Formulario Para Cálculo de Varias Variables
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Formulario para Cálculo de Varias Variables 1. Velocidad. Sea r t la función dada, entonces su velocidad es r ' t 2. Aceleración. Sea r t la función dada, entonces su aceleración es r '' t 3. Rapidez. Sea r t la función dada, entonces su rapidez es r ' t 4. Vector Tangente. Sea F t la función dada, entonces su Vector Tangente es F ' t
5. Vector Tangente Unitario. Sea F t la función dada, entonces su Vector Tangente Unitario es
F ' t F ' t
6. Vector Normal. Sea F t la función dada, entonces su Vector Normal es F '' t
7. Vector Normal Unitario. Sea F t la función dada, entonces su Vector Normal Unitario es
F '' t F '' t
8. Vector Binormal. Sea F t la función dada, entonces su Vector Binormal es F ' t F '' t
9. Vector Binormal Unitario. Sea F t la función dada, entonces su Vector Binormal Unitario es
F ' t F '' t F ' t F '' t
10. Plano Osculador. Sea p a, b, c 3 , sea F t la función dada, sea x, y, z 3 una vector cualquiera, sea B F ' t F ''t el Vector Binormal. Entonces el Plano Osculador está definido x, y, z F p B 0 11. Plano Normal. Sea p a, b, c 3 , sea F t la función dada, sea x, y, z 3 una vector cualquiera, sea B F ' t F '' t el Vector Binormal y sea N F '' t el Vector Normal. Entonces el Plano Normal está definido x, y, z F p N B 0
12. Plano Rectificador. Sea p a, b, c 3 , sea F t la función dada, sea x, y, z 3 una vector cualquiera, sea B F ' t F ''t el Vector Binormal y sea T F ' t el Vector Tangente. Entonces el Plano Rectificador está definido x, y , z F p T B 0
13. Curvatura. Sea
la función dada, entonces su Curvatura es
F ' t F '' t F ' t
14. Torsión.
F t
3
Sea
F t
la
función
dada,
entonces
su
Torsión
es
F ' t F '' t F '' t 2 F ' t F '' t
15. Longitud de Arco. Sea F x t , y t , z t un campo vectorial dado, tal que a t b , entonces la Longitud de Arco de F x t , y t , z t está dada por b
2
2
2
x ' t y ' t z ' t dt
a
16. Generalización de la Longitud de Arco. Sea F x1 t , , xk t un campo vectorial dado, tal que a t b , entonces la Longitud de Arco de b
F x1 t , , xk t
está dada por
2
2
x1 ' t xk ' t dt que es
a b
equivalente decir
2
2
b
x1 ' t xk ' t dt F ' x1 t ,, xk t dt
a
a
17. Operador Gradiente. Se define el Operador gradiente cómo , , y x y z , , xk x1
en forma generalizada cómo
18. Gradiente a un Campo Vectorial. Sea F F1 x, y, z , F2 x, y , z , F3 x , y , z un Campo Vectorial, entonces el Gradiente al Campo Vectorial dado es F1 F 2 F 3 que sale de x y z F , , F1 x, y, z , F2 x , y, z , F3 x , y , z x y z F
F F1 x, y, z F2 x, y, z F3 x, y , z x z y F
F1 F 2 F 3 x y z
19. Gradiente a un Campo Escalar. Sea f x, y, z un Campo Escalar, entonces el f f f , , y este sale de x y z
Gradiente al Campo Escalar dado es f
f , , f x, y , z x y z f f f f , , x y z
20. Rotacional. Sea F F1 x, y, z , F2 x, y , z , F3 x , y , z un Campo Vectorial, entonces el Rotacional se define como F
i
j
k
x
y
z
F1
F2
F 3
Que desarrollado queda como: F
i
j
k
x
y
F F i 3 2 z y z
F1
F2
F 3
F1 F 3 F2 F1 k z x x y
j
21. Propiedad del Rotacional. Sea f x, y, z un Campo Escalar, entonces f 0 Demostración:
f
i
j
x f x
y f y
k
z f z
f f f f f f i j k y z z y z x x z x y y x 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f f i j z x z x k x y x y y z y z
f i 0 j 0 k 0 f 0
22. Propiedad del Rotacional. Sea F F1 x, y, z , F2 x, y , z , F3 x , y , z un Campo Vectorial, entonces F 0 Demostración: i
j
k
F , , x y z x
y
z
F1
F2
F 3
F F F F F F F , , 3 2 , 1 3 , 2 1 x y z y z z x x y F F F F F F F 3 2 1 3 2 1 x y z y z x z x y 2 F3 2 F2 2 F1 2 F 3 2 F2 2 F1 F xy xz y z y x z x zy F 0
23. Teorema de Fubini. Primera Versión. Sea a, b c, d un rectángulo en n , sea f x, y un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces b d
d a
a c
c b
f x, y dxdy f x, y dydx 24. Teorema de Fubini. Segunda Versión. Sea A n un subconjunto, sea f x, y un Campo Escalar continúo en el dominio. Entonces sí y c, d g x1 , g x2 A n a, b h y1 , h y2 A n son b h y2
equivalentes se deduce que
d g x2
f x, y dxdy
a h y1
f x , y dydx
c g x1
25. Teorema del Valor Medio. Sea A n un subconjunto, sea x0 A , sea f x, y un campo escalar continúo en el dominio, sea F F1 x, y, z , F2 x , y , z un b d
Campo Vectorial. Entonces FdA f x0 Fdxdy f x0 Vol. A A
a c
26. Integral de Trayectoria sobre un Campo Escalar. Sea f x, y un Campo Escalar, sea t una trayectoria de clase C 1 con
a t b entonces
la Integral
b
de Trayectoria sobre un Campo Escalar es
f t ' t dt a
27. Integral
de
Línea
sobre un Campo Vectorial. Sea F F1 x, y , z , F2 x , y , z , F3 x , y , z un Campo Vectorial, sea t una
trayectoria de clase C 1 con
a t b entonces
la Integral de Línea sobre un
b
Campo Vectorial es
F t ' t dt
a
28. Integral de Línea sobre un Campo Gradiente. Sea f x, y un Campo Escalar, sea f x, y, z un Campo Gradiente, sea t una trayectoria de clase C 1 con a t b entonces la Integral de Línea sobre un Campo Gradiente es b
f t ' t dt a
F x u , v , y u, v , z u , v
29. Vector Normal de un Campo Vectorial. Sea Campo Vectorial, sean
un
x y z x y z , , y T u , , los Vectores v v v u u u
T v
Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Vector Normal de un Campo Vectorial es N Tu T v 30. Área de un Campo Vectorial (Superficie Parametrizada). Sea F x u , v , y u , v , z u ,v
un Campo Vectorial, sean
x y z , , y v v v
T v
x y z , , los Vectores Tangentes al Campo Vectorial, entonces el Área u u u de un Campo Vectorial es A S Tu Tv dudv T u
D
31. Jacobiano. Sea F x u, v , y u, v un Campo Vectorial. Entonces el Jacobiano x x, y u está definido como J u, v y u
x v y v
32. Teorema de Cambio de Variable. Sea f x, y un Campo Escalar, sea A n un subconjunto, entonces se puede cambiar de variable si también cambiamos su región
A
f x, y dxdy
D
f x u , v , y u , v
x, y dudv u, v
33. Cambio de Variable a Coordenadas Polares. Sea f x, y un Campo Escalar, sea A n un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas Polares está dado por f x, y dxdy f r cos , rsen rdrd A
D
34. Jacobiano Triple. Sea F x u, v, w , y u , v , w , z u ,v ,w un Campo Vectorial. x u x, y, z y Entonces el Jacobiano está definido como J u , v, w u z u
x v y v z v
x w y w z w
35. Cambio de Variable a Coordenadas Cilíndricas. Sea f x, y, z un Campo Escalar, sea A n un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas Cilíndricas está dado por f x, y, z dxdydz f r cos , rsen , z rdrd dz A
D
36. Cambio de Variable a Coordenadas Esféricas. Sea f x, y, z un Campo Escalar, sea A n un subconjunto, entonces el cambio a Coordenadas
Esféricas está dado por 2 f x, y, z dxdydz f sen cos , sen sen , cos sen d d d A
D
37. Masa de un Cuerpo. Sea x, y , z la densidad del cuerpo, entonces su Masa está dada por
x, y, z dxdydz W
38. Centro de Masa de un Cuerpo. Sea x1 , , xi la densidad del cuerpo,
x x ,, x dx i
entonces su Centro de Masa está dada por xi
1
i
i
W
x1 , , xi dx1 dxi
donde
W
i 1,, n
39. Momentos de Inercia. Sea x1 , , xi la densidad del cuerpo, entonces su Centro de Masa está dada por
I xi
x
2 1
xi21 xi21 xk2 dxi para
W
i 1, , k
40. Integral de Superficie. Sea F x t , y t , z t un Campo Vectorial, sea t una trayectoria de clase C 1 con a t b entonces la Integral de Superficie es b
F x t , y t , z t ' t dt a
41. Integral
su Forma Diferencial. Sea F F1 x, y , z , F2 x , y , z , F3 x , y , z un Campo Vectorial, con a t b entonces la Integral en Línea en su Forma Diferencial es b
F
1
a
dx dt
en
F2
dy dt
línea
F3
dz dt
en
dt
42. Integral de Línea para Campos Vectoriales Gradientes. Sea f x, y, z un Campo Gradiente, sea A n un subconjunto, entonces la Integral de Línea para Campos Gradientes es f x, y, z dS f A b f A a A
43. Área de una Superficie de Rotación. Sea f x una función diferenciable, entonces, el Área de la Superficie generada por la Rotación de esta función está b
dada por A S 2 x
2
1 f ' x dx
a
44. Integral de un campo Escalar sobre una Superficie. Sea f x, y, z un Campo Escalar, entonces la Integral de un Campo Escalar sobre una Superficie es
f x, y, z dS f u , v T
u
S
D
Tv dudv
45. Integral de Superficie de un Campo Vectorial. Sea F x u , v , y u , v , z u , v un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial es F x u , v , y u , v , z u, v dS F x u , v , y u , v , z u , v Tu Tv dudv S
D
46. Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica. Sea F F1 x , y , F2 x, y , F3 x , y un Campo Vectorial, entonces la Integral de Superficie de un Campo Vectorial sobre una Gráfica es
F F1 x, y , F2 x, y , F3 x, y dS
S
F F F F F x y , dxdy D 1 x 2 y 3
47. Teorema de GREEN. Sea D una región con su frontera orientada, sea F x , y P x, y dx Q x, y dy una función sobre algún conjunto abierto en el 3 espacio tal que Entonces K D . Q
P
P x, y dx Q x, y dy x y dxdy
D
D
48. Área de una Región. Sea D 2 una región con frontera acotada, entonces el Área de esa Región está dada por A
1
xdy ydx
2 D
49. Teorema de GREEN en su forma Vectorial. Sea D 2 una región con frontera acotada, sea F F1 x , y , F2 x, y , F3 x , y un Campo Vectorial sobre D , entonces
F F x, y , F x , y , F x, y dS F kdA rot F kdA 1
2
3
D
D
D
50. Teorema de Divergencia en el Plano. Sea D una región con frontera acotada, sea F P x , y , Q x, y un Campo Vectorial sobre D , sea n el Vector Normal Unitario a la frontera de D , sea c t x t , y t una parametrización de la frontera de D , entonces el Vector Normal Unitario está 2
definido como es
D
n
y ' t , x ' t 2
2
por lo tanto la Divergencia en el Plano
x ' t y ' t F P x, y , Q x , y ndS divFdA FdA D
D
51. Teorema de STOKES para Gráficas y Superficies Parametrizadas. Sea S una superficie definida por una función z f x, y donde x, y D que es una región, sea F F1 x, y , F2 x, y , F3 x , y un Campo Vectorial sobre D , entonces
F F x, y , F x, y , F x, y dS F dS rot F dS 1
S
2
3
S
S
52. Teorema de STOKES para Superficies Parametrizadas. Sea S una superficie definida mediante una parametrización, sea F F1 x, y , F2 x, y , F3 x , y un
Campo
Vectorial
sobre
S ,
entonces
F F x, y , F x, y , F x, y dS F dS 1
2
3
S
S
53. Campos Vectoriales Conservativos. Sea F P x , y , Q x, y un Campo Vectorial sobre S , entonces las siguientes condiciones son equivalentes a) Para cualquier curva cerrada se tiene que C
F F x , y , F x, y , F x , y dS 0 1
2
3
C
b) Para cualesquiera dos curvas cerradas C , S que tengas los mismos extremos
F F x, y , F x, y , F x, y dA F F x , y , F x , y , F x , y dA 1
2
3
1
C
2
3
S
c) F F1 x , y , F2 x, y , F3 x , y Es gradiente de algún Campo Escalar f x, y , es decir, F F1 x, y , F2 x , y , F3 x , y f x , y , z d) F 0 Un Campo Vectorial que satisface al menos una de las condiciones dadas se le denomina Campo Vectorial Conservativo. 54. Teorema de la Divergencia de GAUSS. Sea D una región en el espacio, sea F F1 x , y , F2 x, y , F3 x , y un Campo Vectorial definido en D , entonces
F dV F F x, y , F x, y , F x , y dS 1
2
dicho en otras palabras
3
D
D
F dV div F dV F F x, y , F x , y , F x , y ndS 1
D
2
3
D
D
55. Ley de GAUSS. Sea M 3 una región donde 0,0,0 M , sea r x, y , z x, y , z una Función Vectorial y r x, y, z r x, y, z
x y z 2
2
entonces
2
r n r
M
4 0, 0, 0 M 0 0, 0, 0 M
dS
56. Identidades de GREEN. Sea W 3 un subconjunto acotado, sean f x, y, z , g x, y , z Funciones Escalares, entonces las Identidades de GREEN están dadas por a) f g ndS f 2 g f g dV W
b)
W
f g g f ndS f g g f dV 2
W
2
W
57. Teorema General de STOKES. Sea M n una variedad con su frontera compacta contenida en algún conjunto abierto K n , sea una forma k 1 diferenciable sobre K , entonces dK d M
M
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