Formulario Probabilidades.pdf

Formulario Probabilidad

Formulario Formulario de Probabilidad DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.

P ( A) 

#A



#

número número de result esultados ados favo favorables rables número número de resul resultado tadoss posibl posibles es

Propiedades: Prop. 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1 Como 0 ≤ #A ≤ # 

Prop. 2:

#

#  A #



# #

 0  P( A)  1

#

0



#

 P( ) 

0

P( ) = 1 # #

1

P(AB) = P(A) + P(B), si AB = Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B. Luego : # ( A  B)

P( A  B) 

Prop. 5:

#



Ya que P( ) = Prop. 4:



P ( )   0

Como # = 0 Prop. 3:

0

#



# A# B #



#A #



#B #

 P ( A)  P ( B )

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB), si AB  entonces #(AB) = #A + #B - #(AB).

Si AB ,  P( A  B ) 

# ( AUB) #



# A  # B  # ( A  B) #



#A #



#B #



# (A  B ) #

 P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P (A  B )

Prop. 6:

P( A )



1



P( A)

Como #(  A ) = # - #A, entonces : # (A) #  # A # # A P( A )      1  P( A) # # # #

Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

1

Formulario Probabilidad

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Definición: Sean A y B dos sucesos ( A  , B  ), tales que P(B) > 0 ( o sea, B ). La probabilidad de A dada la ocurrencia de B es : P( A  B) P( A / B)  P( B ) Dada esta definición, se deduce que la probabilidad del suceso A B se calcula como el producto de la probabilidad de uno de los sucesos por la probabilidad del otro suceso condicionada al primero. Es decir P( A  B)  P( B) P( A / B) conocida como Regla del Producto  Análogamente, P( A  B)  P( A) P( B / A) P ( A  B) P ( B / A)  ya que P ( A)

SUCESOS INDEPENDIENTES

Definición: Si A y B son dos sucesos independientes, entonces la probabilidad conjunta de ambos es igual al producto de las probabilidades de esos dos sucesos, y v iceversa.  A y B independientes  P(AB) = P(A)P(B)

REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL Sea B1, B2, ....., Bk una partición de , luego los Bi son subconjuntos no vacíos de , además son exhaustivos y excluyentes. Esto significa que los sucesos B 1,..., Bk cumplen con : 1.- Bi , Bi    i = 1,....,k 2.- Bi  B j = ,  i  j k 

3.-

 B

i



i 1

Sea A  , A . Obviamente, A tiene elementos en común con alguno de los B i. Es decir que : i , 1  i  k ,

tal que A  Bi  

Podemos expresar este suceso A como la unión de las intersecciones que tiene con los sucesos B: k 

 A = B1 A  B2 A  ...  Bk A =

 ( B  A) i

i 1

Como los sucesos B i son excluyentes, entonces también lo serán los sucesos B i  A, es decir:

Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

2

Formulario Probabilidad  Bi  B j  ,  i   j   Bi   A  ( B j   A)  ,  i   j P( A)  P B1   A  ( B2   A)  ........  ( Bk    A)  P B1   A  P( B2   A)  ........  ( Bk    A) P( A)  P B1 ) P( A / B1   P( B2 ) P( A / B2 )  ........  P( Bk  ) P( A / Bk  ) k 

 P( A) 

 P( Bi ) P( A / Bi ) i 1

TEOREMA DE BAYES Sea B1, B2, ....., Bk una partición de , luego los Bi son subconjuntos no vacíos de , además son exhaustivos y excluyentes. Esto significa que los sucesos B 1,..., Bk cumplen con : 1.- Bi , Bi    i = 1,....,k 2.- Bi  B j = ,  i  j k 

3.-

 B

i



i 1

Sea A  , A . Obviamente, A alguno de los Bi.

tiene elementos en común con

Es decir que : i , 1  i  k ,

tal que A  Bi  

Supongamos que son conocidas las probabilidades de cada suceso B i , como también las probabilidades del suceso A condicionado a la ocurrencia de cada suceso B i . Por lo tanto son conocidas las probabilidades : P(B i) P(A/Bi) para todo i = 1 .. k Como ya hemos visto, podemos expresar este suceso A como la unión de las intersecciones que tiene con los sucesos B: k 

 A = B1 A  B2 A  ...  Bk A =

 ( B

i



A)

i 1

k 

y a su probabilidad :

P ( A) 

 P(B ). P( A / B ) i

i

i 1

Supongamos que, una vez ocurrido el suceso A , nos interesa saber la probabilidad de que su causa haya sido alguno de los B j . Es decir, queremos averiguar P( B j /A) . P ( B j / A) 

P ( B j  A) P ( A)



P ( Bj ). P ( A / B j ) k 

 P(Bi ). P( A / Bi ) i 1

Fórmula conocida con el nombre de FÓRMULA DE BAYES . Las probabilidades conocidas P(B i) se llaman probabilidades a priori y las probabilidades calculadas P(B i/A) se llaman probabilidades a posteriori  .

Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

3