Academia ANTONIO RAIMONDI
1
Raimo ndi
[email protected] EXIGENCIA TOTAL
GEOMETRÍA
Academia ANTONIO RAIMONDI TÉRMINOS MATEMÁTICOS 1. PROPOSICIÓN: Enuncia una verdad demostrada o por demostrar. Toda proposición tiene un solo valor lógico: o es verdadero (V) o es falso (F). 2. AXIOMA: Proposición evidente por sí misma que no necesita demostración.
2 GEOMETRÍA FIGURA GEOMÉTRICA: Es cualquier conju de puntos.
CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
1. Congruentes: Si tienen igual forma y tama
3. POSTULADO: Es una proposición evidente que sin tener la evidencia del axioma se acepta sin demostración.
R
R
4. TEOREMA: Es una proposición que para ser evidente requiere ser demostrada; tiene dos 2. Semejantes: Cuando tienen igual forma p partes: tamaños diferentes. a) Hipótesis: Es lo que se plantea para la demostración del teorema. R r b) Tesis: Es la demostración del teorema.
5. COROLARIO: Es una consecuencia deducida de un teorema ya demostrado. 3. Equivalentes: Si tienen igual área o volum sin importar su forma. 6. LEMA: Es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema.
7. ESCOLIO: Es una proposición que sirve para aclarar, restringir o ampliar alguna proposición.
8. PROBLEMA. Enunciado en el cual se pide hallar una cantidad o construir una figura geométrica según condiciones dadas.
CONJUNTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA 1. Conjuntos Convexos: Se llama conju 1. El punto: Es un ente matemático, es la mínima convexo a una figura geométrica si el segmento representación geométrica de cualquier figura recta que une dos puntos cualesquiera de d geométrica. El punto no tiene dimensiones, por lo conjunto está contenido en éste. tanto no existe en la naturaleza; pero sí en el B pensamiento humano. 2. La Recta: Es una sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección y que es ilimitada en ambos sentidos. 3. El Plano: Es una superficie llana, lisa, sin espesor que es ilimitada en todo sentido.
P
Q
A Una Recta
S
Una Región Triangular
R
Q
L
Una Esfera
2. Conjuntos No Convexos: Se llama conju
3 Academia BLASE PASCAL DE CALCA une dos puntos cualesquiera de dicho conjunto no está contenido en éste.
GEOMETR
MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORT
* Para “n” rectas secantes P B
A
Q
Una Región Cuadrangular Cóncava
S
M
n n 1 2
Un Triángulo
R
* Para “n” circunferencias secantes
Una Superficie Cilíndrica POSTULADOS DE LA SEPARACIÓN
M n n 1
* Par a “n” triángulos secantes
1. Un punto contenido en una recta divide a esta recta en dos semirrectas.
M 3n n 1
2. Una recta contenida en un plano divide a este plano en dos semiplanos. 3. Un plano divide al espacio en dos semiespacios. Línea recta: sucesión continúa de puntos que se desplaza hacia ambos extremos en forma ilimitada.
A
M 4n n 1
B
AB
Semi–recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.
A
* Par a “n” cuadriláteros secantes
EN GENERAL: Para “n” Polígonos CONVEXOS de “L” Lados:
B
M Ln n 1
A AB Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.
A
*
Polígono de mayor de lados: “m” Polígono de menor de lados:
B A AB
Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son los extremos.
A
AB
Para dos polígonos CONVEXOS de diferent número de lados:
B
M 2n
*
Para “n” figuras cualesquiera de la mis especie (convexas o no convexas), el Máx Número de Puntos de Corte es:
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
4
GEOMETR
a
S EGMENTO Es aquel conjunto de puntos pertenecientes a una línea recta limitados por dos puntos denominados extremos.
A
A
x
2
2
x
C
a a 5 2
a a 5 2
AB es la sección aurea de AC
b) Resta: PR – QR = PQ
R
Q
2
consideramos solo con el signo positivo (+)
a) Suma: AB + BC = AC
P
2
Por Baskara se tiene: x
Operaciones con Segmentos:
B
C
x a ax x ax a 0
A, B : Extremos AB : Segmento AB
A
a x
a a x x a a x
2
B
B
x
División Armónica De Un Segmento:
Donde:
AB
5 1 a 2
5 1 AC 2
5 1 es Número Aureo 2
Se dice que los puntos colineales y consecutivos ÁNGULOS A, B, C y D constituyen una “Cuaterna Armónica”. Si B y D son conjugados armónicos Conjunto de puntos pertenecientes a dos ra de A y C ó B y D dividen armónicamente al que tienen un mismo origen denominado vértic segmento AC. En toda cuaterna armónica se A cumple:
A * *
B
C
D
AB CD BC AD 1 1 2 (T. de Descartes) AB AD AC
Elementos B OA y OB : Lados O : Vértice AOB : Ángulo : Medida del ángulo AOB
En forma generalizada: Si se cumple que:
AB CD n BC AD
n 1 n 1 AB AD AC
…….. ( I )
O
Bisectriz de un Angulo Se llama bisectriz de un ángulo a un rayo partiendo del vértice, divide el ángulo en ángulos congruentes (de la misma medida)
A
……. ( II )
2. Sección Áurea: La sección áurea es la media geométrica entre el segmento menor y el segmento total que se determina al tomar un
O
M B
OM es bisectriz ángulo AOB
5 Academia BLASE PASCAL DE CALCA CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición de sus lados.
GEOMETR 180º
I. Según su Magnitud:
III. Según la posición de sus lados
1. Ángulo Nulo:
a) Ángulos adyacentes suplementarios
0º
O
180º
2. Ángulo Convexo: 0 180º
b) Ángulos Consecutivos
Convexo
agudo :
C
0º 90º
B
recto : obtuso :
90º
90º 180º
O A c) Ángulos opuestos por el vértice B
A'
3. Ángulo llano: 180º
A
B'
d) Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante 1
4. Ángulo Cóncavo: 180º 360º
2 4
L1
3
L 1 // L 2 6 8
5. Ángulo de una vuelta (perígono) se da cuando: 360º
II. Según sus características a) Ángulos Complementarios
90
5
L2
7
Ángulos Alternos son (congruentes)
Internos: 3=6 y 4=5 Externos: 2=8 y 1=7 Ángulos Conjugados son (suplementario Internos:
3+5=180º y 4+6=180º Externos: 1+8=180º y 2+7=180º Ángulos Correspondientes (congruentes) 1=6 , 2=5 , 4=8
y
3=7
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
6
GEOMETR 1. En todo triangulo la suma de las medidas de ángulos interiores es 180º B
180º
x y
C
A
2. Si: L 1 // L 2 L1
θ
2. En todo triángulo la medida de un áng exterior es igual a la suma de las medidas de ángulos del triángulo no adyacentes a él. B
L2 + + + + = 180º 3. Ángulo formado por las bisectrices de un par lineal
x=
x C
A
3. En todo triángulo la suma de las medidas sus ángulos exteriores es 360º.
B 2
90º
1 2 3 360
3
TRIÁNGULOS
C
A Es aquel conjunto de puntos pertenecientes a tres 1 rectas secantes que se interceptan dos a dos al 4. En todo triángulo la longitud de uno de unir tres puntos no colineales. lados está comprendido entre la suma y sustracción de las longitudes de los otros B y lados. Si: a b c
b
c z A Elementos:
Vértices: A; B y C Lados: AB; BC y AC Ángulos interiores: ; y
b c a b c
C
x
a
5. En todo triángulo se cumple que a mayor l se le opone mayor ángulo y viceversa.
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
7
GEOMETR
4. Clasificación de Triángulos:
m a b mn
I. Por sus lados
b
a n
5.
escaleno
m
equilatero
isosceles
xy mn
n
II. Por sus ángulos C
y
x Triángulo Rectangulo
6.
Triangulo Oblicuangulo
A
B
B
Triangulo Acutangulo 90º ; 90º ; 90º
A
C
Triángulos Notables: Triangulo Obtusangulo 90º
45º
Propiedades
60º
k 2
k
45º
x= A
k 3
53º
74º
C
B m
25k
7k
x
x
n
37º
24 k
4k
71, 5º
3.
5k
3k 16º
mn 2
C
A
k 10
k
b
30º
k
x
2k
k
B
1.
2.
a mn a b
63, 5º
k
k 5
18, 5º
3k
26,5º
2k
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
8
GEOMETR
LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO LINEA NOTABLE
PUNTO NOTABLE
Bisectriz Interior
I: Incentro
I
Bisectriz Exterior
E
E: Excentro
G
2c
Mediana
a
b 2a
c
G: Baricentro
2b
O
Altura
Mediatriz
PROPIDADES:
O: Ortocentro
C
C: Circuncentro
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
9
GEOMETR
x
x
x
x 90º
β 2
x 90º
x
2
Naturaleza de un Triángulo
2
x
x=++
Consecuencia:
B
a
c
Donde: a b a c
A
C
b
Si: a 2 b 2 c 2 es acutángulo
a
2
b c
2
2
es rectángulo
a
2
2
2
es obtusángulo
b c
x a
b
P Propiedades en el triangulo equilátero.
1
En un triangulo equilátero los pun notables coinciden en un único punto ortocentro incentro baricentro circuncentro
Propiedades en el triangulo isósceles.
1
En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a su base, este también cumple la función de bisectriz, mediana y mediatriz Bisectriz Altura Mediana Mediatriz Ceviana
2
x a b
2
La suma de las distancias de un punto cualesquiera de la base en un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas congruentes.
La suma de las distancias de un pu interior a un triángulo equilátero hacia lados es igual a cualquiera de las altu congruentes.
h a bc
h
c
b
a
Propiedades en el triángulo rectángulo
x ab x
*
En un triángulo rectángulo el ortocen baricentro y el circuncetro pertencen a mediana relativa hacia la hipotenisa
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
10
GEOMETR
ABC A' B' C ' *
En un triángulo rectángulo la mediana relativa hacia la hipotenusa es la mitad de esta.
B BM
AC 2
Cuarto Caso: LLAm (Lado–Lado–Ángulo mayor) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor. B
B'
A
C
M
C A' ABC A' B' C '
A
C'
Teorema de la base media
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Primer Caso: ALA (Angulo–Lado– Angulo) Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él. B B'
En todo triángulo el segmento que une los pun medios de dos lados, es paralelo al tercer lado longitud igual a su mitad. B
AC 2MN M
Segundo Caso: LAL
C'
C A Teorema de la Bisectriz
*
Un punto cualesquiera de la bisectriz de ángulo equidista de los lados del ángulo
*
La distancia del vértice “O” hacia los pie las perpendiculares son congruentes
(Lado–Angulo–Lado)
Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. B
AC // MN
C A' ABC A' B' C '
A
N
R
B'
PQ PR
A
P
C A' ABC A' B' C '
C'
O
Q
Teorema de la Mediatriz
OQ OR
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
11
GEOMETR
L P
PA PB
A
B
CUADRILATEROS Es el conjunto de puntos pertenecientes a una poligonal cerrada de cuatro lados.
C
B
A
D
Elementos. AB: Lado BD: Diagonal C: Vértice : Ángulo Interno : Ángulo Externo
PROPIEDADES ANGULARES DE UN CUADRILÁTERO 2
SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES
1 + 2 + 3 + 4 = 360º
2
1
3
1
3 4
SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES 4
1 + 2 + 3 + 4 = 360º
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Romboide
PARALELOGRAMO
Rombo Rectángulo
Son aquellos cuadriláteros que tiene sus lados opuestos paralelos y congruentes.
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
12
GEOMETR
Cuadrado Rectángulo
TRAPECIO
Isósceles
Son aquellos cuadriláteros que tiene solo un par de lados paralelos denominados “bases” del trapecio.
Escaleno
Simétrico TRAPEZOIDE Asimétrico
Es aquel en que una de sus diagonales es mediatriz de la otr diagonal.
No tiene ninguna simetría.
ROMBOIDE B
C M
A
Es el paralelogramo propiamente dicho. AB // CD BC // AD ; AB = CD BC = AD AM = MC BM = MD ; A = C B = D A + B = 180º ; B + C = 180º
D
RECTÁNGULO Llamado también Cuadrilongo, es el paralelogramo equiángulo.
ROMBO Llamado también Losange, es el paralelogramo equilátero.
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
13
GEOMETR Es el paralelogramo regular, es decir es equilátero y equiángulo a la vez.
TRAPECIO
Elementos C
B M
AD y BC: Bases AD // BC // MN MN: Mediana h: Altura
N
h
D
A
MN
Bb 2
PQ
Bb 2
RS
2Bb Bb
b R M
P
S N
Q B
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS ISÓSCELES B
A
AH = PD AC = BD A = D ; B = C A + B = 180º C + D = 180º
C
H
D
P
Propiedades en los Cuadriláteros 1.
a
x
a
x
x b 2.
b
2 3.
b
b
2
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
4.
aa
b
x y 180º
a c bd b
x
d
GEOMETR
9. En todo Paralelogramo se cumple que: C B
b
y
14
c
d
D
A a
c
c
d
10.
C B
5.
a m
b
m= n y a= b
n b
b
G
a
x a b
b x
d
a+ b+ c+ d 4
Un cuadrilátero es inscriptible si por los cu vértices pasa una circunferencia. Las mediatr de los lados de este cuadrilátero concurren en punto, que puede estar ubicado en el interior el exterior, siendo dicho punto el centro d circunferencia antes mencionada. A d cuadrilátero también se le llama “Cuadrilá Cíclico”.
Bb 2
B
8.
x
c
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES
x
x
A a
x=
6. Si “G” es baricentro del triangulo
7.
D
b
Bb
Por lo general se estudian dos condiciones inscriptibilidad, que permitan asegurar existencia de la circunferencia circunscrita cuadrilátero.
15 Academia BLASE PASCAL DE CALCA + = 180º ó + = 180º. Elementos * Esta condición es equivalente a decir que un ángulo interior del cuadrilátero es igual al Lados : AB ; BC ; CD ; ..... ángulo opuesto exterior.
Ángulos interiores: 1 ; 2 ; 3 ; ..... Diagonal: FC
Diagonal media : MN
2da. Condición: Un cuadrilátero es inscriptible si los ángulos formados por un lado y una diagonal es igual al ángulo formado por el lado opuesto y la otra diagonal.
B
A
Vertices : A ; B ; C ; ....
Ángulos exteriores: 1 ; 2 ; 3 ; .....
I) Clasificación Por su Forma 1. Polígono Plano: Lados coplanares
C
B A
C
D
2. Polígono Alabeado: Lados no coplanares
A
D Si m(DAC) = m(CBD) = ABCD : Inscriptible
E
OBSERVACIONES: 1. Los cuadriláteros que SIEMPRE son inscriptibles son el cuadrado, el rectángulo y el trapecio isósceles. 2. Si en un triángulo se unen los pies de dos alturas, se forma un cuadrilátero inscriptible.
POLIGONOS Es todo conjunto de segmentos consecutivos, los cuales siguen diferentes direcciones. Es decir es toda poligonal cerrada
4
A 5
GEOMETR
4
N
3
3
C
D
B
C
II) Por la Medida de sus Ángulos
a) Polígono Convexo. Cuando una línea auxiliar corta a dicho polígo lo mucho en dos puntos
1
2
b) Polígono Cóncavo. Todos sus ángulos interiores son convexos. Po por lo menos un ángulo interior cóncavo.
4
5 2
2
D
2
3
Academia BLASE PASCAL DE CALCA III. Por sus Características a) Polígono Equiángulo.- Todos sus ángulos son congruentes sin importar la longitud de la medida de sus lados.
16
GEOMETR ángulo exteriores
Ángulo exterior
Suma de Ángulos Centrales
Diagonales Totales
a
a
a
d) Polígono Irregular.- No cumple con las condiciones del polígono regular.
a
Diagonales Trazadas desde un solo vértice
a
a
Diagonales Medias
a
a
Propiedad
Formula
Suma de ángulos interiores
S i 180º (n 2)
i
180º (n 2) n
360º n
S c 360º
D
Para el Polígono Equiángul Para el Polígono Regular
360º n
Para el Polígono Regular
n(n 3) 2
Para todo polígono
c
Dv n 3
Dm
Diagonales desde “v” vértices consecutivos
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Ángulo interior
e
Ángulo central
b) Polígono Equilátero.Todos sus lados son congruentes sin interesar la medida de sus ángulos. c) Polígono Regular.- Es aquel polígono que es equiángulo y equilátero a la vez. Es el único polígono que posee ángulo central; este polígono se puede inscribir y circunscribir en circunferencias concéntricas.
polígono
n(n 1) 2
D v,n vn
Para todo polígono
Para todo polígono
(v 1)(v 2
Diagonales medias trazadas desde “m” puntos consecutivos
D m,n m n
m(m 1 2
Diagonales trazadas desde vértices no consecutivos en un polígono par de lados
D no cons par
n(3n 1 8
Observación Para todo polígono Para el Polígono
*
En todo polígono el número de lados es i al número de vértices e igual al número ángulos interiores. n v # s i
*
Si en un polígono de “n” lados se trazan to
17 Academia BLASE PASCAL DE CALCA GEOMETR En un polígono de “n” lados si unimos un lados”, donde el valor de „n‟ es variable punto cualesquiera de uno de sus lados con acuerdo al valor dado. todos los vértices se determinan (n–1) Adicionales triángulos. * Número de diagonales totales trazadas de * En un polígono estrellado, los ángulos vértices no consecutivos en un polígono interiores suman 180º(n – 4), y los exteriores número impar de lados. suman 720º. 3 n 1 n 3 NOMBRE DE LOS POLÍGONOS: N no co ns impar = 8 Entre otros, tenemos: * Número de diagonales medias totales traza Nº de lados Nombre desde puntos medios no consecutivos en 3 Triángulo polígono de número par de lados. 4 Cuadrilátero 5 Pentágono n 3n 2 6 Hexágono D medi no co ns p ar = 8 7 Heptágono 8 Octógono * Número de diagonales medias totales traza 9 Nonágono desde puntos medios no consecutivos en 10 Decágono polígono de número impar de lados. 11 Endecágono 12 Dodecágono n 1 3n 1 15 Pentadecágono D medi no co ns imp ar = 8 20 Icoságono *
*
Cuando el número de lados es diferente a los anteriores se les menciona de acuerdo a su número de lados; es decir “polígono de „n‟
CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo denominado centro.
LS
Y X
B LN
O P
R x
M LT
Elementos
F H
Q N
O R OQ MN AB FH LT P LS X, Y LN MHN
: Centro : Punto Aferente : Radio : Cuerda : Diámetro o Cuerda Mayor : Flecha o Sagita : Recta Tangente : Punto de tangencia : Recta Secante : Puntos Secantes : Recta Normal : Arco de Circunferencia
* Conocer sus propiedades y relacionarlos
18 Academia BLASE PASCAL DE CALCA GEOMETR DEFINICIÓN Es una línea curva cerrada cuyos puntos que la constituyen están en un mismo plano y equidistan AC BC de un punto fijo llamado CENTRO. 2 Importante: a) 2 circunferencias se dice que son congruentes PRINCIPALES TEOREMAS cuando tienen igual radio. TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENT b) A la circunferencia que es tangente a todos los (radio tangente) lados de un polígono se le llama Todo radio que llega al punto de tangencia circunferencia inscrita en el polígono. c) A la circunferencia que pasa por todos los perpendicular (90º) a la tangente en dicho pun vértices de un polígono se le llama circunferencia circunscrita al polígono.
r
CIRCUNFERENCIA I) ÁNGULO CENTRAL:
A
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES Si desde un punto exterior se trazan dos tange a una misma circunferencia, los segmentos tangente son congruentes.
r
AB
r B
II) ÁNGULO INSCRITO:
A
A
AB BC
AB 2
III) ÁNGULO INTERIOR:
C
TEOREMA DE PONCELET: En todo triángulo rectángulo: (catetos: a, (hipotenusa: c), donde “r” es el inradio o radio la circunferencia inscrita.
A
C
D
Se cumple que: a b c 2r
B
IV) ÁNGULO EXTERIOR:
a
b r
A
c TEOREMA DE PITOT: Se da en todo cuadrilátero circunscrito a circunferencia b
C
AB CD 2
D
V) ÁNGULO SEMI-INSCRITO: Formado por una cuerda y una tangente.
AB 2
A
B
180 B
AB CD 2
además
c
B
a c bd
a d
TEOREMA DE STEINER: B
a
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
19
GEOMETR
O1O 2 R r
RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
III) CIRCUNFERENCIAS INTERIORES
TANGENT
R
A
D
O1O 2 R r
r
T
IV) CIRCUNFERENCIAS SECANTES
B
C
O2
O1
AB CD DOS TANGENTES COMUNES INTERIORES Y UN EXTERIOR
O1
R
r O2
R - r < O1O 2 < R + r
V) Circunferencias Concéntricas La distancia entre los centros es cero.
a
b
ab
RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES: A
B
AD CB D
C
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES I) CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES:
R
r
O1
O2
O1O 2 R r
II) CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
Observación: - Si dos circunferencias son tangentes, ya s interiores o exteriores, la recta que pasa por centros, pasa también por el punto tangencia de ambas circunferencias. Otras propiedades: * En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, a a congruentes corresponden cuer congruentes y viceversa. B C Si el arco AB es igua arco CD entonces: AB = CD A
D * En una misma circunferencia, los a correspondientes entre dos cuerdas paral son congruentes.
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
20
GEOMETR x+ y m APB = 2
Mas propiedades A
M B
O
C
D
z
Si OM= ON AB= CD
1. Si las circunferencias son congruentes B
x y z 180º Si: “R” es punto de tangencia B
y
ACD= ADB r
C
D
Concuencia: A
y
x
N
r
R
x= y x
B
O1
A Si: “T” es punto de tangencia
O2
r
B
r
C T
A
AB //CD
AO 1B= AO 2 B = 120º D A
Observación:
Si: “T” es punto de tangencia
B C
AB // CD
a A
a= b
D
* Si son tangentes exteriores y B x A
b T
ARCO CAPAZ El arco capaz de un ángulo dado, es un arco circunferencia, de modo que todos los áng inscritos en dicho arco son congruentes al áng
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
21
GEOMETR
Es aquel triángulo cuyos vértices son los pun medios de los lados de un triángulo al cual s denomina triángulo anticomplementario.
B
Sea la medida del ángulo MBC = , el ángulo mMN por ser ángulo inscrito. 2 Tomando los puntos A, C sobre el arco MBN, por ángulos inscritos:
dado:
Medida del ángulo A
mMN 2
Medida del ángulo C
mMN 2
G
Observación: La semicircunferencia es el arco capaz de los ángulos que miden 90º
TRIÁNGULO ÓRTICO Ó PEDAL Si en un triángulo acutángulo se unen los pies de las alturas, se determina el triángulo órtico o triángulo pedal mientras que al triángulo acutángulo dado se le llamará triángulo antiórtico. B
PROPIEDADES: 1. El baricentro del trián anticomplementario es también baricentro triángulo mediano, en la figura es el pu “G”.
2. Al trazar las mediatrices del triáng anticomplementario, en el triángulo medi se determinan alturas. Entonces circuncentro del triáng anticomplementario es ortocentro triángulo mediano.
RECTA DE EULER
Q
En todo triángulo, el ortocentro, el baricentro circuncentro pertenecen a una recta llam Recta de Euler. A partir de esta condición puede demostrar los siguientes teoremas:
P
A
C
A
R
B
C
Propiedades: 1. El Ortocentro del triángulo antiórtico es el Incentro del triángulo Pedal.
Recta de E
2. Cada vértice del triángulo antiórtico es Excentro del triángulo Pedal. 3. Las distancias de los vértices del triángulo antiórtico a los lados del triángulo Pedal, son exradios de éste.
H A
G
O P
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
22
GEOMETR
HG 2 GO
*
La distancia del ortocentro (H) a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro (O) al lado opuesto al vértice mencionado.
Teorema del Incentro
HB 2 OP
TEOREMA DE THALES: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos secantes cualesquiera, entonces las paralelas determinan en las secantes segmentos proporcionales.
a
L3 p
c
L4
b
CASOS DE SEMEJANZA 1er Caso: Si tienen dos ángulos respectivame congruentes.
B
a b c m n p
L1 L2 L3 L4:
y
Dos triángulos son semejantes si sus tres áng interiores son respectivamente congruentes y lados homólogos son proporcionales.
L2
n
b
I
x a c y b
a
S EMEJANZA DE TRIÁNGULOS
L1
m
x
c
Q
Teorema de la Bisectriz Interior
c
c a m n
a
x
2
m
x ac mn
n
Teorema de la Bisectriz Exterior
c
2
x mn ac
n
m
C
P
R
2do Caso: Si tienen un par de áng congruentes y los lados que lo form respectivamente proporcionales.
Q
B
c a m n
x
a
A
C
A
a
c
ka
kc
P
Teorema de Menelao
m a
b n p
abc mnp
c
3er Caso: Si tienen sus respectivamente proporcionales.
B kc
la
Q ka
c
Teorema de Ceva
m
tres
C
a
23
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
RELACIONES MÉTRICAS PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UNA RECTA La proyección ortogonal de un punto P, sobre una recta L, es el pie de la perpendicular trazada des P a L. Asimismo, la proyección de un segmento (cualquier figura, en general), se obtiene de proyectar todos los puntos de dicha figura, sobre la recta. P
GEOMETR
* a 2 = b 2+ c 2
* c2 = m . a
* b2 = n . a
* h 2 = m .n
* b .c = a.h
*
h
C
a
c
Q
R
*
D'
C'
F'
M'
Q'
N'
L
m
A
P‟ es la proyección ortogonal de P sobre la
b2
C
b
II) En el triangulo obtusángulo B
A' B ' es la proyección ortogonal de AB sobre la recta L; AA' es la proyectante, BB ' es la proyectante…. etc.
*
n
H
M
recta L; PP ' es la proyectante. *
1
2 2 2 * a = c + b 2 .b .
N
B'
c
2
2 2 2 * c = a + b 2 .b . n F
A'
1
=
B
D
A
P'
2
Teoremas de Euclides: I) En el triangulo acutángulo
E
B
1
A
M' N ' es la proyección ortogonal de MN sobre la recta L Ejemplos: B
2
C
Teoremas de Heron
c
B
a
hb
A
A
b
B
D
Relaciones Métricas en el triángulo Rectángulo.
2
= c + b 2 .b .
m
*
BD : proyección de AB sobre BC
2
c
Q ' R es la proyección ortogonal de QR sobre la recta L.
A H C AH : proyección de AB sobre AC
a
a
b
hb C
a bc Si : p se cumple: 2 Area
p(p a)(p b)(p c)
2 b
p(p a)(p b)(p c)
hb
a c A
Teorema de la mediana
b
C
Academia BLASE PASCAL DE CALCA a 2 c 2 2m b 2
24
GEOMETR
2
b 2
TEOREMA DE LAS SECANTES
c
2
mb x
A
a
2
a c 2 xb
a
b y
C
x
b
ab xy
B c
TEOREMA DE LA TANGENTE
a
mb ma
mc
x
A
C b 2
2
a b c 2
b 2
2
ma mb mc
2
a
4 3
TEOREMA DE STEWART Donde BD es ceviana:
TEOREMA DE PTOLOMEO Y VIETTE
B
b
a
a
c
m
D
n
c
x
x A
2
x ab
y d
C
b 2
2
2
x b a m c n m nb
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE PACHEIN
TEOREMA DE LAS CUERDAS
x
b
x a.d b.c y a.b c.d
x.y a.c b.d
b
a
x
y
c
x
a .d
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
TEOREMA DE CHADU
C
a
A
GEOMETR
TRIÁNGULO ELEMENTAL POLÍGONO REGULAR
DE
Se llama triángulo elemental del polígono regu a aquel triángulo cuyos vértices son dos vért consecutivos del polígono y el tercer vértice e centro de dicho polígono.
Si el ACD es equilátero
B
25
b
x ab
Elementos
x
O: Centro R : Circunradio ln : Lado an : Apotema AOB: Triángulo Eleme n : Ángulo Central
R
D
n O POLIGONOS REGULARES
Polígono regular es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez. Todo polígono regular tiene la propiedad de ser inscriptible y circunscriptible a la vez, a dos circunferencias concéntricas, es decir, el centro de la circunferencia inscrita coincide con el de la circunferencia circunscrita.
an
A
ln
CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS POLÍGONO REGULAR 1.- Lado del Polígono Regular
POLÍGONO REGULAR INSCRITO Un polígono regular se dice que está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos de ella. Los lados de un polígono regular inscrito son cuerdas de la circunferencia y se designan comúnmente con la letra l (minúscula) y un subíndice que indica el número de lados del polígono regular al que corresponde. El radio de la circunferencia circunscrita se acostumbra a designarle con la letra R (mayúscula). Así por ejemplo: : lado del triángulo equilátero inscrito : lado del polígono regular inscrito de “n” lados 3
n
APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR Es un segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a cualquiera de sus lados. Se designa comúnmente por “a” y un subíndice que indica el número de lados del polígono regular. Así por ejemplo:
B
R
R
l
n R
n
Por Ley de Cosenos: 2
2
2
l n R R 2R.R.(Cos n ) 2
2
l n 2R (1 Cos n )
l n R 2(1 Cos n ) 2 l n R 4Sen n 2
l n 2RSen n 2 2.- Apotema del Polígono Regular
D
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
26
GEOMETR
1 Pero: a n 2
2
2
4R l n
(l 2n )2 R 2 R 2 2(R) n
R 2
l 2n
ln 2
R an
2
1 2
2
2R R 4R l n
2
4R ln
2
2
RESUMEN DE LOS POLIGONOS REGULARES
ln 2
N
n
3
120º
R
3
4
90º
R
2
6
60º
8
45º
R
2
2
R 2
2
2
12
30º
R
2
3
R 2
2
3
10
36º
R 2
5
72º
ln
an R 2
Por el teorema de Pitágoras: 2
a n 2
ln 2 R 2 1 2 2 an 4R l n 2 Fórmula Trigonométrica: a n R.Cos n 2 LADO DEL POLÍGONO REGULAR DE DOBLE NÚMERO DE LADOS (l2n) Con l2n designaremos al lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia, cuyo número de lados es el doble que el de otro polígono regular de “n” lados inscrito en la misma circunferencia.
R
5 1
R 2
2
R 2
3
R 10 2 5 4
R 4
R 10 2 5 2
5 1
A
Relaciones entre polígonos regulares Sean dos polígonos regulares cualesquiera de y “k” lados cada uno, estos estarán relaciona de la siguiente forma:
B
R
l 2n an
O
H
R
C
l 2n D
E
F
En el OCD, por el Teorema de Euclides: 2
2
2
CD OD OC 2(OC )(OH) 2
2
2
(l 2n ) R R 2(R)(a n )
ln
1. Expresando las áreas en función de apotemas, se tendrá:
A n = k n ap n
2
2
k n ap n An = 2 Ak k k ap k
2
y A k= k k ap k
= k n ap n 2 k k ap k
de don
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
27
GEOMETR
PRINCIPALES POLÍGONOS REGULARES Polígono Regular
Polígono Regular
Triángulo Equilátero
a3
R
l3
Lado del P. R.
Apotema del P. R
l3 R 3
R 2
a3
120 º
R
Cuadrado
l4
l4 R 2
a4
a4
R 2
2
a6
R 2
3
90 º
a6
R
Hexágono Regular
l6 R
60 º l6
R
Octágono Regular
45 º
l8 a8
l12 Dodecágono Regular
R
2
a8
R 2
2
2
l12 R 2 3
a 12
R 2
2
3
6
2
l8 R 2
a 12 l12
30 º
R 2
6
2
a 12
R 4
a 10
R 10 2 5 4
l10
Decágono Regular
R
36 º
a 10
l10
R 2
5 1
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
28
GEOMETR
R
Pentágono Regular
l5
a5
l5
72 º
R 10 2 5 2
a5
R 4
5 1
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES SUPERFICIE Es el espacio ocupado por una superficie, se consideran dos dimensiones. EXTENSIÓN SUPERFICIAL Es el espacio ocupado por una superficie, se consideran dos dimensiones.
Unidades de Área
Área de un Triángulo Cualquiera
REGIÓN Es la reunión del conjunto de puntos del contorno de una figura plana con el conjunto de puntos de su interior.
A
h
b.h 2
b
Área de un Triángulo Obtusángulo
Región Triangular
Región Exagonal
A
h
b.h 2
b
Área de un Triángulo Rectángulo
A
a
Región Circular UNIDAD DE ÁREA Es la región determinada por un cuadrado cuyo lado mide la unidad (1mm., 1cm., 1m., 1km., etc)
1u
2
1u
b
Área de un Triángulo (Fórmula Trigonométrica)
a
A
1u ÁREA Es la medida que tiene una región, se refiere al tamaño de la región. Es el número de veces que está contenida la unidad de área en dicha región, es un número que se expresa en unidades
a .b 2
a b Sen 2
b
Área de un Triángulo Equilátero A
a
2
3 4
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
29
GEOMETR
Fórmula de Herón
A
c
a
A
A A
ATotal
A
4
b A
Área de un triángulo rectáng conociendo 2 segmentos de la hipotenu
p(p a)(p b)(p c)
a bc 2 Área de un Triángulo en función del semiperímetro y del inradio. Donde: p
m
A mn n
A p. r
a
b
r
Donde: p
a bc 2
Área de un triángulo en función del exradio
Área de un Triángulo en función de sus c lados y del circunradio.
b
a
S
S p a
Ra
a C
A
b
Área de un Cuadrado
Mas Propiedades:
A
B
a.b.c A 4R
R
A
A
A total 2
a
d
2
Aa
2
d A 2
a Área de un Rectángulo
A A A
A
A
A total 6
h
A b.h
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Área de un Romboide
30
GEOMETR En un trapecio cualesquiera
A b.h a
h
A a.b.Sen
b
AT
A
A
2
En un paralelogramo
Área de un Rombo
A A
D
AT
A
2
D.d 2
A S
d
A
AT 4
Área de un Trapecio
b
Bb A .h 2
b
En todo cuadrilátero se cumple que:
A
A
B
AT 2
Área de un Cuadrilátero Cualquiera Área de un Cuadrilátero Inscrito
A
y
x
xy Sen 2
c
En un trapecio cualesquiera
A1
A2
b
a A1 A2
d A (p a)(p b)(p c)(p d) Área de un Cuadrilátero Circunscrito
En un trapecio cualesquiera
A1
r A2 AT
A1
A2
A p.r
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Círculo
A r
r
31
GEOMETR Lúnulas de Hipócrates.
S2
2
S1 A
Sector Circular
S1 S 2 A
r
En un paralelogramo.
2
R A 360º
S
Para áreas semejantes.
S
AT
4
A2
A1
En todo cuadrado: A3
A
L
A
L2 2 2
S1 S 2 S 3 En todo cuadrado se cumple que:
L Segmento Circular
S
S
AT 5
ASeg.Cir. ASec .Cir. A
r
Zona ó Faja Circular
B
S
S
AT 20
A
C D
AZona ASeg.(AD) ASeg.(B
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Corona Circular
R
A R r 2
2
32
GEOMETR Trapecio Circular
R
r
A
r
2 2 R r 360º
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO DETERMINACIÓN DE UN PLANO
B
Tres puntos no colineales
A
D
A
Una recta y un punto exterior a ella
L
L1
Dos rectas secantes
L2 L1
Dos rectas paralelas
L2
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Paralelas
Entre Rectas:
Secantes
L1 L2
L1 L2 L
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
33
GEOMETR
Paralelas
Entre Rectas y Planos:
Secantes
Coincidentes
Paralelos
Entre Planos:
Secantes
Coincidentes
Angulo Formado por dos Rectas Alabeadas
L1
Es el ángulo formado por una de las rectas alabeadas con una paralela a la otra.
L3 L2
L1 y L2 son rectas alabeada Si L3 // L1 es el ángulo formado por L1 y L
34
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Distancia entre dos Rectas Alabeadas
GEOMETR L1 d
Viene a ser la longitud del segmento perpendicular a dichas rectas alabeadas.
L2
En la práctica es conveniente proyectar ambas rectas en un plano perpendicular a una de ellas: Dicha recta perpendicular al plano se proyecta como un punto en dicho plano, la otra queda proyectada como una recta. Ahora, la distancia del punto a la recta proyectada viene a ser la mínima distancia entre las dos rectas que se cruzan.
R
d
N O
L2
TEOREMA DE THALES
A
Si tres o más planos paralelos son interceptados por dos rectas secantes, las longitudes de los segmentos que se determinan entre los planos tienen longitudes proporcionales.
B
AB PQ BC QR
R
L1
L3
Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en dicho plano, el pie de la segunda perpendicular unida con cualquier punto de la recta perpendicular al plano, determina una recta perpendicular a la recta contenida en dicho plano.
P
Q
C
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
Si : L1 P AB L 2
x
A
B
P
L2
L3 L2 Es decir:
x 90 º
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.
“d” es la distancia ent las rectas alabeadas L1 y L 2
L1
L3
L1 L2
Si: L P
P
L (L1 , L 2 , L 3 , ... etc .)
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Condición para que una Recta sea Perpendicular a un Plano La condición para que una recta sea perpendicular a un plano es que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano.
35
GEOMETR L Si: L L1 L L 2
L1 P
LP
L2
ÁNGULOS DIEDROS Y ÁNGULOS POLIEDROS Angulo Diedro Es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen en común su recta de origen. A dicho origen se le denomina ARISTA y a los semiplanos se le denominan CARAS.
A
O
X
Ángulo Plano ó Ángulo Rectilíneo de un Ángulo Diedro
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentra en las caras del diedro. Todo ángulo diedro tiene infinitos ángulos rectilíneos, todos ellos congruentes. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano. Medida del Ángulo Diedro La medida de cualquier ángulo rectilíneo de un ángulo diedro nos da la medida del ángulo diedro.
B
P
Q
Elementos: P y Q: Caras del Ángulo Diedro
AB : Arista del Ángulo Diedro XOY : Ángulo Rectilíneo del ángu
Diedro : Medida del Ángulo Diedro
Proyecciones de Regiones Planas El área de la proyección de una región poligonal sobre un plano es igual al área de dicha región multiplicado por el coseno del ángulo diedro que forman el plano del polígono proyectante y el plano de proyección.
Y
B
A
A B . Cos
36 Academia BLASE PASCAL DE CALCA Angulo Poliedro - Llamado también ángulo sólido o anguloide, es la figura geométrica formada al trazar por un punto del espacio tres o más rayos, de tal manera que tres rayos no son coplanares. - Es la figura geométrica determinada por la reunión de tres o más regiones angulares no coplanares, consecutivas y de vértice común.
GEOMETR O
Element O : Vérti OC: Arista b : Cara : Diedr
ab c d e
E
A
D
B
C
O
Angulo Triedro Es el ángulo poliedro más importante, tiene tres caras.
c a b A
C
B CLASIFICACIÓN DEL ÁNGULO TRIEDRO Por la Regularidad de sus Caras Triedro Escaleno.- Sus caras y diedros tienen diferente medida.
Por el número de Caras Rectas Triedro Rectángulo.- Una cara mide 90º.
O
abc
c a b A
C
B Triedro Isósceles.- Dos caras y dos diedros tienen igual medida respectivamente.
O
a cb
Triedro Birrectángulo.- Dos caras mide 90º cada una, a las cuales se oponen diedr que miden 90º.
c a b A
90 º
C 90 º
37
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Triedro Equilátero.- Sus caras y diedros tienen igual medida respectivamente.
a bc
O c a b
A
GEOMETR
Triedro Trirrectángulo.- Es un tried equilátero cuyas caras miden 90º cada una d ellas, a las cuales se lo oponen diedros qu miden 90º.
C
90 º
90 º 90 º
B
PROPIEDADES DE LOS TRIEDROS:
La diferencia de dos caras es menor que la tercera ca y ésta a su vez es menor que la suma de las otras d caras anteriores.
ab c ab La suma de las medidas de las tres caras siempre mayor que 0º pero menor que 360º.
O c a b A
0º a b c 360 º
B
C
La suma de las medidas de los tres diedros siempre mayor que 180º pero menor que 540º.
180 º 540 º
En todo triedro la suma de las medidas de dos diedr es menor que la medida del tercero aumentado e 180º.
180 º
A mayor cara se opone mayor diedro y viceversa. menor cara se opone menor diedro y viceversa. Si d caras son congruentes, los diedros a los que se opone también son congruentes y viceversa.
Si : a b
Si : a c
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
38
GEOMETR
POLIEDROS SUPERFICIE POLIÉDRICA Es la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más regiones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras tienen en común a lo más un lado llamado arista. POLIEDRO Es un sólido geométrico completamente limitado por una superficie poliédrica. Un poliedro, como mínimo debe tener cuatro caras.
Arista
Cara
Vértice
Diagonal
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS: 1.- POLIEDRO CONVEXO Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica convexa. Una superficie poliédrica es convexa si todos los vértices quedan en un mismo semiespacio respecto del plano que contiene a cada cara. Además se tiene que al trazar una recta secante corta en 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica. 2.POLIEDRO NO VONVEXO (CÓNCAVO) Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica no convexa. Una superficie poliédrica se llamará no convexa, si los vértices quedan en uno y otro semiespacio respecto al plano que contiene a una cara convenientemente escogida. Además se tiene que al trazar una recta secante corta en más de 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica. Teorema de Euler.- En todo poliedro convexo, la suma del número de caras mas el número de vértices es igual al número de aristas aumentado en dos.
C V A 2
Teorema.- En todo poliedro, la suma de los ángulos internos es igual a tantas veces 360º
S i 360 º V 2
39
Academia BLASE PASCAL DE CALCA Teorema.- Si un poliedro está formado por k polígonos de n lados, k1 polígonos de n1 lados, ... hasta km polígonos de nm lados; el número de aristas viene dado por la siguiente expresión:
GEOMETR
A
kn k 1 n 1 k m n m 2
POLIEDROS REGULARES Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruen comprobándose que en cada vértice concurren un número igual de aristas. En todo poliedro regular sus ángulos diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros. Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir en esferas concéntricas, siendo el centro estas esferas el centro del poliedro regular. Sólo existen cinco poliedros regulares.
POLIEDRO
Forma de las caras
A
V
C
TETRAEDRO
6
4
4
HEXAEDRO
12
8
6
OCTAEDRO
12
6
8
DODECAEDRO
30
20
12
ICOSAEDRO
30
12
20
POLIEDROS REGULARES CONJUGADOS Se llaman poliedros regulares conjugados a aquellos en que el número de caras de uno es igua número de vértices del otro y viceversa. Según el teorema de Euler deben tener el mismo número de aristas. Son poliedros conjugados: El Hexaedro y el Octaedro. El Dodecaedro y el Icosaedro. El tetraedro es conjugado por sí mismo. Los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero.
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
40
GEOMETR
PRISMAS SUPERFICIE PRISMÁTICA Generatriz
Es aquella superficie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente a sí misma apoyándose en una poligonal plana, cerrada y convexa denominada Directriz directriz.
Superficie Pr ismáti
PRISMA Es el poliedro limitado por la superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y secantes a dicha superficie los cuales son polígonos congruentes.
Elementos ABCDE: Base AFJE: Cara Latera
G
J
PRISMA RECTO Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
h
B C
E
Es aquella superficie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente a sí misma apoyándose en una línea curva plana y cerrada denominada directriz.
Base h: Altura
I
A
SUPERIFICIE CILÍNDRICA
HC : Arista Later FG : Arista de la
H
F
D
Generatriz
Directriz Superficie Cilíndrica
41
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
GEOMETR
CILINDRO Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices.
r
g
r
son
CILINDRO CIRCULAR RECTO Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, también es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
O1
h
h
CILINDRO RECTO Es aquel cilindro cuyas generatrices perpendiculares a sus bases.
r
O2
Elementos Círculos de centros O1 y O2: Bases
O1O 2 : Altura (h) g : Generatriz Circunferencias de centro O1 y O2: Directr r: Radio de la base
ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA Y DE UN CILINDRO -
Área Lateral (AL).- Es igual al área de su desarrollo lateral.
-
Volumen (V).- Es igual al producto del área de la base por la longitud de su altur
AL (Perím .b ) h -
Área Total (AT).- Es igual al área lateral más la suma de las áreas de las dos bases del prisma.
AT AL 2(Ab )
PARALELEPÍPEDO Es aquel prisma cuyas caras todas son regiones paralelográmicas.
a) Romboedro Es aquel paralelepípedo cuyas bases y caras laterales son rombos. Es decir son regiones romboédricas.
V (Ab ) h Donde:
Perím .b : Perímetro de la base Ab : Área de la base h : Altura
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
42
b) Paralelepípedo Recto Es aquel paralelepípedo cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. Es decir sus caras laterales son rectángulos y sus bases paralelogramos.
GEOMETR
90
c) Paralelepípedo Rectangular, Ortoedro o Rectoedro Es aquel paralelepípedo recto cuyas caras todas son regiones rectangulares.
c
D
b
a
D2 a 2 b 2 c 2
AT 2 (ab bc ac )
V abc d) Cubo ó Hexaedro Regular Es aquel paralelepípedo que tiene sus seis caras congruentes, siendo todas éstas regiones cuadrangulares
Da 3 a
D
a
AT 6a 2 V a3
a
TRONCO DE PRISMA RECTO Es una porción de prisma recto comprendido entre una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base secante a todas sus aristas laterales. Sus caras laterales son trapecios rectángulos.
AL Suma (A de las caras laterales) A T AL A B
a b c V B 3
a b
c
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
43
GEOMETR
TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO
AL 2re Elipse
Es una porción de cilindro de revolución comprendido entre una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base secante a todas sus generatrices.
AT AL Ab AElipse
O2 G
e
V r 2 e
g
r
O1
e
Gg 2
SEMEJANZA DE CILINDROS r h g ... k R H G 2
H
h
r
G
g R
2
2
Ab r h g ... k 2 AB R H G 3
3
3
v r h g ... k 3 V R H G
PIRÁMIDE Y CONO
SUPERFICIE PIRAMIDAL
Es aquella superficie generada por una recta llamada generatriz que pasando por un punto fijo denominado vértice, se desplaza apoyándose en una línea poligonal plana cerrada llamada directriz.
Vértice Generatriz
Superficie Piramidal
Directriz
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
44
GEOMETR
PIRÁMIDE O
Es el sólido limitado por una superficie piramidal cerrada y un plano que intersecta a todas las aristas de una hoja. PIRÁMIDE REGULAR Es aquella pirámide en la cual su base es un polígono regular y sus aristas laterales son congruentes. Además sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes entre sí y su altura cae en el centro de gravedad de la base. SUPERFICIE CÓNICA Es una superficie generada por una recta llamada generatriz que pasando por un punto fijo denominado vértice se desplaza por todos los puntos de una línea curva plana no secante a sí misma denominada directriz.
Elementos O : Vértice o Cúsp OCD : Cara Lat ABCD: Base
h B
OP : Apotema
C
OH : Altura
P
H A
D
Vértice
Superficie Cónica
Generatriz
Directriz
CONO Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada y un plano secante a ella que intersecta a todas las generatrices de una misma hoja. CONO RECTO Es aquel cono en el cual el pie de su altura coincide con el centro de la base de dicho sólido. CONO CIRCULAR RECTO Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.
V
g
g
h
r
h O
r
Elementos Círculo de centro O: Base Circunferencia de centro O: Directriz V: Vértice o Cúspide h : Altura r : Radio de la Base g : Generatriz
-
Academia ANTONIO RAIMONDI Área Lateral (AL).- Es igual al área de su desarrollo lateral.
GEOMETRÍA
45
AT AL Ab
AL (Semiperímetro b) (a p ) .......Pirámide
-
Volumen.- Es igual a la tercera parte producto del área de la base con la altura
AL (Semiperímetro b) (g) ....... Cono -
V
Área Total (AT).- Es igual a la suma del área lateral más el área de la base.
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
1 (A b )( h) 3
AL (Semiperímetro B Semiperímetro b )(a p )
Es la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base.
h
ap
V
AT AL AB Ab
h AB A b 3
AB .Ab
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO Es la porción de cono circular recto entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base. Sus bases son círculos.
r
g
r h
R
R
También se le denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta en torno a su lado perpendicular a sus bases.
g
h
AL (Semiperíme tro B Semiperíme tro b )(g)
AT AL AB Ab
V
h AB Ab AB .Ab 3
46
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
GEOMETR
SEMEJANZA DE PIRÁMIDES O O1
H h
B1
B
C1
C
P
P1 A1
A
D1
D
h O 1P1 O 1 A1 A1D1 A1C 1 ... k H OP OA AD AC 2
2
2
2
O A AD AC A b h 2 O 1P1 2 1 1 1 1 1 1 ... k AB H OP OA AD AC 3
3
3
3
3 O P O A AD AC v h 1 1 1 1 1 1 1 1 ... k 3 AC V H OP OA AD
SEMEJANZA DE CONOS r h g ... k R H G G
H
g
Ab r 2 h 2 g 2 2 ... k AB R H G
h
r
R
3
3
3
v r h g ... k 3 V R H G
ESFERA Circunf . Menor
Plano Secante
SUPERFICIE ESFÉRICA Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.
R
Circunf . Mayor
R
O
R
Plano Tangent
47
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
GEOMETR Círculo Menor
Plano Secante
ESFERA Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º en torno a su diámetro. También se puede decir que la esfera es el sólido limitado por una superficie esférica.
Círculo Mayor
R
R
O
R
V
Plano Tangen
4 R 3 3
HUSO ESFÉRICO Y CUÑA ESFÉRICA HUSO ESFÉRICO Superficie generada por una semicircunferencia que gira un ángulo menor que 360º alrededor de su diámetro. También se define al huso esférico como la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
CUÑA ESFÉRICA Sólido generado por un semicírculo que gira un ángulo menor que 360º alrededor de su diámetro. También se define a la cuña esférica, como la porción de esfera comprendida entre dos semicírculos máximos del mismo diámetro y por el huso esférico correspondiente.
R
R
R
R
AH.E.
VC.E.
R3 270º
ZONA ESFÉRICA Y SEGMENTO ESFÉRICO
ZONA ESFÉRICA Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
R
h
h
R
2
R 90
AZ.E. 2Rh
Academia BLASE PASCAL DE CALCA
48
GEOMETR
SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera.
b
R
h
R
a
VS.E.
CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella. También se define al casquete esférico como una zona esférica con una sola base.
3
h h 2 2 a b 6 2
B
AhC.E. 2Rh
h A R
SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE Es la porción de esfera que se determina por un plano secante a ella.
h
R
AC.E. (AB)
R
h
a
2
3
VS.E.
h h 2 a 6 2
VS.E.
h (3R h) 3
R
2
