product o:  A  B   A  +  B     A  + B  senA + senB = 2sen  cos   2 2        

  A  +  B     A  + B    sen   2     2      A   +  B    A  + B    cos A + cos B = 2 cos   cos   2     2      A   +  B    A  + B  cos A − cos B = −2 sen sen     2     2   senA − senB = 2 cos

 f  ( x  ) = cos x  

 f  ( x  ) = sen  x  

Dom = ℜ  

Ran =  [−1; 1]  

A = 1  

Propiedad:  f  ( x) = ± A ⋅ RT      (B ⋅ x) + C     2π   periodo =   B desfasamiento vertical   =C 

= A   A amplitud      =

16 – ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

De produ cto a suma:  x >  y  

nx = k (180 °) + (− 1) ⋅ (VP )    

k 

2senx cos y = sen( x  +  y ) + sen( x −  y )  

Seno:  

2 cos xseny = sen( x +   y ) − sen( x −  y )   2 cos x cos y = cos( x   +  y ) + cos( x −  y ) 

nx = k    (360 Coseno:     °) ± (VP )   Tangente:   nx = k    (180   °) + (VP )  

− 2 senxseny =  cos( x +  y   ) − cos( x −  y )  

Telf: 304 - 3897

T = 2π   

VP: valor principal (ángulo más cercano a cero)

¡Éxitos en tu examen!

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Porque te ayudamos a cumplir tus metas, siempre para arriba.

¡¡¡COMPROMETIDOS CON TU INGRESO!!!

Prof. Johan Traverso V.

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