Formulario Resumen de Algebra Lineal

FORMULARIO DE ALGEBRAL LINEAL

•

Una matriz cuyas componentes son todas cero se denomina matriz cero.

•

Si A es una matriz de nxm , B es de mxp y C es de pxk , entonces

CAPITULO 1 RESUMEN: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

•

Un vector reglón de n componentes es un conjunto ordenado de n números denominados escalares, escritos como

•

() •

( x1 , x2 , … , x n )

Si A y B son matrices de mxn, entonces

A+B y ∝ A(∝ un escalar )

.

o

o .

•

Un vector cuyas componentes son todas cero se denomina vector cero. La suma de vectores y la multiplicación por escalares está definida por.

a 1 +b1 a +b= a 2 +b2 y ∝ a= ⋮ a n +bn

∝ a1 ∝ a2 ⋮ ∝ an

( ) ()

tanto A ( BC ) como ( AB ) C son matrices de nxq

son matrices

de mxn.

. LEY DISTRIBUTIVA PARA MULTIPLICACION DE MATRICES:

La componente de ij de

A+B es a ij +b ij

Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos como

x1 x2 ↓ xn

•

•

A ( BC )= ( AB ) C y

La componente de

•

ij de ∝ A es ∝ aij

El producto escalar de dos vectores de n componentes es:

Si todos los productos están definidos, entonces.

A ( B+C )= AB + AC y ( A+ B ) C= AC + BC •

La matriz de coeficientes de un sistema lineal.

a11 x 1 +¿ a12 x 2 +¿ a 21 x 1 +¿a 22 b x 2 +¿ b1 ⋯ +a1 n x n ¿ b 1 n b a . b= ( a1 , a 2 , … , a n ) . 2 =a 1 b1 +a 2 b 2 +…+a n b n =∑ ai bi ⋯ +a 2 n x n ¿ b 2 i =1 ↓ ⋮ bn ¿ ¿ a m 1 x 1 +¿ a m2 x 2 +¿ ¿ PRODUCTO DE MATRICES: ⋮ ⋮ ⋮ ¿=b +anm x n n • Sea A una matriz de mxn y B una matriz de nxp. ⋯ Entonces AB es una matriz de mxp y la componente de ¿ ¿ ij de AB= ( reglon i de A ) .(columna j de B)

()

Es la matriz:

n

•

¿ ai 1 b1 j +ai 2 b 2 j +…+a¿ b nj= ∑ aik b kj

Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de mn números arreglados en m reglones y n columnas.

a 11 a12 ⋯ a1n a a ⋯ a2 n A= 21 22 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a mn

(

)

a 11 a12 ⋯ a1n a a ⋯ a2 n A= 21 22 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a mn

(

k =1

•

En términos, los productos de matrices no son conmutativos: es decir, casi siempre ocurre que

AB ≠ BA

)

.

LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES:

•

El sistema lineal anterior se puede escribir utilizando la matriz aumentada.

(

a 11 a 12 ⋯ a 1n ⋮ b1 a 21 a 22 ⋯ a 2n ⋮ b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮⋮ a n1 a n2 ⋯ a mn ⋮ b n

•

)

•

El proceso de aplicación de operaciones elementales con reglones a una matriz se denomina reducción por reglones. La eliminación de Gauss-Jordan es el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante la reducción por reglones de la matriz aumentada a la forma escalonada por reglones, usando el proceso descrito en la pagina 9.

•

•

La solución para un sistema lineal homogéneo diferentes de la trivial, se denomina soluciones no triviales. El sistema lineal homogéneo anterior tiene un número infinito de soluciones si tiene más incógnitas que ecuaciones.

(n>m)

También se puede escribir como Ax=b, donde.

•

() ()

x1 x = x 2 y b= ↓ xn

b1 b2 ↓ bn

•

• •

•

Una matriz está en la forma escalonada reducida por reglones si se cumplen las cuatro condiciones dadas en la página 13 Una matriz está en la forma escalonada por reglones si se cumple las tres primeras condiciones de la pagina 13.

•

•

Un pivote es el primer componente diferente de cero en el reglón de una matriz.

o

Multiplicar el reglón i de una matriz por

c =R i → cR j , donde ces ≠ 0 Multiplicar el reglón i por c y sumarlo al reglón

o

j=R j → R j +cR i

Permutar los reglones

i y j : Ri ← → R j

.

• .

Un sistema lineal que tiene una o más soluciones se denomina consistente. Un sistema lineal que no tiene solución se le denomina inconsistente. Un sistema lineal que tiene soluciones cuenta con, ya sea, una solución única o un numero infinitos de soluciones.

La matriz identidad

nxn , I n

, es la matriz de n

x n con unos en la diagonal principal y ceros en otra

• •

I n se denota generalmete por I .

Si A es una matriz cuadrada , entonces AI=IA=A

La matriz A de n x n es invertible si existe una matriz −1

A de nxn tal que :

A A−1 = A−1 A=1

Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema lineal de la forma:

a11 x 1+¿ a 12 x 2 +¿a 21 x 1 +¿ a 22 b x 2 +¿ ⋯ +a 1n x n ¿0 ⋯ +a 2 n x n ¿ 0 ⋮ ¿ ¿ a m 1 x 1 +¿ a m2 x 2 +¿ ¿ ⋮ ⋮ ⋮ ¿=0 +anm x n ⋯ ¿ ¿

Las tres operaciones elementales con reglones son:

o

•

parte,

• •

La eliminación de Gauss es el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones reduciendo por reglones la matriz aumentada a la forma escalonada por reglones y utilizando la sustitución hacia atrás.

Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial ( o solución cero)

x 1= x 2 =⋯ = x n=0

En este caso la matriz

• •

A−1

se llama inversa de A.

Si A es invertible, su inversa es única.

Si A y son matrices invertibles de n x n , entonces AB es invertible:

I.

Se escribe la matriz cuadrada aumentada.

( A∣T ) II. III.

Se reduce A por reglones a la forma escalonada reducida por reglones. Si la forma escalonada reducida por reglones −1 de A es I, entonces sera la matriz

A

a la derecha de la raya vertical punteada.

Si la forma escalonada reducida por reglones de A contiene un reglón de ceros, entonces A no es invertible.

•

La matriz de

(

2 x 2 , A=

)

a 11 a12 es invertible si y solo si . a 21 a 22

t

si A es invertible , entonces ( A−1 ) = ( A−1 ) • •

, en cuyo

Una matriz cuadrada A es simétrica si

(

)

•

Sea A una matriz de nxn, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

I.

A es invertible

II.

o

La única solución al sistema homogéneo AX=0 es la solución trivial (x=0).

III.

El sistema Ax=b tiene una solución única

IV.

A es equivalente por reglones a la matriz

j+¿c R i se multiplica el reglon i de I por c y se suma al reglon j : c ≠n-vector b. para cada R¿

Dos matrices A y B son equivalentes por reglón si, A se puede transformar en B reduciendo por reglones.

identidad de nxn,

o

P ij se permutan los reglones i y j.

Sea A una matriz de nxn. Si AB=I o BA=I , entonces A −1 es invertible y B=

• Si

A= ( a ij ) , entonces la transpuesta de A , es denotada por

At =( a ij )

At

.Esto es,

•

, esta dad por

At

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si el producto de matrices elementales.

•

Si todas las sumas y los productos están definidos y A es invertible, entonces.

( At ) = A ⋮ ( AB )t = B t At ⋮ ( A+ B )t = At + Bt

.

detA ≠ 0

(por ahora, detA está

definido solo si A es una matriz de 2x2). Cualquier matriz cuadrada se puede escribir como el producto de matrices elementales y una matriz triangular superior.

VII.

Suponga que la matriz invertible A se puede reducir por reglones a una matriz triangular superior sin realizar permutaciones. Entonces existen matices únicas L y U, tales que L es triangular inferior con unos en la diagonal, U es una matriz superior invertible y A=LU.

E = P0

La forma escalonada por reglones de A tiene n pivotes.

VIII.

MATRIZ DE PERMUTACION:

•

In

A se puede escribir como un producto de matrices elementales.

VI.

FACTORIZACION LU:

HECHOS SOBRE LA TRANSPUESTA:

t

V.

se obtiene

intercambiando los reglones y las columnas de A.

•

Sea cualquier matriz mxn. Entonces existe una matriz permutación P tal que PA=LU, donde L y U son como en la factorización LU. En términos generales, P, A y U no son únicas.

TEOREMA DE RESUMEN:

o

A

•

.

c R i se multiplica el reglon i de I por c : c ≠ 0

1 a 22 −a12 A−1= detA −a 21 a11

•

At = A

Una matriz elemental es una matriz cuadrada que se obtiene llevando a cabo exactamente una operación con reglones sobre la matriz identidad. Los tres tipos de matrices elementales son:

caso:

•

FACTORIZACION PA=LU:

•

El determinante de

A , detA=a11 a 22 −a12 a 21 ≠ o

t

es una matriz de permutación

elemental. Un producto de matrices permutación elementales se denomina matriz de permutación.

Existe una matriz permutación P, una matriz triangular inferior L con unos en la diagonal, y una matriz triangular superior invertible U, tales que PA=LU.

CAPITULO 2 RESUMEN: DETERMINANTES

•

El determínate de una matriz de 2x2,

(

A=

)

a 11 a 12 esta dado por. a 21 a 22

•

determinan te de A=detA=∣A∣=a 11 a 22 −a12 a 21

Si A=LU es una factorización LU de A , entonces

detA= •

Determinante de 3x3.

detU =± detU detP

•

la matriz A de nxn es invertible si y solo si detA

≠0

(

)

∣

∣ ∣

∣∣

∣

n

detA=a i1 Ai1 +a i2 Ai2 +…+a ¿ A ¿ =∑ a ik Aik •

detA=det

TEOREMA BASICO:

a 11 a 12 a13 a a a a a a det a 21 a 22 a23 =a11 22 23 −a12 21 23 + •21 Si 22 A es una matriz de nxn, entonces: a 32 a 33 a 31 a 33 a31 a 32 a 31 a 32 a33

At

•

.

•

detAB=detAdetB.

•

Si A es invertible, entonces detA

≠0

y:

k=1

El menor ij de la matriz A de nxn, denotado por

M ij

, es la matriz de (n-1) x(n-1) obtenida al

det A−1=

n

detA=a 1j A1j +a 2j A2j +…+a nj A nj =∑ a kj A kj

eliminar el reglón i y la columna j de A.

1 adjA detA

k=1

•

El cofactor ij de A, denotado por

Aij

•

esta dado Para i=1,2,…n y j=1,2,…, n.

por :

Aij= (−i )

componente ij es

i+ j

det M ij

•

DETERMINANTES DE NXN:

, el cofactor ji de A.

Si cualquier reglón o columna de A es vector cero, entonces detA=0.

•

Si

detA ≠ 0 A−1=

Si cualquier reglón (columna) de A se multiplica por un escalar, entonces detA se multiplica por c.

, entonces A es invertible y:

1 adjA detA

Sea A una matriz de nxn. entonces.

n

•

detA=a 11 A11 =a12 A12 +…+a 1n A 1n= ∑ a1k A1k k =1

La suma anterior se denomina la expansión de detA por cofactores en el primer reglón.

•

A ji

Es decir, el determinante de A se puede obtener expandiendo en cualquier reglón o columna de A.

•

•

Sea A una matriz de nxn. La adjunta o adjugada de A , denotada por adjA, es la matriz de nxn cuya

Si A es una matriz de nxn, triangular superior, triangular inferior o diagonal, cuyas componentes en la diagonal son

a 11 , a 12 , … , a nn

detA=a 11 a 22 …a nn

•

•

, entonces.

•

Si A y B son dos matrices de nxn que son iguales excepto por la columna j (reglón i) y C es la matriz que es idéntica a A y B excepto que la columna de j (reglón i) de C es la suma de la columna de j de A y la columna j de B (reglón i de A y reglón i de B), entonces detC=detA+detB. El intercambio de cualesquiera dos columnas o reglones distintos de A tiene el efecto de multiplicar detA por -1. Si cualquier reglón (columna) de A se multiplica por un escalar y se suma a cualquier otro reglón (columna) de A, entonces detA no cambia. Si un reglón (columna) de A es un múltiplo de otro reglón (columna) de A, entonces detA=0.

TEOREMA DE RESUMEN:

•

Sea A una matriz de nxn. Entonces las siguientes siete afirmaciones son equivalentes.

I. II. III. IV.

A es invertible La única solución al sistema homogéneo Ax=0 es la solución trivial (x=0). El sistema Ax=b tiene una solución única para cada vector n-vector b. A es equivalente por reglones a l matriz identidad de nxn,

In

.

V.

Una representación de un vector tiene su punto inicial

A es el producto de matrices elementales.

en el origen y se denota por

VI. VII.

La forma escalonada por reglones de A tiene n pivotes

detA

≠0

•

•

≠0

sea A una matriz de nxn con detA

Donde

R (¿¿ 2) ¿

Un vector v en el plano xy

•

terna ordenada de numero reales (a,b,c). El vector 3 cero en es el vector (0,0,0).

R

•

∣u+v∣≤ ∣u∣+∣v∣ •

•

manera: si v=(a,b)[(a,b,c)] , entonces una

¿⃗

, donde R=(a,b)

•

•

⃗ PQ

dos segmentos de recta dirigidos en

• Si v es un vector en

DEFINICION GEOMETRICA DE UN VECTOR: de v es un angulo en

•

Un vector en

R oR

3 es el conjunto de todos los

segmentos de recta dirigidos en

R2 o R3

equivalentes a un segmento de recta dirigido dado.

Donde

.

son

•

R2

∣u∣=1

R2 o R3 . En

R2

es un vector un vector

u= ( cosθ ) i+ ( senθ ) j

. Si v=(a,b,c) , entonces

∣v∣= √ a 2 +b 2 +c2

equivalentes si tienen la misma magnitud (longitud) y dirección.

2

sean i=(1,0,0), j=(0,1,0) y k=(0,0,1);

Un vector unitario u en

, está dada por

∣v∣= √ a 2 +b 2

segmento de recta que va de P a Q.

•

R3

unitario se puede escribir como:

Si v=(a,b) , entonces la magnitud de v, denotada por

∣v∣

R2 o R3

En

que satisface

3

el segmento de recta dirigido que se extiende de P 2 3 a Q en denotado por es el

R oR

sean i=(1,0), y j=(0,1) ; entonces v=(a,b) se

v=ai +bj+ck

[R=(a,b,c)].

•

R2

puede escribir como v=ai+bj.

]

representación de v es

R oR

En

Las definiciones geométricas y algebraicas de un 2 3 vector en se relacionan de la siguiente

R [R

obtenida al reemplazar la columna de j de A por el vector columna de b.

CAPITULO 3 RESUMEN: VECTORES EN

R2 o R3

entonces v=(a,b,c) se puede escribir como:

es el determinante de la matriz

2

En

es un par

R

D1 D D , x 2= 2 , … , x n= n detA detA detA Dj

DESIGUALDAD DEL TRIANGULO:

ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se llaman componentes del vector v. El vector cero 3 es el vector (0,0). En , un vector v es una

. Entonces la

solución única al sistema Ax=b está dada por:

x 1=

.

DEFINICION ALGEBRAICA DE UN VECTOR:

.

REGLA DE CRAMER:

¿⃗

, entonces la dirección

[ 0,2 π ]

Sean

θ

es la dirección de u.

u= ( a1 , b 1 ) y v=(a 2 , b 2)

: entonces

el producto escalar o producto punto de u y v , esta denotado por u.v , esta dado por:

u.v=a 1 a 2 +b 1 b 2

, que forma

cualquier representación de v con el lado positivo del eje x. Si

u= ( a1 , b 1 , c 1 ) y v=(a2 , b 2 , c 2)

entonces:

u.v=a 1 a 2 +b 1 b 2+c 1 c 2

•

La dirección de un vector v

R3



es el vector

u ×v

es ortogonal tanto a u como a v

unitario:

•

φ

El ángulo

2

R oR

3 es el único numero en [0,

π



v u= ∣v∣

entre dos vectores u y v en ] que

son paralelos si y solo si

satisface:

cosφ=

•

u.v

•

Dos vectores en

a b c , cosβ= , cosγ= ∣v∣ ∣v∣ ∣v∣

son paralelos si el

π

. Son paralelos si uno

es un múltiplo escalar del otro.

2

Dos vectores en

R oR

π 2

ángulo entre ellos es

•

se

son ortogonales si el

. Son ortogonales si y solo

•

u=a 1 i+b 1 j+c 1 k y v=a 2 i+b 2 j+c 2 k

Sean u y v dos vectores deferentes de cero en 2 3 .La proyección de u sobre v es un

proy v u

∣

sea

u.v v ∣v∣2

proy v u=

Es escalar

u.v ∣v∣

la dirección de v.

P =( x 1 , y 1 , z 1 ) y Q= ( x 2 , y 2 , z 2 ) R3

.Sea

a= x 2− x 1 , b= y 2 − y 1 y c= z 2− z 1

ECUACION VECTORIAL DE UNA RECTA:

¿⃗ =⃗ OP +tv

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ: ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA:



u × 0=0 × u=0



u × v=−v × u



( αu ) × v=α ( u × v )



u × ( v+w ) =( u× v ) +(v × w)



( u × v.w )=u.(v × w)

{

, que está definido

por:

area del

v= ( x 2− x 1 ) i +( y 2 − y 1 ) j +( z2 − z 1 ) k

i j k u × v= a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c2

R oR

vector, denotado por

Sean

dos puntos sobre una recta L en

si su producto escalar es cero.

•

es el angulo entre u y v , entonces

Sea

∣

u × v=0

paralelogramo con lados u y v.

, entonces el producto cruz o el producto vectorial de u y v , denotado por uxv, esta dado por:

3

φ

Si

∣u× v∣=∣u∣∣v∣senφ=¿

llaman cosenos directores de v.

R2 o R3

ángulo entre ellos es 0 o

•

•

Sea v=(a,b,c) , entonces

cosα=

∣u∣∣v∣

Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v

x= x 1+at y= y 1 +bt z= z1 +ct

ECUACIONES SIMETRICAS DE UNA RECTA:

x− x 1 y− y 1 z− z 1 = = a b c

se llama la componente de u en

producto escalar)

(el triple

•

Sea P un punto en

R3

y sea n un vector dado

diferentes de cero; entonces el conjunto de todos los

y

puntos Q para los que

R

plano en

⃗ PQ . n=0



constituye un

.El vector n se llama vector normal

tal que para todo



Si

x ∈V



ax +by+cz=d



Donde:

Si x,y están en V , entonces x+y=y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

Si

x ∈V y α

αx ∈V

•







Si

x+ y ∈ V 

y

y ∈V



, entonces

Si

x ∈V y α, β

Si

x ∈V y α, β

asociativa de la suma de vectores).

El espacio

 •

es un escalar,

•

(primera

{matrices de mxn con

El espacio n

Un subespacio H de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que es en si un espacio vectorial. Un subespacio no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos siguientes reglas se cumplen:



El espacio

Si

x∈H

y∈H

, entonces

(segunda ley



x∈H

R = { x1 , x2 , … , x n } : xi ∈ R

, entonces

para cada escalar

son escalares, entonces (ley asociativa de la

Si

• •

αx ∈ H

α

Un subespacio propio de un espacio vectorial V es un subespacio de V deferente de {0} y de V. Una combinación lineal de los vectores

v 1 , v2 , … , v n

i= { 1,2,… n }

y

x+ y ∈ H

son escalares, entonces

x ∈ V , 1x= x

Para cada

n

para

M mn=¿

C = {( c 1 , c 2 , … , c n ) :c i ∈ C parai=1,2, … , n } .

•

multiplicación por escalares)

Para todo x,y,z en V , (ley

α

α ( x+ y )=αx +αy

α ( βx )=(αβx )

(cerradura bajo suma)

( x+ y )+ z= x+( y+z )

•

distributiva)

) que satisface los siguientes axiomas:

x ∈V

•

C denota el conjunto de números complejos.

( α+ β ) x=αx + βx

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones denominadas suma (denotada por x+y) y multiplicación por un escalar (denotada por

αx

El espacio C[a,b]={funciones reales continuas en el intervalo [a,b]}

ley distributiva)

CAPITULO 4 RESUMEN: ESPACIOS VECTORIALES

•

•

(cerradura bajo la

Si x,y están en V y entonces

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Si los dos planos no son paralelos, entonces se intersecan en una línea recta.

{polinomios de grado menor

que o igual a n}

es un escalar, entonces

multiplicación por un escalar) El plano xy tiene la ecuación z=0; el plano xz tiene la ecuación y=0; el plano yz tiene la ecuación x=0.

P n=¿

coeficientes reales}

d =a x 0 +b y 0 +c z 0=⃗ OP . n •

El espacio

, existe un vector –x en V tal que

x+(-x)=0 (-x se llama inverso aditivo de x)

entonces la ecuación del plano se puede escribir:

•

(el 0 se

llama vector cero o idéntico aditivo).

n=ai +bj+ck y P= ( x 0 , y 0 , z 0 )

Si

0∈V

x ∈ V , x+0=0+ x= x

3

del plano.

•

Existe un vector

es un espacio vectorial V es la

suma de la forma:

α1 v 1 +α2 v 2 +…+αn v n

α1 , α 2 , … , αn

Donde

•

Se dice que los vectores

BASE:

v 1 , v2 , … , v n

•

•

en un

.

v 1 , v2 , … , v n

Gen {



en un espacio vectorial V es el

•

v 1 , v2 , … , v n ¿

Se dice que los vectores

es un subespacio de V.

•

{

v 1 , v2 , … , v n ¿

es una

N A= x ∈ R n : Ax=0 generan a V.

v 1 , v2 , … , v n

c1 , c2 , … , cn

La base canónica en

Rn

•

Rn

consiste en n vectores:

0 1 0 , c3 = ⋮ 0

0 0 1 , … , cn = ⋮ 0

0 0 0 ⋮ 1

() () () ()

en un

no todos ceros

•

Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente independientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro. Cualquier conjunto de n vectores linealmente n n independientes en generan a .

R

•

ℑ ( A )= y ∈ Rm : Ax= y para alguna x ∈ R n •

Un conjunto de n vectores en independiente si n>m.

R

Rm

es linealmente

•

El espacio de los reglones de A, denotado por

≤

dimV.

, es el espacio generado por los reglones de A .

, es el espacio generado por los columnas de A

y es un subespacio de

•

Rn

El espacio de los columnas de A, denotado por

CA

Si H es un subespacio del espacio de dimensión finita V, entonces dimH

El rango de A, denotado por p(A), es la dimensión de la imagen de A.

y es un subespacio de

La dimensión de V se denota por dimV.

•

Sea A una matriz de mxn. La imagen de A denotado m por Im(A), es el subespacio de dado por:

RA

Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en cada base y V se denomina un espacio vectorial de dimensión finita .De otra manera V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita .Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

y se denota por v(A).

R

DIMENSION:

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

•

•

•

c 1 v 1+c 2 v 2 +…+c n v n =0

La nulidad de una matriz A de nxn es la dimensión de

NA

.

tales que:

•

El espacio nulo de una matriz A de nxn es el n subespacio de dado por:

R

es linealmente

Todo conjunto de n vectores linealmente n independientes en es una base en

1 0 c 1 = 0 , c 2= ⋮ 0

espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen escalares

son los

conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano que pasa por el origen.

•

R

.

DEPENDENCIA E INDEPENDECIA LINEAL:

•

{

v 1 , v2 , … , v n ¿

R3

Los únicos subespacio propios de

independiente.

conjunto de combinaciones lineales de

•



El espacio generado por un conjunto de vectores

v 1 , v2 , … , v n

Un conjunto de vectores

v 1 , v2 , … , v n

base para un espacio vectorial V si:

espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede expresar como una combinación lineal de

v 1 , v2 , … , v n

•

son escalares.

Rm

.

Si A es una matriz de mxn, entonces:

C A =ℑ ( A ) y dim R A =dimC A=dimIm ( A )= p( A

Más aun:

p ( A ) +v ( A )= n