Formulario Para Cálculo de Varias Variables

April 26, 2019 | Author: José Luis Mtz Trujillo | Category: Gradient, Mathematical Analysis, Mathematical Objects, Algebra, Multivariable Calculus
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Formulario para Cálculo de Varias Variables 1. Velocidad. Sea r  t   la función dada, entonces su velocidad es r '  t  2. Aceleración. Sea r  t   la función dada, entonces su aceleración es r '' t  3. Rapidez. Sea r  t   la función dada, entonces su rapidez es r '  t  4. Vector Tangente. Sea F  t    la función dada, entonces su Vector Tangente es F '  t 

5. Vector Tangente Unitario. Sea F  t    la función dada, entonces su Vector Tangente Unitario es

F '  t  F '  t 

6. Vector Normal. Sea F  t    la función dada, entonces su Vector Normal es F '' t 

7. Vector Normal Unitario. Sea F  t   la función dada, entonces su Vector Normal Unitario es

F ''  t  F ''  t 

8. Vector Binormal. Sea F  t    la función dada, entonces su Vector Binormal es F '  t   F ''  t  

9. Vector Binormal Unitario. Sea F  t    la función dada, entonces su Vector Binormal Unitario es

F '  t   F ''  t   F '  t   F ''  t  

10. Plano Osculador. Sea  p   a, b, c   3 , sea F  t    la función dada, sea  x, y, z   3  una vector cualquiera, sea  B  F ' t   F ''t   el Vector Binormal. Entonces el Plano Osculador está definido  x, y, z   F  p   B  0 11. Plano Normal. Sea  p   a, b, c   3 , sea F  t   la función dada, sea  x, y, z   3 una vector cualquiera, sea  B  F '  t   F '' t    el Vector Binormal y sea  N  F '' t    el Vector Normal. Entonces el Plano Normal está definido  x, y, z   F  p    N  B   0

12. Plano Rectificador. Sea  p   a, b, c    3 , sea F  t    la función dada, sea  x, y, z   3  una vector cualquiera, sea  B  F '  t   F ''t   el Vector Binormal y sea T  F '  t   el Vector Tangente. Entonces el Plano Rectificador está definido  x, y , z   F  p   T  B   0

13. Curvatura. Sea   

la función dada, entonces su Curvatura es

F '  t   F ''  t   F '  t 

14. Torsión.   

F  t   

3

Sea

F  t   

la

función

dada,

entonces

su

Torsión

es

 F '  t   F '' t F '' t   2 F '  t   F ''  t  

15. Longitud de Arco. Sea F  x  t  , y  t  , z t      un campo vectorial dado, tal que a  t  b , entonces la Longitud de Arco de F  x  t  , y t  , z t      está dada por b



2

2

2

 x '  t     y '  t     z ' t   dt 

a

16. Generalización de la Longitud de Arco. Sea F  x1  t  , , xk   t     un campo vectorial dado, tal que a  t  b , entonces la Longitud de Arco de b

F  x1  t  , , xk  t    

está dada por



2

2

 x1 '  t       xk  '  t   dt    que es

a b

equivalente decir



2

2

b

 x1 '  t       xk ' t   dt   F '  x1 t  ,, xk  t  dt 

a

a

  

17. Operador Gradiente. Se define el Operador gradiente cómo    , ,   y   x y z      , ,  xk     x1

en forma generalizada cómo   

18. Gradiente a un Campo Vectorial. Sea F  F1  x, y, z  , F2  x, y , z  , F3  x , y , z   un Campo Vectorial, entonces el Gradiente al Campo Vectorial dado es F1 F 2 F 3    que sale de  x y z    F   , ,  F1  x, y, z  , F2  x , y, z  , F3  x , y , z     x y z  F  

      F    F1  x, y, z      F2  x, y, z      F3  x, y , z      x   z   y  F  

F1 F 2 F 3    x y z

19. Gradiente a un Campo Escalar. Sea  f  x, y, z   un Campo Escalar, entonces el   f f f   , ,   y este sale de   x y z 

Gradiente al Campo Escalar dado es  f   

     f   , ,  f  x, y , z     x y z    f f f    f    , ,    x y z 

20. Rotacional. Sea F  F1  x, y, z  , F2  x, y , z  , F3  x , y , z    un Campo Vectorial, entonces el Rotacional se define como   F  

i

j



  x

 y

 z

F1

F2

F 3

Que desarrollado queda como:  F 

i

j



  x

 y

 F F    i 3  2  z  y z 

F1

F2

F 3

 F1 F 3   F2 F1        k   z x   x y 

j

21. Propiedad del Rotacional. Sea  f  x, y, z    un Campo Escalar, entonces    f   0 Demostración:

  f  

i

j

  x  f  x

 y f y



  z f  z

    f    f      f    f      f         f  i         j         k            y  z  z  y    z  x  x  z    x  y  y  x     2  f  2 f    2 f  2 f   2 f  2 f     f  i     j  z x  z x   k   x y  x y    y z y z                

 f  i  0   j  0   k  0   f   0

22. Propiedad del Rotacional. Sea F  F1  x, y, z  , F2  x, y , z  , F3  x , y , z     un Campo Vectorial, entonces    F   0 Demostración: i

j



       F    , ,    x y z  x

 y

  z

F1

F2

F 3

       F F   F F    F F       F    , ,   3  2  ,  1  3  ,  2  1      x y z    y z   z x   x y     F F    F F     F F      F    3  2    1  3    2  1    x  y z  y  z x  z  x y   2 F3  2 F2  2 F1  2 F 3  2 F2  2 F1      F          xy xz y z y x z x zy    F   0

23. Teorema de Fubini. Primera Versión. Sea  a, b   c, d     un rectángulo en  n , sea  f  x, y    un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces b d

d a

a c

c b

   f  x, y  dxdy    f  x, y  dydx 24. Teorema de Fubini. Segunda Versión. Sea  A   n  un subconjunto, sea  f  x, y  un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces sí y  c, d    g  x1  , g  x2    A   n  a, b   h  y1  , h  y2   A  n   son b h y2 

equivalentes se deduce que



d  g  x2 

 f  x, y  dxdy 



a h y1 

f  x , y  dydx

c g x1 

25. Teorema del Valor Medio. Sea  A   n  un subconjunto, sea  x0  A , sea  f  x, y  un campo escalar continúo en el dominio, sea F  F1  x, y, z  , F2  x , y , z   un b d 

Campo Vectorial. Entonces  FdA  f  x0    Fdxdy  f  x0  Vol.  A  A

a c

26. Integral de Trayectoria sobre un Campo Escalar. Sea  f  x, y    un Campo Escalar, sea    t   una trayectoria de clase C 1  con

a  t  b  entonces

la Integral

b

de Trayectoria sobre un Campo Escalar es

  f  t     ' t  dt  a

27. Integral

de

Línea

sobre un Campo Vectorial. Sea F  F1  x, y , z  , F2  x , y , z  , F3  x , y , z     un Campo Vectorial, sea    t    una

trayectoria de clase C 1   con

a  t  b   entonces

la Integral de Línea sobre un

b

Campo Vectorial es

 F  t   ' t  dt

 

a

28. Integral de Línea sobre un Campo Gradiente. Sea  f  x, y   un Campo Escalar, sea  f  x, y, z   un Campo Gradiente, sea    t   una trayectoria de clase C 1  con a  t  b   entonces la Integral de Línea sobre un Campo Gradiente es b

  f  t    ' t  dt  a

F  x  u , v  , y  u, v  , z  u , v  

29. Vector Normal de un Campo Vectorial. Sea Campo Vectorial, sean

un

  x y z    x y z  , , y T u   , ,    los Vectores   v v v   u u u 

T v  

Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Vector Normal de un Campo Vectorial es  N  Tu  T v 30. Área de un Campo Vectorial (Superficie Parametrizada). Sea F  x  u , v  , y u , v  , z  u ,v    

un Campo Vectorial, sean

  x y z  , ,  y v v v     

T v  

  x y z  , ,   los Vectores Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Área  u u u  de un Campo Vectorial es  A  S    Tu  Tv dudv T u  

 D

31. Jacobiano. Sea F  x  u, v  , y  u, v    un Campo Vectorial. Entonces el Jacobiano  x   x, y  u está definido como  J      u, v   y u

x v y v

32. Teorema de Cambio de Variable. Sea  f  x, y   un Campo Escalar, sea  A   n un subconjunto, entonces se puede cambiar de variable si también cambiamos su región

  A

 f  x, y  dxdy 

 D

f  x  u , v  , y u , v 

  x, y  dudv   u, v 

33. Cambio de Variable a Coordenadas Polares. Sea  f  x, y   un Campo Escalar, sea  A   n   un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas Polares está dado por   f  x, y  dxdy   f  r cos  , rsen  rdrd    A

D

34. Jacobiano Triple. Sea F  x  u, v, w  , y u , v , w  , z u ,v ,w     un Campo Vectorial.  x u   x, y, z  y  Entonces el Jacobiano está definido como  J     u , v, w  u  z u

x v y v z v

x w y w z w

35. Cambio de Variable a Coordenadas Cilíndricas. Sea  f  x, y, z    un Campo Escalar, sea  A   n   un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas Cilíndricas está dado por   f  x, y, z  dxdydz   f  r cos  , rsen , z  rdrd dz  A

D

36. Cambio de Variable a Coordenadas Esféricas. Sea  f  x, y, z    un Campo Escalar, sea  A   n   un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas

Esféricas está dado por 2   f  x, y, z  dxdydz   f   sen cos  ,  sen sen ,  cos   sen d d d    A

D

37. Masa de un Cuerpo. Sea    x, y , z   la densidad del cuerpo, entonces su Masa está dada por

   x, y, z  dxdydz W 

38. Centro de Masa de un Cuerpo. Sea    x1 , , xi    la densidad del cuerpo,

 x    x ,, x  dx i

entonces su Centro de Masa está dada por  xi 

1

i

i





   x1 , , xi  dx1  dxi

 donde



i  1,, n

39. Momentos de Inercia. Sea    x1 , , xi    la densidad del cuerpo, entonces su Centro de Masa está dada por

 I xi 

   x

2 1

   xi21  xi21    xk2  dxi   para



i  1,  , k 

40. Integral de Superficie. Sea F  x  t  , y  t  , z t     un Campo Vectorial, sea    t  una trayectoria de clase C 1  con a  t  b  entonces la Integral de Superficie es b

 F  x t  , y t  , z t    ' t  dt   a

41. Integral

su Forma Diferencial. Sea F  F1  x, y , z  , F2  x , y , z  , F3  x , y , z     un Campo Vectorial, con a  t  b entonces la Integral en Línea en su Forma Diferencial es b



  F

1

a

dx dt

en

 F2

dy dt

línea

 F3

dz  dt  

en

dt  

42. Integral de Línea para Campos Vectoriales Gradientes. Sea  f  x, y, z  un Campo Gradiente, sea  A   n  un subconjunto, entonces la Integral de Línea para Campos Gradientes es   f  x, y, z  dS  f  A  b    f  A  a    A

43. Área de una Superficie de Rotación. Sea  f  x    una función diferenciable, entonces, el Área de la Superficie generada por la Rotación de esta función está b

dada por  A  S   2  x

2

1   f '  x   dx

a

44. Integral de un campo Escalar sobre una Superficie. Sea  f  x, y, z   un Campo Escalar, entonces la Integral de un Campo Escalar sobre una Superficie es

  f  x, y, z  dS   f   u , v  T

u

S

D

 Tv dudv

45. Integral de Superficie de un Campo Vectorial. Sea F  x  u , v  , y  u , v  , z u , v   un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial es  F  x  u , v  , y  u , v  , z  u, v  dS   F  x  u , v  , y  u , v  , z u , v  Tu  Tv  dudv S

D

46. Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica. Sea F  F1  x , y  , F2  x, y  , F3  x , y     un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica es



F  F1  x, y  , F2  x, y  , F3  x, y   dS 

S

  F    F   F F F x y     ,     dxdy D  1   x  2  y  3 

47. Teorema de GREEN. Sea  D   una región con su frontera orientada, sea F  x , y   P  x, y  dx  Q  x, y  dy  una función sobre algún conjunto abierto en el 3 espacio tal que Entonces K D .  Q

P 

 P  x, y  dx  Q  x, y  dy     x  y  dxdy

 D

D

48. Área de una Región. Sea  D   2  una región con frontera acotada, entonces el Área de esa Región está dada por  A 

1

 xdy  ydx

2  D

49. Teorema de GREEN en su forma Vectorial. Sea  D   2   una región con frontera acotada, sea F  F1  x , y  , F2  x, y  , F3  x , y    un Campo Vectorial sobre  D , entonces

 F  F  x, y  , F  x , y , F  x, y  dS     F  kdA   rot  F  kdA 1

2

3

 D

D

D

50. Teorema de Divergencia en el Plano. Sea  D     una región con frontera acotada, sea F  P  x , y  , Q  x, y    un Campo Vectorial sobre  D , sea n  el Vector Normal Unitario a la frontera de  D , sea c  t    x t  , y t     una parametrización de la frontera de  D , entonces el Vector Normal Unitario está 2

definido como es



 D

n

 y ' t  ,  x '  t   2

2

 por lo tanto la Divergencia en el Plano

 x '  t     y '  t   F  P  x, y  , Q  x , y  ndS   divFdA    FdA D

D

51. Teorema de STOKES para Gráficas y Superficies Parametrizadas. Sea S   una superficie definida por una función  z  f  x, y    donde  x, y   D   que es una región, sea F  F1  x, y  , F2  x, y  , F3  x , y     un Campo Vectorial sobre  D , entonces

 F  F  x, y  , F  x, y  , F  x, y dS      F dS   rot  F dS   1

S

2

3

S



52. Teorema de STOKES para Superficies Parametrizadas. Sea S   una superficie definida mediante una parametrización, sea F  F1  x, y  , F2  x, y  , F3  x , y   un

Campo

Vectorial

sobre

S  ,

entonces

 F  F  x, y  , F  x, y  , F  x, y  dS      F dS   1

2

3

S



53. Campos Vectoriales Conservativos. Sea F  P  x , y  , Q  x, y     un Campo Vectorial sobre S  , entonces las siguientes condiciones son equivalentes a) Para cualquier curva cerrada se tiene que C   

 F  F  x , y  , F  x, y  , F  x , y  dS   0 1

2

3



b) Para cualesquiera dos curvas cerradas C , S    que tengas los mismos extremos

 F  F  x, y  , F  x, y  , F  x, y dA   F  F  x , y  , F  x , y  , F  x , y dA 1

2

3

1

C

2

3



c) F  F1  x , y  , F2  x, y  , F3  x , y   Es gradiente de algún Campo Escalar  f  x, y  , es decir, F  F1  x, y  , F2  x , y  , F3  x , y    f  x , y , z  d)   F   0 Un Campo Vectorial que satisface al menos una de las condiciones dadas se le denomina Campo Vectorial Conservativo. 54. Teorema de la Divergencia de GAUSS. Sea  D   una región en el espacio, sea F  F1  x , y  , F2  x, y  , F3  x , y     un Campo Vectorial definido en  D , entonces

   F  dV   F  F  x, y  , F  x, y  , F  x , y dS   1

2

dicho en otras palabras

3

D

 D

   F  dV   div  F  dV   F  F  x, y  , F x , y  , F  x , y ndS   1

 D

2

3

D

D

55. Ley de GAUSS. Sea  M   3   una región donde  0,0,0   M  , sea r  x, y , z    x, y , z    una Función Vectorial y r  x, y, z   r  x, y, z  

x y z 2

2

entonces

2



r n r 

 M 

4    0, 0, 0   M  0   0, 0, 0  M 

dS   

56. Identidades de GREEN. Sea W   3   un subconjunto acotado, sean  f  x, y, z  , g  x, y , z   Funciones Escalares, entonces las Identidades de GREEN están dadas por a)   f g ndS    f  2 g  f g  dV  W

b)



   f g  g f ndS    f  g  g  f  dV  2

W

2



57. Teorema General de STOKES. Sea  M    n   una variedad con su frontera compacta contenida en algún conjunto abierto K    n , sea     una forma  k   1 diferenciable sobre K  , entonces  dK   d    M



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